P P G M — L 100 — 76 /D^?* & C&f^T"

ATOM HIDROGEN SEBAGAI LAPANGAN UJI

MODEL-MODEL TEORITIK

A. B a i q u a i

BADAN TENAGA ATOM NASIONAL

PUSAT PENEIJTLAIV TENAGA ATOM GAMA YOG YAK ART A — I N D O N E S I A

We regret that some of the pages in the microfiche

copy of this report may not be up to the proper

legibility standards, even though the best possible

copy was used for preparing the master fiche.

Ilmu Fisika

Fisika Umun

Fisika Atom den Fisika Molekul

PPGM •• L 100 - ?6

Atom Kidrogen se^bagai lapangan Uji

Model-Model T e o r i t i k

A, Bsiquni

19T6

BADAi'T TENAGA ATOM NASIONAL

Pusa t P e n e l i t i a n Tenaga Atom Gama

J l . Babarsar i Kotakpos 8 t e l e p o n 3661

Yogyakarte - Indones ia

D A P T A H I S I

I . PETJDAHULUAKT

I I . TE0J1I SEMI-KLASIK

1 1 . 1 . Teor i Atom Bohr

1 1 . 2 , Teor i Bohr Sormcrfold

I I I . TEOPI KUABTDM

1 1 1 . 1 . Dualisms P a r t i k e l dan Koraplementaritps

1 1 1 . 2 . Meksnika Gclonbfing

1 1 1 . 3 . Metoda Apz'oximasi

I I I . U . Meksnika Kuantiim H e l a t i v i s t i k

111 ,5 . Struktior Kalus Atom Hidrogen

i i

I. PENDAHULUAN

Dalam rangka us aha para fisikawan untuk memahami struWtur ma-

t e r i secara mendalam, di mana t idak hanya komposisi saja yang d i t e l i t l 0

melainkan terutama dinamikanya3 atom hidrogen se la lu merupakan lapang-

an u j i yang sangat menarik bagi berbagai t e o r i dan model. Hal i n i d i s e -

babkan karena la hanya t e r d i r i dari dua'buah komponen j sehingga i a oe-

rupakan suatu sistem yang sederhana yang dapat memberikan penyelesaian

exak. Sistem-sistem la in yang t e r d i r i da r i t i ga bagian atau lebih hanya

memungkinkan penyelesaian dengan cara pendekatan saja .

Dengan difahaminys s t ruktur dan dinamika dar i atom hidro­

gen secara t epa t 9 maka sistem-sistem yang lebih komplex susunannya '.la-

pat di jajagi keadaannya dan kelakuannya dengan berbagai cara pendekat­

an, misalnya dengan metoda gangguan, b i l a komponen ket iga dan se te rus -

nya hanya menimbulkan gangguan yang r e l a t i f k e c i l saja terhadap sistem

yang lebih sederhanas yang terbentuk dar i dua buah komponen yang pe r t a -

ma dan selanjutnya3 atau dengan metoda v a r i a s i . dan sebagainya.

Cara pendekatan memungkinkan penjajagan terhadap keadaan atom

helium misalnya5 d i mana elektron yang kedua dianggap menimbulkan gang­

guan kec i l terhadap sistem s i s a yang menyerupai atom hidrogen. Ia juga

memberikan kemungkinan penel i t ian terhadap kelakuan dua buah atom h i ­

drogen yang sa l ing berdekatan9 sehingga elektron masing-masing atom i t u

txdak j e l a s l ag i mengikuti atom yang mana. Pada molekul hidrogen i n i

t i a p elektron dianggap sebagai komponen kedua atom hidrogen yang menyu-

sunnya, yang sa l ing menimbulkan gangguan yang r e l a t i f k e c i l .

1

2

Kalau dalam atom hidrogen diketahui bshwa gaya antara sub-

sistera berjangkau panjang3 seper t i gaya gravi tas i antara dua buah benda

bermassa sehingga mereka t e t a p dapat sa l ing mengikat betapa btesarpun

jarak antara mereka i t u , maka dalam molekul ditemukan bahva gaya antara

kedua atomnya berjangkau pendek - sehingga b i l a kedua subsistrem i t u d i -

pisahkan agak jauh sed ik i t saja "mereka be rd i sos i a s i . Gave aater subsis­

tem dalam atom hidrogen r e l a t i f k u a t ; karena untuk memisahkan mereka

diperlukan tenaga yang ordenya puluhan elektron v o l t , sedangkan gaya

antar atom dalam molekul r e l a t i p lemah sebab untuk mendisosiasi kedua

atom hidrogen i t u hanya diperlukan tenaga yang ordenya puluhan mil i

elektron vol t .

C i r i - c i r i la in yang membedakan dinamika dalam atom dar i d ina-

mika antar atom yalah., bahva dalam atom subsistem te tap saling menarik

pada jarak k e c i l , sedangkan dua buah atom dalam molekul akan to lak me-

nolak b i l a mereka dipertemukan pada jarak yang lebih pendek dari ja rak

kesetimbangan mereka. Dalam atom kedua subsistem tarik-menarik karena

muatan mereka berbeda,, sedangkan dalam molekul kedua atom dapat sa l ing

mengikat meskipun salah satu atau keduanya n e t r a l .

Pada molekul hidrogen te lah disebutkan di at3S , bahwa t i a p

elektron dapat dianggap merupakan bagian masing-masing atom;, namun ka­

rena dekatnya kedua atom i t u kekaburan t e r j ad i mengenai penil ikan e lek-

tron-elektron te rsebut oleh atom-atom yang bersangkutan. Jadi kecuali

gaya langsung yang b e r s i f e t s e n t r a l terdapat pula dalam molekul gaya-tu-

kar . Di dalatn atom tidak dikenal gaya tukar yang bekerja antara e lek­

tron dan int inya.

3 -

Kecuali i t u ikatan atom-atom di dalara nolekul raengenal keke­

nyangan. Misalnya atom karbon maximal hanya dapat -mengikat empat atom

hidrogen dalam raolekul, dan sebagainya. Sebaliknya sebuah i n t i atom

akan dapat mengikat berapapun buah elektron asalkan muatan i n t i i t u cu-

kup. Akhirnya dapat ditambahkan di s i n i , bahv;a gaya an ta r atom dalam

molekul hidrogen bergantung pada spin. Mereka hanya dapat metabentuk mo-

leku l hidrogen b i l a spin masing-masing elektron berlawanan.

Dalam usaha memaharai s t ruk tur materi k i t a te lah berhas i l me-

nguasai pengetahuan mengenai atom dan molekul; sehingga berkeinbang ilmu

kimia dengan pesat yang mengakibatkan peningkatan kemainpuan teknologi

kimiawi yang begitu mengagurokan } hingga jenis bahan-bahan s i n t e t i s yang

dapat diproduksi menjadi herlimpah-limpah. Dalam pada i t u pengetahuan

k i t a tentang i i t t i atom t idak dapat dikatakcn memuaskan. Untuk memahami

proses f i s i misalnyas i n t i uranium digambarkannya seper t i t e tes a i r ,

t a t a p i untuk dapat memahami t ingkat - t ingkat energi i n t i ringan orang

terpaksa melukiskan i n t i sebagai tersusun a tas kelopak-kelopak seper t i

atom. Juga model yang dipergunakan fisikawan untuk itiemahami r eaks i - r e -

aksi i n t i berbeda-beda, bergantung pada besar tenaga kinet ik zarah-za-

rah yang t e r l i b a t dalam masing-masing r eaks i .

Kesulitan i n i sebenarnya berpangkal pada kenyataan bahwa k i t a

t idak dapat menyejajarkan zarah i n t i atau nukleon dengcrti elektron dan,

i n t i dengan atom,seperti yang laziro dil3kukan orang. Kalau k i t a t e l i t i

s i f a t - s i f a t i n t i , k'4-^ cv--:_ royzMni bahwa nukleon harus disejajarkan

dengan atom ,sedangkan i n t i se ja ja r dengan molekul. Sebab gaya antar nu­

kleon di dalam i n t i berjangkau pendek, tak gayut muatan ..bergantung pa­

da sp in , memperlihatkan gejala kekenyangan, mengandung gaya-tukar dan

4

"tolak-raenolak pada j a r ale yang sangat: dekat. Dinsnike dalam irrt l yang

paling bersahaja, dan t e r d i r i dari dua uukXeori., y a i t u deuteron _, leb ih

icenyerupai dinaraika dalam molekul dari pada dinamika dalam atom, Oleh

karena i t u 3 maka rmkleon lebih irepat: d iber i model seper t i atom: dan d i

s i n i model atom hidrogen sebagai atom yang paling sederhana kembali me-

rvunjiikksn relevansinya sebsgei Ispangan u j i bagi t e o r i yang berdasarkan

model t e r sebu t .

II. TEOPI SEHI-KLASIK

Teori yang pertaraa ka l i be rhas i l sarnpai t a r a f t e r t e n t u dico-

bakan pada atom hidrogen yalah t e o r i atom Bohr - Sotnmerfeld yang mera~

pergunakai model atom Rutherford - Nagaoka. Sepert i diketahui ,. kedua

sarjana i n i secara sendi r i - sendi r i t e lah mengemukakan dalam tahun 1912

untuk pertama kalinya., bahwa atom t e r d i r i dar i suatu i n t i yang bermuat-

an p o s i t i f yang d i k e l i l i n g i oleh elektron-elektron yang muatan l i s t r i k ­

nya nega t i f dan beredar dalam orb i t raasing-masing pada jarak yang re«

l a t i f besar (orde 105 femtometer) dibandingkan dengan ukuran i n t i atau

elektron i t u sendi r i (ordenya 1 feintometer),

Model i n i mengandung suatu kesul i tan yang menyangkut s t a b i l i -

t a s atom, sebab elektr 'on-elektron dan i n t i atom yang muatan l i s t r i knya

berlawanan i tu akan tar ik-menarik, dan elektron akan jatuh ke i n t i atom

kalau i a tidak berputar mengelilinginya begi tu cepat : sehingga gaya t a -

r ik i n t i i t u dapat diimbangi oleh gaya lesatnya menurut persamaan

„£ 2 = |_sL_^ (ii. l a)

di mana m^ e dan V masing-masing adalah massa rouatan l i s t r i k , dan kela-

juan elektrons sedangkan ZQ adalah rriuatan l i s t r i k i n t i dan r jarak an-

t a r a elektron dan i n t i atom.

Tetapi 5 karena suetu muatan l i s t r i k yang berputar dalam su­

atu lingkaran dapat dikatakan mengalami superposisi dua buah getaran

se laras yang sal ing tegak lurus. maka menurut t e o r i l i s t r i k ia meman-

carkan gelonibang elektromagnetik ke sekelilingnya» Dengan demikian maka

tenaga t o t a l sistem yang t e r d i r i dari tenaga kinet ik dan tenaga poten-

5

6

s i a l l i s t r i k j pada atom yang int inya sangat bera t -

E = hm vZ %^- ( I I . 2a )

skan sela lu berkurang secara kontinu berket pancaran tenaga electromag­

ne t i t u . Dengan mempergunakan persarnean ( I I . l a ) k i t a dapatr raengubah

persamaan ( I I .2a ) menjadi:

/ /

\ \

ze /

\ mv V

,

I Yang rnenunjukkan dengan j e l a s ; bahwa apabila E berkurang terus karena

radiasi . , r u j i orbit r akan berkurang juga., yang b e r a r t i bahvra elektron

akan ja tuh ke i n t i meskipun tidak secara langsung, melainkan melalui

l intasen yang berbentuk s p i r a l , Ketakstabilan in i l ah yang menghantui

model atom nukl i r 3 atau atom yang b e r i n t i 0 pada waktu i t u ,

2 . 1 . Teori atom Bohr

Dinamika atom yang dapat menolong model i n i dari kegagalan

telah ditemukan oleh Bohy dalam tahun 19133 di mana i a menyatakan seba-

gai postulat bahwa elektron yang beredar di dalatn atom dalam orb i t

lingkaran i t u tidak memancarkan r ad ia s i dan atom i tu berada dalam kea-

daan s tas ioner . Sudan • barang tentu hal i n i tampaknya berlswanan dengan

observasi roakroskopis yang ditemukan pada experimen-experimen dalam ke~

l i s t r i k a n . Namun karena atom mempunyai ukuran mikros maka tidaklah da--

7

pa t dijamin bahwa hukum-hukum yang diperoleh dar i pengukuran pada expe-

rimen makro akan t e t a p berlaJcu tsntuk proses-proses yang t e r j a d i dalam

ukuran mikro.

Uhtuk menerangkan terjadinya r a d i a s i Bofae- m&mbuat postula t

sslanjutnya ^ yang menyatakan 5 bahwa spsbi la elektron i t u pindah dar i

sa tu orbit ke orbi-t l a in dalsm atom i t u yang je ja r inya leb ih k e c i l , tna-

ka atrom irersebut pindah dar i keadaaxi stasionex» yang satu ke keadaan

s t a s ione r lain yang lebih rendah energinya: dan bersarnaan dengan i t u

s e l i s i h tenaga yang s i s a dilepaskan. sebagai tenaga r ad i a s i * Sudah ba-

r>ang ter.-tu apabila keadaan stasion^i? yang terafchir mempunyai ener-gi

yang lebih "tinggi,, maka proses perpindah3n hanya dapat t e r j ed i j ika

atom i t u dapat tnemperoleh tanibahan energi dari sekeli l ingnya yang se -

siiai dengan s e l i s i h t e r sebu t ,

Andaikan energi atom senula E dan kemudian menjadi ^'.„niaka se ­

l i s i h tenaga yang dilepaskan sebagai r ad ias i : AZ? = hv sejalan dengan

t e o r i kuantum pada r ad ia s i yang te lah dikemukakan oleh Planck sebelum-

nyas y a i t u pada tahun 1900. Dengan penggunaan teor i kuantum i n i sebe-

namya t e o r i atom Bohr termasuk teor-i yang modern. Hamun i a dikatakan

setengah klasik 5 karena masih memper-gunakan gambaran klasik , d i mana

aton-atom yang s tas ioner dan mempunyai energi t e r t e n t u dilukiskan de­

ngan elektron-eiektron yang beredar dengan impuls t e r t en tu melalui or­

b i t yang t e r t en tu pu la . Bagi t eo r i kuantum yang murni 9 gauibaran semacam

i t u , d i mana impuls dan pos i s i elektron dinyatakan sebagai diketahui

secara exak pada waktu ysng bersamaan, t i dak dapat dibenarkan karena

bertentangan dengan hukum alam.

s

Sebenaraya t e o r i atom Boh? i t u bertuinpu juga pada observasi

BaZmev terhadap gar i s -gar i s spektrum yang dipancarkan oleh atom-atom

hidyogen dar i tabung lucutan gas dalam tshtm 1885 . Sepert i diketahui

atom-atom gas dapat memancarkan spektrum yens d i sk r i t - ar t inya: panjang

gelombang cahaya pada spektmm i tu dapat dinyatakan dengan angka-angka

j e l a s terpisah-pisah E -meskipun pada suatu deretan angka dar i suatu

spektrum terdapat kecenderungan untuk merapat pada suatu angka had yang

ses-uai dengan bat as dar i spektrum t e r s e b u t .

Kai^ena pada waktu i tu spektruir, i t u diduga dipancarkan oleh

o s i l a to r -o s i l a to r di dalam atoma maka dicardlah hubungan r iak gelonibang

antara gar is -gar is spektrutn yang terobservas i . Tetapi yang ditemukan

BdXrnev bukanlah suatu reztfsi antara nada dasar dan harmoniknya yang l e -

bih t inggi z melainkan sangkutan sebagai benikut :

e * R{k • ^ {nss 3> "' • " ) (II.3a)

di mana v dan c masing-masing adalah frekuensi garis spektrum dan ke la -

juan cahaya* sedangkan P. suatu bilangan konstan yang kenudian diber i

nama tetapai Rydberg. Bilangan ~ = — in i disebut angka gelombang dan

menyatakan cacah gelombang t iap satuan panjang. Dalam persamaan(II.3a)

tsmpak bahwa angka-angka gelombang spektrum mendekati harga -jr.- tf. Pada

umumnya der-etan sembar>ang dari suatu spektrum mengikuti rumus t

y.s p (_L- ... i y ) (» > n~ * 1„ 2 , . . . . ) ( I I .3b)

Dengan menggunakan tE ~ E - 2? . = Tzv, persamaan ( I I . 3b ) menghasilkan

rumus tenaga: p i . B = - SJl^S. ( « » 1 3 2 , 3 , . . . . ) ( I I . 2c )

n n

9

Yang mexiunjukkan dengan j e l a s . batwa keadaan-keadaan s t a s i c n e r dalam

e tom, yang d i c i r i dengan nomcr n =• 1 . 2« 3 3 , . . . , raempunyai e n e r g i E

yang b e r t i n g k a t - t i n g k a t dengan a r a s yarig t e r p i s a h - p i s a h s e s u a i dengan

1

Sukses d a r i t e o r i Bohr- t e r l e t a k - dalam kemampuan untuk menbe-

r ikar i ha rga R s e c a r a t e o r a t i k yang cocok dengan apa j^ang d ipe ro leh d a r i

experimen. Uhtuk i t u i a merumuskan p r i n s i p korespondensinya yang menga-

"takan, bahwa untuk ukuran makro5 d i mana n •*• °° v h a s i l t e o r i kuantum

h a r u s s e s u a i dengan t e o r i k l a s i k . J a d i untuk n' •= n - 1 dan n -*• °° m i - %

s a l n y a , persamaan ( I I . 3 b ) roeirberikan f rekuens i kuantum cahaya yang d i -

pancsrkan sebesa r :

\ s 2 E a/n3 ( I I , 4 a )

Yang harus s e s u a i dengan f rekuens i k l a s i k gelombang e lek t romagnet ik

yang dipancarkan oleh sua tu muatan yang bergerak rcelingkar dengan fre--

kuens i sudut u>. , yang dapat d ipero leh d a r i persamaan ( I I . l a ) b i l a k i t a

mengganti y dengan tor y a i t u :

2 U2

V1 = | ~ C 3 ( I I . 4b)

Dari persamaan (II.4asb) diperoleh sangkutan untuk ruji edaran elektron

dalam keadaan stasioner yang besamya :

di mana v sekarang bergantung pada n, sehingga ruji orbit elektron da­

lam keadaan stasioner tidak sekehendak 3 melainkan ditentukan oleh bi-

langan kuantum utama n seperti dalam persamaan (II.5a).

10

Dengan mengkombinasikan persamaan (II.2b, c) kita akan men-

dapatkan : .„2 s e2 /TT r, \ r r ~ n* -5 ==—• ( I I .5b) n aire Rnc

Persaraaan ( I I . 5a ,b ) memberikan harga i? dan r yang inasing-inasing be-

( I I . 6a)

( I I .6b)

Sehingga persamaan ( I I . 2c ) dapat d i t u l i s untuk atom hidrogen

sarnya: _ mz2 eh

n2 e h2

r> — 2 —

n

di mana 3 = 1 dan m digantikan oleh massa tereduksi u = ,;; - l ; .• .,

dengan Af sebagai massa proton, karena i n t i atom hidrogen t idak t e r l a l u

b e r a t , hingga perlu adanya koreksi terhadap r u j i orbi t elektron . Ka-

dang-kadang orang menggunakan rydberg sebagai satuan tenaga atom; i a

sama dengan harga E dalam persamaan ( I I . 2 d ) , dengan n = 1. Besaran l a ­

in yang juga penting sebagai satuan dalam t e o r i atom adalah ru j i orbi t

Bohr yang pertama ( I I . l a ) yang besarnya diberikan oleh persamaan ( I I .

6b) dengan s = 1 dan n = 1. J a d i , besaran-besaran tersebut adalah:

"a = J?n? ( I I-7 a )

a = " ^ A (II.7b)

Apabila k i t a mengalikan persamaan ( I I . l a ) dengan mr3, maka

k i t a peroleh pada ruas k i r i kuadrat pusa-putar elektron dalam edaran-

nya, dan dengan mempergunakan persamaan ( I I .6b) k i t a dapatkan sangkut-

an yang sangat penting yakni :

nh m0rss-2i ( I I . 8)

yang menyatakan bah^a |jttsa^U%4r\ ^ercatu dalam satuan sebesar yj— .

11

2.2. Teori Bohr - Sontmerfeld

Sonmerfeld telah berusaha untuk meinperluas teori Bohr dengan

raenipergunakan adaran-edaran yang berbentuk elips di samping lingkaran

Bohr. Tetapi, karena bentuk taTc bulat dari elips itu maka elektron

akan meropunyai puss-radial p di samping pusa-sudut p .Kalau persama-

an (II.8) ki ta tu l i s dalam bentuk integral , nsengingat bahwa dalam suatu

sistem yang tak terpengaruh dari luar5 pusa-putar p konstan, . make

diperoleh apa yang disebut Byctrccb knantion Bohr untuk satu putaran.

^ p . d i : nh (II.9a)

di mana sudut <£ di integralkan mulai dari <J> = 0 sampai $ = 2TT.

Dengan adanya komponen pusa radial p .> maka raeskipun p ma-

sih raerupakan konstanta gerak, ia tridak selalu memperoleh harga waxi-

muninya yaitu — s sehingga kita dapat raenulis p = r— di raana k = 1 „

2 j 34 . . . . . n, suatu Mlangan bulat berhubung dengan pencatuan pusa-

. putar. Adapun p yang sesuai dengan pusa osilator selaras, bukan su­

atu tetapan gerak; nanun bila ia k.ita integralkan untuk satu periode

dengcn r sebagai perubah integrasi menghasilkan

£ p dr = S (II.9b)

di mana S adalah luas areal di bawah liku p sebagai fungsi r» untuk

• satu periode getar. Harga S dapat kita cari dengan teori kuantum

Planck yang menyatakan bahwa besar tenaga to ta l suatu vibrator harus

merupakan kelipatan bulat keunsuran Tzv, sehingga

*l 1

12

Dengan membagi persamaan (11,10a) dengan nhv, maka d idapa tkan z

V2 2 0 " r , + rTTj- = I (II.10b) 2m n n v 2nhv/b

yang j e l a s memperlihatkan persamaan sebuah e l i p s d i mana p merupakan

fungsi r. Luas e l i p s i n i dapat d ipe ro l eh d a r i p e r k a l i a n ir dengan sepa-

ruh d a r i kedua sumbu utamanya y a i t u c , = S2rmh\> dan a = J2nhv/b s e -J. 2

hingga S = 2ir n7zv Vm/b. Te tap i ka rena kcns t an t e pegas £ = mur, naka

j e l a s l a h bahwa S = nh. Persamaan ( I I . 9a ; , b ) d i k e n a l sebaga i . s y a r s t - s y a -

r a t kuanrum BohrSommerfeld, Untuk t i d a k mengacaukan b i l angan - b i langan

kuantum n d i s i n i dengan b i langan kuantum utatna Bohr., maka k i t e p i l i h

n o t a s i l a i n sehingga :

£P.L d. = kk (II. 9c)

£ p of * n'fc (II.9d)

Dengan menghitung t i n g k a t - t i n g k a t tenaga atrom hidrogen s e p e r -

t i Bohr., t e t a p i sekarang dengan menggunakan l in- tasan berbentuk e l i p s

dan s y a r a t - s y a r a t kuantum ( 1 1 . 9 0 ^ ) , Sommerfeld menemukan ruirus yang

se rupa dengan rumus Bohr yakn i :

E = -. [-2jtA VT J ,,-, (11 .11)

d i mana n = k + n"' sehingga k = 1 , 2 , 3 . . . . n dengan n* = n - 13 n~

2, . . . . . . 0. J a d i untuk sua tu harga n t e r t e n t u ada kemungkinan t e r d a p a t

n buah e d a r a n , s a t u d i an ta ranya dengan k = n dan n' = 0 be rbentuk

l ingkaran sedangkan s i sanya berbentuk e l i p s .

K.lta dapa t memperluas s y a r a t kuantum (ll.9c_> d) dengan s a t u

s y a r a t l a g i y a i t u dengan menentukan o r i e n t a s i bidang o r b i t e l e k t r o n

a t a u arah vek tor pusa -pu ta rnya . Kalau k i t a nasukkan s y e r a t

f>V^d. = rrfo (iT.9e)

13

di mane m suatu bilangan b u l a t , maka p = p, cos 6, dan den^an raenggu-

nakan harga masing-masing p. = kh/2-n dan p = mh/2T[ k i t a temukan bah-

wa

|cos e| = \m/k\ $ 1 • (11.12)

t idak dapat sembarang; sebab m dan k bu la t . Jadi k i ta dapat menulis m

= -k; ~ k -f ls .., * k ••- ls k., yang b e r a r t i bahwa m dapat mempunyai sa -

lah satu da r i (2k + 1) buah harga., mulai dari m - - k sampai dengan m =

•f k, Hal in i juga be r a r t i bahwa orbi t elektron mempunyni (2k + 1) buah

or ien tas i saja yang mungkin diambil. Maka dar i i t u untuk suatu harga

n t e r t e n t u terdapat o rb i t -o rb i t yang te rsedia untuk ditempati e lektron-

elektron dalam atom yang cacahnya te r ten tu ( t e r b a t a s ) .

Bilangan-bilangan k dan m masing-masing disebut bilangan ku-

antum azimut dan bilangan kuantum magnetik, yang memegang peranan pen-

t ing b i l a atom berada dalairi rcedan magnet sehingga arus lingkaran e lek­

tron ber in teraks i dengannya. Wenurut pengamatan spektroskopi lebih lan-

j u t pada s t ruk tur mult iple t nyata bahwa harga pusa-putar elektron t idak

kk sesuai dengan ~ - melainkanlebih cocok dengan lh/2tr di mana I = k « 1.

Namun interpretasinya sebagai pusa-putar untuk 1 = 0 sungguh menyulit-

kan,, sebab untuk harga i t u elektron yang bersangkutan tidak mempunyai

m

pusa-putar yang b e r a r t i bahwa orbitnya lurus menerobos i i \ t i atom. In i

adalah pe-tun^uk pertama bagi kelemahan "teori semi klasik i n i .

Dengan harga Z?i/2n untuk pusa-putrar i n i maka untuk suatu har-

ga n •tertentu terdapat orb i t e lektron yang mungkin yang cacahnya :

I i2l + 1) = n2 (I = 0, 1, 2, . . . - JZ) (11.13)

buah dengan (2Z -f 2) buah or ien tas i untuk masing-masing harga Z. Bila

suatu n mempunyai o rb i t yang b e r i s i penuh maka elektron-elektron i t u

merupakan kelopak yang lengkap dalam atom i t u .

Dari spektruin atom yang memperlihatkan s t ruk tur mul t ip le t d i -

ketahui pula bahwa "tiap orbi t ternyata dapat ditempati oleh dua buah

elektron yang pusa-putar pribadinya beriawanan arah. Pusa-putar p r iba-

di in i disebabkan oleh putaran elektron k e l i l i n g sumbunya. Berbeda de­

ngan pusa-putar edaran atau o r b i t a l yang besarnya kelipatan bula t dar i

5—, pusa-putar pr ibadi i n i besarnya hanya separoh dar i satuan y~ . Bi-

langan kuantum S disebut spin. Maka dari i t u untuk kelopak yang berno-

mor kuantum u"tama n terdapat maximal 2n2 buah elektron di dalamnya.

Bilangan kuantum spin yang t idak bulat i n i juga merupakan

kelemahan t eo r i semi k l a s i k , karena t e o r i i n i tak dapat menerangkannya

Sebenarnya t eo r i semi klas ik Bohr diperluas oleh Somerfeld untuk mene-

rangkan adanya pemecahan gar i s -gar i s spektrum atom hidrogen, yang pada

observasi yang lebih t e l i t i memperlihatkan struktup ha lus . Tetapi s e ­

p e r t i t e rnya ta dari persamaar. (11.11) usaha i t u gagal karena bilangan

kuantum baru k tidak mampu menimbulkan pemecahan arcs tenaga E s epe r t i

yang diharapkan.

Hanya sete lah Sonnevfeld rnenggunakan persamaan energi yang

15

r e l a t i v i s t i k s epe r t i yang akan k i t a uraikan nanti i a mencapai pemecahan

arcs tenaga menjadi E ireskipun t idak cermat.

2 . 3 . Perluacan Fada Atom Koiq lex

Sebelum k i t a membicarakan t eo r i l a in yang lebih tepat dari

pada t e o r i semi klas ik i t u marilah k i t a s e l i d ik i t e r l eb ih dahulu sebe-

rapa jauh k i t a dapat memperluas metoda Bohr i n i untuk menghitung aras

tenaga dasar atom-helium, Sudah barang t en tu cara yang harus k i t a pakai

adalah cara pendekatan, karena seper t i dikemukakan dalam pendahuluan

problim t iga p a r t i k e i hanya memungkinkan penyelesaian dengan aproximasi

saja . Inipun hanya dapat k i t a terapkan pada aras dasar , karena d iketa-

hui bahwa t ingkat i n i mempunyai tenaga terendah, sehingga pembatasan

i n i dapat membantu k i t a memantapkan h a s i l pendekatan.

Dari metode Bohr yang k i t a ambil adalah pertama : gambaran

klasik di mana atom helium, misalnya dilukiskan sebagai suatu sistem

dengan satu i n t i , yang bermuatan l i s t r i k as dengan z = 2S dan dua buah

elektron yang mengelilinginya dalam orb i t dengan r. = 2. Xedua : k i t a

pergunakan hubungan antara pusa elektron dengan ru j i edarannya, karena

menurut Bohr perkalian p dengan r te r tentu yakni menurut persamaan (9)

p r = 27 i untuk n = 1 atau t i ap p dapat digant i dengan r-r- •

Kita cobakan dulu pada atom hidrogen yang k i t a kenal harga 2 2

aras dasarnya dan r u j i Boftr-nya. Tenaga t o t a l sistem :'. E = |— - ^-^r

dapat k i t a t u l i s sebagai

S = ( *1) ?x . (*L) 1 (H.lUa)

atau secara lebih singkat :

B - ~r~ ~ (11,14b)

16

Khususnya untuk atom hidrogen A = .4_ dan B = B„ di mana index H meng-

ingatkan k i t a pada atom yang iersangkutan dan Au dan B„ adalah besaran-H a

besaran dalam kurung pada persamaan (11.14a)

Karen a k i t a inginkan t ingkat dasar, maka k i t a harus mensya-

ratkan harga minimal bagi E, sehingga harus dipenuhi (dE/ckr) = o

yang b e r a r t i bahwa :

S ^ = Ili (11.151 1 1

•a

Dengan demikian, maka k i t a dapat menyatakan r u j i Bohr pertama v dalam

AJJ dan S„, karena menurut persamaan (15)

2A r = ^ ( I I .16a)

Ji h2£ ( I I . 16b) 1 rr'/n/o £-•nme'

Di samping itus menurut persamaan (II. 14b) tenaga dasar atom besarnya :

(II.l7r.) E = 1

EH

1

A

1

= -

B_ i>

1

meh

=

=

B2

kA

1 rnji vg (II.17b)

Ternyata harga dalam persamaan ( I I .16b) dan I I . 17b) sama dengan harga

dalam persamaan ( I I . 7 a s b ) .

Untuk atom helium sudah harang tent'u r

^ = E! . Ld + __£?__ ( I I 18a) 12

17

N*VT -1*

di mana r adalah jarak antara kedua elektron di dalamnye, Dengan 12

h menggunakan p = -x—kita xsbah persainaan ( I I . 18a) menjadi ;

J fe r h2 y 1 r2eS 1_ tez % 11 ( I1 .18b)

Untuk menghitung r k i t a Tnempergunakan suatu c a r a pendekatan , di mana

k i t a s eca ra sederhana mengambil p u r a t a d a r i harga maximum dan minimum.

Andaikata separoh d a r i o r b i t dengan n =• 1 d i rn i l i k i masing -

masing e l e k t r o n s maka j a r a k maximum v - 2r sedangkan ja rak minimumnya 12

b i l a e l e k t r o n yang s a t u mcndekati e l ek t ron yang l a i n , yang s e l a l u k i t a

anggap berada d i t engah- tengah bagian o r b i t yang d imi l ik inya , . yalah. r / 2

= I j ^ r sehingga p u r a t a r = 1,7r. Dengan harga i n i persamaan ( I I , 1 4 b ) 1 O

12 dapat disederhanr-kan menjadi :

/ e = *He -He. 3?

( I I . 1 8 c )

d i mana A„ = 2 A dan B„ = 3,4 B . Oleh karenanya maka dapat segera

d i t u l i s ;

He 2 A He

A H

«?

He

B

3,4 B 0,59 a

H

Br = _ HeZ = _ * 3 > 5 6 g2 = 5 ;78 r 44 lBe

44

( I I . 19a>

( I I . 1 9 b ) lH

18

Melihat ke t e l i t i an hasal yang dicapal oleh pendakatan yang beraahajja

i n i , k i t a sekarang akan raencoba penerapannya pada atom-atom yang lebxh

komplex dar i helium. Tinjaulah misalnya atom l i t ium dengan 2 = 3 yang

meropunyai t iga buah elektron. Dua di antaranya menempati orbi t Bolzr

yang pertama dan mer-upakan kelopak lengkap dengan n - 1, sedangkan

elektron yang ket iga berada dalam orbi t Bohr kedua. Karena kelopak per -

tama i t u lengkap dan inenurut persaniaan(ll.6b) je ja r inya hanya sepert iga

r u j i orb i t yang sama pada atom hidrogen a, sedangkan edaran dengan n~2

mempunyai j a r i - j a r i empat pe r t iga a, roaka k i t a dapat menganggap muatan

i n t i i t u tercadar oleh kelopak pertamas sehingga elektron ket iga dar i

atom l i t ium ini hanya melihat muatan i n t i e fekt i f sebesar ez „ = 1,

Karena elektr>on di luar kelopak lengkap i n i mempunyai n = 2 ,

2h maka k i t a harus menulis untuk harga pusanya p = —=—— . Pada umumnya,

untuk elektron di l ua r kelopak lengkap yang edarannya mempunyai nomor

kuantura utama-n, k i t a t u l i s p = nh/2-nr , sehingga tenaga seluruh e lek­

tron yang berada di luar kelopak lengkap yang mencadari i n t i atom se­

hingga muatan efektifnya ez _ i tu besarnya

E = *ef 87f2mr2 *f. - + fift *f ) ...e -

ef [ *»uern J 2 l ^ % - J

(11.20")

Di dalam persamaan(II.2l)inisuku pertama adalah tenaga kinet ik 3 --buah

elektron dalam o rb i t ke-n di luar kelopak lengkap t e r akh i r , suku kedua

adalah.tenaga po tens ia l elektron-elektron i t u dalam medan muatan efek­

t i f i n t i , sedangkan suku ysng ket iga tersusun dar i tenaga tolak e lek-

t ron-elektron i t u sesamanya. Yang menyulitkan di s i n i adalah penghi-

tungan r. . yang merupakan jarak antara elektror» ke-£ dengan elektron

19

ke-d dalatfl kelopak ke-n yang belum lengkap isinya i t u . Namun anehnya,

b i la ki ta ambil r.. » 1J r . Seperti semula sebagai harga purata, k i t a

masih juga memperoleh h a s i l yang cukup dekat dengan has i l pengukuran

experimental, seperti yang dikerjakan oleh Wtisakopf.

Dengan mengisikan r.. - 1,7 r 3 k i ta dapat tnenulis persamaan

(11.20) seperti biasa dalam bentuk :

z . n2hz - e2z j . (0.7 z _ - Os3) , E - (-4C- ) h. S 1 6f — l «1.2«

Perbandingan antara persamaan(II.21) dengan persanaandl.Ga) dengan j e -

las memperlihatkan9 bahwa persamaan (11.22") dapat diberi bentuk ( I I . 9b)

dengan pengertian bahwa

A = n2z . AR B» zJ0,7 z - 0SS) BR (11.22)

Dengan harga-harga ini maka persamaan ( I I . 16a) tnenghasilkan

* . - 0,7 / f - 0,1 (T$ - 0,7 \ f - 0,S ' < " - 2 3 a '

Sedangkan persamaan ( II . l7a) metnberikan

. '.jf.r y - "M fi *e/o,> y - »,»* d ~ i ? X4A> n* y

(II.23b)

Di bawah ini diberikan daftar perbandingan antara has i l perhitungan de­

ngan rumus-rumus (II .23a, b) dan pengukuran experimental.

20

Atom

He

Li

Be

B

C

N

0

F

Ne

3

2

3

4

5

6

7

8

9

10

V

2

1

2

3

4

5

6

7

8

n

1

2

2

2

2

2

1 2

t

2

z* dalam a

•teori

0,6

*,o

2 , *

1,7

2 , 3

1 ,1

0 ,9

0 ,8

0 ,7

exp .

0,6

2 ,8

2 ,2

1,6

1,2

1,0

0 ,8

0 ,7

0 ,6

E, dalam r

t e o r i

5 ,8

0 ,3

1 . *

«+,3

9,6

18,0

30,5

42,0

69,0

exp.

5,8

0 3

2 ,0

5 ,2

10,9

19,5

31,8

48,5

70,0

s e l i s i h t e o r i dan e x p .

A 2» n

0

1.2

0,2

0 , 1

0 , 1

0 , 1

0 , 1

0 , 1

0 , 1

A B, 4

0

0 , 1

0 ,6

0,9

1,3

1,5

1,3

6 ,5

1,0

2 .4 . Teori Rela t iv is t ik Somerfeld

Di dalam paragraf 2.2 t e lah diungkapkan bahwa us aha Sonmerfeld

untuk memperluas t e o r i Bohr agar depat menerangkan s t ruk tu r halus pada

spektrum atom hidrogen t e l a h menemukan kegagalan, karena t e o r i non-re-

l a t i v i s t i k BokrSameTfeZd i t u tridak memberikan ar-as tenaga yang bergan-

tung pada bilangan kuantum azimut k yang berhubungan dengan pusa-putar

e lektron dalam edarannya.

Bila k i t s hi tung kelajuan elektron dalam orbi t Bohr pertama

s e j a , d i mana n=l dalatr, persameandl . 8) maka k i t a akan mendapatkan bahwa

v/c adalah sek i t a r satu prosen, yang cukup besar untuk mendapatkan efek

r e l a t i v i t a s . Oleh karenanya, maka SamnerfeZd mempergunakan rumus r e l a t i -

v i t a s untuk tenaga k ine t ik elektron dalam orbitnya :

21

E,. * m c' km Y^ ~ i (21)

di inana S = v/c dan m raassa diam elektrcsn. Dengan membagi secara lang-

sung pecahan yang berada di bawah tanda akar, k i t a dapat roenulis

(25)

Karena pusa-putar p . tetapan gerak yang besarnya kh/2ir ssdangkan p t i - -

dak konstan, maka k i t a lebih baik tnenyatakan p dalam p dengan peranta-•

raan sangkutan sebagai ber ikut

mv,i> mv

/T& l-P (II .26a9b)

Bila persamaan ( I I .26b) k i t a bagi dengan perseaaan ( I I . 2 a ) untuk meng-

hilangkan besaran di bawah tanda akar , maka k i t a akan memperoleh

(11.27)

Bagian pertama dari persamaan (II.27 "> dan sar.ekutan u2 = u2 + y2 akan

memberikan harga 82, sehingga

,2 P* + pj/r2 & 7T (11.28)

dan tenaga t o t a l s istem, dengan mempergunakan persamaan (11,241 persa-

raaan (11,25) dan persair.aar (11.28) dspat d i t u l j s sebaeai ;

ma* Jl* t i t e r

(11.29)

Dengan mengkuadratkan, untuk menghilangkan akar dalam persamaan (II.

30) kita dapatkant

22

(11.30) Sekarang k i t a pergunakan bagian kedua persaniaan(II.27)untuk inenyatakan

p dalam keturunan (—) terhadan $,dan kemudian inuiribagi persamaan(II.30)

dengan Y 2 = (2 - 22eVl6ir2e2e2pjK Hasilnya adalah :

9 9

Kita dapat membuat suku k i r i persamaan(II.31)diluar suku pertama menjadi

bentuk kuadrat. Kalau di samping i t u k i t a naraskan — = x danY9 = K, maka

persamaan (31) berubah menj|adi

{&+[*- g ^ j [1 * ^ - * C I I . « . )

9

di mana k i t a telah menyinglcat :

B2 = J^J 2+^r) + Tsttg* f 1+ -K) (H.32b) Y p £ l TO? ^ 2 erFe^y^T l - ma2 J

Kalau k i t a menyingkat l ag i

A = T ^ T T (1 + 4 ? ) ( I I .32c) 4ireYzp2 v mc2''

maka k i t a dapat menyederhanakan persamaan ( I I .32a) untuk in tegras i :

l^jI(£^J.) 2 = I (II.32d)

Yang menghasilkan i n t e g r a l

* = i 4 = B c o s Y * (11.33)

Untuk menyesuaikan bentuknya dengan persamaan parametrik sebuah e l ips

yakni : r = a ( 1 - e 2 J/Y 2 -f e cos 0 ^ maka k i t a p i l i h persamaandl.

33) penyclesaiannyc" dergan cosinus , sehingga :

23

* - * ' 2 +BA cos* ( I 1 - 3 ^

Nyata di s i n i bahwa 1/A = a(l - ez) dan e = B/A atau B = e/a(l - e2J,Ka-

rena 6 = y$ „ maka r kembali dicapai oleh r bukan setelah 6 berputar

2ir, melainkan setelah memperoleh harga (2-n/y). Hal i n i menunjukkan, bah­

wa perihelion e l ips menggeser t i ap periode sepan^ang busur 2n(— - i J . J a -

di orbi t e l ips berpresesi di dalam bidangnya. Karena *-"lanya preses i i n i -

lah maka bentuk orbi t elektron i t u bukan e l ips t e r t u t u p , melainkan se -

buah rose t j dan aras tenaga atom hidrogen memperlihatkan s t ruktur ha lus .

Untuk mendapatkan secara e x p l i s i t harga aras tenaga yang t e r -

pecah pada t i ap n i t u k i t a harus menghitung E dar i persamaan (II.32b> c)

dengan memasukkan p = kh/2-n dan mempergunakan harga £= B/A. rExsentri-

sitast! i n i dapat k i t a peroleh dari syarat kuantum ( I I . 9d) sebagai be-

r i k u t . Kita diferensialkan persamaan (11.34) terhadap $ :

& _ y(B/Al) sin v4> ya(l - ez) e sin y$ , . . d<T ~ (1+B/A cos y ^ 2 = <1 + e cos y*)2- U i '

Ketnudian k i t a ubah p dengan persamaan (11,271 sehingga

Dengan mempergunakan persamaan (11.35) dan harga untuk r2., k i t a dapatkan

' P* * - * 2 *• f" T R - & V CII-37)

Harga dari integral dapat dicari dalam tsbel matematik dan hasilnya

n'h = 2* p yfiTT^—T~i) (II-38> *$ v Ml - c 2 J

Bila k i t a masukkan p = kh/2ir maka persamaan ('II,33) m.-.riberikan

24

Penibagian persamaan (II .32b) dengan kuadrat persamaan ( I I .,32c)

dan mengingat, bahwa B/A = e maka k i t a peroleh

e2 » 2 + Is*2*2 yZ?i * <* + E/mc2)(E/mo2) (il.to) sPe^U + E/mc2)

Dongan mempergunakan persamaan (11.39) k i t a eliminasi a2 da r i perscsyxa.

(II.1»0). Dari persanaan kuadrat dalam E k i t a hitung aras tenaga i n i dan

has i lnya , se te lah k i t a masukkan harga y dan. menulis

a » ( ez/2 eho) :

•1/2 >za2

E = mcl | 1 + 215! 1 (Il.lfl)

Dalam persamaan ( i I .Ul ) i n i E ~ ma -E , adalah t ingkat tenaga

atom hidrogen yang nyata bergantung pada n' dan k atau fri&s. n dan fc,

karena n = nT + k pada l imi t non~re la t iv i s t ik . Tampak bahwa t eo r i r e -

l a t i v i s t i k menghasilkan s t ruk tur halus atom hidrogen.Namun seper t i t e o r i

r.emi-klasik lainnya i n t e rp r e t a s i kh/2-n sebagai pusa-sudut elektron d&lam

odarannya t idaklah benar. Sekali lagi ha l in i mendorong orang untuk men--

car i t eor i l a i n yang lebih sesuai ; baik r e l a t i v i s t i k maupun t idak .

Besaran a = (ez/2eho) disebut konstante s t ruktur halus dan me-

rupakan ukuran bagi kekuatan in t e r sks i elektromagnetik; sebab i a mengan-

dung tetapan kopling e 2 yang nengukur kekuatannya. Bila k i t a hi tung kem-

b a l i kelajuan elektron dalam orbi t Bohr pertama y = h/2mm> dengan r =*

eh2/* me2-., maka nyata bahwa o « — yai tu perbandingan kelajuan elektron c

dalam edaran Bohr pertama dengan kelajuan cahaya.

I I I . TEORI KUANTUM

Setelah menguraikan mengenai sukses dan kegagalan d a r i t e o r i

semi-klasik yang dicobakan pada model atom hidrogen Rutherford - 11a.-

gadka, marilah sekarang k i t a bicarakan usaha-usaha dalam bidang t e o r l

kuantum yang dikerjakan orang untuk mengatasi kegagalan t eo r i semi -

klas ik tersebut .

Seperti dinyatakan di muka, t eo r i kuantum dicetuskan oleh

Planck pada tahun 1900 ket ika i a tnempostulatkan, untuk mengatasi kega­

galan t eo r i k las ik dalam usahanya memahami d i s t r i b u s i spektra l energi

r ad i a s i yang dipancarkan benda-benda hitarn» babwa os i l a to r - o s i l a t o r

scjiaras yang berbentuk dar i gelombang-gelombang elektromagnet s t a s i o -

ner di dalam rongga tidak dapat melepaskan tenaganya secara malar, me-

lainkan hanya dalam catu-catu atau kuanta sebesar t£ = h\> b i l a f r e -

kuensinya v.

Karena r ad ia s i gelombang elektromagnet i n i t idak beda dengan

cahaya dalam hakikinya maka Einstein t e lah mencoba menerangkan efek

f o t o l i s t r i k dengan mempergunakan t e o r i r e l a t i v i t a s dan menyatakan bah-

wa paket energi h\> te rsebut mempunyai massa m = - y dan pusa l i n i e r

p = -~- 3 sehingga zarah cahaya atau foton yang dibentuk oleh paket

energi i t u akan mampu menendang keluar elektron suatu atom., molekul

atau suatu zat pada umumnya, asalkan frekuensinya cukup t inggi atau

pusanya cukup besar .

Dengan demikian maka Einstein t e lah merumuskan t e o r i kuantum

cahaya. yang dua l i s t ik karena foton nempunyai pusa p seper t i zarah, na-

h mun pusa i t u ditentukan oleh panjang gelombangnya X = — , sehingga

25

26

foton beriak gelorabang juga. Atas dasar i n i sudah barang tentu orang

dapat mencoba raempostulatkan, bahwa elektron dengan inassa m yang pusa-

nya p = mv beriak gelombang juga dengan X -= —-, Misalnya, apabila s e -

buah elektron bergerak dengan kelajuan y s tnaka i a secara r e l a t i v i s t i k

mempunyai energi dan pus a

E = J^~ ( i n . i a , b )

\7^F Kalau k i t a t u l i s "untuk persamaan ( I I I . l a ) E = hv, dengan mengandaikan

bahwa zarah tersebut merupakan suatu kuantum energi yang menibawa satu

kuantum muatan ., maka secara otomatis persamaan ( I I I . l b ) akan mengha-

si lkan p = hv/c = T~ a t s u A = — , Postulat semacam i tu telah diajukan

oleh de BrogVie. dalam tahun 1925 dan te rnya ta didukung oleh experimen

vefteksi Bragg yang dikerjakan Davisson dan Germer dan experiment d i -

fraksi elektron oleh Thomson pada mass a berikutnya.

2 Dengan mempergunakan E = hv dan p = ha d i mana cr = — dalam

persamaan ( I I I . l a , b) k i t a dapat mengetahui bahwa kelajuan kelompok

gelombang materi i t u u = -3- = v3 sehingga elektron te rsebut se la lu

d i iku t i oleh suatu paket yang tersusun dari gelombang-gelombang mate-

r inya .

I I I . l , Dualisme Pa r t i ke l dan Komplementr'.ritas

Dengan munculnya t e o r i r e l a t i v i t a s yang mengajarkan kese ta-

raan antara massa dan energi sebenarnya dualisme mulai masuk dalam

konsep k i t a mengenai materi . Sebab dalam hal in i massa materi hanya

dianggap sebagai salah satu bentuk manifestasi energi belaka. Sebalik-

27

nya dengan alasan yang sama energi adalah bentuk la in dar i mater i , se -

hingga dianggap mempunyai inassa, misalnya pada proses f i s i dan l a i n -

lainnya.

Dualisme diperjelas oleh t e o r i kuantum cahaya Einstein dan

t e o r i de Broglie^ sebab ia tidak hanya ada pada cahaya yang merupakan

peiribawa gelorabang elektronagnetik dan energi atau massa tetapx juga

pada elektrcn yang sebagai zarah membawa inassa atau energi dan d i i k u t i

oleh gelorabang mater i . Namun, sepe r t i juga massa. yang merupakan ben­

tuk lain dari energi dan sebaliknya5 pada dualisme i n i terdapat kom-

pleraentari tas; b i l a k i t a menemukan bentuk yang s a t u , maka bentuk la in-

nya t i ada . Contoh komplementaritas di antara bentuk-bentuk energi su-

dah lama k i t a kenal . Konplementaritas dalam gejala - geja la yang tne-

nyangkut gelombang elektromagnetik misalnya, didapatkan pada efek fo-

tolistrik dan efek Compton; sedangkan dalam gejala - gejala yang me-

nyangkut zarah e lek t ron , ditemukan pada d i f raks i Thomson^efek trowong-

an dan la in- lainnya.

Sehubungan dengan dualisme te rsebut marilah k i t a periksa ge­

j a l a difraksi pada celah yang sempit, yang lebamya misalnya 2 Aa;

Andaikan pola d i f raks i yang t e r j a d i l e -

barnya 2w dan jarak antara celah dengan

t a b i r lt maka berlaku sangkutan, untuk a

k e c i l :

s i n a = t g a = y = - § ( I I I . 2)

Kalau yang berdifraksi e lektron, maka y-=

-£- i di mana p adalah pusa inula - mula

28

elektron sebelum melewati celah, sedangkan Ap perubahan maximal pusa

i t u setelah melewatinya. Karena Ap — h3 maka persamaan ( I I I . 2) s e t a -

r a dengan :

Ap Ax * ~ ( I I I . 2a)

Sudah barang tentu sangkutan i n i juga berlaku bagi foton.

Aa? di s i n i merupakan ketidak-tepatan dalaro menentukan pos i s i

elektron waktu melewati celah; sebab, pada saa t i t u k i t a hanya tahu

bahwa posisinya di dalam celah, antara batas k i r i dan batas kanan s e -

hingga posisinya dapat dikatakan di tengah celah dengan ket idgk-tepat-

an Aa: sebelah k i r i atau kanannya. Ap adalah ketidak-tepatan dalam pe-

ngetahuan k i t a roengenai pusa e lekt ron . Sebab, meskipun semula k i t a rce-

ngetahui > bahwa pusa elektron-elektron yang menuju celah i tu besarnya

ps namun kenyataan pola difraksi membuktikan, bahw3 pada saat melewati

celah i t u elektron-elektron mengalami perubahan pusa sehingga :nereka

jatuh pada bagian t a b i r selebar 2w, Jadi pada saat i t u k i t a hanya da-

pat ntengetahui bahwa pusanya p , dengan ketidak-tepatan Ap.

Maka dari i t u k i t a dapat menafsirkan persamaan ( I I I . 2a) se -

bagai suatu hukum alam yang menyatakan bahwa., apabila k i t a ingin me-

ngetahui pos is i dan pusa suatu elektron secara bersama , dengan me-

ngadakan pengukuran, maka pengukuran i t u akan menghasilkan harga bagi

pos i s i x dan pusa p dengan ketakpastian As dan Ap yang produknya

Ap AJC - h, Bila k i t a memperkecil Ace dengan mempersempit celah, maka

pola difraksi akan melebar, yang b e r a r t i bahwa Ap akan membesar sesuai

h dengan Ap = — ., dan sebaliknya.

Andaikar. sekarang yang mengalami dif raksi adalah cahaya, ma-

29

"ka k i t a dapat mempersoalkan b i l a fbtonnya sampai di celah i t u dan be-

rapa besar energinya pada saa t i t u . Karena paket gelonibang foton i"tu

ineinp-unyai panjang t e r t en tu ndsalH3'a 2hy, naka k i t a hanya dapat rsenga-

"takan bahwa foton i t u satnpai d i celah pada s a a t £ dengan ketidak t e -

patan A* = &y/a. Paket yang mempunyai panjang t e r t e n t u i n i tersusun

oleh beberapa gelcrnbang elektromagnetik yang r iak gelonibangnya berada

dalam jangkau X + AX jsehingga pengetahuan k i t a mengenai tenaga foton

juga tidak tepa t . Paling banyak k i ta hanya dapat mengatakan bahwa

energinya E dengan ketakpastian A2? - h Av atau (ha / X2)&\ = p2o &\/h.

Kalau k i t a kalikan ketakpastian AS1 mengenai energi foton de-

npan ketakpastian At mengenai saa t foton i tu safflpai di celah ,maka k i t a

peroleh &E At = (Ly/a)(pze LX/h) = p 2 Az/ L\/h karcna AX = h p /p 2 ,maka

k i t a dapatkan sangkutan , AF At = | ( I I I . 2b)

Persamaan ( I I I . 2a., h) dikenal sebagai sangkutan-sangkutan ketakpas t i ­

an Hei$eriberg3 yang dikemukakannya dalam tahun 1925. Sangkutan yang

h lebih tepat yalah : Ap A* - AS At = 7—.

Menurut EeiseribeTg kelemahan t eo r i Bohr dan t e o r i semi-kla-

sik pada umunnya t e r l e t ak dalam penggunaan o rb i t - o rb i t elektron dalam

modelnya. Sebab b i l a edaran elektron d ike tahui , yang b e r a r t i bahwa po-

sis inya diketahux tepat se t i ap s a a t , maka tidak mungkin k i t a mengeta-

hui pusa dan pusa-putamya, sehingga energi atom i t u tak diketahui .Ja-

di., pernyataan bahwa atom berada dalam keadaan s tas ioner dengan energi

t e r ten tu b i l a elektronnya beredar dalam o rb i t t e r t e n t u , merupakan per­

nyataan yang bertentangan dengan hukum alam.

30

Bagi Eeisenbeipgi paling banyak ki ta hanya boleh mengatakan,

bahwa posisi elektron dalam atom i"tu adalah diketahui dengan ketakpas-

tian sebesar Ax = r/2 karena i a berada di dalam rusng sekitar i n t i

atom dengan ruj i r . Dengan demikian maka pusanya terletak antara nol

I, dan Ap = — sehingga k i t a dapat "menulis p = h/2vp, Inilah harga yang

kit:a inasukkan dalam perb.itun.gan aras tsnaga dasar atoa-atom komplex .

Sebab ia sesuai dengan syarat kuan-tum Bohr pr = h/2ir untuk aras dasar.

Kalau ki ta ingin menggunakan sifat gelonibang elektron9 maka

ki ta pergunakan teor i de Broglie yang menyatakan bahwa X = h/p. Apabi-

la atom berada dalam keadaan stasioner, maka gelombang inipun s tas i -

oner, sehingga dapat ditulis 2nr •= nX, sehingga 2-nr - nh/p atau pr =

nh/Biti sekali lagi sesuai dengan syarat kuantum Bofw.

Dengan sangkutan in i sangatlah mudah untuk memperoleh rumus

Bohr. Sebabs keseimbangan gaya lesat dan atraksi l i s t r ik berbentuk p 2 /

mr = ze^/i-nzr1 sehingga p2*>2 = m2e2x,/4-nz. Bila kita masukkan pr = nh/

2ir_, maka m 2e2i»/47re = nzh2/4ij2. Dari relasi ini T dapat dicari yaitu

T - n^h^E^/Tmse2-. Kemudian p kita inasukkan dalam E - ., zez/8ne* yang

langsung memberikan aras-ai-as Bohr E = - ms2ek/8c':- h2n2. n

111.2. Mekanika Geloabang

Cara mengasosiasikan keadaan stasioner di dalam atom dengan

suatu cara getar gelombang stasioner elektron di dalamnya sangatlah

inenarik, sehingga Schipoedtnger mengembalikan masalah aras energi atom

pada penyelesaian persamaan diferensial untuk gelombang materi. Kalau

djS Broglie menyertakan gelombang materi pada sebuah elektron bebas

yang pusanya p sehingga X = h/p^ maka selayaknya frekuensi gelombang

31

i t u to = 2-aB / hs d i mana E = pz/2m untuk sistam yang non- re la t iv i s t ik .

Dengan demikian raaka gelombang materi tersebut dapat dinyatakan seba­

g a i :

ip = $ e*v- { - ^ p ( Bt - px) } ( I I I . 3)

Persamaan d i fe rens ia l untuk gelombang i n i dapat diperoleh dengan men-

ca r i hubungan an t a r e ke-turunan-kelrurunan $. Misalnya kalau k i t a d i -

fe rens ias i fungsi gelombang i n i terhadap t dan a:, raaka

Dengan deraikian maka diperoleh asosiasi antara operator d i fe rens ia l

dengan besaran-besaran f i s i s :

E = iV~ a p = ~ i¥ ~ ( H I . 5a, b )

di mana # •= k/2v. Oleh karenanya, maka b i l a k i t a mempergunakan sang-

kutan E =P2-/2m k i t a akan mendapatkan persamaan gelombang non - r e -

l a t i v i s t i k <tv . _

3t 2m ax2 ,-y ^i_Mi i f i (ill . 6a)

Untuk suatu sistem dengan tiga dimensi yang mempunyai poten-

sial V(*)3 kita dapat menulis ;

a ||= - ̂ V2* + 7V; (III. 6b)

Persamaan ( I I I . 6b) dikenal sebagai persamaan gelonibang Schvoedinger»

ysng gayut waktunya. la berguna un"tuk nienyelesaikan masalah yang gayut

waktuj misalnya penyerapan foton oleh atom dan sebagainyac Kalau k i t a

hannya ingin mencari keadaan s tas ioner atom, maka k i t a masukkan ^ =

X exp (- 2TT i Ei / h)^ suatu fungsi gelombang yang se laras dalam waktu.

32

Hasilnya adalah ; ,/ 2X = §£- ?2X + ^X ( I I I . 6c)

Fersamaan Schroedinger tak gayut waktu i n i biasanya d i t u l i s sebsgai

ber ikut :

v*x + | * (E ~ V) x » 0 ( H I . 6d)

Apakah a r t i f i s i k dari gelombang roateri ani? Kita mengerti

a r t i f i s i k dar i gelonibang elektrotnagnetik yang men.yert.ai foton; sebab

k i t a dapat mengukur medan elektromagnetik. Berbeda dengan gelcmbang

elektromagnetrik £. dan H.s rupanya tak ada besaran f i s ik yang dapat

diukur dan dapat diasosiasikan dengan x- Metnang t idak semua medan da-

pat k i t a ukur secara f i s ik seper t i medan C dan J?. Kalau k i t a nyaxakan

gelonibang eiektromagne-tik i t u dengan A. dan i> ya i tu potens ia l -potens i -

a l vektor dan skalarnya, k i t a pun tak dapat mengukumya. Ini lah sebab-

nya mengapa medan-medan i n i bers i fa t invarian terhadap transformasi

t e r a . Juga medan spinor atau tensor rank tengahan tak dapat diukur s e -

csra f i s i k .

Oleh karenanya maka Born tidak mengambil £ . untuk d i se ja ja r -

kan dengan x dalam i n t e r p r e t a s i f i s i k , melainkan JC-I2 dan jx12 • Bi la

12

| £ . | 2 merupakan ukur-an bagi in tens i t a s caheya,a"tau kerspatan foton di-

suatu tempat maka | x | di tafs irkan sebagai ukuran kerapatan zarah ma-

t e r i d i tempat yang bersangkutan. Bila k i t a hanya membicarakan satu

zarah mater i i l s a j a , misalnya suatu elektron,maka | x l 2 merupakan ukur­

an kebolehjadian untuk raenemukan zarah tersebut di suatu tetnpat. Taf-

s i ran kebolehjadirn in i dikemukakan oleh Born dalam tahun 1927. Dengan

deir.ikian maka x "tidak boleh mengambil harga yang tak berhingga di ma-

napun juga; baik untuk r ~ 0 atau r -*- » atau di tempat l a i n .

33

Marilah kita sekarang menguji "raekanika gelombang ini pada

atom hidrogen. Kita atabil potensial Coutanb yang bersifat simetri bo­

l a , sehingga V — - ze^/ir,^, Dengan potensial ini maka persamaan ( I I I .

6d) berbentuk : .5

V2Y + iE (E + *S1- ) v = 0 CHI. 7)

Seperti la2imnya5 untuk memperroudah perhitungan , kita ambil sistem

koordinat bola,karena V bersimetri bola. Dalani sistein koordinat ini

persamaan ( I I I . 7) menjadi :

* 3— f«2 &\ . J^_ 3_ („-„ fl 1)0 . , 1 l!x .

%" (E 4. s g 2 j v - a ( I 1 1 - 8 )

F ^ r * x " ° Kita usahakan pemisahan antara variabel-variabel r , 9 dan <J> 'dengan me-

ngambil x (rQ$) = R(v) H(Q) $($).Substitusi ke dalam persamaan(III.8)

dan kemudian pembagian dengan x = %> menghasilkan :

1 d t i&R\ _ 2 3 t . 35 v J12" dF l d ? 5 r2 sin e IF l"™ 3? J +

3 a2ff , |m r „ _S£_\ _ n

( I I I . 3a)

di raana untuk sementara kita tu l i s S = <E)(Q) s> (§) , Sudab barang tentu

kita dapat mengatur suku-suku dalam persamaan ( I I I . 9a) sehingga sete-

lah mengalikan dengan J*2 :

,2, Id ( 2 d& "> J. ^ ze r

L %mE 2

1 9 f . . SSi 1 32S , T T T „ ,• ,

3*f

Ruas k i r i tak bergant:ung pada e dan $ sedangkan ruas kanan tak bergan-

"tung pada y.Hal i n i mentinjukkan bahwa raereka masing-masing sama besar

dan konstan. Sebab, perubahsn harga or» di sebelah k i r i t idak mempenga-

ruhi harga ruas kanan. Nemakan tetapan i n i X.Dengan demikian maka t e r -

j ad i separasi persanaan ( I I I . 9b) menjadi dua bagian y a i t u :

2? ^ w + np~T Tirw

-•^—«• *T C sin 6 | | ) + . J? fl f^f + X3 = 0 ( I I I . 10b)

trz.n 6 36 *• 36 ; sin* e 3(J)2

Penyelesaian persamaan ( I I I . 10b) dengan S(B$) = O(Q) $ ($) mengha-

silkan separasi lagi s e p e r t i di atas :

sehingga dengan segers dapat k i t a t u l i s $(<)>) ^ exp (im<j)) dengan m = 0^

+_13 +_23 . . . . . . . . agar i a mempunyai periode 2TT dan S (6 ) 'v PAoos 8 )

poVinomium Legendre sekawan dengan |m| = Z dan X = Z(Z •*• 2) di mana

Z - 0S li 2j agar expansi 0 putus pada suatu suku dan har-

gsnya te tap berhingga untuk aos & = +_!.

Bila penyelesaian in i k i t a masukkan kembali ke dalam persa-

raaan ( I I I . 10a) maka k i t a peroleh :

1 * f r 2 ^ ) + { K 2 + * H « 1 . HJgL } R=0 ( H I . 12a) r 2 dr v dr ' l 4TXZ tyl V r 2 '

di nana <2 « jU' ' • Dengan menganibil 2? negatif untuk raendapatkan aras

35

energi atom hidrogen, dan menaroakan tc2 = - % a2 s e r t a 2yge2/i?Tre#2oi= 6

dan keinudian menulis or = p . maka persamaan ( I I I -12a) berubah menjadi:

1 d , zdR^ , r £ , m±J}\ $ = 0 ( H I . 12M

Penyelesaian persamaan (III. 12b) ini dapat diperoleh dalam daftar na-

tenatik dan bentuknya :

i 21 + 1 i?(p) = p" exp (-%p) £ (p> (III. 13)

n + I

dengan syara t , bahwa 3 = n agar J? berhingga untuk p -*• » di mana n b i ­

langan a s l i dan I <_ n - 1 atau Z = 0S ls 2, , t . . n - 1. Bila k i t a ma-

sukkan harga a dan 6 k i t a peroleh kembali rumus Bdhz> E = - ( us2e l+ ) /

(ae2?!2??2). Terbukti bahwa mekanika gelombang dapat memberikan h a s i l

yang lebih baik dar i t eor i Bo7zi% sebab i a tidak hanya menghasilkan

aras Bohr keinbali t e t a p i juga bilangan kuantum azinmt Z dengan harga

yang benar. Bilangan-bilangan kuantum (ns Zfi m} berhubungan dengan

konstante-konstante gerak yakni energi , pusa-putar dan proyeksi pusa

ptitar pada sumbu Z,

I I I . 3 . Metode Aproxiaasi

Setelah memperlihatkan keunggulan mekanika gelorribang a tas

t e o r i Bohr, raarilah k i t a membicarakan di s i n i kemungkinan perluasan

penggunaannya pada atom-atom yang lebih komplex. Sepert i diketahui da­

r i paragraf yang l a lu fungsi gelombang atom hidrogen mempunyai bentuk:

7 w 21 + 1 * - ( r . M ) =n

nim P e L (p) PnAQ)exp Um0 ( I I I . 14a) n + I

36

Untuk t ingkat dasar n - ls I ~ 0 dan m ~ 0 sehingga persanaan.

( I I I . l^a) mendapatkan ientuk :

hoo ~ Bioo exp {" ''- a r ) ( I11, lt+b)

di mans a = Z< = (2Try Zi32/zh2) dengan z - 1 dan $200 s u a t u f a k t o r noi£,~ 2

mal i sas i . Faktor in i diperlukon raengingat bahwa i^| d i tafs i rkan s e i a -

gal ukuran kebolehjadian menenukan atom hidrogen dalam keadaan s t a -

sioner (ntm) 3 atau dengan elektron dalaa o r b i t yang bemomor kuantuin

(nZm) tnen-urut i s t i l a h Bohr, Dengan detnikian metes syarat yang har-us d i -

nenuhi yalah ;

/ | * f dV = 1 ( u =nsl:.n ) ( I I I . 15a)

dan A' , TTieroperoleh harga t e r t e n t u . Persamaan ( I I I . 15a) dinamakan sya-

r a t normalisasi-, yaag inengatakan bahwa noma dari ty > b i l a disnggap

sebegai vektor basis dalam ruang vektor , yang disebut ruang Hilbeirt.

adalah satu. Sangkutcn la in yang penting y^lah. bahwa perkalian dua

buah vektor ynng t idak saana, misalnya it. dan iji.. b i l a diintegralkan di

seluruh ruang hasilnya nol , Mereka dikatsksn ortogona.l. Dengan demiki-

an^'rcaka set vek tor-vekt or ty- lengkap, Ortonornialitas in i dapat dinya-

takan dengan

/ %\ i> dV = fi ( I I I , 15b) fl tit ni?t

di mcna 5 = 1 b i l a n - m dan 6 = 0 b i l a n 4 rn. ran run

Kalau k i t a roempunyai stom helium dengan. satu e lek t ron , maka

ia menyerupai atom hidrogen yang muatan int inya z = 2 . Oleh karenanya

roaka fungsi gclombangnya untuk keadaan dasar serupa dengsn persamaan

37

(III. 14b) hanya saja kita harus mengganti a dengan 2a,, karena z = 2.

Fungsi gelonbang yang lengkap dengan faktor normalisasinya ditulis ;

^100^ ~ (a3A)'S eap (-or) (III. 16 }

Aras energi dasarnya adalah E = - (.4mez/8h2zz) - 4 r sebab 2 = 2 dan

n = 2. Bila kita menyatakannya

dengan a = (2 me2/eh2) = — s maka

(III. 17 )

V - " 2e2a - 9 f _ f l _ "} *1 STTE ' l 47TEQ J

Karena di dalam atom helium yang netral terdapat dua buah

elektron dalam keadaan n =• 13 1 = 0 dan m = 0.. maka masing-masing mem-

punyai fungsi gelombang dan energi seperti yang dinyatakan dalam per-

samaan ( I I I . 16) dan persamaan ( I I I , 17).

Kalau interaksi total- l is tr ik antara kedua elektron i tu da-

pat dianggap merupakan gangguan kecil , maka kita dapat mengatakan,

bahwa tenaga dasar atom helium itu sebesar : E = E + Aff di mana : o

E = - rf(|^) = - 4[-/~) ( I I I . 18 )

Untuk menghitung Ai? kita pergunakan teori gangguan taraf pertama de­

ngan perandaian bahwa gangguan yang kecil hanya menyebabkan pergeseran

££ yang kecil juga pada E dari E dan hanya menyebabkan perubahan A4>'

ysng kecil saja pads -J/ dari ty .

Persaraaan Schroedinger ( I I I . 6c) untuk satu elektron dapat

kita tul is sebagai persamaan harga-pribadi Ilty - Ety di tnana operator

H =• V(r) - (^V2m)V2. Untuk suadu sistem dengan dua buah elektron, su-

38

dah barang tentu i|/ = ^ (? „ r ) dan H = V{r ) + F(r ) - (tf2/2m ) o l 2 o l 2

(V2 + V2) sesuai dengan bentuk JzamLltonian S = (p2. / 2m) + (v\/2w) + 1 2 o 1 ~2

y •* 7„ b i l a in t e raks i to lak l i s t r i k antara kedua elektron itru d iaba i -

kan. Andaikan in teraks i i n i kec i l pengaruhnya dan dapat dianggap seba-

gai gangguan k e c i l terhadap in te raks i utama, ya i tu antara kedua e lec ­

t ron tersebut dengan i n t i atoms maka k i t a dapat menulis :

XH7 = e /4%z ?10 j. d i mana X adalah paranieter yang kec i l dan r 7 „ jarak

antara kedua elektron yang tolak menolak,

Analog da r i persamaan ( I I I . 6c) dalam ha l i n i adalah :

(S + XH') (i|> + Xip ?> = (E + AS) (i|i + \i<>) ( I I I . 19) o o o o

Di dalam persamaan ini ̂ dapat disusun dari perkalian fungsi gelom-0

bang, misalnya untuk n = 1 dar i perkalian t ingkat dasar kedua elektron

dalam atom; jadi i// , = i|i, (?_) i{/, (i>_),Sebab H = H(l) + H(2) dan ' J ol loo 1 loo 2 o

E = E.(l) + EA2) d i mana index-index 1 dan 2 menunjuk nada masing-

masing elektron. Kita dapat meyakinkan d i r i akan kebenaran bentuk pro­

duce T|> i n i dengan mengecek langsung,, b i l a gangguan tak ada, ya i tu A=0 ,

yang berakibat LE = 0. Untuk keadaan i n i benar-benar dipenuhi :

{ E(l) +E(2) } hoc<r2) hoQa2) « { E^D+E^) } ^ o ' V W ^

Kalau 3cita kerjakan perkalian dslam persamaan ( I I I . 19) maka

k i t a akan menemuken bahwa :

B i> - E \p ( I I I . 20a) o o o o

XH \i>' + XHe ty * M ty + XE \b> ( I I I . 2 1 a) o To o oY

Bagian-bsgian yang la in tidak relevcn bagi perhitungan energi dalam

pendekatan taraf pertama i n i . Persamaan ( I I I . 20a) baru saja k i t a tun-

39

jukkan kebenarannya. untuk n = 1. l a be r l aku dan dipenuhi juga untuk

semua harga n yang l a i n , seh ingga dalam bentuk urnum :

H ii> = E li ( I I I . 20b) o " c i &i csfi

Untuk raenghitung AF k i t a pergunakan s i f a t kelengkapan d a r i

v e k t o r - v e k t o r b a s i s ruang Eilbert yanj? t e r s u s u n d a r i ^ sehingge da-

p a t k i t a expansikan iji1 = Y c . ij/ . . S u b s t i t u s i ke dalain persainaan ( i l l . *s t £72.

21a) roenghasilkan :

X J a. H TII . + Xi?-> = AS ib + >.E I a. ip . ( I I I . 21b) ^ i. oo% on rcm on L. % o% 1. t

Dengan mengalikan se lu ruh persamaan ( I I I . 2 1 b> dengan sua tu v e k t o r b a ­

s i s % dan mengintegralkan kese luruh ruang , k i t a temukan :

X J" o. (E . E ) S . = &E o ~ X J vj. H'> dV ( I I I . 2 1 c) ** 1, oi on rm mn J om ron v

J i k a m - n . maka ruas k i r i n o l dan mengingat bahwa 6 = 1 untuk m=l

dan 6_ = 0 b i l a m / n.persemaan (111 ,21 c) nieihberikan mi ' as-

hE = X / ib H^ dV ( I I I . 2 2 a)

J on an

Untuk m 4 « j maka suku pertama ruas kanan n o l dan

q„ (E - E ) = f * i?'> dfy ( I I I , 23)

Dari parsamaan ( I I I . 23) i n i k i t a h i t u n g c untuk semua m ? n s e h i n g ­

ga ko reks i iji' t e rhadap ty dapa t d i c a r i .

Kalau k i t a roasukkan ha rga -L dengan n = 1 y a i t u ^ 7 ~

i{>, f r - , ^ - f r j = (a3/-n) exp { -a(r + r 0 J }., ke dalam persamaan ( I I I -

22 a ) maka d ipe ro leh

« 3 , 2 ei \ [ exp{..a(rj + rj] _

M= f y -h J J — 3 ^ — ~ dTi <% ( i n - 2 2 h)

40

Elemen volum dr. di s i n i sama dengan r? sin <&. d&. d&. dr. (i = 3 , 2J

sedangkan r7«, dapat k i t a nyatakan dengan r^s 3f0 dan sudut ft yane d i -

:ipit melalui d a l i l cosinus. Dengan sed ik i t perhitungan dapat ditunjuk-

kan, bahwa h a s i l in tegras i i t u adalah

AE = | ( | i | ) (111.22 c)

Dengan demikian maka tenaga dasar atom helium dalam t a ra f pendekatan

i n i : E = E -f LE * - 2.7S(e2a/8-nc) atau \E\ = 5,5 r masih be r se l i s ih o j y

0*3 r dari harga experimental, Dengan mcnggunakan aproximaei t a r a f

taraf kedua dan seterusnya sudah barang tentu k i t a dapat mendekati

harga te rsebut .

Keunggulan dari pada metode pendekatan dalan mekanika gelom-

bang i n i yalah bahwa k i t a dapat bekerja lebih sistematik dengan dasar

yang lebih mantap dibandingkan dengan cara k i t a yang terdahulu.

Teori gangguan in i bukanlah satu-satunya ja lan untuk menger-

jakan pendekatan dalam mekanika gelombang. Ada cara-cara l a i n , s epe r t i

metode v a r i a s i , yang tidak kalah pentingnya dar i t e o r i gangguan. la

dipergunakan untuk menghitung atom-atom yang lebih komplex . Malahan

untuk atom-atom yang mempunyai elektron banyak dipergunakan apa yang

disebut metode medan konsisten d i r i a metode Hartvee - Fook dan seba-

gainya.

Untuk menerangkan s t ruktur multiplet mekanika gelombang t e r -

paksa memasukkan spin elaktron beserta momen magnetiknya sebagai sesu-

atu yang berasa l dar i luar dan diperlukan untuk melengkapinya. Peme-

cahan sesuatu aras energi menjadi beberapa t ingkat sebagai akibat dar i

in teraksi momen magnet i t u dapat dihitung juga dengan cara pendekatan.

41

I I I . 4 . Mekanika Kuan-turn Rela t iv i s t ik

Pemasukkan spin sebagai unsur external yang dibutuhkan ke

dalam mekanika gelombang merupakan salah satu kelemahan dar i mekanika

gelombang Schroedinger. Lagi pula perbandingan giromagnetik antara mo-

men, magnatik dan pusa-putar spin elektron dalam atom tak dapat diper-

oleh kecuali mempergunakan t e o r i r e l a t i v i t a s . Oleh karena i t u maka d i -

usahakan orang untuk menemukan mekanika kuantum yang r e l a t i v i s t i k un­

tuk mengatasi kelemahan-kelemahan in i dengan harapan juga s balwa t e o r i

baru i n i akan dapat menjabarkan s t ruktur halus atom hidrogen, yang t e -

lah nyata merupakan konsekwensi da r i efek r e l a t i v i t a s .

Bila k i t a pergunakan persamaan E2 - m2a* + p 2 e 2 maka k i t a

dapatkan setelah subs t i t u s i E dan p. masing-masing dengan operator -

operator d i ferens ia l yang bersangkutan

(#2c2V2 - Jt '2 3 |T - m2^) * = 0 ( I I I . 24 a)

Dengan membagi persamaan ( I I I . 24 a) dengan #2c2* dan menginsafi bahwa

ict dalam t e o r i r e l a t i v i t a s dapat k i t a jadikan koordinat yang ke em-

p a t , maka persamasn ( I I I . 2 4 a) memperoleh bentuk yang lebih kompak

yakni :

IrW" " K2* = ° (U = 1»2*3*4) (III .24 b)

dengan K. « mc/~Hl, Dalam persamaan ( I I I . 24 b) dipergunakan konvensi Ein­

stein j, di mana produk dengan index u yang sama harus dijumlah. Persa­

maan i n i dikenal sebagai persamaan Klein •- Gordon. Karena operator d i ­

ferens ia l waktu muncul dalam kwadrat, maka ia aenimbulkan kesuli tan

dalam t e o r i pada waktu i t u . Untuk memahami i t u marilah k i t a kalikan

persamaan ( I I I . 24 b) dar i k i r i dengan konjugat komplex $ yakni i|i*.

42

Kalau kemudian i a dikurangi dengan T/» yang k i t a kalikan pada konjugat

komplex persamaan ( I I I . 2 4 b ) , maka k i t a peroleh sangkutan :

$*V2^ - TJIVV = ** fzftz" ~ * M * 2 - ( H I . 2 5 a)

Persamaan i n i dapat k i t a t u l i s sebagai :

div [***« - w*) " sb (** H* " * 5$ ( n i ' 2 5 b)

Kalau k i t a namakan :

p S 3 L fo* *£_. .* 2 g . ) (111.26 a) p 2mc Ly c3£ • cot >

h " i F (**V* " *V**5 (HI.26 b)

maka persamaan ( I I I . 25 a sb) t idek la in menyatakan persamaan kontinu-

i t as atau hukum kekekalan keboleh jadian x— = 0. Namun r>apat keboleh y

jadian yang dalam t e o r i non - r e l a t i v i s t i k Schroedinger p = ty* ty s&lalu

dill p o s i t i f , d i s i n i p dapat negat i f karena ia ditentukan oleh $ dan — .

Maka dar i i t u d ica r i suatu t e o r i r e l a t i v i s t i k yang l i n i e r

sehingga p = I{J*^ . Lin ier i sas i i n i dilakukan oleh Dirac yang menganibil

E = (x.p.a + &ne2 d i mana a dan 8 harus ditentukan kemudian . Kalau E VIt

i n i harus memenuhi sangkutan r e l a t i v i s t i k yang lazim E2 ~ p2c2+ m2ol* s

maka harus dipenuhi persyaratan :

o? = 32 = 1 ( I I I . 2 7 a)

a . a . + o.ct. ~ 0 ( I I I . 2 7 b) 1- 3 • J i

a.6 + go. = 0 ( I I I . 27 c) it %

Besaran-besaran yang mempunyai s i f a t yang terkandung dalam persamaan

43

( I I I .27 ) i n i dapat dinyatakan dengan matrix-matrix. Dengan pengertian

i n i raska persamaan gelombang r e l a t i v i s t i k Dirac dapat ditrulis

i}i Ht + ** % *i H" ~ **** = ° (HI.28 a) "*£

Untuk s i s t im yang s tas ioner sudah barang tentu berlaku

iyto a . ! & - + (ff _ eme2) - 5 ( I I I . 2 8 b) t dX.

Bila s is t im i t u ber in te raks i dengan raedan alektroinairmetik, caka sesuai p.

dengan resep mekanika k i t a harus mengganti p dengan p - — A , di

mana A = (A.s (ji). Maka dar i i t u persamaan ( I I I . 2 6 b) berubnh menjadi

We a, ( S - - TfcA.ift) + [E - e$) - Smc2 $= 0 ( I I I . 29 )

Andaikan A. = 0 don * = -, .maka persamsan ( I I I . 2 9 ) berbentuk

i.

Sebelun! berusaha menyelessikan persamaan ( I I I . 30 ) t e r l eb ih da-

hulu k i t a akan kambali pa da persamaan ( I I I . 28) yang berlaku untuk

elektron bebas. Bila k i t a cob a penyelesaian p*u exp{*-i(Et-p.x.)/%} ma-v %

ka i a menghasilkan sangkutan E - txt.p. - $mc2 — 0. Bagi elektrcn yang

diam p . = 0 dan E = + Bmc. Karena k i t a mengetahui dari rumus r e l a ,2n

t i v i s t i k E = + a Jp2- + m^cF s bahwa untuk p = 0 seharusnta E = +_ mc1

maka je las lah bahwa 8 dapat dinyatakan dengan sebuah matrix yang meni-

punyai harga Glemen-elemen + 1 dal?.m diagonal utamanya. Dengan demiki-

an maka v. harus mempunyai dua buah komponen yang sesuai dengan harga-

pribadi di a t a s , nisalnya u = (u s u ) . Sudah barang tentu ia berben­

tuk kolom b i l a berada di belakang matrix 0.

hk

Dalam persamaan ( I I I .27 a,"b«,c)' k i t a dihadapkan pada empat;

"buah matrix yang sa l ing b e r a r t i komutasi yakni a_ a„ a , dan 3 . Ke—

"betulon ket ika Pauli oengusahakan pemasukan spin elektron dalam meka—

n ike gelombang SchroedCnger i a terpeksa mempergunakan matrix-matrix

berukuran (2 x 2) y a i t u :

(o 1 0 -i i 0 °3 =

1 0

0 -1 ( I I I . 31 )

yang kemudian t e rkena l sebagai matrix-matrix Pauli-. Keadaan spin e lek­

tron dinyatakan dengan apa yang disebut spinor : masing-masing untuk

spin ke atas dan ke bavah. Operator pusa-putar spin d i t u l i s s * y jt 5

dan interaksinya dengan medan magnet S dinyatakan sebagai -ii . S di 0

man a y » 2p_ 5 . Jadi y4 S « p» c?.2J dan p„ momen magnet sa tu magneton.

Dengan mudah dapat ditunjukkan, bahva matrix-matrix i t u sal ing berant i

komutasi. Tetapi Jumlahnya hanya t i g a buah. Untuk matris-matrix yang

berukuran ( 2 x 2 ) tak ada lain matrix yang tak bergantung l i n i e r pada

CF-J CT„, o , dan I (matrix satuan) yang dapat ditemukan dan be r a r t i ko­

mutasi dengan matrix-matrix Pauli i t u semuanya.

Oleh karenenya maka haruslan dicoba representasi matrix yang

ukurannya lebih besar . Ternyata ada empat buah matrix ynng berukuran

C t x M yang dapat memenuhi perswnaan ( i l l . 2 7 a ,b ,c ) ya i tu :

( I I I .32 ) 0a1

o, 0 » o , *

€t

0 °2 a2 °

* °3 = 0 a-

*5

°3 ° I 6 J

J 0 -I

0

0

- J

Dengan deaikien maka u harus suatu besaran berkomponen empat. Namun i a

bukan suatu vektor empat seper t i p atau A dan x , melainkan suatu Mi y u

US

spinov. sebab i a mempunyai s i f a t transformasi yang berbeda.

Kalau sekarang Jcita is ikan persaaiaan ( I I I .32 ) Ice dalao per -

sanaan ( I I I . 28 a) dengan ip =• v. essp { - -i(Ei; ~ -px)/U } . maka k i t a pe r -

oleh dua buah persamaan terkqpel ya i tu i

c a. p . « - (R •• 7nez)u, » 0 ( I I I . 33 a) •v - 1 - -

e o. v. u^ - fi? + rnc^Ju - 0

Nyata dari persamaan ( I I I . 3 3 a,b").. bahwa :

( I I I .33 b)

+c a . p.

H&~ "-> +a a. p.

( I I I .34a ,b )

Ei la E > mcz. maka u, > u sedangkan untuk E < ~mc2 maka u > u, . Ka-•h — +

rena pada u. bekerja matrix a, maka u harus mempunyai dua buah kompo-

nen. Kita dapat metnilih u sedemikian hingga i a melukiskan keadaan

elektron dengan spin ke atas atau ke bawah yang masiug-masing merupa-

kan fungsi pr ibadi dar i operator o , .

Jadi andaikan E > mo2 u > u_ maka k i t a dapat p i l i h :

u+ = atau ( I I I . 35 a)

sehingga dengan persamaan (III, 34- b) kita dapat menulis

e o . p . — l -u~ ~ E + no2"

1

[0) atau

J, (III.35 b)

Sebaliknya untuk E < - moz k i t a ambil, karena u_ > u , bentuk-bentuk;

u = 1

[o\ atau

'o

w

46

Jad i persamaan ( I I I . 3 3 ) menjadi erapat buah penye lesa ian

be rben tuk spznor yang komponennya masing-masing empat buah . Secara

explicit '• r 1 ~\ f n

1

aCp1 ~ i p 2 ) M2 =

ap 3 E = me2

c(p2 + i p2)

* * 2 -

"3 =

E +~mci2

sp in ke a t a s

\E\ f ma2-

- o(p1 + i p2)

\E\ +nc*

2

6

sp in ke a t a s

(E > 0)

* U4 =

E -h ma2-

E + ma1

spin ke bawah

\E\ + mcz

°P3

\E\ + mc£

0

1

s p i n ke bawah

( I I I . 3 7 a)

(E < 0)

( I I I . 3 7 b)

Keadaan men j a d i sangat be r saha ja b a g i keenpat spinov i n i b i l a e l e k -

t ronnya diam, sebab p. = 0,

1 1 1 , 5 . S t ruk tu r h a l u s atom hidrogen

Sebelum k i t a raengusahakan penye lesa i an persamaan ( I I I . 3 0 )

t e r l e b i h dahulu k i t a akan menye i id ik i s i f a t matematik beberapa bentuk

yang n a n t i mungkin muncul dalam usaha t e r sebu t .Per ta raa - tama k i t a t i n j a u

b«ntuk ( a . ? ) 2 a t au (o . ?) (a . 50 . Kalau k i t a menulisnya sebaga i

produk komponen masing-masing v e k t o r dan menggunakan s i f a t ant i -komu-

t a s i matrix-matrix Pauli :

o. c . = - o . a . f i / j J ( I I I . 3 8 a)

47

- 1 — dan sifatnya sebagai komponen pusa-putar spin s = -M a yang 5 dengan

persamaan ( I I I . 3 8 a ) 3 dapat d r t u l i s :

a . a . = £ E . .,. a, ft ?* j j ( I I I . 38 b)

dan. kenyataan bahwa a? = 2S sehingga secara singkat dapat dirumuskan :

^ Oj = S7y * i e.;j.feofc ( I I I . 38)

tnaka dengan mudah dapat "liper7.:'>.--,v^n bahwa :

a. r . a . ? . « o . a . ? . i>. = ??- - £ a. r x ? = I * • * J J * J «• J ( I I I # 3g)

Dengan cara yang sawa c?r>-~t k i t a buktikan bahwa operator a ,

p dapat d i tu l i skan sebagai :

o . p = (a. $) { (a. $)(a . p) } - (r , f>; {r,p -f -So, ( r x p)}

sehingga a.p = (o.vJfp + £ 5.B; ( III.<+0 )

di raana i = r x p , Persamaan (Ill.'i-O) i n i k i t a perlukan untuk menggan-

t i i»a. p dalam suku pertama perc-cjnean ( I I I . 30 ) atau persamaan ( I I I . 33

aj b ) . Tetapi s sebelum i t u k i t a pei\Lu mengetahui t e r l e b i h dahulu harga

pr ibadi operator ( c . i ) dalan h-.-Ss vak-tbr ruang Eilbert yang akan k i t a

pergunakan nan t i .

• 1 Kalau pusa-putar ti^v: . •- '•$ "ft a, maka tetapan gerak sistem

adalah pusa-putar t o t a l J - r-L ••• ]i -Odengan harga pr ibadi /3(3+!) b i l a

dipergunakan bas i s ruang Hilb&:'rt d i mana operator J2 mempunyai r e -

presentas i diagonal. Bi la k i ta kvadratkan bentuk dalam kurung i t u dan

mengingat bahwa a2 = £ GT = ? mal-.a

J2 = I2 + U 5 L +j#z ( I I I . 4 1 )

48

Besaran la in yang kekal adalah operator K yang k i t a de f in i -

sikan sebagai ber ikut K = Bfa. L + &. Bi la i a k i t a kuatdratkan besar ­

an i n i s dan mengingat bahwa (3 kamutacbif terhadap L dan J , sedangfc^n

82 * 1; maka .• <2 = (a. I -t~ }02- (v.L)1 + 2% 5.2 -h /i1. Adapun (a.L)2 =

i + i c l , d *• L). Karena : i f f . (L x L) — i e . .T. o- L. £ . =

•z.j.< A: -t j

( I I I . 42 )

naka k i t a dapat menulis kenibali :

K2 = I2 + \L c.L + M1 ( I I I . 4 3 )

Dengan memasukkan persamaan ( I I I . 41 ) ke dalam persamaan ( I I I .43) k i t a

p e r o l e h < 2 = . J 2 + | » 2 = <j + \)2 & ( I I I . 4 4 )

Yang menunjukkan, bahwa harga-pribadi operator tc pada basis yang sa-

ma yalah .< = + (3 + -A ji. Karena k i t a mendefinisikan. K *= ?>( a,Z + H )

maka harga-pribadi 5.2 yalah (+ < - 1) bergantung apa i a bekerja pada

u atau u_ .

Sekarang k i t a dapst kensbali ke persanaan ( I I I . 3 0 ) dan msflia-

sukkan spinor tl> = u sscp {- p CBt - p.arj}. Hasilnya yalah :

c a. p. u(p) + {E - (se2/4vcr) - Qmo2} u - 0

atau dengan mempergunakan u ;

2 c 3.5 u + (E •• ~ ™c2) «x * 0 - ( I I I .45 a)

2 c o.p u^ + (2 - ~—+ ma2) u = 0 ( I I I .45 b)

• • ^3 "3

Kita dapat mengandaikan u. = g(v) Y .7 ( 6<j>) dan «__ * £ /Xr) JT.7 (84O

1*9

33 untuk memisabkan l ag i fungsi r a d i a l g dan / dari bagian angularnya Y.«

Kita t e l an mempergunakan 3 dan 3' untuk menciri fungsi Y(§§)

karena 3 adalah bilangan kuantum yang berhubungaa dengan tetapan ge-

rak . Kita t idak lag i dapat menggunakan Z dan m, karena pusa-putar or ­

b i t a l tidak lagi kekal . Tetapi Z masih k i t a pergunakan untuk membeda-

kan pusa-putar o rb i t a l dari u r sebab b i l a 1 bilangan kuantrum u, make.

Z Z_ akan berbeda.

Dengan menggunakan sangkutan (III.UO) suku pertama persamaan

( i l l . 1*5 ) dapat d i t u l i s sebagai :

c o.p u_ - <ic<o.r) {-ijtj£- it (1 - K) f} Y.\ (III.U6 )

Efek dar i (o , f») terhadap Y.- yalah bahwa 0 akan membalik fungsi spin ±

yang terkandung dalam Y sebagai faktor. Dengan demikian maka Z akan

menjadi I , sebab 3 harus konstan, yakni 3 - 1>. +_jr>

ft

o c.p u+ = icft {%+(! + <> 9} yft (III.U60)

Faktor minus yang masuk di s in i disebabkan karena konvensi faktor fasa

pada perubahan dar i fungsi angular dengan Z ke Z__ dan sebaliknya. J a -

d i persamaan (111.1*5 a,b) dapat d i t u l i s sebagai berikut

- <# {% + (1 - *> f) * (* - | ~ ~ rnoz) g » 0 (III.l*7a)

icH {%+U + <) g] + (E - Y^-t-mc2) f = 0 (III.UTb)

50

dengran -metigambil f = F/r dan g « ff/r k i t a dapat nenyederhanakan pe r -

samaan i n i wenjadi

Wc @L - * T) = - (E - 52*£ - rac2] c (iii.^a a>

ldi» T y v r J

r c 2 i di nana a = hf—rgH adalah konstantre s-truktur fialus.Sudan barang t e n -

t u untuk atom hidroger. z — 1 ,

Kita bagi sekarang perseniaan ( I I I . 4 8 a,b) dengan }ia dan na-

nakka (£ -*• me2)/)ic ~ a^ . (E + n>cz)/%a = a„ dan p « p V a ' i , . Dengan

singkatan i n i raaka persamaan ( I I I . 18) neniadi

& - 3 ' - C t t r ^ * - « («•«• ' \dp p-* ^ v ^

& • 3 " - fc/lp? ' -s (i!1'"9b)

Kita dapat mencobakan bentuk penyslesaian seper t i pada penyelesaian

SdLirbdLjigev dulu. Tetapi , karena persamaan k i t a sekarang terkopel , ma-

ka k i t a coba

F = e " P p s lot pt> G = e"PpS htp* ( n i - 50 >

Substitrusi menghasilkan kcefisien dari e ' p p yang harus nol unfuk

setnbarnng harga -t, Rumus rekurensi yang k i t a peroleh adalah

(e -• t - <) e - at 7 + zdbt - •ag/aj b^2 = 0 ( I I I . 5 1 a)

( s f t + K ) £ t - 2>̂ ^ - zact - ^a2/a2 c ^ 2 * 0 ( I I I . 5 1 b)

3 i l a k i t a ambil index t = 0S make persamaan yang muncul, karena a - =

&„2 ~ ° s yalah :

51

Cs - <) a -f 3a b = 0 . (s + K)b - Zao = 0 0 o * 0 0

( I I I . 52 )

Karena h ^ 0 dan o ^ 0 , inaka persamaan ( I I I .52) hanya konsisten b i -

l a determines sekuleimya no l . Jadi

s .•= +_ ^ T i V ( I I I . 5 3 )

Dengan alasan yang serupa dengan -persyaratan pada deret Laguerre

21+1 L - (p) dalam penyelesaian Schroedinger di s i n i k i t a kehendaki juga

dere t F dan G putus misalnya pada suku ke t = n: ; dengan demikian

c' , - =• b , j = 0. Bila syarat i n i k i t a masukkan dalam persamaan ( I I I .

51 ) , maka k i t a jeroleh perbandingan c , / b , = • Ja^/a. . Kalikan per­

samaan ( I I I . 5 1 a) dengan a. dan persamaan ( I I I . 5 1 b) detigan ^a^al dan

kemudian yang sa tu dari yang l a i n , dengan mengambil t ~ n!. Karena

on,+1 = \i+i~ ° * m a k a terdapat :

{a(s + n' ~ «) + / aTaJ za} c^, = {^Oal (s + nf + K ; - a^ set} &^f

( I I I . 54 )

Jika kita masukkan di sini perbandingan c ,/b . maka kita oeroleh: n n

2-J a-A» ( s + n') = za (a~ - a J

Setelah harga-harga a1 dan a k i t a masukkan maka k i t a peroleh ;

B = m°z ^* T£FT^1/2 (I11-55 a)

atau dengan mempergunakan persamaan ( I I I .53) dan memilih tanda p o s i t i f

karena s > 0S agar d i t i t i k p = 0 F dan G berhingga :

E = maz {1 + - a 2 ° 2 y1/8 . ( I I I . 5 5 b) (n! + /tc2 _ 22a2

52

d i mana n' = Os 13 2S . . . . . . dan } »c| = j + j = i j 2S 33 . . . . Meskipun

secara nemurik rumus i n i sama dengan rumus Samevfeld namun in t e rp re -

•tasi dar i * "tidaklah sama dengan in t e rp re t a s i k.

Ditinjau dar i segi i n i t e o r i Diraa merupakan penyempurnaan

bagi t eo r i Schroedinger dan juga t e o r i Sommerfeld. Sebab i a memberi-

kan h a s i l yang t e l i t i dan i n t e r p r e t a s i yang benar. Kecuali i t u ia me-

ngandung unsur spin di dalamnya tanpa di masukkan dari luar .

Untuk mendapatkan had non-relativistik da r i persamaan Diraa

k i t a pergunakan persamaan ( I I I . 45 a,b) untuk menghilangkan u_ karena

untuk sistem yang tenaga tota lnya p o s i t i f u merupakan komponen utama,

sebab «__ -• 0 b i l a p -> 0. Kita peroleh bentuk :

(a a.p + a a.A) g + * _- (a a.p + a o.A) u+ + (B - ma1 - V)u^ = 0

( I I I .56 )

d i mana k i t a te lah mengambil A ^ 0 dan -i- • = V. J ika k i t a t u l i s B =

ma2 + E„p ., maka penyebut dapat d i t u l i s ; (2ma2 -f B„ - • V)" =

(1/2 wo2J {l + (ENF - V)/2me2\~1. Karena E - V « mc2 maka penyebut

i t u dapat didekat i dengan (1/2 mo2) [l - (E - V) / 2ma2}"1 . Maka

dari i t u operator (a.p) akan bekerja pada V. Dengan mengabaikan

E J4ir£ch terhadap E maka

(a a.p -f e a.A) -0—*- (a a.p + e. a.A) u^ -

jjj^ (a. grad V) (a.p)u+ + (E^ - V)u^ = 0 ( I I I . 57 )

Ki-ta dapat memperlihatkan dengan mudah, bahwa :

53

(a a.p + e a. A) = a2pz + ezAz + ce(d.p) (o.A) + Ca-A) (a-p)}

= - #2 c2 V2 + ezA2 - 2i% a e A. grad + iUce a rot A +

K a e a. (Ax grad) (III.58 a)

Jadi, suku pertama terurai menjadi :

i vz nz ^ e2^2 UK 7 , ^ &n - = ^

| £ - 5 . r l x gvad)} u^ ( I I I . 58 b)

Suku kedua b i l a diperlakukan serupa menjadi

j j g - C6.r § )(a.jp)(o.p)u+ = ^ f § r | ^ {r.p + «a. tf x pj} «^ - t #

( I I I . 59 )

Akhirnya persamaan ( I I I . 57 ) bentuknya menjadi sebagai ber ikut

sm<-c* v or NR J +

\ltc °'(A x 3rad) - ^ 2 ^ ^ } ^ = 0 ( I I I .60 )

Suku kedua t idak mempunyai analog won-re la t iv i t ik ; t e t ap i suku pertama

dapat k i t a iden t i f ikas i dengan persamaan gelombang Sch.roe.din.gev untuk

sebuah atom yang berada dalam medan magnet external. Apabila medan ex­

ternal tak ada, maka A = 0 s B = 0 '•

f ItluZ +E ae2 . eg2 1 dV - =y. _ , ( 111.61 )

Ketiga suku pertama te lah k i t a kenal , sedangkpji suku terakhir timbul

sebagai akibat in te raks i antara momen magnet spin elektron \i =-^—('6/2)

5>+

dengan momen magnet orbi+aliiya ya i tu : u- —^—~L. Tampak keunggulan t e ­

o r i Dirac karena spin timbul sendi r i da r i t e o r i yang r e l a t i v i s t i k .

Dalam t e o r i Schroedinger i a harus dimasukkan dan t idak t im-

b u l sendi r i s e p e r t i d i s i n i dar i t e o r i . l a dikenal sebagai i n t e r aks i

spin - o r b i t .

Suku (eM / 2ma) (a.B) adalah in te raks i ant era momen magnet

spin ii dengan medan magnet: external B a sedangkan suku (e/mo)A.p d i -

belakangnya, dapat d i t u l i s untuk medan yang konstan 1 = j f x r seba­

gai (e/2mo)(B x r).p = (e/2mo) (r x p).B « (eM/2mo) L.B « u, .B . Jadi

kedua suku i n i memberikan petunjuk untuk efek Zeeman.Bila mereka lebih

besar dar i i n t e raks i sp in-orbi t maka k i t a peroleh efek Zeeman normal;

j i k a sebaliknya maka efek Zeeman anomal.

Suku (e2Az/2mo2) M i a k i t a masuki ] = j f i x r akan mengha-

si lkan (e2/8mo2) B2r2sin20 yang j e l as memberikan petunjuk tentang efek

diamagnetik dalam atom b i l a elektron-elektronnya diletakkan dalam me­

dan magnet external.

Banyak yang dapat k i t a peroleh dar i persamaan dirao tanpa

memasukkan sesuatu dar i lua r . Namun i a mempunyai kelemahan juga. Mi-

salnya efek ingsut Lamb yang menunjukkan adanya pemisahan antara aras

2«^ (n = 2a I = 0S j = j) dan aras 2p, ( n = 23 I = 1. j = j). Rumus

Diraa t idak menghasilkan pemisahan i n i karena E . ditentukan oleh n no

dan Q saja, di mana |<| = j + --, dan j = I + -5-. Efek ini hanya dapat

diterangkan dengan teori kuantum medan.

Kecuali itu teori Dirac yang semula dimaksudkan untuk me-

lukiskan suatu zarah akhirnya berubah menjadi teori zarah banyak, ber-

55

hubung dengan adanya kemungkinan kreas i dan an ih i l a s i pasangsn e l ek ­

tron dan lobang. Elektron yang bebas pun harus d i ta fs i rkan sebagai

elektron yang bergerak dalam vakunij d i raana vakun t e r d i r i dar i sistem

elektron yang tak berhingga banyaknya yang raengisi seluruh aras energi

negat if .