Račun Rente u Finansijskoj Matematici

8/17/2019 Račun Rente u Finansijskoj Matematici

1/22

Univerzitet u Sarajevu

SEMINARSKI RAD

Predmet: Kvantitavni modeli u finansijama

Tema: Račun rente u finansijskoj matematici

PROFESOR: Prof.dr. Željko Šain STUDENTI (linija 3) : Minela !ri" #$%&' Merisa (e)anovi" #$*$& +dmir ,utura #$**#

Sarajevo- %$/. )odine


2/22

SADRŽAJ

1. UVOD....................................................................................................................3

2. OSNOVNI POJMOVI................................................................................................4

3. JEDNAKE ISPLATE (RENTE) - PERIOD ISPLATA I OBRAČUNA KAMATA ISTI..............5

4. JEDNAKE ISPLATE – PRIMANJE ČEŠĆE OD OBRAČUNAVANJA KAMATE..................11

5. JEDNAKE ISPLATE – PRIMANJE RIJEE OD OBRAČUNAVANJA KAMATE................14

!. STOPA RASTA ISPLATA I KAMATNA STOPA JEDNAKE............................................1"

". VJEČITA RENTA...................................................................................................1#

#. $AKLJUČAK.........................................................................................................1%

%. LITERATURA&.......................................................................................................2'

$. UVOD

2


3/22

Tema na0e) seminarsko) rada jeste: 1Račun rente u finansijskoj matematici2. Kroz ovajseminarski rad 3otrudit "emo se da damo 0to jasniju sliku o tome 0ta 3redstavlja i koja suosnovna o!ilje4ja računa rente.

5ajče0"a definicija rente u smislu finansijske matematike je da se 3od rentom 3odrazumjevajunovčana 3rimanja ili is3late u jednakim vremenskim intervalima i jednakim iznosima koje je 3olo4io korisnik ili neko dru)i u nje)ovu korist. 6nači- da !i mo)li 3rimati rentu 3otre!no jeulo4iti odre7enu sumu novca i taj ulo) nazivamo miza. 8snovna o!ilje4ja su: da je konačan !rojis3lata osim vječite rente- da su jednaki iznosi ili da se 3ona0aju 3o aritmetičkoj ili )eometrijskoj 3ro)resiji- is3late u jednakim vremenskim intervalima.

Rente se mo)u razvrstat 3rema roku trajanja i u okviru ove 3odjele detaljnije "emo o!raditivječitu rentu.

Primanje rente mo4e da !ude različito od o!računa kamate- z!o) to)a kamatnu sto3u moramo 3rila)oditi 3eriodu is3late i ka4emo da je osnovna mjerna jedinica 3eriod is3late.Prvo "emo o!raditi slučajeve kada se is3lata rente 3odudara sa o!računom kamata- nakon to)akada je 3rimanje če0"e od o!računavanja kamata i 3rimanje rije7e od o!računavanja kamata.Sve te rente mo)u se is3lačivati na 3o"etku- na kraju i nekoliko 3erioda nakon u3late mize.8!radit "emo tri osnovna slučaja: antici3ativnu rentu- dekurzivnu rentu i od)o7enu rentu.+ntici3ativnu rentu imamo u slučaju kada se renta 3rima 3očetkom svako) 3erioda tj. ako is3lata 3rve rente 3očinje odma9 3o u3lati mize.ekurzivnu rentu imamo u slučaju kada se renta 3rima krajem svako) 3erioda tj.ako se 3rva

renta 3rima jedan 3eriod nakon u3late mize-a odlo4enu kada 3rva renta 3očinje nekoliko 3eriodanakon u3late mize.

%. OSNOVNI POJMOVI

+ko se vi0e jednaki9 ili varija!ilni9 iznosa is3la"uje ;3odi4e< sa neko) računa u jednakimvremenskim intervalima na !azi jedne ili vi0e u3lata koje 3olo4io 3rimalac rente ili neko dru)i u

3


4/22

nje)ovu korist- onda te iznose- sa stanovi0ta finansijske matematike- nazivamo periodične isplateili rente. $

Miza je u3lata za rente- odnosno diskontovana vrijednost svi9 renti. 2

=lementi koji se javljaju u računu rente su:

R > iznos renten > !roj 3rimanja ili is3lata renti 3 > kamatna sto3aK > miza ili sada0nja vrijednost svi9 renti > slo4ene kamate

*. JEDNAKE ISPLATE (RENTE) - PERIOD ISPLATA I OBRAČUNA KAMATAISTI

U ovom slučaju 3ret3ostavljamo da su sve is3late jednake i da je 3eriod is3late jednak 3erioduo!računa kamata

1 *+,+,+*/, 0,0,*/, * 0 *+*6*+7 89:*,+,;


5/22

a) Dekurzivne isplate (rente)

+ko se renta 3rima krajem svako) 3erioda- tj. ako is3lata 3rve rente 3očinje jedan 3eriod nakon

u3late mize riječ je o dekurzivnoj renti. ?rijednost mize na dan u3late mora !iti jednakavrijednosti svi9 !udu"i9 is3lata.

' 1 2 . . . +-1 +

R1 R2 R+-1 R+

5a vremenskoj liniji vidimo da su sve rente diskontovane- odnosno svedene na sada0njuvrijednost.6adatak mo4emo rije0iti kori0tenjem al)e!arske formule i finansijskim ta!licama.

Pomo"u al)e!arske formule:*

K = R∗rn−1r

n(r−1)

Pomo"u finansijski9 ta!lica: /

K @ R∗ IV pn

Primjeri za dekurzivnu rentu:

3 *+,+*/, 0,0,*/,;< =. B=,+/ T=/8, (=."4)

4 *+,+*/, 0,0,*/,;< =. B=,+/ T=/8, (=."4)

5


6/22

$.Koliko !i tre!ala u3latiti oso!a 5.5 ukoliko 4eli da 3rima kroz & )odina rentu od *.A KM-uz uslov da se 3rva renta 3rimi jednu )odinu nakon u3late mize. Kamatna sto3a /B )odi0njedekurzivno i )odi0nje ka3itlisanje.

n@& )odina

R@*.AKM 3@/BK@C

a< Pomo"u al)e!arske formule

K = R∗rn−1r

n(r−1)

K =3.500∗1,046−11,04

6(1,04−1)

K =3.500∗0,265319018

0,05061276

K@$D.*/#-/D

!< Pomo"u finansijski9 ta!lica

K@ R∗ IV pn

K@*.AE IV 46

K@*.AEA-%/%$*&DA

K@$D.*/#-/D

!


7/22

%. Koliko moramo ulo4iti ako 4elimo da 3rimamo svako) semestra rentu od *.KM kroz /)odine- uz )odi0nju kamatnu sto3u od DB dekurzivno. Prva renta se is3lačuje jedan semestar izau3late mize.

R@*.KMn@/)odine 3@DB 3F@/Bm@% K@C


K = R∗rn

−1r

n(r−1)

K =3.000∗1,048−11,04

8(1,04−1)

K =3.000∗0,36856905

0,054742762

K@%.$'D-%*A


K@ R∗ IV pn

K@*. E IV 48

K@ *. E &-#*%#//D#

K@%.$'D-%*A

"


8/22

!


9/22

Primjeri za antici3ativnu rentu:

$.8so!a 5.5 4eli da 3rima svako) kvartala rentu od #KM kroz A )odina- kamatna sto3a DB)odi0nje dekurzivno. Koliko tre!a ulo4iti- ako se 3rva renta 3rima odma9 3o u3lati mizeC8!račun tromjesečni.

R@#KM

3@DB 3F@%Bn@A )odinam@/KF@C


K ' = R∗r (rn−1)

rn(r−1)

1,02

1,02 (¿¿20−1)

1,0220(1,02−1)

K ' =700∗¿

K ' =700∗0,495666343

0,029718947

KF@$$./-'%/


%


10/22

KF @ R ; 1+ IV pn−1

<

KF@# E

1+ IV ¿¿¿

<

KF@# E ;$H$A-D/&%$<

KF@$$./-'%/

6) Odgođene isplate (rente)

8no 0to odlikuje od)o7ene is3late ;rente< jeste da nji9ova realizacija 3očinje % ili vi0e is3latni9 3erioda nakon 3ola)anja mize. +ko se taj !roj 3omno4i sa m i zadr4e ranije 3ri9va"ene oznake- 3ro!lem se mo4e formulisati na sljede"i način: koliko jedinica tre!a u3latiti za n renti 3o R jedinica ako se 3rva renta 3rimi m is3latni9 3erioda nakon u3late- ako se kamata računa 3o sto3i 3 B ;d< i ako su 3eriodi is3late i o!računa kamate istiC#

U ovom modelu rente nije !itno da li se radi o antici3ativnim ili dekurzivnim rentama.

