Embed Size (px)
Citation preview
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Séquence 6 : Proportionnalité
Objectifs : Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la
proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de
proportionnalité, pourcentages.
Durée : 3 semaines (10 séances)
Compétences visées : Maths :
■ Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs à partir du sens de la situation. ■ Résoudre un problème de proportionnalité impliquant des grandeurs. ■ Reproduire une figure en respectant une échelle donnée. ■ Agrandissement et réduction de figures. ■ Résoudre des problèmes relevant des structures additives et multiplicatives en mobilisant une ou plusieurs étapes de raisonnement. ■ Collecter les informations utiles à la résolution d'un problème à partir de supports variés, les exploiter et les organiser en produisant des tableaux à double entrée, des diagrammes circulaires, semi-circulaires, en bâtons ou des graphiques. ■ Remobiliser les procédures déjà étudiées pour résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et les enrichir par l'utilisation du coefficient de proportionnalité. ■ Appliquer un pourcentage. ■ Exprimer un coefficient de proportionnalité sous la forme d’une fraction.
Algorithmique, Informatique et Calculatrice : ■ Construire un tableau de proportionnalité à l’aide de la calculatrice.
Compétences nécessaires : Fin de CM2 :
Dans chacun des trois domaines « nombres et calculs », « grandeurs et mesures » et « espace et géométrie » des problèmes relevant de la proportionnalité sont proposés à l’élève.
Il mobilise pour les traiter des formes de raisonnement spécifiques et des procédures adaptées : les propriétés de linéarité (additive et multiplicative), le passage à l’unité, le coefficient de proportionnalité.
Faire marquer le devoir maison n°11 dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Lundi 6 Décembre 2021. Objectif : Réinvestir les compétences de cycle 3 sur la proportionnalité.
Séance 1
Travail
Maison
Exos 1 à
10 page 88
du
manuel
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Activité 1.: Réflexion Reconnaître une situation de proportionnalité
Expliquer pourquoi il s’agit d’une situation de proportionnalité : …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………… Proportionnalité et conversions de durées (bis repetita placent)
0,5h =.………h= …….……min 0,25 h = =.………h= …….……min 0,75h=.………h= ….……min Exercice 1 : Convertir en minute puis en heure/minute : 4,2h ? Et 0,8h ? Et 342 min? Utilisons un tableau de proportionnalité :
Durée en Heure
1
Durée en minute
60
Donc : 4,2h = ………………….. min = ……… h ………….. min 0,8h = …………………. min 342 min = ………………….. h = ……… h ………….. min
Exercice 2 : Convertir 3h12min53 s en heure.( C’est à dire en nombre d’heure décimal)
3h 12min 53s
Travail
Maison
Activité
1 page 90
du
manuel
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Activité 2.: Problématique Méthodes de calcul
֍ MÉTHODES pour compléter un tableau est un tableau de proportionnalité
Méthode 1 : on utilise le coefficient de proportionnalité
3 11
4,5 12
Méthode 2 : on additionne ou soustrait les colonnes entre elles
19 3 22 25
4,5 33
Méthode 3 : on multiplie (ou divise) une colonne par un nombre (Non nul)
3 21
4,5
Méthode 4 : on utilise le retour à l’unité
6 7 1
30 35
Exemples de coefficients de proportionnalité qui sont des fractions :
֍ MÉTHODE pour vérifier qu’un tableau est un tableau de proportionnalité :
On calcule tous les quotients 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 1𝑒𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 2𝑒𝑚𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒
¤ Si tous les quotients sont égaux, alors on a un tableau de proportionnalité. ¤ Si les quotients ne sont pas tous égaux, alors ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
֍ MÉTHODE pour calculer un tableau de proportionnalité : Pour calculer « t % d’une quantité », on multiplie cette quantité par ……………..….
Règle : Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle à 100. On dit aussi : ……………………………………………………………………………………………………………….
Exemple : 9 élèves d’une classe de 28 sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
27 9
30 50 10
100 45
30 20
Demi-pensionnaires 9 𝒕
Classe entière 28 100
Séance 2
Travail
Maison
Activité
2 page
91 du
manuel
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Résoudre des problèmes de proportionnalité
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Activité 3.: Scratch
Activité : Course de Lutins Préambule à l’activité : Lorsqu’un être humain court sur une longue distance la distance parcourue est-elle proportionnelle au temps de parcours ? Justifiez votre réponse. …….………………………………………………………………..…………………………... …….……………………………………………………………………………………………. Que peut-on dire de sa vitesse ? ………………………………………………………….. Activité : voici deux programmes de course d’un lutin. Lequel des deux programmes représente une situation de proportionnalité ?
Partie pratique : Implémenter deux lutins : « Prop » pour la situation de proportionnalité et « Pasprop » pour la seconde, testez-les, (les assembler de sorte à faire courir les deux lutins simultanément), un avec le mode proportionnel et l’autre avec le mode aléatoire.
Appeler le professeur lorsque votre programme fonctionne.
Pour aller plus loin : Quel est le lutin qui gagne toujours ? …………………………………………… Que se passe t’il lorsqu’on met « ajouter 1 à x » au lieu de « ajouter 2 à x » dans le programme B ? …………………..………………………… …….……………………………………… Pourquoi ? …………………..………………………… …….……………………………………… …………………..………………………… …….………………………………………………………………..…………………………... …….…………………………………………………………………………………………….
Séance TICE
Travail
Maison
Faire QCM
page 100
du
manuel
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Pour ceux qui ont fini avant les autres :
Exercice 1
On a compté le nombre de pépins contenus dans des oranges.
Nombre oranges 9 15
Nombre de pépins 54 93
Le nombre de pépins est-il proportionnel au nombre d’oranges ?
Exercice 2 Lors d’un téléchargement, Claude a effectué les relevés ci-dessous :
Durée (en s) 10 30 45 120
Mo téléchargés 14 42 63 168
Le nombre de mégaoctets téléchargés est-il proportionnel à la durée du téléchargement ?
Exercice 3
Ce tableau indique le prix d’un billet au tarif normal dans un train TER selon la distance parcourue ( en km).
Distance (en km) 16 32 50 150
Prix (en €) 3,1 5,7 8,9 17
Selon ce tableau, le prix à payer est-il proportionnel à la distance parcourue ?
Les exercices suivants seront faits sur tableur et vérifié par Calculatrice en utilisant la
touche « calc » ou le tableau de la calculatrice.
Exercice 4
Dans 60 L d’air, on trouve en moyenne 21 mL de dioxyde de carbone (CO2). Compléter ce tableau de proportionnalité
Volume d'air (en L) 60 1 100 160
Volume de CO2 (en mL) 31,5
Exercice 5
Le 21 Novembre 2020, on échangeait 1 euro contre 1,19 dollars. Reproduire et compléter ce tableau.
Euros 1 20 50 75 140 450 500
Dollars
(bis repetita placent)
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Activité 4.: Vocabulaire, définitions, propriétés
Complétez les phrases. A. Reconnaitre un tableau de proportionnalité
Définition : Un tableau est dit de proportionnalité, lorsque l’on obtient chaque nombre d’une ligne en ………….. le nombre correspondant de l’autre ligne par un ……………… nombre, Définition : Le nombre qui permet de passer d’une ligne à l’autre d’un tableau de ………………………… en multipliant est appelé coefficient de proportionnalité. Règle : Pour reconnaitre un tableau de proportionnalité, on peut effectuer chacun des ………. d’un nombre de la seconde ligne du tableau par le nombre correspondant de la première ligne. Si tous ces quotients sont …………………………… , le tableau est un tableau de proportionnalité ; sinon, il ne l’est pas. Illustration (cas échéant): Lorsqu’un tuyau fuit, la quantité d’eau, en litres, qui s’écoule est proportionnelle à la durée, en heures, de la fuite. Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité de la première ligne vers la seconde est …….. Cela
signifie qu’en une heure, il s’écoule 𝟏,𝟑 litres.𝟏,𝟑 =13
10=
26
20=
39
30=
52
40
Illustration (cas contraire): La taille d’une personne n’est pas une proportionnelle à son âge. Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.
