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Progettazione e Gestione del Software

lez 18reti di petri (cont)

Carlo BellettiniProgettazione e Gestione

del Software

Esercizio

Modellare con una rete di Petri l’accesso ad una risorsa condivisa da parte di 4 lettori e 2 scrittori

i lettori possono accedere simultaneamente alla risorsa

gli scrittori hanno bisogno di accesso esclusivo


del Software

Soluzione esercizio

LettoriPronti4

LettoriAttivi

L_inizia

L_finisce

Risorsa

ScrittoriPronti2

ScrittoriAttivi

S_inizia

S_finisce

4

4

4


del Software

Grafo raggiungibilità

40420L_finisce

31320

L_inizia

22220

L_finisce

L_inizia

13120

L_finisce

L_inizia

04020

L_finisce

L_inizia

S_finisce

40011S_inizia

?>0??>0

????>1

LettoriPronti4

LettoriAttivi

L_inizia

L_finisce

Risorsa

ScrittoriPronti2

ScrittoriAttivi

S_inizia

S_finisce

4

4

4

Viva?


del Software

Archi inibitori e lettori e scrittori

ScrittoriPronti

ScrittoriAttivi

Inizia

Finisci

2LettoriPronti

LettoriAttivi

Inizia

Finisci

4


del Software

Rappresentazione matriciale

E’ possibile rappresentare (definire) una rete di Petri mediante delle matrici

ennesima vista …

trasformazione automatica…

facilmente trattabile matematicamente

Uso diverse matrici:I archi in input alle transizioni

O archi in output alle transizioni

m marcatura dei posti


del Software

Matrice I e O

Devo assegnare un indice ad ogni posto p : 1.. |P| → P

Devo assegnare un indice ad ogni transizione t : 1.. |T| → T

Le due matrici I e O sono |P| x |T|∀<p(i), t(j)> ∈ F I[i][j] = W(<p(i),t(j)>)

∀<p(i), t(j)> ∉ F I[i][j] = 0

∀<t(j), p(i)> ∈ F O[i][j] = W(<t(j),p(i)>)

∀<t(j), p(i)> ∉ F O[i][j] = 0

Indicheremo il vettore colonna k di una matrice X con la notazione X[.][k]


del Software

Esempio matrice I

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C05

C1

consuma

3 2

1

2 3

4

5

1 2 3 4

11

2

11

1 2 3 412345


del Software

Esempio matrice O

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C05

C1

consuma

3 2

1

2 3

4

5

1 2 3 4

11

31

1

00 000 0

0 0 00 0

00 00

1 2 3 412345


del Software

Marcatura m

E` un vettore colonna di dimensione |P|

si calcola a partire dalla funzione marcatura

m[i] = M(p(i))


del Software

Esempio vettore m

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C05

C1

consuma

3 2

1

2 3

4

5

1 32 03 04 55 0


del Software

Abilitazione di una transizione

La transizione j-esima e’ abilitata in una marcatura espressa dal vettore m m [ tj >se e solo seI[.][j] ≤ m

elemento per elemento ( sono |P| )


del Software

Esempio di abilitazione

Transizione 1 e’ abilitata se...

I[.][1]10000

m≤ 3≤ 0≤ 0≤ 5≤ 0

SI

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C05

C1

consuma

3 2


del Software

Esempio di non abilitazione

Transizione 2 e’ abilitata se...

NO

I[.][2] m0 ≤ 31 ≤ 00 ≤ 00 ≤ 50 ≤ 0

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C05

C1

consuma

3 2


del Software

Scatto di una transizione

Quando la transizione j-esima scatta in una marcatura m produce una nuova marcatura m’

m [ tj > m’

m’ = m - I[.][j] + O[.][j]


del Software

Esempio di scatto di transizione

Quali sono le transizioni abilitate?

1 2 3 412345

11

2

11

1 32 03 34 45 1

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C04

C1

consuma

3 2

1

2 3

4

5

1 2 3 4

3


del Software

Esempio di scatto di transizione

Come cambia la marcatura con lo scatto di t(3)?

1 32 03 14 35 2

1 2 3 412345

11

2

11

1 32 03 34 45 1

- +

1 2 3 412345

11

31

1

0

0 000 0

0 0 00 0

00 00

=

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C04

C1

consuma

3 2

1

2 3

4

5

1 2 3 4

3


del Software

Matrice di incidenza C

C = O - IRisulta utile per ottimizzare lo scatto ma non e’ sufficiente per abilitazione…

Condizione statica sufficiente per garantire che C sia significativa di abilitazione

Pre(t) ∩ Post(t) = ∅

se le intersezioni sono tutte vuote si chiama RETE PURA


del Software

Esempio matrice C

1 2 3 412345

-1-1

-2

-1-1

1 0 01 0 00 3 00 0 10 0 1

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C04

C1

consuma

3 2

1

2 3

4

5

1 2 3 4

3


del Software

Sequenza di scatti

M [ t1 > M’ and M’ [ t2 > M’’ → M [t1t2 > M’’

