Raz. Matematico --- 3 de Secundaria

8/16/2019 Raz. Matematico --- 3 de Secundaria

1/59

Í N D I C E

Capítulo Pág.

I. Psicotécnico ............................................................................................161

II. Fracciones ..............................................................................................167

III. Ecuaciones I ............................................................................................173

IV. Ecuaciones II ...........................................................................................179

V. Operaciones matemáticas aritrarias

......................................................... 1!7

VI. Criptaritmos ............................................................................................193


2/59

Departamento dePublicaciones

TRILCE

"C#$NE3N%I&'CC()9.p6*


3/59

16 Academia TRILCE

Capítulo I

ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE

Psicotécnico

Aspectos elementales

Deemos tener en cuenta a +a %,-ica a +a

'atemática como ciencias pi+ares /e+ saer0umano. Nuestro estu/io +o /ii/iremos en /ospartes2

#est menta+es 4in-enio rapi/e5 Fi-uras 4rapi/e5

isua+ Veamos a+-unos

eemp+os 2

* Acertijo lógico

8e encuentran u+io César Fernan/o: e+primero /ice2 ;


4/59

16 Tercer año de secundaria

"# pue/e ser porue +as /os cruces ue @a+tanno pue/en erse pero estarAan en +Anea.


5/59

Razonamiento Matemático Nivelación Escolar

Problemas para la clase

Test de comprensión mecánica

=Cuá+ /e +as /os +unas /ará más ue+tasa+re/e/or /e+ p+aneta?

"

a c

/ e

. 8i2

Jes a

como es a2

... %a %una ;";

"/emás oseraremos casos /era5onamiento en e+ p+ano.

a c

/ e

$lo%ue &

*. 8i2

#e toca /emostrar tu rapi/e5 tu in-enio enestos pro+emas senci++os.

1. =En ué mes 0a+an menos +as mueres?

H. "+ 0uir un +a/r,n /e +a casa: e+ a+a5o sa+i,por +a

como

2

es a

entana: =c,mo se ++ama e+/etectie?

3. In/icar +os nmeros ue comp+etan +a@i-ura.

a es a

es a

c es a

/ es a

e es a

6. 8eKa+e +a @i-ura ue no tiene re+aci,n con +as/emás2


6/59

Psicotécnico

1 H 3 *


7/59

#

#

#

#


13.8eKa+e +a @i-ura ue correspon/e a +ainc,-nita2

es a como es a?

1 H 3 *

!. 8eKa+e +a @i-ura ue no tiene re+aci,n con +as

/emás2

1 H 3


1 H 3 *

1.8eKa+e +a @i-ura ue no tiene re+aci,n con +as/emás2

1 H 3 * 6

1*.8eKa+e +a @i-ura ue no tiene re+aci,n con +as/emás2

1 H 3

1).8eKa+e +a @i-ura ue no tiene re+aci,n con +as /emás2

1 H 3 *

1 H 3 *


es a como2 # es a ?

$lo%ue &&

"unue no +o creas: a estás capacita/o parareso+er sin /i@icu+ta/ +os si-uientes pro+emas.L8$EEM

1. #res osos an en @i+a in/ia por un caminoa/e+ante a e+ oso: +e si-ue +a osa +ue-o eosito. =Cuá+ /e +os tres pue/e /ecir: me si-uen/os osos?

&pta.2

1 H

H. In/icar +a @i-ura ue contina en2

3 I

1H.8eKa+e +a @i-ura ue no tiene re+aci,n con +as/emás2

1 H 3

: : : : ...

a c


8/59

/ e

* 6

7 ! 9


9/59

B

! !

B

!

B

3. =>ué @i-ura comp+eta +asucesi,n?

!. 8eKa+e +a @i-ura ue correspon/e a +ainc,-nita2

G G G G ...

Bes a como

!es a ?

a c

/ e

. 8eKa+e +a @i-ura ue no tiene re+aci,n con +as/emás2

B B1 H 3

9. 8eKa+e +as /os @i-uras ue no tienen re+aci,ncon +as /emás2

1 H 3

1 H 3 *

*. 8eKa+e +a @i-ura ue correspon/e a +ainc,-nita2

* 6 7

1).8eKa+e +a @i-ura ue correspon/e a +ainc,-nita2

es a como2 es a ? B B

es a como es a ?

1 H 3 I

6. 8eKa+e +a @i-ura ue no tiene re+aci,n con +as/emás2 1 H 3


1 H 3 *es a como es a?

7. 8eKa+e +a @i-ura ue correspon/e a +a inc,-nita2

1 H 3 *

es a como2 es a ?1H.8eKa+e +a @i-ura ue correspon/e a +ainc,-nita2

es a como es a?

1 H 3 I


10/59

1 H 3 *


11/59


es a como es a?

ACERTIJOS LÓGICOS

1. 8e po/rá @ormar un trián-u+o con /os rectasnicamente.

H. 8i uste/ tiene oc0o so+es compra cinco so+es

/e pan:=cuánto recie /e ue+to?

1 H 3 *

1.8i or-ito 0a entra/o tres eces a+ +oca+ /e'ira@+ores:

=cuántas eces 0a teni/o ue sa+ir?

a ) 1 c H/ 3 e F.D.

1*.Esco-e +a @i-ura in/ica/a.

=?

=?

a c

/ e

3. Cuan/o or-e ia a +a ciu/a/ se cru5, por ecamino con Fernan/o: uien tenAa oc0oesposas ca/a esposa siete 0ias. =Cuántosian a +a ciu/a/?

. E+ pro@esor es peruano +a cocinera: =/eué naciona+i/a/ es +a cocinera?

*. 8i encima /e una mesa 0a siete moscas uste/ mata /os: =cuántas ue/an?

6. =Cuá+ es e+ principio /e "ruAme/es?

7. =>ué se encuentra en e+ centro /e +a-raitaci,n?

!. =Cuántas pareas /e anima+es meti, 'oisés a

arca?

16.8eKa+e +a @i-ura ue correspon/e a +a inc,-nita2

9. Pue/e escriir %ima sin %.

es a como es a?

1).=En ué +u-ar se consera +as arma/uras /e+>uiote /e +a 'anc0a?


12/59

1 H 3 *


13/59

Tarea domiciliaria7.

1. " continuaci,n osera ien ca/a -rupo /etermina cuántos puntos +e correspon/en a+a @ic0a ue está en +anco.

