Protokol č. 9 - MENDELUuser.mendelu.cz/drapela/Dendrometrie/Navody_do... · Vytvořeno v rámci projektu: Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty

Vytvořeno v rámci projektu: Průřezová inovace studijních programů Lesnické

a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

společného základu reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021, za přispění finančních

prostředků EU a státního rozpočtu České republiky

Protokol č. 9

Růstové a přírůstové funkce

Zadání:

Pro zadané dřeviny vypočítejte parametry Michajlovovy a Korfovy růstové funkce, přírůstové

funkce běžného a průměrného přírůstu, indexy korelace a determinace.

Jsou zadány výšky určitého stromu v metrech a tloušťky v centimetrech, obě měřené po

pětiletých časových periodách.

Výpočet parametrů Michajlovovy růstové funkce pro výšku.

Rozšíříme tabulku dle vzoru, tj. vedle výšky nadepíšeme model (m), rezidua, běžný přírůst,

průměrný přírůst. Vedle tloušťky bude model (cm), rezidua, běžný přírůst, průměrný přírůst.





Pod tabulku umístíme nadepsané parametry a, k pro výšku a tloušťku a index korelace a

determinace také pro výšku a tloušťku.

Pro vypočítání modelové výšky a tloušťky nejprve nastavíme parametry a, k pro tloušťku a

výšku. Parametr a pro výšku nastavíme vyšší, než je nejvyšší naměřená výška, protože se

jedná o asymptotu funkce. Např. nejvyšší naměřená výška je 29 m, parametr a nastavíme 40.

Parametr a pro tloušťku nastavíme opět vyšší než největší tloušťka. Např. největší naměřená

tloušťka je 35,2 cm, parametr a nastavíme 40. Parametr k zvolíme roven 1 pro tloušťku i pro

výšku. Takto nastavené parametry a, k slouží pro výpočet modelové výšky i tloušťky a

dopočítání běžných a průměrných přírůstů dle Michajlovovy růstové funkce, která je

zjednodušením Korfovy růstové funkce pro n=2.

18

Michajlovova růstová funkce

je zjednodušením Korfovy růstové funkce pro n = 2

2 1

kk

1 2 .t ty A.e A.e

k

t2

kBP A.e .

t

1

kt

2 t2 = k

21MBP 4A e

k

11

MPP A ek

Nevýhodou je „strnulost“ – t2 je vždy 2.t1

Růst obecně je možno definovat jako zvětšování velikosti živého systému, které vzniká

aktivní bilancí přeměny látkové (asimilací).





Poznámka:

Nyní budeme počítat hodnoty dle Michajlovovy růstové funkce pro výšku (v návodu je pro

ukázku uveden výpočet hodnot i pro výčetní tloušťku dle Michajlovovy růstové funkce) a

hodnoty pro výčetní tloušťku budeme počítat dle Korfovy růstové funkce (výpočet dle

Korfovy růstové funkce pro výčetní tloušťku je uveden za výpočtem dle Michajlovovy

růstové funkce).

Modelovou výšku dopočítáme jako

parametr a pro výšku zamčený F4 * EXP (parametr k pro výšku zamčený F4 / věk)

Např. 40 * EXP (1 / 10) = 44,21 m

Výslednou buňku přetáhnete křížkem v pravém dolním rohu pro nakopírování vzorce po

poslední hodnotu.





Modelová tloušťka se spočítá obdobně jako výška, ale dosadí se parametry a, k pro tloušťku.

Např. 40 * EXP (1 / 10) = 44,21 cm

(cm)

(cm)





Výslednou buňku přetáhnete křížkem v pravém dolním rohu pro nakopírování vzorce po

poslední hodnotu.

(cm)

(cm)





Modelové tloušťky i výšky se zatím rovnají, změní se až po použití řešitele, který přepíše

parametry a, k tak, aby čtverce odchylek reziduí byly co nejmenší.

Rezidua (čtverce reziduí) pro výšku spočítáme jako (naměřená výška – modelová) ^ 2

Např. (3,7 – 44,21) ^ 2 = 1640,80

Uchopíme křížek v pravém dolním rohu a buňky se vzorcem přetáhneme po poslední hodnotu

reziduí. Spočítáme součet čtverců reziduí.





(cm)





Obdobně spočítáme rezidua pro tloušťku jako (měřená tloušťka – modelová) ^ 2

Např. (3,1 – 44,21) ^ 2 = 1689,77

Buňku opět křížkem roztáhneme pro nakopírování vzorce a provedeme sumu čtverců reziduí.









Použití řešitele.

Klikneme na záložku Data – Řešitel. Do „nastavit buňku“ klikneme na sumu reziduí u výšky,

zatrhneme „min.“, do „měněné buňky“ označíme parametry a, k, pro výšku. Klikneme na

„řešit“ a „uchovat řešení“.





Po použití řešitele se změní parametry a, k, rezidua a modelová výška.





Obdobně použijeme řešitele pro výčetní tloušťku s parametry a, k pro tloušťku a součet

reziduí pro tloušťku.









Výpočet běžného a průměrného přírůstu výšky.

Běžný přírůst výšky se spočítá jako

18

Michajlovova růstová funkce

je zjednodušením Korfovy růstové funkce pro n = 2

2 1

kk

1 2 .t ty A.e A.e

k

t2

kBP A.e .

t

1

kt

2 t2 = k

21MBP 4A e

k

11

MPP A ek

Nevýhodou je „strnulost“ – t2 je vždy 2.t1

První část vzorce pro běžný přírůst je Michajlovova růstová funkce.

modelová výška * - parametr k zamčený F4 / věk ^ 2

Např. 1,74 * - (- 30,89) / 10 ^ 2 = 1,74 * 30,89 / 10 ^ 2 = 0,54 m

Křížkem v pravém dolním rohu můžeme buňku roztáhnout po poslední hodnotu běžného

přírůstu výšky.





Přírůst je rychlost růstu taxačních veličin, je to změna taxačních veličin v časovém intervalu.

Běžný přírůst je rozdíl hodnot růstové veličiny y v různých časech t1 a t2.

Běžný přírůst tloušťky spočítáme stejným způsobem s dosazenými modelovými tloušťkami a

parametrem k pro tloušťku.





Průměrný přírůst výšky spočítáme jako modelová výška / věk

Např. 28,02 / 100 = 0,28 m

Buňku s výsledkem přetáhneme pro nakopírování vzorce pravým dolním křížkem po poslední

hodnotu.

Průměrný přírůst je podíl hodnoty růstové veličiny y a počtu roků, během kterých se růstová

veličina vytvořila.





Průměrný přírůst tloušťky spočítáme jako modelová tloušťka / věk, buňku opět roztáhneme

křížkem pro všechny hodnoty průměrného přírůstu.

Např. 33,00 / 100 = 0,33 cm

(cm)

(cm)





Index korelace a determinace pro výšku.

Index korelace pro tloušťku se spočítá jako

ODMOCNINA (1 – (suma reziduí / DEVSQ (označené všechny naměřené tloušťky)))

Např. ODMOCNINA (1 – (69,09 / DEVSQ (naměřené tloušťky))) = 0,9799

Index korelace udává míru závislosti hodnot.

Index korelace pro výšku spočítáme obdobně s dosazením hodnot pro výšku.

(cm)





Index determinace se spočítá jako index korelace ^ 2

Např. index determinace pro tloušťku: 0,9799 ^ 2 = 0,9602

U výpočtu indexu determinace pro výšku postupujeme obdobně, ovšem s hodnotou indexu

korelace pro výšku.

Index determinace udává, jaká část variability závisle proměnné je vysvětlena modelem.

(cm)









Grafické znázornění měřených a modelových výšek, běžného a průměrného přírůstu

výšky a tloušťky.

Utvoříme graf tlouštěk s měřenými a modelovými tloušťkami, běžným přírůstem a

průměrným přírůstem a graf výšek s měřenými a modelovými výškami a běžným a

průměrným přírůstem.

Výpočet parametrů dle Korfovy růstové funkce pro tloušťku.

Nyní k výpočtu modelové tloušťky a hodnot běžného a průměrného přírůstu použijeme

Korfovu růstovou funkci.





16

Korfova růstová funkce

n

f´ t k

f t t

vychází z intenzity růstu

(relativní rychlosti růstu)

n 1

k

1 n .ty A.e

Integrací intenzity růstu získáme Korfovu růstovou funkci

n 1

k

1 n .t

n

kBP A. .

t

yPP

t

Nastavíme parametry pro tloušťku např. a=100, k=10 a dopíšeme pod ně parametr n=1,5.

Tvar rovnice modelové tloušťky:

Parametr a zamčený F4 * EXP (parametr k zamčený F4 / ((1 – parametr n zamčený F4) *

věk ^ (parametr n zamčený F4 - 1)))

Např. 100 * EXP (10 / ((1 – 1,5) * 10 ^ (1,5 – 1))) = 0,18 cm

Buňku s výsledkem přetáhneme dolů pro výpočet dalších modelových tloušťěk.

Rezidua spočítáme jako (tloušťka – modelová) ^ 2





Např. (3,1 – 0,18) ^ 2 = 8,53 cm

Výslednou buňku přetáhneme křížkem v pravém dolním okraji dolů. Provedeme sumu

reziduí.





Použití řešitele.

Klikneme na záložku Data – Řešitel. Do „nastavit buňku“ klikneme na sumu reziduí,

zatrhneme „min.“, do „měněné buňky“ označíme všechny parametry a, k, n pro výčetní

tloušťku. Klikneme na „řešit“ a „uchovat řešení“.





Po použití řešitele se změnily modelové tloušťky, rezidua, parametry a, k, n.





Výpočet běžného a průměrného přírůstu tloušťky.

Běžný přírůst vypočítáme dle rovnice:

16


n

f´ t k

f t t



n 1

k

1 n .ty A.e


n 1

k

1 n .t

n

kBP A. .

t

yPP

t

První část vzorce je Korfova růstová funkce, kterou jsme již spočítali jako modelovou

tloušťku.

Modelová tloušťka * parametr k zamčený F4 / věk ^ parametr n zamčený F4

Např. 3,34 * 2,40 / 10 ^ 1,25 = 0,45 cm





Výslednou buňku roztáhneme křížkem v pravém dolním rohu pro automatický dopočet

zbývajících hodnot.





Průměrný přírůst tloušťky se spočte dle rovnice

16


n

f´ t k

f t t



n 1

k

1 n .ty A.e


n 1

k

1 n .t

n

kBP A. .

t

yPP

t

Vypočte se jako model / věk

Např. 3,34 / 10 = 0,33 cm

Křížkem v pravém dolním okraji přetáhneme buňku s výsledkem pro výpočet dalších hodnot.









Index korelace a determinace pro tloušťku.

Index korelace pro tloušťku spočítáme jako

ODMOCNINA (1 - (suma reziduí / DEVSQ (označené všechny výčetní tloušťky)))

Např. ODMOCNINA (1 – (5,87 / DEVSQ (označené výčetní tloušťky))) = 0,9983





Index determinace se spočítá jako index korelace ^ 2

Např. 0,9983 ^ 2 = 0,9966









Grafické znázornění měřené a modelové tloušťky, běžného a průměrného přírůstu

tloušťky.

Utvoříme graf tlouštěk s naměřenou tloušťkou (cm), modelovou tloušťkou (cm), běžným a

průměrným přírůstem.





Documents

Protokol č. 9 - MENDELUuser.mendelu.cz/drapela/Dendrometrie/Navody_do... · Vytvořeno v rámci projektu: Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty