Rad Optimizacija u MKE - ZBORNIK

UDK

OPTIMALNO DIMENZIONISANJE RAZLIČITIH TIPOVA GREDNIH NOSAČA U METODI KONAČNIH

ELEMENATA

Tomislav Igić1

Marina Mijalković2

Bojan Milošević3

Dragana Turnić3

Rezime

U ovom radu je izložen metod određivanja optimalnih dimenzija nosača sastavljenih od manjeg broja segmenata u okviru metode konačnih elemenata (MKE). Izvedeni su izrazi rešenjem jednačine ravnoteže dobijena preko MKE. Izvršena su optimalna dimenzionisanja za statički određene i statički neodredjene nosače i različite vrste opterećenja. Dobijena je serija numeričkih rezultata sa funkcijom cilja- minimalna zapremina nosača uz dva kriterijuma ponašanja : dozvoljeni napon σdoz i maksimalna pomeranja vdoz. Iz uporedjenja sa nosačima konstantnog poprečnog preseka, tabelarno je prikazan procenat uštede koji je znatan i varira u zavisnosti od vrste nosača, opterećenja i načina promene preseka.

Ključne reči: optimizacija konstrukcija, konačni elementi, dva kriterijuma ograničenja, ušteda materijala, optimalne dimenzije.

1 Dr, red. prof., Građevinsko-arhitektonski fakultet Univerziteta u Nišu2 Dr, van. prof., Građevinsko-arhitektonski fakultet Univerziteta u Nišu3 dipl. ing. građ.,saradnik, Građevinsko-arhitektonski fakultet Univerziteta u Nišu

ZBORNIK RADOVA GRAĐEVINSKO-ARHITENKTONSKOG FAKULTETA no.23

1. UVOD

Oblast optimizacije razvila je mnoge metode optimizacije koje se primenjuju u najrazličitijim disciplinama. Njihova primena omogućuje ekonomičnost i uštede najrazličitijih, potrebnih činilaca (materijala, puta, vremena, zapremine, površine i drugo), odnosno, dobijanja najboljeg rešenja pod unapred zadatim uslovima.U okviru tih metoda dobijen je znatan broj uslova i rešenja opštega tipa. Posebno u optimizaciji konstrukcija taj broj je relativno mali za konkretne, realne slučajeve optimalnog dimenzionisanja. Cilj ovog rada jeste da pruži opštiji način za rešavanje konkretnih, realnih problema dimenzionisanja nosača u ovoj oblasti.

Kod klasičnog dimenzionisanja konstrukcija na principima otpornosti materijala obezbeđuju se potrebni i dovoljni uslovi za nosivost kao i stabilnost samih konstrukcija pod dejstvom realnih uticaja. Međutim, javljaju se potrebe za strožijim zahtevima, takvim da dobijene dimenzije budu najbolje rešenje u smislu usvojenih kriterijuma.

Za određivanje optimalnog dimenzionisanja nosača mogu se dobiti rešenja u analitičkom obliku koja konstrukciju tretiraju kao kontinuum. Takva rešenja su najčešća za veoma jednostavne slučajeve koji su gotovo akademskog karaktera. Ona, ipak, mogu biti od značaja u slučaju da postoji sistem takvih rešenja koji može da pruži katalošku osnovu radi upoređenja i pregleda sofisticiranosti samih rešenja i shvatanja koncepta metoda.

Realne konstrukcije i strukture se u praksi tretiraju numeričkim metodama analize. Kontinuum tih konstrukcija se, putem konačnog broja elemenata, tretira kao diskretna sredina. Tom prilikom se u metodi konačnih elemenata (F E M), koriste principi varijacionog računa i minimuma odgovarajućih energija.

Osnova naših istraživanja je metoda konačnih elemenata u okviru koje ćemo odrediti opšti oblik rešenja, odnosno formula kako bi se razumeo koncept i metod rešavanja. Pri tome će biti odredjivane optimalne dimenzije nosača koji će se deliti na elemente sa diskontinualnom visinom, odnosno širinom. Funkcija cilja je minimalna zapremina nosača, a ograničenja ponašanja: dozvoljeni napon σdoz i maksimalna pomeranja νdoz .

2

2. OPTIMALNO DIMENZIONISANJE RAZLIČITIH TIPOVA GREDNIH NOSAČA METODOM KONAČNIH ELEMENATA

U ovom delu rada izložićemo način kojim određujemo dimenzije elemenata nosača koristeći metodu konačnih elemenata. Posmatrane nosače ćemo podeliti na određeni broj delova-elemenata čije ćemo dimenzije odrediti na osnovu postavljenih kriterijuma. Postupkom koji u ovom delu dajemo biće određene veličine koje karakterišu dimenzije pojedinih delova. Te veličine će biti predstavljene kao promenljive i date u opštem obliku, a ne kao posebne brojne vrednosti. U daljem toku dimenzionisanja, te promenljive ( visine, odnosno širine nosača ) biće varirane prema odgovarajućim kriterijumima koje ovde postavljamo da bi se odredile njihove optimalne vrednosti. Pri tome, tretiraćemo kako slučajeve statički određenih, tako i statički neodređenih nosača. Posmatraćemo grede sa dva, tri i četiri elementa i sa dva karakteristična slučaja opterećenja.

Ukoliko bismo nosač delili na veći broj elemenata, izrazi za dimenzije pojedinih elemenata koje želimo da dobijemo u analitičkom obliku u znatnoj meri se komplikuju i takve slučajeve, za sada, nećemo razmatrati.

2.1. Slučaj grede promenljive visine opterećene koncentrisanom silom

Slika 1. Prosta greda promenljive visine opterećena koncentrisanom silom

Posmatramo prostu gredu sa sl.1. koja je podeljena na četri konačna elementa, od kojih su po dva jednakog oblika i karakteristika. Element 1 je dimenzija , dok je element 2

3

P

1 0

24

3L L L L

s

1 1 2 2


dimenzija . Formiraćemo matricu krutosti tih elemenata koji su opterećeni na čisto savijanje. Ona je oblika:

Matrica krutosti ova dva elementa data je u obliku:

Ukupna matrica krutosti celog sistema dobija se kao ,

gde je:

- kvazidijagonalna matrica čiji su elementi matrice

krutosti pojedinih štapova J - kinematička matrica

Jednacina ravnoteže celog sistema ima oblik

(1)

gde je: - vektor slobodnih članova,

Jednačina (1) je oblika:

4

(1`)Za gredu sa sl.1. sistem jednacina (1`) ima oblik:

(1``)

Rešenjem jednačine (1``) dobijamo deformacijske veličine, a nakon toga i vrednosti sila u presecima:

(2)

, , . (3)

5


Na osnovu dobijenih vrednosti sila u preseku u čvornim tačkama, dobijaju se vrednosti dimenzija poprečnog preseka. Dimenzionisanje će se izvršiti na osnovu dva uslova, maksimalnog dozvoljenog napona sračunatog za maksimalnu vrednost momenta savijanja za svaki konačni element posebno i maksimalnog dozvoljenog ugiba.

Za element 1 dobijena je vrednost ,

a za element 2 dobijena je vrednost . (4)

Pošto u jednačini za maksimalnu vrednost ugiba figurišu obe vrednosti nepoznatih visina, rešavanjem jednačina (2), (3) i (4) dobijene su vrednosti:

, . (5)

2.2. Slučaj grede promenljive visine opterećene kontinualnim opterećenjem

Slika 2. Prosta greda promenljive visine opterećena kontinualnim opterećenjem

6

1L L L L

0 2 43

s

q

1 1 2 2

(6)

Rešenjem sistema jednačina (6) dobijaju se deformacijske veličine, a na osnovu njih i sile u presecima:

(7)

, , . (8)

Na osnovu dobijenih rezultata (7), (8) i σdoz određene su formule za dimenzionisanje elemente grede.

Za element 1 dobijena je vrednost ,

a za element 2 dobijena je vrednost . (9)

Ne sužavajući opštost razmatranja, kao kriterijum ograničenja

deformacija uzeto je .Koristeći ovaj uslov i relacije (7) i (9)

određuju se rešenja za visine segmenata:

7


, . (10)

2.3. Slučaj grede promenljive širine opterećena koncentrisanom silom

Slika 3. Prosta greda promenljive širine opterećena koncentrisanom silom

Za ovaj slučaj matrice krutosti elemenata su

,

a jednačina ravnoteže (1) je oblika:

8

1 0 24

3

P

L L L L

s

b1

b2

1 1 2 2

(11)

odnosno

(11`)

Rešavanjem jednačine (11`) dobija se:

(12)

a na osnovu (12) i (11) dobijaju se:

9


, , . (13)

Iz uslova zadovoljenja kriterijuma dozvoljenih napona i dozvoljenih deformacija, dobijaju se sledeće vrednosti širine nosača:

na osnovu dozvoljenog napona:

, , (14)

a osnovu dozvoljenog ugiba:

, . (15)

2.4. Slučaj grede promenljive širine opterećene kontinualnim opterećenjem

Slika 4. Prosta greda promenljive širine opterećena kontinualnim opterećenjem

Jednačina (11) u ovom slučaju ima oblik:

10

1 0 24

3

L L L L

s

b1

b2

q

1 1 2 2

(16) a rešenja nepoznatih su:

(17)

, , . (18)

Na osnovu kriterijuma maksimalnog napona dobijaju se širine segmenata:

, , (19)

a osnovu kriterijuma maksimalnog dozvoljenog ugiba te

promenljive imaju sledeći oblik

, . (20)

11


3. NUMERIČKI PRIMER OPTIMALNOG DIMENZIONISANJA NA OSNOVU MKE I UŠTEDA MATERIJALA

U ovom delu rada biće izvršen proračun elemenata za konkretno zadate vrednosti grednih nosača. Te vrednosti su sledeće:

dužina grede s=10.0m,širina grede b=20.00cm,visina grede h=30.00cm,dozvoljeni napon doz=14.0kN/cm2,moduo elastičnosti E=210000000kN/m2.Opterećenje:koncentrisana sila P=100kN,kontinualno opterećenje q=10.00kN/m.

Tabela 1. Ušteda materijala kod proste grede promenljive visine

po

d

uslov

Dim

OPTEREĆENJEKoncentrisana sila Kontinualno

Dim. Vgre ušteda Dim. Vgre ušteda

1doz h 23.15 463000 0 % 16.37 327400

Vdoz h 26.14 522740 0 % 22.35 447000

4doz

h1 16.36395000 14.69%

14.17305400 6.72%

h2 23.14 16.37

Vdozh1 19.80

477900 8.57%19.90

428800 4.07%h2 27.99 22.98

6

doz

h1 13.36369333 20.23%

12.20293200 10.45%h2 23.15 15.43

h3 18.89 16.36

Vdoz

h1 16.77463580 11.32%

17.56419200 6.23%h2 23.72 22.22

h3 29.05 23.10

Tabela 2. Ušteda materijala kod obostrano uklještene grede promenljive visine

po

d

uslov

Dim



1doz h 16.36 327200 0 % 13.36 267200Vdoz h 16.46 329200 0 % 13.10 262000

4doz

h1 16.36327200 0%

15.51207300 22.41%

h2 16.36 5.22

Vdozh1 16.46

329200 0%19.40

259300 1.03%h2 16.46 6.53

6 doz h1 16.36 281066 16.41% 15.87 200000 25.15%h2 9.44 10.15

12

h3 16.36 3.98

Vdoz

h1 17.29295600 11.37%

20.25255200 2.59%h2 9.76 12.95

h3 17.29 5.08

Tabela 3. Ušteda materijala kod proste grede promenljive širine

po

d

uslov

Dim



1doz b 12.0 360000 0% 6.0 180000Vdoz b 13.23 396900 0% 8.26 247800

4doz

b1 5.95269250 25.20%

4.46156150 13.25%

b2 12.00 5.95

Vdozb1 7.44

334800 15.65%6.54

228900 7.63%b2 14.88 8.72

6

doz

b1 3.97239100 33.58%

3.31145500 19.17%b2 7.94 5.29

b3 12.00 5.95

Vdoz

b1 5.307318470 19.76%

4.96218100 11.98%b2 10.62 7.93

b3 15.92 8.92

Tabela 4. Ušteda materijala kod obostrano uklještene grede promenljive širine

po

d

uslov

Dim


dim Vgre ušteda dim Vgre ušteda

1doz b 5.95 178500 0% 3.96 118800Vdoz b 3.30 99000 0% 1.65 49500

4doz

b1 5.95178500 0%

4.9688200 25.75%

b2 5.95 0.92

Vdozb1 3.30

99000 0%2.89

51900 -4.85%b2 3.30 0.57

6

doz

b1 1.9846200 74.12%

4.6873200 38.38%b2 0.66 1.38

b3 1.98 1.26

Vdoz

b1 3.5582800 16.36%

2.9045300 8.48%b2 1.18 0.85

b3 3.55 0.78

3. ZAKLJUČAK

U okviru metode konačnih elemenata izvedeni su izrazi preko jednačina ravnoteže za različite slučajeve nosača i opterećenja. Zatim je izožen koncept određivanja optimalnih

13


dimenzija nosača sastavljenih iz manjeg broja segmenata, bilo da su promenljive njihove visine ili širine.

Imajući u vidu da se za slučajeve statički neodređenih nosača dobijanje rešenja u analitičkom obliku veoma komplikuje, ovde je izložen postupak kojim se u okviru metode konačnih elemenata dosta jednostavno određuju optimalna dimenzionisanja i za takve slučajeve i to kao rešenja za konkretne realne vrednosti.

Tretirajući izložene probleme kao višekriterijumske optimizacije, uzete su dve funkcije ograničenja ponašanja nosača i to: na naprezanje (doz) i na maksimalnu deformaciju (vdoz).

Tabelarno su prikazani rezultati različitih slučajeva opterećenja, statički određenih i statički neodređenih nosača, sa skokovito promenljivam segmentima, posebno po visini i posebno po širini nosača.

Takođe, značajno je istaći i veliki procenat uštede u materijalu (zapremine) u odnosu na standardna dimenzionisanja. Taj procenat zavis od statičkog sistema, vrste opterećenja i načina promene preseka. On je, u svakom slučaju, znatan i ekstremno iznosi i 74%.

4. LITERATURA

[1] M. Save, T. Igić, Exemples de poutres optimales a deux fonctions, Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, Gauthier-Villars, p.311-321, Volume 1, N 2, 1982, ISSN 0750-7832

[2] M. Milićević, T. Igic, Prilog graničnoj analizi i optimalnom dimenzionisanju površinskih nosača, str. 444-456, Modeliranje, proračun i ispitivanje konstrukcija, monografija (str. 1-456) , Građevinski fakultet Nis, Nis, 1995.

[3] T. S. Igić, D. Stojic(eds.) Theoretical and Experimental Research of Elasto-Plastic Bechaviour of Engineering Srtuctures, Monograph (p. 1-375) , University of Nis, Civil Enqineering and Architectural Faculty of Nis, Nis , 2006.

[4] G. Guerlement, T. Igic, D. O. Lamblin,Granicna analiza i optimalno plastično dimenzionisanje ljuske uklještene na jednom,a slobodne na drugom kraju pod dejstvom hidrostatičkog pritiska, 3. Jugoslavenski simpozij o teoriji plastičnosti, p. 246-254, Plitvička jezera, 1983.

14

[5] T. S. Igic, G. Guerlement, D. O. Lamblin, Uslovi optimuma punih metalnih ljuski sa tehnoloskim ograničenjima i primeri optimalnog plastičnog dimenzionisanja, Jugoslovensko društvo za mehaniku, 16. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, str.302-307, Bečići, 1984.

[6] Sekulović, M.: Metod konačnih elemenata, Građevinska knjiga – Beograd (1988)

[7] Maksimović S., An Efficient Optimization Method to Minimum Weight Design of Large-Scale Structural Systems, 1st International Congress of Serbian Society of Mechanics, p.765-774, Kopaonik,2007.

[8] Jovanović Lj. M., Teorija projektovanja konstrukcija računarom, Univerzitet u Nišu-MF, Niš, 1994.

[9] Kovačević D., MKE Modeliranje u analizi konstrukcija, Gradjevinska knjiga a. d.,Beograd,2006

15

Documents

Rad Optimizacija u MKE - ZBORNIK