RDM Ossatures exeoss

7/28/2019 RDM Ossatures exeoss

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RDM OssaturesManuel dexercices

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

Departement Genie Mecanique et Productique

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

26 juin 2006 29 mars 2011
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Table des matieres

1 Exemples 1Exemple 1 : Portique plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Exemple 2 : Treillis plan a nuds articules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Exemple 3 : Anneau plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Exemple 4 : Plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Exemple 5 : Ossature spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Exemple 6 : Modes propres dun anneau plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Exemple 7 : Ossature plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Analyse statique 16E1 : Treillis plan a noeuds articules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

E2 : Ossature plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18E3 : Ossature plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19E4 : Ossature plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

E5 : Ossature plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

E6 : Poutre droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23E7 : Poutre courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

E8 : Ossature plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25E9 : Poutre a section droite variable soumise a son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . 26

E10 : Treillis spatial a nuds articules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27E11 : Portique plan poutre soumise a une variation de temperature . . . . . . . . . . . . . 29E12 : Treillis plan poutre soumise a une variation de temperature . . . . . . . . . . . . . . 30

E13 : Ossature plane appui incline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Sections droites : caracteristiques et contraintes 32S1 : Caracteristiques dune section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32S2 : Torsion dune poutre rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34S3 : Caracteristiques dune section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

S4 : Caracteristiques dune section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37S5 : Caracteristiques dune section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39S6 : Caracteristiques dune section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

S7 : Caracteristiques dune section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41S8 : Caracteristiques dune section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

S9 : Caracteristiques dune section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43S10 : Contrainte normale dans une section droite : flexion deviee . . . . . . . . . . . . . . . 45S11 : Contraintes dans une section droite : flexion-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

S12 : Cisaillement du a leffort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

S13 : Contrainte normale dans une poutre a section droite variable . . . . . . . . . . . . . . 49S14 : Contrainte normale dans une section droite : flexion deviee . . . . . . . . . . . . . . . 50

S15 : Section droite a parois minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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S17 : Cisaillement dans un profil mince ferme et simplement cloisonne . . . . . . . . . . . . 55S18 : Flexion - torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57S19 : Contraintes normales dans une poutre a section droite variable . . . . . . . . . . . . . 59

4 Flambement eulerien 60F1 : Ossature plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60F2 : Poutre droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62F3 : Poutre droite a section variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63F4 : Poutre console flexion-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64F5 : Lame equerre flexion-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66F6 : Lame equerre flexion-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68F7 : Flambement dun mat vertical sous son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71F8 : Flambement dune poutre droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72F9 : Flambement dun cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Modes propres 75D1 : Treillis plan a nuds articules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75D2 : Poutre droite a section variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76D3 : Vibrations transversales dune poutre droite bi-encastree . . . . . . . . . . . . . . . . . 77D4 : Portique plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78D5 : Ossature spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79D6 : Ossature plancher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80D7 : Vibrations transversales dune poutre droite libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81D8 : Premier mode propre dune poutre console avec masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

References 83


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Chapitre 1

Exemples

Exemple 1 : Portique plan

Reference : A. Giet, L. Geminard, Resistance des materiaux, tome 2, 1968, pages 148-156.

Donnees :

La structure plane representee sur la figure est constituee de deux poutres de meme section droite.

Soient A laire des sections droites et IZ leur moment quadratique par rapport a laxe Z. Lossatureest encastree en 1 et articulee en 4. Les poutres sont en acier de module de Young E.

Le nud 2 porte une force de composantes (P, 0, 0).

Lenergie de deformation due a leffort tranchant est negligee (modele de Bernoulli).

On donne :

L = 2 mA = 16 cm2 , IZ = 135 cm

4

E = 200000 MPaP = 10000 N


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2 RDM Ossatures

Modelisation et calcul :

Les etapes de la modelisation sont :

Fichier

Nouvelle etude

Definir le type de lossature

Ossature plane

Entrer les coordonnees des 4 nuds : (0,0) (0,1) (0,2) (2,2)

Poutres

Creer des poutres definies par leurs nuds extremites : 1 2 , 2 3 , 3 4Sections droites

Section droite quelconque

A = 16 cm2 , IZ = 135 cm4

Liaisons

Lossature est encastree en 1 et articulee en 4

Cas de charges

Le nud 2 porte une charge de composantes (10000, 0, 0) N.

Materiaux

Definir

Module de Young = 200000 MPa

Calculer

Parametres

Modele de Bernoulli

Calculer

Analyse statique

Enregistrer les donnees et lancer le calcul

Resultats

Exploiter les resultats du calcul

Resultats :

Deplacements nodaux :

u2 = 2.2144 mm , v2 = 0.0017 mm , 2z = 0.0388u3 = 0.0245 mm , v3 = 0.0033 mm , 3z = 0.1510

4z = 0.0754 Actions de liaison :

R1x = 6077.4 N , R1y = 533.4 N , M1z = 3221.6 N.mR4x = 3922.6 N , R4y = 533.4 N

Remarque : dans la reference, lenergie de deformation due a leffort normal est negligee.


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Manuel dexercices 3

Exemple 2 : Treillis plan a nuds articules

Reference : A. Giet, L. Geminard, Problemes de resistance des materiaux, tome 1, 1973, page 52.

Probleme :

La structure representee sur la figure est composee de trois barres articulees entre elles. Lensembleest relie a lexterieur par trois rotules en 2, 3 et 4.

Les trois barres ont la meme section droite : carre plein de cote 10 mm.

Les poutres 1 2 et 1 4 sont en acier :

module de Young = 200000 MPacoefficient de dilatation = 11 106 K1

La poutre 1 3 est en laiton :

module de Young = 100000 MPacoefficient de dilatation = 18 106 K1

Le nud 1 porte une charge P de composantes (0,10000, 0) N.

Lossature subit une augmentation de temperature de 50 K.

Modelisation :


Nouvelle etude

Definir le type de lossature : Plane

Definir lunite de longueur : m

Entrer les coordonnees des nuds : (0,0.8) , (0.6, 0) , (0, 0) , (0.6, 0)


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4 RDM Ossatures

Poutres

Creer des poutres definies par leur nud origine et leur nud extremite

Relaxations

Les trois poutres sont du type rotule-rotule (liaisons interieures)Sections droites

Section droite parametree

Carre plein de cote 10 mm

Materiaux

Modifier la couleur courante

Attribuer la couleur courante a la poutre 1 3 (bouton Element)Entrer les caracteristiques de la poutre en laiton (bouton Definir)

module de Young = 100000 MPa , coefficient de dilatation = 18E6 K1Entrer les caracteristiques des poutres en acier ( bouton Definir)

module de Young = 200000 MPa , coefficient de dilatation = 11E6 K1Liaisons

Lossature est articulee en 2 , 3 et 4

Cas de charges

Le nud 1 porte une force de composantes (0,10000, 0) NVariation de temperature = 50 K

Calculer

Analyse statique


Resultats :

Deplacement du nud 1 :

u1 = 0 , v1 = 0.96 mm

Allongement des poutres :

12 = 14 = 0.768 mm , 13 = 0.960 mm

Efforts normaux :N12 = N14 = 4370 N , N13 = 3008 N

Remarque : pour extraire ces resultats, utiliser le bouton droit de la souris.


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Manuel dexercices 5

Exemple 3 : Anneau plan

Reference : solution analytique.

Donnees :

Lanneau de plan moyen {O,xy} et de section droite constante (carre plein de cote c) represente surla figure est realise en acier de module de Young E et de coefficient de Poisson .

Le troncon 6 2 porte une force uniformement repartie dintensite lineique (0, p, 0).

Le troncon 5 4 porte une force uniformement repartie dintensite lineique (0,p, 0).Lenergie de deformation due a leffort tranchant est prise en compte (modele de Timoshenko).

On donne :

E = 200000 MPa , = 0.3

c = 10 mm , L = R = 50 mm

p =

10 N/mm

Modelisation :

Le probleme presente une symetrie par rapport aux plans x = 0 et y = 0. Il suffit de modeliser lequart de lanneau.


Fichier

Bibliotheque

La geometrie existe dans la bibliotheque dossatures parametrees

Ossature plane

Numero 31 : R = 50 mm , L = 50 mm , larc est discretise en 20 elements


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6 RDM Ossatures

Materiau

Definir

E = 200000 MPa , = 0.3

Sections droites

Section droite parametree

Carre plein de cote c = 10 mm

Liaisons/Symetries

La structure est symetrique par rapport au plan x = 0 : designer le nud 1

La structure est symetrique par rapport au plan y = 0 : designer le nud 3

Cas de charges

La poutre 1 2 une force uniformement repartie dintensite (0,10, 0) N/mmCalculer

Parametres

Modele de TimoshenkoCalculer

Analyse statique


Resultats :

Reference :

Deplacements :

v1 =(6 2 + 17 6)pR4

24 (2 + ) EIz+

pR2

4 EA+

(2 + )pR2

4 GAky

= 0.324026 0.000982 0.005013 = 0.330021 mm

u3 =( 14)pR46 (2 + ) EIz

+pR2

2 EA pR

2

2 GAky

= 0.131992 0.000625 + 0.001950 = 0.133317 mm Actions de liaisons :

F1x = 0 , M1z =(14 + 3 )pR2

6 (2 + )= 18983 N.mm

F3y = pR = 500 N , M3z = (2 + 3 )pR2

3 (2 + )= 18567 N.mm

Moment flechissant dans la section 2 :

Mfz2 = 4pR2

3 (2 + )= 6483 N.mm

Contraintes normales :

ab

= (14 + 3 )pR

2

(2 + ) c3= 113.90 MPa

cd

= pRc2

2 (2 + 3 )pR2

(2 + ) c3= 106.10116.10 MPa


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Manuel dexercices 7

Solution elements finis :

Deplacements :v1 =

0.329765 mm , u3 = 0.133290 mm

Actions de liaison :

F1x = 0 N , M1z = 18977 N.mm , F3y = 500 N , M3z = 18523 N.mm

Moment flechissant dans la section 2 : Mfz2 = 6477 N.mm

Contraintes normales :

a = 113.86 MPa , b = 113.86 MPa , c = 106.14 MPa , d = 116.14 MPa

Remarque :

Avec le module RDM Elements finis (hypothese contraintes planes, 600 triangles a 6 nuds), onobtient :

v1 = 0.328065 mm u3 = 0.133370 mma = 113.96 MPa , b = 113.96 MPa , c = 99.66 MPa , d = 124.20 MPa

La theorie des poutres courbes [3] donne :

c = 99.10 MPa , d = 124.00 MPa


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8 RDM Ossatures

Exemple 4 : Plancher

Reference : W. Weawer, J. Gere, Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold,

1990, pages 342-345.

