Upload
kholidanisa1
View
255
Download
13
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Paradoks Zeno
Citation preview
TUGAS FILSAFAT ILMU, ETIKA, SEJARAH MATEMATIKA
PARADOKS ZENO
Disusun oleh :
Anisa Rahmawati 12/331118/PA/14455
Zainab Mursyidah 12/331194/PA/14492
Vivien Tiara Dewi 12/331291/PA/14568
Kholida Khoirunnisa 12/331359/PA/14622
Dia Primasari 12/331378/PA/14636
Sintya Sucofiana 12/334604/PA/14837
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
2015
A. BIOGRAFI ZENO DARI ELEA
Zeno adalah seorang filsuf
Yunani yang diperkirakan lahir pada
tahun 490 SM. Zeno merupakan
anak dari Teleutogoras dan tinggal di
Magna Graecia (Elea), Italy. Semasa
mudanya Zeno merupakan murid
sekaligus teman dari Parmenides dan
tergabung dalam Eleatic School.
Menurut catatan Plato, yang
merupakan temannya pada masa itu,
guna melindungi Parmenides dari
para pengkritiknya, Zeno melalui
ide-idenya membuat banyak sekali
paradoks yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka di Yunani
saat itu. Melalui paradoks tersebut, Zeno berusaha menyatakan bahwa semua
gerak dan perubahan di dunia ini bersifat semu. Baik Zeno maupun Parmenides
berpendapat bahwa alam semesta sebenarnya tunggal, diam dan seragam.
Hanya tampak luarnya saja yang mengesankan perbedaan atau perubahan.
Meskipun begitu, di masa kini hampir tidak ada karya asli Zeno dan
Parmenides yang bertahan. Buku yang berisi 40 buah paradoks hilang dicuri
orang. Hanya beberapa kutipan dari filsuf sepantaran mereka yang memberi
petunjuk. Salah satu pendapatnya tertuang dalam buku Physic yang dicatat oleh
Aristoteles. Melalui catatan tersebut, orang dapat membaca pemikiran Zeno.
Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan
oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno
membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat
menemukan kesalahan pada logika Zeno.
Paradoks ini menjadi sangat termasyhur karena terus mengganggu
pemikiran para matematikawan dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun
kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks
lomba lari Achilles dan kura-kura.
Di penghujung hayatnya, Zeno menghadapi permasalahan yang serius.
Sekitar tahun 430 SM, Zeno bersekongkol untuk menggullingkan tirani Elea
saat itu, yaitu Nearchus. Zeno membantu penyelundupan senjata dan
mendukung pemberontakan. Namun Nearchus mengetahui skenario itu dan
akhirnya Zeno ditangkap. Meskipun Zeno telah wafat, namun hasil dari
pemikiran-pemikirannya membuahkan inspirasi pada konsep limit dan deret
tak hingga.1
B. PARADOKS ZENO TENTANG GERAK
Pada buku Physics karya Aristoteles subbab 6.9, menyatakan bahwa Zeno
mempunyai empat pendapat mengenai gerak yang sulit dipecahkan. Aristoteles
mengungkapkannya dalam bentuk parafrase dan memberikan pandangannya
sendiri. Pendapat-pendapat tersebut selanjutnya disebut Paradoks .
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, Paradoks merupakan pernyataan
yang seolah-olah bertentangan (berlawanan) dengan pendapat umum atau
kebenaran tetapi kenyataannya mengandung kebenaran.2
Berikut adalah keempat paradoks yang termuat dalam buku Physics
1. Paradoks Dikotomi (Dichotomy Paradox)
There is no motion because that which is moved must arrive at the middle
of its course before it arrives at the end.
Physics, Aristoteles
Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan. Pertama-
tama benda harus menempuh segmen setengah perjalanan. Lalu sesudah itu
dia masih harus melewati banyak segmen: seperempat, seperdelapan,
seperenambelas, sepertigapuluhdua dan seterusnya sedemikian hingga
jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga.
1 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Zeno_of_Elea.html 2 http://kbbi.web.id/paradoks
Karena mustahil melakukan perjalanan sebanyak tak-hingga, maka benda
takkan pernah sampai tujuan.
2. Paradoks Anak Panah (Paradox of Arrow)
If, says Zeno, everything is either at rest or moving when it occupies a
space equal to itself, while the object moved is in the instant, the moving
arrow is unmoved.
