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Problemlösen im Mathematikunterricht

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Text of Problemlösen im Mathematikunterricht

Jürgen Maaß
Juni 2018
Magister der Naturwissenschaften
II
EIDESSTATTLICHE ERKLÄRUNG
Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und
ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht
benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich
gemacht habe.
identisch.
III
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei allen bedanken, die mich auf meinem Weg
begleitet und unterstützt haben.
Zu allererst danke ich meiner Ehegattin Lejla für ihre unermessliche Unterstützung,
Verständnis und Geduld, die sie über die schweren Zeiten des Studiums hinweg mir
gegenüber aufgebracht hat. Weiters danke ich meiner lieben Tochter Amina, die mir
stets in meinen Bemühungen sowohl durch Motivation als auch durch tatkräftige
Unterstützung bei den Korrekturen meiner Arbeiten zur Seite stand. Auch meinem
Sohn Salim danke ich dafür, dass er immer an mich geglaubt hat und mich in meinem
Tun bestärkt hat.
Als nächstes danke ich meinem Betreuer Univ. Prof. Univ. Doz. Dr. Jürgen Maaß. Er
stand mir jederzeit mit professionellen Rat und zügiger Beantwortung meiner Anliegen
zur Seite. Ich schätze mich glücklich, ihn als Betreuer und als Menschen kennengelernt
zu haben.
Ich danke auch Univ. Prof. Dr. Peter Paule für die Betreuung und Beratung zur Findung
des Themas für die Diplomarbeit.
Dank gebührt auch den Lehrkräften, Kollegen und Schülern und Schülerinnen, die sich
bereit erklärt haben, mich bei der Durchführung der Studie zu unterstützen und mich
mit wertvollen Ratschlägen zu beraten.
Einen großen Dank widme ich ebenfalls Cornelia Strasser, David Zitterl und Katja
Vorreiter und für den Beistand während meiner gesamten Studienzeit und für die
wunderbare Freundschaft, mit der sie mich geehrt haben.
Zu guter Letzt danke ich allen meinen Freunden und Studienkollegen, die mich durch
mein Studium begleitet haben und dies zum schönsten Abschnitt meines Lebens
gemacht haben.
Sucht man nach Gründen weshalb, Mathematikunterricht im Alltag nützlich sein soll,
so gibt es nach Winter (1996) drei Grunderfahrungen, die im Unterricht ermöglicht
werden sollten. Die Erscheinungen der Welt zu verstehen, Mathematik als eine
geordnete Welt zu begreifen und die überfachliche Problemlösefähigkeit (heuristische
Fähigkeiten) zu erwerben. Für Winter ist Problemlösen in der Mathematik auch
Fördern des eigenen Denkens, durch das Sammeln von heuristischer Erfahrung (Vgl.
Winter 1996).
Dieser Umstand stellt somit den Kern der Problemstellung der Diplomarbeit dar.
Daraus resultierend ist die Zielsetzung dieser Arbeit, die Untersuchung der
Möglichkeiten und Methoden der Lehrerpersonen bei der Vermittlung von
Problemlösekompetenzen.
Durchführung
Die Diplomarbeit ist in zwei Teile gegliedert. Der erste Teil ist der Theorie des
Problemlösens gewidmet. Hier wird eine Begriffsklärung sowohl aus der Fachdidaktik
der Mathematik als auch der Sicht der Psychologie vorgenommen und die Methoden
des Problemlösens nach Pólya vorgestellt.
Pólyas Methode des Problemlösens dient der Reflexion der eigenen Ergebnisse zu
den bearbeiteten Problemaufgaben nach Pólya und der Identifizierung der Störungen
und Fehler beim Problemlösen. Die Ergebnisse der Reflexion bilden die Basis für die
kritische Betrachtung der aktuellen Theorien zum Thema Problemlösen in der
Mathematik. Dabei wird der Frage nach der Umsetzbarkeit der verschiedenen
Problemlösestrategien in dem Unterricht nachgegangen.
