Producto de Inercia

INTODUCCIONEl producto de inercia no se utiliza tanto como el momento de inercia, pero es necesario en algunos problemas, como en la determinación de los momentos de inercia máximo y mínimo, en la flexión asimétrica de vigas, y en el estudio de estructuras estáticamente indeterminadas.

También indicaremos que las dimensiones del producto de inercia son las mismas que las de un momento de inercia, es decir [L4].

En cuanto a la regla de los signos, indica que durante la rotación de los ejes existe una posición crítica en la que el producto de inercia cambia de signo y será, por tanto, nulo.

PRODUCTO DE INERCIALa integral la cual se, obtiene al multiplicar a cada elemento dA de un área A por sus coordenadas x e y e integrando sobre toda el área, se conoce como el producto de inercia del área A con respecto de los ejes x e y. A diferencia de los momentos de inercia 1x e IY, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero.

El producto de inercia del área respecto a un sistema de ejes perpendiculares y e z, se define como:

I yz=∫AyzdA

Al igual que en los momentos de inercia, la dimensión del producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia, por ejemplo,m4 ,mm4 , o pies4 , pulg4 . Sin embargo, el producto de inercia puede ser positivo o negativo, como se muestra en la Figura a), o nulo, como se muestra en la Figura b).

PRODUCTO DE INERCIA Y MOMENTO POLAR

Si todo el área se encuentra en el primer cuadrante respecto a los ejes de referencia, el producto de inercia es positivo, ya que y y z son siempre positivas. Si toda el área se encuentra en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo, ya que la coordenada y es negativa y la z es positiva. Similarmente, si toda el área se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante, tienen signo negativo y positivo, respectivamente. Cuando el área se sitúa en más de un cuadrante, el signo del producto de inercia depende de la distribución del área dentro de los cuadrantes.Cuando uno de los ejes es de simetría, los productos de inercia de cada uno de los dos lados en los que se divide la sección se anulan, y por lo tanto, el producto de inercia es nulo. Es decir, el producto de inercia de un área es nulo con respecto a cualquier par de ejes donde al menos uno de ellos es de simetría.Producto de inercia para áreas compuestas:Para hallar el producto de inercia de un área compuesta se debe dividir o mejor dicho segmentar la figura en pequeñas partes de las cuales sea más sencillo hallar su producto de inercia. Luego se procederá a desarrollar de la misma forma que para áreas simples.


a) Producto de inercia: signos b) sección simétrica respecto al eje z

El área de la figura es compuesta, ya que está conformada por un cuadrilátero y un hoyo en su centro de forma circular.

AC = ACUADILATERO - ACIRCULO

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

El teorema de los ejes paralelos, permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad de la sección.En el caso del producto de inercia, la expresión toma la forma

I yz=∫S

( z+d1 ) ( y+d2)dS

Desarrollando esta ecuación, se obtiene

I yz=∫SyzdS+d1∫

SzdS+d2∫

SydS+d1d2∫

SdS

El primer término del segundo miembro de la ecuación es el producto de inercia respecto a unos ejes que pasan por el centroide, paralelos a los de referencia. Los términos segundo y tercero son nulos, ya que corresponden a los momentos estáticos del área respecto a unos ejes


que pasan por el centroide. La integral del último término es el área de la sección. Por tanto, la ecuación se expresa de la siguiente forma:

I yz=I yzC+Sd1d2

El teorema de los ejes paralelos, para el producto de inercia, se expresa de la siguiente forma:“El producto de inercia de un área con respecto a cualquier par de ejes en su plano es igual al producto de inercia con respecto a unos ejes paralelos a los anteriores y que pasan por el centroide del área, más el producto del área y las distancias de cada uno de estos ejes que pasan por el centroide, respecto a los dos de referencia”.

MOMENTO DE INERCIA POLAR

Se llama momento de inercia polar cuando se formula un área diferencial dA con respecto al polo “O” o eje “z”.

Se define como dJO=r2dA, donde r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Para toda el área, el momento de inercia polar es:


JO=∫A

.

r2dA=I x+ I y

Esta relación entre JO e I x , I y es posible puesto que r2=x2+ y2. A partir de las formulaciones anteriores se ve que I x , I y y JO siempre serán positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área. Además las unidades del momento de inercia implican longitud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo,m4 ,mm4 , o pies4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN-PRODUCTO DE INERCIA

EJEMPLO 1.

SOLUCION:


Determine el producto de inercia I xy del triángulo que se muestra en la figura.

Un elemento diferencial con espesor dx, como se muestra en la figura tiene, tiene un área dA= ydx . El producto de inercia de este elemento con respecto a los ejes x y y se determinan con el teorema de os ejes paralelos.

dI xy=d I x ' y '+dA~X~Y

Donde ~X y ~Y ubican el centroide del elemento o el origen de los ejes x ' , y '. Como d I x ' y '=0 , debido a la simetría, y ~X= x y ~Y= y /2, entonces:

dI xy=0+( ydx ) x ( y2 )=( hb xdx) x ( h2b x) = h2

2b2x3dx.


Al integrar con respecto a x desde x=0 hasta x=b se obtiene.

I xy=h2

2b2∫0

b

x3dx=b2h2

8

∴ I xy=b2h2

8


EJEMPLO 2.

SOLUCION:Dividimos en tres áreas rectangulares compuestas A, B y D. las coordenadas para el centroide de cada uno de esos rectángulos se muestran en la figura. Debido a la simetría el producto de inercia de cada rectángulo es cero con respecto a cada uno de ejes x’, y’ que pasan atreves del centroide de cada rectángulo. Si usamos el teorema de los ejes paralelos tenemos:


Determine el producto de inercia para el área de la sección transversal del elemento que se muestra en la figura con respecto a los ejes centroidales X y Y.

RECTANGULO A:I xy=I x ' y '+Adx d y

¿0+300 (100 ) (−250 ) (200 )=−1.50(109)mm4

RECTANGULO B:I xy=I x ' y '+Adx d y

¿0+0=0

RECTANGULO D:I xy=I x ' y '+Adx d y

¿0+300 (100 ) (250 ) (−200 )=−1.50(109)mm4

Por tanto, el producto de inercia total es:

I xy=−1.50 (109 )mm4+0−1.50 (109 )mm4=−3.00 (109)mm4

∴ I xy=−3.00×109mm4


PROBLEMAS DE APLICACIÓN-MOMENTO POLAR

EJEMPLO 3.

SOLUCION:El área de diferencial de la figura es:

dA=(rdθ )dr

Momento de inercia con respecto al eje x:

IX=∫A

.

y2dA= ∫−π /2

π /2

∫0

r 0

r2 sen2θ (rdθ )dr

IX= ∫−π /2

π /2

∫0

r0

r3 sen2θdrdθ

IX= ∫−π /2

π /2

( r44 )|0

r0

se n2θdθ

IX= ∫−π /2

π /2 r04

4sen2θdθ

IX= ∫−π /2

π /2 r04

8(1−cos2θ )dθ


Determine el momento de inercia polar del área con respecto al eje “z” que pasa a través del punto O.

IX=r04

8 [θ−12 sen2θ]|−π /2π /2

IX=πr0

4

8

Momento de inercia con respecto al eje y:

I y=∫A

.

x2dA= ∫−π /2

π /2

∫0

r0

r2 cos2θ (rdθ )dr

I y= ∫− π /2

π /2

∫0

r0

r 3cos2θdrdθ

I y= ∫−π /2

π /2

( r44 )|0

r0

cos2θdθ

I y= ∫−π /2

π /2 r04

4cos2θdθ

I y= ∫−π /2

π /2 r04

8(cos2θ+1 )dθ

I y=r04

8[cos2θ+θ ]|−π /2

π /2

I y=πr 0

4

8

∴Momento de inercia polar del área

JO=∫A

.

r2dA=I x+ I y

JO=πr0

4

8+πr 0

4

8

JO=πr0

4

4


EJEMPLO 4.

SOLUCION:Como sabemos que

JO=∫A

.

r2dA=I x+ I y

Hallamos primero I x y luego I y I x

Se selecciona dA como una tira diferencial paralela al eje x. como todas las proporciones de la tira están a la misma distancia a partir del eje x. se escribe:I x=∫ y2dA dA=l d y

Por semejanza de triángulos tenemoslb=h− y

h

l=b ( h− yh

)

I x=∫ y2dA=∫0

h

y2b( h− yh

)dy= bh∫0h

(h y2− y3 )dy=bh|h y

3

3−y 4

4 |0

h

=bh3

12

I x=bh3

12


Determinar el momento polar de inercia de un triángulo con respecto al eje z que pasa por el punto O

I y

Se desarrolla como la manera de I x solo que en este caso el dA es paralelo al eje y.I y=∫ x2dA dA=l dx

Por semejanza de triángulos tenemoslh=b−x

b

l=h( b−xb

)

I y=∫ x2dA=∫0

b

x2h( b−xb

)dx=hb∫0

b

(b x2−x3 )dx= hb|b x

3

3−x4

4 |0

h

=hb3

12

I y=hb3

12

JO=I x+ I y

JO=b h3

12+ hb

3

12

JO=hb12

(h2+b2)


CONCLUSIONES: El producto de inercia tiene las mismas dimensiones que el

momento de inercia, es decir [L4]. Aunque no se utiliza mucho como el momento de inercia,

es necesario en algunos problemas. Es necesario para determinar los momentos de inercia

máximo y mínimo, en la flexión asimétrica de vigas, y en el estudio de estructuras estáticamente indeterminadas.

Si tenemos los momentos de inercia respecto al eje x e y, podemos obtener el momento polar de inercia con tan solo sumar algebraicamente dichos momentos de inercia.


Documents

Producto de Inercia