SEMINARSKI RAD

Verovatnoca i statistika

Program za koriscenje tablica za

Studentovu raspodelu

Nikola Stanojevic, 18/2009Milos Milakovic, 160/2009

Decembar 2011

1

Sadrzaj

1 Uvod 31.1 Naziv ”Studentova raspodela” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Gustina raspodele 42.1 Gustina raspodele za Studentovu raspodelu . . . . . . . . . . . . 42.2 Grafik gustine Studentove raspodele . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Funkcija raspodele 4

4 Osobine Studentove raspodele 54.1 Matemeticko ocekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Disperzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4 Moda i medijana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5 Koeficijenti asimetrije i spljostenosti . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 Tablica Studentove raspodele 55.1 Izgled tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Primeri 9

7 Program za koriscenje tablice Studentove raspodele 11

8 Kod programa 17

9 Literatura 42

2

1 Uvod

Najvaznije svojstvo slucajnih velicina je njihova raspodela opisana gustinomili funkcijom raspodele.Jedna od raspodela je i Studentova raspodela. Studentova raspodela se jos zovei Studentova tn raspodela.

1.1 Naziv ”Studentova raspodela”

Vilijam Sili Goset, William Sealy Gosset,(1876-1937), engleski statisticar, prvikoji se bavio problemom ”malih” uzoraka. Po struci je bio hemicar, zaposlenu pivari ”Ginis” i bavio se ispitivanjem kvaliteta ”finalnog proizvoda” (piva) uzavisnosti od kvaliteta sastojaka. Stoga je, uvidevsi da metode za velike uzorkene mogu biti primenjene, razvio metodologiju istrazivanja i pri tom pronasaoraspodelu, koja se, po njemu naziva i ”Studentova raspodela”. Naime, premauslovima poslodavca, nije smeo da objavljuje clanke pod svojim imenom, negopod pseudonimom, pa je izabrao pseudonim - Student.

1.2 Definicija

Ako su slucajne velicine Y : N(0, 1) i Z : χ2n nezavisne, tada slucajna velicina:

X = Y√Zn

ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode,u oznaci X : tn.

Dakle, ako su slucajne velicine Y,X1, X2, . . . , Xn nezavisne i sve imaju istu nor-malnu normiranu raspodelu N(0, 1), tada slucajna velicina:

X = Y√n√

X21+X2

2+...+X2n

ima Studentovu tn raspodelu.

3

2 Gustina raspodele

2.1 Gustina raspodele za Studentovu raspodelu

g(x) =Γ(n+1

2 )√πnΓ(n2 )

(1 +x2

n)−

n+12 , x ∈ R.

2.2 Grafik gustine Studentove raspodele

Na slici je dat karakteristicni oblik gustine tn raspodele.

3 Funkcija raspodele

Za t ≤ 0 je:

F (x) =1

2In/(n+x2)(

n

2,1

2),

Za t > 0 je:

F (x) = 1− 1

2In/(n+x2)(

n

2,1

2),

gde je Iz nepotpuna beta funkcija.

4

4 Osobine Studentove raspodele

4.1 Matemeticko ocekivanje

Ako X : tn onda je matematicko ocekivanje:

E(X) = 0 i E(X2k−1) = 0, k ∈ N

4.2 Disperzija

Disperzija je jednaka:

D(X) =

∞ , n ≤ 2n

n− 1, n > 2

4.3 Momenti

m2k−1 = 0, m2k = nk(2k − 1)!!

(n− 2k)(n− 2k + 2) . . . (n− 2)

4.4 Moda i medijana

Mo(X) = Me(X) = 0

4.5 Koeficijenti asimetrije i spljostenosti

π1(X) = 0, π2(X) =6

n− 4

5 Tablica Studentove raspodele

Verovatnoce vezane za Studentovu raspodelu se daju u tablicama, jer je neposrednoizracunavanje tih verovatnoca na osnovu odgovarajuceg integrala gustine raspodelekomplikovano. Tablice za Studentovu t-raspodelu daju vrednosti tα za koje jeverovatnoca

P{| X |≥ tα} = α

5

gde je α zadato i jednako 0.99, 0.95, ..., 0.01 a slucajna velicina X ima t-raspodelu sa n stepeni slobode.

Ukoliko je n ≥ 30, tn raspodela se moze aproksimiratiN(0, 1) raspode-lom, pa je to ujedno i razlog sto u tablicama cesto ne figurisu vrednosti za nvece od 30.

5.1 Izgled tablice

6

7

8

6 Primeri

Neka slucajna velicina X ima Studentovu t5 raspodelu.

Odrediti verovatnoce:

a) P (0.267 ≤ X ≤ 1.476)

Rezultat: P (0.267 ≤ X ≤ 1.476) = t5(1.476)− t5(0.267) = 0.3

b) P (−0.267 ≤ X ≤ 1.476)

Rezultat: P (−1.476 ≤ X ≤ −0.267) = t5(−0.267) + t5(1.476) = 0.3

9

c) P (0.267 ≤ X ≤ 1.476)

Rezultat: P (−1.476 ≤ X ≤ −0.267) = t5(1.476)− t5(0.267) = 0.3

10

7 Program za koriscenje tablice Studentove raspodele

Program za koriscenje tablica za Studentovu raspodelu koristimo da na osnovuunete verovatnoce i stepeni slobode odredimo argument iz tabele. (Forma 1)

Takodje je moguce na osnovu unetog argumenta i unetih stepeni slobodeodrediti trazenu verovatnocu. (Forma 2)

Pocetni ekran programa:

Prikazane su Forma 1 - levo i Forma 2 desno

Forma 1: U polje n stepeni slobode potrebno je uneti vrednost od 1 do30 posto stepeni slobode mogu imati samo vrednost koja je veca od 0.

Takodje za vrednosti n vece od 30 koristi se aproksimacija Normalne raspodele.

U polje uneti verovatnocu p potrebno je uneti vrednost verovatnoce za kojuodredjujemo vrednost argumenta iz tabele.

Za verovatnocu je moguce uneti samo vrednosti u intervalu [0, 1].

11

Radi jednostavnosti moguce je uneti sledece vrednosti: 0.005, 0.010, 0.020,0.025, 0.050, 0.075, 0.100, 0.150, 0.200, 0.250, 0.300, 0.400, 0.500,0.550, 0.600, 0.650, 0.700, 0.750, 0.800, 0.850, 0.900, 0.950, 0.975,0.980, 0.990, 0.995.

Pritiskom na dugme PRIKAZI iscrtava se deo tabele u kome se nalazi trazenavrednost argumenta.

Prikaz ekrana nakon unetih podataka u Formu 1:

U samoj tabeli se obelezava trazena vrednost argumenta , a takodje iznad

12

tabele se ispisuje dobijeni argument i na osnovu kojih vrednosti verovatnocei stepeni slobode je dobijena trazena vrednost.

Forma 2: U polje unesite argument unosi se vrednost argumenta za kojupronalazimo vrednost verovatnoce.

Vrednost koja se u ovo polje moze uneti teorijski nalazi se u intervalu [−∞,+∞].

Kako je u tablici najmanja vrednost -63.66 , a najveca 63.66 , radi jednos-tavnosti interval je ogranicen na [−100, 100].

Moze se uneti bilo koja vrednost u ovom intervalu, a program ce pronaci vred-nost argumenta koja se nalazi u tablici a najbliza je unetoj vrednosti argu-menta.

Polje n stepeni slobode popunjavamo na isti nacin kao i u Formi 1.

Prikaz ekrana nakon unetih podataka u Formu 2:

13

Pritiskom na dugme PRIKAZI iscrtava se deo tabele u kome senalazi trazena vrednost argumenta, a obelezena kolona je kolona koja odgo-vara trazenoj verovatnoci.

Takodje iznad tabele se ispisuje dobijena vrednost verovatnoce i na osnovukojih vrednosti argumenta i stepeni slobode je dobijena trazena vrednost.

Jos jedna mogucnost programa jeste iscrtavanje grafika gustine raspodele.

Potrebno je u glavnom meniju odabrati link Grafik i otvara se stranica zaiscrtavanje grafika gustine Studentove raspodele.

Pocetni ekran stranice za iscrtavanje grafika:

Polje n stepeni slobode popunjavamo na isti nacin kao i u Formi 1 iFormi 2.

Zatim je potrebno selektovati koja verovatnoca se racuna P (X < a), P (X > a)ili P (a < X < b)

U samo polje pored selektovane verovatnoce unosi se vrednost argumentana isti nacin kao i u Formi 2.

14

Pritiskom na dugme PRIKAZI iscrtava se grafik gustine raspodele kojiodgovara unetim vrednostima stepeni slobode i argumenta.

Prikaz stranice nakon iscrtanog grafika:

15

Takodje iznad grafika se ispisuje dobijena vrednost verovatnoce i naosnovu kojih vrednosti argumenta i stepeni slobode je dobijen grafik.

16

8 Kod programa

17

a

18

a

19

a

20

a

21

a

22

a

23

a

24

a

25

a

26

a

27

a

28

a

29

a

30

a

31

a

32

a

33

a

34

a

35

a

36

a

37

a

38

a

39

a

40

a

41

9 Literatura

1. Vesna Jevremovic, Verovatnoca i statistika, Matematicki fakultet, Beograd

2. http://en.wikipedia.org/wiki/T-distribution

42