Prof. Dr Slobodanka Đorđević- Kajanognjen/Racunarska grafika...EF Niš, Računarstvo i informatika RG – Geometrijske transformacije CG GIS L@b 8 Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan

EF Niš, Računarstvo i informatikaRG – Geometrijske transformacije

CG GIS L@b

1Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan 2009/2010

RaRaččunarstvounarstvo i i informatikainformatikaRaRaččunarskaunarska grafikagrafika

GeometrijskeGeometrijske transformacijetransformacije

Prof. Dr Slobodanka Prof. Dr Slobodanka ĐorđeviĐorđevićć -- KajanKajanKatedraKatedra za za raraččunarstvounarstvoElektronskiElektronski fakultet fakultet NiNišš


CG GIS L@b


CiljeviCiljeviUpoznati osnovne 2D geometrijske

transformacijeUpoznati osnovne 3D geometrijske

transformacijeUpoznati kompoziciju geometrijskih

transformacijaUpoznati homogene koordinate


CG GIS L@b


TemeTemeTranslacijaRotacijaSkaliranje (promena veličine)RefleksijaSmicanjeHomogene koordinateInverzne transformacije3D koordinatni sistemiTransformacije u 3D


CG GIS L@b


GeometrijskeGeometrijske transformacijetransformacije -- 11 Geometrijska transformacija je funkcija koja preslikava

originalnu tačku ili vektor u njenu sliku Piše se u obliku

Q = T(P) za tačkev = R(u) za vektore

U računarskoj grafici se koriste dvodimenzionalne (2D) i trodimenzionalne (3D) geometrijske transformacije

U slučaju afine transfomacija, ako su koordinate originalne tačke (x,y) , koordinate ove tačke nakon transformacije su (x′,y′):

Treća jednačina se koristi kod homogenih koordinata


CG GIS L@b


GeometrijskeGeometrijske transformacijetransformacije -- 22Objekat se posmatra kao skup tačaka:

Obj = {P(x,y)} u 2D koordinatnom sistemuObj = {P(x,y,z)} u 3D koordinatnom sistemu

Pomoću geometrijskih transformacija od objektaObj = {P(x,y)} se dobija objekat Obj‘ = {P'(x,y)} – Tačka P′(x,y) se dobija geometrijskom

transformacijom tačke P(x,y)P′(x,y) = T(P(x,y))


CG GIS L@b


GeometrjskeGeometrjske transformacijetransformacije -- 33Postoje dve konvencije za geometrijske

transformacije kretanja (translacija i rotacija)– Kovencija pokretnog koordinatnog sistema

• pokretne virtuelne kamere, odnosno posmatrača– Konvencija pokretnog objekta

Ove dve konvencije se mogu kombinovati– Mogu se kretati i objekat i posmatrač

Mi ćemo nadalje koristiti konvenciju pokretnog objekta


CG GIS L@b


ElementarneElementarnegeometrijskgeometrijskee transformacijtransformacijee

TranslacijaSkaliranjeRotacijaRefleksijaSmicanje

Kompozicijom (konkatenacijom) elementarnih geometrijskih transformacija može se izvesti bilo koja geometrijska transformacija objekta


CG GIS L@b


2D koordinatni sistemi2D koordinatni sistemi

U 2D ravni koristi se 2D Dekartov koordinatni sistem kojimože biti desno ili levo orijentisan

Desno – ako se rotacijom oko koordinatnog početka pozitivne x-ose u smeru suprotom od smera kretanja kazaljke na satu za 900 ona poklopi sa pozitivnom y-osom

Levo – ako se rotacijom oko koordinatnog početka pozitivne x-ose u smeru kretanja kazaljke na satu za 900 ona poklopi sa pozitivnom y-osom

Nadalje ćemo koristiti desno orijentisani koordinatni sistem

x

y

x

y

DesnoorijentisaniDekartov

koordinatnisistem

LevoorijentisaniDekartov

koordinatnisistem


CG GIS L@b


MatriMatriččna reprezentacija transformacijana reprezentacija transformacija Transformacije se mogu predstaviti na dva načina:

– Tačka P(x,y) je predstavljena vektorom vrste

– Tačka P(x,y) je predstavljena vektorom kolone: P′T = MT PT

Nadalje ćemo koristiti prvi način matričnog predstavljanja

P′ = P . Mgde je: P – original tačke, P′ – slika, M - matrica transformacije

P′ = M . P


CG GIS L@b


TranslacijaTranslacijaTačka P(x,y) se translira u tačku P'(x',y') za Dx po

x-osi i Dy po y-osi– Tačka P se pomera paralelno x-osi za Dx jedinica i

paralelno y-osi za Dy jedinica

x x'

y

y'

P‘ = P+T

OriginalSlikaVektortranslacije


CG GIS L@b


SkaliranjeSkaliranje Tačka P se skalira duž x-ose za Sx i duž y-ose za Sy oko

koordinatnog početka Objekat se skalira tako što se skaliraju sve njegove tačke

– Dovoljno je skalirati temena i povući linije između skaliranih temena

uniformno skaliranje Sx=Sydiferencijalno skaliranje SxSyuvećanje S>1smanjenje S<1

PP'

Matricaskaliranja


CG GIS L@b


RotacijaRotacija -- 11 Tačka (x,y) se rotira za ugao θ oko koordinatnog početka

ρ

ρ

Smer

rotac

ije


CG GIS L@b


RotacijaRotacija -- 22

Matrica rotacije


CG GIS L@b


RefleksijaRefleksija

X′=X*SXY′=Y*SY


CG GIS L@b


Smicanje Smicanje -- 11

x

y

Jedinični kvadrat u

koordinatnom početku

x

y

x

y

1

1

Smicanje jediničnog

kvadrata po x-osi

1

1

Smicanje jediničnog

kvadrata po y-osi

Smicanje– sinonim: iskošenje – engl. shear

-1

1

1-1


CG GIS L@b


SmicanjeSmicanje -- 22

Smicanje po x-osi(x koordinata je funkcija y koordinate)

Smicanje po y-osi(y koordinata je funkcija x koordinate)


CG GIS L@b



*

SHy = 1 Hy0 1

SHx = 1 0Hx 1

Smicanje po x-osi Smicanje po y-osi

SHx - Matrica smicanja u pravcu x-oseHx – faktor smicanja po x-osi

P‘ = P * SHx P‘ = P * SHy

SHy - Matrica smicanja u pravcu y-oseHy – faktor smicanja po y-osi

x y SHy = x y+x*Hy*x' y' =x y SHx =*x' y' = x+y*Hx y

Hy – konstanta proporcionalnostiHx – konstanta proporcionalnosti


CG GIS L@b



gde su: Hx i Hy faktori smicanja po x i y-osi

respektivno

Matrica smicanja


CG GIS L@b


Homogene koordinate Homogene koordinate -- 11

Neuniformnost transformacija– T koristi sabiranje– (R, S, H) koriste množenje

Homogene koordinate– Tačka u 2D se predstavlja sa 3 koordinate (x,y,w)– U računarskoj grafici w=1, pa su homogene

koordinate tačke u 2D prostoru (x,y,1)


CG GIS L@b


Homogene koordinate Homogene koordinate -- 22

Predstava tačke u vektorskom obliku [x y] se proširuje trećom koordinatom [x y 1]

Koordinatni sistem za ovakvo predstavljanje tačke se naziva sistemom sa homogenim koordinatama

Pomoću homogenih koordinata dobija se uniformni matematički aparat za sve transformacije

Svaka transformacija se predstavlja adekvatnom matricom transformacije

Treća kolona matrice M je konstantna za sve transformacije


CG GIS L@b


TranslacijaTranslacijapreko homogenih koordinatapreko homogenih koordinata

Homogenamatricatranslacije


CG GIS L@b


Translacija Translacija –– Primer 1Primer 1Linijski segment AB zadat je krajnjim tačkama

A(4,5) i B(7,5) . Translirati ga za (6,-2)

A′ = | 4 5 1 | * 1 0 0 0 1 0 6 -2 1

= | 10 3 1 |

B′ = | 7 5 1 | *1 0 0 0 1 0 6 -2 1

= | 13 3 1 |

4 7

5

y

x10

3A B

13

A′ B′


CG GIS L@b


Translacija preko homogenih Translacija preko homogenih koordinatakoordinata

Konvencija pokretnog koordinatnog sistemaKonvencija pokretnog koordinatnog sistema