V
Der zweite Teil der Diplomarbeit ist der empirische Teil. Dieser dient der Umsetzung
einer kleinen Feldstudie in den Schulen. Die Feldstudie sieht Schülertestung der
vierten, fünften und der sechsten Schulstufe vor und anschließende
Lehrpersoneninterviews der getesteten Klassen. Die Ergebnisse der Erhebung sollen
die Praxis beim Unterrichten und Lösen der Problemaufgaben beleuchten und
möglichst fruchtbare Methoden der Lehrpersonen aufzeigen.
Weiteres möchte ich noch anmerken, dass der gelegentliche Verzicht auf die weibliche
Form – wie zum Beispiel „Schüler“ anstatt „Schülerinnen und Schüler“ – keine
diskriminierende Absicht hat, sondern lediglich der besseren Leserlichkeit dienen soll.
„Beauty in mathematics is seeing the truth without effort.”
(George Pólya)
Problem solving in the teaching of mathematics
Objective
Problem solving is a universal cognitive process and is thus essential not only in our
daily lives but also in research and at school. The aim of this diploma thesis is to give
an answer to the question of how different problem-solving strategies can be
implemented in class. Consequently, the findings may help develop a realistic concept
of teaching and practising problem-solving skills.
Implementation
This diploma thesis is divided into two parts. The first one serves to provide some
theoretical information on problem solving. The theory also comprises definitions from
a psychological, a mathematical and a didactical point of view. Besides, there is an
introduction to the problem-solving methods.
The second part is the more practical part. In this section, the author analyses the
results of the problem-solving tasks applied in class.
VII
Inhalt
Typisierung der Probleme ......................................................................... - 3 -
Schwierigkeitsgrade eines Problems .................................................. - 4 -
Wann wird eine Aufgabe oder ein Sachverhalt zu einem Problem? .......... - 4 -
Unterscheidung zwischen Problemaufgaben und Routineaufgaben ... - 5 -
Merkmale und Besonderheiten der Problemlöseaufgaben ................. - 8 -
Didaktische Grundlagen des Problemlösens ............................................... 11
Warum Problemlösen im Mathematikunterricht? ......................................... 12
Problemlösen als Kompetenzbereich der Bildungsstandards für Mathematik
13
Kompetenzmodell .............................................................................................. 14
Was ist eine gute Problemaufgabe im Mathematikunterricht? ..................... 19
Phasenmodell des Problemlöseprozesses nach Pólya ............................... 22
Methode zur Problemlösung nach Pólya ..................................................... 26
Betrachtung Pólyas Beispiele ........................................................................ 28
Ausgewählte Aufgaben aus „Aufgaben und Lehrsätze der Analysis 1“ ....... 28
Aufgabe 1.............................................................................................. 28
Lehren und Lernen von Problemlösen .......................................................... 35
Phasenmodell des Problemlösens nach Dewey ................................... 35
Milgrams Kritik an Pólyas Problemlösemodell ...................................... 37
Störungen und Fehler beim Problemlösen .................................................. 38
VIII
Problemlösemodell als Vorschlag des Bildungsministeriums ...................... 39
Problemlösen lehren nach Bruder ............................................................... 41
Problemlösen lehren nach Leuders ............................................................. 43
Zusammenfassung der betrachteten Konzepte und Vorschläge ................. 46
Fazit des theoretischen Teils ......................................................................... 47
Kreativitätstraining ....................................................................................... 48
51
Schulbücher .......................................................................................................... 52
Gegenüberstellung von Algorithmen und Heuristik ..................................... 54
Algorithmen ........................................................................................... 54
Aufstellung der heuristischen Strategien ............................................... 58
Heuristische Hilfsmittel .......................................................................... 60
Systematisches Probieren .................................................................... 64
Vereinfachen der Aufgabe .................................................................... 75
Die Untersuchung ............................................................................................ 79
Schwierigkeiten bei der Planung und Durchführung der Untersuchung ...... 89
Auswahl der Aufgaben .......................................................................... 89
Bewilligung der Testung ........................................................................ 89
Auswahl der Testklassen ...................................................................... 89
Lehrkräfteinterviews .............................................................................. 90
Auswertung der Ergebnisse ........................................................................... 91
Weitere Forschungsfragen .................................................................... 91
Vergleich der Klassen der Sekundarstufe: Schulstufe 6 .............................. 96
Vergleich der Schulstufe 8 ........................................................................... 97
Ergebnisse der Schulstufe 11 ...................................................................... 99
Vergleich der Schulstufen bzgl. der Aufgabe „Der Obsthändler“ ............... 101
X
Fazit der Auswertung .................................................................................... 109
Schwierigkeiten? ................................................................................................. 109
Wie ist die Haltung der befragten Lehrpersonen zu Problemaufgaben? ... 110
Werden im Unterricht Problemaufgaben und Strategien zu deren Lösung
gezielt unterrichtet? ............................................................................................. 111
Was sind die Ursachen für Vernachlässigung der Problemaufgaben, was ist
Lehrkräften wichtiger als Problemaufgaben? ...................................................... 111
Woher bekommen die Lehrkräfte, die Problemaufgaben im Unterricht
behandeln, ihre Materialien? ............................................................................... 112
Werden Problemaufgaben auch in den Schularbeiten eingesetzt? ........... 112
Wie wirken sich die Tipps bzw. nützliche Hinweise auf die Ergebnisse der
Testung aus? ...................................................................................................... 113
Schneiden die Schüler der höheren Schulstufen deutlich besser ab, als die
Schüler der niedrigeren Schulstufe? ................................................................... 113
Gibt es Geschlechterunterschiede bei der Bearbeitung der einzelnen
Aufgaben? ........................................................................................................... 114
Welche Maßnahmen kann man als Lehrerperson treffen, damit die
SchülerInnen Problemaufgaben besser lösen können? ...................................... 115
Diskussion der Ergebnisse ........................................................................ 116
Seite 1 von 143
TEIL 1: THEORETISCHER HINTERGRUND
Begriffliche Grundlagen des Problemlösens
“No idea is really bad, unless we are uncritical. What is really bad, is to have no idea
at all.”
(George Pólya)
Was ist ein Problem?
Im Alltag wird man häufig mit dem Begriff Problem konfrontiert, wobei dieser meist
unangenehme Gefühle aufkommen lässt und nicht selten die Begleiterscheinungen
wie zusätzliche Arbeit, Zeitaufwand oder Kosten mit sich bringt. Die idealisierte
Vorstellung von „Problem“ als einer Gelegenheit zu lernen und entdecken, geriet in
den Hintergrund. Die Lösung eines Problems ist stets mit erheblichen Aufwand
verbunden, was die gegebene Situation zu einem unerwünschten Zustand macht.
George Pólya1 unterscheidet in seinem 1945 erschienenem Buch „Schule des
Denkens – Vom Lösen mathematischer Probleme“ nicht klar zwischen einem Problem
und einer Aufgabe. Für Pólya besteht das Lösen einer Aufgabe darin, einen Ausweg
aus einer schwierigen Situation zu finden bzw. einen Weg zu finden die Hindernisse
einer scheinbar unlösbaren Aufgabe zu überwinden (Vgl. Pólya 1966, S. 9).
Definition des Begriffs „Problem“
Dörner2 definiert den Begriff Problem aus psychologischer Sicht folgender Maßen:
„Ein Individuum steht einem Problem gegenüber, wenn es sich in einem inneren oder
äußeren Zustand befindet, den es aus irgendwelchen Gründen nicht für
wünschenswert hält, aber im Moment nicht über die Mittel verfügt, um den
unerwünschten Zustand in den wünschenswerten Zielzustand zu überführen.“ (Dörner
1979, S. 10)
2 Dietrich Dörner (*1938) ist ein deutscher Psychologe und emeritierter Hochschullehrer an der Otto-Friedrich- Universität Bamberg. Dörner beschäftigte sich unter anderem im Bereich der künstlichen Intelligenz mit der Modellierung und Simulation von Emotionen, Absichts- und Handlungsorganisation. Dörner 1979, S. 10
Seite 2 von 143
„Von Problemen ist [...] die Rede, wenn die Mittel zum Erreichen eines Zieles
unbekannt sind, oder die bekannten Mittel auf neue Weise zu kombinieren sind, aber
auch dann, wenn über das angestrebte Ziel keine klaren Vorstellungen existieren.“
(Dörner und Bick 1983, S. 302f. )
Damit setzt Dörner eine Definition des Begriffs Problem, die bis heute ihre Geltung
behalten hat. Demnach gibt es im Falle eines Problems zwei Zustände: einen
unerwünschten Ausgangszustand und einen erwünschten Endzustand. Das Problem
besteht darin, dass man auf dem Weg vom Ausgangszustand in den Endzustand ein
Hindernis bzw. eine Barriere überwinden muss. Die Barriere wird auch häufig
Transformation genannt. Damit meint man im Allgemeinen die Überführung des
Ausgangszustands in den Zielzustand. Die Mittel und Fähigkeiten zur Überwindung
der Barriere sind nicht vorhanden und müssen durch Ausdauer und Einfallsreichtum
ersetzt werden. Diese Überwindung des Problems wird auch Problemtransformation
genannt. Zur Problemtransformation werden Operatoren genutzt. Das sind alle Mittel
und Verfahren, die man zur Lösungsfindung einsetzt.
So etwas wie ein Problem „an sich“ gibt es nicht. Ein Problem kann niemals
unabhängig vom Problemlöser betrachtet werden. Ein Sachverhalt wird zu einem
Problem, wenn der Betroffene diesen Sachverhalt auf Grund seiner Ziele als
unbefriedigend empfindet, wobei diese Ziele vorher nicht bekannt sein müssen.
Abbildung 1.1: Problemsituation nach Dörner3
3 Quelle: Themenheft Mathematik „Problemlösen“ Volksschule Grundstufe I + II von https://www.bifie.at/node/2203, zuletzt besucht am 29.05.2018
Seite 3 von 143
Die Hindernisse bzw. Barrieren, die eine Person am Erreichen ihrer Ziele hindern,
können vielfältig beschaffen sein, wie zum Beispiel:
Strategien zur Überwindung der Hindernisse sind unbekannt
Die Anzahl der möglichen Strategien zur Überwindung der Hindernisse ist zu
groß und zu unübersichtlich
Zielzustand ist nicht bekannt
Funke (2011) hat den Begriff „Problem“ sehr treffend umschrieben:
Wer Ziele erreichen will und dabei auf Hindernisse stößt, hat Probleme. Diese
entstehen nur da, wo auch Ziele vorliegen und Routinehandlungen zur Beseitigung der
Hindernisse fehlen. (Vgl. Funke 2011, S. 131–147)
Damit rücken die ZIELE einer Person stark in den Vordergrund. Falls mehrere Ziele
gleichzeitig verfolgt werden spricht man von KOMPLEXEN PROBLEMEN.
Typisierung der Probleme
Je nach Art der Barriere, die überwunden werden soll unterscheidet Dörner (1983)
zwischen drei Typen von Problemen:
Falls Ausgangs- und der Zielzustand angeben sind und auch die notwendigen Mittel
bzw. Operatoren zur Zielerreichung bekannt und vorgegeben sind, dann handelt es
sich um Interpolationsprobleme. Bei den Interpolationsproblemen besteht die
Schwierigkeit bei der Überführung des Ausganszustands in den Zielzustand in der
Bestimmung des Operators oder der Operatoren, die zu einer Lösung führen.
Falls Ausgangs- und Zielzustand angeben sind und die Mittel zur Zielerreichung nicht
vorgegeben sind, dann spricht Dörner von Syntheseproblemen. Bei diesen Problemen
wird die Lösung des Problems erst durch das Auffinden der dazu notwendigen
Operatoren möglich.
Bei dialektischen Problemen sind nur der Ausgangszustand und die notwendigen
Mittel zur Zielerreichung bekannt, der Zielzustand muss erst gefunden werden. (Vgl.
Dörner 1979)
Neben der bereits erwähnten Typisierung der Probleme, differenziert Dörner diese
noch weiter nach dem Bekanntheitsgrad der Mittel und der Klarheit der Zielkriterien.