H. Dos pi+otos se encuentran o+an/o uno porPiura e+ otro por #acna. =C,mo se ++aman/ic0os pi+otos?

3. =>ué es aue++o ue se repite una e5 en unminuto: /os eces en un momento nin-unae5 en una 0ora?

. =Cuántos áro+es ten/rá un campo trian-u+arue tiene un áro+ en ca/a értice seisáro+es en ca/a +a/o?

*. $n caraco+ uiere suir a un pa+o /e 3)metros: /urante +a maKana sue tres metros

/urante +a noc0e aa /os metros. =Cuántos/Aas /ee pasar para +o-rar su oetio?

=>ué @i-ura contina?

6.

!.

9.

1).

?

4a 4 4c 4/ 4e

?

4a 4 4c 4/ 4e

?

4a 4 4c 4/ 4e

?

?

4a 4 4c 4/ 4e

4a 4 4c 4/ 4e


14/59

16 Academia TRILCE

Capítulo II


Fracciones

&ntroducción

%a i/ea /e @racci,n es astante anti-ua: estapa+ara /eria /e+ oca+o +atAn ;@ractum;: uesi-ni@ica ;roto;.

=Crees ue 0as enten/i/o? LDemuéstra+o

=Cuá+es /e +as si-uientes son @racciones?

Eisten esti-ios ue /emuestran +auti+i5aci,n /e sAmo+os para in/icar @racciones:a en e+ si-+o III a.n.e. estos sAmo+os seuti+i5aan como e+ementos /e cá+cu+o: aue++osue se encar-aan /e e++o eran un -rupo muse+ecto /entro /e+ reino.

%os e-ipcios: tenAan una @orma pecu+iar /eescriir +as @racciones 41 !)) a.n.e.

8A NoH

3

H

*

8A No−1

*

7

−

71

=

,

1

=

7 3

H 1

En Jai+onia +a@racci,n

H

copa 0asta su mita/.

se representaa comouna

En esta c+ase +e /aremos muc0aimportancia a +a representaci,n -rá@ica co@racciones +as operaciones respectias.

%a aparici,n /e +as @racciones nace /ei/o a+a necesi/a/ /e 0acer una /iisi,n euitatia enun -rupo /e in/ii/uos.

V eam o s e + si- u ie n t e c a so 2 $n pa/re antes /emorir /e, a sus 0ios una porci,n /e tierracomo 0erencia: con +as si-uientes con/iciones2

'. epresentación grá(ica

a =>ué @racci,n /e+ cua/ra/o representa +are-i,n somrea/a?

( "+ maor3

: a+ se-un/oH

a+ +timo +o ue ue/e. 716

Partes somrea/as #ota+ /e p artes

6 6

Para 0acer e+ reparto/ee /ii/irse e+ terrenoen partes i-ua+es4=cuántas?

=Cuá+ es +a @racci,n ue representa +a@i-ura somrea/a?

1 H 3

). De(inición de (racción

$na @racci,n es una manera /e epresar ueuna canti/a/ 0a si/o /ii/i/a en cierto nmero/e partes i-ua+es.

E+ numera/or in/ica e+ nmero /e partestoma/as: e+ /enomina/or e+ nmero /epartes en ue se 0a /ii/i/o +a canti/a/ encuesti,n.

←

Comp+éta+o tM

. Operaciones básicas

.) Adición + sustracción

De manera -enera+: a+ nmero @raccionario ue presente 3sus /os términos positios se +es ++amará @racci,n:

*+

H=

eamos2

1 1 1 ,ultiplicaci

7 7 7


15/59


3 7

Nunca o+i/es ue a+ 0a+ar /e @racci,n:+as partes /een ser i-ua+es.

H×

*=

3 7


16/59


Problemas para la clase. División

1@orma2

H÷

3⇒

* H

H×

H

=* 3

H

$lo%ue &

=>ué @racci,n es +a ue presenta +a @i-urasomrea/a?

H 3 *

H @orma2 *

÷

H

⇒

3

=

H

.- n mi/tos

No o+i/es ue es necesario ue +a @i-ura: esté/ii/a en partes i-ua+es: si no es asA:e@ecta +os tra5os conenientes. L# pue/esM

1.

&ecuer/a ue2

*H

= * + H

3 3

7 H +

3 1H.

&pta.2

⇒ Desarro++emos +o si-uiente2 * H

1 @orma2

7 + H

+ 3 + 1

= 7 + 3 + H

+ 1

= 1) + 9

= 1)9 &pta.2

* H * H 1) 1)3.

H @orma2 %os trans@ormo en nmeros @raccionarios2

B

7

H

=

37

3

1

=

7

* * H H

%os sumo2

&pta.2

37+

7

* H = 1)9

1)

1)91)⇒

9 1)

1) 91) .

&pta.2 *.

&pta.2


17/59

E@ectuar2 3.

6.

3 1+ =

! *

7.

3(

1=

! *

&pta.2

.!.

3 1× =

! *

9.

3÷

1=

! *

&pta.2 *.

1).

11.

3 ! =1*

&pta.2

6.

3=

H*

1H.

3 ! =*

&pta.2

7.

$lo%ue &&

En +os si-uientes @i-uras a/untas: =ué parte/e+ área tota+ está somrea/a?

1. &pta.2

&pta.2 H.

!.

3 + 1* H =H

− 1

3

9.

H +*

=1

&pta.2

H + H

3 + 1

!


18/59

+

1

9

1).

* + H

=1

1 + H

H − 1

Tarea domiciliaria

1. In/iue ué parte representa /e+ tota+ +are-i,n somrea/a en e+ -rá@ico2

11.

3 + 1 =3 +

1

1H.

1 − 1

3

*=

a 1 6

/ 1 e1*

1 c 13 H

1

*

6 +

13.

1−

1

3 *3

En ca/a caso e@ectuar2

H.3

+ H

1 H +

I *3 1

× 1)

H* ) 6 =1 1 a 1

3 17 c 11

1.

(! 1H H) H) H)

/ 1* e 7

16 !

3.

*÷ 1 × ×* 1H*

(3

7 * 3 =6 ÷

1

1

Ha −

1

3*

−3

3*

c 1

3*

1*.Ca+cu+ar2

1 1 1 1 1 1 1

/ H e

3* 3*

.

D = + + + +H 6 1H H) 3)

+ +H *6

*×

H×

1×

H

7 * I *

a H *

/ 1 e*

1 c 1

7 3*

7

*

*.

7

÷

3


19/59

H *


20/59

a H1 1)

/ H1 e13

3* c 3*

9 6

1)7

En ca/a caso: otener +a @racci,n pe/i/a. 4En@unci,n a+ -rá@ico a/unto

1!.

