-
1.4. PROBLEMAKSIJALNONAPREGNUTOG STAPA I METODAKONACNIH
ELEMENATA23
Koristeci osobine N1(x1) = 1, N1(x2) = 0 i N2(x1) = 0, N2(x2) =
1, mozemonapisati u matricnoj notaciji:
x2x1
(
(N1N2
)q
(N 1N 2
)EAu(x)) dx+
(F1F2
)=
(00
)(1.79)
Uvrstavanjem u(x), x2x1
(
(N1N2
)q
(N 1N 2
)EA
(N 1 N
2
)( u1u2
)) dx+
(F1F2
)=
(00
)
(1.80)ili x2
x1
NT q dx x2x1
BTEABd dx+ feF = 0 (1.81)
Posto nepoznata cvorna pomjeranja nisu funkcije od x, mozemo ih
izvuciizvan integrala,
x2x1
BTEAB dx d =
x2x1
NT q dx+ feF = Ked = feq + feF (1.82)
Pretpostavimo da su EA i q konstantni, pa integriranjem
dobijamo:
Ke =
x2x1
BTEAB dx =
x2x1
EA1
l2dx
x2x1
EA1
l2dx
x2x1
EA1
l2dx
x2x1
EA1
l2dx
= EAl
(1 1
1 1)
feq =
x2x1
NT q dx =
x2x1
x x2l
q dx x2x1
x x1l
q dx
= ql2
(11
)(1.83)
Konacno,
EA
l
(1 1
1 1)(
u1u2
)=
ql
2
(11
)+
(F1F2
)
Ked = feq + feF (1.84)
1.4.3 Rayleigh-Ritzova metoda
Totalna poterncijalna energija za element je:
= U W = 12
x2x1
EA(u(x))2 dx x2x1
qu dx F1u1 F2u2 (1.85)
-
24 POGLAVLJE 1. UVOD
Deformacija je u(x) = Bde pa imamo
(u(x))2 = (u(x))Tu(x) = (Bde)TBde = (de)TBTBde (1.86)
Energija deformacija je sada
U =1
2
x2x1
EA(de)TBTBde dx =1
2(de)T
x2x1
EABTB dx de 12(de)TKede
(1.87)pri cemu je Ke poznato od ranije (v. 1.83). Rad
raspodijeljenog opterecenjajednak je:
Wq =
x2x1
qu dx =
x2x1
qNde dx = (de)T x2x1
NT q dx = (de)T feq (1.88)
gdje je feq dato u (1.83). Rad sila na krajevima stapa jednak
je
WF = F1u1 + F2u2 = (de)T feF (1.89)
Totalna potencijalna energija se sada moze napisati kao
= UW = 12(de)TKede(de)T feq(de)T feF = (de)T (
1
2KedefeqfeF ) (1.90)
Neophodan uvjet za minimum totalne potencijalne energije
je13:
d= (
1
2Kde feq feF ) +
1
2Kde = Kde feq feF (1.91)
sto je ekvivalentno rezultatu dobijenom Galerkinovom
metodom.
1.5 Grede
1.5.1 Galerkinova metoda
Diferencijalna jednadzba kojom opisujemo problem savijanja grede
(uvjetravnoteze preko pomjeranja v):
EId4v
dx4 q = 0 (1.92)
Rubni uvjeti po silama:
EId2v
dx2= M
EId3v
dx3= T (1.93)
13Posto je K simetricna matrica, (de)T ( 12K) =12Kd
e.
-
1.5. GREDE 25
Slaba forma ravnoteze14: l0
(EId4v
dx4 q)wi dx = 0 i = 1, n (1.94)
Primjenom parcijalne integracije dva puta l0
(EId4v
dx4wi dx = EI(wi
d3v
dx3
l
0
l0
d3v
dx3dwidx
)
l0
d3v
dx3dwidx
=d2v
dx2dwidx
l0
d2v
dx2d2widx2
dx
konacno dobijamo l0
(d2v
dx2d2widx2
qwi) dx+ (EIwi d3
dx3)
l
0
(EI dwidx
d2v
dx2)
l
0
= 0 (1.95)
Red izvoda u problemu je 2, pa tezinske funkcije wi moraju
zadovoljiti rubneuvjete po pomjeranjima gdje je najveci izvod reda
1.
Primjer Konzola izlozena raspodijeljenom opterecenju q i
koncentrisanoj silina kraju F = ql.
Pretpostavljena funkcija pomjeranja:
v =2
i=1
aiwi = a1x2 + a2x
3 w1 = x2 , w2 = x
3 (1.96)
Prirodni rubni uvjeti su
EId3v
dx3= F EI d
2v
dx2= 0
pa imamo:
x = 0 wi = dwidx
= 0
l0
(d2v
dx2d2widx2
qwi) dx+ (wiF )x=l = 0 i = 1, 2
d2w1dx2
= 2d2w1dx2
= 6x
d2v
dx2= 2a1 + 6a2x
14Posto je rjesenje priblizno ispravno bi bilo pisati v umjesto
v.
-
26 POGLAVLJE 1. UVOD
Za odredivanje 2 nepoznata parametra trebaju nam 2
jednadzbe:
l0
(EI(2a1 + 6a2x) 2 qx2) dx (x2F )x=l = 0 l0
(EI(2a1 + 6a2x) 6x qx3) dx (x3F )x=l = 0
Sa F = ql imamo sistem:
(4l 6l2
6l2 12l3
)(a1a2
)=
ql3
EI
(4/35l/4
)
odakle su a1 =1724
ql2
EIi a2 = 14 qlEI . Konacno,
Galerkin Tacno
v(x) =ql4
24EI(17
x2
l2 6x
3
l3) v(x) =
ql4
24EI(18
x2
l2 8x
3
l3+
x4
l4)
T = EI d3v
dx3=
3
2ql T = 2ql qx
M = EI d2v
dx2= ql
2
12(17 18x
l) M = ql
2
2(3 4x
l+
x2
l2)
Na kraju konzole ugib je jednak v = v = 1124
ql4
EI. Najveca odstupanja se
javaljaju u proracunu poprecnih sila sto znaci da greska raste
sa povecanjemreda izvoda pretpostavljene funkcije pomaka v. S druge
strane, ukupan zbirrjesenja preko cijelog domena je jednak po
tacnoj i po pribliznoj metodi:
l0
T (x) dx =
l0
T (x), dx ,
l0
M(x) dx =
l0
M, dx (1.97)
Geometrijski ovo znaci da su povrsine ispod dijagrama iste.
Diferencijalnajednadzba nije zadovoljena u svakoj tacki
konstrukcije vec u integralnomobliku na kompletnom domenu.
1.6 Matrice krutosti Ke i K
Matrica krutosti stapa Ke je simetricna (Ke = KeT ) i pozitivno
semide-nitna, sto znaci da su minimalne (jedna ili vise) vlastite
vrijednosti min = 0(tj. matrica je singularna). Broj vlastitih
vrijednosti jednakih nuli odgovara
