ESTADÍSTICA I

Práctico: Unidad 2 – Probabilidades

D.E.A. Lanza Mariano

1. Determinar si los siguientes experimentos son aleatorios:a) La cantidad electrones que posee un átomo de hierro (Fe) elegido al azar.b) La cantidad de turistas que ingresan a la ciudad en temporada alta.c) El lanzamiento de una monedad) La humedad del ambiente.e) La altura de un alumno de la materia Estadística.f) El lanzamiento de dos dados

2. Del ejercicio anterior, determinar el espacio muestral que presentan los experimentos c) y f).

3. En un lanzamiento de un dado balanceado, calcular la probabilidad de ocurrencia de cada evento:

a) Obtener un 4b) No obtener un 4c) Obtener un número impard) Obtener un número impar pero distinto de 3e) Obtener un número impar o un 2f) Obtener un número impar y mayor que 2.

4. Si se saca al azar una bolilla de una caja que contiene 10 bolillas rojas, 30 blancas, 20 azules y 14 amarillas. Encuentre las siguientes probabilidades:

a) la bolilla sea amarilla o rojab) no roja o azulc) no azuld) Azul y rojae) blancaf) roja, blanca o azul

5. Una línea de montaje de producción contiene dos componentes, A y B. El sistema funcionará siempre y cuando A o B funcionen. La probabilidad de que A funcione es de 0,95, que B funcione es de 0,90 y que ambos funcionen es 0,88. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

6. Un sistema contiene dos componentes, A y B. El sistema sólo funcionará si ambos funcionan. La probabilidad de que A funcione es 0,98, que B funcione es 0,95 y que A o B funcionen es 0,99. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

7. Se sacan, con reemplazo, dos bolillas de la caja del problema 4a) Determinar el espacio muestral del experimento.Encuentre las siguientes probabilidades:b) ambas sean blancas, c) la primera sea roja y la segunda blancad) una sea roja y una blanca.

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e) Ninguna sea amarillaf) Sean rojas, blancas o alguna combinación de ambos colores.g) La segunda no sea azulh) Al menos una sea azuli) Como mucho una sea rojaj) la primera sea blanca, pero la segunda nok) solo una sea roja

8. Defina en qué casos dos eventos aleatorios son independientes

9. Al lanzar un dado (bien balanceado) 2 veces. Determine la probabilidad de obtener:

a) en ambos lanzamientos un 6b) Ningún seisc) Al menos un 6d) Al menos un 5 o 6e) A lo sumo un 6f) ¿Cuál es la característica que debe cumplirse para obtener la

probabilidad de ocurrencia de dos eventos mediante la multiplicación de las probabilidades de ocurrencia de cada uno?

10.La caja 1 contiene 3 bolillas rojas y 2 azules, mientras que la caja 2 contiene 2 bolillas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda balanceada. Si se saca cara, se debe sacar una bolilla de la caja 1 y si sale cruz se deberá sacar una bolilla de la caja 2.

a) Encuentre la probabilidad de sacar una bolilla roja.b) Encuentre la probabilidad de sacar una bolilla azul.

11.Del problema anterior suponga que quién lanza la moneda no revela si obtiene cara o cruz (de manera que tampoco se sabe de qué caja sacó la bolilla), pero sí dice que sacó una bolilla roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la haya sacado de la caja 1?

12.¿De cuantas maneras posibles se pueden ordenar 5 bolillas de diferentes colores en una línea?

13.¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los 10 dígitos existentes (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,). Claro está, al ser un número de 3 cifras, el primer número no puede ser 0.

a) si pueden repetirse los númerosb) si no pueden repetirse los números c) Pueden repetirse los números, pero el último debe ser 0

14.Si se tienen 5 regiones diferenciadas y debe realizarse un estudio económico en 3 de ellas. ¿Cuántas combinaciones de regiones existen? (teniendo en cuenta que no importa el orden de elección)

15.Si se tienen 9 regiones diferenciadas y deben realizarse 3 estudios, pero cada uno en una región diferente. En la primera se hará un estudio de empleo, en la segunda del turismo y en la tercera sobre la situación de las Pymes. ¿Cuántas opciones existen?

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16.Una empresa con 10 empleados debe formar un comité de delegados formado por 6 trabajadores para negociar con la gerencia determinadas condiciones laborales. ¿de cuantas maneras posibles se puede formar dicho comité?

17.Una empresa posee 8 artículos, pero solo tiene disponibles 3 espacios para colocarlos en la vidriera ¿en cuantas formas diferentes se pueden colocar los 8 artículos en los 3 espacios disponibles?

18.Supóngase que se desea crear colores partiendo de 7 colores base, pero se desea combinarlos de a 3 colores (en intensidades y cantidades iguales) ¿cuantos colores pueden obtenerse?

19.Una empresa debe elegir dos artículos de cuatro existentes para entregarlo como muestra a un proveedor. Si entre ellos hay uno defectuoso (calcular las probabilidades mediante probabilidad condicional y mediante combinatorias):

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se de el artículo defectuoso?b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se de el artículo defectuoso?

20.En un juego de poker se sacan 5 cartas de un naipe de 52 cartas bien barajadas (sin comodines), una a una y sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de:a) obtener 4 asesb) obtener 3 asesc) obtener 2 asesd) obtener 1 ase) Ningún asf) Al menos un asg) 2 ases y 1 reyh) 3 diez y 2 jotasi) Tres cartas de un palo y 2 de otro palo

21.En una región que posee doce (12) campos productivos, se sabe que en cuatro de ellos se está utilizando el fertilizante (XX) que acelera el agotamiento del suelo. Si se selecciona al azar 4 campos de esta región:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos estén utilizando el fertilizante?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté utilizando el fertilizante?c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno esté utilizando el fertilizante?d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de un campo esté utilizando el

fertilizante?

22.De un relevamiento en un banco de cierta localidad, se obtuvieron los siguientes datos:

Titular de cuentaTipo de Cuenta Persona Civil EmpresaCaja de ahorro 10 3Cuenta corriente 38 90

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una cuenta del banco al azar, su titular sea una persona civil?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una cuenta del banco al azar, su titular sea una empresa?

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c) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una cuenta del banco al azar, sea una caja de ahorro y su titular una empresa?

d) Si se elige una cuenta corriente del banco ¿cuál es la probabilidad que el titular sea una persona civil?

e) Si se elige una cuenta cuyo titular es una empresa ¿cuál es la probabilidad que sea una caja de ahorro?

23.Una industria posee 3 proveedores de un mismo insumo. El 30% de las compras se hacen al proveedor “A”, el 20% al proveedor “B” y el restante 50% al proveedor “C”. Se sabe también que respectivamente cada proveedor posee los porcentajes de bienes defectuosos (sobre los totales entregados) de la siguiente forma: 3%(A), 5%(B) y 4%(C). Cuando dichos productos llegan a la empresa no se hace ningún control de calidad y se los almacena en un depósito que hace imposible que cada producto sea identificado con el proveedor que lo produjo. Un trabajador escoge un bien para utilizarlo y encuentra que es defectuoso. a) ¿Cual es la probabilidad de que haya sido producido por el proveedor “B”?

24.Del enunciado anterior. ¿Cual es la probabilidad de que al seleccionar un producto al azar, haya sido producido por el proveedor A y esté defectuoso?

25.Tres refinerías (A, B y C) producen alcohol, siendo sus niveles de producción de 100, 200 y 300 kilolitros diarios respectivamente. La proporción inutilizable para la venta es del 3%, 2% Y 4% respectivamente.Se toma una muestra al azar de la producción de alcohol de un día y se comprueba que no es apto para la venta. Se desea saber:

a) la probabilidad de que dicha muestra provenga de la producción de la refinería A.

26.Una ciudad X es afectada por dos tipos de contaminaciones: aire y agua, mientras que la ciudad Y sólo presenta contaminación del aire. Se ha puesto en marcha un plan para controlar las fuentes de contaminación.Se estima que la probabilidad de que la contaminación del aire sea controlada exitosamente en la ciudad X es el cuádruple de dicha probabilidad en la ciudad Y, y que si la contaminación del aire es controlada en la ciudad Y, la contaminación del aire en la ciudad X será controlada con un 90% de probabilidad. El control de la contaminación del agua en la ciudad X es independiente del control de la contaminación del aire en ambas ciudades. En la ciudad X, la probabilidad de que la contaminación sea controlada totalmente (es decir, ambas fuentes) es de 0,32. Controlar la contaminación del agua en la ciudad X es sólo la mitad de probable que hacerlo con la contaminación del aire en esa misma ciudad. Determinar:a) La probabilidad de que la contaminación del aire sea controlada en ambas

ciudades.b) La probabilidad de que la contaminación (en sus dos formas y en ambas

ciudades) sea completamente controlada.c) La probabilidad de que por lo menos una ciudad se encuentre libre de

toda fuente de contaminación

27.Al lanzar un dado (bien balaceado) 2 veces. Determine la probabilidad de obtener un seis 6.

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28. Al lanzar un dado (bien balaceado) 3 veces. Determine la probabilidad de obtener un seis 6.

29.Al lanzar un dado (bien balaceado) 3 veces. Determine la probabilidad de obtener dos seis 6.

30.Suponga que se sabe que el 5% de los hombres y el 0,75% de las mujeres son daltónicos. Sabiendo además que el 51% de las personas son mujeres, calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar sea daltónica.

31.Una empresa produce un determinado artículo con 3 máquinas A, B y C. Luego de un cierto tiempo se obtuvieron las siguientes probabilidades referentes a encontrar las máquinas fuera de servicio por defectos: P(A) = 0,2; P(B)=P(C)=0,8; P(AB)=0,4; P(A/C)=1/4; P(B/C)= 3/8 y P(ABC)=0,01. Calcular la probabilidad de encontrar:

a) Por lo menos una maquina fuera de funcionamientob) Sólo una máquina fuera de servicio.c) La máquina B fuera de servicio, sabiendo que por lo menos una de las

tres está fuera de servicio.

32.Un canal de comunicación opera transmitiendo dígitos binarios (0 y 1). Se sabe que la probabilidad de trasmisión correcta de un cero (0) es de 0,5 y que la probabilidad de trasmisión errónea de un uno es de 0,2. La frecuencia de trasmisión de un uno es del 40%. Si se trasmite un dígito:

a) ¿Cuál es la probabilidad de recibir un 1?b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir un número erróneo?c) Si se recibe un 1, ¿cuál es la probabilidad de que se hubiese querido

trasmitir un 0?

33.El cuerpo humano puede contener uno o dos Antígenos, A y B. La sangre que posee el antígeno A, se la denomina Tipo A, la que solo tiene el B, se la denomina “tipo B, la que presenta ambos se la denomina “tipo AB” y la que no presenta ninguno se la denomina “tipo O”. En cierto banco de sangre, el 35% de los donantes de sangre son del “tipo A”, el 10% del tipo B y el 5% del tipo AB.g) ¿Cuál es la probabilidad que se elija aleatoriamente un donante de sangre

de “tipo O”?h) Un receptor de sangre “tipo A”, puede recibir sin ningún problema sangre

de un donante que no tenga el Antígeno B. ¿Cuál es la probabilidad de que un donante elegido al azar pueda donarle sangre sin que al receptor le genere problemas?

34.Un proceso de producción presenta la siguiente línea de montaje

C F

A B D

E G H

Cada proceso, dentro de la línea de montaje, es independiente de los demás. La probabilidad de que cada proceso funcione un día sin fallas es P(A)= 0,995; P(B)= 0,99; P(C) = P(D)=P(E)= 0,95; P(F)= 0,9; P(G)= 0,9 y P(H)=0,98.

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En el caso de C, D y E, el sistema funciona mientras haya alguno de ellos que funcione.Para el caso de F, G y H, el proceso funcionará si F funciona o si G y H funcionan.Determinar la probabilidad de que el proceso funcione con éxito en un día

35.Dos inspectores de calidad supervisan fallas en artículos. Si se encuentra una, será detectada por el primer inspector con una probabilidad de 0,9 y por el segundo con una probabilidad de 0,7. Suponga que ambos inspectores trabajan en forma independiente.

g) Si un artículo tiene una falla, cual es la probabilidad de que la detecten ambos inspectores.

h) Si un artículo tiene una falla, cual es la probabilidad de que la detecte al menos un inspector.

i) Suponga que el segundo inspector revisa solamente los artículos que han sido aprobados por el primer inspector. Si un artículo tiene una falla ¿cual es la probabilidad de que la detecte el segundo inspector?

36.Representar el espacio muestral para el lanzamiento de un par de dados balanceados y calcular la probabilidad de que la suma de puntos en el lanzamiento de los dos dados sea 7 u 11.

37.Una fábrica posee en su stock 20 unidades de un artículo y sabe que el 20% están defectuosas, pero no puede individualizarlos. Si se eligen al azar 10 unidades para enviárselas a un cliente exigente, el cual nos devolverá la partida si más del 10% están defectuosos. ¿Cual es la probabilidad de que el cliente no devuelva la partida?

38.Una empresa posee 250 sucursales en todo el país, las cuales están distribuidas de la siguiente forma ( según región y tipo de Ciudad) :

Area Geográfica

Población de la Ciudad

NE SE C NO SO Total

menos de 20.000 3 5 6 5 6 25

Entre 20.000 y 50.000

5 11 16 9 9 50

Entre 50.000 y 100.000

29 12 3 7 24 75

mas de 100.000 63 12 10 4 11 100

Todas las ciudades 100 40 35 25 50 250

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f) Rellenar el siguiente cuadro (tabla de contingencia) con sus correspondientes probabilidades

Area Geográfica

Población de la Ciudad

NE SE C NO SO Total

menos de 20.000Entre 20.000 y 50.000Entre 50.000 y 100.000

mas de 100.000Todas las ciudades

Si se selecciona una sucursal al azar, calcular las siguientes probabilidades:g) Se encuentre en el NO.h) Se encuentre en el Norte (NE o NO).i) Se encuentre en el una ciudad con mas de 100.000 habitantes.j) Se encuentre en una ciudad con más de 20.000 habitantes.k) Si al seleccionar una sucursal se sabe que pertenece a una ciudad entre

50.000 y 100.000 habitantes, ¿cual es la probabilidad de que está ubicada en el Centro.

l) Si al seleccionar una sucursal se sabe que pertenece a una ciudad entre 50.000 y 100.000 habitantes, ¿cual es la probabilidad de que esté ubicada en el Sur (SE o SO)?

39.En el camino que une dos ciudades hay tres barreras de ferrocarril pertenecientes a tres líneas diferentes no conectadas entre sí. La primera barrera permanece la mitad del tiempo baja, la segunda está abierta las dos terceras partes del tiempo y la tercera solo está abierta el 20% del tiempo. Un automovilista debe utilizar dicho camino. Calcular la probabilidad de que:m) Encuentre tres barreras cerradas.n) Encuentre al menos una barrera cerradao) Encuentre todas las barreras abiertasp) Encuentre al menos dos barreras abiertas.

40.Doscientos niños afectados por gripe fueron divididos en tres grupos. El primer grupo (25% del total) fue tratado con el antigripal G1, el segundo (el 35%) fue tratado con el G2 y el tercero con el G3. De cada grupo, mejoró respectivamente el 68%, el 80% y el 55%.Si se elige un niño al azar, calcular las siguientes probabilidades:

a) Haya sido tratado con el antigripal G1b) Pertenezca al grupo de de los que mejoraronc) Haya sido tratado con el antigripal G1 y haya mejorado.d) Haya sido tratado con G3, sabiendo que mejoró.

41.Entre la central Telefónica A y la B hay una probabilidad del 5% de encontrar congestión y en ese caso, la llamada es derivada a una ruta alternativa, en la cual, la probabilidad de congestión es alfa. Calcular alfa, tal que la probabilidad de pérdida de una llamada sea del 1%.

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