Przetwarzanie sygnałów biomedycznych - Strona głównazib.mchtr.pw.edu.pl/downloads/Przedmioty/PSB/PSB1.pdf · 2017-02-23 1 Człowiek-najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany

2017-02-23

1

Czowiek- najlepsza inwestycja

Projekt wspfinansowany przez Uni Europejskw ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego

Przetwarzanie sygnaw biomedycznych

Przetwarzanie sygnaw biomedycznych

prof. dr hab. in. Krzysztof Kauyski

Wykad I

2017-02-23

2

Cel

Przekazanie wiedzy nt. podstawowych i zaawansowanych metod przetwarzania sygnaw biomedycznych (analiza widmowa, filtracje, metody korelacyjne, transformacja falkowa, metody specjalne) oraz umiejtnoci ich wykorzystania.

ZakresWaciwoci wybranych sygnaw biomedycznych. Szereg Fouriera, przeksztacenie Fouriera w przetwarzaniu sygnaw. Widmo gstoci amplitudy, energii i mocy. Twierdzenie o prbkowaniu.

Podstawy estymacji parametrw procesw losowych. Funkcja i wspczynnik korelacji i autokorelacji. Twierdzenie Wienera-Chinczyna. Estymacja widmowej gstoci mocy sygnaw losowych.

Transformacja Hilberta. Sygna analityczny.

Dostosowanie przeksztacenia Fouriera do potrzeb praktycznej analizy sygnaw. Dyskretna transformata i szereg Fouriera. Funkcje granic.

Analiza czasowo-czstotliwociowa sygnaw. Spektrogram. Prezentacje czasowo-czstotliwociowe. Transformacja falkowa.

Filtry cyfrowe w zastosowaniach biomedycznych. Wybrane ukady cyfrowe. Banki filtrw. Filtracje specjalne.

Metoda dekompozycji empirycznej EMD.

Przykady zastosowa do analizy sygnaw biomedycznych.

2017-02-23

3

Zakres

Laboratorium

Wydobywanie sygnaw z szumu z wykorzystaniem uredniania.

Analiza sygnau wiergotowego. Transformacja Hilberta.

Rozkad sygnau na mody wewntrzne (EMD).

Analiza sygnau EKG z wykorzystaniem transformacji falkowej.

Analiza sygnau o nieznanej strukturze.

Zajcia prowadzi mgr in. Iryna Gorbenko

Uzyskiwane kompetencje

Wiedza:

Znajomo metod analizy sygnaw niestacjonarnych

Znajomo uwarunkowa i metod filtracji sygnaw biomedycznych

Znajomo czci zastosowa i ogranicze przetwarzania sygnaw biomedycznych

Umiejtnoci:

- uzyskiwania i interpretacji reprezentacji czasowo-czstotliwociowejsygnaw biomedycznych

- identyfikacji struktury nieznanego sygnau

- analizy wynikw eksperymentu

2017-02-23

4

Zaliczenie przedmiotu:

1. Egzamin - 70% oceny kocowej (70pkt)

2. Laboratorium - 30% oceny kocowej

Wymagania:

1. Zaliczenie laboratorium (>50% punktw) kartkwki, oceny za wykonanie wiczenia (w trakcie wiczenia); jedno sprawozdanie.

2. Egzamin student ma prawo do 3 egzaminw w cyklu zaliczeniowym.

3. Uzyskanie >50% punktw oznacza pozytywny wynik egzaminu.

4. Zaliczenie przedmiotu wymaga uzyskania w sumie >50% punktw z laboratorium i egzaminu.

5. Wykad kartkwki, ktrych wyniki bd dodawane do wyniku egzaminu (max. liczba punktw do uzyskania z kartkwek wynosi 10pkt).

Laboratorium zajcia organizacyjne 03.03.2016 sala 425/6

Informacje, materiay (wykad i laboratorium)http://zib.mchtr.pw.edu.pl/?Dydaktyka

Konsultacje pok. 139, pon 13-14, wt. 11-12

2017-02-23

5

Osoby zajte telefonami/tabletami/komputerami bd

traktowane jako przeszkadzajce w prowadzeniu

wykadu i proszone o zaniechanie w/w zaj bd

opuszczenie sali.

2017-02-23

6

Literatura

1. Zieliski T.P. Cyfrowe przetwarzanie sygnaw, WKi 2005

2. Ozimek E. Podstawy teoretyczne analizy widmowej sygnaw, PWN, 1985

3. Lyons R.G. Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnaw, WKi 2000

4. Oppenheim A.V., Schafer R.W. Cyfrowe przewtarzanie sygnaw, WKi, 1979

5. Bendat J., Piersol A.: Metody analizy i pomiaru sygnaw losowych, PWN, 1976

6. Rutkowski L. Filtry adaptacyjne i adaptacyjne przetwarzanie sygnaw, WNT,1994

7. Moczko J., Kramer L. Cyfrowe metody przetwarzania sygnaw biomedycznych,Wyd. Nauk. UAM, 2001

Pozycje podstawowe

Sygnay

Sygna najczciej funkcja czasu przedstawiajca przebiegparametru pewnego zjawiska, wielkoci fizycznej, cho moe to bynp. przebieg echa w funkcji odlegoci od sondy skaneraultradwikowego.

Przykad sygnau biomedycznego

2017-02-23

7

Klasyfikacja sygnaw

Sygnay:

deterministyczne losowe (stochastyczne)

okresowe niestacjonarne nieokresowe stacjonarne

ergodyczne

Sygnay mog by cige lub dyskretne, co jest konsekwencj sposobu ichrejestracji, np. dane dotyczce populacji pewnego gatunku zwierzt sdyskretne, dane giedowe s dyskretne, rejestrowany w sposb analogowysygna elektryczny jest sygnaem cigym.