Physics , Aristoteles
Misalnya kita membagi waktu sebagai deretan masa-kini. Kemudian kita
lepaskan anak panah. Di setiap masa-kini anak panah menduduki posisi
tertentu di udara.
Oleh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu.
3. Paradoks Stadion (Stadium Paradox)
concerning the two rows of bodies, each row being composed of an
equal number of bodies of equal size,
passing each other on a race-course as
they proceed with equal velocity in
opposite directions, the one row
originally occupying the space between
the goal and the middle point of the
course and the other that between the
middle point and the starting-post.
This...involves the conclusion that half a
given time is equal to double that time.
Physics, Aristoteles
B dan C bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama (hendak
bersejajar dengan barisan A).
Antara Sebelum dan Sesudah, titik C paling kiri melewati dua buah B,
tetapi cuma satu buah A.
Berarti waktu C untuk melewati B = setengah waktu untuk melewati A.
Padahal A dan B adalah unit yang identik!
Mungkinkah setengah waktu = satu waktu?
4. Paradoks Lomba Lari Achilles dan Kura-kura
... the slower when running will never be overtaken by the quicker; for that
which is pursuing must first reach the point from which that which is fleeing
started, so that the slower must necessarily always be some distance
ahead.
Paradoks Zeno dalam buku Physics karya Aristoteles
Achilles (Pahlawan Yunani dalam Perang Troja/Trojan War) dan kura-
kura akan berlomba lari. Achilles dapat berlari dengan kecepatan 10 meter
per detik, sedangkan kura-kura hanya mampu berlari 1 meter per detik.
Achilles selain manusia perkasa juga sportif berbaik hati
memberikan keuntungan start bagi sang kura-kura 10 meter di depannya.
Tidak masalah, mungkin begitu pikir Achilles. Jadi, siapa yang menang?
Kura-kura memulai start 10 meter di depan Achilles. Keduanya lalu
mulai berlari.
- Setelah satu detik, Achilles telah mencapai tempat di mana kura-kura
memulai start-nya. Sedangkan sang kura-kura sudah berlari 1 meter di
depan.
- Achilles berlari lagi dan berhasil mencapai tempat kura-kura berada
tadi. Sedangkan sang kura-kura telah berlari 0.1 meter di depan.
- Achilles masih dengan semangat berlari lagi untuk meraih selisih 0.1
meter ini. Di saat yang bersamaan, sang kura-kura telah berlari 0.01 meter
di depan.
Hal ini berlangsung terus-menerus. Setiap kali Achilles berhasil
mencapai tempat di mana kura-kura berada beberapa saat yang lalu, sang
kura-kura lagi-lagi telah menempuh sedikit jarak dan tetap berada di depan
Achilles.
Pada makalah ini, paradoks lomba lari akan dibahas lebih lanjut.
Sedangkan ketiga paradoks lainnya secara analog memiliki penyelesaian
seperti paradoks lomba lari. Selanjutnya dalam makalah ini, paradoks lomba
lari ini disebut Paradoks Zeno.
C. PENYELESAIAN PARADOKS ZENO
Berikut adalah beberapa variasi penyelesaian paradox Zeno. Semua
penyelesaian di bawah ini ditemukan setelah Zeno wafat. Dasar penyelesaian
ini adalah penyelesaian dengan deret tak hingga oleh Augustin-Loius Cauchy
(dibahas pada poin ketiga). Sedangkan dua penyelesaian lainnya yang akan
dibahas, merupakan variasi penyelesaian.
1. Penyelesaian dengan Mempertimbangkan Finish
Dahulu, Zeno memiliki kesulitan tentang notasi dan simbol
matematika karena pada jamannya notasi dan simbol matematika belum
berkembang dan hanya tersedia bahasa saja. Berbeda dengan sekarang yang
notasi dan simbol matematika sudah sangat berkembang. Maka, untuk
menyelesaikan paradoks Zeno ini, kita akan memanfaatkan notasi aljabar
sederhana.
Perhatikan gambar berikut.
Finish 10 meter
Karena titik start kura-kura berada pada 10 meter didepan achilles, maka
jika finish di 10 meter, kura-kura langsung menang bahkan sebelum kura-
kura bergerak.
Finish 11 meter
Achilles berlari dengan kecepatan 10 m/s dan kura-kura bergerak dengan
kecepatan 1 m/s, maka pada detik pertama, Achilles menempuh jarak 10
meter, sedangkan kura-kura telah menempuh jarak 11 meter. Jadi, kura-
kura menang karena mencapai finish terlebih dahulu dengan waktu 1 detik.
Finish 12 meter
Dengan kecepatan 1 m/s, untuk mencapai finish 12 meter, kura-kura
membutuhkan waktu 2 detik, padahal dengan waktu 2 detik, Achilles telah
menempuh 20 meter. Jadi sebelum kura-kura menempuh jarak 12 meter,
Achilles telah menyalip kura-kura.
Finish lebih dari 12 meter
Untuk finish yang lebih dari 12 meter, Achilles akan terus menang karena
selalu dapat mencapai finish terlebih dahulu.
Lalu, bagaimana proses Achilles menyalip kura-kura?
Achilles akan menyusul kura-kura saat Achilles menempuh jarak yang
sama dengan jarak yang ditempuh kura-kura. Secara matematis dapat
ditulis sebagai berikut.
=
10. = 10 + 1.
9. = 10
= 10
9()
Jadi pada saat = 10
9 detik Achilles berhasil menyusul kura-kura.
Jarak tempuh Achilles = 10 10
9 =
100
9 = 11,111 .
Jarak tempuh kura-kura = 10 + 1 10
9 =
100
9 =
11,111 .
Jadi, Achilles mulai menyalip kura-kura pada jarak 11,111 meter.
Dengan demikian, untuk jarak finish yang kurang dari 11,111
meter, maka kura-kura akan menang. Akan tetapi, untuk jarak finish yang
lebih dari 11,111 meter, maka Achilles lah yang akan selalu menang.
2. Penyelesaian dengan Konsep Himpunan
Didefinisikan himpunan (interval waktu) :
= {|0 10
9}
Jelas bahwa ketiga interval waktu di atas saling asing.
Selanjutnya, dengan hitungan aljabar sederhana, dapat dihitung jarak
tempuh kura-kura dan Achilles, yaitu
Jarak tempuh kura-kura : 10 +
Jarak tempuh Achilles : 10
Selisih jarak tempuh (()) : (10 + ) 10 = 10 9
Perhatikan bahwa interval waktu di atas menunjukkan selisih jarak tempuh
yang berbeda.
a. Untuk ,
0 0
() > 0
Selisih jarak tempuh bernilai positif. Artinya, jarak yang ditempuh kura-
kura lebih jauh daripada jarak yang ditempuh Achilles, sehingga kura-kura
menang.
b. Untuk , =10
9
() = 10 9 = 10 (9 10
9) = 10 10 = 0
Selisih jarak tempuh bernilai nol. Artinya, keduanya seri.
c. Untuk ,
>10
9
9 > 10
10 9 < 0
() < 0
Selisih jarak tempuh bernilai negatif. Artinya, jarak yang ditempuh kura-
kura lebih pendek daripada jarak yang ditempuh Achilles, sehingga Achilles
menang.
Zeno mengatakan bahwa setiap Achilles mendekati kura-kura, maka
kura-kura telah melangkah sedikit ke depan, sehingga kura-kura menang.
Hal ini bernilai benar untuk interval waktu . Sedangkan dalam intuisi kita,
mengatakan bahwa Achilles pada akhirnya akan menang. Hal ini benar
untuk interval waktu . Kedua kondisi pada interval waktu maupun pada
interval waktu sama sama bernilai benar, namun bertentangan
sehingga memunculkan paradoks Zeno.
Mengingat interval waktu dan interval waktu saling asing,
maka = . Tidak mungkin ada kejadian yang terjadi pada interval
waktu yang berupa himpunan kosong. Artinya, tidak mungkin kura-kura
dan Achilles sekaligus kedua-duanya menang. Jadi, paradoks Zeno ini
muncul karena menganggap ada kejadian yang dapat terjadi pada
interval waktu yang berupa himpunan kosong.
Dengan demikian, solusinya adalah kura-kura menang pada interval
waktu dan Achilles menang pada interval waktu .
3. Penyelesaian dengan Limit Tak Hingga
Pandangan Zeno terhadap cerita di atas adalah bahwa setiap kali
Achilles mencapai tempat siput, maka siput sudah maju sedikit lebih di
depan Achilles. Menurut Zeno pula hal tersebut akan berlaku untuk waktu
yang tak terhingga, karena 1 + 0,1 + 0,001 + akan menuju tak hingga.
