Upload
matematikaunindra
View
466
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
WELCOME IN WORKSHOP MATEMATIKA
WELCOME IN WORKSHOP MATEMATIKA
WELCOME IN
WORKSHOP MATEMATIKA
KALKULUS II
Producted By:1.Ikhsan Hairudin (201013500677)2.Rianty Fauziah Purba (201013500687)3.Nani Ayu Wahyuni (201013500682)4.Riana Rusie (201013500641)5.Fajar Wahyu Ilahi (201013500642)
A. TEKNIK PENGINTEGRALAN1. Integral Fungsi Rasional Aljabar2. Integral Fungsi Rasional dan Sinus
B. INTEGRAL TAK WAJAR1. Konsep Integral Tak Wajar
2. Konsep Integral Wajar
C. HAMPIRAN INTEGRAL TERTENTU1. Metode Persegi Panjang2. Metode Trapesium3. Metode Simposn
C. PENGGUNAAN INTEGRAL1. Luas Daerah
2. Isi Benda Berputar
3. Panjang Busur
4. Luas Permukaan Benda Berputar
5. Kerja
6. Gaya Cairan
Fungsi Rasional adalah fungsi yang bentuk umumnya dinyatakan dalam bentuk , dimana adalah fungsi pangkat banyak (polinomial) dan .
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang secara umum dinyatakan dalam bentuk:
dengan sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya polinomial.
)(
)()(
xg
xfxF = )()( xgdanxf
0)( ≠xg
xaxaxaxaaxf no +++++= 33
221)( ,..3,2,1=n
)(
)(
xg
xf
Contoh .......... fungsi rasional sejati
.......... fungsi rasional tidak sejati
.......... fungsi rasional tidak sejati
23
1)(
2 +−−=xx
xxF
44
4)(
2
2
+−−=xx
xxF
xx
xxxxF
5
12)(
3
35
++−+=
Berdasarkan contoh di atas1. Disebut fungsi rasional sejati, karena derajat
pembilang lebih kecil dari derajat penyebut2. Dinamakan fungsi rasional tidak sejati karena
derajat pembikang dan penyebu sama3. Disebut fungsi rasional tidak sejati, karena
derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut diubah menjadi fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
xx
xxxxF
5
12)(
3
35
++−+=
xx
xxxxF
5
12)(
3
35
++−+=
Dalam menentukan integral fungsi rasional , ,langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional sampai tidak dapat difaktorkan
lagi.3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat
berupa kombinasi antara:
0)(,)(
)()( ≠= xg
xg
xfxF
0)(,)(
)()( ≠= xg
xg
xfxF
fungsi linear berbeda,
fungsi linear berulang,
fungsi liner dan kuadrat,
fungsi kuadrat berbeda,
fungsi kuadrat berulang, dan seterusnya.
))......()()(()( txcxbxaxxg −−−−=
))......()(()()( axaxaxaxxg n −−−=−=
))(()( 2 cbxaxaxxg ++−=
))(()( 22 cqxpxcbxaxxg ++++=
ncbxaxxg )()( 2 ++=
4.Nyatakan integral menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya, Misal :
(penyebut kombinasi liner berbeda)
(kombinasi lenear berulang)
(kombinasi kuadrat berbeda)
(kombinasi linear dan kuadrat)
...)()()(
)(
22
2
11
1 ++
++
=bax
A
bax
A
xg
xf
...)()()()(
)(3
32
21 ++
++
++
=bax
A
bax
A
bax
A
xg
xf
...)(
)(
222
2
22
112
1
11 +++
++++
+=cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xg
xf
...)(
)(
122
2
22
11
1 +++
+++
=cxbxa
BxA
bxa
A
xg
xf
∫ +++−
dxxx
xx
)1)(14(
1362
2
∫∫ +++
−=
+++−
dxx
CBx
x
Adx
xx
xx
114)1)(14(
13622
2
Karena integral fungsi rasional sejati maka
∫∫ +++
−=
+++−
dxx
CBx
x
Adx
xx
xx
114)1)(14(
13622
2
dxxx
xCBxxA∫ ++
++++=)1)(14(
)14)(()1(2
2
dxxx
CAxCBxBA∫ ++
+++++=)1)(14(
)()4()4(2
2
Diperoleh A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
∫∫ +−+
+=
+++−
dxx
x
xdx
xx
xx
1
1
14
2
)1)(14(
13622
2
∫ ∫∫ +−
++
+= dx
xdx
x
xdx
x 1
1
1)14(
222
Cxxx +−+++= arctan1ln2
114ln
4
2 2
Contoh:
Contoh: Tentukan integral di bawah ini1.
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integral:
∫ −dx
x 1
22
∫∫ +−=
−dx
xxdx
x )1)(1(
2
1
22
∫ ++
−= dx
x
B
x
A
)1()1(
dxxx
xBxA∫ +−
−++=)1)(1(
)1()1(
∫ +−−++= dx
xx
BAxBA
)1)(1(
)()(
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
∫ ∫∫ +−+
−=
−dx
xdx
xdx
x 1
1
1
1
1
22
∫∫ +−
−=
11 x
dx
x
dx
cxx ++−−= 1ln1ln
cx
x ++−=
1
1ln
cx
xdx
x+
+−=
−∫ 1
1ln
1
22Sehingga
−
=⇔
2sin
2coscos 22 xx
x
2
2
2 11
1cos
z
z
zx
+−
+=⇔
2
2
1
1
z
z
+−=
CONTOH
xxx 22 sincos2cos −=
∫ ++ xx
dx
cossin1
Jawab
dz
z
z
z
z
dzz
xx
dx∫∫
+−+
++
+=++
2
2
2
2
1
1
1
21
1
2
cossin1∫
+−+
++
++
+=
2
2
22
2
2
1
1
1
2
1
11
2
z
z
z
z
z
zz
dz
∫ +=
z
dz
22
2∫ +
=z
dz
1
cz ++= 1ln cx ++=2
tan1ln
cx
xx
dx ++=++∫ 2
tan1lncossin1Didapat
CONTOH
Definisi : Kita menyebut F suatu antiturunan f pada selang I jika Dx F(x) = f(x) pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I, F’(x) hanya perlu turunan sepihak).
Teorema A ( Aturan Pangkat)Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka
Contoh : Carilah antiturunan yang umum dari f(x) = x4/3
Teorema B
Bukti : cukup perhatikan bahwa Dx(-cos x) = sin x dan Dx(sin x) = cos x
Teorema C (Integral Tak-Tentu adalah operator linier)Andaikan f dan g mempunyai antiturunan (integral tak-tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka :
1. 2.3.
Bukti : untuk memperlihatkan (i) dan (ii), kita cukup mendefinisikan ruas kanan dan mengamati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri
Contoh : Dengan menggunakan kelinieran hitunglah
∫ ∫ ∫+=+ xdxdxxdxxx 43)43( 22
∫ ∫+= xdxdxx 43 2
++
+= 2
2
1
3
24
33 C
xC
x
)43(2 2123 CCxx +++=
Cxx ++= 23 3
Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dari suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka
Contoh:
[ ] [ ]∫ ∫ +=′=++ C
xgdxxgxgdxxxx
31
)()()()34()3(
31303304
Cxx ++=
31
)3( 314
∫ ++
=+
Cr
uduu
rr
1
1
1; ≠r
Contoh :
∫ ++ dxxxx )126()6( 253
)(xgu = dxxgdu )(′=
xxu 63 +=dxxdu )63( 2 +=
)63(2)126( 22 +=+ xdxx
dudx 2=
Andaikan , maka
Sehingga
.
Dengan demikian :
∫ ∫=++ duudxxxx 2)126()6( 5253
∫= duu 52
+= C
u
62
6
Cu
23
6
+=
Kxx ++=
3
)6( 63
=
Definisi : Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika ada, kita katakan f adalah terintegrasikan pada [a,b]. Lebih lanjut , disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh
∑∫=→
∆=n
iii
P
b
a
xxfdxxf10][
)()( lim
∫b
a
dxxf )(
)(xfy =
∫ −=b
a
bawahatas AAdxxf )(
∫ =a
a
xf 0)(
∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ba >,
jika , jika
=1
1)( 2xxf 0≠x 0=x
Jika f terbatas pada [a,b] dan f kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka f terintegrasikan pada [a,b]. Khususnya, jika f kontinu pada seluruh selang [a,b], maka f terintegrasikan pada [a,b]
Contoh: Hitunglah
Jadi,
∫−
+3
2
)3( dxx
20 −=x
nxx
5221 +−=∆+−=
+−=∆+−=n
xx5
22222
+−=∆+−=n
ixixi5
22
35
22 =
+−=∆+−=n
nxnxn
+=+=n
ixxf ii
513)(
i
n
iii
n
ii xxfxxf ∆=∆ ∑∑
== 11
)()(
∑=
+=
n
i nni
1
551
∑∑==
+=n
i
n
i
inn 1
21
251
5
++=
2
)1(25)(
52
nn
nn
n
++=
n
11
2
255
0→P∞→n
∑∫=− →
∆=+n
iii
p
xxfdxx1
3
2 0
)()3( lim
2
3511
2
255lim =
++=
∞→ nn
Jika f terintegrasikan pada sebuah selang yang mengandung titik-titik a,b, dan c, maka
Tidak peduli apapun orde a,b, dan c.
Contoh:
Yang oleh sebagian besar orang telah dianggap benar bahwa
∫ ∫ ∫+=c
a
b
a
c
b
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫ ∫ ∫+=2
0
1
0
2
1
222 dxxdxxdxx
∫ ∫∫ +=2
0
2
3
23
0
22 dxxdxxdxx
Perhatikan integral tentu Fungsi f(x) fungsi dapat bernilai negatif ataupun tak kontinu, asalkan titik diskontinuitasnya berhingga.
Gambar 1: Ilustrasi metode Persegi Panjang Kiri / Left Riemann Sum
Partisikan interval [a, b] atas n bagian, sama lebar:
p : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan Δxi = h = xi − xi−1 =
Pada setiap subinterval [xi−1, xi] dibentuk persegi-panjang (pp) dengan
panjang f(xi−1) dan lebar h (lihat gambar 1). Luas
persegi panjang tersebut, ΔLi = hf(xi−1)
Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Kiri (Left Riemann Sum).
Gambar 2: Ilustrasi metode Persegi Panjang Kanan / Right Riemann Sum
Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Kanan (Right Riemann Sum).
Galat Metode RRS : En = −(b−a)2 / 2n f(c), a ≤ c ≤ b
Gambar 3: Ilustrasi metode Persegi Panjang Tengah / Midpoint Riemann Sum
Hampiran ini disebut metode Persegi Panjang Tengah (Midpoint Riemann Sum)
Gambar 4: Ilustrasi metode Trapesium
Partisikan interval [a, b] atas n bagian, sama lebar:
P : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan Δxi = h = xi − xi−1 =
Pada setiap subinterval [xi−1, xi] dibentuk trapesium dengan sisi-sisi f(xi−1) dan f(xi) dan lebar h (lihat gambar 4).
Hampiran ini disebut metode Trapesium
Gambar 5: Ilustrasi metode Simpson/Parabol
Partisikan interval [a, b] atas n bagian (n genap):
P : x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b dengan Δxi = h = xi − xi−1 =
Pada setiap dua subinterval [xi−1, xi] dan [xi, xi+1] dibentuk parabol (fungsi kuadrat) p2(x) yang melalui titik-titik (xi−1, f(xi−1)), (xi, f(xi)), dan(xi+1, f(xi+1)).
Selanjutnya:
Perhatikan keping yang dibatasi oleh fungsi positif f(x), garis x = a, garis x = b dan sumbu-x. Akan dihitung luas keping tersebut memakai konsep integral.
Metode kulit tabung lebih mudah digunakan ketimbang metode cakram atau metode cincin.
Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sepusat.
Jika jari-jari dalam adalah r1 dan jari-jari luar adalah r2 dan tinggi tabung adalah h, maka volumenya diberikan oleh:
Persamaan , yang akan kita tandai dengan r, adalah rata-rata dari . Jadi
CONTOH SOAL: Daerah yang dibatasi oleh kurva ,
sumbu x , x = 1, dan x = 4 diputar mengelilingi sumbu y. tentukan volume benda yang terbantuk.
PENYELESAIAN: Kita dapat melihat bahwa volume kulit
tabung diperoleh dari irisan.
Di mana, untuk menjadi
Volume benda putar itu dicari lewat integrasi.
Diferensial Panjang BusurAndaikan f fungsi yang terdiferensasi secara kontinu pada [a, b]. Untuk masing-masing x dalam (a, b), definisikanlah s (x) dengan
Maka s (x) memberikan panjang busur kurva y = f (u) dari titik (a, f(a)) ke (x, f(x)). Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus Pertama, maka:
dudufxsx
a∫ += 2)]('[1)(
22 1)]('[1)('
+=+==dx
dyxf
dx
dsxs
Jadi, ds, diferensial panjang busur dapat dituliskan sebagai
dxdx
dyds
2
1
+=
Kenyataannya, bergantung pada bagaimana cara grafik tersebut diparameterkan, kita dituntun ke tiga
rumus untuk ds, yakni
dtdt
dy
dt
dxdy
dx
dydx
dx
dyds
2222
11
+
=
+=
+=
Beberapa orang lebih senang menghafal rumus-rumus ini ketimbang menuliskan
222 )()()( dydxds +=
Ketiga bentuk rumus di atas timbul dari pembagian dan kemudian perkalian ruas kanan
masing-masing dengan
.
2)(dx 2)(dy 2)(dt
)(dx
)(dy)(ds
Jika sebuah kurva bidang mulus diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidangnya, maka kurva membentuk suatu permukaan benda putar.
Untuk memulai, kita perkenalkan rumus untuk luas permukaan kerucut terpacung. Sebuah kerucut terpacung adalah bagian permukaan kerucut yang terletak antara dua bidang yang tegak lurus pada sumbu kerucut. Jika kerucut terpancung mempunyai jari-jari alas dan sedangkan tinggi miring , maka luas A diberikan oleh:
+
=2
2 21 rrA π π2= (rata-rata jari-jari) . (tinggi miring)
Dalam fisika, suatu benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dikenai gaya konstan F yang searah dengan arah benda tersebut, maka
Kerja = (Gaya) . (Jarak) Atau W = F . d
Di dalam banyak situasi praktis, gaya itu konstan tapi tidak bervariasi seraya benda itu bergerak sepanjang garis. Pada kenyataannya, andaikan bahwa benda sedang bergerak sepanjang sumbu x dari a ke b terhadap gaya peubah sebesar F(x) di titik x, dengan F suatu fungsi kontinu. Berapa besar kerja yang dilakukan? Sekali lagi, kata-kata iris, hampiri, integrasikan, mengatar kita ke suatu jawaban.
Dalam hal ini, iris berarti mempartisikan selang [a,b] menjadi potongan-potongan kecil; hampiri bermakna mengandaikan bahwa potongan khas dari ke , gaya adalah konstan dengan nilai F(x), jika gayanya konstan (dengan nilai F ) sepanjang selang [ , ], maka kerja yang diperlukan untuk memindahkan benda dari ke adalah F( ) ( - ). Integrasikan berarti jumlahkan semua keping kerja yang berpadanan terhadap potongan dan kemudian ambil limit seraya panjang potongan mendekati nol. Jadi, kerja yang dilakukan untuk menggerakan benda dari a ke b diberikan oleh
∑ ∫=→∆
=∆=n
i
b
a
ix
dxxFxxFW10
)()(lim
∫=
∆≈∆b
a
dxxFW
xxFW
)(
)(
Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Jika tinggi tangki 10 kaki dan jari-jari lingkaran atas 4 kaki. Tentukan lah kerja yang diperlukan untuk memompa air melewati tepi atas tangki dan mencapai 10 kaki di atas puncak tangki.