CG GIS L@b


Translacija Translacija –– Primer 2Primer 2


CG GIS L@b


SkaliranjeSkaliranjepreko homogenih koordinatapreko homogenih koordinata

Homogenamatricaskaliranja


CG GIS L@b


Skaliranje Skaliranje -- PrimerPrimer

x x

y y


CG GIS L@b


RotacijaRotacijapreko homogenih koordinatapreko homogenih koordinata

Homogenamatricarotacije


CG GIS L@b


Rotacija preko homogenih koordinataRotacija preko homogenih koordinataKonvencija pokretnog koordinatnog sistemaKonvencija pokretnog koordinatnog sistema


CG GIS L@b


Rotacija Rotacija -- PrimerPrimer


CG GIS L@b


SmicanjeSmicanjepreko homogenih koordinatapreko homogenih koordinata

Homogenamatricasmicanja


CG GIS L@b


Smicanje Smicanje -- PrimerPrimer


CG GIS L@b


Inverzne transformacijeInverzne transformacije


CG GIS L@b


Kompozitne transformacije Kompozitne transformacije -- 11 Q je slika tačke P definisana sa Q=t3(t2(t1(P)))

– gde su t1,t2 i t3 elementarne transformacije Kako je množenje matrica asocijativno, to je:

Q = (((P*T1)*T2)*T3) = P*(T1*T2*T3) = P*T– T je kompozitna matrica složene transformacije– T1, T2 i T3 su matrice elementarnih transformacija koje učestvuju u

složenoj transformaciji

Redosled operacija je veoma važan– Množenje matrica nije komutativna operacija


CG GIS L@b


Kompozitne transformacije Kompozitne transformacije -- 22

Kompozitna matrica transformacije

Početno stane


CG GIS L@b


RotacijaRotacija okooko proizvoljneproizvoljne tataččkeke

1. 2.

3.4.


CG GIS L@b


3D transformacije3D transformacije


CG GIS L@b


3D koordinatni sistemi3D koordinatni sistemi

ekran ekran


CG GIS L@b


3D 3D geometrijskegeometrijske transformacijetransformacije


CG GIS L@b


3D translacija3D translacija

3D matrica translacije


CG GIS L@b


3D skaliranje3D skaliranje

Z’ z[X’ Y’ Z’ 1] = [X Y Z 1] 3D matrica skaliranja


CG GIS L@b


3D rotacija3D rotacija


CG GIS L@b


3D rotacija3D rotacija

-

-

-


CG GIS L@b


3D smicanje3D smicanje


CG GIS L@b


Primena 2D transformacijaPrimena 2D transformacija Jedna primena je za transfomaciju slike

– Iz koordinatnog sistema realnog sveta u normalizovane koordinate uređaja

Koordinate realnog sveta (Real Word Coordinates, RWC) – Obično u jedinicama dužine (santimetar, inč)– Sinonimi: prirodne koordinate, svetske koodrdnate

Normalizovane koordinate uređaja (Normalized Device Coordinates, NDC)– Obično od 0.0 do 1.0

Koordinate uređaja (Device Coordinates, DC)– Obično u jedinicama dužine ili pikselima

Prozor (Window) Zaslon ili prikazni prozor (Viewport)


CG GIS L@b


Generisanje prikazaGenerisanje prikaza

(displeja)


CG GIS L@b


PrimerPrimer


CG GIS L@b


TransformacijTransformacijee koordinatnih sistemakoordinatnih sistema


CG GIS L@b


TransformacijeTransformacije koordinatnihkoordinatnih sistemasistema


CG GIS L@b


KvizKviz RRG4G4 Kviz

1. Koje vrste geometrijskih transformacija postoje?2. Zašto se uvode homogene koordinate?3. Napisati jednačinu za skaliranje 2D objekta 3 puta po x

osi i 2 puta po y osi4. Napisati jednačinu za skaliranje 3D objekta, 3 puta po x

osi i 2 puta po y osi, 4 puta po z osi5. Napisati jednačinu za rotiranje oko tačke (2,3)

Trajanje kviza: 5 minuta Vrednuje se: 0.5 poena/pitanje

Samostalni rad– Corel Draw geometrijske transformacije

Documents

Prof. Dr Slobodanka Đorđević- Kajanognjen/Racunarska grafika...EF Niš, Računarstvo i informatika RG – Geometrijske transformacije CG GIS L@b 8 Prof. Dr Slobodanka Đorđević-Kajan