Diese können entweder hoch oder gering ausgeprägt sein. (Vgl. Dörner 1979, S. 14)
Schwierigkeitsgrade eines Problems
Der Schwierigkeitsgrad eines Problems hängt nach Funke (2011) maßgeblich von:
dem Umfang des Problems
Vernetztheit des Problems ab
Unter der Vernetztheit eines Problems meint man, dass die Variablen eines
bestimmten Problems untereinander stark vernetzt sind. Ein Eingriff in das System
kann unerwartete Auswirkungen an anderen Stellen des Systems haben. Die
Abhängigkeiten können unter Umständen vom Problemlöser gar nicht berücksichtigt
werden, da das Zusammenspiel der einzelnen Variablen zu unübersichtlich ist. (Vgl.
Funke 2011)
Wann wird eine Aufgabe oder ein Sachverhalt zu einem Problem?
„Aufgaben sind geistige Anforderungen, für deren Bewältigung Methoden bekannt
sind. [...] Aufgaben erfordern nur reproduktives Denken, beim Problemlösen muss
etwas Neues geschaffen werden.“ (Dörner 1979, S. 10)
Seite 5 von 143
Dörner hat durch seine Problemdefinition für eine weitere Abgrenzung gesorgt. Durch
das Hindernis bzw. die „Barriere“, grenzt sich eine Aufgabe von einem Problem
deutlich ab. Bei einer Aufgabe besteht eine gewisse kognitive Anforderung, die
Methoden (Algorithmen) zur Bewältigung dieser Aufgabe sind allerdings bekannt.
Somit sind alle Sachverhalte, die es zu lösen gilt, nur Aufgaben, solange die Wege zur
Lösung dieser bekannt sind. Das Vorwissen und die erworbenen Erfahrungen der
Problemlöser entscheidet stets darüber, ob eine Situation oder ein Sachverhalt ein
Problem oder einfach eine Aufgabe ist.
Beispiele für Aufgaben und Probleme4
Beispiel 1: 6 + 3 =?
Bei dieser Gleichung handelt es sich nicht um ein Problem. Es ist eine einfache
Aufgabe, da die Summe der Zahlen ohne besondere kognitive Leistungen abgerufen
werden kann.
Beispiel 2: 2177 x 338 =?
Die obere Gleichung ist ebenfalls kein Problem, denn die Methode zur Berechnung
dieser Aufgabe ist allgemein bekannt. Für die betroffenen „LöserInnen“ dieser
Gleichung, die nicht mit dem Konzept des Multiplizierens vertraut sind, stellt diese
Gleichung allerdings ein Problem dar.
Beispiel 3: Wie lässt sich angesichts der aktuellen politischen Entwicklungen in
Europa die Verbreitung des Rechtspopulismus` verhindern?
Bei diesem Beispiel handelt es sich definitiv um ein Problem, denn bisher wurde noch
kein befriedigender Lösungsansatz gefunden.
Unterscheidung zwischen Problemaufgaben und Routineaufgaben
Im Mathematikunterricht spricht man von Aufgaben, wenn es darum geht inner- oder
außermathematische Sachverhalte zu lösen, deshalb ist an dieser Stelle eine
Unterscheidung zwischen den inner- oder außermathematischen Sachverhalten und
den Routineaufgaben und Problemaufgaben (Problemen) angebracht.
Büchter und Leuders (2014) unterscheiden deutlich zwischen Problemaufgaben in
inner- oder außermathematischen Situationen (Sachverhalten).
4 Eine altersgemäße Behandlung der Probleme und die entsprechenden Bildungsstandards der ProblemlöserInnen werden vorausgesetzt.
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Die inner-mathematischen Problemaufgaben zeichnen sich meist in Situationen aus,
wie der Suche nach Konstruktionsverfahren zu bestimmten Figuren oder bei der
Entwicklung der Berechnungen gesuchter Größen, beim Beweisen oder Wiederlegen
von Aussagen oder der Suche nach geeigneten Ansätzen und Darstellungsweisen für
eine Aufgabe. Büchter und Leuders bezeichnen die Problemlösetätigkeit in diesem
Kontext als Problemlösen in engerem Sinne.