Probleme :

Lossature plancher representee sur la figure est constituee de cinq poutres de meme section droite.

Les sections 1 , 3 , 5 et 6 sont encastrees.

Le nud 2 porte une force de composantes (0, 0, 50) kN et un couple de comosantes (0, 100, 0) kN.m.

La poutre 1 2 porte en son milieu une force ponctuelle de composantes (0 , 0,150) kN.

La poutre (5 4) porte sur toute sa longueur une charge uniformement repartie dintensite lineique(0, 0,75) kN/m.


On donne :

L = 2 mmodule de Young = 200000 MPa , coefficient de Poisson = 0.25

aire = 102 cm2 , constante de torsion de Saint Venant J = 2 105 cm4 , IZ= 105 cm4

P = 5000 daN



Nouvelle etude


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Manuel dexercices 9

Definir le type de lossature : Plancher

Entrer les coordonnees des nuds

Poutres

Creer des poutres definies par leur nud origine et leur nud extremiteSections droites

Section quelconque

Aire = 100 cm2

Constante de torsion de Saint Venant : J = 2E5 cm4

Moment quadratique : IZ= 1E5 cm4

Liaisons

Lossature est encastree en 1 , 3 , 5 et 6

Cas de charges

Le nud 2 porte une force Fz = 50 kN

Le nud 2 porte un couple My = 100 kN.m

La poutre 1 2 porte une force ponctuelle Fz = 150 kN situee a 3 m du nud origineLa poutre 5 4 porte une force uniformement repartie fz = 75 kN/m

Materiau

Definir

Module de Young = 200000 MPa , coefficient de Poisson = 0.25

Calculer

Analyse statique


Resultats :


w2 = 1.2182 mm , 2x = 0.35599 103 rad , 2y = 0.14976 103 rad

w4 = 2.0993 mm , 4x = 0.28856 103 rad , 4y = 0.18376 103 rad


F1z = 93.528 kN , M1x = 9.493 kN.m , M1y = 163.092 kN.m

F3z = 34.452 kN , M3x = 14.240 kN.m , M3y = 76.393 kN.m

F5z = 214.940 kN , M5x = 11.543 kN.m , M5y = 239.068 kN.mF6z = 57.080 kN , M6x = 128.588 kN.m , M6y = 7.351 kN.m


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10 RDM Ossatures

Exemple 5 : Ossature spatiale

Reference : J.-J. Barrau, S. Laroze, Calcul de structures par elements finis, ENSAE, 1984.

Probleme :

Lossature spatiale representee sur la figure est constituee de poutres dont les sections droites sontdes rectangles pleins.

Les coordonnees nodales sont :

nud x (m) y (m) z (m)1 0 0 0

2 0 0 4

3 0 8 4

4 0 11 4

5 3 8 4

6 3 8 0

Les caracteristiques elastiques du materiau sont : E = 100000 MPa et = 0.2987.

Lenergie de deformation due a leffort tranchant est prise en compte (modele de Timoshenko).

Les sections 1 et 6 sont encastrees.

Le nud 4 porte une force F de composantes (0, 0,1000) daN .



Nouvelle etude

Definir le type de lossature : Spatiale

Definir lunite de longueur : m

Entrer les coordonnees des nuds


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Manuel dexercices 11

Poutres

Les poutres sont definies par leur nud origine et leur nud extremite

Materiaux

Module de Young = 100000 MPa , coefficient de Poisson = 0.2987

Sections droites

Changer les poutres 3 5 et 5 6 de groupeParametree

Designer la poutre 2 3Rectangle plein : 600 300 mm

Parametree


Parametree


Repere local

Modifier le repere local de la poutre 1 2 (angle = 90)Liaisons

Lossature est encastree en 1 et 6

Cas de charges

Le nud 4 porte une charge de composantes (0, 0,1000) daNCalculer

Parametres du calculModele de Timoshenko

Calculer

Analyse statique


Resultats :

Moments aux extremites des poutres (en daN.m)

element Mto MfY o MfZo Mte MfY e MfZe1 2 Reference -6 271.2 -389.6 -6 322 -104.7

RDM Ossatures -5.6 271.5 -389.7 -5.64 322.8 -101.2

2 3 Reference 322.2 -6 -104.7 -322.2 96.6 -2513RDM Ossatures -322.8 -5.6 -101.2 -323.1 97.04 -2511

3 4 Reference 0 0 -3000 0 0 0RDM Ossatures 0 0 -3000 0 0 0

3 5 Reference 487.2 322.2 -96.6 487.2 -3581 117.1RDM Ossatures 488.6 322.8 -97.04 488.6 -3581 119.4

5 6 Reference 117.1 -3581 -487.2 117.1 -3632 -202RDM Ossatures 119.4 -3581 -488.6 119.5 -3632 -200.1


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12 RDM Ossatures

Exemple 6 : Modes propres dun anneau plan

Reference : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 208.

Probleme :

Lossature plane representee sur la figure est constituee dun anneau (centre O, rayon moyen R) etdune patte 1 2 de longueur L. Lensemble est encastre en 1.

Lanneau et la patte ont des sections droites rectangulaires pleines.

Soient E le module de Young du materiau et sa masse volumique.

On recherche les six premiers modes propres de cet anneau.


On donne :

R = 0.1 m , L = 0.0275 m

E = 72000 MPa , = 2700 kg/m3

Section droite de lanneau : Ha = 5 mm , Ba = 10 mm

Section droite de la patte : Hp = 3 mm , Bp = 10 mm

Modelisation :


Bibliotheque (une partie de la geometrie existe dans la bibliotheque dossatures parametrees)

Definir le type dossature : Plane

Entrer le numero de lossature parametree : 30Rayon = 0.1 m , angles : 0 et 360 degres , le cercle est discretise en 60 elements

Poutres (creation de la patte)


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Ajouter une poutre verticale

Origine : nud 1 , longueur = 0.0275 m

Materiau

Module de Young = 72000 MPaMasse volumique = 2700 kg/m3

Sections droites

Changer la patte de groupe de section

Parametree

Designer lanneau

Rectangle plein : 5 x 10 mm

Parametree

Designer la patte

Rectangle plein : 3 x 10 mm

Liaisons

La patte est encastree en 1

Poutres

Discretiser la patte en 6 elements

Calculer

Modes propres

6 premiers modes propres


Resultats :Frequences en Hz :

Mode Reference RDM Ossatures1 28.8 28.81

2 189.3 189.30

3 268.8 268.60

4 641.0 640.52

5 682.0 681.65

6 1063.0 1062.70


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14 RDM Ossatures

Exemple 7 : Ossature plane

Reference : W. Weawer, J. Gere, Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold,1990, page 283.

Donnees :

Lossature plane representee sur la figure est constituee de cinq poutres droites identiques articuleesentre elles.

Les caracteristiques de ces poutres sont :

Module de Young : ELongueur : L

Aire de la section droite A

Les nuds 1 et 2 sont articules et le nud 4 repose sur un appui simple (u4 = 0).

Le nud 3 porte une force (P,2 P).La poutre 1 2 porte en son milieu une force de composantes (0, 2 P).La poutre 2 4 porte en son milieu une force de composantes (0,2 P).La poutre 3 4 porte sur toute sa longueur une charge triangulaire dont lintensite a lextremite 4 apour composantes (0,

6 P/L).


On donne :

L = 1.5 m

module de Young = 200000 MPa

section droite parametree : carre creux, cote exterieur c = 100 mm , t = 5 mm

P = 1000 daN

Modelisation :



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Fichier

Nouvelle etude

Definir le type de lossature : Plane

Entrer les coordonnees des nuds 1 et 2 : 0, 0 , 1.5, 0

Nuds

Creer un nud defini par un nud de reference et ses coordonnees polaires :

nud 3 : nud de reference = 1 , coordonnees = (60, 1.5 m)

nud 4 : nud de reference = 2 , coordonnees = (60, 1.5 m)

Afficher Echelle maximalePoutres

Creer des poutres definies par leur nud origine et leur nud extremite

Relaxations

Toutes les poutres sont du type rotule-rotule

Sections droites

Bibliotheque

Carre creux de cote 100 mm et depaisseur 5 mm

Liaisons

Lossature est articulee en 1 et 2

Lossature repose sur un appui simple (u = 0) en 4

Charges

Le nud 3 porte une force de composantes (1000,2000) daNLa poutre 1 2 porte en son milieu une force de composantes (0, 2000) daNLa poutre 3 4 porte sur toute sa longueur une charge triangulaire dont lintensite en 4 estegale a (0 4000) daN/mLa poutre 2 4 porte en son milieu une force de composantes (0,2000) daN

Materiau

Definir

Module de Young = 200000 MPa

Calculer

Analyse statique


Resultats :


u3 = 0.02632 mm , v3 = 0.07895 mm , v4 = 0.15789 mm Actions de liaison :

R1x = 699 daN , R1y = 211 daN

R2x = 699 daN , R2y = 4789 daN

R4x = 2398 daN Efforts interieurs sur la poutre 3 4 :

N3 = N4 = 667 daN , TY3 = 1000 daN , TY4 = 2000 daN


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Chapitre 2

Analyse statique

E1 : Treillis plan a noeuds articules

Reference : F. Frey Analyse des structures et milieux continus, Presses Polytechniques et Uni-versitaires Romandes, 1985, page 108.

