Propiedades de la Transformada de Fourier - Lección 06 · Propiedades de la (D)FT-2D Propiedades de la Transformada de Fourier Lecci on 06.2 Dr.Pablo Alvarado Moya CE5201 Procesamiento

Propiedades de la (D)FT-2D

Propiedades de la Transformada de FourierLeccion 06.2

Dr. Pablo Alvarado Moya

CE5201 Procesamiento y Analisis de Imagenes DigitalesArea de Ingenierıa en Computadores

Tecnologico de Costa Rica

I Semestre, 2017

P. Alvarado — TEC — 2017 Dominio de la frecuencia 1 / 26


Contenido

1 Propiedades de la (D)FT-2DLinealidad y simetrıasSimilitud y desplazamientoConvolucion y derivacionIncertidumbre y corte central



Linealidad y simetrıasSimilitud y desplazamientoConvolucion y derivacionIncertidumbre y corte central

Linealidad

La TF y DFT son operadores lineales:

i1(x) I1(ω)

i2(x) I2(ω)

F a1i1(x) + a2i2(x) a1I1(ω) + a2I2(ω)




Simetrıas en DFTCaso unidimensional

Analisis de DFT en 1D usa simetrıa circular:

01

2

3

4

01

2

3

4

01

2

3

40

1 23

4

5

-1

-2

01 2

34

5

-1

-2

01 2

34

5

-1

-2

01 2

34

5

-1

-2

01 2

34

5

-1

-2

01 2

34

5

-1

-2

Simetrıa Simetrıa impar Simetrıa par




Simetrıas en DFTCaso bidimensional

Analisis de DFT en 2D usa simetrıa toroidal:




SimetrıasEn multiples dimensiones

Par i(−x)= i(x)Impar i(−x)= −i(x)Hermıtica i(−x)= i∗(x)Anti-hermıtica i(−x)=−i∗(x)




SimetrıasCorrespondencias

Senal espacialEspectro

realhermıticoimaginariaanti-hermıticohermıticareal

anti-hermıticaimaginarioparpar

imparimparreal y parreal y par

real e imparimaginario e imparimaginaria y parimaginario y par

imaginaria e imparreal e impar




Memoria necesaria para almacenar espectro (2D)

Imagen real → espectro tiene simetrıa hermıtica

Si imagen tiene tamano R × C , con almacenar R ×(C2 + 1

)muestras del espectro es suficiente

Espectro es complejo → cada muestra usa 2 componentesreales

Memoria utilizada en ambos dominios es la misma

(Por simetrıas, la primera y ultima columna son reales)




SimilitudTransformaciones lineales

En caso 1D solo era posible escalar eje:

x ′ = ax

Con multiples dimensiones se transforma sistema coordinado:

x′ = Ax




SimilitudTres casos

Sean

a ∈ IR

A una matriz real invertible

R una matriz ortonormal (i.e. R−1 = RT , det R = 1)

Se cumple para la TF en n dimensiones:

Escalamiento i(ax) 1|a|n I

(Ωa

)Transformacion afın i(Ax) 1

detA I((

AT)−1

Ω)

Rotacion i(Rx)I (RΩ)

Lo anterior no aplica a la DFT, pero aproxima comportamiento.




DesplazamientoEn el tiempo

Sii(x) I (ω)

entoncesi(x− x0) e−jx

T0 ωI (ω)

Desplazamiento no altera amplitud espectral

Fase cambia linealmente con el desplazamiento segun −xT0 ω




DesplazamientoEn la frecuencia

Sii(x) I (ω)

entoncese jω

T0 xi(x) I (ω − ω0)

Desplazamiento no altera amplitud de la senal espacial

Fase cambia linealmente con el desplazamiento segun ωT0 x

Base de modulacion:

1

2

[e−jω

T0 x + e jω

T0 x]i(x)

1

2(I (ω + ω0) + I (ω − ω0))

cos(ωT

0 x)i(x)

1

2(I (ω + ω0) + I (ω − ω0))




Convolucion

En el caso continuo

i(x) ∗ h(x) =

∫ ∞−∞

i(ξ)h(x− ξ) dnξ I (Ω)H(Ω)

En el caso discreto

i(x) ∗ h(x) =∑

k

i(k)h(x− k) I (ω)H(ω)




Precauciones con la convolucion

Imagenes son finitas R × C

Convolucion con mascara de M × N produce resultado de

(R + M − 1)× (C + N − 1)

Aliasing espacial debe evitarse rellenando con ceros hasta eltamano del resultado.




Filtrado en la frecuencia

Sea R × C el tamano de la imagen i(x) y M × N el tamano delkernel k(x)

1 Defina Ro = R + M − 1 y Co = C + N − 1

2 Rellene con ceros la mascara para alcanzar tamano Ro × Co .Precaucion: Considere simetrıa toroidal para colocar kernel.

3 Calcule la DFT del kernel k(x) K (ω)Nota: K (ω) almacena para multiples aplicaciones

4 Rellene con ceros i(x , y) para alcanzar Ro × Co

5 Calcule la DFT de la imagen I (ω)

6 Calcule resultado en dominio frecuencial F (ω) = K (ω)X (ω)

7 Calcule la iDFT de F (ω) f (x)

8 Recorte f (x) para obtener tamano original N ×M




Eficiencia de filtrado en frecuencia

Convolucion en el espacio: O(N2M2) con N2 el numero depıxeles de la imagen y M2 el numero de pıxeles de la mascara.

Convolucion en la frecuencia: O(N2 logN)

A este proceso se le denomina convolucion rapida

Es mas eficiente para tamanos M 7




Derivacion

En tiempo continuo se cumple

∂i(x)

∂xi jωi I (ω)

Observe que

∂ i(x) ∗ h(x)

∂xi jωi (I (ω)H(ω)) = I (ω) (jωiH(ω)) i(x)∗∂h(x)

∂xi




Relacion de incertidumbreMedia en el espacio con respecto a la energıa

Media x es “centro de energıa”

Con densidad de energıa |i(x)|2, se calcula:

x = E (x) =

∫ ∞−∞

x |i(x)|2 dx∫ ∞−∞|i(x)|2 dx




Relacion de incertidumbreVarianza en el espacio con respecto a la energıa

Varianza indica “dispersion” de la energıa alrededor de x :

(∆x)2 = E ((x − x)2)

= E (x2 − 2xx + x2)

= E (x2)− 2xE (x) + x2

= E (x2)− x2

=

∫ ∞−∞

x2|i(x)|2 dx∫ ∞−∞|i(x)|2 dx

−

∫ ∞−∞

x |i(x)|2 dx∫ ∞−∞|i(x)|2 dx

2




Relacion de incertidumbreMedia en la frecuencia con respecto a la energıa

Media es “centro de energıa”

Con densidad de energıa |I (ω)|2, se calcula:

ω = E (ω) =

∫ ∞−∞

ω|I (ω)|2 dω∫ ∞−∞|I (ω)|2 dω




Relacion de incertidumbreVarianza en la frecuencia con respecto a la energıa

Varianza indica “dispersion” de la energıa alrededor de ω:

(∆ω)2 = E ((ω − ω)2)

= E (ω2 − 2ωω + ω2)

= E (ω2)− 2ωE (ω) + ω2

= E (ω2)− ω2

=

∫ ∞−∞

ω2|I (ω)|2 dω∫ ∞−∞|I (ω)|2 dω

−

∫ ∞−∞

ω|I (ω)|2 dω∫ ∞−∞|I (ω)|2 dω

2




Relacion de incertidumbre

Producto de varianzas espacio-frecuencia:

∆x ∆ω ≥ 1

4

Caso de igualdad lo cumplen las funciones de Gabor:

g(x, σ, ω0, φ) = e−xT x

2σ2 e jω0vTφx

G (ω, σ, ω0, φ) = 2πσ2e−(ω−ω0vφ)T (ω−ω0vφ)σ2

2

con vTφ el vector unitario en la direccion a filtrar.

En 2D vTφ = [cosφ, senφ]




Gabor

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-10-8

-6-4

-2 0

2 4

6 8

10-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

x

y

z

-4-2

0 2

4

-4

-2

0

2

4 0

0.25

0.5

0.75

1

x

y

z

Espacio Espectro




Teorema del corte centralProjection Slice Theorem

I (ωx , ωy ) =R−1∑y=0

C−1∑x=0

i(x , y)e−j(ωx xC

+ωy y

R )

I (ωx , 0) =R−1∑y=0

C−1∑x=0

i(x , y)e−j(ωx xC )

=C−1∑x=0

R−1∑y=0

i(x , y)

e−j(ωx xC )

= F

R−1∑y=0

i(x , y)




Resumen

1 Propiedades de la (D)FT-2DLinealidad y simetrıasSimilitud y desplazamientoConvolucion y derivacionIncertidumbre y corte central




Este documento ha sido elaborado con software libre incluyendo LATEX, Beamer, GNUPlot, GNU/Octave, XFig,Inkscape, LTI-Lib-2, GNU-Make y Subversion en GNU/Linux

Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribucion-NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unpor-ted. Para ver una copia de esta Licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o envıeuna carta a Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.

© 2005-2017 Pablo Alvarado-Moya Area de Ingenierıa en Computadores Instituto Tecnologico de Costa Rica


http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

Documents

Propiedades de la Transformada de Fourier - Lección 06 · Propiedades de la (D)FT-2D Propiedades de la Transformada de Fourier Lecci on 06.2 Dr.Pablo Alvarado Moya CE5201 Procesamiento