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Chapitre 06 : PROPORTIONNALITÉ

I) Vocabulaire :

1) Définition : Situation de proportionnalité :

En mathématiques, on dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant (ou en divisant) les valeurs de l’autre par un même nombre non nul.

Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Exemple :

Sur la devanture d'une boulangerie, on peut lire : 1 Baguette = 1,10 € 3 Baguettes achetées, 1 offerte

Cette situation NE relève PAS d’une situation de proportionnalité.

En effet : 1 Baguette 1,10 €

2 Baguettes 2,20 €

3 Baguettes 3,30 €

4 Baguettes 3,30 €

Exercice :

Pour réaliser 10 « barres tendres », il faut :

Adapter la recette pour 20 « barres tendres ».

https://natachacreative.com/cuisine/barre-tendre/

2) Définition : Tableau de proportionnalité :

Une situation de proportionnalité peut être présentée dans un tableau (appelé tableau de proportionnalité) dans lequel on précise les grandeurs proportionnelles et les unités utilisées.

Exemple :

Le triangle IGH est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre E et de rapport 1,5, les longueurs respectives ont donc été multipliées par 1,5. On obtient :

On trouve HF = 4,5 × 4

3 = 6 cm.

6 cm 4,5 cm

8 cm IH

× 1,10 €

× 1,10 €

× 1,10 €

× 1,10 €

×4

3 ×

4

3

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3) Définition : Quatrième proportionnelle :

Lorsque dans deux colonnes d’un tableau de proportionnalité on connaît trois nombres, on peut calculer le quatrième. On l’appelle la quatrième proportionnelle.

Exemple : Si l’on considère le tableau de l’exemple précédent,

IH est la quatrième proportionnelle.

4) Propriété : Produit en croix :

Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.

Concrètement : On considère 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 quatre nombres tels que 𝑐 et 𝑑 soient non nuls.

Si est un tableau de proportionnalité, alors :

Exemple : Dans le tableau de proportionnalité ci-contre :

- 8,2 × 39,5 = 323,9 - 41 × 7,9 = 323,9

Les deux produits en croix sont bien égaux.

Remarques : 1. La réciproque reste vraie : Si , alors est un tableau de proportionnalité.

2. Démonstration disponible à l’adresse suivante : http://pedagogie.ac-toulouse.fr/math/stages/college/quatrieme_06_07/calcul/word/demonstration_produits_en_croix.doc

II) Déterminer un quatrième proportionnelle :

1) Méthode : Compléter un tableau de proportionnalité.

Pour déterminer une quatrième proportionnelle, on choisit le plus simple selon l’énoncé.

Exemple : Sur une carte, 2 cm représentent 12 km. Calculer la distance réelle représentée par 3 cm.

Connu Connu

Connu ?

6 cm 4,5 cm

8 cm IH

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝟖, 𝟐 𝟕, 𝟗

𝟒𝟏 39,5

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

× 5

𝒂 × 𝒅 = 𝒄 × 𝒅

𝒂 × 𝒅 = 𝒄 × 𝒅

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Pour déterminer la distance réelle représentée par 3 cm sur la carte, il est possible d’utiliser plusieurs méthodes :

1. En utilisant le coefficient de linéarité : Pour 2 cm, on a 12 km.

Comme 3 = 2 ×3

2, la distance réelle correspondante à 3 cm sur la carte est de 12 ×

3

2= 18 km.

2. En utilisant le coefficient de proportionnalité : Pour 2 cm, on a 12 km. Pour obtenir 12 à partir de 2, il faut multiplier 2 par 6. Pour calculer la distance réelle correspondante à 3 cm, il suffit de multiplier 3 par 6. 6 est appelé le coefficient de proportionnalité qui lie la distance sur la carte à la distance réelle.

3. En utilisant « la règle de trois » (passage par l’unité) : Pour 2 cm, on a 12 km. Pour 1 cm, on a 2 fois moins, soit 6 km. On en déduit que pour 3 cm, on a 6 × 3 = 18 km.

4. En ajoutant les nombres de deux colonnes pour obtenir la valeur de la troisième :

5. En utilisant l’égalité des produits en croix : Comme le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité,

les produits en croix sont égaux. On en déduit que : 2 × 𝑥 = 3 × 120 2𝑥 = 360

𝑥 =360

2= 180.

Distance sur la carte en cm 2 3

Distance réelle en km 12 ...

Distance sur la carte en cm 2 3

Distance réelle en km 12 ...

Distance sur la carte en cm 2 1 3

Distance réelle en km 12 12÷2 6×3

Distance sur la carte en cm 2 1 3

Distance réelle en km 120 60 120+60

Distance sur la carte en cm 2 3

Distance réelle en km 120 𝒙

× 3

2

× 3

2

× 6 × 6

÷ 2

Tapez une équation ici.

÷ 2

× 3

× 3

+

Tapez une équation ici.

+

Tapez une équation ici.

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III) Représentations graphiques et proportionnalité :

1) Propriétés : Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points

alignés avec l’origine du repère.

Réciproquement :

Si une situation est représentée graphiquement par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation de proportionnalité.

Exemples :

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel par :

𝑓 : 𝑥 0,5 𝑥

Ce graphique représente une situation de proportionnalité car les points sont alignés avec l’origine du repère.

La fonction f est une fonction linéaire.

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel par :

𝑓 : 𝑥 𝑥²

Ce graphique NE représente PAS une situation de proportionnalité car les points ne sont pas alignés.

La fonction f n’est ni linéaire, ni affine.

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel par :

𝑓 : 𝑥 𝑥 + 2

Ce graphique NE représente PAS une situation de proportionnalité car les points ne sont pas alignés avec l’origine du repère.

La fonction f est affine.

IV) Grandeurs composées :

1) Définition : Grandeur quotient :

Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en effectuant le quotient de deux gradeurs.

Exemple : La vitesse moyenne d’un mobile est la distance parcourue pendant une unité de temps. Elle s’exprime en km/h par le quotient de deux grandeurs :

la longueur du parcours (en km),

la durée de ce parcours (en h). Un véhicule roulant à une vitesse constante égale à 120 km/h parcourt ainsi 120 km en une heure.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

Pri

x p

om

mes

Quantitié pommes

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5 6

Air

e d

e ce

car

ré

Longueur d'un carré

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6

Pri

x m

ensu

elHeures de communication

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2) Définition : Grandeur produit : Une grandeur produit est une grandeur obtenue en effectuant le produit de deux grandeurs.

Exemples :

L’énergie (en Wh) s’exprime par le produit de deux grandeurs :

la puissance de l’appareil (en W),

la durée d’utilisation de cet appareil (en h). Un appareil de puissance de 2200 W utilisé pendant 3h consomme ainsi une énergie égale à 300 Wh.

V) Pourcentages :

1) Propriété :

Un pourcentage de 𝑡 % traduit une situation de proportionnalité de coefficient 𝑡

100.

Donc appliquer un taux de 𝑡 % revient à multiplier par 𝑡

100.

Exemple : Juin 2016, il y avait 81 élèves au collège de Gerstheim. Environ 88,7 % de ces élèves ont eu leur brevet. 28,4% ont eu leur brevet avec une mention TB, 13,5% avec une mention B et 15 avec une mention AB. Calculer le nombre d’élève ayant eu leur brevet.

Pour calculer le nombre d’élèves ayant eu leur brevet, on peut utiliser la propriété précédente :

81 × 88,7

100 ≈ 72.

On en déduit que 72 élèves ont eu leur brevet.

Exercice : Calculer le nombre d’élèves ayant eu une mention TB puis B.

2) Définition :

Augmenter un nombre de 𝑡 % revient à multiplier par 1 +𝑡

100.

Diminuer un nombre de 𝑡 % revient à multiplier par 1 −𝑡

100.

Exercice 1 : Les tarifs d’une compagnie d’énergie augmentent de 9 %. La famille Martin payait une facture annuelle de 570 €. Avec le nouveau tarif, elle payera donc :

570 € × (𝟏 +𝟗

𝟏𝟎𝟎) = 570 € × 𝟏, 𝟎𝟗 = 621,30 €

Exercice 2 : Dans un magasin, lors des soldes, on diminue tous les prix de 35 %. Le prix d’un pantalon était de 55€.

Son nouveau prix est donc de :

55 € × (𝟏 −𝟑𝟓

𝟏𝟎𝟎) = 55 € × 𝟎, 𝟔𝟓 = 35,75 €