Probleme :

Lossature plane representee sur la figure est constituee de 9 poutres droites articulees entre elles.Lensemble est lie a lexterieur par un appui simple en 4 et une rotule en 1.

La structure est en acier de module de Young E = 210000 MPa.

Les poutres sont des carres creux de cote 70 mm et depaisseur 5 mm (bibliotheque).

Le nud 1 porte une force :

{Q} =

0

1800

daN

Les nuds 2 et 3 portent une force :

{P}

= 03600 daN


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Resultats :


R1x = 0 , R1y = 5400 daNR4y = 3600 daN

Efforts normaux :

N12 = N23 = 5143 daNN34 = 3600 daNN15 = 6278 daN

N56 = 3758 daN

N64 = 5091 daN

N25 =

3600 daN

N53 = 1883 daN

N63 = 4680 daN


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18 RDM Ossatures

E2 : Ossature plane

Reference : A. Jalil Calcul pratique des structures, Eyrolles, 1985, page 55.

Probleme :

Lossature plane representee sur la figure est constituee de 3 poutres droites soudees entre elles.Lensemble est lie a lexterieur par un appui simple en 1 et une articulation en 4.

La structure est en acier.

Les trois poutres sont des HEA 600.

La poutre 1

2 porte en son milieu A une force : PA = (0,

2000) daN.

La poutre 3 4 porte en son milieu C une force : PC = (1000, 0) daN.

La poutre 2 3 porte en son milieu B une force : PB = (0,2000) daN et sur le troncon 2 B unecharge uniformement repartie q = (0,1000) daN/m.


Resultats :

Les actions de liaison sont :R1 =

0

4679

daN

R4 =

10002321

daN

Le moment flechissant maximal est egal a 18301 daN.m et situe sur la poutre 23 a X = 2.66 m.


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E3 : Ossature plane


Probleme :

Lossature plane representee sur la figure est constituee de quatre poutres droites. Lensemble est liea lexterieur par deux rotules en 1 et 5. Les poutres 2 3 et 3 4 sont liees entre elles par une rotule.

La structure est en acier.

Les quatre poutres sont des HEA 600.

Le noeud 2 porte une force P =

4000

0

daN.

La poutre 1 2 porte une charge uniformement repartie q1 =

10000

daN/m.

Les poutres 2 3 et 3 4 portent une charge uniformement repartie q2 =

0

5000

daN/m.


Resultats :

Les actions de liaison sont :

R1 =

12509583

daN

R5 =

775020417

daN

Le moment flechissant est maximal en 4 et Mfmax = 38750 daN.m


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20 RDM Ossatures

E4 : Ossature plane


Probleme : lossature plane representee sur la figure est constituee de quatre poutres droites. Len-semble est lie a lexterieur par deux articulations en 1 et 5. Les poutres 2 3 et 3 4 sont liees entreelles par une rotule.

La structure est en acier de module de Young 210000 MPa.

Les quatre poutres sont des HEA 600.

Le noeud 2 porte une force F = (2000,5000, 0) daN et un couple C = (0, 0,3000) daN.m

Les poutres 23 et 34 portent une charge uniformement repartie q = (0,1000, 0) daN/m pro jete.


Resultats :


R1 =

2506000

0

daN , R5 =

17505000

0

daN


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E5 : Ossature plane

Reference : W. Weawer, J. Gere Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold,1990, page 228.

Probleme :

Lossature plane representee sur la figure est constituee de six poutres droites articulees entre elles.Lensemble est lie a lexterieur par deux articulations en 3 et 4.

Lossature est en acier de module de Young E.

Les caracteristiques des poutres sont :

poutres 1 4 et 3 2 : aire = A poutres 1 2 et 3 4 : aire = 0.6 A poutres 3 1 et 4 2 : aire = 0.8 A

La structure porte les charges suivantes :

le noeud 2 porte une force P1 de composantes (2P,P, 0). la poutre 2 4 porte en son milieu une force P2 de composantes (P,P, 0). la poutre 1 2 porte en son milieu un couple C de composantes (0, 0,1.2 P L). la poutre 3 1 porte sur toute sa longueur une charge uniformement repartie. La charge parunite de longueur q a pour composantes : (2.5 P/L, 0, 0). la poutre 3 4 porte en son milieu une force P3 de composantes (0,2 P, 0).


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22 RDM Ossatures


Donnees numeriques :

module de Young : E = 200000 MPa

L = 1.25 m

poutres 1 4 et 3 2 : carre plein de cote 50 mmpoutres 3 1 et 4 2 : rectangle plein de dimensions 40 50 mmpoutres 1 2 et 3 4 : rectangle plein de dimensions 30 50 mm

P = 1000 N

Resultats :

Deplacements :

nud 1 :

25.00 103

10.37 103

0

mm , nud 2 :

26.53 103

10.05 103

0

mm


R3 =

28905667

N , R4 =

21107667

N

Efforts aux extremites des poutres (en N) :

poutre N a lorigine TY a lorigine N a lextremite TY a lextremite

1 2 610 2000 610 20003 4 0 1000 0 10003 1 4147 - 1000 4147 10004 2 4520 - 500 3520 5001 4 2683 0 2683 03 2 3150 0 3150 0


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E6 : Poutre droite

Reference : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 20.

Probleme : la poutre droite daxe x representee sur la figure est encastree a ses deux extremites.

Les caracteristiques de la section droite sont :

aire = 103 m2 , IZ= 1.7 108 m4

Le module de Young est E = 2.1 1011 Pa.

Elle porte :

sur toute sa longueur une force uniformement repartie p = 0

24000

0 N/m. au point dabscisse x = 0.3 m une force P =

3000000

N et un couple C =

00

3000

N.m.

au point dabscisse x = 0.7 m une force Q =

10000

200000

N.


Resultats :

Action de liaison : RAx = 24000 N

Deplacement : v (x = 0.5 m) = 4.90 102 m

Forces interieures : TY (x = 0.5 m) = 540 N , MfZ (x = 0.5 m) = 2800 N.m


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24 RDM Ossatures

E7 : Poutre courbe

Reference : Solution analytique.

Probleme :

Lossature plane representee sur la figure est constitueedune poutre courbe 12 de centre O et de rayon moyen R.La section droite est un carre plein de cote c. La poutreest encastree en 1.

Elle porte en 1 une force de composante (0, P, 0).

Les caracteristiques elastiques du materiau sont E et .

On donne :

R = 60 mm , c = 30E = 210000 MPa , = 0.28P = 6000 N.

Lenergie de deformation due a leffort tranchant est prise en compte (modele de Timoshenko).

Modelisation :

Ossature parametree 30 (20 elements, rayon = 60 mm , angle de depart = 0 , angle de larc = 270 ).

Resultats :

Le deplacement vertical du point 2 est :

v2 =3 P R

4 EA effort normal

+

9

4+ 2

P R3

EIZ

moment flechissant

+3 P R

4 GA kZ

effort tranchant

= 0.0045 + 0.8291 + 0.0138 mm

ou A est laire de la section droite et IZ son moment quadratique par rapport a Z. G = E2(1 + )

est le module delasticite transversal. Le dernier terme represente linfluence du cisaillement transverse.

kZ = 5/6 est le coefficient daire cisaillee.

On obtient pour v2 (en mm) :

nombre delements Timoshenko Bernoulli

10 0.8285 0.8148

20 0.8426 0.8289

40 0.8462 0.8324reference 0.8474 0.8336


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E8 : Ossature plane


Probleme : lossature plane representee sur la figure est constituee de trois poutres droites articuleesentre elles.

Elle est en acier de module de Young E Lensemble est lie a lexterieur par trois articulations en 1 et2 et 3.

Les caracteristiques des poutres sont :

poutre 1

4 : rectangle plein 2.5 a

2 a

poutre 2 4 : rectangle plein 1.5 a 2 a

poutre 3 4 : carre plein de cote 2 a

La poutre 1 4 porte une charge dintensite lineique q qui lui est perpendiculaire.


On donne :

L = 10 cm , E = 200000 MPa , a = 10 mm , q = 8 N/mm

Resultats :

Deplacements :

u4 =3 q L2

2 E a2= 6 103 mm , v4 = 2 q L

2

E a2= 8 103 mm

Efforts normaux :

N14 = 0 , N24 = 2 q L = 1600 N , N43 = 32

q L = 1200 N


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26 RDM Ossatures

E9 : Poutre a section droite variable soumise a son poids propre


Probleme : la poutre droite de longueur L representee sur la figure est encastree en 1.

Soient E et respectivement le module de Young et la masse volumique du materiau. La sectiondroite est un rond plein dont le diametre varie lineairement entre les sections 1 et 2. La poutre estsoumise son poids propre. Soit g lacceleration de la pesanteur.

On donne :

E = 200000 MPa , = 8000 kg/m3

g = 10 m/s2

L = 1.2 m , D = 50 mm

Calculer le deplacement vertical et la rotation de la section 2.

Resultats :

Fleche en 2 :

Modele de Bernoulli :

v2 = g L43 E D2

= 0.1105920 mm Modele de Timoshenko :

v2 = g L4

3 E D2 2 (1 + ) L

2 g

3 E ky= 0.1105920 0.0005824 = 0.1111744 mm

Rotation de la section 2 :

2z

=

g L3

2 E D2=

0.0079206


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E10 : Treillis spatial a nuds articules

Reference : W. Weawer, J. Gere Matrix analysis of framed structures, Van Nostrand Reihnold,1990, page 352.

Probleme : la structure representee sur la figure ci-dessous est constituee de 9 poutres articuleesentre elles.

Les coordonnees des nuds sont (en m) :

noeud 1 2 3 4 5 6

x 3 0 -3 3 -3 0

y 0 0 0 5 5 5z 0 3 0 0 0 -3

Soient E = 80000 MPa et = 0.3 les caracteristiques elastiques du materiau.

Les caracteristiques (section quelconque) des poutres sont :

4 5 , 4 6 et 5 6 : A = 100 cm2 , J = IY = IZ = 10000 cm4

1

4 , 1

6 , 3

5 , 3

6 , 2

4 et 2

5 : A = 200 cm2 , J = IY= IZ = 20000 cm

4

L ensemble est fixe au mur par 3 rotules en 1, 2 et 3.

Le nud 6 porte une force de composantes (48, 24,24) kN. La poutre 1 4 porte en son milieuune force de composantes (0, 0,24) kN. La poutre 4 5 porte sur toute sa longueur une forceuniformement repartie dintensite lineique (0, 0, 24) kN/m.


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28 RDM Ossatures

Resultats :


nud 4 : (0.44359, 0.30312, 2.08842) mm

nud 5 : (0.02059, 0.33437, 1.79382) mm

nud 6 : (0.41121, 1.34562, 2.10171) mm


nud 1 : (13.8,74,1.8) kN

nud 2 : (

6, 204,

122.4) kN

nud 3 : (28.2,154, 28.2 kN


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E11 : Portique plan poutre soumise a une variation de temperature


Probleme : la structure plane representee sur la figure est constituee de 3 poutres de meme materiauet de meme section droite (rond creux de diametre exterieur d et depaisseur t).

La poutre 23 est articulee en 2 et 3. Lensemble est encastre en 1 et 4. Soient E et respectivementle module de Young et le coefficient de dilatation du materiau.

La poutre 2 3 subit une variation de temperature egale a T .


On donne :

L = 1 m , H = 0.3 m , d = 80 mm , t = 5 mm

E = 210000 MPa , = 13 106 K1

T = 50 K

Resultats :

Soient A et Iz respectivement laire et le moment quadratique de la section droite.

Lallongement de la poutre 2 3 est egal a :

= T L +N L

EA

ou N est leffort normal dans la poutre 2 3.

Leffort normal N est solution de lequation :

1

2 = N H

3

3 EIz

soit NL

2 EA+

H3

3 EIz =

1

2 T L

On obtient :N = 6071.3 N , = 0.62546 mm


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30 RDM Ossatures

E12 : Treillis plan poutre soumise a une variation de temperature


Probleme :

Le treillis plan a nuds articules represente sur la figureci-contre est constituee de 5 poutres de meme materiauet de meme section droite (carre creux de cote exterieur cet depaisseur t) . Les poutres 1 2, 1 3 et 1 4 ontla meme longueur L. Le triangle 2 3 4 est equilate-ral.

Lensemble est articule en 2 et 4.

Soient E et respectivement le module de Young et lecoefficient de dilatation du materiau.

La poutre 1 3 subit une variation de temperature egale a T .

On donne :

L = 0.5 m , c = 40 mm , t = 5 mmE = 200000 MPa , = 12.5 106 K1

T = 30 K

Resultats :

Soit A laire de la section droite.

Leffort normal dans les poutres 1 2, 1 3 et 1 4 est egal a :

N =3 T E A

2 + 3

3= 12636 N

Leffort normal dans les poutres 2 3 et 3 4 est egal a :N

3= 7296 N

Le deplacement vertical du point 1 est egal a :

2 N L

EA= 0.09026 mm

Lallongement de la poutre 1 3 est egal a :

= T L +

N L

EA = 0.14237 mm


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E13 : Ossature plane appui incline


Probleme : la structure plane representee sur la figure ci-dessous est constituee de 2 poutres de mememateriau et de meme section droite (rond creux de diametre exterieur d et depaisseur t).

Elle est articulee en 1 et repose en 3 sur un appui incline a 45par rapport a laxe x. Soit E le modulede Young du materiau.

La poutre (2 3) porte une charge uniformement repartie dintensite (0, q, 0).

On donne :

L = 0.3 m , d = 30 mm , t = 5 mm , E = 210000 MPa , q = 1000 N/mLenergie de deformation due a leffort tranchant est negligee (modele de Bernoulli).

Modelisation : ajouter un changement de repere {x, y} en 3, puis definir la liaison dans ce reperelocal.

Resultats :

Posons : X = 2 qL

3 = 200 N

Les actions de liaison sont egales a (dans le repere {x, y}) :

R1 =

X

2 X

=

200400

N , R3 =

XX

=

200200

N

Le moment flechissant en 2 est egal a : XL = 60 N.m

Soient A et Iz respectivement laire et le moment quadratique de la section droite. Le deplacementhorizontal du nud 3 dans le repere {x, y} est egal a :

u3 = 6 qL4

27 EIz+ 12 qL2

9 EA= 0.27009 mm


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Chapitre 3

Sections droites : caracteristiques et

contraintes

S1 : Caracteristiques dune section droite

Probleme : considerons la section droite representee sur la figure ci-dessous. Soient G le centre degravite et C le centre de torsion.

1. Premiere etude :

On donne : L = H = 100 mm , t = 20 mm.

Calculer les caracteristiques de la section droite pour plusieurs maillages.

2. Deuxieme etude :

Pour t = 5, 10, 20, 30, 40 mm, calculer les caracteristiques de la section et comparer avec lessolutions analytiques valables pour les profils minces.

Modelisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modeliser la section (section parametree) puis entrer dansle menu Calculer section droite.


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Resultats :

Pour editer les caracteristiques, selectionner la commande Caracteristiques du menu Fichier.

1. Premiere etude :

On obtient (la valeur en % represente lecart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin) :

Maillage J (cm4) I (cm6) YC ( mm ) kY kZ

100 TR3 72.97 6379 -64.78 0.6331 0.24086.77 % 2.95 % 0.89 % 2.81 % 2.99 %

400 TR3 70.13 6511 -65.10 0.6219 0.23662.62 % 0.94 % 0.40 % 0.99 % 1.20 %

20 TR6 71.34 6535 -65.01 0.6228 0.23784.39 % 0.58 % 0.54 % 1.14 % 1.71 %

100 TR6 68.80 6563 -65.26 0.6174 0.23480.67 % 0.15 % 0.15 % 0.26 % 0.43 %

150 TR6 68.73 6563 -65.26 0.6174 0.23470.57 % 0.15 % 0.15 % 0.26 % 0.38 %

400 TR6 68.45 6570 -65.32 0.6163 0.23410.16 % 0.05 % 0.06 % 0.08 % 0.13 %

2200 TR6 68.34 6573 -65.36 0.6158 0.2338

2. Deuxieme etude :

Les formules de resistance des materiaux (R.D.M.) valables pour les profils minces sont donnesdans les references [1, 2, 4] :

J =t3

3(h + 2 b) , I =

h2 b3t

12

(2 h + 3 b)

(h + 6 b), YC= 3 b

2

h + 6 b b

2

h + 2 b

ou h = L t et b = H t/2

On obtient (M.E.F. = solution elements finis obtenue avec 400 triangles a 6 nuds) :

t (mm) J (cm4) I (cm6) YC (mm)

M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%)

5 1.206 1.208 0.17 2500 2473 1.08 -74.45 -74.71 0.3610 9.286 9.333 0.51 4269 4077 4.50 -72.12 -73.25 1.57

20 68.44 69.33 1.29 6569 5393 17.91 -65.32 -70.30 7.70

30 211.3 216.0 2.22 7835 5123 34.61 -55.17 -67.47 22.29

40 454.9 469.3 3.17 7653 4096 46.48 -41.40 -64.64 56.16

represente lecart entre la solution analytique et la solution elements finis, cette derniereservant de reference.


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34 RDM Ossatures

S2 : Torsion dune poutre rectangulaire

Reference : S. Laroze, Mecanique des structures Tome 2 : Poutres, Cepadues, 2005, page 93.

Probleme : la poutre console representee sur la figure est en acier de caracteristiques elastiques Eet . Son extremite libre est soumise a un couple de composantes (0, C, 0).

On donne :

E = 200000 MPa , = 0.3 , L = 1 m , a = 100 mm , C = 100 kN.m

Calculer la constante de torsion de la section droite, la rotation de lextremite libre de la poutre etle cisaillement maximal max pour plusieurs maillages de la section.

Modelisation : activer le menu Calculer section droite du menu Modeliser.

Resultats :

Reference :

J = a4

1 64

5

n=1,3,...

1

n5tanh

3 n

2

, = C L

G J

max =a C

J

1 8

2

n=1,3,...

1

n2 cosh3 n

2

On obtient (activer le menu Contraintes sur section droite du menu Resultats) :

maillage J (cm4) (rad) max (MPa)

100 TR3 8040.34 0.0161685 114.77

400 TR3 7934.79 0.0163835 119.59

50 TR6 7913.64 0.0164273 124.55

100 TR6 7902.96 0.0164495 124.64

400 TR6 7899.86 0.0164560 124.73

reference 7899.51 0.0164567 124.75

Remarque : le cisaillement est maximal en A et B.