Hal tersebut terjadi karena pada zaman tersebut belum mengenal
adanya konsep deret tak hingga. Paradoks tersebut masih meresahkan para
matematikawan sampai 2000 tahun. Hingga akhirnya pada abad ke-19 ahli
matematika dunia bernama Augustin-Louis Cauchy dapat menyelesaikan
paradoks Zeno dengan sangat memuaskan. Cauchy menemukan solusi
dengan deret tak hingga.
Dihitung dari titik awal, maka jarak yang ditempuh oleh kura-kura
adalah,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + = (1)
Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka diperoleh
0,1(10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . ) = 0,1
1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + = 0,1 (2)
Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1), sehingga hasilnya menjadi
10 = 0,1 = 0,9 atau
=10
0,9 =
100
9
Sementara itu, jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + = SA
Dengan cara yang sama diperoleh jarak yang ditempuh Achilles adalah,
=100
9
Karena jarak Achilles pada akhirnya sama dengan jarak yang ditempuh oleh
kura-kura maka Achilles berhasil menyamai kura-kura pada jarak
= =100
9
Permasalahan selanjutnya adalah apakah Achilles memiliki cukup
waktu untuk berada di depan kura-kura. Perhatikan kembali bahwa Achilles
membutuhkan waktu 1 detik untuk mencapai 10 meter, 0,1 detik untuk 1
meter, 0,001 detik untuk 0,1 meter, dan seterusnya. Menurut anggapan
Zeno, karena perubahan waktu tersebut akan memberikan perubahan posisi
pada kura-kura untuk tetap berada depan Achilles. Hal tersebut akan terjadi
untuk waktu yang tak hingga.
Akan tetapi perhatikan deret berikut:
= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + (3)
Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka diperoleh,
0,1 = 0,1 + 0,01 + 0,001 + (4)
Dengan mengurangi persamaan (3) dengan persamaan (4) diperoleh:
0,1 = 1
0,9 = 1
=1
0,9 =
10
9
Artinya bahwa Achilles mampu menyamai kedudukan kura-kura dalam
waktu yang singkat, yaitu 10
9 detik atau 1,111 detik (merupakan bilangan
yang berhingga).
Dari pembuktian dengan menggukan deret tak hingga tersebut,
terlihat bahwa Achilles mampu menyamai kedudukan kura-kura pada jarak
100
9 meter dari garis start, dan akan berada di depan kura-kura pada jarak
selanjutnya. Waktu yang dibutuhkan Achilles pun tidak banyak, yaitu
sekurang-kurangnya 1,111 detik untuk berada di depan kura-kura.
D. PENGARUH PARADOKS ZENO TERHADAP MATEMATIKA
Keberadaan paradoks Zeno yang meresahkan para filsuf dan matematikawan
membuat mereka bertanya-tanya bagaimana cara membuktikan kebenarannya.
Selama berabad-abad mereka berusahan melakukan berbagai pendekatan
hingga terbentuknya deret menuju tak hingga. Perkembangan tentang
matematika yang cukup pesat menjadikan paradoks Zeno ini sebagai cikal bakal
konsep limit menuju tak hingga.
E. KESIMPULAN
Paradoks Zeno terpecahkan karena dua nilai yang saling bertentangan akhirnya
dapat dibuktikan bahwa masing-masing nilai tersebut benar dengan syarat
tertentu. Dan melalui paradoksnya, Zeno mampu merangsang otak-otak kreatif
matematikawan setelah zamannya sehingga memberi warna pada sejarah
perkembangan matematika.
F. DAFTAR PUSTAKA
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Zeno_of_Elea.html
diakses pada 3 Maret 2015 pukul 15.00 WIB
http://m.kaskus.co.id/thread/5365cb306607e7b5098b4665/paradoks-zeno-
paradoks-yang-tidak-terselesaikan-selama-ribuan-tahun/ diakses pada 23 Februari
2015
https://zenosphere.wordpress.com/2011/01/28/empat-paradoks-zeno/ diakses pada
4 Maret 2015 pukul 11.30 WIB
http://kbbi.web.id/paradoks diakses pada 22 Maret 2015 pukul 11.48 WIB