1. Managerul unei firme susţine, pe baza unei cercetări efectuate asupra a 225 de colete, că greutatea medie a acestora este de 64 kg,cu o eroare limită de 0,5 kg. În calculul erorii limite s-a utilizat o abatere standard de 3 kg. Care este probabilitatea ca afirmaţia să fie corectă? Care este riscul ca afirmaţia să fie greşită?

2. Răspundeţi la următoarele întrebări:

a) Care este diferenţa dintre H0 şi H1?

b) Definiţi fiecare din următoarele:

– Eroare de tip I;

– Eroare de tip II;

– α;

– β.

c) Când riscaţi să faceţi o eroare de tip I? Dar de tip II?

d) În testarea ipotezelor, ce determină mărimea regiunii critice?

3. Pentru fiecare dintre următoarele regiuni critice, schiţaţi distribuţia lui z şi

indicaţi locul regiunii critice (Rc):

a) z > 1,96;

b) z > 1,645

c) z > 2,575

d) z < -1,29

e) z < -1,645 sau z > 1,645

f) z < -2,575 sau z > 2,575.

Pentru fiecare regiune critică, specificaţi care este probabilitatea ca o eroare de tip I să

aibă loc, atunci când H0 este adevărată.

4. Presupunem că sunteţi interesaţi în rezolvarea testului:

H0: µ = 200,

H1: µ > 200,

şi decideţi să utilizaţi următoarea regulă de decizie: se respinge H0 dacă media a 100 de

observaţii este mai mare de 212.

a) Exprimaţi decizia în termeni z.

1

b) Determinaţi probabilitatea emiterii erorii de genul I.

5. În 1930 s-a propus utilizarea poligrafului pentru detectarea minciunilor. Pentru a

se vedea cât de bine lucrează, s-a efectuat următoarea cercetare: dacă 1000 de persoane

sunt testate şi 500 de persoane spun adevărul, iar 500 mint, poligraful a indicat că

aproximativ 185 de persoane care au fost identificate ca spunând adevărul, au minţit în

realitate, iar 120 de persoane care au fost indicate că au minţit, în realitate au spus

adevărul. Dacă:

H0: spune adevărul,

H1: minte:

a) Care este eroarea de tip I? Dar de tip II?

b) Care este probabilitatea comiterii unei erori de tipul I? Dar probabilitatea

comiterii unei eroeri de tipul II?

6. Se efectuează testarea unei ipoteze statistice utilizând α = 0,05 (test unilateral).

Pentru care dintre următoarele valori ale lui φ(z) (corespunzătoare valorii calculate a

testului) va fi respinsă ipoteza nulă?

a) 0,44;

b) 0,499;

c) 0,40;

d) 0,249;

e) 0,49;

f) 0,458.

7. Pentru fiecare din valorile φ( zcalc) şi α observate, specificaţi dacă ipoteza nulă

este respinsă în cazul testului bilateral:

a) α = 0,05; φ(zcalc) = 0,40;

b) α = 0,10; φ( zcalc) = 0,45;

c) α = 0,01; φ( zcalc) = 0,499;

d) α = 0,025; φ( zcalc) = 0,45;

e) α = 0,10; φ( zcalc) = 0,05.

2

8. Într-un test în care se testează ipoteza nulă 1000 =µ:H cu 100:1 >µH se

obţine valoarea testului z = 2,26. Aflaţi pragul de semnificaţie corespunzător valorii

calculate a testului.

9. Dacă se testează 100:0 =µH cu 100:1 ≠µH şi se obţine z = 2,08 aflaţi pragul de

semnificaţie corespunzător valorii calculate a testului.

10. Un fabricant de automobile a estimat că un nou tip de maşini obţine un consum

mediu de 11 litri la 100 km, dar compania care dorea să comercializeze aceste maşini

pretindea că acest consum depăşeşte estimaţia producătorului. Pentru a susţine afirmaţia,

compania a selectat 36 de maşini şi a înregistrat consumul. Au rezultat datele: 8,11=x

litri / 100 km; s = 3,0 litri / 100 km.

a) Dacă cei interesaţi doresc să arate că media consumului este mai mare de 11 litri /

100 km, care este ipoteza nulă? Dar ipoteza alternativă?

b) Efectuaţi testarea pentru α = 0,05.

11. O companie doreşte să introducă o nouă metodă de realizare a unui produs. Se

selectează 50 de produse pentru care se înregistrează timpii de realizare cu vechea

metodă şi 50 de produse pentru noua metodă. Rezultatele sunt:

Metoda actuală: Noua metodă:

n1 = 50 n2 = 50

3,271 =x minute 4,252 =x minute

7,31 =s minute 1,32 =s minute

Să se arate, utilizând o probabilitate de 95%, dacă rezultatele oferă suficiente informaţii

pentru a indica faptul că noua metodă duce la un consum de timp semnificativ mai mic.

12. Analiza unui eşantion aleator de 49 de observaţii a dus la următoarele

rezultate: 7,20=x ; ( ) 155,22=−∑ xxi .

3

a) Testaţi ipoteza nulă 47,0=µ , cu ipoteza alternativă: 47,0<µ , utilizând o

probabilitate de 90%.

b) Testaţi ipoteza nulă 47,0=µ cu ipoteza alternativă 47,0≠µ utilizând o

probabilitate de 90%.

13. Un analist financiar presupune că valoarea facturilor emise de firma la care

lucrează este, în medie, de peste 10 mii lei/factură. Pentru a susţine această ipoteză, el

selectează aleator 48 de facturi emise în ultima lună, pentru care înregistrează valorile

(mii lei): 10, 2, 12, 8, 12, 8, 9, 10, 11, 9, 9, 10, 10, 9, 10, 10, 11, 9, 8, 9, 6, 10, 7, 10, 9,

13, 9, 10, 11, 10, 9, 9 , 9, 17, 12, 6, 10, 8, 7, 9, 11, 12, 10, 11, 12, 9, 7, 9. Să se testeze

ipoteza analistului pentru o probabilitate de garantare a rezultatelor de 99%.

14. Presupunem că în urma unui sondaj aleator de 100 de observaţii, pentru o

caracteristică alternativă s-a obţinut media f = 0,63 şi dorim să testăm ipoteza nulă că, în

colectivitatea generală, media p este 0,7 cu ipoteza alternativă p < 0,7. Să se utilizeze un

prag de semnificaţie α = 0,05. Să se testeze, pentru acelaşi prag de semnificaţie, ipoteza

nulă p = 0,7 cu ipoteza alternativă p ≠ 0,7.

15. Un eşantion aleator de 50 de persoane a fost testat cu privire la un nou produs

de snack-food. Răspunsurile au fost codificate (0: nu-mi place; 1: îmi place) şi listate: 1,

0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0,

1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1.

a) Utilizaţi o probabilitate de 90% pentru a estima intervalul în care se va încadra

proporţia celor cărora le place produsul, în colectivitatea generală.

b) Testaţi ipoteza nulă H0: p = 0,5 cu ipoteza alternativă H1: p > 0,05, unde p este

proporţia celor cărora le place produsul, utilizând o probabilitate de 95%.

16. Presupunem că aţi selectat un eşantion aleator de 1600 de persoane dintr-o

populaţie generală ce conţine 20% (p = 0,2) persoane favorabile unei propuneri. Care

este probabilitatea ca proporţia din eşantion (f) să difere de cea din colectivitatea generală

(p) cu mai mult de 1%?

4

17. Un producător de imprimante pentru calculatoare personale doreşte să estimeze

media numărului de caractere tipărite până când se consumă cerneala. Costul crescut al

unei astfel de anchete impune utilizarea unui eşantion de volum redus. Presupunem că au

fost testate n = 15 imprimante şi s-au calculat: 13,1=x milioane caractere, s = 0,27

milioane caractere.

a) Să se testeze cu o probabilitate de 90% intervalul de încredere pentru numărul

mediu de caractere.

b) Să se testeze ipoteza nulă 00,1=µ milioane, cu ipoteza alternativă 00,1>µ

milioane caractere, utilizând o probabilitate de 95%, în ipoteza distribuţiei normale a

numărului de caractere în colectivitatea generală.

