Raselov paradoks

Raselov paradoksMilo [email protected] | www.milosjovanovic.com

Predmet: Diskretna matematika Nastavnik: Doc. dr Ivana Kosti-Kovaevi

Sadraj prezentacije Bertrand Rasel Paradoks Kako je nastao ovaj paradoks? Sutina Raselovog paradoksa Paradoks berberina (primer 1) Paradoks biblioteke (primer 2)

Kriza matematike Pojam klase Aksiomatska teorija skupovasreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 2

Milo Jovanovi - Raselov paradoks

BERTRAND RASELBERTRAND ARTHUR WILLIAM RUSSELL, 3RD EARL RUSSELL

sreda, 16. mart 2011

www.singidunum.ac.rs

3

Bertrand RaselBertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell



4


Bertrand Rasel (18. maj 1872, UK 2. februar 1970, UK) je bio britanski filozof, logiar i matematiar, dobitnik Nobelove nagrade za knjievnost 1950. godine. U matematici je poznat po Raselovom paradoksu koji je ukazao na propuste u Kantorovoj naivnoj teoriji skupova.



5


Potie iz plemike porodice. Rano je ostao bez roditelja, a o njemu i njegovom bratu se brinuo njihov deda, inae predsednik britanske vlade 40-ih godina 19. veka. 1894. se oenio Amerikankom Alis Smit a kum mu je bio poznati filozof Don Stjuart Mil, poznat po idejama hijerarhije, liberalizma i induktivne logike. Rasel nije bio uvek veran branom ivotu i njihov brak je zavren razvodom 1911. godine.sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 6


Studirao je filozofiju i logiku na Univerzitetu Kembrid od 1890. godine. Postao je lan Triniti koleda 1908. godine a 1920. je putovao u Rusiju i posle toga predavao u Pekingu filozofiju godinu dana. 1921. godine, kada je izgubio profesorski posao, oenio se Dorom Rasel sa kojom je imao sina Dona i erku Ketrin. Tada se snalazio tako to je pisao knjige iz oblasti fizike, etike i obrazovanja za laike.sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 7


Supruga Dora ga je izneverila u preljubi sa jednim amerikim novinarom i Rasel se 1936. oenio po trei put. Nova supruga mu se zvala Patria, bila je oksfordski student. Sa njom je imao jednog sina po imenu Konrad. U prolee 1939. preselio se u Santa Barbaru i predavao na univerzitetu Kalifornija u Los Anelesu i vrlo kratko na Siti koledu u Njujorku. U Britaniju se vratio 1944. i ponovo je predavao na Triniti koledu.sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 8


1952. u osamdesetoj godini, ponovo se razveo i oenio etvrti put suprugom Edit, koju je poznavao jo od 1925. godine. Napisao je tri toma svoje autobiografije krajem 1960-ih godina i preminuo je 2. februara 1970. u Velsu u 98. godini. Poznat je i kao osniva i voa poznatog Prekog suda u kome su bili osuivani svi zloini SAD u vijetnamskom ratu tokom 50-ih i 60-ih godina dvadesetog veka.sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 9


PARADOKS



10

Paradoks Raselov paradoks spada u 10 najveih matematikih zagonetki i zadataka koji zbunjuju razum. Kantorova teorija skupova sa kraja 19. veka nije bila u potpunosti zasnovana aksiomatski (na temeljnim istinama koje se ne dokazuju) pa se zato nazivala naivna teorija skupova. Meutim, ona je u sebi implicitno sadrala nekoliko aksioma od kojih je jedan bio da za svako svojstvo moemo formirati skup svih elemenata koji imaju to svojstvo.sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 11

Paradoks Polazei od ovog aksioma Rasel je oko 1902. konstruisao paradoks, po njemu nazvan Raselov paradoks koji je oborio naivnu teoriju skupova. Taj paradoks se moe iskazati na vie naina i postoje razne interpretacije Raselovog paradoksa: Paradoks berberina Paradoks biblioteke ...sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 12

Kako je nastao ovaj paradoks? Dord Kantor (1845 1918) tvorac naivne teorije skupova, uveo je pojmove prebrojive i neprebrojive beskonanosti (skup prirodnih brojeva je prebrojivo beskonaan, a skup realnih brojeva neprebrojivo beskonaan). Kantorova naivna teorija skupova uvodi osnovne pojmove skupa (lanovi, podskup, jednakost, unija, presek, komplement...) i pojam preslikavanja 1 na 1 meu prebrojivim skupovima. Najvea mana ove teorije bila je to uvedeni pojmovi (i; ako onda; za svaki...) nisu bili precizno definisani, pa ih je bilo mogue razliito tumaiti. Slobodnim tumaenjem mnogi matematiari postavili su razne paradokse od kojih je najpoznatiji Raselov paradoks. Tanije, nemaki matematiar Gotlob Frege je pokuavi da preformulie Kantorovu teoriju skupova, napisao svoj Osnovni zakon 5 u kom Rasel pronalazi kontradikciju iz koje proizilazi ovaj uveni paradoks oko 1902. godine.



13

Sutina Raselovog paradoksa Ako za svako svojstvo postoji skup svih objekata koji zadovoljavaju to svojstvo onda to isto vai i za svojstvo skup ne pripada sam sebi. Ovo svojstvo je prirodno jer je vrlo teko nai skup koji pripada sam sebi. Oznaimo sa X skup objekata za koje vai ovo svojstvo. Da li X pripada sam sebi? Ako pripada onda znai da zadovoljava svojstvo skup ne pripada sam sebi to je kontradikcija. Ako ne pripada sam sebi onda e da zadovolji traeno svojstvo pa e ba da pripada sebi, to je opet kontradikcija. Neka je V skup svih skupova S koji ne sadre sebe kao element, odnosno:



14

Sutina Raselovog paradoksa Sutina paradoksa proizilazi iz definicije da se moe formirati skup elemenata takvih da imaju jednu zajedniku osobinu. Ako za osobinu uzmemo elementi skupa ne sadre sami sebe, i formiramo takve skupove, zatim formiramo skup svih takvih skupova postavlja se pitanje da li e taj skup sadrati samoga sebe?



15

Paradoks berberina (primer 1) Ova verzija Raselovog paradoksa govori o gradu sa jednim mukim berberinom koji svakog dana brije one mukarce koji ne briju sami sebe, i nikog drugog. Da li berberin brije samog sebe? Po ovom scenariju ispada da se berberin brije ako i samo ako ne brije sebe! Rasel je shvatio da mora da izmeni teoriju skupova kako bi izbegao ovakvu konfuziju (kontradikciju). Jedan od naina da se obori ovaj paradoks sastojao bi se u tome da jednostavno kaemo da takav berberin ne postoji. Uprkos tome, matematiari Kurt Gedel i Alan Turing otkrili su da je Raselova teorija korisna za prouavanje razliitih grana matematike i obrade informacija.sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 16

Paradoks biblioteke (primer 2) Postoje katalozi knjiga iz biblioteke. Ti katalozi se takoe smatraju za knjige. Neki katalozi sadre sebe, a neki ne (u katalogu). Moemo posmatrati jedan novi katalog u koji su popisani svi katalozi koji ne sadre sebe. Da li ovaj katalog sadri sam sebe? Ponovo e oba sluaja analiziranja dovesti do kontradikcije.



17

Kriza matematike Do pojave ovog paradoksa verovalo se u nepobitnost matematike istine i neprotivurenost teorije skupova. Posle Raselovog paradoksa usledila je i serija drugih paradoksa od kojih je najznaajniji Riarov paradoks. Njihovom pojavom matematika graevina je bila ozbiljno uzdrmana do samih temelja i pretila je opasnost da se srui. Kriza matematike je reavana pojavom novih pravaca (logicizam, intuicionalizam, formalizam).sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 18

Pojam klase Jedno od moguih prevazilaenja Raselovog paradoksa je da se skup svih skupova ne smatra za skup, nego za klasu (klasa je ovde uoptenje pojma skupa). Ovaj pojam definisao je takoe Bertrand Rasel 1908. godine.



19

Aksiomatska teorija skupova Iste godine nemaki matematiar Ernst Zermelo objavljuje prvu aksiomatsku teoriju skupova iz koje kasnije nastaje Zermelo-Frenkel teorija skupova. Zermelo-Frenkel teorija skupova je danas standardna forma aksiomatske teorije skupova. Napisana je logikom prvog reda, koristei nedvosmisleni formalni jezik.



20

Literatura Doc. dr Ivana Kosti-Kovaevi, Diskretna matematika, Univerzitet Singidunum, Beograd, 2010. http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/ http://sr.wikipedia.org/wiki/_ http://sr.wikipedia.org/wiki/__ http://sr.wikipedia.org/wiki/_ http://www.b92.net/zivot/nauka.php?yyyy=2010&mm=06 &dd=22&nav_id=440569 http://www.viser.edu.rs/download.php?id=6729 http://www.youtube.com/watch?v=KdK0SDrm_24sreda, 16. mart 2011 www.singidunum.ac.rs 21


KRAJ, HVALA NA PANJI!



22

Documents

Raselov paradoks