Uwaga - sygnay przetwarzane cyfrowo s poddawane operacjiprbkowania, przez co staj si sygnaami dyskretnymi!!

Przykady sygnaw I

sygnay deterministyczne

Sygna wiergotowy - liniowy wzrostczstotliwoci w funkcji czasu

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.5

0

0.5

1

2017-02-23

8

Przykady sygnaw II

sygnay deterministyczne

200 400 600 800 1000 1200 1400

-1

-0.5

0

0.5

1

Cig impulsw/paczek gaussowskich (fala sin. z obwiednigaussowsk) sygna stosowany w obrazowaniu ultradwikowym

Procesy losowe (stochastyczne)

{xk(t)} proces stochastyczny - rodzinafunkcji zmiennej losowej i czasu

xk(t) k-ta realizacja procesu - funkcjaczasu dla pewnej wartoci zmiennejlosowej

X(ti) wartoci procesu dla ustalonegoczasu s wartociami zmiennej

losowej

Zmienna losowa funkcja okrelona na zbiorzezdarze i przyjmujca wartoci rzeczywiste (zokrelonym prawdopodobiestwem)

2017-02-23

9

Przetwarzanie sygnaw

Dziedzina czasu:

filtracja

- liniowa (sygnay addytywne)

- specjalna - homomorficzna (sygnay poczone w wynikuinnej operacji, np. mnoenia, splotu)

- adaptatywna

metody korelacyjne (korelacja wzajemna, autokorelacja,wspczynnik korelacji i autokorelacji)

inne (histogram)

przeksztacenie Hilberta

metody specjalne (EMD Empirical Mode Decomposition)


Dziedzina czstotliwoci

analiza widmowa:

- klasyczna (przeksztacenie Fouriera, tw. Wienera-Chinczyna)

- zastosowanie modeli wymiernej funkcji przenoszenia

- inne metody analizy widmowej

2017-02-23

10


Poczone dziedziny czasu i czstotliwoci - prezentacje czasowo-czstotliwociowe

- spektrogram

- prezentacja Wigner-Ville

- transformacja falkowa

Inne

- kompresja, kodowanie....


zastosowania

2017-02-23

11

Zastosowania przetwarzania sygnaw I

Telekomunikacja

Technika militarna

Automatyka przemysowa

Technika samochodowa, AGD

Analiza danych rynkowych i giedowych

Rozrywka/multimedia

Identyfikacja osb

Geologia

Badania kosmiczne

Rozpoznawanie i generacja mowy

Medycyna i biologia

Zastosowania przetwarzania sygnaw II

Medycyna obrazowanie, analiza sygnaw biomedycznych,wspomaganie suchu, inteligentne protezy koczyn,urzdzenia do wspomagania funkcji narzdw

Identyfikacja obiektw (osb)

Rozpoznawanie i generacja mowy

Biologia, ekologia analiza zmian populacji zwierzt, analiza aktywnociorganizmw

2017-02-23

12

Zastosowania przetwarzania sygnaw w medycynie

Estymacja opnienia estymacja rytmu serca, obrazowanieprzepywu krwi, elastografia ultradwikowa

Analiza widmowa analiza zmiennoci rytmu serca, analiza sygnawdopplerowskich przepywu krwi,

Urednianie potencjay wywoane, wydobywanie sygnaw zszumu/detekcja sabych sygnaw metody korelacyjne i inne miarypodobiestwa w synchronizacji uredniania

Sterowanie protezami analiza widmowa sygnaw EMG

Kompresja sygnaw analiza falkowa, modelowanie

Filtracja liniowa (klasyczna)

Filtracje specjalne eliminacja sygnaw zakcajcych

Sygnay biomedyczne

Zrnicowana budowa i funkcja organw i tkanek bdcych rdemsygnaw biomedycznych pozwala przypuszcza, waciwoci tychsygnaw mog by bardzo zrnicowane. Niektre z tych sygnawmaj charakter quasi deterministyczny, tzn. przyjmujc pewneuproszczenia, jak brak rnic w kolejnych cyklach, mona byoby jeopisa analitycznie. Jest tak w przypadku EKG, sygnau ttna lubcinienia, czy sygnau impedancji tkanki. Midzy kolejnymi cyklamitych sygnaw mog wystpi rnice spowodowane przez czynnooddechow i funkcjonowanie ukadw regulacji w organizmie, obecnes w nich take szumy o charakterze losowym.

2017-02-23

13

Sygnay biomedyczne

W sygnaach biomedycznych obecne s take szumy o charakterzelosowym. Ma to znaczenie w przypadku wydobywania sygnaw zszumu, np. pnych potencjaw EKG, kiedy to uredniane cyklepowinny by do siebie jak najbardziej zblione i rnice midzy nimipowoduj odrzucanie niektrych cykli przez algorytm wykorzystujcywspczynnik korelacji wzajemnej.

Wiele sygnaw ma charakter losowy s procesamistochastycznymi. Jest tak w przypadku EMG, EHG czy EEG. Sygnaemlosowym w przypadku krtkich czasw obserwacji jestultradwikowy sygna dopplerowski prdkoci przepywu krwi,natomiast przy duszych czasach obserwacji wykazuje cechy quasi-powtarzalnoci, wynikajcej z pracy serca.

Szczeglnym rodzajem sygnau biomedycznego jest sygna mowy,ktrego przetwarzanie stanowi odrbn dziedzin nauki i techniki, zewzgldu na ogromne znaczenie takich zastosowa, jak np.komunikacja czowiek-maszyna czy identyfikacja osb na podstawiewaciwoci ich mowy.

