Protok fluida

Prijenos topline i mase

Prijenos topline i masePrijenos topline i maseProtok fluidaFER –

akad. god. 2010./2011.

Energijske tehnologije22010./2011. Prijenos topline i mase: Protok fluida 2

PonavljanjePonavljanje

Prijelaz topline

Protok fluida• Zakon očuvanja mase

Energijske tehnologije32010./2011. 3

Sadržaj predavanjaSadržaj predavanja

Zakon očuvanja količine gibanja•

Stokes-Navierova

jednadžba

•

Bernoullijeva

jednadžba

•

Primjena Bernoullijeve

jednadžbe

Strujanje tekućina u cijevima i kanalima

Prijenos topline i mase: Protok fluida


Protok fluida –

Zakoni očuvanjaProtok fluida –

Zakoni očuvanja

Zakon očuvanja mase

∫∫→→

=∂∂

FV

dFnvdVt

ρρ

Promjena mase u zatvorenom volumenu mora biti jednaka razlici mase koja u njega ulazi i mase koja iz njega izlazi



Protok fluida –


Zakoni očuvanja

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

→→→

VF

dVvdivdFnv ρρ

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂ →

VV

dVvdivdVt

ρρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂ →

vdivt

ρρ

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ →

vdiv ρ

Stacionarno stanje

Prema teoremu Gaussa

i Ostrogradskog

Nestlačivi

fluid

0div =∂∂

+∂∂

+∂∂

=→

zv

yv

xvv



Protok fluida –

strujnicaProtok fluida –

strujnica

a1

v2a2

v1

0222111 =−=∫→→

vavadFnvF

ρρρ

.konst=vaρ



Protok fluida –


Zakoni očuvanja

Zakon očuvanja količine gibanja

dxxppδδ

+

Sila gravitacije

dxdydzgdVg xx ρρ =

Sila zbog razlike tlaka


dVxpdydzdx

xpppdydz

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−


Protok fluida –


Zakoni očuvanjaSila zbog unutarnjeg trenja

x

s+ds

sdx

dydvs xμ=

dVdy

vddxdydzdydssdxdzdxdzdy

dydss x

2

2

μ==−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

dVvdVzv

yv

xv

xxxx 22

2

2

2

2

2

∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂ μμ

μ - dinamička viskoznost [kg/m·s]

ρμν = -

kinematička

viskoznost [m2/s]



Protok fluida –


Zakoni očuvanja

Ukupna sila na fluid

dVvxpg xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+

∂∂

− 2μρ

zvv

yvv

xvv

tv

zv

tz

yv

ty

xv

tx

tv

DtDv x

zx

yx

xxxxxxx

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=

dVvxpg

zvv

yvv

xvv

tvdV xx

xz

xy

xx

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ 2μρρ

Zbroj svih sila koje djeluju na element volumena dV u smjeru x

Ukupna je sila jednaka umnošku mase i akceleracije.

S obzirom da je v=f(x, y, z, t), vrijedi

Jednadžba očuvanja količine gibanja glasi



Protok fluida –


Zakoni očuvanja

xxx v

xpg

DtDv 2∇+

∂∂

−= μρρ

yyy v

ypg

DtDv 2∇+

∂∂

−= μρρ

zzz v

zpg

DtDv 2∇+

∂∂

−= μρρ

U smjerovima x, y, z jednadžbe glase

→→→

∇+−= vpgDt

vD 2grad μρρ

Povezivanjem sve tri jednadžbe u jednu jednadžbu dobiva se Stokes- Navierova

jednadžba za nestlačivi

fluid



Protok fluida –


Zakoni očuvanja

Stokes-Navierova

jednadžba za stlačivi

fluid

→→→→

+∇+−= vvpgDt

vD divgrad3

grad 2 μμρρ


Energijske tehnologije12

Bernoullijeva

jednadžbaBernoullijeva

jednadžba

Stokes-Navierova

jednadžba za nestlačivi

fluid bez unutarnjeg trenja u stacionarnom stanju

pgDt

vD grad−=→

→

ρρ

dsvdv

zvv

yvv

xvv

DtvD

zyx

→→

→

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

2010./2011. Prijenos topline i mase: Protok fluida


Bernoullijeva


jednadžbaS obzirom da vrijedi

( )dsdhggg −=−=−− αα sin90cos

01=++

dsdhg

dsdp

dsdvv

ρ

( ) 02

112

1221

22

2

1

2

1

2

1

=−+−

+−

=++ ∫∫∫ hhgppvvdhgdpvdvρρ

dobiva se Bernoullijeva

jednadžba u diferencijalnom obliku

dsdvv

dsvdv =

→→

Integriranjem jednadžbe između dva presjeka strujnice

1 i 2 dobiva se



Bernoullijeva


jednadžba

22

22

11

21

22ghpvghpv

++=++ρρ

.konst2

2

=++ ghpvρ

Jednadžba se može zapisati i u obliku

Odnosno za bilo koji presjek




jednadžbePrimjena Bernoullijeve

jednadžbe

Pitotova

cijevKoristi se za mjerenje brzine protoka fluida u cijevima i kanalima

ρρ2

221

21

22pvpv

+=+

( )1212 ppv −=ρ

h1 = h2





jednadžbeVenturijeva

sapnica

Precizna naprava kojom se mjere protoci tekućina u industrijskim postrojenjima

na temelju razlike tlaka u tekućini koja struji kroz poznate

presjeke

ρρ2

221

21

22pvpv

+=+

h1 = h2

avAv 21 =

A, a –

presjeci ulaznog i najužeg dijela sapnice

( )( ) 1/

2221

1−

−=

aAppv

ρPrijenos topline i mase: Protok fluida




jednadžbePrigušnicaTakođer se koristi za mjerenje protoka tekućina

h1 = h2

( )( ) 1/

2221

−−

=aA

ppCAWρ

W –

volumni protok (m3/s)

C –

korekcijski faktor, ovisno o promjeru i izvedbi prigušnice

varira u opsegu 0,6 –

0,8





jednadžbeBrzina istjecanja tekućine iz posude

v1 << v2

v2 = v

h1 – h2 = h

2

22

1 2ghvgh +=

ghv 2= Torricellijeva

formula

Ukoliko se tekućina u posudi nalazi pod tlakom za Δp većim od tlaka sredine u koji ona istječe, u obzir treba uzeti tu dodatnu razliku tlaka

( )ρ/2 pghv Δ+=



Kritična brzina istjecanja fluidaKritična brzina istjecanja fluida

Kada brzina istjecanja fluida dosegne brzinu zvuka fluida na tlaku i temperaturi kod mjesta istjecanja, daljnje povećanje razlike tlaka ne dovodi do povećanja brzine istjecanja.

Brzina fluida koja odgovara tom stanju poznata je kao kritična brzina, a odgovarajući protok kao kritični protok.

Brzina zvuka u jednofaznim fluidima

ρ/Kc =

K –

volumenski modul elastičnosti (Pa)

ρ

–

gustoća fluida (kg/m3)



Kritična brzina istjecanja fluidaKritična brzina istjecanja fluida

Pri istjecanju pothlađene tekućine visokog tlaka u okolinu (takav se slučaj tipično javlja kod nuklearnih reaktora koji su hlađeni vodom pod tlakom) javlja se naglo isparivanje kada tlak vode koja istječe padne ispod tlaka zasićenja. Isparivanje stvara protutlak koji ograničava brzinu istjecanja fluida.

Tongova

korelacija:

( )[ ][ ] 5,00 12 sk pCpG −−= ρ

Gk

kritični maseni protok (kg/m2s)ρ

gustoća pothlađene tekućine (kg/m3)

p0

tlak tekućine u spremniku (Pa)ps

tlak zasićenja tekućine (Pa)C

empirijski koeficijent ovisan o tlaku zasićenja


Documents

Protok fluida