18. Valoarea medie a unei locuinţe aflate în imediata apropiere a unui colegiu

este de 58.950 unitati monetare. Se presupune ca valoarea locuinţelor creşte cu cât ele

sunt situate mai aproape de acest colegiu. Pentru a testa această ipoteză, au fost selectate

aleatoriu 12 locuinţe din zona colegiului; în urma evaluării acestora, a rezultat o valoare

medie de 62.460 unităţi monetare, cu o abatere medie patratică de 5.200 unităţi monetare.

Testaţi această ipoteză, pentru un nivel de semnificaţie de 5%.

19. Un reporter se documentează pentru un articol privind costurile tot mai ridicate

ale educaţiei primite în învăţământul superior. Pentru aceasta, el a luat în considerare

variabila „costul unui manual” în semestrul în curs (variabila x). În urma considerării

unui eşantion de 41 de manuale, el a găsit că: ∑ = 22,550ix u.m.;

( )∑ =− 984,16172

xxi . Se cere:

a) găsiţi media şi abaterea medie pătratică a costului unui manual în semestrul în curs,

la nivelul eşantionului considerat;

b) testaţi ipoteza conform căreia valoarea medie a unui manual este mai mică de 15

u.m., pentru un nivel de semnificaţie de 1%.

5

20. Pentru a estima proporţia cetăţenilor care sunt de acord cu un program social

susţinut de Guvern, s-a considerat un eşantion aleatoriu de 1000 de persoane. Daca 545

au răspuns că sunt în favoarea programului, există suficiente informaţii pentru a respinge

afirmaţia Guvernului, precum că programul său social se bucură de susţinerea majorităţii

cetăţenilor? (α=0,05).

21. Un politician susţine că la viitoarele alegeri va primi 60% dintre voturile

cetăţenilor. În urma selectării unui eşantion aleatoriu de 100 de persoane, a rezultat că 50

dintre acestea ar vota cu politicianul respectiv la viitoarele alegeri. Poate fi considerată

adevarată afirmaţia politicianului, pentru un nivel de semnificaţie de 5%?

22. Gradul de poluare a aerului se poate determina prin măsurarea mai multor

elemente, printre care şi nivelul monoxidului de carbon existent în atmosferă. Un

ecologist vrea să arate că oraşul X are un grad ridicat de poluare a aerului, ilustrat printr-

un nivel mediu al monoxidului de carbon mai mare de 4,9. Pentru a verifica această

afirmaţie, au fost înregistrate nivelurile monoxidului de carbon din 12 zile consecutive,

valorile găsite fiind următoarele:

Ziua 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CO 3,5 3,9 2,8 3,1 3,1 3,4 4,8 3,2 2,5 3,5 4,4 3,1

a) calculaţi media şi abaterea medie pătratică a nivelului de CO din aer, pentru cele

12 zile;

b) există suficiente dovezi pentru a respinge ipoteza ecologistului?

23. Un post de radio promovează un grup muzical aflat în mare vogă. În trecut,

60% dintre ascultătorii postului de radio declaraseră că le-au plăcut grupurile muzicale

promovate de acest post. Dintr-un eşantion de 200 de ascultători, 102 au declarat că le

place grupul recent promovat. Pentru un nivel de semnificaţie de 0,05 testaţi ipoteza

conform căreia nu există diferenţe semnificative între preferinţele ascultătorilor din trecut

şi prezent.

6

24. Într-o livadă de cireşi, recolta medie a fost de 4,35 tone/arie. A fost însă testat

un nou fertilizator chimic, pe 15 arii selectate aleator din livadă şi au fost înregistrate

următoarele recolte:

3,56 5,00 4,88 4,93 3,92 4,25 5,12 5,13 4,79 4,45 5,35 4,81 3,48 4,45 4,72

Pentru un nivel de semnificaţie de 5%, avem suficiente dovezi pentru a concluziona că în

urma aplicării fertilizantului s-a obţinut o creştere semnificativă a recoltei?

25. Pentru două eşantioane de studenţi, unul de fete şi altul de băieţi, a fost

înregistrată înălţimea persoanelor care au participat la un program sportiv (xi) şi s-au

obţinut următoarele rezultate:

Eşantion Nr. studenţi Suma greutăţilor (∑xi) (inch)

( )∑ −2

xxi

Femei 30 1952 74,2 Bărbaţi 40 2757 284,3 Oferă aceste date suficiente informaţii pentru a respinge ipoteza conform căreia înălţimea

medie a unui student participant la programul sportiv este cu cel mult 2,5 inch mai mare

decât cea a unei studente? (nivel de semnificaţie de 2%).

26. Pentru analiza preţurilor de vânzare a apartamentelor aflate în 2 cartiere ale

unui oraş, au fost selectate aleator 18 apartamente din primul cartier şi 18 apartamente

din cel de-al doilea cartier, de la care s-au înregistrat preţurile de vânzare. În urma

prelucrării datelor, a rezultat că un apartament din primul cartier are un preţ mediu de

vânzare de 15000 unităţi monetare, cu o dispersie de 2400, iar un apartament din cel de-al

doilea cartier are un preţ mediu de vânzare de 16000 unit. monetare, cu o abatere medie

pătratică de 69,282 unit.monetare. Se poate accepta ipoteza că există o diferenţă

semnificativă între preţul mediu de vânzare al apartamentelor din cele două cartiere?

(nivel de semnificaţie 5%).

27. Managerul unui restaurant doreşte să determine dacă o companie publicitară a

mărit semnificativ media încasărilor zilnice. El culege date privitoare la 50 de zile

înaintea campaniei şi la 30 de zile după încheierea campaniei publicitare. Rezultatele

pentru cele două perioade sunt:

7

Înaintea campaniei După campanie

n1 = 50 n2 = 50

55221 ,x = mil. lei 30332 ,x = mil. lei

15,21 =xs mil. lei 38,22 =xs mil. lei

Informaţiile obţinute sunt suficiente pentru a susţine ipoteza conform căreia mediile

încasărilor diferă semnificativ, adică sunt semnificativ mai mari după campania publicitară?

Să se utilizeze o probabilitate de 95%.

28. 20 de şoareci de laborator au fost împărţiţi în două grupuri egale. Fiecare grup

a fost hrănit în conformitate cu una din cele două diete alimentare prestabilite (A, B). La

sfârşitul a trei săptămâni, a fost înregistrată creşterea în greutate a fiecărui şoarece:

Dieta A 5 14 7 9 11 7 13 14 12 8 Dieta B 5 21 16 23 4 16 13 19 9 21 Se poate afirma, cu o probabilitate de 95% că dieta B a condus la o creştere medie a

greutăţii semnificativ mai mare decât dieta A?

29. Un producător de jucării electronice doreşte să verifice dacă procentul

jucăriilor defecte este mai mic de 7%. Presupunem că sunt selectate aleator 200 de

jucarii, fiecare dintre acestea este testată şi că sunt găsite 12 jucarii defecte. Oferă aceste

informaţii suficiente dovezi că procentul jucariilor defecte este mai mic de 7%? Utilizaţi

o probabilitate de 99% de garantare a rezultatelor.

30. 7 experţi îşi exprimă opiniile privind preţul unui produs, în anul viitor.

Rezultatele anchetei sunt exprimate de indicatorii sintetici: 85,x = mii lei, s = 1,72 mii lei.

( ( )1

2

−−

=∑

nxx

s i , deoarece este un eşantion de volum redus). Dacă se ştie că anul acesta

preţul mediu a fost de 3,54 mii lei, sunt motive suficiente pentru a susţine ipoteza că anul

viitor preţul mediu va fi semnificativ mai mare faţă de cel de anul acesta? Se va utiliza o

probabilitate de 95% de garantare a rezultatelor.

8

31. Decanul facultăţii de Marketing doreşte să verifice dacă procentul de

nepromovabilitate după prima sesiune de examinare la disciplina statistică este mai mic

de 30%. Pentru aceasta sunt selectaţi aleator 100 dintre studenţii care au susţinut

examenul de statistică în anul I. Pentru fiecare student se înregistrează dacă a promovat

sau nu examenul. S-a determinat astfel un număr de 24 de studenţi care nu au promovat

examenul. Oferă aceste informaţii suficiente dovezi că procentul de nepromovabilitate

este mai mic de 30%? Utilizaţi o probabilitate de 99% de garantare a rezultatelor.