,) K> R∗ IV

p

n∗ II p

m−1

#

?) K> R∗(1+ IV pn−1 ) II p

m

%

P=*0=&

" *+,+*/, 0,0,*/,;


11/22

K8*/ =?, 9@8,** , # 7*+*C =+* @ %''KM< 9 @9 ! 7*+/9=*+< ,/ *@8,, @= =+ @:*+ 4 7*+ *, 9@8, 0*

R>%''KM@>! 7*+

+># 7*+,0>4K>

,) ?)

K> R∗ IV pn∗ II p

m−1

K> R∗(1+ IV pn−1 ) II p

m

K>%''F IV 68∗ II 6

4−1

K>%''F

(1+ IV 68−1) II 6

4

K>%''F!


12/22

Pomo"u finansijski9 ta!lica:$$

K @ R[m+ p(m−1)200 ] IV pn

b) Anticipativne rente

Pomo"u al)e!arske formule:$%

K @ R[m+ p(m+1)200 ] rn−1

rn(r−1)

Pomo"u finansijske formule:$*

K @ R[m+ p(m+1)200 ] IV pn

Primjer :

Koliko iznosi miza za rentu koja ce se 3rimati u toku / )odine- 3olu)odi0nje:a


13/22

n@/m@% 3@ABK>

,) A+*6*@,*+, =+,

$.al)e!arska formula

K @ R[m+ p(m+1)200 ] rn−1

rn(r−1)

K@AE

[2+

5(2+1)

200

]

1,054−1

1,05

4

(1,05−1)

K@AE%-#AE*-A/A'AA

K@*.D-'%

%.finansijske ta!lice

K @ R[m+ p(m+1)200 ] IV pn

K@AE [2+ 5(2+1)200 ] IV 54

K@AE%-#AE*-A/A'AA

K@*.D-'%

!< ekurzivna renta

13


14/22

$.al)e!arska formula

K @ R

[m+

p(m−1)

200

]

rn−1

rn

(r−1)

K@AE [2+ 5(2−1)200 ] 1,054−1

1,054(1,05−1)

K@AE%-%AE*-A/A'AA

K@*.A'-%#A

%.finansijske ta!lice

K @ R[m+ p(m−1)200 ] IV pn

K@AE [2+ 5(2−1)200 ]

IV 54

K@AE%-%AE*-A/A'AA

K@*.A'-%#A

14


15/22

A. JEDNAKE ISPLATE – PRIMANJE RIJE"E OD OBRAČUNAVANJA KAMATE

U ovom slučaju kamata se o!računava vi0e 3uta ;m 3uta


16/22

K @ Rr

mn−1r

mn(rm−1)

K @ $

1,0620−1

1,0620

(1,062

−1)

K @ A/./*A-/D

!< Pomo"u finansijski9 ta!lica :

K @ R IV p /m

mn

1+ III p/mm−1

K @10000 IV 6

20

1+ III 6

1

K @ A/./*A-/D

b) Anticipativne rente

Pomo"u al)e!arski9 formula:$&

K @ Rr

m(rmn−1)

rmn(rm−1)

Pomo"u finansijski9 ta!lica :$#

K @ R IV p/m

mn

IV p/mm

1! *+,+*/, 0,0,*/,;< =. B=,+/ T=/8, (=.#!)

1" *+,+*/, 0,0,*/,;< =. B=,+/ T=/8, (=.#!)

1!


17/22

Primjer za antici3ativnu rentu:

Iodi0nja antici3ativna renta je $. nj i 3rima se $ )odina. Iodi0nja kamatna sto3a je $%B

;d


18/22

K @ $. IV 6

20

IV 6

2

K @ &%.A&$-$D%

&. STOPA RASTA ISPLATA I KAMATNA STOPA JEDNAKE

U ovom slučaju je J @ r 0to znači i da je v @1

q .

a) Dekurzivne rente

K R1 R1 J R1 q2

...... R1 qn−3

R1 qn−2

R1 qn−1

$ % * ........ nG% nG$ n

Pomo"u al)e!arske formule:$D

K @ nE R1 Ev

Pomo"u finansijski9 ta!lica:$'

1# *+,+*/, 0,0,*/,;< =. B=,+/ T=/8,

1#


19/22

K @ nE R1 E II p1

b) Anticipativna rente

R1 R1 J R1 q2

R1 q3

....... R1 qn−3

R1 qn−2

R1 qn−1

$ % * ........ nG* nG% nG$

Pomo"u al)e!arski9 formula:

K @ nE R1

#. VJEČITA RENTA

+ko se renta is3la"uje neo)raničen !roj )odina- onda )ovorimo o vječnoj renti. To je mo)u"esamo 3od uslovom da se is3la"uje iznos kamate na neki ka3ital- dakle u tom slučaju iznosdiskontovane vrijednosti svi9 renti ; iznos u3late za sve ove rente u nultnom trenutku< ostajene3romijenjen.%

Primjer vječite rente imamo u slučaju is3la"ivanja i dodjeljivanja 5o!elove na)rade. 83oruka+lfreda 5o!ela koja nam konkretno o!ja0njava 3rimjer vječite rente:

1 a- 3ot3isani +lfred Lernard 5o!el- moram ovim- nakon 3odro!no) razmi0ljanja- izjavitisvoju 3osljednju volju u 3o)ledu imovine koju "u ostaviti u času svoje smrti. to kako slijedi:

sve 0to 3reostaje od mo)a vlasni0tva i 0to se mo4e realizirati neka !ude ras3odijeljeno naslijede"i način. Ka3ital koji "e izvr0ioci o3oruke ulo4iti u 3ouzdane o!veznice tre!a stvoriti fond

1% *+,+*/, 0,0,*/,;< =. B=,+/ T=/8,

2' *+,+,+*/, 0,0,*/, * 0 *+*6*+7 89:*,+,;


20/22

od koje) kamate imaju svake )odine !iti ras3odjeljene onima koji su u 3rotekloj )odini iskazalinajve"u uslu)u čovječanstvu.

Kamate valjda razdijeliti na A jednaki9 dijelova koji "e !iti doznačeni kako slijedi:• jedan dio dati "e se onome koji je 3osti)ao najve"e otkri"e na 3odručju fizike

• jedan dio onome koji je izvr0io najve"e kemijsko otkri"e odnosno usavr0avanje• jedan dio onome koji je 3osti)ao najve"e otkri"e na 3odručju fiziolo)ije ili

medicine• jedan dio onome čije je dosti)nu"e na 3odručju knji4evnosti !ilo najizvrsnije u

idealističkom smislu• jedan dio onome koji je naj!olje ili najvi0e činio za !ratimljenje naroda i za

ukidanje ili smanjenje staja"i9 oru4ani9 sna)a kao i za 3odsticaj i razvitak mirovni9 kon)resa.2 %$

a) Jednake dekurzivne rente

K @100 R

p R @ K p

100

b) Jednake anticipativne rente

K @ R100+ p

p R @ K p

100+ p

D. #AKLJUČAK

zradom ovo) seminarsko) rada !avili smo se računom rente u finansijskoj matematici. 5astojalismo da 0to jasnije defini0emo osnovne 3ojmove i definicije za lak0e rje0avanje i razumjevanjezadataka. Lavili smo se i antici3ativnim i dekurzivnim is3latama- odnosno rentama- te smo kroz

konkretne 3rimjere 3oku0ali 3rikazati 3rimjenu računa rente u finansijskoj matematici uznavo7enje 3otre!ni9 formula za rje0avanje.z konkretno) 3rimjera 15o!elove na)rade2 vidjeli smo i 3rimjenu vječne rente. Ilavnica se neis3la"uje- ona ostaje netaknuta- samo se kamate is3la"uju.

21 C@&HH.,8,-@=,8.60H8*=H,8=-+?8-7+*-8,-=7,6-0=69-*8*-@=*,8-66,+,

2'


21/22

Postavljanje 3ro!lema uz crtanje vremenske linije je svakako jedan od lak0i9 načina da se s9vatii rje0i zadatak tako da smo na taj način 3ristu3ali o!ja0njavanju i definisanju. Uz 3omo"vremenske linije mo4emo lak0e rje0avati i kom!inovane zadatke. Svaki zadatak smo rje0avali 3omo"u al)e!arski9 formula i 3omo"u finansijski9 ta!lica.

'. LITERATURA:

$. 1inanansijska matematika i metode investiciono) odlučivanja2 -dr.Milivoj Krčmar%. 1inansijska matematika2-dr.Lranko Trklja

*. 9tt3:NNOOO.alfaG3ortal.comNsliderNalfredGno!elG)enijGzlaGtr)ovacGsmrcuGiliG3rijateljGcovjecanstva

21


22/22

22

Documents

Račun Rente u Finansijskoj Matematici