OBJECTIFS : Reconnaitre une situation de proportionnalitéPropriétés de linéaritéProblèmes

PROPORTIONALITY (PART 1)

PROPORTIONNALITÉ (PARTIE 1)

GOALS : Situations involving proportional relationshipsLinéaritéProblems

1. Noémie achète 2 mètres de corde qui coûte 2,30 € le mètre.

Oui, il y a proportionnalité entre la longueur de corde et le prix. Si j’achète 4 mètres

de corde je vais payer : 2× 𝟐, 𝟑 = 𝟒, 𝟔€

2. À 6 ans, Armand chaussait du 30 et à 18 ans, il chausse du 42

Non, il n’y pas proportionnalité entre la pointure et l'âge. Sinon, combien

devrais-je chausser à 18 ans ? 𝟑𝟎 × 𝟑 = 𝟗𝟎Ce qui ferait de grandes chaussures !!!

LES SITUATIONS SUIVANTES RELÈVENT-ELLES DE SITUATIONS DE

PROPORTIONNALITÉS ?

AMONG THE EXAMPLES GIVEN BELOW, WHICH CAN BE SAID TO BE SITUA

TIONS INVOLVING PROPORTIONAL RELATIONSHIPS?

1. Noémie bought 2 meters of rope which cost 2.3 € the meter.

Yes, there is proportionality between the length of rope and the price. If I buy 4

meters of rope I'll pay: 2× 𝟐, 𝟑 = 𝟒, 𝟔€

2. At the age of 6, Armand wear shoes of size 30 and at the age of 18, he

takes size 42,

No, there is no proportionality between the size and age. Otherwise, what

should be my size at 18 years? 𝟑𝟎 × 𝟑 = 𝟗𝟎

That would make great shoes!

3. Un piéton se promène à allure régulière le long des berges de la Lézarde

et parcourt 3,5 km en 1 h 30.

Oui, il y proportionnalité entre la distance parcourue et le temps car son

allure est régulière. S’il parcourt 7km combien va-t-il mettre de temps ?

Il parcourt deux fois plus de km, à la même allure régulière, il mettra deux

fois plus de temps Soit : 3h00

3. A pedestrian walks at a regular pace along the banks of the Lézarde river

and makes 3.5 km in 1 h 30.

Yes, there is proportionality between the distance and the time because his

allure is regular. If he walks 7km how long will he put ?

He walks two times more km at the same regular speed, he will put two

times longer That is : 3h00

Non, il n’y a pas proportionnalité entre le nombre de plants de tomates et la

quantité récoltée.

4. Coralie à planté 8 plants de tomates dans son jardin. Elles ont produit 14 kg de

tomates. L’an passée elle a planté 12 plants et a récolté 18 kg. L’an prochain elle

voudrait planter 10 pieds de tomates et espère récolter 16 kg.

4. Coralie has planted 8 tomato plants in her vegetable garden.

These have produced14kg of tomatoes. Last year, she had planted 12 plants and

had harvested 18kg. Next year she would like to plant 10 plants and she hopes to

harvest 16 kg of tomatoes.

No, there is no proportionality between the quantity of tomatoes plant and

the harvest of tomatoes.

5 Lors d’une vente promotionnelle, on peut lire sur une affiche :

2 gâteaux pour 6,40 €

5 gâteaux pour 16 €

7 gâteaux pour 22 €

S’agit-il d’une situation de proportionnalité ?

5 During a promotional sale, one can read on a poster:

2 cakes for €6.40

5 cakes for €16

7 cakes for €22

Is it a situation of proportionality?

Dans une situation de proportionnalité pour connaitre le prix de plusieurs

gâteaux on multiplie par le prix d’un gâteau

Solution 1 :

2 gâteaux coûtent 6,40€, 1 gâteau coûte : 𝟔, 𝟒𝟎 ÷ 𝟐 = 𝟑, 𝟐 €

o 5 gâteaux devraient donc coûter :

C’est bien le prix de l’affiche𝟑, 𝟐 × 𝟓 = 𝟏𝟔 €

o 7 gâteaux devraient donc coûter :

Ce n’est pas le prix de l’affiche.

𝟑, 𝟐 × 𝟕 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟎 €

Il n’y a pas proportionnalité

In a situation of proportionality, to know the price of several cakes, we

multiply by the price of a cake

1st Solution :

2 cakes cost € 6.40, 1 cake costs: 𝟔, 𝟒𝟎 ÷ 𝟐 = 𝟑, 𝟐 €

o 5 cakes should cost you:

it is the price of the poster

𝟑, 𝟐 × 𝟓 = 𝟏𝟔 €

o 7 cakes should cost you:

this is not the price of the poster.

𝟑, 𝟐 × 𝟕 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟎 €

There is no proportionality

2 gâteaux pour 6,40 €

5 gâteaux pour 16 €

7 gâteaux pour 22 €

Dans une situation de proportionnalité le prix 7 gâteaux doit être

le même que le prix de 2 + 5 = 7 gâteaux soit :

Solution 2 :

2 gâteaux coûtent 6,40 € et 5 gâteaux coûtent 16 €

𝟔, 𝟒𝟎 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟎 €

Ce n’est pas le prix de l’affiche qui est de 22 €.

Il n’y a pas proportionnalité

In a situation of proportionality the 7 cakes price must be the

same as the price of 2 + 5 = 7 cakes, that is :

2nd Solution :

2 cakes cost €6.40 and 5 cakes cost €16

𝟔, 𝟒𝟎 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟎 €

This is not the price of the poster which is € 22.

There is no proportionality

1 DEFINITION DE LA PROPORTIONNALITÉ (CAHIER DE COURS)

Définition :

Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut passer de

l’une à l’autre en multipliant par un même nombre : le coefficient de proportionnalité.

1 DEFINITION OF THE PROPORTIONALITY

Définition :

Two quantities are proportional if it can pass from one to the

other by multiplying by the same number: the constant of proportionality.

2 PROPRIETES DE LINEARITES (CAHIER DE COURS)

Quand deux listes de nombres sont proportionnelles, on a les deux

propriétés suivantes, qu’on appelle les propriétés de linéarité

- A la somme de deux nombres d’une liste correspond la somme des

nombres correspondants de l’autre liste.

- Au produit d’un nombre d’une liste par un nombre p , correspond le produit

du nombre correspondant de l’autre liste par p.

2 PROPERTIES OF LINEARITY (CAHIER DE COURS)

When two lists of numbers are proportional, it has the following two

properties called the linearity properties

- At the sum of two numbers of a list corresponds the sum of the

corresponding numbers of the other one list.

- At the product of a number of a list by a number p, corresponds the product

of the corresponding number of the other one list, by p.

EXERCICES (CAHIER D’EXERCICES)

Au marché, pour des pamplemousses, il est affiché « 1,20€

l’unité, 2€ les deux »

a) Quelles sont les deux grandeurs qui interviennent dans cet

énoncé ?

b) Ces grandeurs sont-elles proportionnelles ?

In the market, for grapefruit, it is displayed "€ 1,20 unit, €2

both"

a) What are the two quantities that are involved in this

statement?

b) Are these quantities proportional?

EXERCICES (CAHIER D’EXERCICES)

Exercice 1

a) Les deux grandeurs qui interviennent sont le nombre de

pamplemousse et le prix des pamplemousses en euros.

b) Non, il n’y a pas proportionnalité. En effet, si le prix des

pamplemousse était proportionnel à la quantité achetée,

alors 2 pamplemousses couteraient 2 fois le prix de 1

pamplemousse, à savoir 2,40€ euros et non 2€

a) The two quantities involved are the quantity of grapefruit

and the price in euro.

b) No, there is no proportionality. Indeed, if the price of the

grapefruit was proportional to the quantity purchased, then

2 Grapefruits should cost 2 times the price of 1 grapefruit,

namely € 2,40 euros and not € 2,

Exercice 2

Un jour, Sophie a cueilli 3 kg de cerises en 45 minutes. Le

lendemain, elle a cueilli 6 kg de cerises en 1h30min. La masse

de cerises cueillies est-elle proportionnelle à la durée de la

cueillette ? Justifiez votre réponse.

6 kg (le double de 3kg) ont été cueillis en le double de

temps (45min x 2 = 90 min = 1h30min) donc la masse de

cerise cueillies est proportionnelle à la durée de la

cueillette.

One day, Sophie picked 3 kg of cherries in 45 minutes. The

next day, she picked 6 kg of cherries in 1h30min. Is the mass

of picked cherries proportional to the duration of the picking?

Justify your answer.

6 kg (double of 3 kg) have been picked in double time (45

min x 2 = 90 min = 1h30min) therefore the mass of cherry

picked is proportional to the duration of the picking.

Exercice 3

Les dimensions du premier rectangle sont-elles proportionnelles aux

dimensions du deuxième rectangle ? Justifiez votre réponse.

Pour passer de la petite longueur à la grande longueur, on a multiplié

par 6:4=1,5. Mais pour passer de la petite largeur à la grande largeur on

a multiplié par 4,5:2,5=1,8.

Donc les dimensions du petit rectangle ne sont pas proportionnelle aux

dimensions du grand rectangle.

Exercice 3

Are the dimensions of the first rectangle proportional to the dimensions of

the second rectangle? Justify your answer.

To pass from the small length at the great length, we multiplied by 6:4 =

1, 5. But to pass from the small width to the wide, we multiplied by 4,

5:2, 5 = 1, 8. So, the sides size of the rectangle are not proportional to

the ones of the large rectangle.

Exercice 4

Dans une fête foraine les billets sont vendus comme suit : 4

tickets pour 6,5 €, 8 tickets pour 13 €, et 12 tickets pour 19,5€

Que pensez–vous de ces tarifs ?

Dans une situation de proportionnalité pour connaitre le prix de plusieurs

tickets on multiplie par le prix d’un ticket

Solution 1 :

4 tickets coûtent 6,50€, 1 ticket coûte : 𝟔, 𝟓𝟎 ÷ 𝟒 = 𝟏, 𝟔𝟐𝟓€

o 8 tickets devraient donc coûter :

C’est bien le prix de l’affiche

𝟏, 𝟔𝟐𝟓 × 𝟖 = 𝟏𝟑 €

o 12 tickets devraient donc coûter : 𝟏, 𝟔𝟐𝟓 × 𝟏𝟐 = 𝟏𝟗, 𝟓𝟎€

Il y a proportionnalité

In a situation of proportionality, to know the price of several tickets, we

multiply by the price of a ticke

1st Solution :

4 tickets cost € 6.50, 1 ticket costs: 𝟔, 𝟓𝟎 ÷ 𝟒 = 𝟏, 𝟔𝟐𝟓€

o 8 tickets should cost you:

it is the price of the poster

𝟏, 𝟔𝟐𝟓 × 𝟖 = 𝟏𝟑 €

o 12 tickets should cost you: 𝟏, 𝟔𝟐𝟓 × 𝟏𝟐 = 𝟏𝟗, 𝟓𝟎€

There is proportionality

Dans une situation de proportionnalité le prix 12 tickets doit être

le même que le prix de 4 + 8 = 12 tickets soit :

Solution 2 :

4 tickets coûtent 6,50 € et 8 tickets coûtent 13 €

𝟔, 𝟓𝟎 + 𝟏𝟑 = 𝟏𝟗, 𝟓𝟎 €

Ce qui est le prix de 12 tickets.

Il y a proportionnalité

In a situation of proportionality the 12 tickets price must be the

same as the price of 4 + 8 = 12 tickets, that is :

2nd Solution :

4 tickets cost €6.50 and 8 tickets cost €13

𝟔, 𝟓𝟎 + 𝟏𝟑 = 𝟏𝟗, 𝟓𝟎 €

This is not the price of the 12 tickets.

There is proportionality