32. Un lot de 200 de sticle de băuturi răcoritare este supus unui control de calitate.

Lotul este declarat necorespunzător dacă mai mult de 3% dintre sticle nu respecta

compoziţia prestabilită de producător. În urma verificării, 7 sticle sunt găsite ca

necorespunzătoare. Oferă aceste informaţii suficiente dovezi ca întregul lot să fie declarat

“necorespunzător“ ? Utilizaţi o probabilitate de 99% de garantare a rezultatelor.

33. Managerul unei firme ce oferă servicii de curierat rapid susţine că timpul său

mediu de expediere, într-un anumit perimetru, este mai mic de 6 ore. Pentru verificarea

acestei afirmaţii, a fost considerat un eşantion aleator de 10 expedieri ale unor pachete,

pentru care s-au înregistrat timpii necesari pentru expedierea acestora la destinatie (ore):

7; 3; 4; 6; 10; 5; 6; 4; 3; 8. Exista suficiente dovezi pentru a susţine afirmaţia

managerului, pentru un nivel de semnificaţie de 5% (tcritic= 1,833)?

34. Un producător de anvelope susţine că mai mult de 90% din anvelopele produse

de el rezistă la cel puţin 50.000 km. În urma selectării şi testării unui eşantion aleatoriu de

200 de anvelope, 10 anvelope s-au uzat înainte de parcurgerea distanţei de 50.000 km.

Există suficiente informaţii pentru a afirma că producătorul are dreptate? (zcritic = 1,645,

pentru o probabilitate de 95%).

35. O companie producatoare de hrana pentru bebeluşi susţine că noul său produs

este superior faţă de cel al principalului său concurent, prin aceea că bebeluşii care

consumă acest produs câştigă mai repede şi mai mult în greutate. Pentru a verifica aceasta

9

afirmaţie, au fost selectaţi aleator 10 bebeluşi; timp de 2 luni, 5 bebeluşi au fost hrăniţi cu

produsul creat de compania producătoare, iar ceilalţi 5 bebeluşi – cu produsul creat de

firma concurentă. Surplusul de greutate (zeci grame) câştigat de bebeluşi în urma

consumării celor două produse a fost:

Produsul companiei 85 102 79 105 113 Produsul concurentului 91 68 85 82 76

Putem concluziona, cu o probabilitate de 95%, că bebeluşii hrăniţi cu produsul companiei

au luat mai mult în greutate decât cei hraniţi cu produsul concurentului? (tcritic= 2,306)

36. Managerul unui lanţ de magazine alimentare doreşte să-şi deschidă un nou

magazin. Pentru alegerea zonei de amplasare a acestuia, el ia în considerare, printre alţi

factori, mărimea veniturilor gospodăriilor din zona respectivă. Pentru a alege între două

zone, A şi B, sunt considerate aleator două eşantioane de câte 100 de gospodării în

fiecare zonă.

Zona A Zona B Venitul mediu anual al unei gospodării (u.m) 29980 28650 Abaterea medie pătratică a veniturilor (u.m.) 4740 5365

Se poate concluziona, pentru un nivel de semnificaţie de 5%, pe baza datelor

existente, că venitul mediu anual al unei gospodării din zona A este superior celui din

zona B? Se presupune că veniturile sunt normal distribuite (zcritic= 1,645).

37. Ce reprezintă ipoteza nulă într-un proces de testare de ipoteze statistice?

38. Ce reprezintă ipoteza alternativă într-un proces de testare de ipoteze statistice?

39. Ce reprezintă testul sau criteriul de semnificaţie?

40. Ce reprezintă regiunea critică?

41. Când comitem o eroare de genul întâi?

42. Când comitem o eroare de genul al doilea?

10

43. Ce reprezintă α şi β?

44. Care sunt paşii în construirea unui test statistic?

45. Cum se testează ipoteza privind media unei colectivităţi generale în cazul

eşantioanelor mari?

46. Cum se testează ipoteza privind media unei colectivităţi generale în cazul

eşantioanelor de volum redus?

47. Cum se testează ipoteza privind diferenţa dintre mediile a două colectivităţi

generale, în cazul eşantioanelor mari?

48. Cum se testează ipoteza privind diferenţa dintre mediile a două colectivităţi

generale, în cazul eşantioanelor de volum redus?

11