Anlisis Matemtico I

Universidad CatlicaSanto Toribio de Mogrovejo

Mgtr. Julio Csar Moreno Descalzi

ESCUELA DE INGENIERA DE SISTEMAS

BLOQUE I: Problemas sobre derivadas:

Volumen de un globo.- Si un globo se infla a razn de 4000 cm3/min con qu rapidez crece su radio (se expande) cuando ste es de 10 cm?

Rpta. 3,18 cm/minSolucin

Donde: v=volumen; t=tiempo; r=radioVolumen del globo o una esfera=4/3

Rspta: Cuando el radio es 10 cm, el globo se infla a razn de 3,18 cm/min.

Ondas circulares concntricas.- Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concntricas. El radio r de la onda exterior crece a una tasa constante de 30 cm/seg cuando su radio es 120 cm. A qu ritmo est creciendo el rea total A de la zona perturbada?

Rpta. 22619,47 cm2/segSolucin

Donde: A=area; t=tiempo; r=radioArea de la zona perturbada=

Rspta: El rea A est creciendo a razn de 22619,47

Alambre conductor.- El flujo de corriente en un alambre conductor de cobre esta dado por la expresin siguiente: en watts, donde x es la conductividad elctrica para el cobre. Hallar la razn de cambio del flujo de corriente cuando x= 1.5 (siemens / metro)

Rpta. 41,19 watts metro/siemensSolucinDatos:Expresin: I(x)=ln ( wattsDonde x es conductividad elctrica=1.5(Siemens/metro)Razn de cambio = ????

Rspta: Cuando la conductividad elctrica es de 1.5 siemens/metro. El flujo de corriente est a razn de 41.19 watts metro/siemens.

Resistencia.- La fuerza en Newtons de resistencia de unos neumticos para autos deportivos en circuitos arenosos depende del coeficiente de rozamiento del terreno esto se refleja en la ecuacin:

Determinar la razn de cambio de la resistencia cuando el coeficiente de rozamiento es 0.5

Rpta. 1,6 NSolucin:

Rspta: Cuando el coeficiente de rozamiento de autos deportivos es 0.5, la razn de cambio de la resistencia es de 1.6 Newtons.

Volumen de agua.- A un depsito cilndrico de base circular y 5 m de radio, le est entrando agua a razn de 25 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.

Rpta. 0,32 m/segSolucin:

Rspta: La rapidez a la que se sube a la superficie del agua es de 0.32 m/seg.

Efecto Doppler: La frecuencia F de la sirena de un coche de bomberos oda por un observador en reposo viene dada por: Donde v representa la velocidad del coche de bomberos. Calcular el ritmo de cambio de F respecto de v cuando:a) El coche se acerca a 30 m/s (usar v)b) El coche se aleja a 30 m/s (usar +v)

Solucion:

Rspta: Cuando el cambio de la frecuencia es 1, respecto a la velocidad es de 1,46 x 1Hz.

Rspta: Cuando el cambio de la frecuencia es 1, respecto a la velocidad es de 1,46 x 1.

Proyectil: Se dispara un proyectil directamente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad de 400 pies/seg. Su distancia sobre la superficie de la tierra despus de t segundos est dada por la ecuacin s(t) = -16t2 + 400t.a) Halla el tiempo cuando el proyectil toca la superficie de la tierra.Solucin:

Rspta: Cuando el proyectil toca la superficie de la tierra ser despus de 25 segundos.b) Cul es la aceleracin en cualquier tiempo?

Rspta: La aceleracin en cualwuier momento es de .32 m/

Movimiento de un objeto: Un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuacin:s(t) = 2t2 - 12t + 10, Donde s se mide en pies y t en segundos.a) Halla la velocidad del objeto cuando t = 0,1,2,3Solucin:

Nivel de agua en un tanque: A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts de radio y 16 mts de altura entra agua a una razn de 50 cm3/seg.

a) A qu velocidad est subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 mts de altura? Solucin: B C

16 D E 16m

50 O

V=volumen x=radio cm4 m y=altura16m

ABC y ODE:

Rspta: Cuando el nivel del mar se encuentre a 4m de altura, subir con cuna velocidad de 0,00159 cm / seg.

b) A qu velocidad est cambiando el radio en ese mismo instante?

Rpta. 0,00159 cm/seg0,0003978 cm/segSolucin:

Rspta: El radio en ese mismo instante est cambiando a raznde 0,0003978 cm/seg.

BLOQUE II: Problemas sobre Mximos y Mnimos:

El ingreso de la produccin de x unidades de cierto producto es:

millones de dlares. a) Cul es el nivel de produccin que genera el mximo ingreso?Solucin:

Rspta: La produccin que genera el mximo ingreso es 7 unidades.b) Cul es el mximo ingreso?

Rspta: El ingreso mximo es de 3 500 millones de dlares.

Un bilogo realiz un experimento sobre la cantidad de individuos en una poblacin de paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo g(t) = ln(t2 2t + 5) donde t se mide en das y g(t) es el nmero de individuos en el cultivo. Indique despus de cunto tiempo el nmero de individuos en la poblacin es mnimo.

Solucin:

) Puntos crticos:

Rspta: En el da 1 el nmero de individuos en la poblacin es minimo.

La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como funcin del instante de tiempo t (en meses), viene dada a travs de la expresin:

Se pide:

a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?Solucin:

Rspta: La cantidad de agua recogida aumenta en 6 meses.b) En que instante se obtuvo la cantidad mxima de agua?Rspta: La cantidad mxima de agua se obtuvo en el sexto mes.c) Cual fue esa cantidad mxima?

Rspta: La cantidad mxima es de 10 millones de litros.

Un cierto medicamento se ha inyectado en el cuerpo de una persona con un cncer de mama, su actuar se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la funcin V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comenz el estudio (t=0). Indicar los instantes de mxima y mnima intervencin en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.Solucin:

Existe un mximo en 1; y un minimo en 5. Cuando usted tose, la trquea se contrae. La velocidad v a la cual el aire sale depende del radio r de la trquea. Si R es el radio normal (de descanso) de la trquea, entonces para r menor o igual R, la velocidad est dada por:

V=a (R-r) r2 , donde a es una constante positiva.

a) Qu valor de r maximiza la velocidad?

b) Cul es esa velocidad mxima?

En una empresa el fondo de inversin genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, segn la frmula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar teniendo en cuenta que dicha empresa dispone de 500 euros:

a) Cundo aumenta y cuando disminuye la rentabilidad?Solucin

Rspta: Aumenta en el intervalo y disminuye en el intervalo

b) Cunto dinero debemos invertir para obtener la mxima rentabilidad posible?Rspta: Deberiamos invertir unos 200 soles.c) Cul ser el valor de dicha rentabilidad?

Rspta: La mxima rentabilidad es de 75 soles.

Un estudio realizado durante una epidemia mostr que el nmero de personas afectadas, t das despus de iniciado el brote, respondi a una expresin del tipo:

N y A constantes, A>1, donde N era el nmero total de personas (poblacin total).Demuestra que la mxima velocidad de propagacin de la enfermedad ocurri cuando se infect la mitad de la poblacin.

Una compaa de transporte con una tarifa de $20, transporta 8000 pasajeros por da, al considerar un aumento de la tarifa la compaa determina que perder 800 pasajeros por cada $5 de aumento en estas condiciones Cul debe ser el aumento para que el ingreso sea mximo? Solucin:

Hay un mximo en 3.Rspta: Se harn 3 aumentos con lo que el aumento en el costo sern de 15 dlares y respecto al ingreso mximo asciende a 196 000 dlares.

Considere una empresa que opera en el mercado bajo la siguiente funcin de costos totales C(x)=0,1x2+10x+50; y con un precio de venta de $20 por unidad. Determine:

a) Para maximizar las utilidades, cuntas unidades debe producir la empresa?Solucin

Utilidad

Puntos crticos

Hay un mximo en 50.Rspta: Se debe producir y vender 50 unidades para luego conseguir la mxima utilidad.b) a cunto asciende la utilidad mxima?Rspta: La utilidad mxima asciende a 200 dlares.

Un coche de competicin se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresin v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilmetros. Hallar:

a) En qu momento del intervalo [0;2] circula a la velocidad mxima y calcular dicha velocidad. b) En qu periodos gano velocidad y en cuales redujo?c) Se detuvo alguna vez?