M [ Sn > Mn

Mn = M + C sdove s e` il vettore di dimensione |T| contenente il numero di scatti per ogni transizione


del Software

Esempio di sequenza di scatto

Una sequenza di scatto ammissibile s = t1, t1, t4, t2, t1, t3, t2, t4, t3, t2, t4, t3, t1, t3

non importa ordine

4 t1, 3 t2, 4 t3, 3 t4

s = [ 4 3 4 3 ]

B1

deposita preleva

P03

P1

produci

C04

C1

consuma

3 2

1

2 3

4

5

1 2 3 4

3


del Software

Esempio calcolo nuova marcatura

|P|x|T| * |T| -> |P| 1 2 3 4

12345

-1-1

-2

-1-1

1 0 01 0 00 3 00 0 10 0 1

1 42 33 44 3

1 -12 13 14 -15 1

1 32 03 34 45 1

+

1 22 13 44 35 2

=


del Software

Nuova tecnica di analisi

Ricerca di invarianti all’interno della rete…

P-Invarianti

Invarianti sui posti… relativi alla marcatura

T-Invarianti

Invarianti su sequenze di scatto


del Software

P-invarianti

Un vettore di pesi h di dimensione |P|

Corrisponde alla nostra definizione di rete conservativa con la possibilita` che non tutti i pesi siano maggiori di zero

il prodotto vettoriale h m deve essere costante

h m = h m’

m’ = m + C s

hm = hm + hCs

h C s = 0

questo per ogni possibile s

h C = 0

basta trovare le soluzioni di questo sistema lineare


del Software

Copertura di P-Invarianti

Una combinazione lineare di P-invarianti è anch’essa un P-Invariante

Se un posto ha peso positivo in un P- invariante semi-positivo, allora il posto è limitato

Una rete P/T si dice ricoperta da P- invarianti se per ogni posto esiste almeno un P-Invariante (semipositivo) il cui peso di tale posto sia positivo

Una rete copribile da P-invarianti è una rete limitata


del Software

EsempioLettoriPronti

4ScrittoriPronti

2

Risorsa4

ScrittoriAttiviLettoriAttivi

IniziaLet IniziaScrit

FinisciLet FinisciScrit

4

4


del Software

Esempio (cont)

Risolviamo il sistema:hC=0

-h0+h1-h2 = 0+h0-h1+h2 = 0

-4h2-h3+h4 = 0+4h2+h3-h4 = 0


del Software

Troviamo le soluzioni


del Software

Algoritmo di Farkas (1902)

Trova basi minime semipositive

Algoritmo di Farkas (1902)

D0 := (C | En);for i := 1 to m dofor d1, d2 rows in Di�1 such that d1(i) and d2(i) have opposite signs dod := |d2(i)| · d1 + |d1(i)| · d2; (* d(i) = 0 *)d ⇥ := d/gcd(d(1), d(2), . . . , d(m+ n));augment Di�1 with d ⇥ as last row;

endfor;delete all rows of the (augmented) matrix Di�1 whose i-th componentis different from 0, the result is Di ;

endfor;delete the first m columns of Dm

88


del Software

Applicazione alg. Farkas

D0 -1 1 0 0 1 0 0 0 01 -1 0 0 0 1 0 0 0

-1 1 -4 4 0 0 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

EC

sommo riga 1 e 2sommo riga 2 e 3

0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 -4 4 0 1 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

D1

sommo riga 2 e 4 (*4)sommo riga 3 e 4

D3 0 0 0 0 0 1 1 0 40 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0 0


D0 -1 1 0 0 1 0 0 0 01 -1 0 0 0 1 0 0 0

-1 1 -4 4 0 0 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

EC


0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 -4 4 0 1 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

D1


D3 0 0 0 0 0 1 1 0 40 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0 0


D0 -1 1 0 0 1 0 0 0 01 -1 0 0 0 1 0 0 0

-1 1 -4 4 0 0 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

EC


0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 -4 4 0 1 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

D1


D3 0 0 0 0 0 1 1 0 40 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0 0


D0 -1 1 0 0 1 0 0 0 01 -1 0 0 0 1 0 0 0

-1 1 -4 4 0 0 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

EC


0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 -4 4 0 1 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

D1


D3 0 0 0 0 0 1 1 0 40 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0 0


D0 -1 1 0 0 1 0 0 0 01 -1 0 0 0 1 0 0 0

-1 1 -4 4 0 0 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

EC


0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 -4 4 0 1 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

D1


D3 0 0 0 0 0 1 1 0 40 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0 0


D0 -1 1 0 0 1 0 0 0 01 -1 0 0 0 1 0 0 0

-1 1 -4 4 0 0 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

EC


0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 -4 4 0 1 1 0 00 0 -1 1 0 0 0 1 00 0 1 -1 0 0 0 0 1

D1


D3 0 0 0 0 0 1 1 0 40 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0 0


del Software

In octaveA = [C,eye(rows(C))]for i = 1:columns(C) A1 = []; for j = 1:rows(A) for k = j+1:rows(A) if A(j,i)*A(k,i)<0 d = abs(A(j,i))*A(k,:)+abs(A(k,i))*A(j,:); d= d/gcd(d); A1 = [A1;d]; endif endfor endfor for j = 1:rows(A) if (A(j,i) == 0) A1 = [A1;A(j,:)]; endif endfor A = A1;endforsoluzioni = A(:,columns(C)+1:columns(A))


del Software

Interpretiamo i risultati

hM = hMO

1LettoriPronti + LettoriAttivi = 4 (numero gettoni in LettoriPronti)

Il numero di lettori nel sistema e’ costante

2ScrittoriPronti + ScrittoriAttivi = 2 (numero gettoni in ScrittoriPronti)

Il numero di scrittori nel sistema e’ costante

3LettoriAttivi + Risorsa + 4 ScrittoriAttivi = 4(num gettoni in Risorsa)

Se LettoriAttivi > 0 -> ScrittoriAttivi = 0

Se ScrittoriAttivi > 0 -> LettoriAttivi = 0

ScrittoriAttivi <= 1

LettoriAttivi <= 4 (numero gettoni in Risorsa)


del Software

Controllori con specifica a stati proibiti

Transizioni osservate

Transizioni controllate

pongo condizione

L M ≤ bL M + Mc = b

ottengo (con un po’ di passaggi che fanno uso del voler inserire un P-Invariante)

Cc = -L C MOc = b - L MO

3

Dott. Gianfranco Fenu Controllo Controllo deidei ProcessiProcessi (polo di PN)(polo di PN)

CP reti di Petri parte 5, CP reti di Petri parte 5, 1313

Il modello utilizzato

• Tramite i “posti di controllo” che costituiscono il controllore si vuole imporre un vincolo sugli stati raggiungibili dal sistema “impianto”.

• I vincoli che si possono imporre si esprimono con relazioni come la seguente diseguaglianza




• Che cosa esprime la diseguaglianza?

• Mp è la generica marcatura della RdP dell’ “impianto”;• l è un vettore riga che contiene coefficienti interi, b è uno

scalare intero.

• Significato: specifica sul comportamento desiderato del sistema retroazionato (completo del controllore)– un’opportuna combinazione lineare delle marcature

dei posti non deve mai superare una soglia assegnata.




• Questo approccio al controllo con RdP ricade nella categoria dei problemi con specifiche a stati proibiti.

• La diseguaglianza permette di descrivere facilmente casi molto frequenti e molto utili in pratica, anche se non èl’espressione più generale possibile di un vincolo sugli stati raggiungibili:– Esempio: vincoli di mutua esclusione nell’accesso a

risorse condivise



Un esempio

• Una cella con un unico manipolatore che viene utilizzato per carico/scarico di due macchine che lavorano in concorrenza;

• I posti pi, pj indicano le operazioni svolte dal manipolatore sulle due macchine;

• Un gettone in pi oppure in pj indica che l’operazione è in corso

• Per gestire correttamente il manipolatore si deve imporre il vincolo



Un esempio (continua…)

• Nel vincolo che abbiamo considerato i pesi sono semplicemente degli “0” e dei “1”

• In generale i coefficienti nel vettore l possono essere numeri interi: perciò i vincoli di questo tipo sono detti di mutua esclusione generalizzata.



Un esempio (continua…)

• Come si risolve il problema? Come si associa una parte di controllore al vincolo appena descritto?

• La tecnica di progetto del controllore prosegue trasformando la diseguaglianza in una eguaglianza, aggiungendo delle variabili ausiliarie (variabili di slack):

• Le variabili di slack aggiunte sono le marcature di posti aggiuntivi, che faranno parte del supervisore.


del Software

Esempio

L M <= bL M + Mc = [L I] Mt = bMa allora vogliamo dire che [L I] è un P-Invariante e quindi deve valere:[L I] Ct = OL C + I Cc = 0Cc = -L C


del Software

Esempio

Mutua esclusione

LAttivi+SAttivi<=2

Ma non tra lettori

LAttivi+4SAttivi<=4

LettoriPronti4

LettoriAttivi

L_inizia

L_finisce

ScrittoriPronti2

ScrittoriAttivi

S_inizia

S_finisceL M <= b

L = [O 1 O 4]

b = 4

MO = [4 O 2 O]

1 -1 0 0

-1 1 0 0

0 0 -1 1

0 0 1 -1

C=

Cc = -L C = [1 -1 -4 4]MOc = b - L MO = 4


del Software

T-invarianti

Fanno riferimento a sequenze di scatti cicliche (cioe` che possono essere ripetute)

che riportano nella condizione iniziale

m’ = m + C s

m’ = m

soluzioni del sistema

C s = 0

non e` detto siano tutte valide

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