Sygnay biomedyczne

2017-02-23

14

Sygna dopplerowski prdkoci przepywu krwi - nieco ponad 1cykl pracy serca i fragment ok. 120ms

Sygnay biomedyczne - przykady

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

-2

0

2

x 1040 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-5

0

5x 10

4

Obrazy i sygnay biomedyczne

Ultrasonografia

Wizualizacja struktur oraz rozkadw

prdkoci przepywu krwi na podstawie

analizy ech ultradwikowych

2017-02-23

15

Spektrogram okresowego sygnau z pioksztatn modulacj czstotliwoci

Przetwarzanie sygnaw - przykady

Czas

czsto

tliwo


2017-02-23

16

Zapis nutowy - prezentacja czasowo-czstotliwociowamuzyki (sygnau) - pocztki zapisu nutowego XVI wiek

czas

cz

stotl iwo

Zastosowania przetwarzania sygnaw - przykady

Sygna ECG oraz cig interwaw R-R

(pozbawionych czci skadowej redniej)

2017-02-23

17


Widmo cigu interwaw R-R

(po usuniciu skadowej redniej)

cig interwaw R-R

(pozbawionych czci skadowej redniej)


Pne potencjay EKG

2017-02-23

18

Pne potencjay EKG

Procedura:

- akwizycja sygnau z trzech odprowadze zwysok czstotliwoci prbkowania (1000Hz)

- urednianie

- synchronizacja uredniania:

wybr wzorca QRS z danych

wyznaczanie wspczynnika korelacjiwzajemnej midzy wzorcem i kolejnymicyklami sygnau EKG w przypadkuuzyskania odpowiednio wysokiejwartoci wspczynnika korelacjidodajemy do siebie zsynchronizowane zwzorcem sygnay

Zastosowania przetwarzania sygnawprzykady

Procedura cd.:

- urednianie

- uwzgldnianie czynnikw takich jak

zmienna dugo cyklu EKG

zmienny poziom szumw w sygnale -szacowanie mocy szumw w paskimodcinku sygnau poza QRS

- selekcja cykli EKG na podstawie w/w analizy

Pne potencjay EKG

Zastosowania przetwarzania sygnawprzykady

2017-02-23

19

0 500 1000 1500 2000-1000

0

1000A4

0 500 1000 1500 2000

-5000

0

5000

D4

0 500 1000 1500 2000

-5000

0

5000

D3

0 500 1000 1500 2000-5000

0

5000

D2

0 500 1000 1500 2000

-2000

0

2000

D1

0 500 1000 1500 2000

-1

0

1x 10

4 signal

Podzia sygnau na podpasma(zakresy czstotliwociowe) wcelu uzyskania informacjiruchach rnych strukturpodu. Zakres 0-fs/2

Podpasma odpowiadajce sygnaom


Analiza falkowa sygnaw dopplerowskich aktywnoci ruchowej podu

Podstawy teoretyczne

przetwarzania sygnaw

2017-02-23

20

Splot i dystrybucja delta Diraca

Splot dwch funkcji

+

= dtfftftf )()()(*)( 2121

Waciwoci splotu

Przemienno

Rozdzielnowzgldem dodawania

czno

)(*)()(*)( 1221 tftftftf =

)(*)()(*)()]()([*)( 3121321 tftftftftftftf +=+

)(*)](*)([)](*)([*)( 321321 tftftftftftf =

2017-02-23

21

Dystrybucja delta Diraca

0)(

0

1)(

=

=+

t

t

dla

t

Waciwoci dystrybucji

+

= )0()()( fttf +

= )()()( 00 tftttf

Definicja graniczna dystrybucji przez cig funkcji sin(x)/x=sinc(x):

)(sinclim)( ktk

t k =

Okresowy cig dystrybucji :

+

=

=k

T kTtt )()(

+

== )()()()(*)( tfdtfttf

Splot funkcji z cigiem dystrybucji delta Diraca

+

= )()()( 00 tftttf

+

=

=k

T kTtt )()(

+

=

+

=

==kk

T kTtfkTttfttf )()(*)()(*)(

Splot sygnau o ograniczonym czasie trwania z okresowym cigiemdystrybucji pozwala uzyska sygna okresowy.

2017-02-23

22

Ortogonalno

Wektory ortogonalne

Wektory a sygnay

Aproksymacja

Baza ortogonalna

Przykady funkcji ortogonalnych

Ortogonalno - wektory

Wyraenie wektora V1 przy pomocy wektora V2 oraz wektorabdu Ve

eVVCV += 2121

C12 miara podobiestwa wektorw V1 i V2

Jeli C12=0, wektory s prostopade ortogonalne, niezalene

2017-02-23

23

Iloczyn skalarny wektorw cosAB=BA

Skadowa wektora A wzdu wektora B oraz wektora B wzduA

B

BAAAB

== cosA

BABBA

== cos

eVVCV += 21212

21V1 V

VVV

2 121

CV

==

Dla wektorw V1 i V2

czyli

222

212 VVV

C== 2121 VVVV

Jeli V1 i V2 ortogonalne, ich iloczynskalarny jest rwny 0

Ortogonalno - wektory

Ortogonalno - sygnay

f1(t) i f2(t) sygnay, chcemy aproksymowa f1(t) przez f2(t) wpewnym przedziale (t1, t2)

)()( 2121 tfCtf

)()()( 2121 tfCtftfe =

fe(t) - funkcja bdu tej aproksymacji:

dttfCtftt

t

t =2

1

22121

12

)]()([1

fe(t) naley zminimalizowa, np. w sensie redniokwadratowym

012

=dC

d

dttf

dttftf

C t

t

t

t

=

2

1

2

1

)(

)()(

22

21

12

po zamianie kolejnoci operacji cakowania i rniczkowania otrzymujemy

2017-02-23

24


f1(t) i f2(t) sygnay, chcemy aproksymowa f1(t) przez f2(t) wpewnym przedziale (t1, t2)

)()( 2121 tfCtf

dttf

dttftf

C t

t

t

t

=

2

1

2

1

)(

)()(

22

21

1222

22

12 VVVC

== 2121 VVVV

Przez analogi do wektorw f1(t) ma skadow f2(t) o wartoci C12. Jeliskadowa ta znika, sygnay f1(t) i f2(t) s ortogonalne. Oznacza to, e

0)()(2

1

21 = dttftft

t

Przykady sygnaw ortogonalnych funkcje sin(not) i sin(mot)w przedziale (t,t+T), T=2/o :

0)sin()sin(2

1

= dttmtnt

t

oo

Inne przykady sygnaw ortogonalnych cos(not) i cos(mot) wprzedziale (t,t+T), T=2/o, zespolone funkcje wykadnicze,wielomiany Legendrea.


2017-02-23

25

Ortogonalno - baza

Przestrze liniowa (nad ciaem liczb rzeczywistych lub zespolonych) zbir wektorw, zbir funkcji (sygnaw).

Przestrze jest zupena, jeli pewien podzbir tej przestrzeni generuje tprzestrze, np. dowolny wektor nalecy do przestrzeni mona wyraziw tej przestrzeni jako kombinacj liniow elementw tego podzbioru.Np. wektor w 3D jest kombinacj liniow wersorw osi, ktre stanowitaki wanie podzbir.

Wektory ortogonalne np. zbir wersorw osi ortokartezjaskiegoukadu wsprzdnych 3D.

Baza zbir sygnaw wzajemnie (parami) ortogonalnych w pewnymprzedziale, np. {cos(not)}, nN. Dowolny sygna mona wyrazi jakokombinacj liniow elementw tego zbioru (skadowych ortogonalnych).

=

=n

jjje tfCtftf

1

)()()(

dttfCtftt

t

t

n

jjj

=

=2

1

2

112

])()([1

Aproksymacja funkcji f(t) przez zbir sygnawwzajemnie ortogonalnych {fj(t)}

Minimalizacja bdu redniokwadratowego:

=

n

jjj tfCtf

1

)()(

0.....321

=====nCCCC


2017-02-23

26

dttfCtftt

t

t

n

jjj

=

=2

1

2

112

])()([1

Minimalizacja bdu redniokwadratowego:

0.....321

=====nCCCC

dttf

dttftf

Ct

t

k

t

t

k

k

=

2

1

2

1

)(

)()(

2

0).....]()()(2)....()()(2[......

])()([

2

1

2

1

2221

2111

2

1

=++=

==

========

=

dttfCtftfCtfCtftfCC

dttfCtfCC

t

t

kjkjkjkjkjkjkjkjk

t

t

n

jjj

kk

Dla j=k, po zamianie kolejnoci operacji cakowania i rniczkowania, zewzgldu na ortogonalno fj(t) oraz zerowanie si pochodnych wyrazwniezawierajcych Ck dostajemy:


=

n

jjj tfCtf

1

)()(

dttf

dttftf

C t

t

j

t

t

j

j

=

2

1

2

1

)(

)()(

2

Baza {fj(t)} umoliwia aproksymacj funkcji f(t) w postaci

gdzie

Jest to rozwinicie f(t) w szereg Fouriera!!!

Bd redniokwadratowy aproksymacji jest zminimalizowany.

Ze wzgldu na ortogonalno funkcji bazy przedstawienie w postaci tejsumy jest wolne od redundacji. W tworzeniu wartoci wspczynnika Cj maudzia tylko jedna funkcja bazy fj(t).


2017-02-23

27

Rozwinicie w szereg Fouriera

i przeksztacenie Fouriera

Trygonometryczny szereg Fouriera

(f(t) okresowa, spenia warunki Dirichleta)

T=2/0, n=0, 1, 2, ....

=++=

1000 )]sin()cos([)(

nnn tnbtnaatf

=2/

2/

0 )(1 T

T

dttfT

a

=2/

2/

0 )cos()(1 T

T

n dttntfTa

=2/

2/

0 )sin()(1 T

T

n dttntfTb

2017-02-23

28

Wykadniczy szereg Fouriera

+=

=

=n

nn tjnFtf )exp()( 0

=2/

2/

0 )exp()(1 T

T

n dttjntfTF

{|Fn|} - widmo amplitudowe, {arg(Fn )} widmo fazowe

{|Fn|2} widmo mocy sygnau f(t)

Zwizek midzy wspczynnikami rozwinicia w szereg wykadniczy iw szereg trygonometryczny

nnn jbaF =

)arg( nFjnn eFF =

Przykady rozwini w SF:rectT(t) Cig impulsw prostoktnych owspczynniku wypenienia /T:

)2

(sin)exp(1 0

2/

2/

0

nc

T

Adttjn

TF

T

n ==

+

=

=n

T tjnn

cT

Atrect )exp()

2(sin)( 0

0

T=2/0wspczynniki rozwinicia Fn dla T i :

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-10 -5 0 5 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

wspczynniki rozwinicia Fn dla 2T i :

rozwinicie dla T i :

2017-02-23

29

Tdttjnt

T

dttjnkTtT

F

T

T

T

T kn

1)exp()(

1

)exp()(1

2/

2/

0

2/

2/

0

==

==

+

=

Przykady rozwini w SF:

Cig T(t):

wspczynniki:

+

=

+

=

+

=

===nnn

nT tjntjnTtjnFt )exp(

2)exp(

1)exp()( 0

000

T=2/0

rozwinicie:

Przeksztacenie Fouriera

Proste i odwrotne przeksztacenia Fouriera funkcji f(t)

F()=F{f(t)} f(t)F()

(istniej gdy f(t) jest bezwzgldnie cakowalna):

+

= dttjtfF )exp()()( +

= dttjFtf )exp()(2

1)(

|F()| - widmo gstoci amplitudy

arg(F()) - widmo fazowe

2017-02-23

30

Wybrane waciwoci przeksztacenia Fouriera

Liniowo: f1(t)F1(), f2(t)F2() Af1(t)+Bf2(t)AF1()+BF2()

Podobiestwo

Symetria f(t) F() F(t) 2f(-)

Transformata pochodnej f(t) f(t) F() fn(t) (j)nF()

)(||

1)}({

aF

aatfF

=

Wybrane waciwoci przeksztacenia Fouriera

Przesunicie w czasie f(t) F() f(t-t0) exp(-jt0)F()

Transformata iloczynu funkcji f1(t)F1(), f2(t)F2()

Transformata splotu funkcji f1(t)F1(), f2(t)F2()

)(*)(2

1)}()({ 2121

FFtftfF =

)()()}(*)({ 2121 FFtftfF =

2017-02-23

31

Przykady transformat Fouriera ISygna prostoktny o czasie trwania T rect(T):

)2

(sin)exp()()(T

cATdttjTrectF ==

+

Modu TF, o rzdnychznormalizowana do AT; Liniaprzerywana - wynik dla czasutrwania sygnau T/2.

Pooenia zer dla T/2=k; kolejne zera dla k=2k/T=2/T, 4/T, 6/T.....

Pooenia pierwszych ekstremw listkw bocznych dla T/2=3/2; kolejne pulsacjewynosz m= 3/2+m/T oraz m= -3/2-m/T

Poziom listka gwnego AT (po normalizacji 1)

Modu pierwszego listka bocznego - 2AT/3 (ATsinc(3/2); po normalizacji 2/3)

Stosunek moduw listka pierwszego i gwnego 2/3=0.21

Przykady transformat Fouriera II

Dystrybucja delta Diraca:

1)exp()()}({ == +

dttjttF

Funkcja staa

TF nie istnieje w myl definicji funkcja nie jest bezwgldniecakowalna.

Tw. o symetrii: f(t) F() F(t) 2f(-)

2017-02-23

32

Przykady transformat Fouriera III

Funkcja trjktna,

dla |t|

2017-02-23

33

Modu TF okna prostoktnego i okna trjktnego

Rnice:

niszy wzgldny poziom pierwszego listka bocznego okna trjktnego ni wprzypadku okna prostoktnego wynosi sinc2(3/2)=0.0441

wiksza szeroko listka gwnego okna trjktnego ni w przypadku oknaprostoktnego (na poziomie pierwszych przej przez zero 2x wiksza)

)2

(sin)}({T

cATTrectF=

okno trjktne (Bartletta)

okno prostoktne

Uwaga: wykresy znormalizowane do jednostkowej wartoci max.!

)4/(sin2

)( 2 TcAT

F =

Sygna eksponencjalny )0( ,1

)(0 dla e

0< tdla 0{(t) at >+

=

= ajajF

tf

jae

jadtedteeF tjatjatjat

+=

+=== +

+

1

|)(

1)( 0

)(

0

)(

0

e-at

Przykady transformat Fouriera VI

2017-02-23

34

arg(F())

abs(F())

jaF

+= 1)(

Re(F(j))

Im(F(j))

22))(Re(

+=

a

aF

22))(Im(

+=

aF

2/122 )(1

))((

+

=a

Fabs

)arctan()))(Re())(Im(

arctan())(arg(aF

FF

==

Przykady transformatFouriera VII

Przykady transformat Fouriera VIII

Sygna cosinusoidalny o ograniczonym czasietrwania (paczka) i jednostkowej amplitudzie

)]2

)((sin)

2)(

([sin2

))](exp())([exp(21

)exp()]exp()[exp(21

)exp()cos()(

00

2/

2/

00

2/

2/

00

2/

2/

0

Tc

Tc

T

dttjtj

dttjtjtjdttjtF

T

T

T

T

T

T

++=

=++=

=+==

Modu TF paczki funkcjicosinus o czasie twania T,o Y znormalizowana do T/2

-2pifo 0 2pifo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2017-02-23

35

Przykady transformat Fouriera IX

Sygna cosinusoidalny

TF nie istnieje w sensie definicji, poniewa funkcja cosinus nie jestbezwzgldnie cakowalna.

Mona wyznaczy warto gwn TF paczki fali cos przy T->+, korzystajc zdefinicji delty Diraca:

)]()([

)]2

)((sin2

)2

)((sin2

[lim)}{cos(

00

002/0

++=

=++= T

cTT

cT

tF T

)(sinclim)( ktk

t k =

Przykady transformat Fouriera X

Sygna sinusoidalny

TF nie istnieje w sensie definicji, poniewa funkcja sinus nie jest bezwzgldniecakowalna. Mona wyznaczy warto gwn TF paczki fali sin przy T->+.

TF paczki fali sin:

)]2

)((sin)

2

)((sin[

2}){sin( 000

Tc

Tc

TjtF T

++=

( na rysunku pokazano jF()!!)