Die außermathematischen Problemaufgaben liegen vor, wenn es sich bei den zu
lösenden Aufgaben um Modellierungsaufgaben handelt. Die Modellierungsaufgaben
beinhalten das Arbeiten in außermathematischen Kontexten, wobei die
Mathematisierung der Aufgaben bzw. das Übersetzen der Sachverhalte in die
mathematische Form meist die Problembarriere darstellt. Das Problemlösen in
engeren Sinne findet nach Büchter und Leuders erst dann, wenn ein Modell als
Abbildung der Realität mathematisiert wurde (Vgl. Büchter und Leuders 2014, S. 30)
Abbildung 1.2: Modellbildungsspirale nach Büchter und Leuders. Aus (Greefrath 2010, S. 48)
Nach Wittmann (2014) ist für die Problemlöseaufgaben charakteristisch, dass die
unmittelbare Lösung dieser Aufgaben zunächst durch eine Barriere verhindert wird und
zur Überwindung der Barriere viele Lösungsansätze bzw. Lösungsstrategien denkbar
sind. Der fruchtbare Lösungsweg muss aus einem ggf. vorhandenem Repertoire der
Strategien ausgewählt oder neu entwickelt werden. Diese Unterscheidung ist insofern
problematisch, da sich die Abgrenzung eines Problems von einer Routineaufgabe
nicht genau festlegen lässt, sie ist stets von den Kompetenzen der jeweiligen
SchülerInnen abhängig und kann innerhalb einer Klasse stark variieren.
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Eine Aufgabe, die zunächst ein Problem ist, kann nach der Aneignung der dazu
notwenigen Kenntnisse und Lösungsverfahren zu einer Routineaufgabe werden.
Routineaufgabe
Problemaufgabe
Abruf einer verfügbaren
gespeicherten Prozedur möglich
Tabelle 1.2: Routineaufgabe VS Problemaufgabe. Aus: (Haas 2000, S. 7)
Abbildung 1.3: Unterscheidung Routineaufgabe und Problemaufgabe nach Roth5
5 http://www.juergen-roth.de/lehre/did_geometrie/material.html
Pólya unterschiedet bei den Problemaufgaben zwischen Beweisaufgaben und
Bestimmungsaufgaben. Die Bestimmungsaufgaben sind Aufgaben, bei denen eine
Unbekannte bestimmt werden soll, wie zum Beispiel das Lösen einer Gleichung. Bei
Beweisaufgaben sollte nach Pólya hingegen ein vorgegebener Endzustand bewiesen
oder widerlegt werden. (Vgl. Pólya 2010)
Je nach Richtung der Mathematik gibt es weitere Klassifizierungen von
Problemaufgaben. In der Didaktik der Geometrie unterscheidet man Probleme in
Hinblick auf die Art der geforderten Aktivitäten. (Vgl. Wittmann 2014, S. 83)
Berechnungsproblem
Beweisproblem
Konstruktionsproblem
Modellierungsproblem
Anzahlproblem
Optimierungsproblem
Neben der grundsätzlichen Unterscheidung von Routineaufgaben und
Problemaufgaben sollte man auch Besonderheiten bzw. die Merkmale der
Problemaufgaben betrachten. Da ein Problem niemals unabhängig vom Problemlöser
betrachtet werden kann, haben die Fähigkeiten und die Kenntnisse bzw.
Vorerfahrungen der SchülerInnen große Relevanz. Unabhängig davon lassen sich
jedoch weitere Unterscheidungsmerkmale festlegen. Zech (1996) nennt folgende
Merkmale der Problemaufgaben:
Informationsangebot
Bekanntheitsgrad
Wie schon Dörner, betont auch Zech (1996) die Auswirkungen des Bekanntheitsgrads
einer Aufgabe auf den Lösungsprozess.
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Die Aufgaben, die in derselben Weise gestellt werden, wie es die SchülerInnen bereits
in der Schule gelernt haben, stellen bis auf die Berechnung und das Einsetzen in die
bekannten Formeln, keine großen Anforderungen an die SchülerInnen. Verändert man
allerdings die Aufgaben so, dass sich diese sich von bereits geübten Aufgaben deutlich
unterscheiden, dann liegt häufig schon eine Problemaufgabe vor.
Mathematische Komplexität
der Aufgaben deutlich.
