RDM

RDM - Généralités RDM - Généralités

La RDM est la science qui traite la résistance, la sécurité, les déformations, les effets thermiques et les usures. Les deux derniers points ne seront pas traités. La RDM est la science qui traite la résistance, la sécurité, les déformations, les effets thermiques et les usures. Les deux derniers points ne seront pas traités.

I) DEFINITION D’UNE POUTREI) DEFINITION D’UNE POUTRE Nous nous ramènerons toujours dans ce cours à un système assimilable (avec certaines approximations) à une poutre. Définition : Une poutre est un solide long par rapport aux dimensions des sections droites (il est souhaitable d’avoir un rapport minimum de 10 entre la longueur et la dimension transversale). Les sections droites sont des sections planes et perpendiculaires à la ligne moyenne de la poutre. La ligne moyenne est le lieu des centres de gravités (A,…,G,…,B) des sections droites.

Les sections droites doivent rester constantes ou ne varier que progressivement (lentement et de façon continue). Les brusques variations de section (trous, épaulements…) amène à des phénomènes de concentration de contraintes qui doivent être étudiés en particulier. Exemple de poutres :

RDM

II) HYPOTHESES FONDAMENTALES

- Les matériaux sont homogènes et isotropes (même propriétés dans toutes les directions (ex : métaux, non bois))

- Les forces extérieures exercées sur la poutre sont dans le plan de symétrie - On reste dans le cas de petites déformations par rapport aux dimensions de la poutre. - Hypothèse de Navier Bernouilli : Les sections droites, planes et perpendiculaires à la ligne

moyenne restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation : il n’y a pas de gauchissement des sections droites.

III) EFFORTS INTERIEURS OU EFFORTS DE COHESION Les efforts de cohésions sont les efforts qui agissent à l’intérieur des poutres pour en assurer la cohésion. On considère qu’une poutre peut être divisées en plusieurs éléments liées entre eux par des liaisons encastrement.

1) Principe de résolution d’un problème On divise mentalement la poutre en 2 éléments. Chaque élément est en équilibre, on peut donc appliquer le PFS à n’importe lequel des deux pour déterminer les efforts au niveau de la coupure fictive.

RDM

2) Convention de signe

On peut définir les efforts de cohésion en appliquant le PFS soit à l’élément de gauche soit à l’élément de droite. On obtient les mêmes résultats au signe prêt car T1/2 = - T2/1

Convention 1 : Convention 2 :

1/22/1

1/22/1

GGG

G

MMM

RRR

−==

−==

2/11/2

2/11/2

GGG

G

MMM

RRR

−==

−==

3) Torseur des efforts de cohésion

N : effort Normal T=TY+Tz : effort Tranchant MT : Moment de Torsion MF = MFy+ MFz : Moment fléchissant (de flexion)

{ }),,( zyxfzz

fyy

T

G

G

MTMTMN

=τ

RDM

IV) SOLLICITATIONS SIMPLES ET SOLLICITATIONS COMPOSEES

RDM

V) CONTRAINTES Le torseur de cohésion décrit les actions qui s’exercent dans toute une section droite de la poutre. Pour connaître les effort en chacun des points de cette section droite, on utilise la notion de contrainte.

On choisi une toute petite surface autour du point M pour lequel on cherche à déterminer la contrainte.

S∆

Cette petite surface est soumise à un effort 1/2if∆

On peut donc définir la pression exercé par cette force sur la surface SfP i

∆∆

= 1/2

On appelle contrainte la limite de cette pression lorsque la taille de la surface est infiniment petite

Sf

SnM i

∆∆

→∆= 1/2

0lim

),(σ => unité : MPa (N/mm²) ou Pa (N/m²)

VI) COEFFICIENT DE SECURITE Le coefficient de sécurité permet de surdimensionner la poutre par rapport aux efforts qu’elle aura réellement à subir. On le défini par la relation :

ercéescharges.exmissiblescharges.ad

=s