)]()([

))]2

)((sin)

2)(

(sin(2

[lim)}{sin(

00

000

++=

=++=

j

Tc

Tc

TjtF T

2017-02-23

36

Przykady transformat Fouriera XI

Sygna sinusoidalny - jF{sin(ot)}

Zespolony sygna wykadniczy

)sin()cos()exp( 000 tjttj +=

)(2)])()([()]()([

)}{sin()}{cos()}{exp(

00000

000

=+++++==+=

jj

tjFtFtjF

Jest to tzw. sygna analityczny posiada niezerowe wartociwidma tylko po jednej stronie pocztku ukadu

Sygna cosinusoidalny

Przykady transformat Fouriera XII

TF dowolnej funkcji okresowej nie istnieje w sensie definicji

Mona tak funkcj rozwin w SF, potem przeprowadzi TF szeregu

+

=

=n

n tjnFtf )exp()( 0 +

=

=n

n nFF )(2)( 0

Cig dystrybucji Diraca

posiada nastpujce rozwinicie w SF:

+

=

+

===

nnnT tjnT

tjnFt )exp(1

)exp()( 00

TF tego cigu jest rwna:

+

=

+

===

nnT nnT

tF )()(2

)}({ 000

2017-02-23

37

Przykady transformat Fouriera XIII

Przebieg prostoktny rectT(t) (okres T,wypenienie /T, amplituda A, 0=2/T):

+

=

+

=

+

=

=

==

==

n

n

nT

nT

nc

T

A

nn

cT

A

tjnn

cT

AFtrectF

)()(sin2

)()2

(sin2

})exp()2

(sin{)}({

0

00

00

Przykady transformat Fouriera XIV

Paczka fali cosinusoidalnej

Paczka fali cosinusoidalnej o pulsacji ma ograniczonyczas trwania do To>2/ i rozpoczyna si w punkcie t=0,tj. jest przesunita o To/2 w prawo.

Sygna przyjmujcy wartoci rne od zera dla czaswnieujemnych nazywa si sygnaem przyczynowym.

Interpretacja - przesunicie o To/2 okna prostoktnegowycinajcego fragment funkcji cosinus. Jego transformatamoe by wyznaczona nastpujco:

rect(t-T0/2) sinc(T0/2)exp(jT0/2)

2017-02-23

38

Przykady transformat Fouriera XV

Interpretacja - przesunicie o To/2 okna prostoktnego wycinajcego fragmentfunkcji cosinus. Transformata:

rect(t-T0/2) sinc(T0/2)exp(jT0/2)

Wypadkowa transformata ma posta (TF iloczynu):

f(t)cos(0t) [F(-0)+ F(+0)]

rect(t-T0/2) cos(0t) T0/2{sinc[(-0)T0/2)] + sinc[(+0)T0/2)]} exp(jT0/2)

F{ rect(t) cos(0t) }

a wic w transformacie Fouriera przesunitego sygnau nie obserwujemy zmianmoduu, jedynie zmian fazy.

Przykady transformat Fouriera XVI

Cig paczek funkcji cosinusoidalnej o pulsacji i pulsacji powtarzania 0 (

2017-02-23

39

Przykady transformat Fouriera XVII

Cig paczek funkcji cosinusoidalnej o pulsacji i pulsacji powtarzania 0(

2017-02-23

40

Przykady transformat Fouriera XIX

System opisany w dziedzinie czasu przezodpowied impulsow h(t) i w dziedzinieczstotliwoci przez funkcj przenoszenia H() zastosowanie twierdzenia o transformacie splotufunkcji

pobudzenie f(t) F()

odpowied r(t) R()

Opis w dziedzinie czasu

Opis w dziedzinie czstoliwoci

+

= dthftr )()()(

)()()( HFR =

Przykady transformat Fouriera XX

Funkcja sinusoidalna o pulsacji pomnoona przez sygna wykadniczy oujemnym wykadniku i skok jednostkowy. Jest to jeden z modeli sygnauemitowanego w aparaturze do obrazowania ultradwikowego (impulsultradwikowy).

)exp()sin()(1)( 0 ttttf =

20

20

00

0

00

0

00

0

0

)()(

1

2

1

)(

1

2

1

)](exp())([exp(2

1

)exp()exp()]exp()[exp(2

1)exp()exp()sin()(

++=

+

+=

=+=

===

jjjjj

dttjttjtj

dttjttjtjj

dttjttF

2017-02-23

41

)exp()sin()(1)( 0 ttttf = 20

20

)()(

++=

jF

)1.0exp()sin()(1)( 01 ttttf =

)25.0exp()sin()(1)( 02 ttttf =

Przykady transformat Fouriera XXI

Impuls ultradwikowy mona interpretowa jako odpowied impulsowprzetwornika ultradwikowego. System taki powinien posiada nisk dobro, tj.posiada oscylacyjn odpowied impulsow, ktra jest tumiona. Inaczej jest tosystem o niskiej dobroci. Drganiom szybciej zanikajcym odpowiada system owikszej szerokoci pasma, tj. wikszej szerokoci moduu TF, czyli niszejdobroci.