Als Beispiel kann man die Aufgaben aus der Graphentheorie angeben, wo es darum
geht, wie oft sich die Gäste einer Party gegenseitig die Hände schütteln. Mit steigender
Anzahl der Gäste stiegt auch die Zahl, wie oft sich die Gäste die Hand geben.
Abbildung 1.4: Vollständige Graphen – Zunahme der Komplexität6
Darstellungsebene
Je nach Art, wie die Problemaufgaben den SchülerInnen dargeboten werden, können
Probleme unterschiedliche Schwierigkeitsgrade annehmen. Betrachtet man das
bereits genannte Beispiel mit den händeschüttelnden Gästen, gibt es mehrere
Möglichkeiten diese Aufgabe darzubieten.
Beispiel7: Auf einer Party sind 8 Gäste eingeladen. Beim Abschied schüttelt jeder
jedem die Hände. Wie oft werden beim Abschied die Hände geschüttelt?
Diese Aufgabe kann je nach Schulstufe den SchülerInnen anders präsentiert werden.
Als kombinatorische Aufgabe:
Lösung: Wählt man von acht Gästen immer zwei aus, die sich die Hände schütteln,
dann ergibt das (8 2 ) = 28 Möglichkeiten.
6 Complete_graph_example.png (PNG-Grafik, 394 × 121 Pixel) 2013 7 Vgl. http://www.blueprints.de/gehirnjogging/harte-nuesse/haendeschuetteln.html
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Als zeichnerische Aufgabe:
Als praktisch-handelnde Aufgabe:
Lösung: Wenn man sich vorstellt, dass sich die Gäste in einer Reihe aufstellen und
dann jeweils einer der Gäste raustritt, sieben Gästen die Hände schüttelt und dann
nach Hause geht. Der nächste tritt vor, schüttelt den verbliebenen sechs Gästen die
Hände usw. In der Summe ergibt dies: 7+6+5+4+3+2+1=28
Reversibilität
Reihenfolge, kann dies die Aufgabe wesentlich erschweren.
Erkennbarkeit des Aufgabentyps
Im Beispiel 1 kann ein Schüler der höheren Schulstufe zwischen verschiedenen
Lösungswegen wählen. Die Schwierigkeit beim Lösen von Problemaufgaben besteht
aber häufig in dem Erkennen eines bestimmten Aufgabentyps. Beim Beispiel 1 wird
die Möglichkeit der Anwendung der kombinatorischen Mittel zur Aufgabenbehandlung
womöglich nicht erkannt.
unnötige Daten aufweist, kann dies zu einer erheblichen Steigerung des
Schwierigkeitsgrades der Aufgabe führen.
Abbildung 1.5: Veranschaulichung Händeschütteln
Seite 11 von 143
Didaktische Grundlagen des Problemlösens
„Um die menschliche Intelligenz verstehen zu können, muss man also den Vorgang
des Problemlösens selbst analysieren. Der zweite Grund liegt darin, dass wir andere
besser in schnellem und intelligentem Problemlösen unterrichten können, wenn wir
den Prozess des Problemlösens selbst verstehen.“ (Wessells 1984, S. 338)
Wessels geht davon aus, dass die Problemlösefähigkeit stark mit der Höhe der
Intelligenz zusammenhängt. Die Verbindung zwischen der Psychologie und der
Mathematik wird im Kontext der Problemlöseprozesse besonders sichtbar, da
Intelligenz häufig mit einfachen Problemlöseaufgaben wie Zahlenreihen oder
Mustererkennung gemessen wird. Pólya hielt die Problemlösefähigkeit für eine typisch
menschliche Eigenschaft, die als Ausdruck der Intelligenz sichtbar wird. Diese
Auffassung hat auch Auswirkungen auf Pólyas Verständnis der Lösung von Aufgaben.
Er verwendet das Lösen von Problemaufgaben als synonym zum Problemlösen
Nach Pólya besteht unser Wissen aus der Kenntnis der Tatsachen und praktischem
Können. Das praktische Können hielt er für wesentlich wichtiger für den
Problemlöseprozess als das reine Kenntniswissen. Als praktisches Können bezeichnet
er die Fähigkeit auch solche Aufgaben zu lösen, die einen gewissen Grad an
schöpferischer Tätigkeit, selbständigem Arbeiten…