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Probleme :

Considerons la section droite representee sur la figure ci-dessous :

1. Premiere etude :

On donne : H = 120 mm , L = 100 mm , t = 20 mm


2. Deuxieme etude :


Modelisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modeliser la section (section parametree) puis activer lemenu Calculer section droite.


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36 RDM Ossatures

Resultats :


1. Premiere etude :


Maillage J (cm4) I (cm6) kY kZ

100 TR3 84.15 7766 0.3745 0.67688.78 % 2.61 % 3.14 % 4.33 %

400 TR3 80.20 7883 0.3676 0.65913.67 % 1.14 % 1.24 % 1.60 %

100 TR6 78.22 7946 0.3646 0.6515

1.11 % 0.35 % 0.41 % 0.43 %200 TR6 77.94 7953 0.3642 0.65080.75 % 0.26 % 0.30 % 0.32 %

400 TR6 77.63 7963 0.3637 0.64980.35 % 0.14 % 0.17 % 0.17 %

800 TR6 77.51 7967 0.3634 0.64930.19 % 0.09 % 0.08 % 0.09 %

4552 TR6 77.36 7974 0.3631 0.6487

2. Deuxieme etude :


J =t3

3(H t + 2 L) I = (H t)

2 L3 t

24


t (mm) J (cm4) I (cm6)

M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%)

5 1.306 1.313 0.53 2749 2755 0.22

10 10.206 10.333 1.24 4991 5042 1.0220 77.627 80.000 3.06 7963 8333 4.65

30 247.74 261.00 5.35 8990 10125 12.63

40 546.82 597.33 9.24 8285 10667 28.75



41/87



Probleme :

Considerons la section droite representee sur la figure ci-dessous :

1. Premiere etude :

On donne : H = 250 mm L = 100 mm , t = 20 mm.


2. Deuxieme etude :

On donne : H = 250 mm , L = 100 mm.


Modelisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modeliser la section (section parametree puis activer lemenu Calculer section droite.


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38 RDM Ossatures

Resultats :


1. Premiere etude :


Maillage J ( cm4) I ( cm6) YC (mm) kY kZ

100 TR3 473.1 125622 -59.24 0.3398 0.514319.71 % 5.08 % 0.49 % 2.81 % 3.86 %

400 TR3 416.7 130683 -59.36 0.3341 0.50185.44 % 1.25 % 0.29 % 1.18 % 1.33 %

100 TR6 401.5 131913 -59.48 0.3321 0.4973

1.59 % 0.32 % 0.08 % 0.58 % 0.42 %200 TR6 398.6 132081 -59.48 0.3315 0.49690.86 % 0.20 % 0.08 % 0.39 % 0.34 %

400 TR6 396.6 132226 -59.51 0.3307 0.49580.35 % 0.09 % 0.03 % 0.15 % 0.12 %

800 TR6 395.9 132279 -59.52 0.3305 0.49550.18 % 0.05 % 0.02 % 0.09 % 0.06 %

2500 TR6 395.2 132342 -59.53 0.3302 0.4952

2. Deuxieme etude :

Les formules de resistance des materiaux (R.D.M.) valables pour les profils minces sont donnesdans la reference [4] :

h = H 1.75 t J = t3

3(h + 14.75 L) I =

h2 L3 t

7



M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%)

5 6.96 7.25 4.17 41581 41573 0.02

10 53.7 56.9 5.96 77286 77223 0.0820 397 451 13.60 132226 132071 0.12

30 1219 1505 23.46 166662 167170 0.30

40 2599 3531 35.86 182568 185143 1.41



43/87



Probleme :

Considerons la section droite representee sur la figure (UPN 400).

On donne (en mm) :

h = 400 , b = 110

tw = 14 , tf = 18

r = 18 , r1 = 9

Calculer les caracteristiques de la section droitepour plusieurs maillages.

Modelisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modeliser la section (bibliotheque) puis activer le menu

Calculer section droite.

Resultats :



maillage J (cm4) I (cm6) YC (mm) kY kZ

100 TR3 101.25 195071 -48.62 0.2353 0.586625.54 % 8.87 % 4.14 % 22.62 % 3.15 %

400 TR3 84.69 211369 -50.49 0.1975 0.57025.01 % 1.26 % 0.45 % 2.92 % 0.26 %

100 TR6 81.00 207173 -49.90 0.2058 0.57600.43 % 3.22 % 1.62 % 7.24 % 1.28 %

200 TR6 80.75 213908 -50.72 0.1922 0.56870.12 % 0.07 % 0.00 % 0.16 % 0.00 %

400 TR6 80.72 214076 -50.74 0.1919 0.56850.09 % 0.00 % 0.04 % 0.00 % 0.04 %

800 TR6 80.70 214109 -50.74 0.1918 0.56850.06 % 0.02 % 0.04 % 0.05 % 0.04 %

2600 TR6 80.65 214066 -50.72 0.1919 0.5687


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40 RDM Ossatures


Probleme :

Considerons la section droite representee sur la figure (IPN 500).

On donne (en mm) :

h = 500 , b = 185

tw = 18 , tf = 27

r = 18 , r1 = 10.8

Calculer les caracteristiques de la section droite pour plu-sieurs maillages.

Modelisation :



Resultats :




100 TR3 511.26 1164816 0.4990 0.654636.72 % 11.49 % 2.72 % 26.13 %

400 TR3 398.11 1298520 0.4866 0.53386.46 % 1.33 % 0.16 % 2.85 %

100 TR6 402.15 1270004 0.4841 0.55567.54 % 3.5 % 0.35 % 7.05 %

200 TR6 376.44 1319475 0.4841 0.51710.67 % 0.26 % 0.35 % 0.37 %

400 TR6 375.95 1320964 0.4840 0.51610.54 % 0.37 % 0.37 % 0.56 %

800 TR6 375.44 1320812 0.4841 0.51600.40 % 0.36 % 0.35 % 0.58 %

3200 TR6 373.94 1316060 0.4858 0.5190


45/87



Probleme : considerons la section droite representee sur la figure : HEM 320 .

On donne (en mm) :

h = 359 , b = 309

tw = 21 , tf = 40

r = 27

Calculer les caracteristiques de la section droite pour plu-sieurs maillages.

Modelisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modeliser la section (bibliotheque) puis activer le menuCalculer section droite.

Resultats :




100 TR3 1754.81 4813570 0.2356 0.720416.20 % 1.56 % 1.82 % 3.02 %

400 TR3 1607.62 4857678 0.2335 0.70826.46 % 0.66 % 0.91 % 1.27 %

100 TR6 1521.79 4888856 0.2315 0.69970.77 % 0.02 % 0.04 % 0.06 %

200 TR6 1514.09 4888907 0.2315 0.69960.26 % 0.02 % 0.04 % 0.04 %

400 TR6 1511.22 4889701 0.2314 0.69940.07 % 0.01 % 0.00 % 0.01 %

800 TR6 1510.42 4889938 0.2314 0.69930.02 % 0.00 % 0.00 % 0.00 %

3600 TR6 1510.13 4890017 0.2314 0.6993


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42 RDM Ossatures


Probleme : considerons la section droite representee sur la figure (corniere a ailes inegales et a coins

arrondis : [ 70 x 50 x 7 ]).

On donne (en mm) :

a = 70 , b = 50

t = 7 , r = 7

r1 = 3.5

Calculer les caracteristiques de la section droite pour plu-

sieurs maillages.

Modelisation :



Resultats :



Maillage J (cm4) I (cm6) (cm

6) YC (mm) ZC (mm) kY kZ200 TR3 1.4592 2.9307 0.7301 -11.99 15.93 0.5171 0.3891

6.73 % 15.45% 21.05 % 1.64 % 1.30 % 2.34 % 3.26 %

400 TR3 1.4175 3.2488 0.8591 -12.07 16.02 0.5119 0.38363.68 % 6.27 % 7.10 % 0.98 % 0.74% 1.31 % 1.80 %

100 TR6 1.3686 3.4656 0.9125 -12.17 16.12 0.5059 0.37750.10 % 0.02 % 1.33 % 0.16 % 0.12% 0.12 % 0.19 %

200 TR6 1.3677 3.4659 0.9278 -12.19 16.14 0.5053 0.37680.04 % 0.01 % 0.32 % 0.00 % 0.00% 0.00 % 0.00 %

400 TR6 1.3673 3.4661 0.9243 -12.19 16.14 0.5053 0.37690.01 % 0.01 % 0.05 % 0.00 % 0.00% 0.00 % 0.03 %

800 TR6 1.3672 3.4663 0.9249 -12.19 16.14 0.5053 0.37680.00 % 0.00 % 0.01 % 0.00 % 0.00% 0.00 % 0.00 %

1360 TR6 1.3672 3.4663 0.9248 -12.19 16.14 0.5053 0.3768


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Probleme : considerons la section droite representee sur la figure ci-dessous :

1. Premiere etude :

On donne : H = 200 mm , B = 120 mm , t = 20 mm.


2. Deuxieme etude :


Modelisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modeliser la section (section parametree) puis activer lemenu Calculer section droite.


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44 RDM Ossatures

Resultats :


1. Premiere etude :


Maillage J (cm4) I (cm6) (cm

6) kY kZ100 TR3 114.35 83705 131793 0.4772 0.4655

8.14 % 1.13 % 0.41 % 1.53 % 1.39 %

400 TR3 110.81 84186 132030 0.4732 0.46144.79 % 0.56 % 0.23 % 0.68 % 0.50 %

100 TR6 106.43 84566 132241 0.4710 0.4593

0.65 % 0.11 % 0.07 % 0.21 % 0.04 %200 TR6 106.08 84590 132268 0.4707 0.45920.32 % 0.08 % 0.05 % 0.15 % 0.02 %

400 TR6 105.85 84627 132303 0.4703 0.45920.10 % 0.04 % 0.02 % 0.06 % 0.02 %

700 TR6 105.75 84655 132330 0.4700 0.45910.01 % 0.00 % 0.00 % 0.00 % 0.02 %

1240 TR6 105.74 84658 132333 0.4700 0.4591

2. Deuxieme etude :


h = H t b = B 0.5 t J = t3

3(h + 2 b) I =

h2 b3 t

12

(b + 2 h)

(2 b + h)



M.E.F. R.D.M. (%) M.E.F. R.D.M. (%)

5 1.791 1.792 0.06 30337 30335 0.01

10 13.96 14.00 0.29 53944 53923 0.0420 105.8 106.7 0.85 84627 84452 0.21

30 337.5 342.0 1.33 98495 97945 0.56

40 753.0 768.0 1.99 100656 99556 1.09

50 1379 1417 2.76 95008 93381 1.71

60 2218 2304 3.88 84668 82605 2.44



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S10 : Contrainte normale dans une section droite : flexion deviee

Reference : Solution analytique.

Probleme : la poutre console representee sur la figure ci-dessous est soumise en son extremite librea une force de composantes (P, 0, 3 P).

On donne :

L = 1 m , a = 100 mm , P = 10000 N

Etudier la contrainte normale dans la section encastree.

Modelisation : selectionner loption Ossature spatiale.

Resultats :

Solution analytique : dans la section encastree, la contrainte normale est egale a :

= MfZIZ

Y +MfY

IYZ

avec

IY =a4

6, IZ =

2 a4

3, MfY= P L , Mf Z = 3 P L

soit

=3 P L

2 a4(3 Y 4 Z)

La contrainte de traction est maximale en A(a,a/2) : T = 15 P L2 a3

= 75 MPa .

La contrainte de compression est maximale en B(a,a/2) : C= 75 MPa .

Methode des elements finis : pour extraire les resultats ci-dessus, activer le menu Contraintessur section du menu Resultats, designer la poutre, puis entrer labscisse de la section encastree(commande Abscisse de la section du menu Modeliser).


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46 RDM Ossatures

S11 : Contraintes dans une section droite : flexion-torsion


Probleme :

La structure representee sur la figure ci-dessous est composee de deux poutres de section droite carree(cote c). Elle est encastree en 1 et porte en 3 une force de composantes (0, 0, P). Soient E et lescaracteristiques elastiques du materiau.

On donne :

E = 200000 MPa , = 0.3

L = 0.5 m , H = 0.4 mc = 40 mm

P = 3000 N

Pour plusieurs maillages de la section droite, calculer :

le deplacement vertical des nuds 2 et 3.

dans la section encastree, la contrainte de cisaillement et la contrainte equivalente de Von Misesau point M.

dans la section encastree, la position et la valeur du cisaillement maximal.

Modelisation :

Selectionner loption Ossature spatiale ou loption Ossature plancher.

Resultats :

Solution analytique :

Les caracteristiques de la section sont :

A = c2 , IZ =c4

12, J = 0.1405770 c4 , kY = 5/6


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le deplacement vertical du nud 2 est egal a :

w2 =P L3

3 EIZ+

P L

GA kY= 2.92969 0.01463 = 2.94431 mm

le deplacement vertical du nud 3 est egal a :

w3 =

P(L3 + H3)

3 EIZ+

P H2L

GJ

+

P(L + H)

GA kY= 13.09931 0.02633 = 13.12564 mm

en M et dans le repere {XY Z}, le tenseur des contraintes a pour expression :

[(M)] =

0 0 0 0

0 0

avec = 6 LP

c3, =

4.80387 HP

c3

On obtient donc : = 140.63 MPa et =

90.07 MPa.

On en deduit la contrainte equivalente de Von Mises : VM =

2 + 3 2 = 210.03 MPa

Le cisaillement est maximal en N. En ce point, le tenseur des contraintes a pour expression :

[(N)] =

0 0 0 0

0 0 0

avec = 4.80387 HP

c3+

3 P

2 c2

Le cisaillement maximal est donc egal a : max = | | = 92.89 MPa.

Remarque : le deuxieme terme de lexpression ci-dessus est du a leffort tranchant.

Methode des elements finis :

Deplacements (utiliser le bouton droit de la souris) :

modele de Bernoulli modele de Timoshenko

maillage w2 (mm) w3 (mm) w2 (mm) w3 (mm)

50 TR3 2.92969 12.91785 2.94308 12.94196400 TR3 = 13.05862 2.94414 13.0846450 TR6 =

13.08275

2.94431

13.10906

400 TR6 = 13.09886 = 13.12519reference 2.92969 13.09931 2.94431 13.12564

Contraintes : pour extraire les resultats demandes, activer le menu Contraintes sur sectiondu menu Resultats, designer la poutre 1 2, puis entrer labscisse de la section encastree(commande Abscisse de la section du menu Modeliser).

maillage max (MPa) VM (MPa)

100 TR3 86.27 205.20

400 TR3 89.93 206.59

100 TR6 92.49 209.66

400 TR6 92.77 209.89

reference 92.89 210.03


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48 RDM Ossatures

S12 : Cisaillement du a leffort tranchant

Reference : theorie elementaire du cisaillement.

Probleme :

La poutre console representee sur la figure est constituee dune demi-poutrelle IPE 500.

Lextremite de la poutre est soumise a une force de composantes (0, 0 100) kN.

Calculer le cisaillement au centre de gravite G et le cisaillement maximal pour plusieurs maillages.

Resultats :

Activer le menu Contraintes sur section du menu Resultats.

Solution analytique : au centre de gravite de la section, le cisaillement du a leffort tranchant TYest egal a (theorie elementaire du cisaillement) :

G =TYMZIZ tw

ou MZ est le moment statique par rapport a laxe Z de la surface de la section situee au dessus delaxe Z.

Les caracteristiques de la section sont :IZ = 3262.67 cm

4 , MZ=189.93

2189.93 10.2 = 183.98 cm3 , tw = 10.2 mm

dou G = 55.28 MPa.

Methode des elements finis : on obtient (pour extraire la quantite G , effectuer une coupe droiteparallele a Y au voisinage de G) :

maillage max (MPa) G (MPa)

100 TR3 55.53 55.53

400 TR3 55.35 55.34

100 TR6 57.02 55.58400 TR6 56.90 55.28


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S13 : Contrainte normale dans une poutre a section droite variable


Probleme :

La poutre droite de longueur L representee sur la figure est encastree en 1. Soit E le module deYoung du materiau. La section droite est un rond plein dont le diametre varie lineairement entre lessections 1 et 2. La poutre porte en 2 une force de composantes (0, P, 0).

On donne :

L = 1 m , D2 = 50 mm , D1 = 2 D2 = 100 mm , P = 10000 N

Lenergie de deformation due a leffort tranchant est negligee (modele de Bernoulli).Etudier la contrainte normale le long de la poutre.

Resultat :

Solution analytique : la contrainte normale maximale dans la section droite dabscisse x est egalea :

= 32 P (L x) D3

ou le diametre D de la poutre est egal a :

D = D1 + (D2 D1) xL

= D2 2 xL

Cette contrainte normale est maximale dans la section dabscisse L/2 :

max = 128 P L27 D32

= 120.72 MPa

Methode des elements finis : activer le menu Poutre du menu Resultats :

max =

120.72 MPa a x = 0.5 m


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50 RDM Ossatures

S14 : Contrainte normale dans une section droite : flexion deviee


Probleme :

La poutre droite de longueur L representee sur la figure est encastree en 1. La section droite est unecorniere a ailes inegales (grande aile : a, petite aile : b, epaisseur : t).

La poutre porte en 2 une force de composantes (0, 0, P).

On donne : L = 0.8 m , a = 100 mm , b = 60 mm , t = 9 mm , P = 1000 N .

Etudier la contrainte normale dans la section encastree.

Modelisation :

Selectionner loption Ossature spatiale.

Pour creer la poutre, designer le point B puis le point A.

Modifier lorientation angulaire de la poutre.

Resultats :

Solution analytique : les composantes de la charge dans le repere {XY Z} sont (0,P cos , P sin ).Dans la section encastree, la contrainte normale est donc egale a :

= MfZIZ

Y +MfY

IYZ =

P L cos

IZY P L sin

IYZ

avec : IY = 22.9774 cm4 et IZ = 153.1764 cm

4.

La contrainte de traction est maximale en M (27.629 mm , 25.498 mm) : T = 43.65 MPa .

La contrainte de compression est maximale en N (63.412 mm , 16.841 mm) : C = 51.02 MPa .

Methode des elements finis : pour extraire ces resultats, activer le menu Contraintes sur sectiondu menu Resultats, puis entrer labscisse de la section encastree (commande Abscisse de la sectiondu menu Modeliser).


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S15 : Section droite a parois minces

Reference : A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre, C. Laberge, Resistance des

materiaux, Recueil de problemes, tome 1, exercice 16.7,Editions de l

Ecole Polytechnique de Montreal.

Probleme :

Les deux sections droites a parois minces representees sur la figure ci-dessous ont une epaisseurconstante t.

On donne :

a = 100 mm , t = 10 mm.

Calculer pour chaque section droite :

les caracteristiques en utilisant plusieurs maillages.

la contrainte moyenne de cisaillement dans la paroi en A et B quand la section droite est soumisea un moment de torsion M

X= 10000 N.m

Modelisation :

Modeliser une poutre console spatiale soumise a un moment de torsion.

Definir la section (geometrie importee : fichier IGES ou .geo).


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52 RDM Ossatures

Resultats :

Pour evaluer les caracteristiques, activer le menu Calculer section droite du menu Modeliser.

Pour evaluer les contraintes, activer le menu Contraintes sur section droite du menu Resultats.

Section I (section ouverte) :

Reference :J = 2 a t (a2 + t2) = 2020 cm4

A =MX

4 t (a2 + t2)= 24.75 MPa , B =

MX2 a (a2 + t2)

= 4.95 MPa

On obtient :

caracteristiques :

Maillage J (cm4) I (cm6) ZC (mm) kY kZ

270 TR3 2190 2015578 248.69 0.1184 0.42381000 TR3 2153 2021152 248.69 0.1175 0.4204160 TR6 2140 2022219 248.67 0.1172 0.4192220 TR6 2137 2022294 248.66 0.1171 0.4188900 TR6 2131 2022509 248.64 0.1169 0.4179

1800 TR6 2129 2022511 248.63 0.1168 0.4176

contraintes moyennes : A = 24.54 MPa , B = 4.70 MPa (

900 triangles a 6 nuds)

Section II (section fermee) :

Reference :J = 10 a3 t = 10000 cm4

A =MX

20 a2 t= 5.00 MPa , B =

MX10 a2 t

= 10.00 MPa

On obtient :

caracteristiques :

Maillage J (cm4) I (cm6) ZC (mm) kY kZ240 TR3 10577 578053 66.06 0.3281 0.3735850 TR3 10480 578457 66.06 0.3249 0.3699170 TR6 10427 579207 66.00 0.3237 0.3684240 TR6 10414 579239 66.01 0.3231 0.3678850 TR6 10388 579895 66.07 0.3221 0.3667

1900 TR6 10379 579995 66.09 0.3217 0.3663

contraintes moyennes : A = 5.10 MPa , B = 9.90 MPa ( 900 triangles a 6 nuds )


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S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire

Reference : Resistance des materiaux : cisaillement dans les poutres a parois minces.

Probleme :

Considerons la poutre console dont la section droite (caisson rectangulaire a deux cloisons) est repre-sentee ci-dessous. Les parois et les cloisons ont la meme epaisseur t.

On donne : a = 500 mm , t = 20 mm.

1. Premiere etude :


2. Deuxieme etude :

La section droite est soumise a un moment de torsion MX = 1000 kN.m .

Evaluer le cisaillement moyen dans la paroi en A, B et C.

3. Troisieme etude :

La section droite est soumise a un effort tranchant TY = 1000 kN .

Evaluer le cisaillement moyen dans la paroi en en A, B et C.

Modelisation :

Modeliser une poutre console spatiale.

La section droite est parametree : [ 1000 , 2000 , 1000 , 20 , 20 , 20 ] mm


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54 RDM Ossatures

Resultats :

1. Premiere etude : caracteristiques

Reference :

J =112

5a3t = 5600 103 cm4

On obtient :

Maillage J (cm4) kY kZ100 TR3 5752 103 0.4385 0.4550

400 TR3 5683 103 0.4337 0.4502

100 TR6 5664 103 0.4322 0.4486

400 TR6 5650 103 0.4315 0.4475

1000 TR6 5648 103 0.4313 0.4473

2. Deuxieme etude : cisaillement du au couple de torsion Mx

Reference :

A = 4 C = 3 , B = avec =MX

56 a2t

On obtient ( 1000 triangles a 6 nuds) :

reference RDM-Ossatures

A14.29 MPa 14.33 MPa

B 3.57 MPa 3.61 MPa

C 10.71 MPa 10.76 MPa

3. Troisieme etude : cisaillement du a leffort tranchant TY

Reference :

A = 0 B = 5 C = 4 avec =TY

32 at


reference RDM Ossatures

B 15.63 MPa 15.63 MPa

C 12.50 MPa 12.52 MPa


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S17 : Cisaillement dans un profil mince ferme et simplement cloisonne

Reference : S. Laroze, Mecanique des structures, tome 5, Cepadues, 2005, pages 133,167.

Probleme : considerons le gouvernail de profondeur dont la section droite est representee ci-dessous.

On donne : L = 600 mm , R = 75 mm , t1 = 2 mm , t2 = 4 mm , t3 = 3 mm.

1. Premiere etude :

Evaluer les caracteristiques de la section : constante de torsion de Saint Venant J, constante degauchissement I, position du centre de cisaillement C, coefficients daire cisaillee (kY, kZ).

2. Deuxieme etude :

Evaluer le cisaillement moyen dans les parois 1, 2 et 3 quand la section droite est soumise a uncouple de torsion Mt = 10000 N.m.

3. Troisieme etude :

La section droite est soumise a un effort tranchant TY = 10000 N. Evaluer le cisaillement maxi-mal.

Resultats :

1. Premiere etude : caracteristiques de la section

Reference : J = 1809 cm4.

On obtient :

Maillage J (cm4) I (cm6) YC (mm) kY kZ

200 TR3 1828 531 -200.6 0.6166 0.0958

400 TR3 1820 297 -201.1 0.6146 0.0949

200 TR6 1819 370 -201.4 0.6140 0.0946400 TR6 1816 343 -201.2 0.6136 0.0943

1200 TR6 1815 334 -201.2 0.6134 0.0942


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56 RDM Ossatures

2. Deuxieme etude : cisaillement du au couple de torsion


reference RDM - Ossatures1 42.90 MPa 43.24 MPa

2 32.24 MPa 32.16 MPa

3 14.39 MPa 14.06 MPa

3. Troisieme etude : cisaillement du a leffort tranchant TY

Reference : le cisaillement est maximal en A et B et vaut : max = 5.16 MPa.

On obtient (maillage :

1000 triangles a 6 nuds) : max = 5.23 MPa.


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S18 : Flexion - torsion

Probleme : la structure representee sur la figure est constituee de deux poutres identiques de lon-gueur L. Soient E et les caracteristiques elastiques du materiau. Lensemble est encastre en 1. Lesdeux poutres portent une charge uniformement repartie dintensite lineique (0, 0, p).

On donne :

E = 200000 MPa , = 0.3

L = 0.6 m , section droite : IPN 180

p = 1000 N/m

Dans chacun des cas suivants et pour plusieurs maillages de la section droite, evaluer le deplacement

vertical des sections 2 et 3.

Resultats :

Les caracteristiques J, kY . . . utilisees dans la solution de reference sont extraites de la bibliothequede profiles (maillage = 4 1993 triangles a 6 nuds).

Cas 1 :

Reference :

w2 =11pL4

24 EIZ +3pL2

2 GA kY = 0.02057 0.00582 = 0.02638mm

w3 =7pL4

12 EIZ+

2pL2

GA kY+

pL4

2 GJ= 0.02618 0.00775 9.28441 = 9.31834 mm

Les deplacements obtenus sont (en mm) :


maillage w2 w3 w2 w3400 TR3 0.02057 8.46166 0.02635 8.46937800 TR3 = 8.83228 0.02638 8.84003400 TR6 =

9.25606

0.02640

9.26384

800 TR6 = 9.26805 0.02641 9.27583reference 0.02057 9.31059 0.02638 9.31834


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58 RDM Ossatures

Cas 2 :

Reference :

w2 = 11pL4

24 EIY+ 3pL

2

2 GA kZ= 0.36576 0.00444 = 0.37020 mm

w3 =7pL4

12 EIY+

2pL2

GA kZ+

pL4

2 GJ= 0.46551 0.00592 9.28441 = 9.75584 mm

Les deplacements obtenus sont (en mm) :


maillage w2 w3 w2 w3400 TR3 0.36576 8.90356 0.37000 8.90921800 TR3 = 9.27178 0.37071 9.27759400 TR6 = 9.69548 0.37022 9.70143800 TR6 = 9.70751 0.37023 9.71347reference 0.36576 9.74992 0.37020 9.75584


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S19 : Contraintes normales dans une poutre a section droite variable


Probleme :

La poutre droite de longueur L representee sur la figure est encastree en 1. La section droite est uncarre plein dont le cote varie lineairement entre les sections 1 et 2.

La poutre est soumise en 2 a :

une force de composantes (N,F, 0). un couple de composantes (0, 0, C).

On donne :

L = 1 m , c = 10 mm

N = 1000 N , F = 1 N , C = 1 N.m

Evaluer les contraintes normales dans les sections 1 et 2.

Resultats :

Solution analytique :

1,inf =

1

4 c2 N +3 (C+ F L)

c = 4 MPa , 1,sup =1

4 c2 N3 (C + F L)

c = 1 MPa2,inf =

1

c2

N +

6 C

c

= 16 MPa , 2,sup =

1

c2

N 6 C

c

= 4 MPa

Methode des elements finis : pour extraire ces resultats, activer le menu Poutre du menu Re-sultats, puis entrer labscisse de la section (commande Valeur en un point du menu Resultats).


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Chapitre 4

Flambement eulerien

F1 : Ossature plane

Reference : S.P. Timoshenko, J.M. Gere, Theorie de la stabilite elastique, Dunod, 1966, page 69.

Probleme :

Lossature plane representee sur la figure est constituee de trois poutres droites soudees entre elles.Lensemble est lie a lexterieur par une rotule en 1 et 3, un appui simple en 2.

La structure est en acier de module de Young E.

Les poutres ont une section droite rectangulaire de dimensions (b, t).

Le nud 2 porte une force de composante (F, 0).

On donne :

E = 200000 MPa

L = 1 m

t = 20 mm , b = 100 mm

F = 10 kN


Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages.


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Resultats :

La charge critique est egale a :

FC =13.9 EIZ

L2= 18.53 kN

Le coefficient de charge critique est donc egal a :

C = 18.53

On obtient avec RDM Ossatures :

Nombre delements C3 24.82

5 18.70

10 18.53

20 18.52


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62 RDM Ossatures

F2 : Poutre droite

Reference : Z.P. Bazant,L. Cedolin, Stability of structures, Oxford, 1991, page 70.

Probleme :

Lossature plane representee sur la figure est constituee de deux poutres droites de longueur L et desection rectangulaire. Elle est liee a lexterieur par une rotule en 1 et un appui simple en 2. Soit E lemodule de Young du materiau. La poutre porte en 3 une force (P, 0).

On donne :

L = 0.8 m , b = 25 mm , t = 10 mm

E = 210000 MPa , P = 1000 N



Resultats :

Posons : IZ =b t3

12


PC = 0.18132 EIZ

L2= 1223 N

On en deduit C = 1.223 .



4 1.223

10 1.223


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F3 : Poutre droite a section variable

Reference : S.P. Timoshenko, J.M. Gere, Theorie de la stabilite elastique, Dunod, 1966, page 127.

Probleme :

La poutre droite 1 2 de longueur L est encastree en 1. Soit E le module de Young du materiau. Lasection droite est un rond plein dont le diametre varie lineairement entre les nuds 1 et 2. La poutreporte en 2 une force (P, 0).

On donne :

L = 1.2 m

d1 = 50 mm , d2 = 28.117 mm (Iz2 = 0.1 Iz1)

E = 200000 MPa

P = 10000 N



Resultats :


PC = 1.202 EIz1L2

= 51218 N

On en deduit : C= 5.1218 .



2 5.154

10 5.127


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64 RDM Ossatures

F4 : Poutre console flexion-torsion

Reference : Solution analytique

Probleme :

La poutre droite (ossature spatiale), representee sur la figure, a une longueur L et une sectionconstante (rectangle plein : b t). Elle est en acier de constantes elastiques E et . Elle est encastreeen 1.

Cas de charge 1 : le nud 2 porte une force (0, 0,P).

Cas de charge 2 : la poutre porte une charge uniformement repartie sur toute sa longueur (0, 0,q).

Cas de charge 3 : le nud 2 porte un couple (M, 0, 0).

On donne :

L = 1.2 m , b = 100 mm , t = 6 mm

E = 200000 MPa , = 0.3

P = 100 N , q = 100 N/m , M = 100 Nm


Pour chaque cas de charge, calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillageset plusieurs hypotheses de calcul (petites rotations ou rotations moderees).

Modelisation :

La poutre est une ossature spatiale.

Pour evaluer la constante de torsion de Saint Venant, activer le menu Calculer section droite ( 600triangles a 6 nuds). Les caracteristiques de la section sont : IY= 0.18 cm

4, J = 0.6928 cm4.


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Resultats :

Cas 1 :


FC=4.0126

L2

EIYGJ = 1221 N (petites rotations et rotations moderees)

Le coefficient de charge critique est donc egal a : C1 = 12.21

Cas 2 :


qC =12.85

L3 EIYGJ = 3257 N/m (petites rotations et rotations moderees)Le coefficient de charge critique est donc egal a : C2 = 32.57

Cas 3 :

hypothese petites rotations :

La charge critique est egale a : MC =

2 L

EIYGJ = 573.4 Nm


hypothese rotations moderees :

La charge critique est egale a : MC =

L

EIYGJ = 1146.7 Nm


Remarque : quand les rotations ne sont pas petites, le resultat depend de la maniere dont lecouple exterieur est applique. Le resultat ci-dessus est obtenu avec un couple semi-tangentiel [5].


nombre delements C1 C2 C3 C41 18.25 57.48 6.322 12.644

2 13.05 38.61 5.882 12.644

3 12.54 34.74 5.799 11.995

10 12.24 32.75 5.739 11.514

20 12.21 32.62 5.735 11.479solution analytique 12.21 32.57 5.734 11.467


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66 RDM Ossatures

F5 : Lame equerre flexion-torsion

Reference : J.-H. Argyris, O. Hilpert, G.-A. Malejannakis, D.-W. Scharpf, On the geo-metrical stiffness of a beam in space a consistent v. w. approach, CMAME, vol 20, (1979), 105-131.

Probleme :

La structure spatiale representee sur la figure est composee de deux poutres droites de longueur Let de section constante (rectangle plein : b t ). Elle est encastree en 1.

Soient E et les constantes elastiques du materiau.

Le nud 3 porte une force (0, P, 0) ou P peut etre positif ou negatif.

On donne :

L = 240 mm , b = 30 mm , t = 0.6 mmE = 71240 MPa , = 0.31

P = 1 NCalculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages et plusieurs hypotheses decalcul (petites rotations ou rotations moderees).

Modelisation :

Modeliser la section droite comme une section quelconque :

Forme = 5

A = b t = 0.18 cm2 , IY=b t3

12

= 0.000054 cm4 , IZ =t b3

12

= 0.135 cm4

J =b t3

3= 0.000216 cm4


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Resultats :

Reference (avec 2 10 elements) :

hypothese petites rotations : C(P > 0) = 0.5507 , C(P < 0) = 0.4214

hypothese rotations moderees : C(P > 0) = 1.0880 , C(P < 0) = 0.6804


petites rotations rotations moderees

Nombre delements C(P > 0) C(P < 0) C(P > 0) C(P < 0)

2 1 0.5604 0.4269 1.1754 0.70852 2 0.5531 0.4227 1.1101 0.6873

2 10 0.5507 0.4214 1.0880 0.68042 20 0.5506 0.4213 1.0873 0.6802


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68 RDM Ossatures

F6 : Lame equerre flexion-torsion

Reference : J.-H. Argyris, O. Hilpert, G.-A. Malejannakis, D.-W. Scharpf, On the geo-metrical stiffness of a beam in space a consistent v. w. approach, CMAME, vol 20, (1979), 105-131.

Probleme :

La structure spatiale representee sur la figure est composee de deux poutres droites de longueur L,perpendiculaires entre elles et de section constante (rectangle plein : b t).

Soient E et les constantes elastiques du materiau.

Les conditions aux limites sont :

nud 1 : u = v = w = y = z = 0nud 3 : u = w = y = z = 0

Cas de charge 1 :

nud 1 : un couple de composante (M, 0, 0)nud 3 : un couple de composantes (M, 0, 0)

ou M peut etre positif ou negatif.

Cas de charge 2 :

nud 2 : une force de composantes (0, 0, P)

ou P peut etre positif ou negatif.


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On donne :

L = 240 mm , b = 30 mm , t = 0.6 mm

E = 71240 MPa , = 0.31

M = 1 N.mm , P = 1 N

Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages et plusieurs hypotheses decalcul (petites rotations ou rotations moderees).

Modelisation :

Modeliser la section droite comme une section quelconque :

Forme = 5

A = b t = 0.18 cm2 , IY=b t3

12= 0.000054 cm4 , IZ =

t b3

12= 0.135 cm4

J =b t3

3= 0.000216 cm4

Resultats :

Cas de charge 1 :


hypothese petites rotations : C(M > 0) = 315.79 , C(M < 0) = 937.84

hypothese rotations moderees : C ( M > 0 ) = 624.77 , C ( M < 0 ) = 624.77

On obtient (4 modes demandes, precision sur le calcul des valeurs propres = 0.0001) :

nombre petites rotations rotations modereesdelements C(M > 0) C(M < 0) C(M > 0) C(M < 0)

2 4 317.31 985.38 638.30 638.302 10 315.79 937.84 624.77 624.772 20 315.58 931.14 622.85 622.852 50 315.51 929.27 622.31 622.31

Remarque : la charge critique theorique (hypothese rotations moderees) est egale a :

MC =

L

EIYGJ = 622.21 N.mm

pour M positif ou negatif. Cette valeur est independante de langle que font entre elles les deux

poutres.


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70 RDM Ossatures

Cas de charge 2 :


hypothese petites rotations : C(P > 0) = 19.326 , C(P < 0) = 2.419

hypothese rotations moderees : C(P > 0) = 11.744 , C(P < 0) = 3.947

On obtient (5 modes demandes, precision sur le calcul des valeurs propres = 0.0001) :

nombre petites rotations rotations modereesdelements C(P > 0) C(P < 0) C(P > 0) C(P < 0)

2 4 15.419 2.420 12.265 3.9512 10 14.908 2.419 11.744 3.947

2 20 14.836 2.419 11.672 3.946

Remarque : la valeur C (P > 0, hypothese petites rotations) donnee dans la reference corres-pond au premier mode symetrique. On obtient (5e valeur propre) : 19.326 avec 20 elements.


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F7 : Flambement dun mat vertical sous son poids propre

Reference : J. Courbon, Stabilite de lequilibre elastique, Les Techniques de lIngenieur, C2040.

Probleme :

Le mat represente sur la figure est encastre a sa base et libre a son extre-mite superieure. Ce mat de hauteur H, de section droite constante : rondplein de diametre D est soumis a son poids propre. Soient E le modulede Young du materiau et sa masse volumique. Soit g lacceleration de lapesanteur.

On donne :

H = 4 m , D = 30 mm

E = 200000 MPa , = 7800 kg/m3

g = 10 m/s2


Evaluer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages.

Resultats :

La charge critique par unite de longueur est egale a :

pC = 7.8373E IZH3

= 973.804 N/m

Le poids propre par unite de longueur etant egal a :

p = D2

4 g = 55.035 N/m ,

on en deduit :C =

pC

p

= 17.662



2 17.707

3 17.673

4 17.666

10 17.662


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72 RDM Ossatures

F8 : Flambement dune poutre droite

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RDM Ossatures exeoss