Agée (en années) 5 10
Taille (en cm) 100 130
En effet, le coefficient multiplicateur qui permet de passer de la première ligne à la
deuxième ligne est égal à …… .. dans la première colonne et …… .. dans le deuxième.
B. Compléter un tableau de proportionnalité
Propriété (cas général) : On peut compléter un tableau de proportionnalité dès que l’on connait …………………. nombres qui se correspondent. Propriété (cas particulier) : Dans un tableau de proportionnalité, si l’on connait trois valeurs sur quatre, alors on peut calculer la quatrième valeur. Cette valeur est appelée la quatrième ……………………………... Règle de trois (pas Troie) :
Séance 3
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Illustrons la résolution du problème suivant de 4 manières différentes : La quantité d’eau, en litres, que l’on utilise pour arroser une pelouse est proportionnelle à l’aire, en m², de cette pelouse. Nous pouvons déterminer le nombre
𝒂 manquant.
Définition : Ce nombre 𝒂 est appelé la quatrième proportionnelle.
Illustration (Passage à l’unité = règle de trois):
Pour arroser 3m², 12𝐿 sont nécessaires, donc pour arroser 1m², on a besoin de
trois fois moins d’eau, soit 4𝐿 (en effet12
3= 4 ). Pour arroser 5 m², on a besoin de
5 fois plus d’eau , soit 20 𝐿 (en effet, 5 × 4 = 20). Donc 𝒂 = 𝟐𝟎 .
On peut résumer ces calculs ainsi : 𝒂 =𝟏𝟐
𝟑× 𝟓 =
𝟏𝟐×𝟓
𝟑=
𝟔𝟎
𝟑= 𝟐𝟎.
Illustration (Coefficient de Proportionnalité): La méthode consiste à multiplier la colonne de droite par le coefficient de proportionnalité.
Illustration (Multiplication de quantités):
La méthode consiste à multiplier une quantité pour obtenir la quantité souhaitée dans la colonne de droite.
Illustration (Combinaisons de quantités): Dans l’éventualité que j’obtienne la
quantité cherchée en soustrayant ou en additionnant deux autres colonnes du
tableau je peux trouver la valeur de 𝒂.
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Activité 5.: Applications
I. Tableaux de proportionnalité
1. Définition : Il y a proportionnalité entre deux grandeurs lorsque ......................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... → Ainsi, pour savoir s’il y a proportionnalité dans un tableau, on ...................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... Exemple d’application – Dire s’il y a proportionnalité dans le tableau. Justifier :
Masse (kg) 4 9 15
Prix (€) 5,20 11,70 19,50
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
.......................................................................................................................................... 3. Compléter un tableau de proportionnalité : Pour compléter un tableau de proportionnalité on procède en deux étapes :
Etape n°1 – ................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... Etape n°2 – On complète le tableau de la manière suivante : → Pour compléter une case en bas, on multiplie celle du haut par le coefficient ; → Pour compléter une case en haut, on divise celle du bas par le coefficient.
Exemple d’application – Compléter le tableau de proportionnalité suivant :
Volume (L) 12 15
Prix (€) 165 92,4
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
...................................................................................................................................................
Travail
Maison
Lire Je
comprends
page 94
du
manuel
Séance 4
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
II. Règle de trois
1. Exemple introducteur : 12 kg de kiwis coûtent 21,60 €. a. Quel est le prix de 24 kg de kiwis ? ...................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. b. Quel est le prix de 6 kg de kiwis ? ....................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. c. Quel est le prix de 9 kg de kiwis ? ........................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2. En général : La règle de trois consiste à .................................................................. .................................................................................................................................................. Exemple d’application – Un volume de 13 L d’essence coûte 18,20 €. Quel est le prix de 3 litres d’essence ? ............................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Suite des exercices d’application
Exercice 1 : Proportionnalité et tableaux
Parmi les tableaux suivants, quel(s) est (sont) celui (ceux) qui représente(nt) une situation de
proportionnalité ? Justifie ta réponse.
Tableau A Tableau B Tableau C
10 5 3 15 45 23 1 79 12 0 10 201 0,1
8 4 2 12 47 25 3 81 1,2 0 1 20,1 0,01
Tableau A : ………………………………………………………………………….
Tableau B : ………………………………………………………………………….
Tableau C : ………………………………………………………………………….
Exercice 2 : Proportionnalité et tableaux
Une moto roulant toujours à la même vitesse met 6 min pour parcourir 9km.
Prévoir la distance parcourue en 30 min. ……………………………………………
Prévoir le temps mis pour parcourir 54 km. ……………………………………..
Exercice 3 : Proportionnalité et tableaux
Un paquet de 250 feuilles a une épaisseur de 3 cm.
Utiliser et compléter le tableau ci-dessous pour :
- Déterminer l’épaisseur de 750 feuilles.
- Déterminer le nombre de feuille dans un paquet de 4, 5 cm d’épaisseur.
Prévoir l’épaisseur d’un paquet de 750 feuilles. …………………………………………………
………………………………………………………………………………..
Prévoir le nombre de feuilles d’un paquet de 4,5 cm d’épaisseur. ………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Durée
(en min) 6 3O .....
Distance
(en km) 9 ..... 54
..... ..... .....
..... ..... .....
Travail
Maison
Lire Je
comprends
page 96
du
manuel
Séance 5
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Exercice 4 : Un hélicoptère a parcouru quatre-vingts kilomètres en vingt minutes.
Combien de temps doit-on prévoir pour parcourir 100 km et 200 km ?
Quelle est la distance prévisible parcourue en 40 minutes,1 heure et 1 heure et demie ?
Utiliser le tableau pour répondre à ces questions.
Distance
(en km)
Durée
(en mn)
Exercice 5 : Compléter le tableau suivant sachant qu’un kilogramme de pommes coûte 1,2 € et que
le prix est proportionnel à la masse.
Masse en kg 1 2,5 3 5 7
10
Prix en €
Exercice 6 : Appliquer un pourcentage
Méthode : On multiplie par le taux, puis on divise par 100.
20% 85 =
31% 800 =
40% 135 =
2,5% 1 200 =
70% 246 =
0,4% 860 =
12% 130 =
12,6% 1 500 =
35% 450 =
8,6% 700 =
67% 600 =
200% 320 =
82% 500 =
150% 430 =
104% 250 =
113,4% 800 =
Année 2021-2022
François Fatoux Collège Honoré de Balzac [email protected]
Exercice 7 : Diminuer d'un pourcentage
Méthode : Diminuer d'un pourcentage au taux t, revient à calculer (100 - t)% .
Par exemple : Diminuer un nombre de 10% revient à calculer 100 -10 = 90% de ce nombre
De même diminuer de 32,5% revient à calculer : 100 - 32,5 = 67,5% de ce
nombre
Diminuer 300 de 20% Diminuer 400 de 10% Diminuer 500 de 30% Diminuer 60 de 20%
Exercice 8 : Augmenter d'un pourcentage
Méthode : Augmenter d'un pourcentage au taux t, revient à calculer (100 + t)% .
Par exemple : Augmenter de 10% un nombre revient à calculer 100 + 10 = 110% de ce nombre Et
De même augmenter de 32,5% revient à calculer : 100 + 32,5 = 132,5% de ce nombre
Augmenter 300 de 20% Augmenter 400 de 10% Augmenter 500 de 30% Augmenter 60 de 20%
Exercice 9 : Pourcentage
1) Un article coûtait 150 euros. Le commerçant fait une remise de 20%. Quel est le nouveau prix de
l’article ?
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
2) Le même commerçant décide d’augmenter de 3% un article qui coûtait 340 euros. Quel est le
nouveau prix de l’article ?
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Séance 6 Travail
Maison
Lire Je
comprends
page 98
du
manuel