W dziedzinie czstotliwoci:

2

)( tetx =

+

++

=== dtedteeeFtxF tjttjtt )(22222

}{)}({ 2 =

W dziedzinie czasu:

+

+= dteeetxF tjtkk )()()(2222

)}({

+

+

++

+ === dteedteedteeetxF ktjtkktjtktjtkk ))/(/()())(()()()()(2222222222222

)}({

Przykady TF XXIITF funkcji gaussowskiej

122 )()( = kk eemnoymy cak przez

2017-02-23

42

Wykadnik funkcji podcakowej naley doprowadzi do postaci kwadratu rnicy:

2222222 ][))/(/())/(/( jxtjktjtktjt =+=

2

12/1/2/ 2 === kkjtktj

+

= dteetxF ktjtk ))/(/()(22222

)}({

+

+

+

==

==

dteedtee

dteetxF

jtkjtk

ktjtk

222222

22222

))2/(()())2/(()(

))/(/()()}({

Zwizek midzy k i :

Przykady TF XXIIITF funkcji gaussowskiej

Naley wykaza, e warto caki jest sta - wiemy, e: 12

=+

dxe x

/2/ dudtjtu ==

+

+

== dueedteetxF ukjtk2222 )()2/()( 1)}({

dsdusu ==

222 )()(1)}({

ksk edseetxF

+

==

4/)( 222 }{ == eeeF kt

+

= dteetxF jtk22 )2/()()}({

Podstawienie:

Podstawienie:

Przykady TF XXIVTF funkcji gaussowskiej

2017-02-23

43

2

)( tetx =

4/22 }{ = eeF t

Przykady TF XXVTF funkcji gaussowskiej

Paczka gaussowska:

]8

)(exp[

2

1]

4

)(exp[)(

2

220

20

==X

gdzie: pulsacja, 0 pulsacja rodkowapaczki, - wspczynnik okrelajcy obwiednisygnau, - wspczynnik okrelajcyobwiedni widma, FWHM - szeroko moduuTF na poziomie poowy maksimum (Full Widthat Half Maximum).

Wykres obok - znormalizowany.

W dziedzinie czstotliwoci (TF):

)exp()(2

tjetx ot =

222 =

Przykady TF XXVITF paczki gaussowskiej

2ln22

FWHM=

2017-02-23

44

)(Im)(Re)(Im)(Re)()()( tfjtftfjtftftftf ppnnpn +++=+=

Sygna zespolony, jego skadowa parzysta i nieparzysta posiadaj czrzeczywist i urojon

Transformata takiego sygnau posiada bdzie szczeglne waciwoci,wynikajce z waciwoci przeksztacenia Fouriera

+

+

+

+

=== dtttfjtdttfdttjttfdttjtfF )sin)(cos)()sin)[cos()exp()()(

Transformacja Fouriera podsumowanie waciwoci I


)(Im)(Re)(Re)(Im)()()( ppnnpn FjFFFjFFF +++=+=

Czci sygnau i odpowiadajce im czci transformaty

)sin()cos()sin()cos(

))sin(()cos()sin()cos(

)exp()exp()()()(

0000

0000

00

ttjtjt

tjjtjtjt

tjjtjtftftf pn

++=

=++=

=+=+=

Przykad stanowi sygna zoony z dwch zespolonych funkcji wykadniczych,z ktrych jedna zostaa pomnoona przez jednostk urojon:

Transformacja Fouriera podsumowanie waciwoci II

)cos()(Re 0ttf p = )cos()(Im 0tjtf p = )sin()(Re 0ttfn = )sin()(Im 0tjtfn =

Skadowe sygnau:


2017-02-23

45

)sin()cos()sin()cos()()()( 0000 ttjtjttftftf pn ++=+=

Przykad stanowi sygna zoony z dwch zespolonych funkcji wykadniczych, zktrych jedna zostaa pomnoona przez jednostk urojon:

Transformacja Fouriera podsumowanie waciwoci III

parzystaarzeczywisttFtfF p ++== )]()([)}{cos()}({Re 000

parzystaurojonajtjFtfF p ++== )]()([)}cos({)}({Im 000

anieparzysturojonajtFtfF n +== )]()([)}{sin()}({Re 000

anieparzystarzeczywisttjFtfF n +== )]()([)}sin({)}({Im 000

Czci sygnau i odpowiadajce im czci transformaty

)cos()(Re 0ttf p = )cos()(Im 0tjtf p = )sin()(Re 0ttfn = )sin()(Im 0tjtfn =

Transformacja Fourierapodsumowanie waciwoci IV

Oznaczenia

Re, r rzeczywista

Im, im urojona

p parzysta

np - nieparzysta

2017-02-23

46

Twierdzenie o prbkowaniu I

Iloczyn funkcji f(t) o widmie F() ograniczonym do m i cigu delt Diraca ookresie T=2/0, 0>>m

])(2

[*)(2

1))}({*)}({

2

1)}()({ 0

+

=

==n

TT nTFtFtfFttfF

+

=

=k

T kTtt )()( +

=

=n

T nTtF )(

2)}({ 0

)(F

Splot widm funkcji f(t) i cigu delt Diraca

Splot sygnau o ograniczonym czasie trwania z okresowym cigiem dystrybucji daje sygna okresowy!!!

Splot funkcji z cigiem dystrybucji delta Diraca

+

= )()()( 00 tftttf

+

=

=k

T kTtt )()(

+

=

+

=

==kk

T kTtfkTttfttf )()(*)()(*)(

Splot sygnau o ograniczonym czasie trwania zokresowym cigiem dystrybucji pozwala uzyskasygna okresowy. Wobec tego splot widm F() i cigudelt Diraca bdzie okresowym powieleniem widma F,z okresem rwnym okresowi transformaty ciagu delt,czyli 0 :

])(1

])(2

[*)(2

1)}()({ 00

+

=

+

=

==nn

T nFTn

TFttfF

)(*)(2

1)}()({ 2121

FFtftfF =

2017-02-23

47

Twierdzenie o prbkowaniu IISygna rzeczywisty widmo amplitudy

sygnau rzeczywistego

fs>2fm o>2m

Wniosek 1 - sygna naleyprbkowa z czstotliwociprbkowania minimum 2xwysz ni czstotliwonajszybszej skadowejsygnau.

Wniosek 2 widmo sygnaupo operacji prbkowania jestokresowe z okresem rwnymczstotliwoci prbkowania!!

Twierdzenie o prbkowaniu III

Iloczyn funkcji cosinusoidalnej o pulsacji i cigu delt Diraca o okresie T=2/0,0>>

])(2

[*)]}()({[21

))}({*)}{cos(21

)}(){cos( 0+

=

++==n

TT nTtFtFttF

+

=

=k

T kTtt )()( +

=

=n

T nTtF )(

2)}({ 0

)]()([)}{cos( ++= tF

+

=

=n

T nTttF )()}(){cos( 0

Splot widm funkcji cosinusoidalnej i cigu delt Diraca

2017-02-23

48

Twierdzenie o prbkowaniu IVPrbkowanie funkcji cosinusoidalnej o pulsacji cigiem delt Diracao okresie T=2/0, 0>

twierdzenie Nyquista (o prbkowaniu)wymaga, by fo>2fm (o>2 m)

w naszym przykadzie 0>2.

+

==

nT nT

ttF )()}(){cos( 0

Wniosek 1 - sygna naleyprbkowa z czstotliwociprbkowania minimum 2x wyszni czstotliwo najszybszejskadowej sygnau.

Wniosek 2 widmo sygnau pooperacji prbkowania jestokresowe z okresem rwnymczstotliwoci prbkowania!!

fo>2fm o>2m !!!!!!

Przebieg prostoktny o dodatniej skadowej staej rectT(t) (okres T, wypenienie/T, amplituda A, 0=2/T):

Dla wypenienia 50% i symetrii mamy:

Rozwinicie w szereg Fouriera:

==ychnieparzystndla

jn

A

parzystychndlan

jn

AFn

2

0

)2

(sin2 2

)2

(sin)exp(1 0

2/

2/

0

nc

T

Adttjn

TF

T

n ==

....])5sin(5

1)3sin(

3

1)[sin(

4)]exp()

2(sin

1[

2)( 0000

2 +++==

=ttt

Atjn

n

nj

Atrect

nT

przebieg prostoktny jest wic sum nieparzystych harmonicznych zmalejcymi amplitudami


2017-02-23

49

Spektrogram okresowego sygnau prostoktnego z pioksztatn modulacj czstotliwoci bez skladowej staej.Sygna zawiera nieparzyste skadowe harmoniczne; twierdzenie Nyquista nie jest spenione dla skadowych powyej 5.


Twierdzenie o prbkowaniu V

Sygna rzeczywisty widmo amplitudy

sygnau analitycznego (uzyskanynp. w wyniku zastosowania przeksztacenia Hilberta bd w innysposb przykad funkcja zespolona wykladnicza

o>m !!!!!!

2017-02-23

50

Czas

czsto

tliwo


Spektrogram sygnau dopplerowskiego prdkoci przepywu krwi z 2 ttnic i yy. Sygna pochodzcy z ttnic i sygna pochodzcy z y stanowi dwa sygnay analityczne (uzyskane w wyniku demodulacji kwadraturowej).Pozwala to rozrni sygnay pochodzce od przeciwnych kierunkw przepywu)

Warto rednia, energia, moc,

widmowa gsto energii i mocy

2017-02-23

51

Warto rednia, energia, moc

+

=Tt

to

o

o

dttxT

xE )(1

][

=

2

1

)(1

][12

t

t

dttxtt

xE

=

T

TT

dttxT

xE )(2

1lim][

Podstawowe parametry sygnaw to warto rednia,energia i moc, zdefiniowane poniszymi zalenociami:

warto rednia sygnau w przedziale [t1,t2]:

w przypadku sygnau o nieskoczonym czasie trwaniawarto rednia jest nastpujc wielkoci graniczn:

jeli sygna jest okresowy o okresie To, warto rednia jest okrelona zalenoci:

Energia sygnau

Moc sygnau

co w przypadku sygnau okresowego przybieraposta:

Warto skuteczna sygnau rwna jestpierwiastkowi kwadratowemu z mocy sygnau.

+

= dttxEx )(2

+

=Tt

tox

o

o

dttxT

P )(1 2

=

T

TT

x dttxTP )(

2

1lim 2

Energia, moc, widmowa gsto energii i mocy

2017-02-23

52

Sygnay ze wzgldu na waciwoci zdefiniowanych powyej wielkocimona podzieli na sygnay o ograniczonej energii, jeli Ex

2017-02-23

53

Sygnay o skoczonym czasie trwania i skoczonej energiiw skoczonym przedziale czasu

sygnay nieokresowe, bezwzgldna cakowalno, moc redniarwna zero, energia sygnau E okrelona jest przez zaleno (tw.Rayleigha ):

d|)F(|f = E 2

-

2

- 2

1=(t)dt

|F()|2 - widmowa gsto energii (1)


Sygnay o nieskoczonym czasie trwania (np. okresowe) - energia nieskoczona wnieskoczonym przedziale, TF z definicji nie istnieje (funkcja nie jest bezwzgldniecakowalna), mona okreli moc redni P (urednienie za czas obserwacji T, 1):

dT

)(| = (t)dt|F

fT

1 = P

2T

T

-

2T/2

-T/2

T limlim

T|)(F| = )(2

TT

lim

() - widmowa gsto mocy; w praktyce () = |F()|2/T

Sygnay o nieskoczonym czasie trwania i nieskoczonej energii wnieskoczonym przedziale czasu


Documents

Przetwarzanie sygnałów biomedycznych - Strona głównazib.mchtr.pw.edu.pl/downloads/Przedmioty/PSB/PSB1.pdf · 2017-02-23 1 Człowiek-najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany