RECHERCHES SUR L'ÉQUATION DE FERMATgymarkiv.sdu.dk/MFM/kdvs/mfm 1-9/mfm-4-1.pdf · EULER 4 a donné une table des plus petites valeurs de x et g qui satisfont à l'équation (2),

Det Kgl. Danske Videnskabernes Selskab .

Mathematisk-fysiske Meddelelser . IV, 1 .

RECHERCHESSU R

L'ÉQUATION DE FERMATPA R

NIELS NIELSE N

KØBENHAVNHOVEDKOMMISSIONÆR : ANDR . FRED . HØST & SØN, KGL . HOF-BOGHANDE L

BIANCO LUNOS BOGTRYKKER I

1922

INTRODUCTION

FERMAT I , dans une lettre de février 1657, adressée à

Frenicle, a énoncé le théorème :

Soit a un positif entier, sans être un carré, il

existe une infinité de nombres entiers y pou r

lesquels l'expression

(1) ay 2 + 1

devient un carré.

On voit immédiatement que ce théorème n'est autre

chose que celui-ci :

Soit a un positif entier, sans être un carré ,

l'équation indéterminée du second degr é

(2) x 2 - a y2 = 1

admet une infinité de solutions en positifs entiers .

Peu de temps après l'énonciation du problème susdit ,

lord WILLIAM BROUNCIiER en a donné une résolution que

JOHN WALLIS 2 a rédigée et publiée le premier, tandis qu e

JOHN PELL l'a fait réimprimer dans une autre publication . '

Voilà le seul mérite qu'ait acquis PELL dans la théorie d e

l'équation (2) .

1 Varia opera mathematica, p . 190 ; Toulouse 1679. OEuvres, t . 1I,

p . 333-334 .

2 Commercium epistolicum; Londres 1658 .

s Rnorivs : Algebra translated by Tx . BRANKER, much altered and

augmented ; Londres 1668 .

1 $

4

Nr . 1 . NrELs N1ELsEN :

Néanmoins, EDLER 1 dit, comme introduction à son

aperçu de la résolution de l'équation susdite, due à BROUN-

CKER :

»Hierzu hat vormals ein gelehrter Engländer, Namen s

Pell, eine ganz sinnreiche Methode erfunden, welche wi r

hier erklären wollen . «

Bien que cette remarque soit parfaitement denuée d e

fondement, l'autorité suprême d'EULER a néanmoins rattach é

le nom de PELL à l'équation (2), proposée par FERMAT' ,

dans la solution de laquelle il n ' a acquis aucun mérite ,

comme le dit très justement WERTHEIM S :

»Sie [l'équation de Fermat] wird jetzt meist noch nach

dem Engländer John Pell benannt, durchaus mit Unrecht ,

da dieser sich nicht das geringste Verdienst um dieselb e

erworben hat . «

Malheureusement, la remarque de WERTHEIM n'est que

trop vraie, on attribue encore, le plus souvent, à PEL L

l'équation de FERMAT . On lit par exemple dans les Cours

de LEJEUNE DIRICHLET 4 :

»Fermat hat diese Gleichung den Mathematikern zuers t

vorgelegt, worauf ihre Lösung von dem Engländer Pell an -

gegeben wurde . «

A cet égard une page d'un volume du Jahrbuch über

die Fortschritte der Mathematik' est très curieuse . En effet ,

on lit, dans un article : »Geschichte der Fermatschen (so -

l Leonhard Euters vollständige Anleitung zur niederen und höhere n

Algebra nach der französischen Ausgabe des Herrn DE LA GRANGE Mi t

Anmerkungen und Zusätzen herausgegeben von JOHANN PHILIPP GRÜsoN ,

t. II, p . 242 ; Berlin 1797 .

Voir G . WERTHEIM : Anfangsgründe der Zahlenlehre, p . 402 ; Bruns -

wick 1902 .II Ibid . p . 220 .

4 Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben und mit Zusätze n

versehen von R. DEDEKIND, 3 e édition, p . 200 ; Brunswick 1879 .

Tome 32 (1901), p . 195 .

Recherches sur l'Équation de Fermat .

genannte Pellschen) Gleichung« . Et, dans l'article suivant ,

un autre collaborateur dit tout bonnement : »Lösungen der

Pellschen Gleichung . «

Or, ce maintien opiniâtre du faux nom d'équation de

. PELL me semble un peu choquant, dans ce Journal s i

méritant, parce qu'on lit, dans le volume qui précède celu i

que nous venons de citer : l

»Die Gleichung t'̀ - Du e = 1 pflegt noch jetzt die

Pell'sche genannt zu werden, obgleich seit langer Zeit fest-

steht, dass sie sich schon bei Fermat findet, einfach wei l

der ihr von Euler gegebene Name »Pell'sche Gleichung «

sich einmal eingebürgert hat .

Mais, après cette petite réclamation, résultat peut-êtr e

de la publication du livre de M. H. KONEN, 2 on ne voit

plus, que je sache, dans le Jahrbuch, le vrai nom d'équa-

tion de FERMAT ; on applique, au contraire, exclusivement

le faux nom d'équation de' PELL .

Si un tel exemple de persistance dans l'erreur est donné

par un périodique que tout le monde consulte, je ne me

flatte pas de pouvoir détourner mes confrères les mathé-

maticiens du chemin battu qu'il suivent en employan t

l'appellation incorrecte d'équation de PELL, parce que ce

nom s'autorise de la remarque erronée d'EuLER . Cependant

il m'est impossible de passer sous silence, dans l'Introduc-

tion de mon Mémoire sur l 'équation de FERMAT, cette

bévue historique, parce qu'il s'agit ici d'un des plus grand s

géomètres de tous les siècles .

A ce propos il faut citer encore une remarque de feu

M. BACHMANN 8 :

Tome 31 (1900), p . 189 .2 Geschichte der Gleichung t2 - Du2 = 1 ; Leipsic 1901 . (Citatio n

d'après WERTHEIM : Anfangsgründe der Zahlenlehre, p . 220 . )

a Niedere Zahlentheorie, t. II, p . 76 ; Leipsic 1910 .

6

Nr . 1 . NIELS NIELSEN ;

»E. Lucas hat diese Reihen [savoir les deux suites don t

les éléments sont les nombres B,i (2) et 2 An (2)] als Pellsche

Reihen bezeichnet, um das Verdienst zu ehren, welches

Pell um die Auflösung der sogenannten Pellschen Gleichung

zukomme ; gegenwärtig weiss man aber, das dies Verdienst .

gar nicht nachweisbar ist . «

La résolution générale et rigoureuse de l'équation d e

FERMAT est due à l'illustre LAGRANGE 1 qui a inventé un e

méthode ingénieuse, en appliquant la fraction continue ,

infinie et périodique, qui représente Va .

En effet, cette méthode de LAGRANGE donne à la fois

toutes les solutions possibles en positifs entiers de l'équa-

tion susdite, et une démonstration aussi élégante que facile

des propriétés remarquables de la fraction continue en

question, propriétés qui ont été connues par EULER, mai s

que ce grand géomètre n'a pas pu démontrer .

De plus, la méthode de LAGRANGE donne non seulement

la résolution complète de l'équation de FERMAT, mais auss i

de cette autr e

(3)

x 2 - a y2 = .- 1 ,

pourvu que cette équation soit résoluble en positifs entiers .

Or, en donnant sa méthode remarquable pour résoudre

aussi l'équation (3), jusque-1à restée inaperçue,' LAGRANG E

a présenté aux mathématiciens un problème très difficile ,

savoir de donner la condition suffisante et nécessaire qu i

doit être remplie par le nombre a, afin que l'équation (3 )

soit résoluble en positifs entiers .

A cet égard, LEGENDRE 3 a donné la règle très simple :

1 Miscellanea Taurinensia, t . 4, p . 41-47 ; 1766-69. Mémoires de

l'Académie de Berlin 1767, p . 165-230 (1769).

2 EULER dans sou Algebra t . II, p . 247-248, donne la résolution de

l'équation (2) pour a

13, sans s'arrêter å l'équation (3) correspondante .

3 Théorie des Nombres, t . I, p . 64-71 .

Recherches sur l'Équation de Fermat.

7 -

L'équation (3) est toujours résoluble en positif s

entiers, pourvu que a soit un nombre premier d e

la forme 4v -f- 1 .

Or, a étant diviseur de la somme x 2 + 1, il est évident

que ce nombre ne peul contenir aucun facteur premier de

la forme 4v + 3 .

LEJEUNE DIRICHLET 1 a étudié le cas où a est le produi t

de deux ou trois nombres premiers de la forme 4v -}- 1 ,

mais ses belles recherches ne donnent pas, ce me semble ,

des résultats faciles, à appliquer .

Parmi les geomètres qui ont, plus tard, étudié le pro-

blème difficile concernant la nature du nombre a qui figure

dans l'équation (3), nous citons MM. J . PEROTT 2 , F . TANO 2 ,

E . DE JONQUIERES 4 , mais les résultats obtenus par eux me

semblent, d'un point de vue général, peu satisfaisants .

C'est ce que WERTHEIM 6 dit très modestement :

»Trotz der Bemühungen von LEGENDRE, LEJEUNE DI-

RICHLET U . a. ist est noch nicht vollständig gelungen, die

Bedingungen für die Lösbarkeit der Gleichung x 2 - Ag2=

- 1 anzugeben. «

Quant à cette équation difficile, on lit dans le Jahr-

buch über die Fortschritte der Mathematik 6 :

»Das Problem der Angabe aller Determinanten D, fü r

welche t 2 - Du e = - 1 in ganzen Zahlen t, u lösbar ist,.

scheint sehr schwierig zu sein . «

Pour ma part, je crois que ce problème est aussi difficil e

1 Abhandlungen der Berliner Akademie 1834, p . 649-664 . Werke ,

t . I, p . 221-236 .2 Journal de Crelle, t . 102, p . 185-223 ; 1887 .2 Ibid . t. 105, p . 160-169 ; 1889 .

• Comptes rendus, t . 126, p . 1837-1843 ; 1898.

• Anfangsgründe der Zahlenlehre, p. 225 ; Brunswick 1902 .6 Tome 29 (1898), p . 174 .

8 Nr . 1 . NIELS NIELSEN :

que la détermination générale de l'exposant a qui figure

dans la congruence, également due à LAGRANGE 1 ,

p 1 12

(-1)E (mod p) ,

où p est un nombre premier de la forme 4 v ± 3 .

On sait, du reste, que LEJEUNE DIRICHLET 2 a remarqué

que l'exposant e est égal au nombre des non-résidus qua-

dratiques de p, . contenus dans l'ensembl e

1, 2, 3, . . , p

12

Quant à l'équation (3), WERTHEIM s remarque que, parmi

les 90 valeurs de a plus petites que 100, 20 seulement don-

nent des solutions en positifs entiers de l'équation susdite .

EULER 4 a donné une table des plus petites valeurs d e

x et g qui satisfont à l'équation (2), où a représente le s

90 valeurs possibles, plus petites que 100, tandis que l e

professeur danois C.-F . DEGEN 5 a étendu cette table jusqu' à

a

1000 .

De plus, EULER 6 a donné une table des fractions con-

tinues qui représentent va, de a - 2 jusqu'à a = 120, tabl e

que M. A.-S . WEREBRUSOFF 7 a récemment étendue jusqu ' à

a = 1000.

Quant au présent Mémoire, il donne une partie de s

résultats que j'ai obtenus dans mes recherches pendant les

dernières treize années, recherches qui ont été inspirées par

1 Nouveaux Mémoires de Berlin, t . 2 (1771), p . 131 ; 1773 .

• Journal de Crelle, t . 3, p . 407-408 ; 1828 . Werke, t . 1, p . 105-108 .

• Anfangsgründe der Zahlenlehre, p . 225 ; Brunswick 1902 .

Algebra, t. II, p . 252-253 ; Berlin 1797 .

5 Canon Pellianus ; Copenhague 1817 .

• Novi Commentarii Academiæ Petropolitanæ, t . 11, p . 39-45 .7 Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik t . 35 (1904), p . 232 .


9

le fameux postulat de M . E . DE JoNQUIÉRES ' , savoir que

x = 1 et x = 5 sont les seuls nombres qui satisfont au x

deux condition s

x = u 2 +\t%+ 1) 2 , x2 = z 2 +(z+1)2,

postulat que l'on n'a pas encore réussi à démontrer rigoureuse -

ment, que je sache .

Quant aux nombres An et Bdéterminés par une équa-

tion de FERMA T

AR - CIBi, = ( 11n1r

li = 1, 2, 3, . .

ils possèdent beaucoup de propriétés remarquables. Nous

nous bornerons à indiquer ici que ces nombres An et B,, ,

parfaitement déterminés à l ' aide du nombre a, forment un

groupe de nombres bien limité .

En effet, il est possible de former des A„ et des Bn tan t

une Théorie des Nombres, concernant la théorie du plu s

grand commun diviseur et du plus petit commun multiple ,

qu'une Trigonométrie élémentaire, ayant ses formules d'addi-

tion et logarithmiques. De plus, soit p un positif entier

donné, quelconque du reste, il existe un indice r, tel qu e

les Bnr, où n est un positif entier quelconque, représenten t

l'ensemble des nombres Bu, qui sont divisibles par p, c e

qui est essentiel dans plusieurs recherches .

Quant aux résultats que j'ai obtenus, je me suis efforc é

d'annoter ceux que j'ai trouvés dans la littérature et d' insérer

dans mon texte systématiquement des résultats déjà connus ,

souvent trouvés par hasard et sans des points de vue généraux ,

bien que plusieurs de ces résultats soient des conséquence s

immédiates des propriétés des nombres Ar1 et Bn susdits .

Or, ce travail a été assez difficile et fatigant, parce que l a

1 Nouvelles Annales (2) t . 17, pp . 241-247, 289-310 ; 1878 .

10

Nr . 1 . NIELS NIELSEN :

littérature sur l'équation de FERMAT est très eparse, et que

plusieurs des publications en question ne se trouvent pa s

dans nos bibliothèques .

De plus, le Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik

qui m'a été très utile, dans d ' autres occasions, et principale -

ment par les excellents comptes rendus de M . A . WANGERYN,

me semble un guide moins sûr en ce qui concerne l 'équa-

tion de FERMAT. Cela se comprend, du reste, car plusieur s

des travaux dont il s'agit ici sont simplement insupportables ,

à cause de leur dilettantisme .

C'est pourquoi je demande l'indulgence de mes lecteurs ,

si mes citations ne sont pas toujours suffisamment épui-

santes .

J'ajouterai qu'une étude plus approfondie de la littéra-

ture sur l 'équation de FERMAT m'a causé plusieurs étonne-

ments, principalement parce que je n'y ai trouvé aucun e

mention de trois faits très curieux, savoir :

1° L'abréviation considérable des calculs nécessaire s

pour la détermination des nombres A l et B 1 , savoir de s

pins petites solutions de l'équation de FERMAT dont il

s'agit, bien que ces abréviations soient simplement les consé-

quences des propriétés d'une fraction continue symétrique .

C'est pourquoi j'ai donné, dans le Chapitre Premier, .un

aperçu des formules fondamentales en question .

2° La méthode de BROUNCaER n'est autre chose qu'un

établissement heuristique de la fraction continue de LA-

GRANGE ; du point de vue pratique la méthode de BROUN-

CRER est énormément compliquée, du point de vue théo-

rique elle est très difficile, parce qu 'elle exige la connais-

sance des nombres co, . et pr, nombres qui donnent, du reste,

des éclaircissements intéressants sur la fraction continue

dont il s'agit .


1 1

3° Les solutions générales d'une équation quelconqu e

de FERMAT ne sont autre chose que les polynomes d e

CAUCHY, pris des nombres Al et B1 , ce qui met en plein e

lumière l 'analogie frappante qui existe entre les formule s

récursives de LAGRANGE et les formules fondamentales d e

la Trigonométrie élémentaire .

Copenhague, le 21 octobre 1921 .NIELS NIELSEN .


CHAPITRE PREMIER

La fraction continue de Lagrange .

1 . Remarques sur le problème général .

Soit a un positif entier, qui n'est pas un carré, LAGRANGE i

a démontré l'existence d'un développement en fraction con-

tinue, infinie et périodique, de la form e

11

-1-

1

ai, - i -{-2a +

savoir, sous forme symbolique

(1)

Va = [a, (a l , a.,, a 3 ,

., ak 1, 2a)] ,

où particulièrement

(1 bis)

Va = [a, (2a)] .

Dans ces deux formules, a et les a,. sont des positifs

entiers, tels que

(2 ) ai ' - a k - ,

Désignons ensuite par

1r<>î

1 .

Miscellanea Taurinensia, t . 4, p . 41-47 ; 1766-1769 . Mémoires d el'Académie de Berlin 1767, p . 165-230 (1769) .


13

Li0 Z%1 112 ,

Unk-2 IÏnk - 1- - -~p?.1

2n~. . .>

Znk-2 ' .Znk -1,

.

où n est un positif entier quelconque, les réduites de l a

fraction continue susdite, LAGRANGE a aussi démontré que

les nombres

(4)

An - Unk-1, bn - Onk- 1

représentent l'ensemble des solutions en positifs entiers d e

l'équation indéterminée du second degré

(a)

- llU 2 = + 1 ,

proposée, en 1657, par FERiMAT 1, de sorte que l'on aura, quel

due soit l'indice n,

An - aBn = (-1)ttk

Cela posé, il est évident que l'équation indéterminée

x' aJ2 = - 1

n'est, pour k pair, jamais résoluble en positifs entiers .

Dans ce qui suit, nous désignons pour abréger a comm e

la base de l'équation indéterminée (5), k comme le nombr e

caractéristique de cette base. De plus, nous disons que

a est une base de première ou de seconde espèce, selo n

que son nombre caractéristique k est impair ou pair, savoi r

selon que l'équation indéterminée (7) est résoluble en posi-

tifs entiers ou non . Enfin nous écrivons An (a) et B,t (a) au

lieu de An et B,,., dans les cas où il s'agit, en même temps ,

de plusieurs bases différentes .

Soit maintenant p un positif entier quelconque, l'équa-

tion de FERMAT

- ap 2 U 2 = 1 ,

1 Varia opera mathematica, p . 190 ; Toulouse 1679. OEuvres, t . II ,

p . 333-334 .

(3)

(6 )

(7 )

(8)

14 Nr . 1 . NiELS NiELSEN :

de la base ope, admet aussi une infinité de solutions en

positifs entiers. Or, l'équation (8) n'étant autre chose que

celle-ci

(8 bis)

x 2 -- a (py) 2 = 1 ,

il est évident qu'une infinité des nombres définis par

la seconde des formules (4), sont divisibles par le positif

entier p, problème que nous avons à étudier plus ample-

ment dans l'article X .

Soit ensuite a une expression fractionnaire irréductible ,

savoir

(9)

a = b 2d e 2

où e 1 est sans facteurs quadratiques, il existe, aussi dan s

ce cas, un développement en fraction continue, infinie e t

périodique, de la forme (1), et l'on aura de mêm e

2 b 2

ti k

(10) Ynr.-1-

2 z i,k-1

(-1) ,c 1 c 2

c'est-à-dire que znk-1 est, quel que soit l'indice n, divisibl e

par c 1 c 2 . Posons

(11) Ynk-1 = ln, Znk-1 = C 1 C2S~n ,

il résulte donc, en vertu de (10) ,

(12) ~R - bc 1 n = (- 1)nk ,

et, dans cette équation, bc 1 est un positif entier . Appliquons

encore la remarque faite concernant les équations (8), nou s

avons démontré le théorème :

1. Afin de résoudre, en positifs entiers, l'équa -

tion indéterminée

(13) x 2 - ag2 = ± 1 ,

où la base a est un nombre rationnel plus gran d

que l'unité, il suffit de résoudre une équation de


1 5

la même forme, où la base a est un positif entie r

sans facteurs quadratiques .

Or, il existe, dans l 'équation (13), des positifs entiers a ,

sans facteurs quadratiques, qui ne sont premiers à aucun e

des valeurs de y .

On voit par exemple que le nombre 6 est une base d e

seconde espèce, parce que le nombre premier 3 ne peut

pas diviser la somme x 2 + 1 .

De plus, dans l'équation de FERMAT correspondante

x 2

6 y 2 = 1 ,

x étant nécessairement un nombre impair, x 2 - 1 est tou-

jours de la forme 8v ; c'est-à-dire que y est un nombre

pair, de sorte que l'équation (14) est la même que celle-ci

(14 bis)

x2 - 240 = 1 .

Soit, comme second exemple de ce genre, n et p de s

positifs entiers quelconques, l'équation de FERMAT

(15)

x2 -(n2P -2) y2 = 1, n > 1 ,

est satisfaite par

(15 bis)

x=Ai =n2P -1, y=Bi =ns',

et il résulte, en vertu du théorème I de l'article VII, que

tous les Bn sont divisibles par n v.

Quant aux valeurs fractionnaires de a, on aura par

exemple, en supposant a > 1 ,

(16) Va+ 1 = [1, (2a, 2)1 ,

a

J

et l'équation de FERMAT correspondante, savoi r

2

a 1(17)

x ± -y2 = 1 ,

a

(14)

16 Nr . 1 . NIELs NIELSEN :

est résolue à l'aide des positifs entiers qui satisfont à celle-c i

(a 2 + a) J2 = 1.

Remarquons, en passant, que nous auron s

(19) ,

j/a 2 + a = [a, (2, 2a)] ,

mais que la relation curieuse entre les périodes des deu x

fractions continues (16) et (19) ne correspond à aucune lo i

générale .

Enfin, nous avons à remarquer que nous désignons ,

dans ce qui suit, comme solution triviale de l'équation

de FERMA T

les valeurs

(20)

x = Ao = 1, y = Bo = 0 ,

valeurs qui correspondent, en effet, à l'hypothèse n = 0.

II . Des réduites de la fraction continue .

Revenons maintenant à la fraction continue de LAGRANGE,

écrite sous la forme

x2(18)

x -̀' -ay 2 = ± 1 ,

[a, (al , a 2 , a3 , . . , ank , 2a)] ,(1 )

où n est un positif entier quelconque, nous avons tout

d'abord à étudier plus amplement ses réduite s

g o tli t12

Ynk - 2 Ynk - 1

Zp

Zn

Znk - 2, Znk

. .

A ceL égard, nous introduisons la fraction continue ,

finie et symétrique ,

( 3 )

K = (a , a l, a 25 a3 , .

, ank --1 , a) ,

(2)


1 7

dont les nk premières réduites coïncident avec les nk premiers

des nombres (2), tandis que la dernière réduite de K s e

présente sous la form e

M

a Ynk-1 rt Ynk-- 2(4)

N

a 2nk -1+ znk - 2

ce qui donnera

Ynk-1 = N = aznk-1 H- 2nk-2 ,

car la fraction continue K est symétrique .

Posons ensuit e

Ar, = Ynk -1, Bn = znk - 1

an = Ynk-2, bn = 2nk-2 ,

(5)forme

il résulte la formule générale

(6) An = aBn + bn ,

et le numérateur M de la réduite (4) se présente sous la

lYT = aAn -r an ;

c'est-à-dire que la formule

Mz,,k i N J„k -1 = (- 1nk) - 1

donnera

e

n k(afin + an) B,1

flïx = (-

i1)

,

de sorte que nous aurons la formule, analogue à (6) ,

(7) aBn, = aAn + an •

Cela posé, nous avons à déterminer la réduite à l'indic e

nk de la suite (2) ; il résulte, en vertu de (5) et (6) ,

Ynk = 2 a An + an = a An ± aB n

2nk = 2aBn+ = a B,, H-

ou, ce qui est la même chose,

Ynk - An go + aB„ zo

2nk = Bn yo + An zo ,

Vidensk . selsk . Malh .- fysiske bled d . 1V, 1 .


et la conclusion de m à m + 1 donnera immédiatement le s

formules générales

Ynk-hr = An fr - I a Bn Z,.

Znk+r = Bn ~r ?' An Zr ,

essentielles dans la théorie de l'équation de FERMAT .

Résolvons, par rapport aux nombres q,• et z,., les équa-

tions (8), il résulte les formules inverses

1(8)

f

W h= (- 1) (An~nk+r(8 bis)

nkz,• = (- 1) (AnZnk+r

a Bn. Znk+r)

Bir ~nk+,•) .

Posons ensuite, quel que soit l'indice r ,

2

2

r 1(9)

y,

aZ,• _ (- 1)

w,. ,

il est évident que les w, . sont des positifs entiers, parce que

la suite (2) a la valeur limite Va . Soit particulièrement ,

dans (9), r = nk - 1, on aura toujours, quel que soit n ,

wnk--1 = 1 ,

formule qui n'est qu'un cas particulier du théorème general :

1 . Les positifs entiers w,•, définis par la formul e

(9), sont périodiques, parce que nous aurons, que l

que soit n ,

(10)

wnk+r = w,. .

En effet, on aura, en vertu de (8) ,

2

2

2

2

2

2ÿnk+r - aZnk±r = (An - aBII) (yr - azr) ,

ce qui n'est autre chose que la formule (10) .

Dans l'article qui suit, nous avons à démontrer une

autre propriété` fondamentale des nombres wr que nous

aurons, du reste, à étudier plus amplement dans les article s

IV, VI, XXVI .

Déterminons par exemple les valeurs w nk , nous prenon s

pour point de départ les valeurs

1 9

Un = <nk-2 ,

Recherches sur 1'Ëquation de Fermat .

go - a, r0 = 1 ,

ce qui donnera immédiatemen t

(11 )

wnk = w 0 = a - a 2 ,

ou, ce qui est la même ' chose ,

(11 bis)

ynk - aznk = (- 1) nß` (a 2 - a) .

Étudions encore les nombres an = ynk-2 et

nous aurons, en vertu des formules (6) et (7) ,

abn -an

an - a 17 nA,1 = ----

2 ,Rn - -

a -a

a-a2

et il résulte

(13) an- abn = (-1)nk

(a 2 -a) ,

ce qui donnera la congruence

(14)

an = (- 1)nk a 2 (mod a) ,

que nous avons à appliquer dans l'article VIII, où nou s

nous bornerons à l'étude des nombres an = tjnk-2 , bien que

les yn k satisfassent à la même congruence.

Soit maintenant k = 2, la fraction continue

2 aVa = ,La, (ß, 2a)] =

Yla2

où 2a est supposé divisible par fi, est parmi celles que

P . SEELING 1 à étudiées. Dans ce cas, nous n'avons qu'à

déterminer le seul nombre w 0 , et nous aurons donc

r/

~ a

(16)

y2

2n 1- a 2

2,111

1

y2n - (a' -I ß 22n = - - ,

formules qui sont valables, quel que soit n .

1 Archiv de Grunert, t . 49, p .4-44 ; 1868 .

(12)

(15)

(17)

2t


Appliquons

RR

ensuite les formules récursive s

Y2n-{-1 = N u2n + il2n-1,

"2n+1 = fiz2n + z2n-- l

ÿ2n = a J2n-1 + !2n-2,

Z2n = az2n-1 + z2n-2 ,

il résulte, après un simple calcul

(a2

2a1n YJn1

+

znzn-1 = 1)n a

et l'on voit que le second membre de cette formule est in-

dépendant de ,6 .

Il est évident, du reste, que ces formules spéciales s e

présentent sous une forme élégante pour fi = a, hypothès e

que nous avons à étudier plus amplement dans l'article XIV .

Nous avons encore à étudier cette autre fraction con-

tinue, finie et symétrique ,

(18)

K1 = (ai, aa, a3, . . , ank -2 ank-t) ;

LI1 11 9

unk-2 U nk t

U1 ,i 2 ,

U nk-2 U nk--- 1

(19)

soient

(20)

les réduites de (19), de sorte qu e

(21)

unk2 = Unk-1 ,

nous aurons, quel que soit indice r > 0, pour les réduites (2) ,

(22)

Y, .=

U r

ou, ce qui est la même chose ,

(23)

ÿr = a ul. + vr

zr = ur ;

car les fractions qui figurent, dans (22), sont irréductibles .

Soit maintenant, dans (23), r = nk

1, on aura don c

Bn = unk-1(2)

J

i A n = aunk-l + Unk-1 = a11B + Unk---1 ,


2 1

tandis que l'hypothèse i! = nk - 2 donnera de mêm e

bn = link-2 = Unk-1

an = a bn + Unk-2 .

III . Du calcul des nombres Al et B 1 .

Quant à la détermination des nombres A i et B1 , savoir

les plus petites parmi les solutions de l'équation de FERMAT ,

la formule (6) de l'article précédent donnera la propositio n

curieuse :

1. Le calcul des nombres Al et B 1 exige seule -

ment la 'détermination des dénominateurs de s

réduites de la fraction continue qui représent e

j/a, savoir

(1) ?~, . . ., Zk-2, 2k-1 = B 1 ,

puis on aura

(2) Al = gk-i - a Zl.-1 + 'k-2 .

Considérons par exemple la fraction continu e

V76 = 8, (1, 2, 1, 1, 5, 4, 5, 1, 1, 2, 1, 16)j ,

la suite (1) deviendr a

1, 1, 3, 4, 7, 39, 163, 859, 1017, 1871, 4759, 6630 ,

et nous aurons donc

B1 = 6630

Al = 8 • 6630 + 4759 = 57799 .

Curieusement, la proposition I, que je ne me rappelle

pas avoir vue autrefois, est précisément le noyau de l a

méthode de BROUNCKER, dépouillée de ses énormes calcul s

superflus, nous le verrons dans l'article V .

Il est évident, du reste, que la formule (7) de l'articl e

précédent donnera une proposition analogue à I, savoir :

22 Nr.1 . NIELS NIELSEN :

II. La détermination des nombres A l et Bi exig e

seulement le calcul des numérateurs des réduite s

de la fraction continue qui représente va, savoi r

(3) Jo, Jv J2, •

, 11k-2, Yk-i = :41 ,

puis on aur a

(4) aB 1 = a ÿk-1 + ÿk-2 .

Considérons par exemple la fraction continu e

y86 = 9, (3, 1, 1, 1, 8, 1, 1, . 1, 3, 18)l ,

la suite (3) deviendra

9, 28, 37, 65, 102, 88.1, 983, 1864, 2847, 10405,

et nous aurons don c

A l = 10405

86 B 1 = 9 . 10405 + 2847 = 96492, B 1 = 1122 .

Mais on voit que cette dernière méthode est plus com-

pliquée que la précédente .

Quant au calcul des nombres A l et B 1 , nous avons

encore à appliquer les fondements de la théorie des frac-

tions continues symétriques . '

A cet effet, nous prenons pour point de départ la frac-

tion continue

`5)

Ky - (ar , aa-1 , av- 2 , . . . , CC2 3 C61, IX) ,

où il faut supposer 2v < k ou 2v ± 1 < k, selon que k

est pair ou impair .

Soient ensuite

lo ~11 '12

11-1 'l v

1 Voir par exemple E . LUCAS : Théorie des Nombres, t . I, p . 452-454 ;Paris 1891 .

(6)


2 3

les réduites de K,,, les égalité s

ccl,_, . = ccr,

1

r

k -

donnent immédiatement

l1t-1 = zv , ' v-1 = zv-1

iv- yv,

sv

yv-1 >

tandis que les formules récursives des nombres y,,, et z,,,

donnent

yk-v = av yk-v-1 H - 11k-v-2 = ' 1o yk-v-1 + o yk-v-2

Zk-v = CCv zk-v-1 + Zk-v-

+ zk-v-2

de sorte que la conclusion de in à m 1 conduira im-

médiatement aux formules générale s

y L:-v-i r -zk-v-l-r - r1 r '3k-v-1 + ~,. zk-v

Cela posé, soit particulièrement r = v

1, on aura, en

vertu de (7), et en se rappelant que Al = yk_1 et B 1 = Zk-2 ,

(9) {

tandis que

formule (7 )

(10) {

A l = Zv yk-v-1 + z .Y-i yk v-2

B 1 = zv Zk-v-1 + zv-1 z lc-v-2 ,

l'hypothèse r = v donnera ,

de l'article précédent ,

Al = yv Zk-v-1 + yv-1 zk-v-2

a B1 - yv yk-v-1 +

yk-v-2

de laen vertu

Soit maintenant k un nombre impair, savoir k = 2,w H- 1 ,

les formules (9) et (10) donnent, pour v = w, oû dv ? 1 ,

y2 u = ÿ,u Z!,L + yu-1 zu,-12

z2 = Z2., ± zut-1

az2F,t = yu+ Y2-1

où l'on aura par conséquent

y2u = Al , z2µ, = B1 .(11 bis)

24

Nr. 1 . NIELS NIELSEN :

Désignons maintenant par 2n + 1 un positif entier im -

pair quelconque, il est évident que la fraction continue ,

composée des 217 + 1 premières périodes de la fractio n

continue proposée, conduira à des formules analogues à

(11), où p, est remplacé par 2n,to + p, ce qui donnera le

théorème général :

III . Soit a une base de première espèce, ayan t

le nombre caractéristique 2,cß + 1 > 3, on aura ,

quel que soit l'indice 2n + 1 ,

(12)

A2n+1

J2nLu+n+ ,u z2npa+n+ta Y2n,ca+n+ta-1 Z2n,u+n+ta-12B2n+1 = Z2nta+n+tt ~

2

2

2z2nta+n ~.a-l

aB2n+1

U2nµ+n+,a + U nu+n+tia-l. •

Yi/=

A v + 1, Zv = B,-1-

de sorte que les formules analogues à (11) donnent, pour

une valeur paire de v, savoir en replaçant, dans (11) ,

par v,A9,,±1 = `ln + 1 13 11+1 + AnBn

(12 bis)

B2n+1 = Bn-F1+ Bn

aB 2.+ - An+ + A2n

et l'on aura, dans ce cas ,

a=a'H-1 ,

base que nous avons à étudier plus amplement, dan s

l'article XI .

Etudions maintenant le cas où k est un nombre pair ,

savoir k = 2,u,, les formules (9) et (10) donnent, pou r

v = H~- 1, où il faut supposer a % 2 ,

Dans le cas exclu , t = 0, la fraction continue est de l a

forme a, (2e)], et tous les nombres J„ et z,, sont des A, ,

et Bn, savoir

Recherches sur l ' Équation de Fermat . 25

Y2u-1 = Yp 2y-1 Jw 1 zu,2

(13)

22,n-1 = (2p - 2,U-2) zn-1

a 22p-l. = (y Fc + Jn-2) iy-i '

où l'on aura par conséquen t

(13 bis)

L12u-1 = A l ,

Or, il est évident que les formules (13) sont valable s

pour la fraction continue, composée de n périodes de l a

fraction continue proposée, ce qui donnera cet autre théo-

rème, analogue au précédent :

IV. Soit a une base de seconde espèce, ayant l e

nombre caractéristique 2p, on aur a

A n

Jn ça -fFc-1

t%np-1 Zna-2

(14.)

Bn = ( 2 ntia + 2ny-2) 2nu-1

afin = (ÿnF, + 1Ïn,u-2) Yma-1 '

où il faut supposer n > 1 pour f c > 1, tandis qu e

l'hypothèse i& = 1exige n > 1 .

Remarquons, en passant, que le dernier nombre de la

w 0 , 0 1 , 02 , . . .' wnu--1

est d ' une nature très différente selon que n est pair o u

impair .

En effet, soit tout d'abord n un nombre pair, on aur a

wnp 1 = N-1

1

tandis que l'hypothèse n impair donner a

tune-1 = wu--1 > 1 .

Les formules que nous venons de développer sont cer-

tainement connues, sous une autre forme peut-être, néan-

moins je ne me rappelle pas les avoir vu appliquer dan s

la théorie de l'équation de FERMAT, où elles jouent un rôle

suite

26 Nr . 1 . NIçLS NIF.iSA.N :

essentiel, parce qu'elles permettent d'abréger beaucoup les

calculs nécessaires, afin de déterminer les nombres Al et B1 .

Soit par exemple a = 61, la fraction continue deviendr a

x/61 = [7, (1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14)j ,

de sorte que la base 61 a le nombre caractéristique 11, e t

il faut donc calculer les 6 premières des réduites, afin d e

déterminer Al et B 1 , savoir

7 8 39 125 164 453

1' 1 ' 5 ' 16

21

58

ce qui donnera

Al = 453 48 + 164 . 21 = 29718

B 1 = 58 2 + 21 2 = 3805.

Soit, comme second exemple, a = 94, on aura la frac-

tion continue

J/94 = [9, (1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, .1, 1, 3, 2, 1, 18)] ,

et la base 94 a donc le nombre caractéristique 2,eß = 16 ,

de sorte qu 'il faut calculer les 9 premiers des réduites ,

savoir

9

10 29 97 126 223 1241 1464 12953

T'

1 ' 3 ' 10 ' 13 ' 23 ' 128 ' 151 ' 1336 '

et l'on aura

Al = 12953 . 151 + 1464 . 128 = 214329 5

B 1 = 151 (1336 ± 128) = 221064 .

Revenons maintenant aux formules (9) et (10), afin d e

déterminer, à l'aide de ces deux groupes d'équations, le s

nombres z„ respectivement q,,, nous auron s

( 1)k-" = A l Zk_, 2 - B1 Uk-;-2

(- 1)k-yq„ - aB1 zk -2- A lUk -2

ce qui donnera immédiatement la proposition supplémen-

taire de la proposition I de l 'article précédent :

(15)

2 7Recherches sur l'Équation de Fermat .

V. Les nombres w r qui correspondent à la nièm e

période sont symétriques, savoi r

(16)

wk-r-2 = wr,

0rk 2 .

Cela posé, on voit que les formules (11) et (13) d e

l'article précédent donnent la formule (16) qui correspon d

à r = 0 .

Soit par exemple a = 97, la fraction continue deviendr a

V97 = [9, (1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 18)] ,

de sorte que la base 97 a le nombre caractéristique k = 11 ,

et l'on aura par conséquent à calculer les 5 premières de

ses réduites, savoir

9 10 59 69 128

1 ' 1 ' 6 ' 7 ' 13 'ce qui donnera

wa=w 9 =16, w 1 =ws=3, w2 =w7 =11, w 3 =w~=8 ,

w4 = w5 =9.

Soit, comme second exemple, a = 71, on aura la frac-

tion continue

V71 = [8, (2, 2, 1, 7, 1, 2, 2, 16)] ;

c'est-à-dire que la base 71 a le nombre caractéristiqu e

k = 8 ; il faut donc calculer les 4 premières de ses réduites ,

savoir8 17 42 59

1 ' 2 ' 5 ' 7 'et l'on aura

0o (0s = 7, wl = w5 = 5, w9 = w4 = 11, w~ = 2 .

IV. Des nombres premiers de la forme 4v + 3 .

LEGENDRE 1 a démontré qu'un nombre premier de l a

forme 4v ± 1 est toujours une base de première espèce ,

1 Théorie des Nombres, t . I, p . 65 ; 3 e édition, Paris 1830.

28


théorème que nous aurons à généraliser, en démontran t

par deux méthodes différentes, dans les articles X et XXIII ,

que le nombre a = (4v + 1)24+1 est une base de premièr e

espèce, de sorte que, pour ces valeurs de a, les nombre s

Ben+1 et aB 2 n_j_ 1 sont toujours la somme de deux carrés .

Or, les nombres de la forme a = (4v + 3) 2Q+1 où 4v =, 3

est un nombre premier, conduiront à des propriétés inté-

ressantes des nombres A2,0_1 et Ben+1, mais d 'une nature

différente de celles des Ben+1 du cas précédent .

A cet effet, nous prenons pour point de départ le s

formules (15) de l'article précédent; en supposant k = 2,u ,

nous aurons pour v = p,

1, où nous supposons ,.r > 1 ,

Al zµ-1 - BI ~cc 1=( 1)''-1

a BI zn-1 - A z~FL-1 = (- 1)"`-1

Or, c-1 et zu-1 étant premiers entre eux, la première

de ces formules donnera

BI = ~N t-1 Q t~-1 ,

où Q,tt-1 est un positif entier; on aura du reste, en vert u

des formules (13) de l 'article précédent ,

est-1 = 2ct + Zée-2

Cela posé, la première des formules (1) se présente sou s

la forme

(4) = A I 4- (1)/ I

tandis que la dernière de ces formules deviendra, en vert u

de (2),

(5)2

a0y-1 zIt- 1 = (AI - (- 1)µl yy-1 ,

ce qui donnera

1

(6)

(2 )

(3)

aop-1

6µ-9, 11,ct-1,


2 9

où ~u-1 est un positif entier, de sorte que la formule (5 )

se transforme en celle-ci

(7) dH~1 z ~~.1 = A 1 - (- 1) ,

tandis que la formule .(4) donnera, en vertu de (6) ,

"(8) "-1 J,u-1 = a (A, + (- 1)) .

Éliminons ensuite, des deux dernières formules, le nombre

A l , il résulte

(9) 6'12-1 (y ct-1

e z -1) = (- 1)," 2a


(9 bis) 0-u-1 wp-1 = 2a .

Remarquons encore qu'il résulte, en vertu de (2) et (6) ,

aBl = da-1 !]y-1

tandis que la dernière des formules (13) de l'article précé -

dent donnera, en vertu de (10) ,

(10 )

(10 bis) Giu-a z,u,-1 - il,tit + 9,",+2 '

Il est évident que toutes les formules que nous venon s

de développer sont valables pour une base quelconque d e

seconde espèce .

Soit maintenant

a = (4v + 3)29+1,

e > 0 ,

où 4v + 3 et un nombre premier, il est possible d'appro-

fondir beaucoup les résultats susdits .

A cet effet, supposons tout d'abord que

ne soi t

pas divisible par 4v H- 3, il résulte, en vertu de (9) ,

(11)

dµ-1 = 1 ou dFa -1 = 2 .

Or, il est facile de démontrer que la valeur et -1 = 1

est inadmissible, parce qu'elle donnera, en vertu de (7),

30 Nr. 1 . NIELS Nll3LSEN :

et l'on aura

4i = z, -1 yµ + Z (_2 y F,.-1 > z L-1 + 1 .

Quant à la seconde des valeurs (11), on aura

2

,u =

savoir

(12)

zy-1 2zy-1

=

y,( L-1

(- 1(L~~

Or, nous aurons toujours, abstraction faite du ca s

spécial, v = = 0, a = 3 ,

(13)

y m, > 2z LL >

En effet, remarquons que nous aurons a > 2, al > 1 ,

il résulteyo ° a,

zp = 1, yo > 2zo

yl = aal + 1, z i = al , yl > 2z1 ,

et la conclusion de m à m + 1 conduira immédiatement à

l'inégalité générale (13) ; c'est-à-dire que la formule (12) n e

peut exister, donc la valeur dm,- 1 = 2 n'est pas appliquable .

Cela posé, il est évident que GL-1 est nécessairement

divisible par le nombre premier 4v + 3, savoi r

T(14) ~Ll-1 = (4v + 3) kir,-1 ,

où il faut admettre, en vertu de (9) ,

(14 bis)

kLL-1 = 1 ou /cLC-1 =

2 .

Démontrons maintenant que yß_1 ne peut jamais être

divisible par 4v + 3 . 'En effet, soit

JLL-1 = (4 v + 3)r t1-1 ,

> 0 ,

on aura, en vertu de (3) et (6) ,

(15) yµ-1 = a (zLL -I- " 2)

ce qui donnera


3 1

(4v + 3)(T+T

= (4v + 3)20+1(zß+ zp_2) ,

de sorte qu ' il faut suppose r

(16)

rr -{- z > 2 n J- 1 ,

parce que nous ne savons pas dès à présent si z m + ßu__ 2est divisible par 4v

3 ou non.

Introduisons maintenant, dans (9), les expressions su s

il résulte

((4v +. 3)2' t2. .-F1 _(4v + 3)2Q+12 )

N~.-1

= (-- 1)"2 (4v ± 3)2+1

Or, il est facile de voir que cette équation est inadmis-

sible, parce que le premier membre est divisible par un e

puissance de 4v + 3 plus élévée que celle qui divise l e

second membre. En effet, l'exposant de cette puissance

de "4v-+ 3 deviendra ou a ± 2a ou 2 -I- 2 QO + 1, selon que

Q ou a >

Cela posé, il est évident que p ,, i_1 ne peut jamais êtr e

divisible par 4v + 3, et l'on aura donc, en vertu de (9) ,

T = 20 +

ce qui donnera, en vertu de (14) ,

(18)

~cc-1 = a ou uu-1 = 2a .

Or, la dernière de ces deux valeurs est inadmissible ,

parce qu'elle donnera, en vertu de (9) ,

2

2 -az d _ i = (-- 0" ,ce qui exige nécessairement que soit un nombre pair, ca r

a est une base de seconde espèce, mais on aura Al >

et A l et B l sont les plus petites solutions de l'équation d e

FERMAT en question. C'est-à-dire qu'il ne nous reste qu e

la valeur rhi_1 = a, ce qui donnera

dites de aux 1 et de

1 (4v + 3)Tk~,,-1(17)

32

Nr . 1 . NIELs NIELSEN :

1i,Ca-7 = 2,u -~-- zy-2

tl,u -i- 11,u-2

1~-u =

-f- (1) 1 `2 ,

savoir

(20)

= 2 ;

de plus, on aura, pour les nombres A I et B I ,u

(21) 1

A i = u2-1 - (- 1

)l

&I =

Z11_1 .

Dans ces développements, nous avons supposé te, > 1 ,

de sorte qu'il nous reste à considérer le cas spécial ,u = 1 ,

ce qui nous conduira à la fraction continue (15) de l'articl e

II, et nous aurons par conséquent

2 aa = a- -; -

où 2a est divisible par fi .

Cela posé, soit ce = k,ß ou a = 2k,ß, on aura respective -

ment

a = k(k,ß 2 + 2), a = 4k(kß2 -I- 1) ,

et il est évident que ces deux nombres ne sont ni un

premier ni une puissance d'un premier, à moins que k = 1 ,

ce qui donnera

a = /12-+- 2, a = 4,32 -{- 4 ,

et, le second de ces

N

nombres n'étant jamais une puissanc e

de 4v + 3, il nous reste seulement à considérer le premier .

La fraction continue correspondante, savoi r

V/32 2 = [Ø, (R, 23)] ,

donnera immédiatement

= N, z0 = 1 ; Y1 = AI = /3 2 + 1,

= B L = fi ,

de sorte que les formules (20) et (21) sont valables auss i

dans ce cas, quel que soit le nombre Q2 + 2, premier ou non .


3 3

De plus, il est évident que le cas a = 3, exclu dans l a

démonstration de l'inégalité (13), est contenu dans la form e

,82 + 2, savoir pour ,8 = 1 ; c'est-à-dire que les formule s

(20) et (21) sont valables, quel que soit le nombre premie r

4v + 3, savoir quel que soit le positif entier ,w.

Quant à la dernière des formules (19), remarquons, ave c

LEGENDRE 1 , que les nombres yu-1 et zu-1 sont tous deux

impairs, et que le premier membre de la formule susdit e

est de la forme 8w- 2 ou 8w+ 2, selon que v est pair ou

impair, savoir a = 8i + 3 respectivement a = 8z- + 7, c e

qui donnera la proposition curieuse que je ne me rappell e

pas avoir vue autrefois :

1 . Soit 4v + 3 un nombre premier, et soit 2,w l e

nombre caractéristique de la bas e

(22) .

a = (4v + 3)29+1 P~ O ,

,w et v sont toujours de différente parité, de sorte

que ,w + v est un nombre impair .

Cela posé, je dis que les formules que nous venons de

développer donnent les deux théorèmes suivants :

II . Soit 2,w le nombre caractéristique de l a

base a = (4v + 3)29+1 , où 4v + 3 est un nombre

premier, on aura, quel que soit n ,

2

yAgn+1 = U2nu+u-1 -h (` 1 )

B2n+1 = J2nu+,u-1 2 2nFa+u-1 •

En effet, on voit que les deux formules en questio n

sont vraies pour n = O. De plus, les formules récursive s

de LAGRANGE, que nous avons à étudier plus amplement

dans l'article VII, donnent, en vertu de (21) ,

Théorie des Nombres, t. 1, p . 66 ; 3 e édition, Paris 1830 .

Vidensk . Selsk . Msth.- fysiske Medd . IV, 1 . 3

34 Nr. 1 . NIELS NIELSEN :

A2n+1 = A2n (J p2-1 + (- 1)v)

+ aB2n JLt-1 zu-1

B2n+1 = A2n Ja-1 z,-1 + B2n (J ,2u-1 + (- 1y') ,

tandis que nous aurons, en vertu des formules générale s

(8) de l'article II ,

J2n,u+p-1 = An up„-1 + aBn zl.-1

z2nAu+p-1 = Bn JFc-1 + An zIÅ-1 .

Introduisons maintenant, dans (23), ces expressions, puis

appliquons les formules

A2n = A2n + aBn , B2n = 2 A nBn ,

conséquences immédiates des formules récursives de LA -

GRANGE, la vérification des formules en question est faite .

De plus, les formules (24) donnent immédiatement, en

vertu de (19), le second des théorèmes susdits, savoir :

III . Soit 2,w le nombre caractéristique de la bas e

a = (4v + 3)20+1 , où 4v + 3 est un nombre premier ,

on aura, quel que soit n ,

J2nu+p-1 - az2nFt+Ft_1 = (- 1)v-1 2

( 25 )

J2np+,u-1 = z2np+p + z2nu+,u-2az2n,u+m_1 = 12nu+,u + Y2np+,u-2 •

Dans l'article XXIII, nous avons à revenir, d'un autr e

point de vue, aux formules (23) .

Quant à la dernière des formules (19), nous avon s

encore à démontrer la proposition :

IV. Soit a = (4v + 3)2P+1 , où 4v + 3 est un nombr e

premier, l'équation indéterminé e

(26)

xL - ay 2 = (- 1)'` 2

n'est jamais résoluble en positifs entiers, å moin s

que p, et v ne soient de différente parité ; dans ce cas ,

la solution complète de l'équation susdite deviendra

Recherches sur l ' Équation de Fermat .

35

(27)

x = J2nµ+,u-i' Y = Z2nµ-E-µ-l '

La partie de la proposition qui concerne les nombres p,

et v est évidente . Supposons ensuite résoluble en positifs

entiers l 'équation (26), puis désignons par u, v une solution

quelconque, les deux nombres u et v sont nécessairement

tous deux impairs . Posons ensuit e

(28)

= u 2 - (- 1)'`,

= uv ,

un calcul direct donnera, en vertu de (26),

a, 2 = 1 ,

de sorte que nous auron s

A2n {-1 ey1 = B2rz+ 1

car i est un nombre impair, et les B = 2AnBn sont des

nombres pairs .

Cela posé, nous aurons, en vertu de (23) ,

J 2nµ+µ-i (- 1)~ , r] = J2nµ+µ-1 Z 2nu+,u-1 ,

donc les formules (28) donnent

J2nµ+µ-1 ,

= 22n,u+ 12-1 e

savoir les expressions (27) .

V . De la méthode de Brouncker .

Quant à la première méthode appliquée pour résoudre

l'équation de FERMAT, savoir la méthode de BROUNCKER ,

rédigée et publiée par WALLis I , mais faussement attribuée

à PELL, d'après une remarque erronée d'EULER 2 , on lit

par exemple dans les Cours de LEJEUNE DIRICHLET 5 .

1 Commercium epistolicum, Londres 1658 .

2 Algebra, t . II, p .242, herausgegeben von J . P . GRUsox ; Berlin 1797 .Voir aussi G . WERTHEIM : Anfangsgründe der Zahlenlehre, p . 402 ; Bruns -wick 1902.

Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von R. DEDEKIND,

3 e édition ; p . 200 ; Brunswick 1879 .

(29)

3'.


» . . . allein obwohl seine Methode [la méthode de

BROUNCKER faussement attribuée à PELL] die Lösung in

jedem Falle wirklich giebt, so lag doch in ihr nicht de r

Nachweis, dass sie immer zum Ziele führen muss . «

De même, WERTHEIM 1 dit :

. . . [la méthode de BROUNCKER] hat nicht nur den

Nachteil, höchst umständlich zu sein, sondern sie lässt auch

nicht erkennen, dass die Aufgabe immer möglich ist . «

Ces remarques amènent tout naturellement le lecteur à

se demander quelle est donc la nature cachée et énigmatiqu e

de cette méthode compliquée . Or, EuLER ayant développé

très nettement la méthode susdite, il est possible de donner

une réponse complète à une telle question .

A cet effet, soit a la base en question, et soit k son

nombre

/

caractéristique, nous posons

(1 )

y a = [a, (al , a S , a 3 ,

av-1, 2a) ,

où il faut admettre v = k ou v = 2k, selon que k est pair

ou impair ; c'est-à-dire que v est toujours un nombre pair .

De plus, nous désignons par

!Io iJi LJ2

LJv-2 LIv- iZo

%1

Z2

'

zv-2 zv-1

les v premières réduites de la fraction continue (1), de

sorte que nous aurons

(3)Al _

Jv-1 , B3= z,.-I.

A 2 - lv-1 , B2 = Z„-1 ,

selon que k est pair ou impair .

Ces définitions adoptées, je dis que :

1. La méthode de Brouncker pour résoudr e

l ' équation de FERMA T

(4) x 2 - ay2 = 1

Anfangsgründe der Zahlenlehre, p . 219 ; Brunswick 1902 .

(2)

Recherches sur 1' Équation de Fermat.

3 7

n'est, du point de vue pratique, qu'un calcul suc-

cessif et extrêmement compliqué des dénomina-

teurs Zr des réduites (2), d'après les formules ré -

cursive s

(5)

Zr = arzr-i + .Z,.___2 ,

0 < r < v - 1 ,

puis ~Jv-1 se détermine, en vertu de la formul e

yv-1 = a Zy-i ?- z v-2 ;

c'est-à-dire que la méthode de Brouncker est ,

d'un point de vue pratique, l'établissement mas-

qué et énormément compliqué de la fraction con-

tinue de LAGRANGE. Mais d'un point de vue théo-

rique, la méthode de Brouncker présente d' autre s

difficultés considérables .

Or, il n ' est pas . possible de démontrer, d'un point de

vue général, ce postulat, parce que le procédé de BROUNCRER

n 'est pas une méthode générale .

En effet, EULER ' dit expressément :

»Diese [la méthode de BROUNCRER, faussement attribué e

à PELL] ist aber nicht so beschaffen, dass sie auf eine all -

gemeine Art für eine jede Zahl a, sondern nur für eine n

jeden Fall besonders gebraucht werden kann . «

Cela posé, il ne nous reste donc qu'à examiner quelques -

uns des exemples considères par EDLER, et, afin de mettre en

pleine lumière la vraie nature de la méthode de BROUNCKER,

nous coordonnons les racines carrées, appliquées par EuLER,

et les expressions correspondantes de yr , savoir

(7 )

tJr = Vais-(- j r)cor , .0<r <v-1 ,tirées directement de . la définition des nombres cor , savoir

la formule (9) de l'article II .

(6)

1 Algebra, herausgegeben von J . P . GRCsoN, t. II, p . 242 ; Berlin 1797 .


Exemple I .

a = 6, v = k = 2 .

Dans ce cas, la fraction continue et ses deux première s

réduites deviennentr

V6 = [ 2 , (2 , 4)1,

,

,

et l'on aura, d'après EuLER ,

m 2 = 6n2 + 1, m > 2n, m = 2n + p ,

d'où, en éliminant in, puis cherchant n de l ' équation quadra-

tique ainsi obtenue ,

2p+V6p 2 - 211 =

, go = 1/64 2 ,

ce qui donnera n > 2p, savoir n = 2p + q, d'où il résulte,

en éliminant n, puis cherchant p de l'équation quadratique

ainsi obtenue,

p= 2q L V6g2 +-1 ,

où la racine carrée est de la même forme que celle obtenu e

pour m, savoir

m = v6n2 + 1 .

Posons ensuite q = 0, nous aurons successivemen t

p = 1, n = 2, m=5 .

Exemple H .

a = 7, v = k = 4 ,

ce qui donnera la fraction continue et ses 4 première s

réduites2 3 5 8

V7 = [2, (1, 1, 1,4)], 1, 1 ,

Posons ensuite avec EULE R

rn 2 = 7n2 + 1, rn > 2n, m = 2n -F- p ,

nous aurons, par le procédé indiqué dans l'exemple I ,

n =2p

3

7P2- 3 , g2 = 1/74-3 ;

,2

Recherches sur l'Équation de Fermat . 39

n >p,

n = p + q

pq+V7g2+2

V7z2

=

za --2 ;q i

p>q, p = q + rr + V7r 2 - 3

q = 3

,

go = 1/ 74 -3;

q > r, q = r±s, r = 2s+V7s 2 + 1 ,

où la racine carrée est de la même forme que celle ob -

tenue pour in, savoir

In = V7n 2 +1.

Soit donc s = 0, on aura successivement

r=1, q=1, p=2, n=3, m=S.

Quant à la méthode ainsi expliquée, EULER' fait la

remarque caractéristique :

»Bisweilen gelangt man bald zu seinem Zweck, bisweile n

aber werden dazu viele Operationen erfordert, , nach Be-

schaffenheit der Zahl a, wovon man doch keine gewisse

Kennzeichen angeben kann . Bis zu der Zahl 13 geht es

noch ziemlich schnell ; kämmt man aber zu dem Falle ,

wo a = 13, so wird die Rechnung viel weitläufiger, un d

daher wird es gut seyn, diesen Fall genauer zu betrachten . «

Cela posé, il nous semble utile de donner un aperçu de

la résolution, d'après la méthode de BROUNCEER, de l'équa-

tion de FERMAT qui correspond à a = 13.

Exemple III . a = 13, k = 5, v = 2k = 10 .

La fraction continue correspondante

V13 = [3, (1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6) ]

a les 10 premières réduites

i Algebra, herausgegeben von J P . GnvsoN, t . II, p . 246 ; Berlin 1797 .

(8) 3

4

7 11 18 119 137 256 393 6491 ' 1 ' 2 ' 3 ' 5 ' 33 ' 38 ' 71 ' 109 ' 180 '

40


Posons maintenant, avec EULE R

m = 13n 2 + 1, m > 3n, m = 3n +p ,

nous aurons, comme dans les deux exemples précédents ,

=3p + V13p2-

4m= 3n+p, n

y 8 =V134- 4

q + U13q2 + 33

_ 2r +v13r2- 33

s+ V13s2 -E- 4

4

y7 = 1/13z ; -I- 3

y s = 034- 3

y 5 = V134 + 4r =

r= s + t,

s = 3t -{-j/13t2 -1 ,

s= 6t+ u, t =

t = u + v,

3u -i-y13u 2 + 4

v--+ V 13v 2 - 3u _ 3

g4 =V13z4- 1

ys = v 13z3 -{- 4

y 2 = V134 3

4

2x + v 13x 2 + 3u = v+ x, V = 3

' y i = V16z;+ 3

v =x-j-y,g+v13y"4

go = V164 - 4x =4

x = y -f- z, y =3z +V13z'-; - 1 .

Ayant ainsi obtenu une racine carrée de la même forme

que celle qui représente rn, savoir V13n 2 + 1, nous posons

z = 0, et nous trouvons successivemen t

y=1, x=1, v=2, u = 3, t=5,. s = 33, r=38, q = 71 ,

.p=109, n-180, m=649,

Recherches sur l ' Équation de Fermat.

4 1

savoir les dénominateurs des réduites (8) et le numérateu r

de la dernière .

De plus, on voit que les relations rationnelles établie s

entre les m, n, p, q etc., ne sont autre chose que les for -

mules récursives (5), appliquées aux dénominateurs de s

réduites (8), suppléées par la formule (6) correspondante .

On voit, du reste, que les exemples a = 7, a = 13 son t

peu caractéristiques, à cause des nombreux nombres 1 dans

les périodes, mais EULER n'en donne pas d'autres plus carac-

téristiques, et il sauté aux yeux que ces exemples confir -

ment parfaitement notre postulat concernant la méthod e

de BROUNCKER .

Remarquons que cette méthode donne dans l'ordre in -

verse les formules récursives (5) et par conséquent aussi

les dénominateurs z, ., mais ce renversement ne joue aucun

rôle pour la fraction continue, parc& que sa période est

symétrique .

Revenons maintenant au cas a = 13 ; EULER poursuit

ses calculs sans s'arrêter à la relation curieus e

s = 3t-}-j/13t 2 -1, y4-13z4 = -1 ,

savoir à la résolution de l'équation indéterminé e

x e - 13y 2 = - 1 ,

ce qui s'accorde bien avec le fait que les équation s

x 2- ay e = - 1

sont restées complètement inaperçues jusqu ' à ce que LA -

GRANGE a donné sa résolution ingénieuse de l'équation d e

FERMAT .

Remarquons encore que le cas a = 13 donne des rela-

tions de la forme

W r zr+1 = pr is + yr '(9 )


où les pr sont . des positifs entiers que nous avons à étudier

dans l'article qui suit . De plus, les formules en question

montrent une périodicité des nombres pr , analogue à celle

que nous avons établie, dans l'article II, pour les o, ..

Revenons maintenant à la méthode de BROUNCKER.

EULER 1, ayant terminé les longs calculs exigés par

a = 13, remarque :

»Aus diesem Beyspiele sieht man deutlich, wie weit -

läufig eine solche Rechnung werden könne. Denn unter

den grösseren Zahlen muss man oft wohl zehn mal mehr

Operationen machen, als hier bey der Zahl 13 vorgekomme n

sind : man kann auch nicht wohl voraus sehen, bey wel-

chen Zahlen so grosse Mühe erfordert wird . «

Oui, les manques fondamentaux de la méthode de

BROUNCKER sont évidents . En effet, du point de vue théo-

rique, la méthode étant complètement heuristique, elle ne

peut donner aucune démonstration générale de 'l'existence

des positifs entiers qui satisfont à l'équation correspon-

dante de FERMAT. Mais, de plus, la méthode de BROUNCKER

exige la connaissance des nombres co,. et pr , étrangers à

la méthode de LAGRANGE . Or, cette dernière méthode fondée ,

c'est-à-dire l'existence des solutions de l 'équation de FERMAT

établie, la méthode de BROUNCKER nous permet une étude

plus approfondie de la fraction continue de LAGRANGE ,

nous le verrons dans l'article qui suit .

En second lieu, du point de vue pratique, la méthode de

BROUNCKER est énormément compliquée, comme le montr e

clairement le cas a = 13 qui exige, en effet, 10 évaluations

numériques pour déterminer les ar , 9 éliminations et 9 résolu -

tions d'une équation quadratique pour déterminer les valeur s

A 2 = 649, B2 = 180 .

1 Algebra, herausgegeben von J . P . GRiiiSON, t. II, p . 249 ; Berlin 1797 .

Recherches zur l'Équation de Fermat .

43

Quant à la méthode de LAGRANGE, elle exige seulemen t

le calcul des trois premières des réduites (8), parce que les

formules (12) de l'article III donnent

B 1 =z4 = 2 2 +1 2= 5

Al = U4 = 7 . 2 + 4 . 1 = 18 ,

et nous aurons donc, en vertu des formules récursives d e

LAGRANGE, que nous avons à étudier, dans l'article VII,

An = 2AT + 1 = 649

B2 = 2A 1 B 1 = 180 .

VI . Des nombres wr et pr .

Revenons maintenant aux positifs entiers pr , défini s

heuristiquement par la formule (9) de l'article précédent ,

savoir

(1) w rzr+1 = przr + Ur

A cet effet, supposons vraie cette formule, puis appli-

quons la définition des nombres w r , indiquée par la for -

mule (9) de l'article II, savoi r

(2) yr az,. = (-- 1)r-1 wr ,

nous aurons

zr+1 (y,. - azr) = (- 1)r-1 (pr zr + Jr)

ou, ce qui est la même chos e

r (Jr zr+1 + (` 1)r ) = z,. (azr zr+1-(- 1)r pr) .

Appliquons ensuite l'équation, fondamentale dans la

théorie des fractions continues ,

(3) Ur zr+1 - zr Ur+1 = (- 1 ) r+1

il résulte, après un simple calcul,

r+ 1Yr Jr+1 Qzr zr+1 = (- 1) pr •(4)


Inversement, définissons, par la formule (4), la suite

des nombres pi., puis cherchons, de (3) et (4), les valeurs

de Jr+1 et de zr+1, nous trouvons, outre la formule (1) ,

cette autre formule analogue à (1 )

w r 9r+1 = Pr 9r + aZr ,

de sorte qu'il ne nous reste qu'à démontrer que les nom-

bres entiers pr sont toujours positifs .

A cet effet; nous avons tout d'abord à démontrer deu x

propriétés des nombres entiers pr , définis par la formule

(4), savoir :

I . Les nombres 'Jr sont périodiques, parce qu e

Pnk+r = Pr, 0< r< k- 3 ,

et les nombres pr qui appartiennent à la mêm e

période sont symétriques, ca r

(7 )

Pk-r-3

Pr, Ork-3.

En effet, la formule (6) est une conséquence immédiate

des formules générales (8) de l'article II, tandis . que la

formule (7) provient directement des formules (15) de l'article

III, de sorte que la démonstration des formules (6) et (7 )

est parfaitement analogue à la démonstration des formule s

correspondantes pour les co r.

Cela posé, il nous reste seulement à démontrer que le s

per sont toujours positifs . En effet, soit, dans (6), n = 1

et k et r des nombres impairs, il est évident que k + r

est pair . De même, soit, dans (7), k pair et r impair, le

nombre k r - 3 est pair.

Démontrons maintenant que les pli. sont toujours positifs .

A cet effet, nous posons, quel que soit l'indice r ,

J2r

J2r-{-1

' /- VT- E2 i .,

= V a + E2r+1 ,Z2r

Z2r+ 1

(5 )

(6)


45

les nombres irrationnels E2r et E2r+1 sont tous deux positifs,

et nous aurons, en outre, E 2r > E2r+1• Multiplions maintenant

les deux formules susdites, il résult e

tJ2r L/2r +1- a = - (E2

z2r z2r+182r+1) Va - E2r E2r +1 < 0 ,

ou, ce qui est la même chose, les P2r sont toujours positifs .

Or, l'existence des formules heuristiques (1) et (5) étan t

ainsi rigoureusement établie, les formules (2) et (4) montren t

clairement l'analogie des deux suites formées des nombre s

cor et des nombres pr .

Quant au nombre pk-2 , qui ne figure pas dans la for -

mule (7), les équations (6) et (7) de l'article II, savoir

Uk-1 = a Zk-1 + Zk-2 , azk-1 = R IIk-1 + 11k-2 ,


(8)

Pk-2

= résultat qui est intéressant, nous le verrons clans ce qui suit .

Les nombres wr et pr , introduits par la méthode de BROUN-

CKER, jouent un rôle intéressant dans la théorie de la fractio n

continue de LAGRANGE . Or, pour mettre en pleine lumière

les propriétés fondamentales des nombres susdits, nou s

avons tout d 'abord à démontrer la proposition :

II . Soit a une base quelconque, les deux valeur s

a = 3 et a = 8 seulement exceptées, on aura tou-

jours, quel que soit r,a

wr < 2 .

On aura, en effet, en vertu de la définition de wr ,

savoir . la formule (2) ,

(9)

wr=

zr

ce qui donnera

Yr

2

2p r +l

1

zr_

zr~_ 1

<


I

g rzr+1 +zr ~r+1

2 11r+ 1wr <

2

<zr+1

zr+ 1

De plus, nous aurons évidemment

ZJr+l

1

1

1<Va -}- Va + - - < Va + -

z r+1

zr+1 zr-1-2

zr--2

2 '

ce qui donnera4_ 1_ 1

co r <

- < 2 J/ ' ± 1 ,zr+ 1

donc nous aurons certainemen t

awr <

2

pourvu que

2 Va+ 1< 2' a >4 Va+ 2 ,

ou, ce qui est

'l!a

même chose,

( V a-2)2 > 6, Va-2 > V6 ,

savoir

a > 10 + 4 l/6 ,

ce qui a certainement lieu pour a > 20, car 2 V6 < 5.

Cela posé, il s'agit seulement des onze nombre s

(10)

3, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19 ,

car les nombres 2, 5, 10, 17, étant de la forme a2 + 1, ne

donnent aucun nombre co r outre wo = 1 .

Quant aux sept des nombres (10), savoir

(11)

3, 6, 8, 11, 12, 15, 18 ,

ils sont contenus dans les expression s

a2 1, a2 +2, a2 +a ,

et les périodes des fractions continues correspondantes n e

contiennent que deux nombres, de sorte qu'il s'agit seule -

ment du nombre wo qui a les valeurs correspondantes


47

(11 bis)

2, 2, 4, 2, 3, 6, 2 .

De plus, les nombres 7 et 14 sont de la forme a2 - 2,

et la fraction continue correspondante, savoi r

Vat -2

[a-1,(1, cc-2, 1, 2a- 2)1, a > 3 ,

a les deux premières réduite s

cc1

a1

'

1 'ce qui donnera

w0 =co 2 =2a-3, w 1 =2 ,

et l'on aura, pour a > 3 ,

a2 -2>4a 6, a2 - 4a±4>0 ; a2 >4.

Cela posé, il ne nous reste que les deux nombres 13 et

19, et la fraction continue

j/13 = [3, (1, 1, 1, 1, 6) ]

donneraw 0 = wß = 4, w 1 = w 2 = 3 ,

tandis que nous aurons

j/19 = [4, (2, 1, 3, 1, 2, 8)] ,

et les valeurs de co,. deviennent

w0 = w 4 = 3, w 2 = 2, col = co, = 5 .

Ces calculs faits, on voit, en vertu de (11) et (11 bis) ,

que les nombres (10) donnent seulement deux exceptions

de l'inégalité (9), savoir a = 3, w 0 = 2 et a = 8, w 0 = 4 .

L'inégalité fondamentale (9) ainsi établie, nous avons à

revenir aux nombres pr.

A cet effet, multiplions par azr+i, respectivement par

r+1 les formules (1) et (5), puis soustrayons les deu x

équations ainsi obtenues, nous aurons la formule curieus e

(12)

w r wr+. -1 = a-pr,

48


ce qui donnera, quel que soit l'indice r,

(13) Pr < Va ,et nous avons donc la proposition :

III . Soit a une base quelconque, on aura tou-

jours, quel que soit l'indice r ,

(14 )

Pr

a .

Quant à ce dernier résultat, la formule (8) montre qu e

pr peut avoir la valeur maximum a.

En second lieu, éliminons de (1) et (5) et de l'expres-

sion de wr+1 les yr+1 et les zr+1 , en appliquant les formules

récursives ordinaires, nous aurons respectivement

Pr -~- Pr-1 = ar wr

cor-I-1

= Za r pr-1 - ar2 wr ,

d'où il résulte, en éliminant w r ,

(17)

wr+1 - wr`i = a r (Pr---i - Pr) .

Appliquons maintenant les inégalités (14), puis remar-

quons que w r > 2, nous aurons la proposition :

IV. Soit k le nombre caractéristique de la bas e

a, on aura, dans la fraction continue, infinie et

périodique ,

Va = [a, (a 1 , a9, a3 , . . , ak-2, ak-1 , 2a)] ,

constammen t

(18)

ar < a, 1

r < k-1 .

Revenons encore une fois å la définition des co r , savoir

la formule (2), puis appliquons la formule (16) de l'articl e

III, nous aurons la proposition curieuse :

V. Soit a une base de première espèce ayant l e

nombre caractéristique k > 1, on aura constam -

men t

(15)

(16)


49

(19) ÿo + J 1 + ÿ' 2 -{- . . . + ÿk,_2 = a (4; + zi + .ZZ + . . . + z2_2) .

Soit, au contraire, la base a de seconde espèce, ayant l e

nombre caractéristique k = 2µ, on aura, en vertu de (2) ,

r= y-2

r =,u-2

r = y-2

(20)

7ur - a

-7z2r = (- 1)uwl~-1 + 2

_ 1 )r+1o) r ,

r= 0

où il faut supposer naturellement p, > 2, tandis que l'o n

aura, pour iu -- 1,

tg- aza = - cw0 .

Quant à la différence qui figure au premier membre d e

(20), je ne me rappelle pas avoir vu un seul cas, où elle

est positif ou zéro, mais j'ignore complètement les pro-

priétés générales de celle différence.

(20 bis)

Vidensk, Selsk . Math : fysiske Medd. IV, 1 .

4


CHAPITRE II

Propriétés générales des solutions.

VII . Formules d'addition et formules logarithmiques .

Revenons maintenant aux formules (8) et (8 bis) de

l'article II, savoir les formules récursive s

~

~nk+r = An ur + aBnzr

znk+r = Anzr + B. ur

et les formules inverses

r(2)

{Il

1Jr = (l- 1 )nk

lAn Jnk+r -aBn znk+r )

zr = (- 1)nk(An znk+r - B. Ynk+r)

il est évident que les formules (1) permettent de déterminer

les numérateurs et les dénominateurs appartenant à un e

période quelconque de la fraction continu e

(3) 1/a = [a, (a 1 , a2 , aS,

ak-i, 2a)] ,

où k est le nombre caractéristique de la base a, pourvu

que les nombres susdits, appartenant à la première période,

et les solutions An et Bn de l'équation correspondante d e

FERMAT soient connus .

Soit maintenant r = pk - 1, où p est un positif entier

quelconque, on aura les formules récursives, dues à LA -

GRANGE 1,

An+p = An Ap H- aBn Bp

Bn+p = An Bp T Bn Ap

1 Mémoires de l'Académie de Berlin 1767, p .174-176 (1769) .

( 1 )

(4)


5 1


Ap = (- 1)nk (An An+p- aBn Bn+p)Bp = (- 1)nk (AnBn+p -BnAn+ ,

tandis que l'hypothèse r = pk- 2 donnera

an+p = A n ap + aBnbp

1)n+p = An bp + Bn ap


ap = (- 1)nk (An an+p - aBn bn+p)b p = (- 1)nk (An bn

+p - B. an+p ) •

Cela posé, les formules (4) donnent immédiatement, pa r

la conclusion de m à rn + 1, ces autres formules générales ,

également dues à LAGRANGE 1,

(8)

(Ar ± V a Br)n = Anr ± V Bnr ,

savoir

Anr

2

(A r + Va Br)n - (A r- j1u Bry nBnr = ;

2 l/a

de plus, on aura, en appliquant la formule binomiale ,

(5 )

(6)

(7)

(Ar + V a Br)n + (Ar- y a Br)n

(9 )

(10)

Bnr

C 2

C n-1= 2

\ 1 ( n

2s + 1,An-2s -1B

r2s +1 as

r

Or, ces deux dernières formules donnent immédiatement

1 Loc . cit. pp. 220, 229 .

4*


deux propositions qui sont essentielles dans les recherche s

qui nous occupent ici, savoir :

L Soit r et n des positifs entiers quelconques ,

Bnm. est toujours divisible par Br .

II . Tous les nombres A2nr-+ sont divisibles par

Ar , tandis que A2nr est toujours premier avec Ar .On voit que le théorème I et la première partie du théo-

rème II sont des conséquences immédiates des formules (10) .

Quant aux nombres A2nr , on aura, en vertu de la premièr e

des formules (10), une expression de la form e

A 2nI = KAT + anB2n ,où K est un positif entier, et la formul e

Ar- aBr ( 1) rk

montre clairement que Ar est premier et avec a et avec Br .

Soit particulièrement r = 1, on voit que Bn est toujours

divisible par B1 , et que A271+1 est toujours divisible par A1 .

De plus, il est évident que les deux théorèmes susdit s

sont valables, quels que soient, dans (8), les positifs entier s "

Ar et Br.

La publication la plus ancienne, où je me rappelle avoi r

vu le théorème I, est de GENOCCHI 1 , mais, chose curieuse ,

dans l '»Lducational Times« on a proposé de démontrer qu e

les B2n sont divisibles" par B1 , et les B2n+1 ?Posons maintenant, dans (4), p = n, il résulte

(12)

Ag n = An -j-- aBR, B2n = 2An Bn ,

d'où, en vertu de (11) ,

(13)

A 2n = 2A 2,, (--1)nk = 2aBn+(-1)nk ,

ce qui donnera

' Annali di Mathematica (2) t . 2, p . 256-257 ; 1868 .

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t. 7 (1875), p . 96 .

(11)


5 3

(14) Agn+

1)nk = 2A 2,, , A gn- (-- 1)nk = 2aB2,, .

Cela posé, soit a une base de première espèce, il résulte,

en vertu de (12) et (13), que les plus petites solutions, xi

et gi , de l'équation

x2 -ary2 = 1 ,

savoir A 2 et B2 , se présentent nécessairement sous la forme

xi = 2n2 +1, Ji =2nr.

Or, M. B . NIEWENGLOUSI{I 1 a démontré que cette condi-

tion nécessaire est suffisante aussi, afin que a soit une bas e

de première espèce, savoir que l'équatio n

x2 -ag2 = - 1


Revenons maintenant aux formules (1), puis remplaçons

n par 2n, il résulte, en vertu de la première des formules (14) ,

y2nk+r (- 1)nk i]r = 2 An yr + 2 aAn Bn Zr

Znk+r+(-1)nk Zr = 2A2nZr+ 2An BnUr ,

ce qui donnera immédiatemen t

I12nk+r + (- 1)nk Jr = 2 An Uni< +r

(15)

Z2nk+r + (` 1)nk Zr = 2 A n Z nk+ r

et l'on aura, en vertu de la dernière des formules (14), ces

deux équations analogues aux précédente s

n kZ2nk+r - (- 1) L)r = 2 a B n Znk+ r

(16)

Z2nk-+ - (- 1)nkZr = 2 B. Unk+r .

Cela posé, appliquons la proposition I, il résulte, e n

vertu de la première des formules (16), cette autre pro -

position :

1 Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 35, p. 126-131 ;

1907 .


III . Soit r un indice quelconque, on aura tou-

jour s

(27)

y2nk+r = (-1)nk Ur (mod 2 a B1 ) .

Soit maintenant, dans les formules (15) et (16), r = pk-1,

il résulte

A2n+p i- ( 1) nk A p = 2An A n +p

-82n+p + (- On' Bp = 2 An Bn + p

A 2n I-p - ( 1)nk Ap - 2aBnBn+p

B2n+p

(-1)nk

Bp = 2B,, An+p ,

tandis que l'hypothèse r = pk -- 2 donnera de mêm e

a2n+p + (- 1)nk ap = 2 An an+p

b 2 n-p H- ( 1)n k bp = 2An bn+p

a 211 +p - (- 1)nk ap = 2 a Bn b n + pnk

b2n+p ( 1) bp = 2Bnan+p '

On voit que l'analogie entre les formules développées ,

pour les An et les Bn , et les formules fondamentales de l a

Trigonométrie est parfaite .

En effet, les formules (4) et (5) correspondent aux for -

mules d'addition de cos (x ± y) et de sin (x ± y) ; de même,

la formule (8) correspond à la formule de MorvRE, tandi s

que les formules (18) et (19) sont analogues aux formule s

logarithmiques obtenues pour les expressions cos x ± cos yet sin x ± sin y .

Or, dans l'article XII, nous avons à démontrer que cette

analogie des formules susdites est une identité, parce que

les A 71 et les Bn sont, quelle que soit la base a, intimement

liés aux polynomes de CAUCHY .

(18)

(19)

(20)

fi(21)


55

VIII . Des nombres A n et an .

Il est évident que les formules demontrées dans l'articl e

précédent, donnent une suite de résultats intéressants con -

cernant les nombres An et B .Étudions tout d'abord les A n , la première des formules

(12) de l'article précédent, savoir

A2n = A n -F- 04, ,

donnera immédiatement la proposition :

1 . Le nombre -a est résidu quadratique d e

tous les facteurs premiers de A2n .

Appliquons ensuite la formul e

(2)

A 2n = 2 An - (- 1)nk '

tirée directement de (1), il résulte de même :

II. Soit a une base de première espèce, et soi t

donc k un nombre impair, les facteurs premier s

des A4,i sont tous de la forme 8v± 1, tandis qu e

les facteurs premiers des A4,+2 sont de la form e

8v +1 ou 8v+ 3 .

III. Soit a une base de seconde espèce, et soi t

donc k un nombre pair, les facteurs premiers de s

A 2n sont tous de la forme 8v ± 1 .

Appliquons ensuite les formules (14) et (19) de l'articl e

précédent, savoir

A2n- (_ 1)nk - 2 a Bn

A2n+i - (- 1) nkAl = 2 aBn Bn+i

puis remarquons que les B,n sont tous divisibles par B l ,

nous aurons :

IV. Les nombres A m satisfont, quelle que soi t

la bas a, aux congruence s

(1)

56 Nr . 1 .

NIELs NIELSEN :

(3)

{Agn

(_ 1)nk (mod 2aB1)

Agn+1 (- 1)nk Al (mod 2a B12) .

Or, il est bien curieux, ce me semble, que les nombres

an , savoir les Ynk-2, satisfassent à des congruences analogue s

à (3) .

En effet, la première des formules (21) de l'article précé-

dent donnera, pour p = 1 ,

a2n+ 1 - (- 1 ) nk al = 2aBI bn+1 ,appliquons ensuite la formule (7) de l'article II, savoir

a Bm = a A m -{- am ,

il résulte pour m = 2n ,

2 a A n Bn = (A2n ( 1) nk) a + (a2n ± (- 1)nka) ,

et nous aurons donc, en vertu du théorème précédent :

V . Les nombres am = Ymk-2 satisfont, quelle qu e

soit la base a, aux congruence s

a2n

(- 1)nk-1 a (mod 2 a BI )

a2n+1 =_ ( 1)n k

La première de ces deux congruence est bien remar-

quable en comparaison avec la congruence (14) de l'article II .

Quant aux deux derniers théorèmes, il est évident qu e

les deux congruences contenant les A m et les am présentent

une différence essentielle, selon que la base a est de pre-

mière ou de seconde espèce.

En effet, soit a une base de première espèce, et soit don c

le nombre caractéristique k impair, nous connaissons dè s

à présent le reste modulo 2aBI de tous les x et de tou s

les am , tirés de l'équatio n

x 2 -a g 2 = 1 .

(4)(mod 2aBi ) .

(5 )

Recherches zur l'Équation de Fermat .

5 7

Soit, au contraire, a une base de seconde espèce, et soi t

donc le nombre caractéristique k pair, nous ne connaisson s

dès à présent que les restes modulo 2aB1 des A2n et des

a2n tirés de l'équation correspondante (5) . Quant aux reste s

des A2n+1 et des a2n+1, il ne sont pas généralement égaux

à ± 1 ou à ± a, mais ces restes fixes se présentent certaine -

ment dans le cas spécial, où la base a est une puissanc e

impaire d'un nombre premier impair, cas spécial que nou s

avons à étudier plus amplement ici .

A cet effet, remarquons tout d 'abord que LEGENDRE 1

a démontré qu'un nombre premier de la forme 4v + 1 es t

toujours une base de première espèce, nous avons à géné-

raliser, dans l'article X, ce théorème, en démontrant qu e

la puissanc e

(6)

a = (4v + 1)2p+1 , e > 0 ,

a la même propriété . De plus, nous démontrerons directe-

ment, dans l'article XXIII, que la puissance (6) du nombr e

premier 4v + 1 est toujours une base de première espèce .

Cela posé, il résulte immédiatement des théorèmes I V

et V :

VI. Pour la base a = (4v +1)2(' l-1 , où 4v +1 es t

un nombre premier, on aura les congruence s

(7) 1 A 2R = ( - 1) n (mod a)

l a2,,

(-- 1)n-l a (mod a)

(mod a)A 2n+1 = (- 1) 71A 1(8)

l a2n -i-1 -- (- 1 )n al (mod a) .

Quant au nombre premier 4v + 3, il est toujours un e

base de seconde espèce, parce qu'il rie peul jamais divise r

la somme x 2 + 1, et il est évident que la puissance

1 Théorie des Nombres, t . I, p . 65 ; 3' édition, Paris 1830 .


(9) a = (4 v + 3)2,'+1 0 > 0 ,

est aussi une base de seconde espèce .

Or, dans ce cas, l'équation de FERMA T

(A 1 + 1) (A l - 1) = aBi

donnera une congruence de la form e

(10) A l = (-1)E (mod a) ,

où l'exposants est facile à déterminer. En effet, il résulte ,

en vertu de la première des formules (23) de l'article IV,

24-1 -~- (- 1' (- 1) £ = 0 (mod a) ,

tandis que la première des formules (25) de l'article IV

donnera2,Y,u-l + (- 1)v 2 0 (mod a) .

Cela posé, on aura pour l'exposants qui figure dans

la congruence (10)s=v1.

Appliquons ensuite l'identit é

aBl = (A1 + (- 1)y) a + (al - (- 1) v a) ,

tirée directement de la formule (7) de l'article II, nou s

aurons cet autre théorème, supplémentaire au précédent :

VII . Pour la base a = (4v + 3)20+1 où 4v +3 es t

un nombre premier, on aura les congruence s

(_ 1) n ' -~-rz

an - ( 1)"+'I a (mod a) .

A rz (mod a)

IX. Des nombres B..

Les nombres Bn qui correspondent à une base quel -

conque, savoir les valeurs de y, tirées de l'équation d e

FERMAT

Recherches sur l'Équation de Fermat

59

x2 -ay2 = ± 1 ,

présentent un intérêt particulier, parce qu'ils admettent u n

algorithme analogue à celui de la division ordinaire, mai s

notamment parce qu'ils donnent naissance aux rangs de s

nombres entiers, essentiels dans la théorie de l'équation d e

FERMAT,

Quant aux formules de ce genre, en partie déjà connues ,

et aux autres que nous avons à déduire, nous prenons pou r

point de départ l'équation de FERMAT, analogue A. (1) ,

(2) u 2 - apsP 9 = ± 1 ,

ou p désigne un positif entier quelconque, équation déj à

mentionnée dans l'article I, afin d'établir qu'un positif

entier quelconque divise une infinité des nombres Bn, pro-

blème que nous avons à étudier plus amplement dans

l'article présent et dans celui qui suit .

A cet égard, nous avons tout d'abord à introduire un e

définition qui facilite les démonstrations, en simplifiant la

terminologie .

En effet, soit p un positif entier quelconque, et soit Br

le plus petit des nombres Bm qui soit divisible par p, nou s

disons que p est, pour la base a, du rang r .

Soient maintenant

(3) ii = a1, U = ßi

les plus petites solutions en positifs entiers de l'équatio n

(2), il existe, en vertu de (1), un indice r, tel que

(4) ai = Ar, Pis = Br ,

et p est donc du rang r, parce que p ne peut diviser

ancun Bm plus petit que Br .

Remarquons ensuite que les solutions générales a n et

,6n de l'équation (2) se déterminent par la formule

(1)


(a1~pY aß1ln = IXn pl' .,`fin ,

ce qui n'est, en vertu de (4), autre chose que celle-ci

(Ar± VaBr) n = An, V aBnr ,

donc nous aurons, quel que soit l ' indice n ,

an = Anr, p fin = Bnr ,

ce qui donnera le théorème essentiel :

I. Soit le positif entier p, quelconque du reste ,

du rang r pour la base a, les Bnr représenten t

l'ensemble des B,n qui sont divisibles par p, e t

les solutions générales de l'équation (2) sont dé -

terminées par les formules (5) .

Appliquons maintenant les formules récursives de LA -

GRANGE

B,n+n = An Bm -}- Bn Am(_ 1 ) nkBrn-n = An Bm -BnAm ,

où k est le nombre caractéristique de la base a, nous au-

rons immédiatement les deux propositions suivantes :

II. Un diviseur commun de Bm et de Bn es t

aussi diviseur des deux nombre s

III. Soit f le plus grand commun diviseur de s

indices m et n, un diviseur commun quelconqu e

des nombres Bm et Bn est aussi diviseur de Bf .

En effet, soit tout d'abord m divisible par n, n est l e

plus grand commun diviseur de m et n, et la proposition

est évidente .

Soit ensuite

m = nq +-s, 0<s<n ,et soit p un diviseur commun de Bm et Bn , il résulte, en

vertu de I et II, que p est aussi diviseur de B3, et ainsi

de suite .

(5)


6 1

Cela posé, nous aurons de plus la proposition :

IV. Soient r et s les rangs de p et de q, et soi t

n le plus petit commun multiple de r et s, le pro -

duit pq est du rang n.

Soit, en effet, B, n divisible et par p et par q, l'indice m

est aussi divisible et par r et par s, et il est évident que

le produit pq est du rang n .

Remarquons ensuite que Br est le plus grand de tous

les nombres du rang r, il résulte, en vertu de II, III, IV :

V. Soit Bn, divisible par Bn , l'indice i est divi-

sible par l'indice n, et inversement .

VI. Soit M le plus petit commun multiple de s

indices m et n, le produit B,,,Bn est du rang M.

VII. Soit f le plus grand commun diviseur de s

indices rn et n, B1 est le plus grand commun divi -

seur de B, n et B n .

Quelques-uns de ces théorèmes concerhant les nombre s

B,n et Br0 sont bien connus,' mais on ne semble pas avoi r

remarqué jusqu'ici qu'ils sont des cas particuliers d'autres

théorèmes beaucoup plus généraux .

Quant à la base a, nous aurons à démontrer le théo-

rème :

VIII. Le diviseur p de la base a est précisémen t

du rang p, pourvu que p et B1 soient premier s

entre eux.

En effet, soit, dans la dernière des formules (10) d e

l'article VIII, r = 1, on aura une expression de la form e

Bn = RAT-1 B1 + aK ,

où K est un positif entier. Or, remarquons que p es t

premier et avec Al et avec B1, il est évident que Bn n'es t

' Voir P . BACIMMMN : Niedere Zahlentheorie, t . II, p . 80 ; Leipsic 1910 .

62


divisible par p que dans le cas, où n est divisible par p ;

c'est-à-dire que p est précisément du rang p.

Nous avons encore à démontrer un théorème essentie l

concernant les nombres A,,,, savoir :

IX. La nombre Ar , supposé plus grand qu e

l'unité, est du rang 2r, et les nombres B2nr et A2nr+r

représentent les ensembles des nombres Bm et Am

qui sont divisibles par A r.

La formuleBer = 2 A rBr

montre clairement que Be r est toujours divisible par Ar .

Supposons maintenant que B11z , où m < 2r, soit divisibl e

par A r , nous aurons nécessairement m > r, parce qu e

A r > Br. Soit ensuite m = r + s, on aura donc 0 < s < r,

et la formuleBr+s

BrAs + Ar Bs ,

où A r et Br sont premiers entre eux, montre clairement

que A S est divisible par Ar , pourvu que Br+3 le soit, ce

qui est impossible .

Cela posé, il ne nous reste évidemment qu'à démontrer

que les A2,,, .+ r sont les seuls nombres Am qui soient divi-

sibles par Ar .

Or, nous savons déjà, d'après le théorème II de l'articl e

VII, que les A2nr+r sont tous divisibles par A r. Soit ensuite

A m divisible par A r , je dis que le nombre Am+s, où 0 < s < 2r,

ne peut jamais être divisible par Ar, ce qui est une consé-

quence immédiate de la formule

Am+s = A m A s + aBmBs ,

parce que A r est premier et avec a et avec Bm ; du plu s

Ar est du rang 2r, de sorte que Bs ne peut pas être divi-

sible par Ar .


63

X. Du rang d'un nombre entier .

Le rang d'un positif entier que nous venons d'introduire ,

dans l'article précédent, joue un rôle si important dans l a

théorie de l'équation de FERMAT qu'il nous semble util e

de développer une suite de théorèmes concernant cette idée .

1 . Soit m le rang du nombre premier p, et soi t

Bm divisible précisément par e, la puissance pr ,

où r > p, est du rang mpr_ .

La dernière des formules (10) de l'article VII se présen-

tant sous la form e

(1 )

Bmn = Bm (n A mn-' + Bm K) ,

où K est un positif entier, il est évident que Bnm n'es t

divisible par p°+l que dans le cas, où n est divisible par p ;

c'est-à-dire que pQ+l est du rang mp. Remplaçons mainte-

nant, dans (1), m par mp, il résulte que p Q+2 est du rang

mp2, et ainsi de suite .

Mais comment déterminer les deux nombres m et Q ,

parfaitement définis, pourvu que a et p soient donnés ?

On aura immédiatement, comme corollaire du théo-

rème I, la proposition :

II . Soit le nombre premier impair p du ran g

impair, une puissance quelconque de p est aussi

du rang impair .

Considérons maintenant une base a de première espèce ,

puis supposons que le positif entier p soit du rang m, le s

deux nombres

Cl = A m , D l =

satisfont à l'équation de FERMA T

2

2

mC-(ap 0-)D1 = (- 1 )

ce qui donnera le théorème :

p


III . Soit a une base de première espèce, l e

nombre ap 2 est une base de première ou de second e

espèce, selon que le rang de p est un nombre im -

pair ou pair .

On aura, comme corollaire de ce théorème, la proposi -

tion :

IV. Soit a une base de première espèce, l e

nombre aB2,, +1 a toujours la même propriété, tandi s

que tous les nombres aAn sont des bases de second e

espèce .

En se rappelant que LEGENDRE I a . démontré qu'un

nombre premier de la forme 4v + 1 est toujours une bas e

de première espèce, il résulte, en vertu de II, un théorèm e

essentiel que nous venons de mentionner, dans l'articl e

VIII, et que nous avons à démontrer, d'un autre point de

vue, dans l'article XXIII, savoir :

V. Soit 4v+ 1 un nombre premier, la puissanc e

(4v H-1)2+1 est toujours une base de premièr e

espèce .

En effet, soit a = 4v + 1, on voit, en vertu de la for -

Bn = n Ai-1BI + aK ,

appliquée dans l'article précédent, que a est ou du rang 1

ou du rang 4v + 1, de sorte que le rang de a est toujours

un nombre impair .

VI. Un nombre du rang impair ne peut divise r

aucun des nombres Am , de sorte que deux nom-

bres Am et B2n+1 sont toujours premiers entre eux,

quels que soient leurs indices .

Soit 2r + 1 le rang de p, et soit A m divisible par p, i l

est évident que B2m est aussi divisible par p, de sorte qu e

' Théorie des Nombres, t. T, p . 65 ; 3 e édition ; Paris 1830 .

mule


6 5

2m, savoir in, est nécessairement divisible par 2r+ 1, ce

qui entraîne que B, n soit divisible par p, supposition impos-

sible, parce que A m et Bm sont premiers entre eux .

Cela posé, il est évident qu'un nombre premier qui

divise B2n+1 ne peut diviser aucun A m .

VII. Soit p un nombre premier impair, et soi t

la puissance pe du rang pair 2r, les B2nr. et le s

A2nr+r représentent l'ensemble des Am et des Bm qu i

sont divisibles par pe .

Il est évident que Br ne peut pas être divisible par pQ ,

parce que cette puissance est du rang 2r ; soit donc Br

divisible par pe-G, il resulte, en vertu de la formul e

B2r = 2 Ar Br,

que Ar est divisible par p6, ce qui est impossible, parc e

que Ar et Br sont premiers entre eux; c'est-à-dire que Br

ne peut pas être divisible par p, donc Ar est divisible par

p e , et les A2nr+r sont tous divisibles par Ar .

VIII. Soit a une base de première espèce, u n

nombre de la forme 4v+3 est toujours du rang pair .

En effet, un nombre de la forme 41)+3 contient a u

moins un facteur premier de. la même forme, et un tel

nombre premier ne peut jamais diviser la somme x 2 -4-- 1 .

Vidensk . Selsk . Math : fysiske Medd, IV, 1 .

5


CHAPITRE III

Les polynomes de Cauchy et l'équation de Fermat.

XI. De la base a = a2 + 1 .

Soit particulièrement, dans l'équation de FERMAT ,

(1)x2-ay

= ± 1 ,

B 1 - 1, plusieurs des théorèmes de l'article IX se présen-

tent sous une forme très simple .

On aura par exemple, en vertu du théorème VII d e

l'article susdit :

1 . Soient les deux indices n etp premiers entr e

eux, les deux nombres B R et BA auront la même

propriété, et inversement .

De plus, le théorème VIII de l'article IX donnera :

II. Un diviseur quelconque p de la base a es t

précisément du rang p .

Quant à l ' équation (1) qui est satisfaite par y = 1, i l

est évident que la base a se présente sous la forme

(2) a - a 2 ± 1 ,

où a est la valeur positive entière de x qui correspond à

il = 1 .

Cela posé, nous avons tout d'abord à étudier la valeur

a2 + 1 ; la fraction continue correspondante, savoir

va" -{- 1 - [a, (2 a)], a > 1 ,(3 )

a les réduites


6 7

(4)a 2a2 +1 4 a3 -- 3 a 80+8a2 ± 1

l '

2a ' 4a2 -{-1 '

8a3 + 4 a

dont les numérateurs pn(a) et les dénominateurs 'tpn (a) re-

présentent, pour n = 1, 2, 3, l'ensemble des polyno-

mes entiers qui satisfont à l'identité algébrique

(5) -

p(a)-(a2+1)'tPn(a) = (-1)n •

De plus, la définition même des polynomes pn (a) et

in (a) donnera les formules récursives

9,n(a) = 2 a pn-1(a) + pn-2(a)

'(Pn(a) - 2 a ~n-1 (a) + "11)n-2 (a) ,

d'où il résulte, par la conclusion de n à n + 1, ces autre s

identités

Vn+1(a) + IN-1 (0 = 2 pn(a)

11)n-{-1 (a)-

(a) = 2 a vn (a)

(8) pn (a ) ± a In (a) . _ VnI-1 (a) •

Appliquons ensuite les formules générales, développée s

dans l'article III, nous aurons

(9) p2n(a) = 2 pn(a) - (- 1) n

(10) 1P2n (a) = 2 50 n (a ) 'On (a ) •

Quant aux polynornes p2n+1 (a) et 'tp2n+1(a), remarquons

que les formules récursives (6) se présentent sous la form e

9,n(a) _ 2(a)'Ip'n-1(a)-F

p1(a) pn-2(a)

In (a) = 't/)2 (a) y~n-1(a)

1,0n-2 (a ) ,

la conclusion dep

/

à p + 1 donnera les formules générale s

''Ipn(a) -~ I

'pla ) pn-p+1 (a) -H- »p-1 (a)' ),,_p (a)

y-n(a) - `YP (a) n-p+l (c) J-'LlJp-1(a) Y'n-p(a) ,

d'où, en posant n = m + p ,

I~(7 )

5"`

68


1 . V.+p (a)

(bp(a) .+l ( a )+ p_1 (a) I

m(a) .Soit particulièrement p = m + 1, il résulte, en vertu d e

(11), si nous remplaçons m par n,

,I 'J

, /9

2n+ (a ) =I

T

1

n+1 (a) IPn+1(a) + Tn (a ) y~ n(a )

e 2n-i-1(a) = 'yPn+1(a) - 'Ip (a ) ,

formules qui correspondent aux deux premières des for -

mules (12 bis) de l'article III . Quant à la troisième de ce s

formules, elle devient ici

(12 bis)

(a 2 -i - 1 ) V2n+1(a) = pn+1(a) + yn2 (a) ,

d'où, en vertu de (9),

(13) 2 (a 2 + 1) V2n+1(a)

T2n+2 (a) + T2n

(a ) ,savoir la première des formules logarithmiques (19) de l'ar -

ticle VII .

Multiplions ensuite les deux formules (7), il résulte

(14) 2 a P2n (a ) = 1Pn+1 (a) - n-1 (a ) ,tandis que l'identité (5), écrite sous la forme

(sPn(a) + a V. (a)) (Tn(a) - a `Yn (a)) = Vn (a ) + (- 1)n ,

donnera, en vertu des formules (8) ,

(15) 2Yn+1 (a) `Yn-i (a ) = .2 (a) + (- 1 ) n,

d'où, en supposant n pair, puis remplaçant n par 2n :

III. Soit a un positif entier quelconque, l e

produit

(16) P2n+1 (a) P2n-1 (a ) = 4 (a) + 1

est toujours une base de première espèce, et le s

solutions générales de l'équation de correspon -

(11) f Sc'p (a)

YP (a) Tm +l (a) I `Yp-1 ( ce ) 99,,,(a )

(12)


69

dante de Fermat se présentent sous la form e

(17) Am - ¶P .(,ß), B. = V.(ß), ß = V2n(a) -

Remarquons, en passant, qu'on cherchera en vain à

démontrer que le nombre p2n+1(a) est toujours une base

de première espèce, parce qu'il peut arriver que I p2n+1(a )soit un carré, nous le verrons par exemple dans l'articl e

XIX .

Appliquons ensuite, au premier membre de (16), la der-

nière des formules (12), il résulte, après un simple calcul ,

(`Yn+l(a) ± vn-1(a))2'g(a) l-I (vn+l (a) n-1 (a) + n(a )) 2

V2n(a)+ 1 .

On voit, en vertu des formules (7) et (15), que le s

signes supérieurs donnent une identité formelle, tandis qu'i l

résulte, en vertu de (7), pour les signes inférieurs, la for -

mule curieuse

(18) 4 a2 V 4.(a) + (2 ' n (a) + (- 1)n)2 = Zn (a) +1,

qui se présente, dans le cas spécial a = 1, et seulement

dans ce cas, sous une forme très élégante . Dans l'article XVIII

nous avons à citer la formule singulière ainsi obtenue .

Quant à la dernière des formules (12), remarquons qu e

CATALAN 1 a démontré que, dans l'équation indéterminée

(a2 + 1) x2 = 9 2 + 1 ,

le nombre x est toujours la somme de trois carrés . On

aura, en effet,

x

' I '= P,in+1 (a) = 2PZn+1 (a ) + 2n (a) ,

Atti della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei, t. 37, p . 49-114 ;

1885 . Citation d'après le Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik ,

t . 17 (1885), p . 133 .


ce qui donnera

2

2 1x = Y'2n (a ) ± (yin (a)

'`Yn+l (a ) ) 2 + (21P. (a) ?P.A.-1 (a) ) 2,

mais j'ignore si cette formule est identique à celle de CA-

TALAN .

Nous avons encore à mentionner ici que la fraction

continue de SEELING, définie par la formule (15) de l'ar-

ticle II, conduira à un résultat intéressant, si nous rem -

plaçons a par 2 a, puis posons ,B = a . On aura, en effet,

en vertu des formules (16) et (17) de l'article II, pour les

numérateurs et les dénominateurs des réduites de la frac-

tion continue

V4a 2 +4 = [2a, (2a, 4a)] ,

les deux relations2

g2n+1 - (4 a 2 + 4) z2n+1 = 1

~T2n (4 a2 + 4) 4n = - 4 ;

c'est-à-dire que y2n est toujours divisible par 2, ce qui

donnera, en vertu de (5), la proposition curieuse :

IV. Une réduite quelconque de la fraction con-

tinue [2a, (a, 4a)] est précisément le double de l a

réduite au même indice de la fraction continu e

[a, (2 a)] .Revenons maintenant aux formules récursives (6), pui s

supposons a égal à un positif entier, il est évident que les

y 7, (a) et les ipn (a) deviennent, quel que soit l ' indice n ,

des positifs entiers. Or, la conclusion de n à n + 1 don-

nera immédiatement la proposition, essentielle dans l'étud e

de plusieurs équations indéterminées :

V. Soit p un positif entier quelconque, les nom-

bres IPn'(2), sont aussi, quel que soit l'indice n, de s

positifs entiers .

Recherches sur 1 ' Équation de Fermat.

7 1

Cela posé, nous avons à étudier l'idéntité

(19)

T. (a ) 1P,1 (a) - Pn-1(a) 'n (a)

1)n,

tirée directement de la définition des j n (a) et des 2/Jn(a )

comme les numérateurs respectivement les dénominateur s

des réduites (4),

A cet effet, posons, en vertu de (8),

Tn (a) = a Vn (a) + 2Pn-1 (a), ÿ9n-1 (a) _ Vn (a) - a Vn-1 (a) ,

il résulte, après un simple calcul,

(20) en (a) - 2 a In (a) pn-1 (a ) - "t/Jn-1 (a) - (- 1)n-1 '

ce qui donnera le théorème :

VI. L'équation indéterminé e

(21)

x2- pxy- y 2 = ± 1,

oû p désigne un positif entier quelconque, adme t

une infinité de solutions en positifs entiers xn e t

yn, déterminées, à l'aide des valeurs initiale s

x i = p, yi = 1 ,

par les formules récursives

(22)

(22 bis) xn+1 = p xn + 11n, yn+ 1

En effet, posons, dans (19),

a = -,

il résulte, comme solutions de l'équation

(- 9) ,

(21),

xn = Vn+1(2 ), Jn

= ce qui donnera, en vertu de la dernière des formules ré -

cursives (6), les valeurs indiquées par les formules (22) .

Inversement, l ' équation indéterminée proposée, savoir


2

2 _xn PxnZln pll _ (-1)n,

nous

a((E2)2

rons l'équation de FERMA T

zn - + 1 )g2n = ( 1 )n,

zn - Tnl 2J, Iln =n (P2) ,

et il résulte donc, en vertu de (23) ,

xn = P

2 _L(P.

)= Y n+1 (P2 ) ;

c'est-à-dire que les formules (22) représentent toutes le s

solutions en positifs entiers de l'équation indéterminée (21) .

Étudions maintenant la seconde des bases, indiquée s

dans la formule (2), savoir

a=a2 -1 ,

les réduites de la fraction continue correspondante, savoir

satisfaite par

P2 n + V (1~) 2 + 1~yn +(-1)n,

(24)

deviennent

va t 1 = [a-1, (1, 2 a 2)1, a> 2 ,

(25)a-1 a 2a2 -a- 1

1 ' 1'

2a-1

2a2 -1 4a 3 -2a2 -3a + 1

2a ' 4a Q -2a- 1

Cela posé, désignons par 'n (a) et li n (a) les numérateur s

et les dénominateurs des réduites (25) qui correspondent

à des indices impairs, les ,i (ce) et les rj n (a), ainsi définis ,

représentent l'ensemble des polynomes entiers qui satisfon t

à l'identité algébriqu e

(26)

Sn (a )

(a 2 - 1),in(a) = 1 ,


73

de sorte que nous aurons, en vertu de (5) ,

(27) n(a) = i-n pn(ia), ',in(a) = il-nYn(i a) .

Quant aux polynomes pn (a) et în (a), n ((e) et 'n (a), il

est très intéressant qu'ils nous permettent de déterminer

toutes les solutions de l'équation générale de FERMAT ,

(28) Am- aB2m = (- 1 )° ,

pourvu que les premières de ces solutions, savoir les A I

et les Bi, soient connues.

Cette propriété essentielle des polynomes susdits se pré-

sente, en effet, comme cas très spécial du théorème :

VII . Soient r et n des indices quelconques, o n

aura, pour les solutions générales de l'equatio n

de Fermat,

(29) Anr = Sn (Ar), Bnr = Br(Ar)

respectivement

(29 bis)

Anr = pn (Ar), Bnr = Br'bn (Ar) ,

selon que rk est pair ou impair .

A cet effet, remarquons tout d'abord que Bnr est divi-

sible par Br, puis posons

A n ,. = Cn, Bnr = Br D ,

il résulte, en vertu de (28) ,

(30) en^ (a Br) DR = (- 1 )nrk

De plus, nous auron s

Ar - a Br = (- 1)rk

de sorte que l'équation (30) se transforme en celle-c i

(31) Cn -(AT _ (- l)rk) D2 _ (_ 1)nrk

et les expressions \générales (29) sont évidentes .

74


Soit particulièrement r = 1, il résulte don c

(32)

A n = 5n (A1), Bn = B1 qin (A1 )

respectivement

(32 bis)

An = (MAI), B. = B1V n (A1 )

selon que k est pair ou impair.

Le théorème VII, intéressant en lui-même, conduira à

des résultats très remarquables, nous le verrons, dans l'ar-

ticle qui suit .

XII . Analogies des formules trigônométriques .

Revenons maintenant aux polynomes .n(a) et ijn(a), le s

valeurs des premiers de ces polynomes, savoir

'o (a) = 1

97o(") = 0

1(a ) = a

'1i (a) = 1

(a) = 2 a' -1

!s (a) = 2 a3 (a) = 4a 3 3a

l13(a) = 4a'- 1

4(a) = 8a 4 -4a 9 + 1

g74(a) = 8a 3 4a,

suppléées par les deux formules récursives

(a) = 2 a Sn-1 (a ) - n-2 (a)

lin (a) = 2 a qin-1 (a)

(a ) ,

tirées directement des formules (6) et (27) de l'article pré-

cédent, donnent immédiatement, par la conclusion de n à

n + 1, le théorème essentiel :

1 . Posons a = cos x, où x est une variable com-

plexe quelconque, nous aurons, quel que soi t

l'indice n,

(1)

(cos x) = cosnx, 77n(cosx) =

Cela posé, appliquons les identité s

Tn (a) = i-%n (i a), 't/)n(a) = i 1-nry/n (I a) ,

sin n xsin x

(2)


7 5

savoir les formules (27) de l'article précédent, il est évident

que les formules (1) donnent, en vertu du théorème VI I

de l'article précédent, une suite de formules concernant le s

solutions générales de l'équation de FERMAT

Am - a Bm = (- 1)mk .

A cet effet, nous posons, dans ce qui suit, pour abréger

et conformément aux significations appliquées dans le théo-

rème VII de l'article précédent,

(4)

rk = E .

En premier lieu, prenons pour point de départ les for -

mules qui expriment, sous forme des polynomes entier s

de cos x, les fonctions (1), puis remplaçons cos x par Ar ,

il résulte les formules générales

(3)

Anr = 2n-1 Ar -I-

n

2(-

Ire-I-. 7 t

s(n--s-

2

s-1I (2 A)n-2s

s=

-2

Bar

(-1)se+sn-s-1

n-2s-1= Br

ls

(2 Ar)

.l

s= o

Soit particulièrement r = 1, les formules (5) nous per -

mettent de déterminer les A n et les B 1z , directement â l'aid e

de Al et de Br, ce qui n'a pas lieu pour les formules (10)

de l'article VII, parce que ces dernières formules contien-

nent la base a .

En second lieu, appliquons les formules qui expriment,

sous forme des polynomes entiers de sin x, ou sous forme

de tels polynomes multipliés par cos x, les fonctions (1) ,

puis remarquons que, pour E pair, le nombre

Ar-1 = aBr


correspond àcos' x - 1 =

sine x,

il résulte, en vertu de (2), les quatre formules générale s

s=n

( 1)s£n (2n-s-1) (S

S-1 )l4aB2r ) n-ss= 1

s= n

2A2,,, = 2n-1 (aB)° -+-

r ((4aBr)n +1).SE (2n+1)(2

s-s) (

s

4aB2 )n-s)r2nr+r -

s= 1

s-n-1

se /272-s-11 (4aB2r )n-s-1\

s2nTs= o

s= n

A 2nr+r = Ar > (- 1)se/2 n

s)) (

9 n-ss

4 a Br )s=o

Posons maintenant, dans les six formules générales ainsi

obtenues, r = 1, puis introduison s

Bl = 1, Al = a, a = a 2 (-1)£, B2 = 2a,

nous aurons des expressions générales pour les quatre poly-

nomes 99n (a) et pn (a), ~n (a) et qin (a) .

Cela posé, on aura par exemple

G 2

2 n(a) = (2a)n +

( 1) sn(n s 1)!(2 a)n-2s,s!(n--2s) !

s= 1ce qui donnera

G n=/cc\ _ )=2 (- 1)sn(n -s-1)! ~~n 2 s

2n 12)

s!(n -2s) !s= 0

savoir les polynomes étudiés par CAUCHY' .

Quant aux inversions des six formules générales qu e

nous venons de développer, la représentation de cos nx ,

' Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, t . I, p . 550 ; Paris 1821 .

(7 )

. Recherches sur l'Équation de Fermat.

7 7

d'après les cos (n - 2 s)x, donnera, par le procédé qu e

nous venons d'appliquer,

2

(8)

2n-1 Ar = / . ' (- 1) se

s

où l'accent, fixé au signe sommatoire, indique qu'il fau t

prendre la moitié du dernier terme, dans le cas où n es t

un nombre pair .

De même, les développements de (sin x)2n et de (sin x)2n+1 ,

d'après les cos (n-2s)x ou les sin(n-2s +1)x, donnent

/n ,

is/Anr-2sr ,

(9)

2n-1 (a )1 se +s

\

2n\A

S/I 2nr - 2s r

s n

(10)

2it + 1)n 2n+1 =

1)ss+ s

a Br

> (-

(2 s

B2nr-2sr+r ,

s 0

où l'accent fixé au signe sommatoire, dans la formule (9) ,

indique qu 'il faut, pour s = n, remplacer A, par 2En dernier lieu, les deux formules trigonométrique s

cos 2x + cos 4x + . -i- cos 2 nx = sin nx cos (n + 1) xsin x

sin nx sin (n + 1) xsin 2x + sin 4x + . . . + sin 2 nx = -

sin x

et les deux formules analogues contenant, au premier

membre, des multiples impairs de x, donnent

s = n-1

Bnr A2nr +r

Br

s =n-1

Bnr B2nr+r

-

(-- 1) seß2nr-2sr' =

Br

- 1)"A2nr-2s r

s0


,�-,

=(- 1) sfA

2nr-2sr+r

s = 0

B2nr+2r

2 Br

s= n

(12)s= n

LJ (- 1)s£

B2nr-2sr-I- r

s = 0

Remarquons, en passant, que LEJEUNE DIRICIILET a

publié un petit Mémoire intitulé : Sur une manière de ré-

soudre l ' équation t' -pq2 = 1 au moyen des fonctions

circulaires . '

De plus, l'illustre géomètre allemand a appliqué l'équa-

tion 2

sans indiquer qu'elle se présente sous la form e

1040 2 - (1040 2 + 1) . 1 2 = - 1 ,

ce qui n'est autre chose que l'équation (5) de l'articl e

précédent pour a = 1040, n = 1 .

XIII . Applications diverses .

Les quatre polynomes Tut (a) et yi,n (a), ~m (a) et '/n1 (a) ,

étudiés dans les deux articles précédents, donnent immédiate -

ment la résolution de plusieurs équations indéterminées ,

dont quelques-unes seront étudiées plus amplement dans

ce qui suit .

1° Remarquons tout d'abord que les formules (8) et

(20) de l'article XI donnent, en vertu des identités (27) du

même article,

n(a) ± a 'lin (a) =

~În+(a )

(1)

297n2 (a) - 2 a qin (a) lin-1 (a ) + 'y7n-1 (a) = 1 ,

I Journal de Crelle, t. 17, p . 286-290; 1837 ; Werke, t. I, p . 343-350 .

2 Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-

schaften 1834 . Werke, t . I, p . 230 .

~Bnr+r

Br

1040 2 -1753 . 617 . 1'

-1,


79

nous aurons immédiatement le théorème suivant, supplé-

ment du théorème VI de l'article XI :

1 . L'équation indéterminé e

(2) x2- P xJ + g2 = 1,

où p désigne un positif entier quelconque, admet

une infinité de solutions en positifs entiers, xn et

gn, déterminées par les valeurs initiale s

(3) xi = P, Yi = 1

à l'aide des formules récursive s

(3 bis)

xn+l = Pxn'- Un ' Yn+1 = xn •

2° Il est évident que les polynome s

- fn(a )

T2n (a), g, (a) = 2 't~/2n(u)

représentent toutes les solutions de l'identité algébrique

(5) fn (a) 2 - (4 a 2 + 4) g n (a) = 1 .

Cela posé, il résulte, en vertu du théorème VI de l'ar-

ticle XI, que l'ensemble des solutions en positifs entiers

des deux équations indéterminées

(6) x2 -4pxg-4g2 = 1 ,

où p désigne un positif entier quelconque, est représenté

par les nombre s

(6 bis)

x = p2n±1(p), y = 2 V2. (P) .

3° Les hypothèses

(7) f. (a) = ' 2n (a), gn (a) = p20 (a)

donnent de même l'ensemble des polynomes entiers qui

satisfont à l'identité algébriqu e

(4)


(8) fn2 (a) - (4 a 2 - 4) g2 (a) = 1 .

Or, les réduites de la fraction continue correspondante,

savoir

(9) V4a 2 -4 = [2a-1, (1, a-2, 1, 4a-2)], a>3,

étant, pour n = 1, 2, 3, 4, . . .

Yn(a ) 2a-1 2a 2a2 -2a-1 2a2 1

z n(a)

1

' 1 '

a-1

'

a

on aura, quel que soit n,

J4n (a)

z4n(a) = 2 Ii2n(a ) •

De plus, il est facile de démontrer que

(10)

(11)

h( )

J4n+2 (a), %Cn (a) = z4n+2 (a)

représentent l'ensemble des polynomes entiers . qui satisfont

à l'identité algébrique

(11 bis)

hn (a) - (4 a 2 - 4) gn (a) = 4.

En effet, remarquons tout d'abord que les formules (11 )

sont vraies pour n = 0, il résulte, en vertu du théorème I

de l'article II, que les formules en question sont valable s

pour une valeur quelconque de l ' indice n .Cela posé, remarquons que l'identité (11 bis) est auss i

satisfaite pa r

lin (a) = 2 S2n+1 (a), kn (a) = ryf 2n+1 (a) ,

et .que Y4,+2 (a) est du même degré par rapport à a que

2n+1(a), savoir du degré 2n + 1, il résulte, quel que soit n,

( 12) .

g 4n+2(a) =2 y 2n+1(a), . z4n+2(a) - '12n+1(a),


8 1

car les polynomes qui satisfont à l'identité (11 bis) son t

parfaitement déterminés, pourvu que leurs degrés soient

donnés . '

Quant à l'équation indéterminé e

(13) x`-2pxy+4ij 2 = 1 ,

où p désigne un positif entier quelconque, ses solutions en

positifs entiers deviennent, en vertu du théorème I ,

1(13 bis)

x= 2

1(p), y = 112n+1(pn+

4° Les fonctions

(14) fn (a) _ 'çn (2 a + 1), 9n (a) _ ',in (2 a + 1)

représentent l'ensemble des polynomes entiers qui satisfont

à l'identité algébriqu e

(15) fn (a) - (a? -fa) 9n (a) = 1 .


(15 bis)

Va t ! a = [a, (2, 2 a)], a > 2 ,

ne présente, à ce point de vue, aucun intérêt, et c'est l a

même chose pour l'équation indéterminé e

(16) x 2 -(2p+1)xy+y 2 = 4.

En effet, on voit que les nombres entiers x et y sont

nécessairement tous deux pairs . Supprimons ensuite le fac-

teur commun 4, il est évident que (16) n'est autre chos e

que l'équation (2) .

5° Les fonctions

(17)a02n+1 (a) -_ I V2 99 2n+1 V2 , 1-P-2.+1(a) - 'Y 2n+1(0-

)a

02n (a) ~2n (a) -

?~2n (-Et►~ 2

V 2

Voir ma Note : Sur la généralisation du problème de Fermat. De t

Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs mathematisk-fysiske Medde-

lelser III, 16 .

Vidensk . Selsk . Math .-fysiske Medd . 1V 1 .

6

82

Nr. 1 . NIELS NIELSEN .

représentent l'ensemble des polynomes entiers qui satisfon taux identités algébriques

02n (a ) - (a2 + 2) 'FI, (a) = 1(18)

02.+1(a) -(a2 + 2 ) Zn+1 (a) = - 2 .

Nous nous bornerons ici à ces indications concernan t

les polynomes (Dm (a) etm(a), parce que nous avons àétudier plus amplement, dans l'article qui suit, ces poly -nomes qui présentent un intérêt particulier .

6° Il est évident que les fonctions

1

( ' /a

Z2n(a) =

~2n~;rl

2n(a ) _ '/2~12n\{2)

Z21 (a) = V 2 2'2r,.+1

112 n

), H2n+1(a ) = '2n+1 a-1/ 2

analogues aux Dm(a ) et zl'm(a), représentent la solutioncomplète, en polynornes entiers, des deux identités algé-briques

1

(19)

Z2n (a ) - (a2 - 2 ) Hen (a) -(19 bis)

Z2n+1(a) - (a 2 2) FI 2n+1(a ) = 2 .


(20) Va' -- 2 = [a-1, (1, a-2, 1, 2a-2)], a > 3 ,

ayant, pour n = 1, 2, 3, 4, . . . , les réduite s

(20 bis) Un (a)- a - 1 a a 2-a - 1 a' - l

zn (a)

1 ' 1 '

a-1

a

on aura par conséquent

(21) Y4n(a) = ~2n( y2 , 2411(0 =v27i2n( 2 ) •

De plus, nous aurons, quel que soit n,


8 3

(22)

Yon+2 (a) - (a2 - 2)z4n+2(a) = 2 ,

parce que cette formule est évidente pour n = 0, et l a

formule générale est donc une conséquence immédiate du

théorème I de l'article II ; c'est-à-dire que nous aurons

(22 bis) Zen+1(a) = J4n+2 (a), H2n+1 (a) _ '4n+2 (a) '

7° Étudions maintenant les fonction s

(23)

fn (a) = rPn (a +

gn (a) = 2~ n (a + 2 ,

puis remarquons que

f3 (a) = 4a3 +6a2+-6a+2, 93(a) = 2a2 +a+ 1

sont les premières de ces fonctions qui aient toutes deux

des coefficients entiers ; il est évident que la solution com-plète, en polynomes entiers, de l'identité algébriqu e

(24)

hn (a) _ (4 a 2 + 4 -a + 5) 49 (a) = (-1)n

est représentée par les fonction s

(24 bis) hn (a) _ T3nr1 a + , ken (a ) = ;IP3,(a + 2) .

La fraction continue dont il s ' agit ici, savoi r

(25) 1/4a 2+4a+5=[2a+1,(a,1,1,a, 4a + 2)] ,

ayant, pour n = 1, 2, 3, 4, 5, . . . , les réduite s

I

1n(a) 2a+1 2a2 H-a+1 2t~ 2 +3a+ 21

'

a

a-ß-1

'(25 bis)

4a2 +4a+3 4a3 +6cc2 4-6a+ 22a-H1 '

2a2 +2a-+- 1

on aura, quel que soit l'indice n ,

1J5n(a) _ T3n(a 4-2 1, z5n(a) = 2~3n( + \/(26)

e''

84


Remarquons ensuite que le procédé ordinaire donner a

ici, quel que soit l'indice n ,

(27) u 25 .+1 (a) --- (4 a 2 + 4 a -~- 5) ?5n+1 (a) = (-1)n-14 ,

nous aurons de même

1

'/ ,(27 bis) q5n+1(a) = 2 T3n+1f/l a +9 J, 75n+1 ( a ) = w3n±1(a +7,1 ) .

Quant aux équations indéterminées

(28)

x2 f (4p + 2) xy 4 q2 = + 1 ,

elles conduisent à l'équation de FERMA T

x2- (4p2 ± 4p + 5) J 2 = ± 1 ,

et l'on aura donc

(28 bis) g = kn(p), x = hn(p) ± ( 2p + 1)kn(p) .

8° En dernier lieu, les fonction s

fn (a) = 53n a + 2), gn.(a )= 2 3nl a + 2J\

représentent la solution complète, en polynomes entiers ,

de l'identité algébriqu e

(30)

fn(a) (4 a2 + 4 a

La fraction continue correspondante, savoir

(31) v4 a2 + 4a-3= 2a, (1, a-1, 2,a-1,1,4a) I, a> 2

ayant, pour n = 1 , 2, 3, . . . , les réduite s

2a 2a+1 2a 2 ±a 1 4a 2 -{-3a 11 '

1 '

a

2a+ 14a3 +2a2 -4a 4a3 +6a- 1

2a2 --1

'

2a 2 +6a ' . .

on aura, quel que soit l'indice n ,

(29)

3) (a) = 1 .

(31 bis


85

(32 )

Jsn = San (cc + 21

, zên(a ) = 'ri3n a + 21

.

De plus, le procédé ordinaire donnera ici

(33)

Y6n+2 (a) -- (4 cc 2 + 4 a 3) zsn+2 (a) = 4 ,

donc on aura, quel que soit l'indice n ,

(33 bis) J6n1- 2 (a) = 2 37-+_1 (a + 2 ), z6n+2(a) = N3,,+1 (a) .

Quant à l'équation indéterminée

(34)

x2 ± (4p + 2) xy + 4 y2 = 1 ,

elle conduira à l'équation de FERMA T

z 2 - (4p2 +- 4p - 3) y'' = 1,et l'on aura don c(34 bis)

y = gn (p), x = fn (p) ± (2p + 1) 9n ( p) •

Il est évident, du reste, que les polynomes entiers, étu-diés dans cet article, donnent des éclaircissements sur l anature de certaines bases d'une forme spéciale . On aura ,en effet, les deux propositions suivantes, qui présentent un

certain intérêt :II. Soit n un nombre entier, les nombre s

(35)

n2=, 1, 4n2 +4n+ 5

sont, pour n>1, respectivement n>0, toujour sdes bases de première espèce .

On voit par exemple que les nombres

(35 bis)

(10 v ± 1) 2 + 4 ,

divisibles par 5, sont des bases de première espèce, bienqu'ils ne soient pas, pour v? 1, des nombres premiers ; lespremiers de ces nombres deviennent

85, 125, 365, 445, . . . .


Quant au deuxième de ces nombres, le théorème V d e

l'article X montre que les puissances 52e+1 sont toujours

des bases de première espèce .

Remarquons, en passant, que les réduites de la fractio n

continue

j/10 = [3, (6) 1deviennent

3 19 117 721 44431 ' 6 ' 37 ' 228 ' 1405 ' " '

il est évident que le nombre 5 est, pour la base 10, du

rang 5 ; c'est-à-dire que les nombres 2 . 52e+1 sont toujour s

des bases de première espèce .

Dans l'article XVIII, nous avons à démontrer que le s

nombres 2 . 5 2(' sont aussi des bases de première espèce .

Chose curieuse, le nombr e

5 . 521 = 51 2 + 4 ,

de la forme (35 bis), ne satisfait pas aux conditions suffi-

santes que LEJEUNE DLRICHLET 1 a données, afin que le

produit de deux nombres premiers de la forme 4 v + 1 soit

une base de première espèce .

III. Soit n un positif entier, les nombre s

(36)

n` ± 2, n (n + 1), n (n + 2), n (n -}- 4), 4 n

sont toujours des bases de seconde espèce, abs-traction faite peut-être des petites valeurs de n .

On voit par exemple que les produits

13 . 17, 37 . 41, 97 . 101, 109 . 11 3

sont des bases de seconde espèce, bien que les huit nombre s

premiers en question soient tous de la forme 4 v + 1 .

i Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-

schaften 1834 . Werke, t . I, p . 230 .


8 7

Quant à la base 2 qui est de première espèce, on voi t

que les nombres

(36 bis) 2 . 17=6 2 -2, 2 . 73=12 2 +2, 2 . 97=14 2-2

sont des bases de seconde espèce, bien que les trois nom-

bres premiers 17, 73, 97 soient tous de la forme 4 v + 1 .

Dans l'article XXII, nous avons à étudier plus ample -

ment les nombres de la forme (36 bis) .

Remarquons, en passant, que les bases spéciales que

nous venons d'étudier sont bien connues . En effet, EULER '

en a considéré les quatre qui se présentent sous la forme

a2 + 1 et a 2 ± 2, auxquelles WERTHEIM 2 a ajouté a2 + a ,

tandis que M. F . TANO s a étudié a 2 ± 4, et M. E . DE JON-

QviÈRES 4 remarque que les nombres (2(x + 1) 2 + 4 sont

toujours des bases de première espèce . De plus, ce dernier

géomètre indique que les nombre s

(a' + 1) e2n+1 (a ) = 9'2n+1(a) + 1

sont toujours des bases de première espèce, ce qui est, du

reste, un cas très spécial du théorème IV de l'article X .

Quant aux nombres a 2 ± 1, le théorème II de l'article IV

donnera la proposition curieuse :

IV . Soit a = (4v -1- où 4v + 3 est un nombr e

premier, tous les nombres A2n+1(a) sont des base s

de première ou de seconde espèce, selon que v

est pair, ou impair .

' Algebra, herausgegeben von J . P. GRüsoN, t. II, p . 249-251 ; Berlin

1797 .

Anfangsgründe der Zahlenlehre, p . 223 ; Brunswick 1902 .

s Bulletin de Darboux (2), t. 4, p . 215-218 ; 1890 .

4 Comptes rendus, t . 126, p . 1837-1843 ; 1898 .


XIV. De la base a = cc2 + 2.Revenons maintenant aux polynomes Øm (a) et 1m (a),

définis par les formules (17) de l'article précédent et satis-

faisant aux identités algébrique s

(1) f

®2n (a) (a2 + 2) 22n (a) = 1

02n+1 (a)

(as + 2) 2n+1 (a) = - 2 ,

la fraction continue correspondante, savoi r

(2) Ua'- + 2 = [a, (a, 2 a)] ,

a les réduite s

a cc 2 -}- 1 2 cc 3 + 3 a 2 cc 4 + 4 a 9 -i- 11 '

a ' 2a 2 + 1 '

2 cc 3 -}- 2 a

4 a b' + 10a 3 + 5a 4a 6 + 12a4 -I- 9a2+14 cc 4 -f- 6 a` + 1 '

4 cc5 -;- 8 a 3 + 3 a

ce qui donnera les formules récursive s

a Ø2n-1(a ) + 02n--2 (a )

a

a) + 'Pan-2(a )

Ø2n+1(a ) = 2 a 02n (a) + - 02n-7 (cc )

W2n+1(a) = 2 a W2n (a) + W2n-1(a) .

Appliquons ensuite les définitions (17) de l'article pré-

cédent, il résulte, en vertu des formules (7), (8), (9), (10)de l 'article XI ,

1 2n(a) + 02n+2 (a) = (D2n-1 (a)

(4) 1

Z If2n+1(a) +'f2n-1(a) = 2 c112n ( cc )

(5) Ø2n(a) + a 2n (a) = zjj2n (a )

J

02n+1( a) + a'P2n+1(a) = 2 Z'2n+2(a)(6)

0271+1(a) - a z~f2n+1(a) = 2 ~12n (a)

(2 bis

(3)02n (a ) _

21J2n (a ) =


8 9

Ø4n(a) = 2 Ø2n(a) - 1

w4n+2 (a ) - 02n+1 (a) - 1

W4n(a) = 2 02n(a) ~2n(a )

W4n +2 (a) _ 02n+1 (a) T2n+1(a) .

Remarquons, en passant, que la dernière des formule s

(4) donnera, en vertu de (5), les relations curieuse s

(9) tp2n+1(a)-W2n(a) = 02n(a)--w2n-1(a) = au12n(a) •

Quant à la dernière des formules (12) de l'article XI ,

elle donne

(10)

u1 4n+1 (a) = t112n+1(a) + 2 W2n(a) ,

tandis qu'il résulte, en vertu de la formule (14) de l'ar-

ticle susdit,

(11)

2 a w4n (a)

'I1 n+1 (a) - W2n-1(a)1l a t 14n+2(a) W2n+2(a) - W2

2n(O .

Nous avons encore à appliquer la formule (15) de l'ar-

ticle XI, ce qui donnera les relations intéressante s

2'14(a) 4- 1 = tP2n-1(a) W2n+1 ( a)

'112n+1 (a) - 1 = 2 W2n (a) W2n+2 aO .

Cela posé, il saute aux yeux que l'expression de 2112m+1 (a)

indiquée dans la formule (10), est très intéressante, parc e

que 1112m+1(a)est, en vertu des formules (1) et (12), divi-

seur des deux polynome s

(13)

(I) 2m+1 (a) -i-- 2, 2 zu2m(a) -r 1

qui sont tous deux de la même forme que le second membr e

de (10), niais un des deux polynomes qui figurent dan s

les expressions (13) est réduit à l'unité .

l1l

(8)


Cette propriété des '2m+1(a) est très intéressante, a u

point de vue historique, nous le verrons dans l'article XVI,,

en démontrant deux propositions de FERMAT .

Du reste, nous avons, dans l'article XVII, à donner

une nouvelle démonstration de la formule (10) .

Remarquons maintenant que la fraction continue (2 )

appartient à celles considérées par SEELING ; la formule (18)

de l'article II donnera immédiatement

(14)On (a) Øn-1 (a) - (a2 -{_ 2) W,.,(a)

(a) = (- 1 )n a ,

tandis que la définition même des cpm (a) et des ilm(a) ,comme étant, pour m = 1, 2, 3, . , les numérateurs res-

pectivement les dénominateurs des réduites (2 bis), donn e

cette autre identité

(15) on (a) n-1(a) -'Fn(a) Øn-1 (a )

(- 1)n-1 •

Éliminons ensuite, en vertu de (5), les fonctions Ø n (a)

et ,1 (a), il résulte

(16) ZI12 n

2

2-I-1 (a) Æ 2 a w2n (a ) Z112n+1(a ) - 2 ZP'2n ( a ) = 1 ,

où ,les trois signes doubles correspondent entre eux .

Cela posé, on aura immédiatement la proposition :

I . Soit p un positif entier quelconque, les va -

leurs

(17)

x = w2n±1(P), 11 = '1'2n (p)

représentent l'ensemble des solutions en positifs

entiers de l'équation indéterminé e

(18)

x2 Æ2pxy-2y 2 = 1 .

Remarquons, en passant, que les polgnomes Zn (a) et

Hn(a), définis . par les formules (19) de l'article précédent,

se présentent aussi . sous la forme


9 1

( 19)

2n(a) = i-non(1a ) ; H. (a) - l-n `n(1a) ,

il est évident que ces polynomes satisfont à une suite de

relations analogues à celles que nous venons de démontre r

pour les Øn (a) et les Z (a).

Or, ces identités étant, en vertu de (19), des consé-

quences immédiates de.s précédentes, nous nous borneron s

à cette indication de leur existence .

92


CHAPITRE IV

Des nombres x2 -H- ay 2 .

XV. Formules générales .

Dans plusieurs équations indéterminées, les nombres d e

la forme

p 2 + aq z

où a est un positif entier, jouent un rôle fondamental ;

c'est pourquoi il nous semble utile de développer une suit e

de formules fondamentales et de résoudre certains pro-

blèmes, qui se rattachent aux nombres susdits .

A cet effet, prenons pour point de départ l'identité al-

gébrique

(1) (p 2 ± aq 2 ) ( 1 .2 + as2) = (pr ± ags)' + a (ps T rq) 2,

nous avons tout d'abord à résoudre deux problèmes qui

correspondent à des formes spéciales du produit, développ é

dans la formule (1), savoir :

1 . Déterminer les positifs entiers x, y, z qu i

satisfassent à l ' équation indéterminée

(2) (p2 + aq2)(x2 + ag 2

)

z 2 + a,

où p et q sont des positifs entiers donnés, pre -

miers entre eux.

Il résulte immédiatement, en vertu de (1) ,

(3) pxÆqy = ±1 ,équation indéterminée du premier degré qui est toujours

résoluble en nombres entiers, et qui représente la condi-

tion suffisante et nécessaire pour l'existence de l'equation(2) .


9 3

II . Déterminer les positifs entiers x, y, z qu i

satisfassent à l'équation indéterminé e

(4) (p2 + aq2) (.x 2 + ay 2 ) = az 2 +1,

où p et q sont des positifs entiers donnés, tel s

que p et aq sont premiers entre eux.

Dans ce cas, nous avons à résoudre l'équation indé-

terminée

(5) px±aqy = +1 ,

ce qui est toujours possible, parce que p est supposé pre-

mier avec le produit aq .

III . Déterminer les positifs entiers x, ry, z qui


(6) (x2 + ay 2 ) 2 = az2 + 1 ,

où a est un positif entier donné, n'étant pas u n

carré exact .

En remarquant que la formule (1) se présente, dans c e

cas, sous la forme

(7) (x2 + a9 2) 2 = ( x2 - ay2) 2 -F a (2 xy) 2,

on aura ici à résoudre l'équation de FERMAT

(8) x2 -ay2 = + 1 ,

ce qu donnera

(9) x=An , y=Bn , z = B2n ,

de sorte que l'équation (6) n'est autre chose que celle-c i

2

2,Agn - a B2i = 1 .

Multiplions maintenant par a2 + aß2' les deux membres

de (7), il résulte, en vertu de (1), cette autre identit é

(a2 + aß2)(x2 + 42) 2 =

(10)1= [(x2-ay2)a ±2aßxy] 2 -+-a [(x 2-ay2),8Æ2axy~ 2


essentielle et dans la théorie de l'équation de FERMAT et

dans la théorie des nombres x2 + ay 2, nous le verrons, en

résolvant des problèmes convenables .

IV . Déterminer les positifs entiers x, y, z qu i


(11) (a2 + a) (x2 + a 11 2) 2 = z2 + a,

où a et a sont des positifs entiers donnés, tels qu e

a2 + a n'est pas un carré exact .

Soit, dans (10), fi = 1, il résulte, en vertu de (11) ,

x2 -ay2 Æ2axy = ±1 ,

ce qui donnera

x = ±ay±V(a2 +a)y2 1 ,

de sorte qu'il s'agit de résoudre l'équation de FERMA T

(12) t2- (a2 + a)y2 = ± 1 ,

et l'on aura donc

(13) = B., = 1 A R f a Bn

tandis que z se présente sous la forme

(13 bis)

z = (x2 -ay2)a±2axy ,

où les signes doubles qui figurent dans x et z sont le s

mêmes .

V . Déterminer les positifs entiers x, y, z qu i


(14)

(a a 2 + 1) (x2 + ay2) 2 = az2 + 1 ,

où a et a sont des positifs entiers donnés, tels qu e

la somme ag a"+a n'est pas un carré exact .

Posons, dans (10), a = 1, puis remplaçons fi par a, i l

résulte, en vertu de (14) ,

x2 - ay 2 ± 2 a a xy = ± 1 ,

savoir


95

x = Æaay±V(a2 a2 +a)y2 ±1,

ce qui conduira à l'équation de FERMA T

(15)

t2--(a 2 a ? + a)y 2 = ± 1 ,

de sorte que nous aurons

(16)

y = Bn, x= A n ÆaaBn

tandis que z se présente sous la form e

(16 bis) (x2- ay 2 ) a T 2 xy 1 ,z =

où les signes doubles qui figurent dans x et z sont le smêmes .

Quant aux nombres x2 + ay2 , nous avons encore àdémontrer quelques propriétés fondamentales des positif sentiers Xn et Yn , définis par l'identité

(17)

(x + ay2) n = Xn 7- aYR .

A cet effet, multiplions par x 2 + ay2 les deux membre sde (17), il résulte immédiatement, en vertu de (1), les for -mules récursives

+ Xn+7 = x Xn + ay Yn

Yn+i = x Yn T y Xn,

et la conclusion de m à m + 1 donnera la congruenc e

(18)

Yn = 0 (mod y) ,

donc nous aurons la proposition :VI. Une équation de la form e

(19)

(x 2 -E- ay)n = Xn + a

n'est possible, à moins que y = 1 .En second lieu, multiplions par

(x2 -1- ag 2 ) 2 = (x 2 -- ay2)2 -1- a (2 xy)2

96 Nr . 1 . 1vIEI,s NIELSEN :

les deux membres de (17), i1 résulte les deux autres for -

mules récursive s

fXn+2 = (x ~ ay 2)Xn f 2 axyln

~ Yn+2-

(x2 -- ay') Y,, Æ 2 xy Xn ,

ce qui donnera, par la conclusion de m à in + 1, les deux

congruences

(20) X2n+1 0 (mod x)

(21) Y2 0 (mod 2xy) .

Remarquons ensuite que Y2, est toujours un nombr e

pair, nous aurons les deux propositions analogues à VI :

VII. Une équation de la form e

(x2 ~-- ay 2 )2n = X2 -+ - a\

2 R

est toujours impossible .

VIII. Une équation de la form e

(23)

(x 2 + ay2)2n.+i = a Y22n+1 + 1

est impossible, à moins que x = 1 .

XVI. Des cubes . Propositions de Fermat .

Revenons maintenant à la formule (10) de l 'article précé -dent, puis posons x = a, y = ß, il résulte la formule plu s

spéciale

(1) { _

essentielle dans des recherches sur les cubes .

En premier lieu, nous aurons à démontrer le théorème :1. Soit a un positif entier quelconque, l'équa -

tion indéterminé e

(22)

( a2 + a ß 2 ) 3 =

.

(a2 - a ß 2) a+ 2 a aß12+ a [(a2 - a ß2 )fi Æ 2 a2 ,ß1 ",


97

<2)

(x2 -f- au-2 Y = az 2 + l.

n'est jamais résoluble en positifs entiers .

On aura, en effet, conformément à la formule

(x 2 -ag2)x+2axy = +1 ,

ce qui donnera à la fois x = ± 1 et

1-au 2 ±2ay = ±1,

où les signes doubles sont arbitraires ; c'est-è-dire qu'il

nous reste à étudier ces deux équations indéterminée s

ay 2 ±2ay 2 = 0

ay 2 ±2ag 2 = ± 2 .

Or, il est évident que la première de ces équations es t

impossible, parce qu'elle donne y = O. Quant à la seconde

des équations susdites, elle entraîne nécessairement celle-c i

ayy = 2,

parce que les autres combinaisons des signes doubles n e

sont pas admissibles ; c'est-à-dire que nous aurons, comm e

seule possibilitéa = 2, y= 1 ,

et il résulte donc, en vertu de (2) ,

26 = 2z 2 ,

ce qui est impossible .

Comme supplément au théorème I, nous aurons à dé -

montrer celui-ci :

II . Soit a un positif entier, l'équation indé-

terminé e

(3)

(x2 +ay2)3 = z2 + a

n'est jamais résoluble en positifs entiers, à moin s

que a ne se présente sous la form eVidensk. Selsk- Math .-fysiske Medd . 1V . 1.

7

98


(4)

a = 3 a 2 f 1,

où a est un positif entier quelconque . Dans ce cas ,

l'équation susdite n'admet qu'une seule solutio n

en positifs entiers, savoi r

x = a, y = 1, z= 8213a.

La formule (1) donnera ici

(x2 -ay 2)y-T2x2 y = 11 ,

ce qui exige y = + 1, et l'on aura don c

x2 -aÆ2 .x 2 = ± 1 ,

où les signes sont arbitraires ; c'est-à.-dire que l'hypothèse

(6)

a = 3x2 + 1

est la seule possible, et a est par conséquent de la forme (4) .

Soit maintenant a un positif entier quelconque, et soit

a déterminé par l'expression (4), il résulte, en vertu de (6) ,

de sorte qu 'il nous reste à déterminer l'inconnue z .

A cet effet, on aura, en vertu de (1) ,

+z = a(2a 2 11)+2a(3a2 + 1) ,

où Il a la même valeur dans les deux parenthèses qui

figurent au second membre, tandis que les autres signe s

sont arbitraires .

Cela posé, il ne nous reste évidemment que ces deu x

valeurs

(8) z = 8a3 +3 a(8 bis)

et l'identité algébrique

z = 4a' ± a,

(4a'± 1) 3 = (8a 3 + 3a)2 + 3a2 + 1

(5)


99

montre clairement que la valeur (8) est appliquable, que l

que soit le positif entier a .

Quant à la valeur (8 bis), on aura, en vertu de (3) ,

6a4 ±5a'+1 = 0,

ce qui est impossible, et l'équation (3) n'a donc que l a

seule solution indiquée par les formules (5).

Quant au théorème II, je ne me rappelle pas l'avoir vu

dans la littérature qui traite, plus ou moins habilement,

les équations indéterminée s

x' = ± a ,

oh a est un positif entier, littérature de laquelle nous citon s

ici les publications de M . M. E. DE JONQUIERES 1, S. MALTS 2 ,

FAUQUEMBERGUE 3 et le P . TH . PEPIN S . J . 4

Remarquons encore que LE BESGUE 5 et GERONO 6 Ollt

démontré l'impossibilité de l'équation (9), oh le secon d

membre est y2 -7 respectivement y' + 17 .

Revenons maintenant aux deux théorèmes que nou s

venons de démontrer, il est évident qu'ils donnent une suite

de résultats intéressants concernant les cubes, résultat s

parmi lesquels nous aurons à étudier plus amplement ceux

qui suivent .

III . Soi t

(10)

a = 1, 2, 3, 4 ,

l'équation indéterminé e

' Nouvelles Annales (2) t . 7, pp . 374-381, 514-516 ; 1878 .2 Ibid . (3) t . 2, p . 289-297 ; 1883 .a Ibid. (3) t. 4, p . 379-380 ; 1885 .A Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, t . VI B, p . 86-100 ;

1882, Comptes rendus, t. 119, p . 397-399 ; 1894, t. 120, p . 1254-1256 ; 1895 .a Nouvelles Annales (2) t . 8, p . 455 ; 1869.

Ibid . (2) t . 16, p . 325-326 ; 1877 .

(9)

7 .


(11)

x g = ay2 -r- 1

n'est jamais résoluble en positifs entiers .

Considérons tout d'abord les valeurs 1, 2, 3, nous au-

rons, d'après FERMAT, que x est nécessairement un nombr e

de la formex = a2 4- aß 2, a = 1, 2, 3 ,

où a et ß sont des positifs entiers, et le théorème I montr e

que cette, hypothèse est inadmissible .

Quant à la valeur a = 4, l ' équation (11) se présent e

sous la formex' = (2y) 2 +1 ,

de sorte que x est aussi une somme de deux carrés, savoi r

x = a2 + (2 /3)" ,


IV. L'équation indéterminé e

(12)

x~ = y 2 + 3

n'est pas résoluble en positifs entiers .

En effet, on aura, aussi dans ce cas ,

x = a2 + 3 ß 2 ,

et le théorème II montre clairement qu'une telle valeur d e

x est inadimissi,ble .

Soit maintenant, dans le théorème II, a = 1, a = 2, x

se présente sous la form e

x = a2 + 2g" ,

donc nous aurons la proposition :

V. L'équation indéterminé e

(13)

x g = y"+2


101

n'admet qu'une seule solution en positifs entiers ,

savoi r

(13 bis)

x = 3, y = 5 .

Quant aux valeurs a = 1, a = 4, nous aurons à dé -

montrer cette autre proposition :

VI . L'équation indéterminé e

(14)

x3 = y~,+ 4

admet deux solutions en positifs entiers, savoi r

x=5, y = 1 1

x = 2, y=2.(14 bis)

(15)

2

Soit tout d'abord y impair, x aura la même propriété ;

de plus, x est une somme de deux carrés, savoi r

x = a2 ..+ 4 ~ 2

et la première des solutions (14 bis) est une conséquenc e

immédiate du théorème II .

Soit ensuite, dans (14), y un nombre pair, x aura l a

même propriété ; posons donc 2x et 2y au lieu de x et y ,

il nous reste à démontrer cette autre proposition :

VII. L ' équation indéterminé e

= y' + 1


savoi r

(15 bis)

x = y = 1 .

Remarquons que x se présente sous la form e

x = a2 + X3 2 ,

puis appliquons la formul e

2 (p 2 -'r- q2 ) = (p+q)2+(p-q)2,


il résulte, en vertu de (1), que a et fi satisfont à une de

ces deux conditions :

( a -f- ß) (a -ß)2 ± 2(4 ~ = ± 1

(a - ß) ((a + ß) '̀ ± 2 aß) = f 1 ,

savoira+ß = + 1, (a-ß)"± 2aß = f 1

a-ß = f 1 , (a+ß)2 ± 2aß = +1 .

Cela posé, on aura une seule condition de la form e

4aß±2aß = 1+1 ,

ce qui exige nécessairement aß = 0, savoir a = 0, ß =

± 1, parce que l'hypothèse aß = 1, a = fi = 1 est inad-

missible ; car x est, en vertu de (15) un nombre impair ;

c'est-à-dire que nous aurons précisément la solution (15 bis) ,

ce qui donnera la seconde des solutions (14 bis) .

Les deux théorèmes V et VI sont dus à FERMAT I , et le

premier de ces propositions n'est autre chose que l ' observa-

tion XLII sur DIOPHANTE 2 . Plus tard FERMAT a communi-

qué cette proposition remarquable à FRENICLE, et c'est cc

dernier géomètre que FERMAT a en vue quand il écrit ,

dans une lettre, datée mercredi 15 août 1657 et adressée à

DIGBY 3 :

»Je lui avois écrit qu'il n'y a qu'un seul nombre

quarré en entiers qui, joint au binaire, fasse un cube, e t

que ledit quarré est 25, auquel si vous ajoutez 2, il s e

fait 27, qui est cube . Il a peine à croire cette propositio n

négative et la trouve un peu hardie et trop générale .

Mais, pour augmenter son étonnement, je dis que, s i

on cherche un quarré qui, ajouté à 4, fasse un cube, i l

OEuvres, t . II, pp . 345, 375 .S Ibid . t. I, p .333 .

8 Ibid . t . II, p . 345 .


103

n'en trouvera jamais que deux en nombres entiers, savoi r4 et 121 . Car 4 ajouté à 4 fait 8 qui est cube, et 12 1ajouté à 4 fait 125 qui est aussi cube. Mais, après cela,

toute l'infinité des nombres n'en sauroit fournir un troisièm equi ait la même propriété! «

Le P . TH. PEPIN ` remarque, avec raison, que la dé-monstration des deux théorèmes susdits, communiquée pa rLEGENDRE 2 , n'est pas rigoureuse, parce qu'elle suppos ex = p2 + 2 au lieu de x = p2 + 2 q 2 , faute que le savantgéomètre a redressée, dans son Mémoire que nous venon sde citer .

Du reste, la faute susdite est très curieuse, comparé eavec les formules (1), (12), (13) de l'article XIV.

XVII . D'autres applications .

Il est intéressant, ce me semble, que les formules géné-rales que nous venons de développer permettent de don-ner une nouvelle démonstration de l'identité (10) de l'ar-ticle XIV, identité qui est la conséquence immédiate duthéorème :

I . L'identité algébriqu e

(1) ( f $ (x) + 29 2 (x)) 2 (x 2 + 2) = h' (x) + 2

admet, comme seules solutions, les polynome s

(2) f(x) = W2nf1 (x), .q (x) = 'P2, ,(x), 11 ( x ) =2IJ4n±1(x) •

A cet effet, remarquons que la formule (10) de l'articl eXV donnera

(a 2 + 2 b ') 2 (a 2 4- 2) _

(3) l = {(a2 -2b 2)a4ab] 2 H-2[a 2 2b2 Æ2abar ,

' Journal de Mathématiques (3) t. 1, p . 345 ; 1875 .

2 Théorie des Nombres, t. II, p . 14 ; 3e édition, Paris 1830 .


nous aurons à déterminer a et b, de sorte que cette for -

mule se présente sous la forme

(4)

(a2 + 2 b2) 2 (a2 + 2) = c2 + 2 .

Cela posé, il résulte, en vertu de (3),

(5) a 2 -2b '2 Æ2aab = ± 1 ,savoir

a = ± ab*V a 2 2)b'+1,

et l'on aura donc à déterminer b sous forme d 'un polynom e

entier de a, tel que la racine carrée devienne aussi u n

polynorne entier de a .

A cet effet, il faut évidemment supprimer, dans (5), l e

signe inférieur qui figure au second membre, donc on aura

(6) b = ZF2n (a ), ka' -I- 2) b 2 + 1 = Ø2n (a) ,

de sorte que a se présente sous la form e

(6 bis)

a = Wen (a) + a zP'2n (a) = Wen+1 ( a ) ,

d'où il résulte, en vertu de (3) et (4) ,

c= (C[2-

2 b 2) a+ 4 ab ,savoir

C = a Ø2n(a) ±/2 a2 Ci~2n (a) ~2n(a) +

+ (a3 + 2 a) ~~2u(a) ± 4 02n ( C'c )

ce qui donnera, après un simple calcul ,

c= a 201,(a)-1)+(a 2 +2) zlf4n (a) ,


C = a 04n (a) + (a2 + 2) q14n (a) ,

de sorte que les formules récursives de LAGRANGS donnent

(7) c - Ø4ni-1(a )•


105

Cela posé, il est évident que les formules (6) et (7 )donnent immédiatement les solutions (2), savoir la démons-tration du théorème I, mais ces deux formules conduiront

plus loin encore .En effet, remarquons que l'équation (1) n'est autr e

chose que la première des formules (1) de l'article XIV,

savoir l'équation de FEBMAT qui correspond à la bas e

x 2 + 2, il résulte, en vertu de la valeur de h (x) ,

(8) 'Ix4n+1(x) = 'P2n +1 (x) + 2 ~~2n (x) ,

savoir la formule (10) de l'article XIV .

Étudions maintenant la formul e

(a' + 2 b 2 )2 (2a 2 + 1) _

(9) ~_ [ a 2 -2b 2 +4aba 1 2 +2 [ (a' -- 2b 2)a+ 2ab 1 2 ,

analogue à (3), nous avons à déterminer a et b, de sort e

que cette formule se présente sous la form e

(10)

(a 2 -¢-2b 2) 2 (2a2 +1) = 2c 2 +1 ,

ce qui donnera

a 2 -2b2 ±4aba + 1(10 bis) I (a 2- 2b')aÆ 2ab = + c .

Or, il est évident que l'équation (10) n'est autre chose qu e

celle-ci(a 2 + 2 b2 ) 2 ((2 a) 2 + 2) = (2 c )2 + 2 ,

savoir l'équation (4), de sorte que nous aurons

(I1) a = '-F2,;»-I (2 a), b = W2n (2 a), c = Ø4n+ i (a ) •

Nous avons encore à citer ici le théorème, analogue à I :

106


II . L'identité algébriqu e

(12) (f2(x)+g2(x))2(x2+1) = h 2 (x)+ 1

admet, comme seules solutions, les polynorne s(13)

f(x) = 99n±1 (x), g (x) = Vn (x), h (x) = `Y2n+1 (x) .

La démonstration est analogue à la précédente, et le s

formules (12) et (13) donnent l'identité (12) de l'article XI,savoir

(14) 1/2.+1 (x)

n-I-1 (x) + n (x) .


107

CHAPITRE V

L'équation de Théon de Smyrne .

XVIII . Formules générales .

Il est évident que le nombre 2 est la plus petite detoutes les bases, mais cette base est aussi une des plu sintéressantes, parce que les Nombres A n et Bn, déterminé spar l'équation correspondante de FERMA T

(1) A 2n-2B2,, = (- 1) n,

jouent un rôle fondamental dans la théorie de l'équatio ngénérale de FERMAT, nous le verrons dans ce qui suit .

Remarquons que les A n et les Bn sont les numérateurs ,respectivement les dénominateurs des réduites de la frac-

tion continue(2) )/2 = [1, ( 2 )] ,savoir

1 3 7 17 41 99 239 577 1393

1 ' 2 ' 5 ' 12 ' 29 ' 70 ' . 169 ' 408 ' 985 '

3363 8119 19601 4732 12378 ' 5741 ' 13860 ' 33461 '

il résulte les formules récursives

A tt = 2 A rz-1 +An-2

Bn = 2 Br,-1 + B:1-2 •

Il est très intéressant que rI-IÉON DE SMYRNE 1 (Theon

' Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t . 14 (1882),p . 132-133 .

(3)

i

(4)


Smyrnaeus) a connu les relations numériques

2 . 1 2-1 2 =1 2 , 2 . 5 2-1=7 2 , 2 . 29 2-1=41 2, 2 . 169 2-1=239 2 ;

c'est pourquoi nous avons rattaché A son nom l'équatio n

de FERMAT dont il s'agit ici .

Remarquons encore, en passant, que M . L . LEMOINE a

donné la résolution complète de l'équation (1), sans »appli-

quer la fraction continue«, mais en cherchant la valeu r

générale de

déterminée par les formules récursive s

xn = 2 xn-1 + xn_2> xp = a, xl - b ,

savoir précisément les formules récursives (4) . Or, je ne

vois ni la différence entre cette méthode et la méthod e

ordinaire ni l'avantage de la méthode »nouvelle« .

Revenons maintenant aux nombres A n et Bn, puis re -

marquons qu'ils se présentent aussi sous la form e

A n = rPn( 1 ), Bn = 'NO),

il résulte immédiatement, en vertu des développements de

l'article XI, une suite de relations linéaires, que nous pou -

vons déduire aussi immédiatement des formules récursive s

(4), en appliquant la conclusion de .m n rn -F 1, savoir :

(5) Ar, = Bn + Bn-1, B,1 = An-1 + Bn-1

(6) A n -An { 1 -An-1 14+1 T Bn-1

2

2

(7) Bn=

An +Ein-1 An+1 - A. Bra 1 Bn-1

2

2

2

On voit, du reste, que les formules (5) se présentent

aussi sous cette autre form e

i Journal de Sciencias Mathematicas et Astronomicas publicado peloDr ., F . Gomes Teixeira, t . 21, p . 68-76 ; 1892 . Citation d'après Jahrbuchiiber die Fortschritte der Mathematik, L . 24 (1892), p . 179 .

(5)

Rechérches sur l'Équation de Fermat .

10 9

(8) An + B n - Bn__ t .

Quant aux formules non-linéaires, nous citons d'abord

celles-ci :

(9) Bn+1 Bn-1 = Bn H- (-1)n

(10)4B,41

4_ An = B e n

(11) Bn +1 --Bn-2BnBn+1 = (1)n

tirées directement des identités, démontrées dans l'article

XI, et c'est la même chose pour ces deux autres formule s

B21,+1 = B2n -1- Bn- 1

(12)2 B2. -- Bz2,+1 B2n-l .

Appliquons ensuite l'équation (1), les formules (12) s e

présentent aussi sous cette autre form e

2 B2n+1 = A n2 Jr fl2n+l

~4 B2n = A n+1 - An-1

Les formules récursives de LAGRANGE donnent ici

(13)

B2n = 2 A n Bn

(14)

A gn = Agn H- '2 B2n ,

d'où, en vertu de l'équation (1) ,

(15)

A 2n = 2A2-(- 1)n = 4Bn+(-1) n ,

de sorte que la première des formules (6) donner a

(16) Agn+1 A2n+1 - A2n1 (_ =

2B22+1- 2 B 2n-( 1 )n

de plus, nous aurons, en vertu de (11) ,

(17)

A201 = 4 Bn B ,t+1 + (- 1) n •

Quant aux formules (15), posons pour abréger

B 2n = 2 v n , B2n+1 = 2 en + 1,


nous aurons

(18)

A 4n = 16vn + 1, A 4n+2 = 16 Qn(Pn + 1) + 3 .

Soit maintenant p un facteur premier de A 2 ,,, on voit ,

en vertu de (14), que le nombre 2 est résidu quadra-

tique de p, ce qui donnera, en vertu de la dernière de s

formules (15) :

1 . Les facteurs premiers des A4,, sont tous d e

la forme 8v+ 1, tandis que les facteurs premier s

des A4n+2 sont ou de la forme 8v+ 1 ou de la form e

8 v + - 3 .

On voit, en vertu de (3), que le nombre premier 3 es t

du rang 4 ; c'est-à-dire que les 134n et les A4n+2 représen-

tent l'ensemble des Bm et des Am qui sont divisibles par 3 .

On voit de même que le nombre premier 5 est d u

rang 3, de sorte qu'une puissance quelconque de 5 es t

du rang impair, et il résulte donc, en vertu des remarque s

faites sur les nombres (35 bis) de l'article XIII :II. Les nombres 52,-j-1 et 2 . e sont toujours de s

bases de première espèce .

Quant au nombre premier 2, il est du rang 2, ce qu i

donnera la proposition :

III. Soit l'indice n de la forme 2" (2q -f- 1), B,, es t

précisément divisible par 2" .

De plus, nous aurons à démontrer cette autre propo-

sition :

IV. Soit n un entier, égal à 3 au moins, on aur a

touj our s(19)

B2 n = 3 . 2n (a2 -}- b 2 ) ,

où a et b sont de parité différente .

En effet, prenons pour point de départ les valeur s

B4 = 3 . 2 2 , A4 =4 2 -1 - -1 ,


11 1

nous auronsB 8 = 3 . 2 3 (4 2 + 1) ,

savoir une expression de la forme (19), et la conclusio n

de rn à in + 1 est évidente, parce que A 2 n se présente tou-

jours sous la forme

Quant aux facteurs premiers des nombres B2n+i, qui

sont tous de la forme 4v H- 1, M . J . PEROTT 1, en étudiant

l'équationx2 -2 q2 y 2 = 1 ,

où q est un nombre premier de la forme susdite, a essayé ,

avec un certain succès, 'de déterminer la forme de q ,

de sorte que l'équation susdite soit résoluble en positif s

entiers . C'est-à-dire que M . PEROTT a essayé de déterminer

la forme des facteurs premiers des nombres B2n+i, ou, ce

qui est la même chose, la forme des nombres premiers d u

rang impair, pour la base a = 2 .Revenons maintenant aux nombres A n et Bn , il est évi-

dent que plusieurs des résultats que nous venons d'obteni r

sont intimement liés à l'équation indéterminé e

(20)

x 2 -{- y 2 = 2 z 2 ,

équation qui a, comme solutions générales ,

+x = a 2 -ß 2 ±2aß = (a±ß)2 2 ß 2

+1J = a 2 -ß 2 Æ2 a ß = (a+ß)2-2

N

ß2

z = a2 ß2 ,

où a et ß sont premiers entre eux et de parité diffé-

rente .

Soit maintenant, dans (20), g = 1, on aura

X = A2n+1, z = B2n +1 ,

1 Journal de Crelle; t . 102, p . 185-223 ; 1887 .

A 2n = p 2 H- q2.

(21)


tandis qu'il résulte, en vertu de l'expression de y,

(a+ß)2 -2ß" = (-

a

,ß = B,,,

a = A„ ± B„ = B„+ 1

a±ß = B„+1 ± B,, = + A„+1 .

Cela posé, la valeur de x deviendra

x = A +1- 2B= 21,241

-A (-1)" ,

ce qui donnera, en vertu de (16) et (21) ,

v = n ou v = n H- 1 ,et l'on aura donc

z = 8211 1 = B,2; B2n+l ,

savoir la formule (12) .

ce qui donnera

savoir

XIX . Des puissances biquadratiques .

Parmi les problèmes qui se rattachent à l'équation d e

FERMATx" a y" - + 1

un des plus intéressants est la question si un des nombres

x et y peut être un carré exact .

Quant à l'équation de THÉON DE SMYRN E

(1)

An - 2 Bn = (- 1)n ,

il est très facile de démontrer la proposition :

1 . Le nombre Ai = 1 représente la seule solu-

tion possible de l'équatio n

A n

p' .

En effet, EULER 1 a démontré que l'équation indéter -

minée

Commentarii Academile Petropolitanæ, t . 10 (1738), .p . 130-139 ;

1747 .

(2)


11 3

x~ + 1 = 2 g 2 ,

qui correspond à (1) et (2), pour n impair, n'admet qu 'une

x} -1 = 2y 2 ,

qui correspond à (1) et (2), pour n pair, n'admet que l a

seule solution en nombres entiers x = 1, y = O .

Quant aux An, on aura de même :

ombres Ben ne peut être un carré ,

B2:~ = p 2

l'équation (3) n'est autre chose qu e

2 An Bn = p 2 ,

nous aurons, parce que A n est toujours impair,

(4)

A n = r 2 , Bn = 2s 2 , p = 2rs .

Or, la première de ces équations n'est possible que pour

n = 1, ce qui donnera B i = 1, et la valeur 2s 2 , indiquée

par la seconde des formules (5), n'a aucun sens .

Quant à l'équation

B2n+l - p2,

supplémentaire à (3), elle admet des solutions . On aura ,

en effet,

(5 bis)

Bi = 1 2, B, = 132,

mais j'ignore s'il y a d'autres solutions de l'équation (5),

équivalente à celle-ci

(6)

La dernière des valeurs spéciales, indiquées dans (5 bi s

est assez singulière . En effet, il résulte, en vertu de (1),

Vidensle Se]sk. Math.-fysiske Medd . IV, 1 .

8

seule solution en nombres entiers, savoir x =

tandis que l'équation

rl = 1 ,

II. Aucun des n

savoir l'équatio n

(3 )

est impossible .

Remarquons que

celle-c i

(5)

x '2 + 1 = 2g'.


(A2n +1 +1)2 (A 2n +1 -1) 2Bzn+l

+2

2

ce qui donnera la proposition :

III . Le carré de B2n+1 est toujours la somme des

carrés de deux nombres consécutifs .

Inversement, l'équation indéterminé e

(8) J 2 = x2 +(x + 1) 2

donnera immédiatemen t

(2x+1)2 -2y2 = - 1 ,savoir

A2n+i- 1(8 bis)

J = B2n+1, x =

2

Cela posé, les valeurs numériques B7 = 169, A 7 = 239

donnent13 = 22 ± 32, 134 = 1192 + 120 2 ;

c'est-à-dire que les deux équations indéterminées simultanée s

(9) x =y2 + (y+ 1 ) 2, x4 = z2 + (z + 1) 2

admettent les solutions en positifs entiers

x = 13, y = 2, z = 119,

mais y en a-t-il d'autres ?

M . E. DE JONQUIÈRES I a postulé que les deux équations

indéterminées simultanées

(10) x = y 2 +(y+1)2, x2 = z2 +(z+1)2

n'admettent, abstraction faite de la solution triviale x = 1 ,

y = z = 0, qu'une seule solution en positifs entiers, savoir :

x = 5, y=1, z = 3 ;

c'est-à-dire que les nombres

` Nouvelles Annales (2) t. 17, pp . 241-247, 289-310 ; 1878 .

(7 )


115

B 1 = 1, Bs= 5

représentent les seules solutions possibles de l'équatio n

B2n+1 = p2 + (p + 1 ) 2 ,


(11 bis)

2 B2n+1 = (2p + 1 ) 2 + 1 ,

mais, malheureusement la démonstration de M . DE JON-

QUIÈRES est fausse .

En effet, B2n+1 étant la somme de deux carrés, il es t

possible de déterminer une expression de la form e

B2n+1 = x 2 + u2,

de sorte que nous aurons, en vertu de (7) ,

~

2

~1 2n+1±1 2x

J _ A2n+1 Æ 1x-- J =

2 ,

2

mais le géomètre distingué suppose que x et y soient le s

valeurs déterminées par la formule (11), ce qui est na-

turellement inadmissible .

On voit que cette faute est analogue à celle mentionné e

dans l'article XVI, concernant la démonstration des pro -

positions de I'ERMAT .

Du reste, la démonstration de M . DE JONQUIÈRES serai t

rigoureuse, pourvu que la représentation de B2n+1 sous

forme d'une somme de deux carrés n'admette qu'une seule

solution, ce qui n'a cependant pas lieu, nous le verron s

dans l ' article XXXI.

Or, on n'a pas encore réussi, que je sache, à démon-

trer ce fameux postulat de M . DE JONQUIÈRES ; c 'est-à-dire

que les résultats, qu ' en ont tirés LUCAS ' et GERONO 2 ne sont

point démontrés jusqu'ici .

' Nouvelles Annales (2) t . 18, p . 74-77 ; 1879 .2 Ibid . (2) t. 17 . p . 381-383 ; 1878 .

(11)

8*

116 Nr . 1 . NrELs NIELSEN :

Revenons maintenant à l'équation (5), il résulte, e n

vertu de la formule (12) de l'article précédent ,

(12) ,

p2 = Bn { Bn+ 1

ce qui donnera

(12 bis) p = a2 + ß", B2. = 2aß, B2,,+1 = a2 - ß 2 ,

où il faut supposer 2v = n ou 2v = n H- 1, selon que n

est pair ou impair, mais comment déterminer ces deu x

positifs entiers a et ß?

Chose curieuse, l'équation (11) se présente aussi dan s

cet autre théorème :

IV . Soit p un nombre premier, et soi t

(13) A4n+2 = px2 ,

p est nécessairement de la forme 8v + 3, et Ben+ 1

se présente sous forme d'une somme des carré s

de deux nombres consécutifs .

- En effet, la formule (13) donnera, en vertu de la for -

mule (15) de l'article précédent ,

(14)px2

= (2 B2n+1 + 1) (2 B2n+1-- 1) .

Or, le premier des facteurs qui figurent au second

membre de (14) étant de la forme 4v + 3, le second, au

contraire, de la forme 4v -r- 1, il est évident que p est de

la forme 8v --I- 3, parce que A4n+2 n'est jamais, en vertu

de la proposition I de l'article précédent, divisible par un

nombre premier de la forme 8v + 7 .

Cela posé, il résulte, en vertu de (14)

2 B2n-I- t i f= pt2 , 2 Ben+1 1 = u 2 , x= tu ,

ce qui donnera

pt2 = n2 2, 4B2n+1 = pt2 -j-- u 2,


11 7

où il faut lire, au second membre de la première de ces

formulés, + 2, parce que 2 n'est pas résidu quadratique

du nombre premier p = 8v ± 3, de sorte que nous auron s

(15) pt2 = u= + 2, 4 Ben+1 = pt2 + u 2

savoir(u-

(16) 2 B 2n.+1 = u2 ~- 1, B2n+1 =

+

2 ) >

ce qui est précisément la formule (11), mais il faut re -

marquer que le nombre u est ici une solution de la pre-mière des formules (15), savoir d'une forme particulière .

Quant à la formule (15) en question, neus la connais -

sons déjà du théorème IV de l'article IV, et nous la re -

trouvons encore une fois, dans l'article XXIII .

Revenons maintenant aux formules (16), nous connais -

sons deux solutions de ces équations, savoir

B 1 = 1, u = 1 ; B3 = 5, u = 3 ,

ce qui donnera, comme solutions de (13),

(17)

A 2 = 3 . 1 2; @ = 11 . 3 2 .

Or, supposons vrai le postulat de M . E . DE JoNQUIÈRFS ,

ces deux valeurs représentent les seules solutions possibles

de l'équation , (13) .

Quant aux nombres B 2rz , nous avons à démontrer le

théorème :

V. Soit p un nombre premier, l'équatio n

(18)

B2,ß =px2

n'admet que deux solutions, savoir

~ p

2, n= 1, .x = 1, B2 = 2 . 1 2

p = 3, n=2, x= 2, B4 = 3 . 2 2 .(18 bis)

Soil tout d'abord p = 2, on aura, en vertu de (18),


An Bn = x2,ce qui donnera

A n = 1' 2 , Bn = s 2 , x = rs .

Or, la première de ces expressions n'étant admissible

que pour n = 1, on aura r = s = x = 1, savoir la pre-

mière des solutions (18 bis) .

Soit ensuite, dans (18), p un nombre premier impair ,

x est nécessairement un nombre pair, de sorte que Ben es t

divisible par 4, ce qui exige que n soit un nombre pair ,

savoir n = 2 v. Posons ensuite x = 2z, l'équation (18) s e

présente sous ].a forme

(19)

2 pz 2 = A2,,B2, .

Supposons maintenant A 2,, divisible par le nombre pre-

mier p, nous aurons

A2,, = pr2, B2,, = 2 s 2 , z = rs, x = 2r s,

et la valeur de B2,, est précisément celle que nous venon s

de déterminer, savoir la première des solutions (18 bis), d e

sorte que nous aurons

v = s = 1, A 2 = pr 2 = 3 ,

ce qui donnera

p = 3, r = s = 1, x=2,

savoir la seconde des solutions (18 bis) .

Supposons, en second lieu, p et Ag n premiers entre eux ,


A2,, = 1'2 , B2,, = 2 ps2, z = rs, x = 2 rs,

ce qui est impossible, parce que A2,, ne peut jamais être

un carré .

Cela posé, la première des solutions (18 bis) donnera :

VI . L'équation indéterminée


11 9

(20)

x 2-8y4 = 1 .

n'admet qu'une seule solution en positifs entiers,

savoi r

(20 bis)

x = 3, y = 1 .

On voit que ce corollaire n'est autre chose que la cé-

lèbre proposition de FERMAT 1 :

VII. Le nombre 1 est le seul nombre trigon e

qui soit une puissance biquadratique .

En effet, I'équation

x(x+1) = 2 ,y 4,

(2x+1)2= 8y 2 -ß-1 ,

n'est autre chose que l'équation (20), donc nous aurons ,

comme la seule solution possible de l'équation proposée ,

x = y = 1.

Cette proposition de FERMAT a été retrouvée par EULER 2

et LEGENDRE 3 , néanmoins elle est parfois attribuée à ce

dernier géomètre'.

Comme application de la proposition VI, nous avons à

démontrer cette autre :

VIII. L'équation indéterminé e

(21)

x 4 -8x 2 y 2 + 8y 4 = 1


savoir

(21 bis)

x = g = 1 .

savoir

On aura, en effet, en vertu de (21),

1 CEuvres, t. II, p . 402 .

2 Commentarii Academia:. Petropolitanæ, L . 10 1738), p . 140-141 ;

1747 .9 Théorie des Nombres, t.

p . 7 .

` Voir par exemple Gauoao : Nouvelles Annales (2) t. 16, p . 230-234 ;

1877 .

120

Nr . 1 . NIsLS NIELSEN :

x2

4y 2 V89 4 -{-1 ,

ce qui donnera, en vertu de (20), le résultat susdit .Remarquons, en passant, que le P . Th. PPPIN 7 a étudié

l'équationx4 - 8 x2 y 2 + 8 y4 = z 4,

de laquelle (21) est un cas très spécial .Quant à la seconde des solutions (18 bis), elle donner a

le corollaire :IX . L'équation indéterminé e

(22)

x 2 - 18 y 4 = 1

n'admet qu'une seule solution en positifs entiers,savoi r(22 bis)

x = 17, y = 2 .

En terminant cet article, nous avons encore å donne rla proposition :

X. Soit p un positif entier, sans facteurs qua-dratiques, une expression de la form e

(23)

A2n(2 ) = px 2

est impossible, à moins qu e

(23 bis)

x = B„(p), 2Bn (2) = AI,(p) .

La formule (23) donnera, en effet, en vertu de la der-nière des expressions (15) de l 'article XVIII ,

4BN2) +

1) n = px2 ,

(2 Bn(2)) 2 -px 2 = ( 1)n-'- ,

ce qui donnera immédiatement les relations (23 bis).

savoi r

1 Memoire della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei, t . 14, p. 7 1-85 ; 1898 . Citation d 'après Jahrbuch über die Fortschritte der Mathema-

tik, t . 29 (1898) . p . 158-159 .


12 1

Soit n un nombre pair, on voit que p est nécessaire-

ment une base de première espèce .

XX . Des nombres An .

Dans l'article XVIII, nous avons démontré que A2,, es t

toujours un nombre de la forme 2p 2 1 1 . ,Quant aux- nom-

bres A2n+1 nous avons à démontrer les deux théorèmes :

1. Le nombre(1) Al = 1

représente la seule solution possible de l'équa-

tion

(2) A2n+1 = 2p2 -1- 1 .

II . Les nombres

(3) A l = 1, A3 = 7

représentent les seules solutions possibles d e

l'équation(4) A2n-~-1 = 2p 2 _ 1 .

Ces deux théorèmes sont, en effet, des conséquence s

immédiates des formules (16) de l'article XVIII, ` savoir

(5) A2n+1 = An+1-Arz+ ( 1 )n 2 B2,-,+1 2 Br1-- (-1)n ,

car les formules (2) et (4) donnent toujours, quelle qu e

soit la parité de n, une des deux équations

2

2Bn+1 -Bn p `

2A2n+1 - A n = 2p- ,

d'où il résulte, en vertu des formules (5) et (7) de l'ar-

ticle XVIII,(6) itAn+1

p 2

(7) 2BnBn-1 = p2 .

Cela posé, il résulte, en vertu du théorème I de l'ar-

ticle précédent, que la formule (6) n'est possible que pour

122


p = 1, ce qui donnera la première des solutions (3) . Quant

à l'équation (7), on aura

(8)

B2r = 2 r2 Bev+1 = s2, p = 2 rs ,

où 2v = n ou 2v = n-l, selon que n est pair ou im-

pair, ce qui donnera, en vertu du théorème V de l'article

précédent, v = 1, r = 1 .

Or, B3 = 5 n'étant pas un carré, la seconde des équa-

tions (8) donnera Bi = 1, s =-1, savoir p = 2,'et l'on trouv e

donc la seconde des solutions (3) . Remarquons encore qu e

l'hypothèse v = 0 donnera, en vertu de (8), r = 0, s = 1 ,

p = 1, savoir la solution (1) .

Introduisons maintenant, dans l'équation de THÉON ,

A2n+1 = 2x2 ± 1 , B2n+1 = y ,

il résulte, en vertu des deux théorèmes I et II, le corol-

laire :

III. L'équation indéterminé e

(9)

x4 + (x2 +1 )2

y 2

n'est pas résoluble en nombres entiers, abstrac-

tion faite de la solution triviale x = 0, y = 1, tan -

dis que l'équation analogu e

(9 bis)

x4 4-(x 2 - 1) = y 2

admet deux solutions en positifs entiers, savoi r

x= y = 1 ; x=2, y=5.

Dans l'article XVIII, nous avons aussi démontré que

les A2n se présentent toujours sous la forme 4p2 f 1 . Quant

aux nombres A2,+1, nous avons à démontrer les deu x

théorèmes :

IV. Le nombre Ai = 1 représente la seule solu-

tion possible de l'équation


12 3

Agn+1 = 4p2.+

1 .

V. Aucun des nombres A2,n+1 ne se présente sou s

la form e

(11) .

Agn+1 = 41)2 - 1 .

En effet, les formules (5) donnent ici une de ces deux

équations

Or, la dernière de ces équations est impossible, parc e

que les A2n sont des nombres impairs, tandis que la pre-

mière n'est possible que pour la valeur triviale n = 0, ce

qui donnera p = 0, savoir la solution Al = 1 de l'équa-

tion (10) .

Cela posé, on aura ici le corollaire :

VI . L'équation indéterminé e

(12)

(2 x2 )2 + (2x2 ± 1) 2 = y 2

n'est pas résoluble en positifs entiers, abstrac-

tion faite de la solution triviale x = 0, y = 1 .

On voit que le théorème II n ' est autre chose qu'une

proposition fameuse, indiquée par FERMAT 1, dans une lettre

adressée à FRENICLE, savoir :

VII . Les équations indéterminées simultanées

(13)

x = 2y 2 -1, x 2 = 2z2 - 1

admettent seulement deux solutions en positifs

entiers, savoi r

(13 bis) .x=y=z=1 ; x = 7, y = 2, z = 5 .

Cette proposition de FERMAT est très intéressante, et i l

1 CEuvres, t . II, p . 434 .

(10)

~n+1 Ba = 2p 2

A n An-1 = 4p2 .

124 Nr . 1 . NiEt .s Nim SEN :

semble que le grand géomètre en a communiqué sa dé-

monstration, ce qui est très rare .

En effet, d'après LucAS ' , on lit dans les manuscrits d e

Bou1LLIou (Bullialdus) :

»M. Fermat a envoyé à M . Frenicle la démonstration

par laquelle il preuve qu'il n'y a aucun autre nombre qu e

le seul 7 qui, estant le double d'un carré - 1, soit la ra-

cine quarrée de la mesme nature (c'est-à-dire qui soit l e

double d'un carré -1) .

7 est double du quarré 4, - 1, c'est-à-dire, 8 -1, et

son quarré 49 est le double du quarré 25, -1, c'est-à-dire

50 - 1 . q

Or, la lettre de FERMAT et la réponse de FRENICLE

semblent toutes deui perdues, et la proposition susdit e

de FERMAT a causé beaucoup de difficultés aux géomètres

qui ont cherché de la démontrer, mais en vain L . Le P. PEPIN s

a par exemple indiqué que, si les équations indéterminée s

simultanées (13) ont d'autres solutions que celles indi-

quées par FERMAT, savoir les nombres (13 bis), ces solu-

tions contiennent au moins 3849 chiffres .

Or, au moment oû le P . PEPIN a publié sa Note sus-

dite, deux géomètres ont déjà réussi à résoudre le pro-

blème difficile dont il s'agit .

1 Nouvelles Armal :

2 , t . 18, p . 75 ; 1879 .

z Voir par exemple la Note de LUCAS dans les Nouvelles Annales ,

(2) t. 18, p . 74-77 ; 1879 .

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t . 15 (1883), p . 195 ;

t . 16 (1884), p . 154 . La Note du P . PEPIN est publiée dans les Atti dell a

Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei t . 26 (ou t . 36) p . 23-33 ; 1884 .

Les indications du Jahrbuch concernant les numéros des tomes de l a

publication périodique susdite sont, aux environs de l'année 1884, trè s

confuses . De plus, dans le premier lieu cité, on lit 3848 chiffres, dan s

le second 3849!


125

En effet, GERONO 1 a démontré que les seules solution s

en positifs entiers de l'équation indéterminé e

(14)

1 + x + x2 + x 3 = (x + 1) (x2 +1 ) = y 2

sontx = 1, y=2 ; x=7, y=20,

et l'on voit, que l'équation (14) se décompose en celles-c i

x + 1 = 2m2, x' + 1 = 2n2 , y = 2mn,

dont les deux premiers sont identiques à (13) .

Or, ni le Jahrbuch über die Fortschritte der Mathema-

tik 2, ni LUCAS, dans sa Note susdite sur la proposition de

FERMAT, n'ont remarqué que GERONO a résolu le problème

en question .

Plus tard, GRNOCCxi 5 a trouvé une solution presqu e

identique à celle de GÉRONO .

XXI . Des nombres B n .

11 est très intéressant, ce me semble, que les nombre s

Ben+1 ont des propriétés analogues à celles que nous venon s

de démontrer pour les A2n1, savoir :

1 . Les nombres

Bi = 1, B3 = 5

représentent les seules solutions possibles d e

l'équation .

(1 bis)

Ben+1 = 4 p 2 + 1 .

En effet, appliquons le théorème Il de l'article XVIII ,

il s'agit de résoudre les deux équations indéterminées si-

multanées

1 Nouvelles Annales (2) t . 16, p . 230-234 ; 1877 .

a Voir t . 9 (1877), p . 137 .

Jahrbuch, t . 15 (1883), p . 145 . La démonstration est reproduite ,

sans commentaires, dans les Nouvelles Annales (3) t. 2, p .306-310 ; 1885 .

(1)


(2)

x = 4p2 + 1, x 2 = y2 + (g -;- 1) 2 .

Soit tout d'abord y un nombre pair, on aura don c

(3 )

y = 2 a,ß, y + 1 = a2 ß 2, x = a2 + , ß2 ,

ce qui donnera

a2 -2a,ß-ß2 = 1, x = 2,62-}-2aß-}- 1 ,


(3 bis) (a - ß)2 - 2,3 2 = 1, a - ß = A2a,, ß = B2v .

Cela posé, il résulte, en vertu des deux expressions de x ,

( 4)

2p2 = fi (ß + a) = B2v A2v+1 ,

équation qui n'est pas résoluble en positifs entiers, de sorte

qu'il ne nous reste qüe la solution triviale de (3 bis), sa -

voir a = 1, ß = 0, ce qui donner a

y=p=0, x = 1 =B1 .

Soit, en second lieu, dans (2), y un nombre impair ,

on aura+ 1 = 2 aß, y

a 2 - ß2 , x = a2 + N3 2 ,savoir

(ß+a)2 -2a2 1, x= 2a2 -2aß+1,

ce qui donnera

(4 bis) fi -f- a = A2v , a = B2,,, 2p2 = B2„ A2v_l ,

et cette dernière équation n'étant possible que pour v "= 1 ,

on aura doncp = 1, x=5=B3 .

GERONO 1 a résolu les deux equations indéterminées si-

multanées (2), sans remarquer qu'elles se rattachent à l'équa -

tion de THÉON .

II . Le nombre BI = 1 représente la seule solu-

tion possible de l ' équatio n

1 Nouvelles Annales (2) t . 1-7, p . 521-523 ; 1878 .


127

( 5)

B2n+1 = 2p2 + 1 .

Il est évident que la démonstration de ce théorème est

analogue à celle que nous venons d'établir pour le théo-

rème précédent . Il faut simplement remplacer les équation s

(4) et (4 bis) par celles-ci

p2 = B2,, A2v+1, p` = B2,, A2v-1 ,

équations qui sont impossibles pour une valeur positiv e

de l'indice v, de sorte qu'il ne nous reste que la solution

triviale p = 0, x = 1 = B1 .

III . L'équatio n

(6)

B2n+1 = 4p 2- 1est impossible .

En effet, soit 1 un nombre pair, la dernière des équa-

tions (2) donnera

ß2 = a2 -2aß-1, x 2a 2 -2aß-1 ,


a-ß = A 2v , ß = B2v , 2p2 = A2„ B2v+1 ,


L'hypothèse y impair donnera de mêm e

a2= ß 2 +2aß-1, x = 2ß 2 +2aß-1 ,savoir

ß ± a = A 2 ,, a = B2,, 2p2 = B2v__1 B2v ,

ce qui est également impossible .

IV. Le nombre B 1 = 1 représente la seule solu-


( 7)

B 2n.+1 = 2p2- 1 .

La démonstration est tellement analogue aux précédente s

qu'il nous semble inutile de l'établir plus amplement .


XXII . Résolution de problèmes diverses .

Les nombres An et ßn , étudiés dans les articles précé-

dents, jouent un rôle essentiel dans la Théorie des Nom-

bres, parce qu'ils permettent de résoudre plusieurs pro-

blèmes d'une forme simple, problèmes parmi lesquels nou s

avons à considérer quelques-uns, pour la plupart bien

connus .

I . Déterminer un nombre trigone qui soit u n

carré exact.

L'équation indéterminée dont il s'agit, savoi r

(1)

x (x + 1) = 2 9 2 ,

se transforme en celle-c i

(2x--1-1)2= 8U 2 +1 ,

x =

ce qui , donnera

(1 bis)A2n - 1

$2 n2

, Y_ 2 ,

et ces nombres donnent aussi la solution complète de ces

deux autres équations indéterminées

1+2-+3-}- . . .+x= y 2

1 3i - 3 3+ 3 3+ . . . + x 3 = y~ .

II . Déterminer deux nombres trigones, dont l e

premier soit le double du second .

Dans ce cas, il s'agit de résoudre l'équation indéter -

minée(3)

x (x + 1) = 2u (il -I- 1) ,


(2x

1) 2 = 2(2y , 1) 2 1 ,


A2n+1 -1

B 2n-ß- 1(3 bis)

x =2

y =

2


129

et il est évident que ces nombres donnent aussi la solu-

tion complète de ces deux autres équations indéterminée s

{(4)

1 -f -- 2 -{- 3 + . . .H- x = 2(1 + 2 -I- 3 -f - . . . + y) .

1 3 + 2 3+ 33+ . . . + x3= 4 (1 3+ 2 3 + 3 3+ . . . -r' J3) .

Dans l'»Educational Timeso on a traité le problème

plus généralx (x +.1) = ny (9 -F- 1) ,

où n est un positif entier ; cependant la solution donné e

de ce problème ne me paraît pas complète, et je m e

réserve de revenir à l'équation susdite, dans une autr e

occasion .

III. Déterminer un nombre x qui soit un carr é

plus ou moins un, tel que 2x ait la même pro-

priété.

Les équations indéterminées simultanées

-

(5)

x = y2 ± 1, 2x = z2 1


z2 - 2 g 2 = ± 1 ,savoir

(5 bis) z = An , q = B,Z , x = lin + (- 1) n = Bn-I.1 Bn_. 1 .

IV. Déterminer un nombre x qui soit un carr é

plus ou moins un, tandis que 2x soit un carr é

moins ou plus 2 .

Ici nous avons à résoudre les équations indéterminées

simultanéesx = ~2 ±1, 2x = z 2 ± 2 ,

savoir2 1 2 = z2 Æ 4,

de sorte que g et z sont tous deux des nombres pairs .

Posons g = 2 ß, z = 2u_, il résulte

1 Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t . 32 (1901), p . 197 .

Videnslc . Selsk . Math .-fbsiske Medd . IV . 1 .

9


2,6 2 = a 2 + 1 ,

et nous aurons don c

a = An , fi = Bn , y=2Bn , z=2An ,

d'où il résulte finalement

(6 bis)

x = 4Bn + (-1)n = A2n .

V. Déterminer un carré, dont le double soit-u n

carré plus ou moins 4 .

L'équation indéterminée

(7)

2x2 = y2 ± 4

montre clairement que x et y sont tous deux des nombres

pairs. Posons x = 2a, y = 2,6, nous auron s

NQ2 -2a2 = + 1 ,

ce qui donnera

(7 bis)

= 2Bn, y = 2An .

VI . Déterminer deux carrés consécutifs, dont

la somme soit un carré.

L'équation indéterminée

(8)

x2 H-- (x + 1) 2

y 2 ,

savoir(2x+1)2 -2y2 = - 1

est déjà résolue, dans l'article XIX ; on aura

(8 bis) x =A2n+1`1

A 2n+1 + 1

2

, x+1 =

2

, y=B2n+1 •

Considérons maintenant un triangle rectangulaire, dont

les côtés sont exprimés par des nombres entiers, il est évi -

dent que l'équation (8) détermine de tels triangles, .dont

les cathètes ont la différence un .

Posons pour abréger

Recherches sur l'Gquåtion de Fermat .

13 1

A2n-1 - 1, bn = B2n_.1, Ti ? 1 ,2

la solution complète de l'équation indéterminée (8) est re -

présentée par les valeur s

(10) x = an, y = bn .

Or, les formules récursives de LAGRANGE

r12n+1 = 3 A2n-1 H-- 4 B2n-1

B2n+1 = 2 A2n-1 + 3 B2n-1

donnent, en vertu de (9), ces autres formules récursive s

an+1 = 3 an + 2 b n + 1(11)

1

~

qui permettent de déterminer successivement les nombre s

am et b,n , à l'aide de la solution triviale ao = 0, br = 1 .

La première des formules (11) est due à M. TH. MuIR 1 ;

quant à la seconde, elle montre que l'équation indéter-

minée

(12) 3x+4y =, 2 = u 2 + v2

est résoluble en positifs entiers . Mais il me semble un pro-

blème très difficile de déterminer toutes les valeurs posi-

tives entières de x, y, u, v qui satisfont à cette équation,

ce qui exige, en effet, de déterminer toutes les représenta-

tions de la forme

B2n+1 = u 2 +v2,

et je ne crois pas que la solution de l'équation (12), donnée

dans l'»Lducational Times« 2 soit complète .

' Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, t . 23, p . 264-267 ;

1901 .2 Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t . 35 (1904) ,

p . 206-207 .

l

bn+1 = 4 an + 3 b n + 2

132


VII . Démontrer que x = 1, x = 5 sont les seul s

positifs entiers qui satisfassent aux deux con-

ditions

(13)

x = y2 + 1, 2x 2 = u 2 + 1 .On aura

LI = A2n+1, x = B 21i+1 ,

et le théorème I de l'article précédent montre que la pre-

mière des équations (13) n'est possible que pour n = 0 et

n = 1, ce qui donnera précisément x = 1, x = 5 .

Cela posé, il résulte, en vertu de (5), que x = 1 et x = 5

sont les seuls positifs entiers qui satisfassent aux trois con-

ditions(14)

x = y 2 + 1, 2x = z2 + 1, 2x 2 = t2 + 1, .

et l'on voit que les deux premières de ces équations donnent

une infinité de solutions, tandis que la première et la der-

nière ne donnent que les deux solutions susdites .

Quant aux deux dernières des équations (14), il est évi-

dent' que z et t sont tous deux des nombres impairs . Po-

sons z = 2a + 1, t = 2,3 + 1, il résult e

x = a2 + (a + 1) 2 , x 2 = S2 + (6 + 1) 2 ,

savoir le problème de M . E. DE JONQUIERES, problème qui

se présente par conséquent aussi sous cette autre form e

(15)

z2+ 1 x 2 = t2+ 12

2

Enfin, nous avons 5 résoudre un problème, régard é

mais pas résolu par MonET-BLANC 1 et par Lucas 2 , savoir :

VIII . Démontrer que les équations indétermi -

nées simultanée s

(16)

x = 6 y 2 , .x + 1 = z 2, 2x + 1 = u2

Nouvelles Annales (2) t . 15, p . 46-48 ; 1875 .2 Ibid . (2) t. 17, p . 381 ; 1877 .

Recherches sur 1'2quation de Fermat .

133

n'admettent qu'une seule solution en positifs en -

tiers, savoi r

(16 bis)

x = 24, y = 2, z = 5, u = 7 .

On voit, en éliminant x, que le système (16) est équi-

valent à deux des trois équations suivantes, prises arbi-

trairement ,

(17) u 2 -2z2 = - 1

(18) u2 - 3 (2 y) 2 = 1

(19) z 2 -6~2 1

Étudions tout d'abord les deux premières de ces équa-

tions, il résulte, en vertu de (17) ,

(20)

u = A2n+1(2), z = B2n+l (2) ,

tandis que la seconde donner a

(21)

uf1 = 2a2, u1 = 3ß2, y = aß .

Or, la première de ces expressions n'est, en vertu de s

théorèmes I et II de l'article XX, possible que pour

u= 1, a = 0, 1=3ß2

u= a = 1, ß= 0

u = 7, a=2, ß= 1 ,

et l'on voit que le premier de ces systèmes est inadmissible ,

que le second donnera la solution triviale x = y = 0,

z= u = 1, tandis que le troisième conduira à la solutio n

indiquée par les formules (16 bis) .

Lucas, en étudiant les équations (16), donne seulemen t

u + 1 = 2 a 2 au lieu de la première des formules (21) .

Remarquons encore que les équations (17) et (18) don-

nent immédiatement la proposition :

IX . L'équation

(22)

A2n+1(2) = A2v(3)

134 Nr. 1 . NIELsNrELSEN :

n ' admet qu'une seule solution, savoi r

(22 bis)

n = v = 1, A 3 (2) = A 2 (3) = 7

En second lieu, les équations (18) et (19) donnent cett e

autre proposition :

X . L'équatio n

( 23)

B..(6) = B,,(12 ) =2B

2p(3)

ne donne que la seule solutio n

(23 bis) n=v= () =1, B 1 (6)=B1(12)=2B2 (3)=2.

MOnET-BLANC, dans son essai maladroit de résoudre

les équations (16) indique empiriquement la proposition X .

Quant aux équations (17) et (19), elles donnent la propo -

sition :

XI . L'équatio n(24)

Ben+1(2) = Aß.(6 )

n'admet qu'une seule solution, savoi r

(24 bis)

n = v = 1, B3 (2) = A 1 (6) = 5 .

Enfin, nous aurons, en multipliant les deux première s

des équations (16), puis appliquant la troisième, cette autr e

proposition que nous avons à étudier plus amplement dan s

les articles XXVI et XXVIII :

XII . L'équation indéterminé e

(25)

u 4 - 24 t 2 = 1

n'a qu'une seule solution en positifs entiers ,

savoi r

(25 -bis)

u

7, t = 10.

Recherches sur l 'Équation de Fermat .

135

CHAPITRE VI

Des puissances d'un nombre premier .

XXIII . De la base a = (2v + 1) 2,9 + 1

Dans les articles VIII et X, nous avons déjà mentionn é

un théorème concernant les nombres premiers de la form e

4v + 1, théorème que nous avons à démontrer ici, à u n

autre point de vue, savoir:

1 . Soit 4v + 1 un nombre premier, la puissanc e

impaire (4v+ 1) 2e+1 est toujours une base de pre-

mière espèce, donc l'équation de Ferma t

(1) x2 _ (4 v + 1 ) k+1 q2 =

est résoluble en positifs entiers .

A cet effet, nous désignons par 2 o + 1 un nombre pre-

mier impair quelconque, il est évident que l'équation de

FERMAT

(2) x 2 - up 2 = 1, a = (2 o + 1) 2()+1 ,

> o ,

est toujours résoluble en positifs entiers .

Cela posé, nous désignons par x et g les plus petite s

des solutions de l'équation (2), ou, ce qui est la même chose ,

(3) (x -}- 1) (x - 1) - age .

Soit maintenant x un nombre, pair, les deux facteur s

x +1 et x-1 sont premiers entre eux, donc on aura, en

vertu de (3) ,

(4)

xf 1 = ap2 , x ~1 = q 2 ,

- pq ,


ce qui donnera

(5) 2x = ap e + q2, q 2 -- ap e = Æ 2,d' oit

(6) x = g2 f 1 = ap e + 1 .

Soit, au contraire, x un nombre impair, les deux fac-

teurs x + 1 et x-1 ont le plus grand commun diviseur

2, et l'on aura, en vertu de (3) ,

(7) x±1 = 2ap2 , x+1 = 2q2 , q = 2pq

ce qui donnera

(8) x = 2g2 *1 = 2ap2 +1 ,d'où

(9) x = ap2 T q 2 , q 2 ap 2 = + 1 .

Cela posé, nous avons à étudier séparément les deux

hypothèses a pair et a impair .

Soit tout d'abord d un nombre pair, le nombre premier

en question est de la forme 4v + 1, et il est évident qu e

la dernière des équations (5) est impossible, parce que so n

premier membre est multiple de 4 ; c'est-à-dire qu'il ne

nous reste, dans ce cas, que les formules (7) .

Or, x et q étant les plus petites solutions en positif s

entiers de l'équation (2), on aura nécessairement, en vert u

de la dernière des formules (9) ,

(10) q2 ap2 = 1 ;

c'est-à-dire que l'équation (1) est résoluble en positifs en -

tiers, et a est par conséquent une base de première espèce .

Remarquons, en passant, que la formule (10) donnera

q = A1 , p = B1 ,

de sorte que nous aurons, en vertu de (7) et (8) ,

q = 2 A 1 B 1 = B2 ,

= 2 4 + 1=A2 .


13 7

Soit ensuite o' un nombre impair, le nombre premier

est de la forme 4v + 3, et la puissance (4v -f- 3) 20-1 es t

une base de seconde espèce, ce qui exclut la dernière de s

formules (9), parce que x et il sont les plus petites solu-

tions de l'équation (2) ; c'est-à-dire qu'il ne nous reste qu e

les équations (5) .

Cela posé, nous retrouvons évidemment les formules d e

l'article IV, mais la méthode que nous venons d'appliquer

ici ne donne aucun éclaircissement sur la nature des nom-

bres p et q, qui figurent dans les expressions de x et y ,

savoir de Al et B1, indiquées dans les formules (4) et (6) .

Remarquons, en passant, que la dernière des formules

(5) se rattache au théorème IV de l'article XIX .

Du reste, notre démonstration du théorème I n'est

qu'une légère modification de celle que LEGENDRE 1 a appli-

quée pour établir le cas spécial du théorème susdit qu i

correspond à q = O .

Revenons maintenant au cas général, nous aurons à

démontrer quelques autres théorèmes concernant l'équatio n

de FERMAT

(11)

x2= ag 2 = + 1, a = (2v + 1) 20- 1 ,

où 2v + 1 est un nombre premier .

II. Une équation de la form e

(12)

A m (a) = 2cs 2 ± 1

n'est jamais possible pour m impair.

Étudions tout d'abord l'équation (11) qui correspond à

la valeur -1 au second membre, a est une base de premièr e

espèce, et l'indice in de A,n (a) est nécessairement un nombr e

impair. Introduisons ensuite, dans (11), la valeur (12) d e

Am (a), il résulte

1 Théorie des Nombres, t . 1, p. 65, 3 e édition, Paris 1830 .

138 Nr . 1 . NIELS NIELSEN:

4 a2 (a 2 * 1) = ay2 2 ,

ce qui est impossible et pour y pair et pour y impair .

Quant à la valeur -j- 1 au second membre de (11), o n

aura, en vertu de (12) ,

(13)

4 a2 (a 2 + 1) = ay2,

et il est évident que a ne peut pas être divisible par l e

nombre premier 2v + 1, parce que le premier membre de

(13) est, dans ce cas, divisible par une puissance paire du

nombre premier susdit, tandis que le second membre es t

divisible par une puissance impaire .

Cela posé, il est évident que y est divisible par 2 a ,

savoir

(14)

y = 2 a z,

ce qui donnera, en vertu de (13) ,

a2 ± 1 = az 2,


a = Ap (a), z = Bp (a) ,

donc on aura, en vertu de (14)

(15)

y = B2p (a), x = A2p (a) .

Soit le nombre premier de la forme 4v + 3, il résult e

de la formule (23) de l'article IV que les A2R+1, tirés de

(11), sont toujours un carré plus ou moins un . Quant aux

nombres premiers de la forme 4v + 1, nous aurons à dé -

montrer le théorème :

III . Soit, dans l'équation (11), v un nombr e

pair, l'équatio n

(16)

Am(a ) = a 2 + 1, a = (4v + 1 )2'+ 1

n'est possible pour aucune valeur paire de l'in -

dice m .


139

Soit, en effet, in un nombre pair, il faut supprimer la

valeur -1 au second membre de (11), et l'on aura, en

introduisant, au lieu de x, la valeur (16) ,

a2 (a 2 + 2) = ay2 .

On voit, comme dans la démonstration précédente, qu e

a ne peut pas être divisible par le nombre premier 4v + 1 ,

de sorte que l'on aura nécessairement y = az, ce qui

donneraa2 + z = az 2,

et cette équation est impossible, parce que son premier

membre est de la forme 4a-1, le second, au contraire ,

de la forme 4z+ 1 .

XXIV. De l'équation x} -ay 2 = 1.

Soit 2v H- 1 un nombre premier, on connaît des équa-

tions de FERMA T

.x 2 -ay2 = + 1, a = (2v + 1) 2Q+ 1

où le nombre x est un carré, ce qui a lieu par exemple

pour a = 5 .

Dans ce cas, on aura en effet

9 2 -5 . 4 2 = 1, A2 (5) = 32,- B2 (5) = 22 ,

de sorte que x et g sont tous deux des carrés .

Or, il est très intéressant, ce me semble, que les équa-

tions indéterminées de la form e

x'- ay 2 = 1, a = (2v +1) 2E'-rl ,

où 2v + 1 est un nombre premier, se rattachent intimemen t

à l ' équation de THÉON DE SMYRNE .

En effet, soit, dans (1), x un nombre pair, on aura

x 2 ± 1 = ap 2 , x2 Æ 1 = q2 , y = pq ,

(1)


et la deuxième de ces équations est impossible ; c'est-à-dire

que x est nécessairement un nombre impair .

Cela posé, il est évident que x2 + 1 est toujours u n

nombre de la forme 4o. + 2, tandis que x 2 -1 est multiple

de 8, de sorte que nous avons à étudier deux systèmes

d'équations indéterminées, savoi r

(2) x2 + 1 = 2 q2 , x 2 -1 = 8 are , y = 4 qr

(3) x2 + 1 = 2 aq 2, x2 -1 = 8 r 2, y = 4 qr .

Or, il résulte de la première des équations (2 )

x = A2.+1(2), q = Ben+1 ( 2 ) ,

tandis que la seconde des équations susdites donnera

(4) x± 1 = 4 a2, x Æ 1 = 2 a,8 2 , r= a/3

(5) x± 1 = 4a a2, x Æ 1= 2 ß 2, - r= aß .

Quant aux équations (4), il résulte

x = 2a2 ±aß2, 2a2 aß2 = ± 1 ,

ce qui donnera

x = A 2,,+1(2) = 4a2 Æ1 ;

mais, dans l'article XX, nous avons démontré que la valeu r

4 a 2 -1 est inadmissible, tandis que la valeur 4 a2 -I- 1 exige

=0, x= 1 ,

ce qui donnera, en vertu de (4), la condition impossibl e

aß2 = 1 .

Étudions maintenant les équations (5), nous auron s

x = ß 2 +2aa2, ß 2 -2aa2 = Æ1 ,

et, comme dans le cas précédent, en vertu de la première

des équations (2),


14 1

x = A91 (2), q = 2n+1(2 ) ,

ce qui donnera

x = A2,_1_1(2) = 2 ß 2 ± 1 .

Or, il résulte des recherches de l'article XX que ces

expressions de x ne sont possibles que pou r

x = 1 , /3 = 0 ; .x=7, /4= 1 ,

ce qui n'est pas admissible .

Cela posé, il nous reste seulement les équations (3) qu i

représentent par conséquent la condition nécessaire e t

suffisante pour l'existence de l'équation (1) .

Remarquons maintenant que la première des équation s

(3) n'est autre chose que celle-ci

(6) x 2 - 2 aq2 =

1 ,

nous aurons la proposition essentielle :

L Supposons résoluble en positifs entiers

l'équation (1), l'équation (6) aura nécessairemen t

la même propriété, de sorte que la base a est tou-

jours de la forme

(7) a = (4 v

où 4v +1 est un nombre premier .

On voit donc que cette condition nécessaire exclut dè s

à présent toutes les bases de la forme

(8) a = (4v + 3)2;' +1 ,

où 4v + 3 est un premier, mais c'est la même chose pou r

d'autres valeurs de a .

Soit par exemple a = 17, on aura 34 = 62 -2, ce qui

est une base de seconde espèce, et l'équation correspondante

(6) n'est pas résoluble en positifs entiers .

142


On voit du reste qu e

A4,i (2) = 4B2.ß( 2 ) + 1

est toujours une base de première espèce, tandis que

2A4n(2) = 4A2n(2 ) - 2

est toujours de seconde espèce .

Revenons maintenant à l'équation (6), nous auron s

(9) x = A2rz+1(2 a), q = B2 .ß+1(2 a) ,

tandis que la deuxième des équations (3) donner a

(9 bis)

x = Alk (2), ~' = 2 B 2k ( 2 ) ,

donc nous avons démontré le théorème :

H . Soit, 4v +1 un nombre premier, l'égalit é

(10) x = Agn+1(2 a) = A2k (2), a = (4v ± 1)2P+1 ,

où les indices net k sont à déterminer convenable -

ment, représente la condition nécessaire et suffi-

sante pour la résolution en positifs entiers d e

l'équation proposée (1) .

Supposons maintenant remplie la condition (10), pui s

supposons déterminés les indices n et k, la valeur corres-

pondante de y se détermine, en vertu de la dernière de s

équations (3), par l'expressio n

(11) J = 4qr = 2B2k( 2) B2R+1(2a ) .

Soit particulièrement a = 5, la fraction continue

donnera

A1 (10) = A2 (2) = 3 ; B1 (10) = 1, B2 (2) = 2 ,

v10 = [3, (6)]


14 3

d 'où il résulte

x = 3, y = 4, 3 4 - 5 . 2 4 = 1 .

Remarquons encore que la proposition I donnera im-

médiatement cette autre :

III . Soit 4v+ 3 un nombre premier, l'équatio n

indéterminé e

(12) x2 -4ay 4 = 1, a = (4v + 3) 2'9+ 1

n'est pas résoluble en positifs entiers, ou, ce qu i

est la même chose, une expression de la form e

(13) Bn(a) = 2p 2

n'est pas admissible.

Remarquons que, dans (12), x est impair, nous auron s

x~ 1 = 2a a4 , x~ 1= 2,84 ,

= a,6 ,

ce qui donnera

(14) Q4 -' a a 4 = + 1 ,

où il faut par conséquent supprimer le signe supérieur qui

figure au second membre, parce que a est une base d e

seconde espèce, et la proposition I montre clairement qu e

l'équation (14), ainsi obtenue, n'est pas résoluble en posi -

tifs entiers .

XXV. De la base 2a = 2(2v + 1) 20- 1

Dans les recherches de l'article précédent, nous avon s

appliqué l'équation de FERMA T

(1)

x2 -2ay2 = 1, a = (2v+1) 20 + 1

où 2v +1 est un nombre premier, c'est pourquoi nou s

nous sommes proposé d'étudier plus amplement une telle

144


équation, et nous avons tout d'abord à démontrer l e

théorème :

1 . Soit, avec la définition susdite, 2a une bas e

de seconde espèce, l'équation indéterminé e

(2) 2 q 2 - ap 2 = + 1

est résoluble, et il existe de telles solutions p et q

de (2) que les nombres A 1 (2a) et B 1 (2a) se présen-

tent sous la form e

(3) A 1 (2 a) = 4q'± 1, .B 1 (2a) = 2 pq ,

et inversement . Soit A1 (2a) de la forme susdite, 2 a

est toujours une base de seconde espèce .

En effet, remarquons que, dans (1), x est toujours im -

pair, nous aurons à regarder ces deux systèmes d'équation s

indéterminée s

(4) x1 = 2ap2, x+1. = 4q 2 , y = 2pq

(5) x f 1 = 4 ap2 , x+ 1 = 2q 2 , q= 2pq.

Étudions tout d'abord les équations (4), il résulte

(6) x = ap2 + 2 q2 , 2 q 2 - ap 2 = + 1, x = 4 q 2 ± 1 .

Quant au système (5), on aur a

x = q 2 -I- 2ap e , q 2 - 2 ap2 = + 1 ,

mais la seconde de ces équations est impossible . En pre-

mier lieu, il faut supprimer la valeur - 1, parce que 2 a

est une base de seconde espèce, et nous aurons en outre ,

en vertu de la première des équations (7) ,

x = A 1 (2 a) > q ,

ce qui exclut la valeur + 1 au second membre de l a

dernière des équations susdites .

Cela posé, il nous reste seulement le système (4), ce qui

entraîne précisément les expressions (3) de A 1 (2 a) et B1 (2 a) .

(7)

Recherches sur 1'Ëquation de Fermat.

145

Inversement, soit A 1 (2a) de la forme (3), il résulte, en

vertu de (1),16 q 4 + 8 q 2 = 2ay2 ,

de sorte que y est un nombre pair, et l 'on aura donc

(8)

q2 (2 q2 +1) = ayi , u = 2 q1 .

Or, il est évident que les deux facteurs qui figurent au

premier membre de (8) sont premiers entre eux, ce qui

entraîne que q ne peut pas être divisible par le nombre

premier 2v + 1, parce que le premier membre est, dans ce

cas, divisible par une puissance paire de ce premier, l e

second par une puissance impaire .

Cela posé, y i est nécessairement divisible par q, savoi r

yi = qz, et l'on aura donc

2 q2 +1_ = azt ,

savoir la seconde des équations (6), de sorte que le systèm e

(5) est exclu, et 2a est par conséquent une base d e

seconde espèce.

Il est évident que le théorème I est appliquable tou s

les nombres premiers de la forme 4v + 3, mais c'est l a

même chose pour les nombres premiers de la forme 4 v H-- 1 ,

comme nous l'avons remarqué dans l'article précédent .

Du reste, je me réserve de revenir, dans une autre

occasion, au problème que nous venons d'étudier ici .

XXVI. Résolution de l'équation x 1 -2 (2v + 0 2 Q-F1 y 2 = 1

Il est très intéressant, ce me semble, qu'il est possible

de résoudre complètement l'équation indéterminé e

(1)

x4 -2ay2 = 1, a = (2v+1) 20+ 1

où 2v + 1 est un nombre premier impair quelconque .Vidensk. Selsk Math .-fysiske Medd . IV, 1 .

10


Remarquons tout d 'abord que x est impair, il est évi-

dent que x 2 + 1 est de la forme 8q + 2, tandis que x 2- 1

est de la forme 80; de plus, aucun de ces deux nombre s

ne peut être un carré .

Cela posé, il est évident que l'équation (1) est équiva-

lente au systèm e

(2)

x2+ 1 = 2 r2, x2 1 = 4 as2, y = 2rs ,

où r est par conséquent impair, s pair.

Or, la première des équations (2) donnera

(3) x = A2,, +1 (2), r = B2,,+1( 2 ) ,

tandis qu 'il résulte, en vertu de la deuxième ,

(4) æÆi = 2aa2 , xÆ1 = 2,8 2, s = a,8,

donc on aura

(4 bis)

x = 2,82 ± 1, N82- a a 2 = Æ 1 ,

d'où, en vertu des théorèmes I et II de l'article XX ,

x

1, x= 7 .

On voit que la première de ces valeurs est inadm ssible ,

tandis que la seconde donnera ,6 = 2, de sorte qu'il ré -

sulte, en vertu de la première des équations (4) ,

aal = 3, a = 3, a = 1 ,

ce qui donneras=2, r=5, g=20,

et nous avons donc démontré le théorème curieux :

I . Soit ` 2))+1 un nombre premier, l'équatio n

indéterminé e

x 4 2 ag a = 1, a = (2v + 1) 2 (' +I , ~~ 0(5)


14 7

n'est jamais résoluble en positifs entiers, à moin s

qu e

(5 bis)

P = 0, v = 1, 2v +1 = 3 ;

dans ce cas on aura la seule solution possibl e

-(6)

x=7, y=20.

On voit que ce théorème représente une généralisatio n

très étendue du théorème XII de l'article XXII ; du reste,

il conduira immédiatement à ces deux autres théorèmes :

II . Soit 2v-I- 1 un nombre premier, une équa-

tion de la form e

(7 )

B2 .(2 a) = p 2 , a = (2v + 1) 2('+ l

n'est jamais possible .

En effet, dans l'équation de FERMAT

(8) x2 2 ay 2 = + 1 ,

dont il s'agit ici, x est toujours un nombre impair ; c'est -

à-dire que l'équation

2A,137, = p2 ,

équivalente à (7), donnera

An = a2 , Bn = 2 ß 2 , p = aß,


(9) a4 -2a(2/32) 2 = + 1.

Or, a4 + 1 étant de la forme 8 a + 2, l'équation (9) es t

de la forme (5), de sorte qu'il résulte, en vertu du théo-

rème I,a = 3, a = 7, 2 ß2 = 20,


io*


III . Soit, dans (8), v un nombre impair, un e

équation de la form e

(10)

Ben (2 a) = 2 p 2, a = (4v ± 3) 2e+ 1

n'est jamais possible .

On aura, dans ce cas, en vertu de (10) ,

a4 -2a,d4 = 1 ,

équation qui est, en vertu du théorème I, impossible .

A n = a2 , Bn = i2, p = a/ß ,

ce qui donnera

Recherches sur l'Équation de Femnat

149

CHAPITRE VII

D'autres bases spéciales .

XXVII. L'équation d'Archimède .

Il est évident que le nombre 3 = 1 2 + 2 est la plus

simple des bases étudiées dans l'article XIV . Posons

A n = 02n(1),

Bn = ''2n(1 )

an = 02n+1 ( 1 ), b n = W2n+1 (1 ) ,

les solutions complètes des deux équations indéterminée s

(1) x2 - 3 y2 = 1

(2) 3 U 2 = u2 + 2deviennent

(1 bis)

x = An, rJ = Bn

(2 bis)

u = an , o = bn .

Appliquons maintenant la fraction continu e

J/3 = [1, (1, 2)] ,

les An et les Bn sont les numérateurs, respectivement le s

dénominateurs des réduites aux indices impairs, en com-

mençant par l'indice 0, savoir

2 7 26 97 362

1 ' 4 ' 15 56' 209 ' .

tandis que les a n et les bn sont les numérateurs, respective -

ment les dénominateurs des réduites aux indices pairs, savoir


1 5 19 71 2651' 3 ' 11 ' 41 ' 153' .

Il semble que déjà ARCHIMÈDE 1 a connu une méthode pour

la détermination successive des solutions de (1) ; c'est

pourquoi nous rattachons à l'équation susdite le nom d u

plus grand géomètre de l'Antiquité .

Introduisons maintenant, dans les formules de l'article

XIV, la valeur a = 1, nous aurons une suite de relation s

entre les nombres A n et Bn, an et bn. Or, nous nous borne-

rons à indiquer ici les plus intéressantes de ces formules

nombreuses, savoi r

2(3) A 2 ,, = 6 Bn + 1,

A2n+1 = a2n+1 + 1

(4) B2 n = 2 An Bn, B2n +1= an+l bn+ 1

(5) 2B,, -, + - 1= 1), 1) 72+1 , bn - 1= 2 Bn Bn_1

(6) 2 B2n = bn--1 b n, B2n+1 = Bn+1

Bn2

(7) b2n+1 = bn+l + 2B,,2 .

La formule (7) est bien curieuse, parce que ben+1 est

diviseur des deux nombres

2 BL + 1, a2n+1 + 2

qui sont de la forme x2 + 2 y 2, mais un des carrés est ré-duit .à un.

Remarquons encore que la première des formules (5)donnera, en vertu de (1) et (3) ,

(8)

2AZ+1 = 3bn bn{1 ,

formule qui nous permet de démontrer la proposition :


3x2 +2y2 = 6xy- 1

1 Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t . 14 (1882), p . 133 .

(9)


15 1

admet une infinité de solutions en positifs en -

tiers, savoi r

(9 bis)

y = An, x =-

On aura, en effet, .

Introduisons ensuite, dans (9), les valeurs susdites, pui s

soustrayons les deux équations ainsi obtenues, il résult e

3bn (2A n -bn) = 2A2n +1 = 3bn+1(2An- bn+1),

et nous aurons donc

(10)

2 An = bn + bn+1.

Remarquons encore que les quatre nombres An el Bn ,

an et bn se déterminent tous à l'aide de la même formul e

récursive, savoir

(11)

an = 4 an-1 - an-2

et que les formules récursives de LAGRANGE

savoirx = y ±

VY2 ~1

3

,

_ ~

bn+ 1y = A n , x= An ± Bn -

bn .

An = 2 An_ 1 -}- 3 Bn_1

Bn = 2 Bn-1 + An-1

2 Bn- An = Bn_1

2 A n- 3 Bn = An-1

(12)

donnent

(12 bis)

3

de' sorte que nous aurons toujours, pour n > 1 ,

(13)

2B, > An > 2Bn .

Quant à la base 3, le nombre premier 3 est du rang 3 ,

tandis que 7 est du rang 4, de sorte que les nombres A4n+2

et Bor, représentent l'ensemble des nombres An, et Bm qui


sont divisibles par 7 . Mais, y a-t-il d'autres solutions d e

l'équation

(14)

A4 It+2 = 7 p 2

que A 2 = 7? Problème qui est d'un certain intérêt, nou s

le verrons dans ce qui suit .

Étudions maintenant les nombres A 11 , la proposition I

de l'article XXIV donnera immédiatement celte autre :

II . Aucun des nombres An ne peut être un carré ;

car l'équation indéterminée

(15)

x4 -3y2 = 1


De plus, nous avons à démontrer le théorème :

III . Le nombre Al = 2 représente la seule solu-


(16)

An = 2p2 ;

c'est-à-dire que l'équation indéterminé e

(27)

4x. 4 -3y2 = 1


savoirx = y = 1 .

Remarquons tout d'abord que y est impair, de sort e

que 3 y 2 + 1 est un nombre de la forme 8a+ 4, il est évi -

dent que x est aussi un nombre impair, de sorte qu e

2 x2 + 1 est de la forme 8a+ 3, tandis que 2x2 - 1 est de

la forme 8 a+ 1 .

Cela posé, il résulte, en vertu de (17) ,

(18)

2x2 +1 = 3 u2, 2 .x 2 --- 1 = v2, y = ur ,

car 2x2 + 1 et 2x2 -1 sont premiers entre eux, et l'on

aura, en vertu de (18),


153

(18 bis)

4x 2 = 3n' + v 2, 2 = 3 u'-v',

ce qui donnera

(19)

2x ±v = 3p2, 2xÆv = q2 , a = pq,

parce que 2x et v sont, en vertu de la dernière des équa-

tions (18), premiers entre eux .

Introduisons ensuite, dans la seconde des formules

(18 bis), les valeurs

a= pq, v =

tirées de (19), il résulte

2 = 3p2 q2 -(3p2 p2

)2

'

8 = 8q' - 9 (p2 - q2)2 ,

'de sorte que nous aurons finalement

3

\ 2q 4 -2( p2-q2)

/I = 1 ,

équation qui n'admet que la seule solution en nombres

entiers p = q = 1, ce qui donnera a = v = x = q = 1 .

On voit, que les deux premières des formules (18) don-

nent, comme corollaire, la proposition :

IV . L'équatio n(20)

a. = A2a,+1 (2 )

n'admet qu'une seule solution, savoi r

(20 bis)

n = 1, v = 0, al = A 1 (2) = 1 .

Qûant aux nombres B m , il est facile de démontrer de s

théorèmes analogues aux précédents, savoir :

V. Le nombre B2 = 4 représente la seule solu-

tion possible de l'équation

3pz__ g s

2


8 = 12p2 q 2 - (3p 2 q2 )2 = 18p 2 q 2 9 p } q 4 ,

savoir


(21)

Ben = p2 ;


(21 bis)

x 2 48 y 4 = 1


savoirx=7, y= 1 .

En effet, il résulte, en vertu de (21) ,

2 A nBn = p 2 .

Or, An n'étant jamais un carré, 2A n aura nécessaire -

ment cette propriété, ce qui n'est possible que pour n = 1 ,

savoir B 2 = 4.

'Mais j'ignore, si l'equation

(22)

B2n+1 = p 2,

supplémentaire à (21), admet d'autres solutions que B 1 = 1 .

VI. Aucun des nombres Bn ne peut être le doubl e

d'un carré, car l'équation indéterminé e

(23)

x2- 12 y 4 = 1


Remarquons que les B2n+1 sont tous impairs, il nou s

reste seulement à étudier l'équation

B2n = 2 A n B n = 2p2,

ce qui exige que A n et Bn soient tous deux des carrés, c e

qui est impossible .

Quant aux nombres Bn , nous avons encore à démon-

trer ici un théorème qui nous sera utile dans Paradé qu i

suit, savoir :

VII . Le nombre B 1 = 1 représente la seule sôlu-

tion de l'équation


155

(24) Ben+1 = 2p2 -1.

En effet, .soit, dans l'équation

x 2 -3y2 = 1 ,

y un nombre impair, x est pair et se présente sous la

forme x = 6q ± 2, ce qui donnera, en vertu de (24) ,

(4q ± 1) 2 = (2p2 1) 2 + 4q 2 ,

de sorte que nous auron s

4q ± 1 = a 2 + ß 2, 2p2 - 1 = a 2 - ß 2, q = aß,

où a et fi sont premiers entre eux et de parité différente .

Cela posé, la première et la dernière de ces équation s

donnent2ß)2 3ß 2 = ~ 1 ,

dê sorte qu'il faut supprimer, dans l'expression x = 6q ± 2 ,

le signe inférieur, donc on aur a

fi = B,,, a -- 2 /3

± A,,, a = 2 B„ + A,,,

ce qui donnera

2p2 -1 = 3B ±A -4A,,B„ = 2A2,, ±4A„B,,-1 ,

savoir

(25) p 2 = A„ (A ), + 2 B„) ,

car A,, 2B,, est, en vertu des inégalités (13), un nombre

négatif.

Soit maintenant, dans (25), v un nombre pair, A„ est

de la forme 4o + 2, parce que le nombre 2 est du rang 2 ;

c'est-à-dire que 2 est le plus grand commun diviseur d e

A,, et de A„ + 2 B,,, de sorte que nous auron s

A„ = 2 r2 , A,, + 2 B,, = 2 s 2 , p = 2 rs .

Or, la première de ces équations n'est, en vertu d u

théorème III, possible que pour v = r = 1, ce qui donnera

(cc

150

Nr. 1 . NIELS NIELSEE :

A„ -I- 2B,, = 4 = 2 s 2 ,

supposition qui n'est pas admissible .

Soit donc v un nombre pair, A„ est impair, et les deu x

facteurs qui figurent au second membre de (25) sont pre -

miers entre eux, de sorte que nous auron s

A„ = r2, A„ + 2B,, = s 2 , p = r s,

ce qui n'est possible pour aucune valeur positive de v, d e

sorte qu'il ne nous reste que la solution triviale v = 0, savoi r

r = s = p = 1 .

XXVIII . Applications diverses .

Le dernier résultat que nous venons d'obtenir, dan s

l'article précédent, nous permet de démontrer la proposition

curieuse :


(1) x3 + 1 = y 2


savoir

(2) x = 2,J = 3 .

En effet, remarquons tout d'abord que les deux nom-

bres x + 1 et x 2-x + 1 sont ou premiers entre eux ou

ils ont le plus grand commun diviseur 3 . Or x 2 - x + 1

n'étant jamais un carré, il résulte donc, en vertu de (1) ,

(3) x+1 = 3p2 , x2 x+1 = 3q2, y = 3pq ,

oû p et q sont premiers entre eux, et la deuxième de ce s

formules se présente sous la forme

(2x-1)2 +3 = 3(2q) 2 ,

ce qui donnera, en vertu de la première des formules

susdites,

(4) (2q)2 -3(2p2 1) 2 = ] .


15 7

Cela posé, il résulte, en vertu du théorème VII de l'ar-

ticle précédent, que l'équation (4) n'est possible que pou r

p = q = 1, ce qui donnera précisément la solution (2) .

Quant au théorème que nous venons de démontrer, re-

marquons, en passant, que CATALAN 1 a énoncé, sans dé-

monstration, le théorème général :

Deux nombres entiers consécutifs, autres qu e

8 et 9, ne peuvent être des puissances exactes. '

C'est-à-dire que l'équation indéterminée

(5)

xm = J'n + 1

n'est résoluble en positifs entiers que pour x = 3, y = 2 ,

rn = 2, n = 3, ce qui est précisément notre équation (1) .

LE BESGUE 2 a démontré l'impossibilité de l'équation (5)

pour n = 2, mais il dit que le théorème général est diffi-

cile à démontrer . Plus tard, GERONO 5 a démontré l' im-

possibilité de l'équation (5), dans le cas où y est un nom

bre premier .

Quant à notre théorème I, je ne me rappelle pas l'avoi r

vu complètement démontré, dans la littérature qui men-

tionne, plus ou moins légèrement, l'équation (1), littératur e

de laquelle nous citons, , outre un auteur anonyme r, MM .

GERONO 5 , MEYL 6 et MORT-BLANC 7 .

Écrivons maintenant sous la form e

x 3 = (u+1)(y - 1 )

l'équation (1), puis remarquons que l'hypothèse

1 Nouvelles Annales t . 1, p . 520 ; 1842 .2 Ibid . t . 9, p . 178-181 ; 1850 .8 Ibid . (2) t . 9, p . 469-471 ; 1870 .

Ibid . (2) t. 9, p . 204-206 ; 1870 .6 Ibid . (2) t. 9, p . 452 ; 1870 .6 Ibid . (2) t. 15, p . 545 ; 1876 .' Ibid . (2) t. 15, p . 44-46 ; 1876.


i+1 = p3 , y-1=q 3

est inadmissible, nous aurons nécessairement

y+1=2 133 , yÆ1=4q3, x2pq ,ce qui donnera

(6) p 3 - 2 q 3 = ± 1 .

Or, cette équation indéterminée étant équivalente à

l'équation (1), elle n'admet que la seule solution en posi-

tifs entiers x = g = 1, , qui correspond au signe inférieur

au second membre .

Il est très singulier, ce me semble, qu'aucun des au -

teurs susdits n'ait remarqué que la résolution de l'équa-

tion (6), communiquée par LEGENDRE I , entraîne celle de

l'équation (1) .

Dans le problème I de l'article XXII, nous avons déter-

miné les valeurs de n, pour lesquelles la somme des n

premiers nombres devient un carré . Or, la proposition I

nous permet de résoudre un problème analogue concernan t

la somme des n premiers nombres carrés, c'est-à-dire de

démontrer la proposition :

II . L'équation indéterminée

(7) 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + x2 = y 3


(7 bis)

x (x + 1) (2x + 1) = 6 y 3 ,

n'admet qu'une seule solution en positifs entiers ,savoir

(8) x = y=1.

A cet effet, remarquons que les deux nombres

x (x + 1), 2 x + 1

1 Théorie des Nombres, t. II, p . 13 ; 3e édition ; Paris 1830 .


15 9

sont premiers entre eux, puis remarquons que le premie r

de ces nombres ne peul pas être une puissance, plus élevé e

que la première, d'un positif entier, il est évident que

l'équation (7) conduira à ces deux systèmes d'équation s

indéterminées simultaneés

(9) x(x+1) = 2t 3, 2x+1 = 3u 3 , y = tu

(10) x (x + 1) = 6t3, 2x +1 = n3, y = tu.

Or, la première des équations (9) se présentant sous l a

forme

(2x + 1)2 = (2 t) 3 + 1 ,

savoir l'équation (1), on aura x = t = u = y = 1, ce qui

est précisément la solution (8) .

Quant aux équations (10), on aur a

(2x+1)2 = u6 = 2413 +1,


(11) (u 2 -1)(u4 +u2 +1) = 24t 3 ,

et il résulte donc, conformément aux remarques faites rela-

tivement aux équations (1) et (3), des expressions de la forme

(11 bis)

u2 -1 = 3e(2p)3, u 4 + u2 + 1 = 31' q 3 .

Cela posé, je dis que l'on aura nécessairement fi = 1 .

En effet, les équations (11 bis) donnent immédiatement

3 u2 = 3,6 q 3 - 32' ( 2 p) 6 ,

ce qui exige fi = 1, parce que u n'est pas divisible par 3 .

Posons donc, dans (11 bis), fi = 1, il résulte, en vert u

de (11),

3'p3 q 3 = t3,

c'est-à-dire que a est divisible par 3, de sorte que la pre-

mière des équations (11 bis) se présente sous la form e

u2 -1 = (6p) 3 ,

équation qui n'est pas résoluble en positifs entiers .


Quant aux premiers membres des formules (7), il es t

facile de démontrer cette autre proposition :

III . La somme des n premiers nombres carré s

ne peut jamais être le double d'un carré.

Conformément aux remarques faites relativement à

l'équation (7 bis), l ' équation indéterminée dont il s'agit ici,

savoir

(12)

x(x+1)(2x+1) = 12y 2

conduira à ces autres

x(x+1) = 12z 2, 2x+1 = u2 , .y = zu ,

et les deux premières de ces équations donnent l'équatio n

d ' ARCHIMÈDE

(13)

u 4 3 (4z)2 = 1 ,

qui n'est pas résoluble en positifs entiers .

Remarquons, en passant, que cette autre équation

x (x -i- 1)(2x -r 1) = 18 y2

a la même propriété que (12), celle de ne pas être résolubl e

en positifs entiers, parce qu'elle entraîne nécessairement

que 2x +1. soit un carré, de sorte que nous aurons un e

équation de la forme

p4 (2 q) 2 = 1.

équation qui n'est pas résoluble en positifs entiers .

Cela posé, il est curieux, ce me semble, que l'équatio n

indéterminé e

(15)

1 4 +24 +34 + . . . +x4 = 2y 2 ,


(15 bis) x (x + 1) (2x + 1) (3x2 + 3x - 1) = 60


(14)

2


16 1

En effet, remarquons que les deux nombres

x (x -;- 1) (2 x + 1), 3x (x + 1) - 1

sont premiers entre eux, à moins qu e

2x + 1, 3x (x -F 1)- 1

n'aient le plus grand commun diviseur 7, puis remarquon s

qu'une équation de la forme

3x (x -}- 1) -1 = ap2

n'est possible que pour a = 3p- 1, l'équation (15 bis)

conduira å celles-c i

Or, les deux premières de ces équations donnen t

(17)

49 q 4- 48 r 2 = 1 ,

de sorte que le problème qui nous occupe ici se rattach e

à l 'équationA4n+1( 3 ) = 7 q

2 ,

savoir l ' équation (14) de l'article précédent .

Il est évident que l'équation (17) a la solution q = r = 1 ,

ce qui donnera x = 3, p = 7, q 49, et l'on aura don c14

+ 24 + 34 = 2 . 7 2,

avais y a-t-il d'autres solutions de l'équation (15) ?

XXIX. De la base a = 6.

Nous avons encore à étudier la base 6 = 2 2 + 2 ; posons

~n = 02n (2 ), Bn = '2n(2)

1an = 2 02n+1(2), v n = 412n+1 (2),

Vidensk . Selsk . Malk .-fysiske Medd . IV, 1 .

x (x +. 1) = 12 r2 , 2x -I- 1 = 7 q2

(16) { 3x (x ± 1)-1 = 35p 2 ,

q = 7pur .

1 1

162

Nr . 1 . NIEI .s NIELSEN :

les valeursx = An , y = Bn

u = an , v = b n

représentent l'ensemble des positifs entiers qui satisfon t

aux équations

(1) x2 - 6 p 2 = 1

(2) 3 v 2 = 2 u2 + 1 .

De plus, il est évident que les An et les Bn sont les

numérateurs respectivement les dénominateurs des réduite s

aux indices impairs, en commençant par l'indice 0, de la

fraction continu e

v6 = [2, (2, 4 )savoir

5 49

485 480 12 ' 20 '

198 ' 1960 '

tandis que les an et les bn sont la moitié des numérateurs ,

respectivemeut les dénominateurs des autres réduites, savoi r

1 11 109 1079

1 '

9 ' 89 ' 881'

'

Introduisons, dans l'article XIV, a = 2, nous aurons

une suite de relations concernant les nombres que nou s

venons d'introduire ici, formules parmi lesquelles nous nous

bornerons à citer celles-ci

( 3 ) A 2n = 12 Bn2 + 1, A2n+1 = 4 an+1 + 1

(4 ) B2n = 2An Bn , B2n+1 = 2an+1 b n+i

(5) 4 B2n = bn+ 1

bn , 2 b 2n+1 = Bn+1 Bn

(6) 2 Bn -{- 1= bn bn+ , bn 1= 2 BnBn- 1

( 7 ) b2n+1 = bn+1 + 2 B .

,


163

De plus, les quatre nombres A n et Bn, an et bn se déter -

minent par la même formule récursive, savoi r

an = 10 æn_ 1 - an_2 .

Remarquons encore que la base 6 est de la forme 2 . 3 ,

il résulte, en vertu du théorème I de l 'article XXVI,

1 . Le nombre A2 = 49 représente la seule solu-

lion possible de l'équatio n

(9)

An - p2;


(10)

x4 -6y 2 = 1

n ' admet qu'une seule solution en positifs entiers ,

savoi r

(11)

x= î, y= 20 .

Remarquons, en passant, que l'équation (14) de l'ar -

ticle XX donnera la proposition curieuse :

II . L'équation indéterminé e

(12)

x4 -(x-1)y2 = 1

admet, abstraction faite du cas trivial x= 1, pré-

cisément la même solution en positifs entiers qu e

l'équation (10) .

De plus, le théorème II de l'article XXV donnera :

III . Une équation de la form e

( 1 3)

A2n+1 = 2 p 2 ± 1

est impossible .

Appliquons ensuite la dernière des formules (3), il ré -

sulte de même :

IV. Une équation de lâ form e

(14)

B2„(2 ) = an

est impossible quels que soient les indices v et n .

11 '

(8)

164 Nr. 1 . NIELS NIELSEN

Quant aux nombres Bm , ii est évident que Ben+1, étant

de la forme 4Q + 2, ne peut jamais être un carré, de sorte

qu'il résulte, en vertu du théorème II de l'article XXVI :

V. Le nombre Bn ne peut jamais être un carré ,

donc l'équation indéterminé e

(15)

x2- 6 J4 = 1


De plus, le théorème III de l'article XXVI donnera :

VI . Le nombre Ben ne peut jamais être le doubl e

d'un carré, donc l'équation indéterminé e

(16)

x2 96 y4 = 1.


La valeur A 2 = 49 montre que les Aon+2 et les Bon

sont tous divisibles par 49, tandis qu'aucun autre de s

nombres A m et Bm n'est divisible par 7 .

Quant aux nombres A4n+2, on aura :

VII . Le nombre A 2 = 49 représente la seule so-

lution possible de l ' équatio n

A4n-+ ° 49 1) 2 ,

tandis qu'une équation de la form e

(17 bis)

:̀A 4n+2 = 7p2est impossible .

Remarquons que le second membre de (17) est un carré ,

il ne nous reste, en vertu du théorème I, que l'équation

(17 bis), ou, ce qui est la même chose ,

(18)

49p 4 -2402

1 .

Or, 7p2 + 1 n'étant jamais divisible par 3, et 7p 2

étant de la forme 4o-+ 2, on aura, en vertu de (18) ,

(17)

Recherches sur 1'Éguatiôn de Fermat .

16 5

7 p 2 + 1 = 4 u2 , 7p'-1 = 60, y = t u

savoir1 = 2 a 2 - 3 0 ,

ce qui est impossible, parce que le second membre es t

de la forme 3a+ 2 .

II nous reste encore à démontrer que l'équatio n

(19)

se rattache à celle-ci

(20)

B en.+1(6) = 2p2

B2y+2 (3) = k 2 .

En effet, introduisons, dans l'équation (1), y = 2p 2 , i l

résulte ces deux systèmes d'équations indéterminées simul -

tanées(21) x ± 1 = 12 r 4 , x + l = 2 s 4, p = rs

(21 bis)

x + 1 = 6 r 4, x 1 = 4 s4 , p = rs .

Or, le système (21) n'est pas admissible, parce qu'il

donne

s4 6r4 = ± 1

équation qui n'admet aucune solution en positifs entiers .

Quant aux équations (21 bis), elle donnent

3r4 --2s4= ±1 ,

et il faut donc supprimer la valeur -- 1 au second membre ;

c'est-à-dire qu'il existe, l'équation (19) supposée possible ,

un indice v tel que

(22) ay+1(3) = s2 , by+1(3) =

ce qui conduira précisément à une équation de la form e

(20), où k = rs = p, de sorte que nous aurons

(23) Ben+1 (6) = 2 B2v+1 (3) .

Cela posé, il est bien curieux que l'équation plus général e

(24) Bn = pq2 ,


où p est un nombre prémier impair, conduise aussi ' à

l'équation (20) .

Remarquons tout d'abord que, BR étant un nombre pair ,

q est pair aussi, et il s'agit donc de l'équation indéterminé e

(25)

(x -j- 1) (x 1) = 96p2 g 4,

ce qui donnera ces quatre systèmes d'équations indétermi-

nées simultanées

q = rs

q = rs

q = rs

q = rs .

(a) x f 1 = 2p2r 4, x Æ 1 = 48 s4,

(b) x ± 1 = 6p2r 4, x Æ 1 = 16 s4,

(c) x ~ 1 = 2 r 4 , x + 1 = 48p 2 s 4,

(d) x ~ 1 = 6r4 , x ~ 1 = 16p 2 s 4,

Or, le système (a) donnera, après la suppression de l a

valeur inadmissible -1 ,

1 = p 2 r4 - 24 s 4,

ce qui est précisément une équation de la forme (1), e t

l'on aura donc

(26)

Ay = pr2, B , = 2 s 2,

où v doit nécessairement être un nombre impair, ce qui

est une conséquence directe du théorème VI ; c'est-à-dire

que la dernière des équations (26) est précisément de la

forme (19) .

Quant au système (b), il résulte

1 = 3 (pi.' ) 2- 2 (2 s 2) 2 ,

ce qui est impossible, parce que les a,,(3) sont tous impairs .

On voit que le système (c) donner a

r4 - 6 (2ps2)2 = 1 ,

savoir, en vertu du théorème VII, r = 7, ps t = 10, ce qu i

est impossible, tandis que l'on aura, en vertu du systèm e

(d), l'équation impossibl e


167

1 = 3 r4 - 2 (2ps 2)2

Cela posé, il nous reste seulement le système (a), savoi r

les équations (26), où v est impair ; de plus, il résulte, en

vertu de (24) et (26) ,

Bn = 4pr2 s 2 = .B2,, ,

ce qui donnera la proposition curieuse :

VIII . Une équation de la forme (24) est impos-

sible, à moins que n ne soit de la forme 4v + 2 e t

qu'il n'existe un indice e tel qu e

(27 )

B2v+1 (6) = 2 B20+1( 3 ) ,

où B2Q+1(3) est un carré .

On voit que la valeur

B2 (6) = 5 . 2 2

provient de (26), pour p = 5, r = s = 1, ce qui donner a

131 (6) = 2 B 1 (3) = 2.

XXX. Problème de Lucas .

ÉDOUARD Lucas, dans un livre publié en 1873 1, a

énoncé, sans démonstration, le théorème intéressant :


(1)

1 2 H22 ±32 + . . . + x 2 = 112


(1 bis)

x (x + 1) (2x + 1) = 6g 2

a seulement deux solutions en positifs entiers ,

savoi r

1 Recherches sur l'Analyse indéterminée et l'Arithmétique de Dio-

phante ; Moulins 1873 . Citation de LUCAS, dans les Nouvelles Annales (2 )

t . 18, p . 74-77 ; 1879 .

168

Nr. 1 . NIELs NIFI.sEN :

(2) x = y = 1 ; x = 24, y = 70.

Après l'essai maladroit qu'a fait MORET BLANC 1 de dé-

montrer le théorème susdit, LUCAS 2 a cherché lui-mêm e

A établir une démonstration, en étudiant les neuf système s

possibles de la form e

x

a1 t2, x T 1= a9 te, 2 x + 1

a3 n'

a1 a2 ag = 6, tan = y ,

provenus de l'équation (1 bis) .

Or, sa résolution du systèm e

x= 6P, x+1= u2, 2x -{- 1 = U 2

est incomplète, comme nous l'avons déjà remarqué dan s

l 'article XXIV, où nous avons aussi démontré que cett e

insuffisance est sans influence sur le résultat final. Mais

c'est une chose très grave que LUCAS se contente d'un e

remarque futile concernant le systèm e

(3) x = t', x+ 1 = 2u 2 , 2x H- 1 = 31)',

afin d'établir que ce système n'admet qu'une seule solutio n

en positifs entiers, savoi r

(3 bis)

x = t= u = v = 1 .

En effet, la résolution du système (3) représente tout e

la difficulté du problème proposée .

GERONO 8 a essayé de combler cette lacune du déve-

loppement de LUCAS, mais sa démonstration est fondée sur

»le remarquable théorème« .démontré par M . E . DE JoN-

QUIÈRES, et par conséquent elle est sans valeur.

1 Nouvelles Annales (2) t. 15, p . 46-18 ; 1876 .a Ibid. (2) t . 16, p . 429-432 ; 1877 .s Ibid . (2) t . 17, p. 381- 382; I878 .


169

Plus tard, le P . TH. PÉPIN' S. J . a étudié l'équation

indéterminée (1), »deren Lösung ebenfalls vervollständigt

wird« 2 , mais j'ignore et les résultats et la méthode de c e

géomètre distingué .

Quant au problème de LUCAS, savoir les équations (1) ,

il résulte, conformément aux remarques faites concernan t

l'équation (7) de l'article XXVIII, ces deux systèmes d'équa -

tions indéterminées simultanées

(a)

x (x +1 )1) = 60, 2x + 1

u 2 ,

- tu

(b)

x (x + 1) = 2 0, 2x + 1 = 3 u2 , y = tu .

Quant au système (a), on aura

u 4 -24t2 = 1 ,

savoir u = 7, t = 10, ce qui donnera x = 24, y = 70 ,

savoir la seconde des solutions (2) .

Étudions ensuite le système (b), il résult e

(4) 9u4 -8t2 = 1 ,

ce qui donnera la proposition curieuse :

II . Le postulat de LucAs exige que l'équatio n

(5) A4n+2 ( 2 ) = 3p 2

n'ait que la seule solutio n

(5 bis)

A2(2) = 3,

.

ce qui est certainement le cas, pourvu que l e

postulat de M. E . DE JONQUIÈRES soit vrai .

' Atti della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei, t . 35, p . 281--302 ; 1879 .

2 Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t . (11), 1879 ,p . 135 . Le Jahrbuch, t . 10 (1878), p . 145 indique faussement que LUCAS

ait démontré le résultat (3 his) .

170

Nr . 1 . NIELS NIELSE N

. En effet, supposons que l'équation (4) n'ait que la seul e

solution u = t - 1, nous aurons x = y = 1, savoir la

première des solutions (2) .

Remarquons, en passant, que la démonstration exact e

du postulat de LUCAS n'entraîne pas le postulat de M . E.

DE JONQUIERES, comme le montre clairement la démon-

stration du théorème IV de l'article XIX .

Or, il est très curieux, ce me semble, que les résultat s

indiqués, supposés vrais, permettent de résoudre complète -

ment cette autre équation indéterminée

(6)

1 4 +24 +34 -F . . . . +x4 = y2,


(6 bis) x(x+1)(2x+1)(3x2+3x-1) = 30y2 .

En effet, l'équation (6 bis) donne, en vertu des remar-

ques faites relativement à l 'équation (15 bis) de l'article

XXVIII, ces trois systèmes d'équations indéterminée s

(a) x(x+1)(2x-{-1)= 6z 2 , 3x2 +3x 1 = 5u2 , y=zut)

(b) x(x+1)=612 , 2x+1= 7u 2, 3x2 --j-3x-1=35 v 2 , y=7zuv

(c) x(x+1)=2t2, 2x+1=21u2, 3x 2+3x-1=35v2 , y=7zuv .

Quant aux équations (a), on aura x = z = u = y = 1,

tandis que les valeurs x = 24, y = 70 sont inadmissibles ,

parce que 3 x (x + 1) est multiple de 5 .

Étudions maintenant le système (b), les deux première s

équations donnen t

(2x+1)2 -24t2 = 1, 2x+1 = 7u 2 ,

et il résulte du théorème VII de l'article précédent que ce s

équations ne sont pas résolubles en positifs entiers .

Enfin, les équations (c) donnent

(2x+1)2 -2(2t)2 = 1, 2x+1 = 21 u2 ,


17 1

ce qui est impossible, parce que A2,(2) ne peut pas être

multiple de 7 .

Cela posé, nous venons de démontrer la propositio n

curieuse :

III. Supposons vrai le postulat de LUCAS, l'équa -

tion indéterminée (6) n'admet que la solutio n

triviale x = y = 1 .

172


CHAPITRE VIII

Des bases de première espèce .

XXXI. La base a et les nombres co l,_1 et p,u-1 .

Soit a une base quelconque de première espèce, l'équatio n

2

2A 2n+1 + l = a B2n+ 7

montre clairement que a et B2n+1 sont tous deux un e

somme de deux carrés, savoi r

(2) a = p 2 + q 2

(3) B2n+1 = x2 + y 2

Or, le premier membre de (1) étant ou impair ou d e

la forme 4o- + 2, il est évident que B2n+1 est toujours im-

pair, tandis que a est ou impair ou de la forme 4a+ 2 ;

c'est-à-dire que, dans (2), au moins un des nombres p et

q est impair .

Appliquons ensuite la formule générale (10) de l'articl e

XV, il résulte, en vertu de (1), (2), (3) ,

(4) A2n+1+ 1= [p(x2 -t12) ±2 gxyl 2 +[q(x2 -92 )Æ 2 pxy] 2 ,

donc il est possible de choisir, dans (2), les nombres p et

q, de sorte qu'il soit possible de déterminer x et g tel s

qu'un des deux carrés qui figurent au second membre de

(4) ait la valeur 1 .

A cet égard, nous avons à revenir aux nombres w, et

pr , définis dans les articles III et VI par les formule s

(1)


17 3

2Yr - azr = (- 1Y-1 cor

1r+ 1Yr r]r+i - a z r z,.+1 = (-) Pr '

il résulte, en combinant la dernière de ces formules e t

celle-ci

puis cherchant yr et zr ,

wr+1 fi r = azr+1 -Pr Jr+ 1

(5)Wr+l Zr - Jr+1- Pr zr+l '

tandis que nous aurons de même

wrUr+1 = azr +Pr ljr(6)

co r zr_ 1 = P, zr

t]r '

formules qui sont déjà indiquées dans l'article VI .

Appliquons ensuite la formule (12) de l'article susdit ,

savoi r

il est facile de démontrer le théorème :

1 . Soit a une base de première espèce ayant l e

nombre caractéristique 2,x+1, on aura toujour s

2

2a = w F_i + Pr,-1 •

En effet, la formule fondamentale

w r = w2m-r-1' 0<j'<2p,-1,

donnera

(8)

=

et la formule (7) est évidente .

Cela posé, remarquons que les formules (11) de l'articl e

III donnent,

Jr '4+1- zr Yr+ 1 = (-1)r+1

'

wr w r +1 = a- pr2 ,

( 7 )

17 4

(9)


2

2B 1 = z~ +

je dis que nous aurons, conformément à la formule (4) ,

pour n = 0,

2

2(10) m~-1 (zµ -z - 2pu-1 zµ,-1 z,,Å, (- 1)µ

(11)

' Al = Pµ-1(z2 z ~-1) + 2 mµ-1

Démontrons tout d'abord la formule (10), qui entraîn e

nécessairement (11) ; nous aurons

2m

(p

) ~,,,-1 ?~ - zµ (P,GL-I 2,12_1 + .7µ-1)2

2mµ-1 zF2-1 = (0µ zI-1 = z ,L_1 (Jµ-Pµ-1 ?1L) ,

ce qui donnera immédiatement la formule (10), donc nous

aurons la proposition :

II. Le nombre mµ-1 est toujours impair .

Quant à la formule (11), on aura

2 m f,1 zµ-1 zµ, = 2mµ, zµ-1 z µ = 2 zµ, (yµ- pµ-1 zµ) ,

ce qui donnera, en vertu de (9)

(12)

A l = 2uuzµ-pµ-i B1 ,

de sorte que la formule (11) de l'article III

(13)

A1. = Jµ zµ + Yu- 1donnera

(14)

Pµ-1 B 1 = Jµ Zu- Jµ-1 zµ-1 •

Cela posé, on aura immédiatement, en vertu de (13) et (14) ,

2 2

7AS Pµ-1 Bï = 4 rl LL zµ J NL-1 z u,-1 ,

et l'équation

2

2

2

11 2Al - (Pµ-1 + wu-1 1 Bl = - 1

donnera donc la relation curieuse


17 5

2

2~c-1 B1 = 4 gp , ?u

z,u-1 + 1 ,

de sorte que le nombre qui figure au second membre es t

toujours un ' carré .

Revenons maintenant à la formule (4), puis supposon s

que p soit impair, ce qui est permis, nous savons qu e

l'équation

(16)

p (x2 - g 2) + 2 q xq = ± 1

est, pour p = résoluble en positifs entiers, ce qui es t

une conséquence immédiate de l'équation (10) ; mais y a-

t il d'autres représentations de la forme (2), pour lesquelle s

l'équation (16) soit résoluble en positifs entiers ?

Je n'ai pas réussi à donner une réponse définitive à

cette question, niais supposons résoluble en positifs entier s

l'équation (16), nous aurons

x =

qy +Vau' +p )

y = _ (±qx±Vax 2 +p) ;

c'est-à-dire que les équations indéterminée s

(17)

u 2 -av2 = p

(18)

u2l -av1 = -p

sont toutes deux résolubles en positifs entiers, et il est pos-

sible de déterminer de telles solutions qu e

'

De plus, on aura, dans ce ca s

pv 1 = + gv * u

pv = ~ qv~ + al ,

(15)

(19) B 1 = v2 -H vj

2(20)' aB 1 = u2 + ul .


ce qui donnera, en vertu de (2), (19), (20) ,

(21)

qB I = + (uv f u1 v i ) .

Quant aux équations (17) et (18), il est facile de dé -

montrer la proposition :

III . Supposons qu'une des équations (17) e t

(18) ait une seule solution en positifs entiers, le s

équations ont toutes deux une infinité de telle s

solutions .

En effet, multiplions une des équations susdites, par

exemple la première, par celle-c i

A n2 -aBn = (-1)n,

où n est un positif entier quelconque, il résult e

(u A,2 + avBn ) 2 a (v A n ± u Bn) 2 = (- 1)np .

Soit particulièrement a un nombre premier de la form e

4v+ 1, il n'existe d'autres représentations que (7), don c

il faut admettre, dans (17) et (18 )

(22)

et l'on aura par conséquent

Y2n,utu-1 >

v - z2nau+F--1

ul = 12rzFc+u,

v 1 - 2 2nFa+µ •

XXXII. Des nombres B 2nr:+r .

Soit a une base de première espèce, et soit r un indic e

impair, Br et B2nr+r sont tous deux la somme de deu x

carrés, donc il existe une représentation de la form e

( 1 )

B2nr+r

Br (a2 ±

et il est très facile de déterminer un système des valeur s

de a et fi .

Recherches sur l'l quation de Fermat .

17 7

En effet, on aura, en vertu de la formule logarithmiqu e

générale, savoir la formule (19) de l'article VII ,

2 a Br B2nr+r = A2nr+2r + Agn . ,

de sorte que ta formule

(2 )

Atm = 2a Bn,, + e- 1) m

donnera immédiatement

B r B 2nr+r . - B n2

2 -r+r + Bnr ,

et il résulte donc

B 2nr+r =(3)

Cela posé, remarquons que le nombre

(4) b = aB,. = Ar -}- 1

est toujours une base de première espèce, il est évident

que la formule (1) se rattache à l'équation de FERMA T

x2 - (Ar + 1) y 2 = ± 1 ,

dont les solutions deviennen t

(5) X = fim (Ar), y = m (A r) ,

et nous aurons donc, en vertu de (4) ,

Tn (A r) = Anr >

n (A r) = Br Bnr ,

de sorte que la formule (3) n'est autre chose que 'celle-ci

(7)

B2nr+r = Br (Vn+1 ( Ar) + Yn (Ar) ) .

Or, cette dernière formule montre clairement que l'hypo-

thèse spécialeVidensk . Selsk. Math .-fysiske Medd. IV, 1 .

1 2

(6)

178 Nr. 1 . NIEI.s NIEI.SEN :

(8) Cl = LIX2 +1, a~r2 = 42 + 1

conduira à des résultats intéressants .

En effet, soit r = 2tt + 1, on aura

(9) y r (a) - 'tp,t (a) +

(a),

de sorte que la formule (7) se présente sous la form e

V2nr+r (a) = ( Vu.+l (a) Vn+1 (R) + V au ( a ) Vn (gN)) 2 +I

(10)

Fc (a ) n+1 (fi) + (- 1Y vi,+1 (a) lp n (fi) = Pnr+u (a) ,

de sorte que la formule (10) donnera à la fois l'identit é

obtenue de (9), en y remplaçant r par 2 nr + r, et cett e

autre formul e

Vf 2nr+r( a ) _ (+ 1 (a ) IPn+1 (3) + (-1)u u (a ) Vin ( 3N)) 2 +

(12)

Quant A (11), il suffit évidemment de démontrer un e

seule de ces deux formules, par exemple la première . A cet

effet, il s'agit, en vertu de (6), de démontrer l'identit é

2 (a2 + 1)Vy+1(a ) Pnr+r(a)-(-1)'u,2 (a2+1)ß,u(a) .nr(a) -(13)

= 2 (a2 + 1) 0r (a ) Vnr+u+1 (a) .

Or, la formule logarithmique générale, savoir la formul e

(19) de l'article VII, donnera

2 (a2 + 1 ) "Uiy +1 .q)nr+r (a) = 9'nr+r+µ+1 (a) + (- 1 ) Fr 9'nr+u (a)(- Ir 2(a2 + 1) Vu (a ) Zvnr ( a ) _ (- 1r 11'nr+u. (a ) - ynr-y (a)

+ ('P,a (a) Pn+1 (fi) Æ ~n (fi) 11),,c+1 (a)) 2 ,

Cela posé, je dis que nous aurons

f Ft+1 (a ) n+1 (fi)-(_1)F'

FI (a) Vin (fi) _ nr+u+i (a )(11)

+ (1%ca (a ) p n+l (fi)-(- 1 ) M' v,,,.+ 1 (a ) 1I~n (N)) 2 •


179

de sorte que le premier membre de la formule (13) aur a

la valeur

Tnr+r-F u+1 (a) -1- cp nr-fia (ce) = 2 (a2 + 1) p i. (a ) ' 0 nr+u,+1 (a ) ,

ce qui donnera précisément (13) et par conséquent auss i

la première des formules (11) .

Soit par exempl e

a= 1, r = 3, B 3 = 5,

2B = 50 = 72 +1, ß = 7,

ce qui donnera

A 3 ,, = rp r (7), Bar = tPr (7 ),

et l'on aura donc, en vertu de (7) ,

(14) BGn+3 = 5 (en+1 (7) -i- zpn (7)) ,

tandis qu'il résulte, en vertu de (12),

(15) B rn+3 = (2 Vn+1 (7 ) - '(Pn ( 7 )) 2 + (N+1(7) + 2 vn (7 )) 2

on aura

XXXIII . Des nombres A er+2r .

Soit, comme dans les deux articles 'précédents, a une

base de première espèce, on aura quel que soit m ,

2( 1 )

A4m+2 = 2 A tm+1 + 1 .

De plus,' A 2mp+p étant toujours divisible par A, o u

aura, pourvu que r soit un indice impair ,

A 4nr +2r - A 2r ( x2 + 2 y2 ) >

d'où, en vertu de (1),

(3)

AAnr+2r = (x ± 2 y A r) 2 + 2 (x Ar Æ y) 2 .

Cela posé, il résulte de (1) qu'il est toujours possibl e

de déterminer les nombres entiers x et y, de sorte qu e

(2)

12s

180


(4) X + (- 1) E 2 y A r = ± 1

(5) xA r (- O F y = f A2nr+r .

Quant à l'équation (4), on aura la solution général e

f

.x = ± 1 + 2mAr(6)

=

où m est un entier quelconque, ce qui donnera, en vert u

de (5) ,

(7)

f A2nr+r = (± 1 + 2 m Ar) Ar + m .

Or, A2nr+r étant divisible par Ar , m aura évidemment

la même propriété ; soit donc

m = pGAr ,

il résulte, en vertu de (7 )

(8) f A2nr+r = (f 1

2A) A r. + p,A r.

Remarquons ensuite que la formule (3) donnera, en

vertu de (4) et (5), cette autre expression

A4nr+2r = (x - (- 0F 2 y Ar)2 --{- 2 (xAr + (- 1)Fu) 2 ,


(9) A4nr+2r = (± 1 + 4pAr) 2 + 2 Ar (± 1 -- + 2W Ar) 2 ,

ce qui donnera la formule curieus e

(10 ) A4nr+2r = i+2(,a

8 (1 ,22 Ar

Soit particulièremen t

a = 2, r = 1, A2 =3, A 1 = 1,

on aura, en vertu de (8), une expression de la form e

(11) Agn+i = 3 en + ( 1)t,r ,


18 1

tandis que la formule (10) donnera

(12)

A 4n.+2 = (4 Pn + (-1)'") 2 + 2 (()n + (- 1 Y " ) 2 .

Quant à l'exposant e,z que nous venons d'introduire, la

formule logarithmique (19) de l'article VII donnera ic i

A 2n+5 + A 2n+1 = "2n+3 ,

d'oie, en vertu de (11) ,

3Qn+2+39n-{-(-1)Fn+2+(-1)f' =

en+2 + en = 1 ,

de sorte que nous aurons généralement

(12 bis)

e4~ = e4,u+1 = 0, e4p,+2 = e 4,u+3 = 1 .

Quant à la formule (2), remarquons que B 4 nr est divi-

sible par B4r, savoir par 2 A2,., tandis que les B4nr+2r ne

possèdent pas cette propriété, puis appliquons l'égalit é

2A2r = 4Be r +2,

l'équation de FERMAT

(13)

x 2 - 2 A2r y2 = 1

a évidemment les solutions générale s

x = 02. (2 B2r), t1 = w2n (2 B2r) ,

savoir

et l'on aura donc

(14) A 4nr = m2n (2 B2r), B4nr = A 2r A2n ( 2 B 2r)

De plus, l'équation (13) donnera

2

2men+l (2 Ber) -- 2 A 2r -1-2n+1 (2 B er) = - 2 ,

6 A2n +3 ~

d'où, en posant02n+1 (2 B2r) = 2 12n±i. ,

182 Nr . 1 . NIELB NIELSEN' :

cette autre équation de FERMA T

(A zr 12n+1 (2 B2r)) 2

2 t2n+2

1 = 1 ,

ce qui donnera1

(15) A4nr+2r = A2r 412n+1 (2132r), B4rrr+2r

2W 2n+1 (2'32r•) ,

donc la formule (2) se présente aussi sous celle autre form e

A8nr+2r = A2r ( Z12n+1 ( 2 B2r) -I- 2 t~2n ( 2 B2r.) ) .

Soit par exempl e

a=2, r=1, A2=3, 82 =2,on aura

( 1 6)

A sn±2 = 3 ( IP'2n+1 (4) + 2 :Jr,~F (4)) .(17)


18 3

TABLE DES MATIÈRES

Page sIntroduction 3

CHAPITRE PREMIER

La fraction continue de Lagrange .

1 . Remarques sur le problème général 1 2II . Des réduites de la fraction continue 1 6

III . Du calcul des nombres A l et 731 2 1IV . Des nombres premiers de la forme 4v + 3 2 7V. De la méthode de Brouncker 3 5

VI . Des nombres w ,. et p

CHAPITRE I I

Propriétés générales des solutions .

4 3

VIL Formules d'addition et formules logarithmiques 5 0VIII. Des nombres A n et an 5 5

IX . Des nombres Bn 5 8X. Du rang d ' un nombre entier

CHAPITRE II I

Les polynomes de Cauchy et l'équation de Fermat .

6 3

XI . De la base a = a 2 + 1 6 6XII . Analogies des formules trigonométriques . . .' 7 4

XII! . Applications diverses 7 8XIV . De la base a = e 1 + 2

CHAPITRE I V

Des nombres x2 + ae

8 8

XV . Formules générales 9 2XVI . Des cubes . Propositions de Fermat 9 6XVII . D'autres applications

CHAPITRE V .

L'équation de Théon de Smyrne .

10 3

XVIII . Formules générales 10 7XIX . Des puissances biquadratiques 11 2XX. Des nombres A n 12 1

XXI . Des nombres B ro 12 5XXII . Résolution de problèmes diverses 128

184 Nr . 1 . NIELS NIELSEN : Recherches sur 1 ' rquation de Fermat .

CHAPITRE VI])es puissances d'un nombre premier :

Pages

XXIII . De la base a = (2v + 1)20+1 13 5XXIV . De l'équation x4

ay2 = 1 13 9XXV . De la base 2a = 2(2r +1)2(2+ 1 143

XXVI . Résolution de l'équation x 4 - 2 (2v+ 1) 4+1 y2 = 1

CHAPITRE VI ID'autres bases spéciales .

145

XXVII . L'équation d'Archimède 149XXVIII . Applications diverses . . . : 15 6

XXIX . De la base a = G 16 1XXX . Problème de Lucas

CHAPITRE VIIIDes bases de première espèce .

16 7

XXXI . La base a et les nombres w tc_1 et p._1 17 2XXXII . Des nombres B2nr+r 17 6XXXIII . Des nombres A4m.+ 2r 179

Forelagt paa Madet d. 18. Nov. 1921 .

Færdig fra Trykkeriet d. 9 . Februar 1922.

Documents

RECHERCHES SUR L'ÉQUATION DE FERMATgymarkiv.sdu.dk/MFM/kdvs/mfm 1-9/mfm-4-1.pdf · EULER 4 a donné une table des plus petites valeurs de x et g qui satisfont à l'équation (2),