76.

1

1 (1

9.1

1 (1 1HH

a ( 1 1 c 1

H

1).8i2

P = 1

G1 (

1> =

H

1 + 1

/ − 1

He 1

3

3 3

0a++ar ;P . >;

7.

1

1 +1

1 +1

a9

H

/ 7 eH

9

c 1I

1H

*

a ! *

/ 1 e!

1 + 1

H

* c 3

! !

3

*


21/59

17 Academia TRILCE

Capítulo III


Ecuaciones I

Planteo de ecuaciones

&eso+er una ecuaci,n no es a/iinar un

resu+ta/o: es

*.9

7= *

s e- ui r un p ro ce so + ,- ic o m a te m á tico a s a / o @un/amenta+mente en +aspropie/a/es /e a/ici,n: sustracci,n:mu+tip+icaci,n: /iisi,n: etc.: cuo objetivoprincipal a a ser 0a++ar e+ a+or /e +a incógnita4+a inc,-nita se representa con cua+uiervariable2 : : 5:....

"ntes /e empe5ar a p+antear +as ecuacionesreso+amos a+-unas ecuaciones a manera /epráctica.

En ca/a uno /e +os si-uientes eemp+os:ca+cu+ar 2

$lo%ue&

1. B 9 Q1!

esolución!

esolución!

6. 3 − * = !!

esolución!

7. H +

6 =

3 −

7 *

esolución!

H. 34 ( H QH7

esolución!

!. − = 1H 3

3. * 4 B ! B 4 ( 6 Q 71

esolución!

esolución!

9.H +

F

3 +

−

1

=

I6


22/59


. 3 4H B 1 B H) Q 6 43 ( *( H!

esolución!

esolución!


23/59

Ecuaciones I

1). H − 9 = 3 −

−

H +

71. * +

HF=

I −

3

H 3 3 3 I

esolución!

esolución!

H+

F+

= 13I 1*.

+

H=

1−

11.

3 * * 3 * 3

esolución!

esolución!

1H. 3−

=

F

+

1H 16.7

−

*=

3+

HH * 1) 1H 7 1H 7

esolución!

esolución!

13. 3 − HF

*=

−

7

1) I

17. 3 + HF

3+

1=

*

! 6

esolución!

esolución!


24/59

1!. + 7 +

*= 13F

7 − I = *

3 ! HH. 9 −

! =

13

esolución!

esolución!

19. ! − 11 + 1)

= 7 + *

9 3

esolución!

H3.* + 6 = H)I −

3 =

−

33

esolución!

H). H − 1 − +

13= 3 +

*4 +

1

3 H !

esolución!

$lo%ue &&H1.&eso+er +os sistemas: en ca/aaso2

+ H = 1H − H = 1)

esolución!

H.

H*.

7 + 9 = H1H + 1) = −

esolución!

1* − 11 = − !7

−1H − * = − H7

esolución!


25/59

a HG * (1G ( c 1G 3/ 3G H e 3G (H

H

3 3

H6.1) + 9 = !! − 1* = −

1

H. 8i2

ca+cu+ar2

− H + =

4 ( 1H

a 1 G1

− 1

G1

c 1 G1

H 3 H H 3 a 3 c */ 7 e !

/ −

1 G1 e 1 G− 1

H H *Tarea domiciliaria

H7.

H!.

! + * = − H!9 +

6 =

−

33

a (1G ( HG 3 c 1G (/ 3G (H e (1G (H

3 − 4I + 6 = H − 4 + 1!

Ra++ar e+ a+or /e ;; en2

1. 34H B 3 B Q 1H 4 ( 1

a 7:* !:* c1):* / 9:* e 11:*

H. H ( S B 3 ( 4 B 6 ( 3T Q 3

H − 3 = − + I 1 H 3a 1 H c

3a 1G

3G ( c 3G

3 3 *

/ H e 39

H9.

/ HG (1 e 3G (H

34H + − H4 − = −4 + 7

3. 1 ( 43 ( H ( S* B H ( 4 ( 1T Q )

34H +

3 −

H) = −*3 a (1 H c

*

3

/ 1 e 13 7

3). . + H − 1

= H

+ 3

+ −

= − H

7

! + − 1=

H

−

−

H

1Ha (6 (7 c

*

/ 7 e !a (3G (7 (*G 9 c (*G !/ (*G (9 e 3G (9 *. ( U3:6 ( S4 B 1:3 ( 4 ( 1:7T

1 8i2

PROBLEMAS RETOH H

a 7 3

1c −

9

3 F

− H = H / − H

*e −

1

3

ca+cu+ar2

9 − = 16

9 B


26/59

a 3 3* c/ 37 e 3!


27/59

177 Academia TRILCE

9.6. 7 − 1 −

* − H=

− 3+

1 + 3 H 3 −

+ +

= 3

a 31 1)

H9 c 3H

1H 11

H *

H − 3

= 6H

/ H7 e H

1H 13a HG 3G 3 c 6G / G 6 e *G 3

Ra++ar +os a+ores /e ;; e ;;respectiamente2 1).

H4 − 34 H−1

7.

+ H = 133 − = 11

a *G 3G ! c 1HG* / 3G 6 e 1G *

− =

3 H 6

* Q (H B1

a (3G 7 (3G ! c HG !/ HG 3 e (3G 6

!.

3 +

H =

3)I −

3 =

H3

a 16G 6 1!G 6 c !G/ 1*G H e 13G *


28/59

Capítulo I


Ecuaciones II

P+antear una ecuaci,n es trans@ormarenuncia/os: conunto /e oraciones o @ormasera+es a @ormas matemáticas o sim,+icas.

E+ trip+e /e +a /i@erencia /e un nmero con 6.

0enguaje matemático!

Forma

era+

p+anteo

Formamatemática %os patos ece/en a +as -a++inas en 9.

4pa+aras 4constantes aria+es

#ra/ucir a +en-uae matemático osim,+ico +os si-uientes enuncia/os2

$n nmero /esconoci/o.

0enguaje

matemático!

E+ /o+e /e un nmero.

0enguajematemático!

E+ trip+e /e un nmero.


E+ /o+e /e un nmero aumenta/o en 7.


E+ trip+e /e un nmero: /isminui/o en !.


H) /isminui/o en unnmero.


E+ /o+e /e +a suma /e un nmero con *.



29/59


E+ eceso /e un nmero sore 1) es 3).


%a suma /e /os nmeros pares consecutioses H6.


E+ pro/ucto /e tres nmeros consecutios esH.


%a suma /e /os nmeros impares consecutioses 36.


%a e/a/ /e Viian 0ace cinco aKos.


%a e/a/ /e Piero /entro /e oc0o aKos.


%a mita/ /e un nmero.



30/59


1! Tercer año de secundaria

%a tercera parte /e un nmero.


$n nmero aumenta/o en su cuarta parte.



" continuaci,n se presentan un -rupo /epro+emas en +os ue tra/uciremos e+ enuncia/o

paso a paso +ue-o reso+eremos +a ecuaci,np+antea/a.

$lo%ue &

1. Ra++ar un nmero ue aumenta/o en 1* nos/a H.

$n nmero

aumenta/o en

1* nos /a

H

esolución!

H. En un parue 0a cierta canti/a/ /eicic+etas: ta+ ue su /o+e /isminui/a en 1Hnos /a 3!. =Cuántas icic+etas 0a?

Nmero /e

icic+etas ta+ ue

su /o+e

/isminui/a en 1H

nos /a

3!

esolución!

3. E+ /o+e /e +a suma /e un nmero con 7 es3). Ra++ar e+ menciona/o nmero.

un nmero

e+ /o+e /e +a suma/e+ nmero con 7

es

3)

esolución!


31/59

. E+ trip+e /e +a /i@erencia /e un nmero con *es !.

Ra++ar /ic0o nmero.

$n nmero

e+ trip+e /e +a/i@erencia /e+nmero con *

es

!

esolución!

*. Ra++ar un nmero ta+ ue sus cinco eces/isminui/o en

! euia+e a+ cuá/rup+e /e +a suma /e é+ con16.

un nmero

ta+ ue sus cinco

eces /isminui/o

en ! euia+e

a+ cuá/rup+e /e +asuma /e é+ con 16

esolución!

6. Ra++ar +a e/a/ /e Watia: si saemos ue a+restar+e 1H aKos otenemos e+ trip+e /e /ic0ae/a/ /isminui/a en ! aKos.

%a e/a/ /e

Watia si a+

restar+e

1H aKos

otenem

os

e+ trip+e /e /ic0a

e/a/ /isminui/a

en !

esolución!

7. =Cuá+ es e+ nmero: cuo /o+e /isminui/o enH)) nos /a e+ mismo nmero aumenta/o en3))?

=Cuá+ es e+

nmero cuo

/o+e

/isminui/o

en

H))

nos

/a

e+ mismo

nmero

aumenta/o

en 3))?

esolución!


32/59

!. Ra++ar +a +on-itu/ /e un puente. 8i saemosue e+ cuá/rup+e /e /ic0a +on-itu/ /isminui/aen !) metros es euia+ente a+ trip+e /e /ic0a+on-itu/ /isminui/a en 7) metros.

%on-itu/ /e un

puente si e+

cuá/rup+e /e e++a

/isminui/a

en !)

metros

euia+e

a+ trip+e /e /ic0a

+on-itu/ /isminui/a

en 7)metros

esolución!

9. Ra++ar +a e/a/ /e uan: si saemos ue a+mu+tip+icar+a por * aKa/ir+e 1: para +ue-o a/ic0a suma /ii/ir+a entre : oten/remos@ina+mente H1 aKos.

Ra++ar +a e/a/ /e

uan a+

mu+tip+icar+a por *

aKa/ir+e1

+a suma /ii/ir+a

entre otenemos

H1 aKos

esolució

n!


33/59

1). Ra++ar un nmero: ta+ ue oc0o eces e+ nmero /isminui/o en H) euia+e a susétup+o aumenta/o en 1).

Ra++ar un nmero

ta+ ue oc0o eces e+

nmero /isminui/o

en H)

euia+

e

a su

sétup+o

aumenta/o

en 1)

esolución!

11.%a suma /e /os nmeros consecutios es 31.Ra++ar e+ menor /e e++os.

Dos nmeros

consecutios +a suma

/e e++os

es

31

esolución!


34/59

1H.8e tiene cuatro nmeros consecutios cuasuma es i-ua+ a 1)H. Ra++ar e+ maor /e e++os.

Cuatronmerosconsecutios

cua

suma es

i-ua+ a

1)H

esolución!

13.Ra++ar /os nmeros consecutios : ta+es ue e+cuá/rup+e /e+ maor /isminui/o en e+ trip+e/e+ menor nos /a H3.

Ra++ar /osnmerosconsecutios

e+ cuá/rup+e /e+

maor /isminui/o

en e+ trip+e /e+

menor nos /a

H3

esolución!

1.Ra++ar tres nmeros consecutios: ta+es ue sa+ sétup+o /e+ menor +e /isminuimos ecuá/rup+o /e+ interme/io +e a-re-amos emaor oten/remos H1.

Ra++ar tresnmerosconsecutios ta+esue

si a+ sétup+o /e+ menor

+e /isminuimos e+

cuá/rup+o /e+

interme/io

+e a-re-amos e+

maor oten/remos

H1

esolución!

1*.Ra++ar cuatro nmeros consecutios: ta+es uesi a+ trip+e /e +a suma /e +os /os maores +e/isminuimos e+ /o+e /e +a suma /e +os /omenores resu+tarAa *3.

Ra++ar cuatro nmerosconse( cutios ta+es ue

si a+ trip+e /e +a suma/e +os /os maores

+e /isminuimos

e+ /o+e /e +a suma /e+os /os menores

resu+tarAa

*3

esolución!


35/59


$lo%ue &&

16.Ra++ar e+ nmero /e 0oas /e un +irosaien/o ue si arrancamos H* ue/ará +amita/ /e 0oas ue si e+ +iro tuiera *) 0oasmás.

1!.%a e/a/ /e 'ic0e++ /entro /e H) aKos suma/acon +a e/a/ ue tuo 0ace 1H aKos es e+cuá/rup+o /e +a e/a/ ue tuo 0ace seis aKos:aumenta/a en H: =cuá+ es su e/a/?

/entro /e H) aKos

E/a/ /eE+ nmero /e0oas /e+ +iro

si arrancamos H*0oas

'ic0e++Q

%a e/a/ /e'ic0e++

0ace 1H aKos

0ace 6 aKos

ue/arAa

+a mita/ /e 0oas

si e+ +iro tuiera*) 0oas más

esolución!

17. 8i -anara 8X. 3)) ten/rAa e+ trip+e /e +o ueme ue/arAa si 0uiera per/i/o 8X. 3)).

=Cuánto ten-o?

#en-o

su e/a/ /entro /e H)aKos suma/a con +a uetuo 0ace1H aKos

es e+ cuá/rup+e /e +aue tuo 0ace seisaKos

aumenta/a en H

esolución!

19.8i Eer -anara Y 6)) ten/rAa entonces e+trip+e /e +o ue +e ue/arAa si 0uiera per/i/oY *): más Y 3*):=cuánto tiene Eer?

si -anara 8X.

3)) ten/rAa

e+ trip+e /e +o ue meue/arAa si 0uieraper/i/o

8X. 3))

Dinero/e Eer Q

%o ue tiene Eer

si -anara Y 6))

ten/rAa

8i -anara Y 6))

8i per/iera Y *)

esolución!

e+ trip+e /e +o ue +e ue/arAasi 0uiera per/i/o Y *)

más Y 3*)

esolución!


36/59

a 1) 3) c/ H) e 6)

a 3* H c 16/ 3) e H!

H).8i se matricu+aran H) a+umnos más en e+ sa+,n/e+ HJ /e 'ira@+ores 0arAa entonces e+trip+e /e +as ue ue/arAa si se 0uieran i/ocuatro a+umnos.

3. En una -rana se osera ) anima+es 1))patas: entre cer/os -a++inas. =Cuá+ es +a/i@erencia /e+ nmero /e anima+es /e ca/especie?

Nmero/e

a+umnosQ

E+ nmero /ea+umnos /e+ HJ /e'ira@+ores

si se matricu+aranH) a+umnos más0arAa entonces

e+ trip+e /e +os ueue( /arAa si se

0uierani/o cuatro a+umnos

esolución!

$lo%ue &&&

8i se matricu+aranH) más2

8i se retiraran I2 . 8eastián +an5a tres /a/os simu+táneamente

E+ trip+e /e+ resu+ta/o /e+ primer /a/o: más e/o+e: /e+ resu+ta/o /e+ se-un/o /a/o: más eresu+ta/o /e+ tercer /a/o suman /ie5=Cuántos posi+es resu+ta/os pu/ieron /arse?

a 1 H c 3/ e *

*. JenamAn en su -rana tiene po++os: patos paos: tenien/o en tota+ 7* aes. 8i tuiera1H paos más: cuatro patos más siete po++omenos: ten/rAa +a misma canti/a/ /e aes /eca/a especie. Encontrar e+ nmero /e patos.

1. 8i suo una esca+era /e cuatro: en cuatroesca+ones: /o tres pasos más ue suien/o/e cinco en cinco esca+ones. =Cuántosesca+ones tiene +a esca+era?

a H) 61 c/ 6) e 1H)

H. or-e +e /ice a Fernan/o2 /ame cinco /e tuscanicas ten/remos tanto e+ uno como e+

otro. Fernan/o +e contesta2 meor /ame 1) /e+os tuos ten/ré e+ trip+e /e +os ue teue/an. =Cuántas canicas tienen entre +os /os?

a H* 3* c/ *) e !)


37/59


a Y 3H) 3)) c/ H7) e H)

a *6 Z- 91 c !/ !) e 7)

a 3 6H) m H !!) c !/ 6)) e * *))

Tarea domiciliaria

1. %a suma /e /os nmeros es 1H) su/i@erencia ).

Encontrar e+ maor nmero.

a 6) !) c !

/ !7 e 9)H. %a suma /e cuatro nmeros natura+esconsecutios es

)H. =Cuá+ es e+ menor nmero?

a 9! 97 c1)) / 99 e 1)1

3. %a suma /e tres nmeros pares consecutioses 1)H.

=Cuá+ es e+ nmero maor?

6. 8i /ii/imos un nmero entre 7G * 3: +a suma/e +os cocientes es i-ua+ a +os HX3 /e+ nmeromás 1. =Cuá+ es e+ nmero?

a 1)7 1)H c/ 111 e 1H)

7. 8e 0an pa-a/o Y 3 ))) ))) por una casa unterreno.

=Cuánto se aon, por +a casa: si e+ terrenocuesta +as /os terceras partes /e +a casa?

a Y 1 !)) ))) 1 H))))) c 1 )) ))) / 16)) ))) e 1 *)) )))

!. uan 0a -asta/o +a tercera parte /e su /ineroen un +iro +a /écima parte /e+ resto en ir a+cine. 8i a+ @ina+ ue/a con Y 1!): =cuánto/inero tenAa a+ principio?

a 3H 36 c/ 3) e 3!

. Dentro /e 1H aKos +a e/a/ /e un 0omre seráe+ /o+e /e +a e/a/ ue tenAa 0ace cuatroaKos. =Cuá+ es +a e/a/ actua+?

9. De un saco /e ca@é se 0an en/i/o 3X7 /e supeso /urante +a maKana 1X* /e+ resto por +atar/e. =Cuántos Zi+os tenAa e+ saco si ue/an3H Z-?

a 3H aKos 3) c/ H e H)

*. 8i a un nmero se +e suma su tercera parte a este resu+ta/o se +e resta e+ mismo nmero

aumenta/o en*: se otiene 1. =Cuá+ es /ic0o nmero?

1).De una aeni/a: se 0a inau-ura/o 1X3 /e su+on-itu/G

1X /e +a misma está en construcci,n ue/an an1 H)) m. =Cuá+ será +a +on-itu/ tota+ /e +aaeni/a?

a 16 1* c/ H1 e H


38/59

Capítulo


!peraciones matemáticas arbitrarias

12u3 es una operación matemática4

Es un proceso me/iante e+ cua+ se trans@orma

una o más canti/a/es en otra canti/a/4++ama/a resu+ta/o tenien/o en cuenta ciertasre-+as /e /e@inici,n.

12u3 es un operador4

$n opera/or matemático es un s ím b o lo uerepresenta una operaci,n matemática.

Eemp+o2

Opera/ores matemáticos ue amos a conoce

→

→

∆ →

[ →

\ →

.

.

.

opera/or

3 Q1H operaci,n

++ama/amu+tip+icaci,n

5ormageneral!

a Q 3a B

( %as operaciones matemáticas pue/en ser2

Operaciones con re-+a /e /e@inici,nuniersa+.

Operaciones con re-+a /e /e@inici,naritraria.

Operaciones con regla de de(iniciónuniversal

En este -rupo tenemos to/as +as operacionesconoci/as: como por eemp+o2

%a a/ici,n ......................... 4

B %a sustracci,n

................... 4 ( %a

mu+tip+icaci,n ................ 4

%a /iisi,n ......................... 4

%a potenciaci,n .................

4 %a ra/icaci,n

..................... 4

Operaciones con regla de de(iniciónarbitraria

Estas operaciones sur-en cuan/esta+ecemos una re-+a /e /e@inici,n /istinta+a tra/iciona+: a +a ue ++amaremos ;aritrari+a cua+ está representa/a por un sAmocua+uiera como por eemp+o2 : : ∆: ...etc.: userá su opera/or matemático.


39/59

jemplos!

1. 8i2 a ∆ Q *a (

7 0a++ar2 ! ∆ H

esolución!

H. 8i2 Q H B

1 0a++ar2 3

esolución!


40/59



1 H 3 1 3 1 HH 3 H 13 H 1 3 1 H 3

a H1 1! c

/ H6 e 1*

3. 8i2 Hp\

= pH + H

3

6. 8i2

0a++ar2 1) \

esolución!

0a++ar2 4H 3 4 1

esolución!

. 8i2 m Q m (

* 0a++ar2 H7

esolución!


$lo%ue&

1. 8i2 a Q a B

* ca+cu+ar2 H 3

a H1 H3 c/ H* e H6

*. 8i2

a + 3G si 2 ; a; esimpar.

H. 8i2 m [ n Q mH BnH

ca+cu+ar2 1 [*

a Q H

a − G si 2 ; a; es par. H

0a++ar2 7 (6

esolución!

3. 8i ;∆; es un opera/or: /e ta+ mo/o ue2

∆ Q H B

* ca+cu+ar2 H ∆ *

a H1 H9 c/ H) e 17

. 8i2 a [ Q 4a B 4a (

ca+cu+ar2 7 [ H


41/59

!peraciones matemáticas arbitrarias

1! Academia TRILCE

a 6 cH / * e 9


42/59

H 3 I

H I 3 H

3 H I 3

I 3 H I

3 3 3

3

* 6

* 6 *

6 * 6

*. 8i2 m n Q 4m B n4mH ( mn BnH

ca+cu+ar2 H 1

a 6 * c1! / 3 e 9

1H.8e /e@ine2

6. 8i2

a \ c Q 3aH BHc3 Ca+cu+ar

2

43 4H I

ca+cu+ar e+ a+or /e2 4H \ 1 \ 41\ )

a *H *1) c6H / !) e 17

7. 8i2 Q * B

1 ca+cu+ar2 H

a ! 3 c1* / 11 e 17

!. 8aien/o ue2 m Q Hm

B 3 0a++ar2 *

a 11 13 c16 / 1* e 19

9. 8i se conoce ue2

4H 3 43 I

a 1 ):* c

1/ 3 e

3

13.8e /e@ine2

1 H1 H 1

H 1 H

Ca+cu+ar2 4H 1 B 43 4 . 41 H

a H 1 c 3

1/ e

H

m \ n Q *mH (Hn3 1.8i2 a ∆

Qa +

ca+cu+ar e+ a+or /e2 1 \ )

a 6 * c1) / 1 e )

1).8aien/o ue2 a Q Ha

B * 0a++ar e+ a+or /e2

3 B 1

a 13 1! c1* / 16 e 11

11.8i2

Ca+cu+ar2 4 ∆ 1 . 4 9 ∆ !1

a * 7

c ! / * e 6

1*.8ien/o2 Q H ( 3

0a++ar2 4H B 3

a * c 1/ H e 3

$lo%ue &&

ca+cu+ar2 4* [ 6 [ 46[ 6

16.8i2

a =a −

*

6

a 6 * c 11 / 6* e *6


43/59

0a++ar2 1) H

a *c 6 /

7 e !


44/59

a 1) 9 c 1*/ 11 e 6

17. 8i2

0a++ar2 H* ∆ 9

∆ QH

−

3

H3.8e saeue2

0a++ar26*

B 1Q

−

3F

a (1 H c 3

/ 1 e (H

1!.8i2

a * c 6/ 9 e !

m [ n Q mn (nm

H.8e /e@ine2

0a++ar2 3 [ H

a (1 ) c 3/ H e 1

19.8aien/oue2

0a++ar ;;:en2

RQ

W + R + !W H

a Q aH +

H

9 Q 13

0a++ar2 43 1H

a 13 17 c 19/ 1H e 1*

a 9 1) c !/ 11 e 1H

H*.8aien/o ue2

H).8e /e@ine2

p Q p (* r t Q 7r( 3t

0a++ar ;;:en2

n Q Hm B 3n

0a++ar2 4 3 H 4 3

* Q 19

a * H c / 6 e 3

H1.8i2

3p

0a++ar2 1* 3

Q p B

pH

$lo%ue &&&

H6.De@inimos2

Ha +

1G si 2 ; a; es par.a 36 ) c 3H/ 3* e 3!

a = 3a − 1G

si 2 ; a; es impar

HH.8i2

0a++ar2 7

Q B3

0a++ar2 ! 9

a 9 (! c (7/ ! e (9

a 1* 19 c 16/ 1! e 17

H7. 8i2

3a +


45/59

G si2 a > a Q

Ha − G si2 a ≤ 3

0a++ar2 4* 1 7


46/59

9

H!.8i2

1 H 3 I

1 1 H 3 IH H 3 I 1 a 3 3 I 1 H / HI I 1 H 3

6 c (H/ (3 e (6

7 7 3

/ 1 e 3H.8i2

Ra++ar2 1)

1 H 3 *1 3 * 1 H a 1) 1H cH * 3 H 1 / 11 e 173 H 1 3 * * H 3 3.8aien/o ue2* 1 H 3 *

a a c c/ / e a o

a H 3 c 1a H

"/emás2 n Q n B * . Ra++ar2 3

c *

0a++ar2 43 4H 1

a 1 H c 3/ e H , 3

H9.Da/a +a si-uiente ta+a2

33.8e saeue2

m Q mH ( 1

m Q m4m B H

B3 Q 3 B 1

Ra++ar2 S43 * 4 HT 1

a 1 H c 3/ e *

3).De@inimos +a si-uiente operaci,n ;φ;me/iante +a si-uiente ta+a2

"/emás2

( H Q 3H

( H

Ra++ar2 H

φ a c/ a c / a c /a c a c/ / / a c

a 1H H* c 16/ H3 e 1!

3*.8e /e@inen +os si-uientes opera/ores2

B 1 Q ( 1

8e-n esto: 0a++ar ;; en2

4 φ a φ / Q 4/ φ φ 4c φ a B 3 Q 3 B *

31.8i2

0a++ar ; ;:en2

a Q aH (a

Ra++ar e+ a+or/e2

E Q

* B

4 B H 4 ( 1 Q

a 9 1) c 11


47/59

/ 1H e 13


48/59


1 H1 H 1H 1 H

3 I3 I 3I 3 I

3 ∆ *3 ∆ H

a 6 3 c 9/ 17 e !

Tarea domiciliaria

1. 8i2 m ∆ n Q 4mH B nHH

6. 8i2

a Q a Bc c

H 0a++ar2 1 H B

H (30a++ar2

3 *

a 17 !H c1)6 / ! e *H

a ! *

/ 3 eH*

6 c 3

H* *

1

*

7. 8i2 " φ J = "

+ 1 G si2 " ]

JJ

H. 8i2 " Q H"H (*

" φ J = J+

1"

G si2 " ̂ J

0a++ar2 H B 3

3

0a++ar2 4! φ 6 φ 4H φ 3

a 6 71* 1 )1H c H6/ 3 1)7 e 17!

3. 8i2 a Q Ha B m ∆ n Q m (Hn

0a++ar2 S* 4H ∆ 3T S6 ∆ HT

a 1 (1H c 6/ (16 e !

. 8i2

!. 8i2 m [ Q Hm3 G m] ) m [ Q 3mH Gm ^ )

0a++ar2 49 ( 7[ ( 4* ( 6[ B 4193 ( 19H[

a 1H 11 c1* / 9 e 1!

9. 8i2a Q 3a ( H B

c

0a++ar ;;en2

a Q a/ (c c /

c0a++ar2

1H3

* 3Q H

(1 H

H ! H 313

a 6 3 c 7 HH 3 1

/ 13 e *

H 3a 9 ! c 1H/ 1) e 1!

*. 8i2

a∆ =a

a−

1).8e /e@ine2

a Q a B

H ca+cu+ar

2


49/59

19 Academia TRILCE

4H 1 + 4 ⊗ 3

0a++ar2

! ∆ H ∆ 1

4 ⊗ I . 41 H

a H 1 c 3a 3 * c / 1 e H

1/ e

H


50/59

Capítulo I


Criptaritmos

Aspectos básicos

). Criptaritmos

;Cripto; si-ni@ica o c u+ t o : 0ace re@erencia a+as operaciones matemáticas: /on/e +as ci@ras4to/as o a+-unas se 0an ;ocu+ta/o; por me/io/e una +etra: un asterisco o cua+uier sAmo+o.

Este tema permite rea+orar +as operacionesásicas como a/ici,n: sustracci,n:mu+tip+icaci,n /iisi,n.

'. Principios

%etras /i@erentes ocu+tan ci@ras/i@erentes.

%a suma /e /os ci@ras no pue/e ser maorue 1!.

esolución!

En +a co+umna /e

uni/a/es2 Osero2 C B "

Q 9 → C Q *"/emás2 C ( " Q 1 → " Q

&eemp+a5an/o ten/rAa2

J *B J * I7 ! 9

/e +o ue pue/o 0a++ar2 J Q 3

%ue-o2 " B J B C Q 1H

H. 8i2 3 * Da/o ue2 " +

J +

C =...J

jemplos!

a. 3 ! B 3

→ " + C

un nmeroue ter min een cero

= 1) H)

a/emás2 Q B 3. &econstrue +aoperaci,n.

esolución!

=>ué pasarAa si2 Q 3 ?* H

1 3 3

. " 7 B6 JH H

1 3 H

→ /on/e2 ! B H Q 1)

→ =Cuá+ será e+ a+or /e

;J;?

#en/rAamos2

3 3 3*L No serAa posi+e M

H)

=>ué pasarAa si2 Q H ?⇒ 8e conc+ue ue2 7 B J

Q 1)

∴ J Q 3

Problemas resueltos

1. 8i2 " J CB J C "7 ! 9

a/emás2 C ( " Q 1. Ca+cu+ar2 " B J

B C

#en/rAamos2

3 H H* H )

Pero si2 Q 1

#en/rAamos2

3 1 1*

H )


51/59

LNo serAa posi+e M

→ 3 1 1* 3 ) H)

1


52/59




"/emás: si2 Q 1 ⇒ Q 1 B 3 Q

( >ue/arAa asA2

3 1 1* 3 ) H)

1 → 8erAa +aoperaci,n.

H 1 H1 E D ! * 7 F

3E D ! * 7 1

3. 8i2

1 E D C J "

( En +a cuarta co+umna: ap+ican/o +a re-+apráctica: ten/rAamos ue2 D Q H

3E D C J " 1

ca+cu+ar2 " B J B C B D BE

( >ue/arAaasA2

H 1 H1 E H ! * 7

F

esolución!

"+ oserar +a primera co+umna2

1 E D C J " F 3 E D C J " 1

Deo uscar 3 ="? termine en1.

( 8enci++o no? c+aroM 3 7 Q..1

3E H ! * 7 1

( Osero ue en +a uinta co+umna ;no seestá ++ean/o na/a;: es /ecir /eo uscar/irectamente23 =E? termine en H.

Es /ecir2 E Q

( &econstruen/o +a operaci,n2

1 H 1 H

Es /ecir2 " Q 7

>ue/arAa asA 2

H( 'epi/en2

1 H ! * 7 F 3 H ! * 7 1

1 E D C J 7F

3E D C J 7 1

" B J B C B D B E Q 7 B * B ! B H B QH6

"0ora /eo uscar 3 =J? B H termine en 7.

( Pero muc0as eces esta sue/a/emora: asA ue usaremos una re-+a

práctica2$lo%ue &

&estaremos 2 ;+o /e aao; ( ;+o ue++eo; asA2 7 ( H Q *

Entonces +o ue /eo uscar es 3 =J?termine en *.=más @áci+ no? c+aroM2 J Q *

1. Ra++ar ;" J;en2

" " J B J ""

1 3 * H

>ue/arAaasA2

a 3* H c 36/ 3H e H

1 H

1 E D C * 7F 3


53/59

Criptaritmos

19 Academia TRILCE

E D C * 7 1

H. 8i2" * 6B J " J

D 1 9 I

( En +a tercera co+umna: ap+ico +a re-+apráctica2

( Entonces2 * ( 1 Q ⇒

3 =C? termineen

Es /ecir2 C Q !

0a++ar ;" B J B D;

a 11 1* c 1/ 1H e 13


54/59

a 1* 1H c 9/ 11 e 1)

a H) H c/ H6 e 1

a 19 H) c/ H3 e 17

3. 8i2

0a++ar ;" B J BC;

" J B

* 3 "C H 6 C

!. 8i2

0a++ar ;" BJ;

" 3 J J F ! J " 7 6

. 8i2 "7+

JH+

"J =

1HH

a 1H 13 c 7/ 9 e 11

9. Ra++ar ;aH B H;

si2 ac ×

9 =

...1H0a++ar ;4" B 14J B 1;

a 1! H cH) / H7 e 3)

a 13 1H c H*/ 1) e 16

1).8i2 4a B B cH Q 1

*. 8i2

0a++ar ;J BHC;

C J CB J 3 *1 C C 7

ca+cu+ar ; Hac +

1ca +

ca ;

a 39H 3 33H c / 3H e H 3H

11.8i se sae ue2

a H) 13 c1* / 1! e H

B

1H) ( B

6. 8i2

0a++ar2

" + JC

" 6 J

B J * 3 C7 C "

6 1 C J

16) H3)

ca+cu+ar2 _ Q ( (

a 1H) 1)) c !)/ 11) e 13)

a H c 1/ ! e 6

7. &econstruir2

* 1 H

! ) 7) ) 9 1

In/icar +a suma /e ci@ras /e +os espacios en+anco.

1H.8i2 "JC +

CJ" =

!!! G a/emás2 " ( C

Q 0a++ar ;" B J C;

13.8i2" ' I ` "B I ' 1 '

` I ` 6 H

0a++ar ;" B ' B I B ` B ";G ' ≠ )

a H H6 c/ H9 e 3)


55/59

66

a H) H* c )/ 36 e H!

a 1) 11 c 1H/ 13 e 1a 1 3 1* **3 c 16

/ 1H HH3 e 1! !!3

1.8i2

1 C " J % EF

*. 8i2

" ! * H 3 6

3 C " J % E 1

0a++ar ;C " B J % E;

a H!6 H7) c

H!! / 31H e 10a++ar ;" .J;

3 6J H *J ) !

J 7 HJ " "( H !

J 3 "

1*.8i2

ca+cu+ar ; a . ;

a aa = 7

a ! c 7/ 9 e 1H

6. 8i2

" ) I ̀ I `

a 6 16 c 1H

/ H) e H$lo%ue &&

I `

! I D "$ % `$ % `

$ ` D

G ;); es cero

1. 8aien/o ue2 a B B cQ H3

ca+cu+ar ; aaa +

+

ccc ;

0a++ar ;4` B I4$ B ";

a 3 **H 1 **3 c H/ 1 **1 e H 333

7. 8i2 " " =

JCH. 8i2 4P B E B %H Q 1 G a/emás2 I

Q 1

ca+cu+ar ; PIE% + IE%P + E%PI +%PIE ;

0a++ar ;" B J B C;

3. 8i2 '' + II + %% = 'I%

0a++ar ;' . I . %;

a 1! !1 c */ 76 e 7H

. 8i2

!. 8i2 JJ =

'"C

0a++ar ;C B " B ' B ";

a 1! H) cH1 / HH e 16

9. Ca+cu+ar +a suma /e +as tres +timas ci@ras /e+resu+ta/o /e +a si-uiente suma2

* +

6 ! 37

! *

0a++ar ;B

;

**

***

****

........

.........

* *..... .**


56/59

....... 5

H)suman/os

a 3 c 6/ ! e 1! a 6 7 c !

/ 9 e *


57/59

19 Academia TRILCE

a * 6 c 7/ ! e 9

1).Ra++ar ;m B n B p ; : si se cump+eue2

Z1Z + ZHZ + Z3Z + ... + Z7Z = mnp1

. En +a mu+tip+icaci,n2

! F

7 6 3

$lo%ue &&& ca+cu+ar +a suma /e +os asteriscos.

1. 8i2 $$ + PP + CC

= $PCa 16 1! c H3/ H e 17

ca+cu+ar ;$ B P C;

a !) 73 c7H / 1! e F.D.

H. Ra++ar +a suma /e +as ci@ras /e+/ii/en/o2

*.E@ecte2

8 E I 8 F HD O C E

7 H ( 3

( !

( (

8in usar e+ nmero 6: ni e+ H: ca+cu+ar ;D B OB8;

a 1H 1 c 16/ H) e H1

a H 36 c 3H/ 1! e 16

3. 8i2 " " + H =

JC"

0a++ar ;" B J B C;a 6 7 c !/ 9 e 1)


58/59

a 9 1) c ! 66/ 17 e 1H 666

. 1)suman/os

. " " = JCD .

a 11 13 c 166 .. . 666

...5 5/ 1) e !

*. 0a++ar ;B

B 5;

1 " J a 9 1) c 11

C 7 ) / 1H e 13 ) H C 9 ) 1).8i2

Tarea domiciliaria7. 8i2

1. 8i2 "" + JJ = 1H1 G 0a++ar ;" B J;

a ! 1) c 11/ 1H e 7

En ca/a caso: /eterminar ;" B JB C;.

H.

3 H +"JC

7 * *

a * 6 c 7/ ! e 9

3.J " * +C C !

" C J

$ N

O # & E

8

+a +etra ;O; representa e+ nmero G 0a++ar +asuma /e ci@ras /e+ resu+ta/o.

$ ≠ N ≠ # ≠ & ≠ E ≠ 8 ≠

cero a 11 13 c 1*/ 16 e 1H

!. 8i2

"JC ×C

H331

0a++ar ;" B J B C;

a 13 1* c16 / 17 e 1!

9. 8i2

6 B

.

3 *

a 1H 13/ 1* e 16

c 1

6. 8i2

" * F J 3

0a++ar ; ;

1 )C D a 1!) 1*) c! ) C / 1H) e 16)

0a++ar ;" B J B C B;

a 1 1*/ 17 e 1!

c 16


59/59

1 6 c 6 /H 7 / 7 /3 a ! c / ! c / 9 / a 9 c* / 1) 1) e

ACADEMIA

TRILCENivelación Escolar

Claves Tarea "omiciliaria

Tarea ) Tarea ' Tarea

6 a 1 6 a 1 c 6 7 a H a 7 H 7 a! a 3 e ! 3 e ! c9 a a 9 c 9 c1) a * c 1) * e 1)

Tarea - Tarea 6 Tarea 7

1 6 cH / 7 a3 ! e 9 e* c 1)

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Raz. Matematico --- 3 de Secundaria