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-INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA“Distribución de Frecuencias”

A) Obtención de datos

En un examen departamental de física se examinan 50 alumnos con los resultados siguientes.

87 66 73 68 4837 76 85 74 6593 77 66 83 6849 57 38 69 7889 96 78 97 7476 68 63 70 8164 83 67 61 9077 88 74 75 8071 73 61 57 7280 77 85 80 89

B) Ordenamiento de los datos

37 65 72 77 8538 66 73 77 8548 66 73 78 8749 67 74 78 8857 68 74 80 8957 68 74 80 8961 68 75 80 9061 69 76 81 9363 70 76 83 9664 71 77 83 97

C) Calculo del rango

El rango es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de una serie de datos; se representa con la letra R y se calcula con la siguiente fórmula:

R = Vmax – Vmin

R = 97 – 37

R = 60

D) Calculo del número de intervalos de clase.

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Para poder agrupar los datos, hay que definir el número de intervalos de clase (Iclase) que se utilizarán al elaborar la tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados; Para calcular el número de intervalos en este caso se utilizará la formula:

Iclase = 1 + 3.3 log nDonde n es el numero de datos

Iclase = 1 + 3.3 log 50Iclase = 1 + 3.3 (1.69)

Intervalo de Clase = 6

E) Calculo del ancho de clase

Ahora se calcula el ancho c que debe tener cada intervalo de clase, dividiendo el rango (R = 60) entre el intervalo de clase (Iclase = 6)

c= RIclase

c=606

c = 10F) Calculo de límites inferior y superior de cada clase

Para determinar el límite inferior de la primera clase, hay que ver si el ango de datos se ajusta a los intervalos y ancho de clase calculados.Si se le suma al valor menor el ancho de la clase, que es 10 y al resultado se le vuelve a sumar el ancho de la clase, y así sucesivamente hasta completar los seis intervalos, estos se pueden graficar de la siguiente manera:

37 47 57 67 77 87 97

Núm. de Clase

Intervalo de Clase

1 37 – 462 47 – 563 57 – 664 67 – 765 77 – 866 87 – 97

Calculo de límites inferior y superior Por número de clase

Vmin + c 37 + 10 = 47

Clase 1 = 37 -4647 + 10 = 57

Clase 2 = 46 – 57(Así con las siguientes clases)

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G) Ahora se cuentan los datos que pertenecen a cada una de las clases, para restablecer sus respectivas frecuencias

H) Limite Real Inferior y Limite Real Superior

Para los límites reales de clase son: Límite real inferior (LRI) y límite real superior (LRS). Para calcular los límites reales de la clase n se utilizan las siguientes Formulas:

LRI n=(LSn−1+LI n )/2

LRSn=(LSn+LI n+1 ) /2Donde:LSn-1 = límite superior de la clase anterior a la clase nLIn = límite inferior de la clase nLSn = límite superior de la clase nLIn+1 = límite inferior de la clase posterior a la clase n

I) Marca de Clase

Es necesario conocer un valor representativo de cada intervalo de clase, ya que cada uno de éstos contiene una serie de datos muy amplia.

Este valor se calcula obteniendo el promedio de los límites de cada intervalo, conocido como marca de clase y representado con la letra X. Para encontrar la marca de clase se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

X=(LI+LS)

2obien X=

(LRI +LRS)2

Limite Real Inferior de la clase 2LRI n=(LSn−1+LI n )/2LRI2=(46+47 ) /2LRI2=(93 ) /2

Limite Real Superior de la clase 2LRSn=(LSn+LI n+1 ) /2LRS2= (56+57 )/2LRS2= (113 ) /2LRS2=56.5

Frecuencia Relativa clase 4X=

(LRI+LRS)2

X=(66.5+76.5 )

2

Frecuencia Relativa clase 1X=

(LI+LS)2

X=(37+46)

2

X=(83)

2

Núm. de Clase

Intervalo de Clase

Fi

1 37 – 46 22 47 – 56 23 57 – 66 9

4 67 – 7616

5 77 – 8613

6 87 – 97 8

Núm. de Clase

Intervalo de Clase

FiLRI LR

S

1 37 – 46 236.5

46.5

2 47 – 56 246.5

56.5

3 57 – 66 956.5

66.5

4 67 – 7616

66.5

76.5

5 77 – 8613

76.5

86.5

6 87 – 97 886.5

97.5

Núm. de

Clase

Intervalo de Clase

Fi LRI LRS Xi

1 37 – 46 2 36.5 46.5 41.52 47 – 56 2 46.5 56.5 51.53 57 – 66 9 56.5 66.5 61.54 67 – 76 16 66.5 76.5 71.55 77 – 86 13 76.5 86.5 81.56 87 – 97 8 86.5 97.5 92

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“Representación gráfica de los datos estadísticos”

Es conveniente representar los datos de una tabla de distribución de frecuencias en forma gráfica, ya que resulta más atractiva y fácil de visualizar.

J) Histograma

37 47 57 67 77 87 970

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Histograma de Frecuencias

Frecuencias

Intervalo de clase

Frec

uenc

ias

K) Polígono de Frecuencias

37 47 57 67 77 870

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Polígono de Frecuencias

Frecuencias

Frecuencia Relativa clase 4X=

(LRI+LRS)2

X=(66.5+76.5 )

2

Frecuencia Relativa clase 1X=

(LI+LS)2

X=(37+46)

2

X=(83)

2

37 47 57 67 77 87 97

37 47 57 67 77 87 97

12050

12050

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“Distribución de Frecuencias relativas y acumuladas”

En la tabla de distribución de frecuencias, como también en el histograma, se pueden hacer observaciones, comprender y relacionar valores dentro de un mismo grupo, pero cuando se trata de dos tomas de datos, no es posible efectuar comparaciones sobre un mismo aspecto, ya que no se tiene la misma base.

L) Distribución de frecuencias Relativas

Si se divide la frecuencia de un Intervalo de clase entre el total de frecuencias n y se multiplica por 100 se obtiene la frecuencia relativa en porcentaje, es decir:

f r=fn×100

ci

M) Distribución de Frecuencia Acumuladas

Al conjunto de sumas acumuladas de frecuencia de clase anterior se le llama distribución de frecuencias acumuladas. Para calcular las frecuencias acumuladas se utiliza la fórmula:

f acumulada=f declase+ f acumulada anteriorNúm. de

ClaseIntervalo de

ClaseFi LRI LRS Xi

Fr (%)

Fa

1 37 – 46 2 36.5 46.5 41.5 4 22 47 – 56 2 46.5 56.5 51.5 4 43 57 – 66 9 56.5 66.5 61.5 18 134 67 – 76 16 66.5 76.5 71.5 32 295 77 – 86 13 76.5 86.5 81.5 26 426 87 – 97 8 86.5 97.5 92 16 50

Frecuencia Relativa de la clase 2f r=

fn×100

f r=2

50×100

f r=0.04×100

f r=4

Frecuencia acumulada de la clase 6f acumulada=f declase+ f acumulada anterior

f acumulada=8+42

f acumulada=50

Frecuencia acumulada de la clase 2f acumulada=f declase+ f acumulada anterior

f acumulada=2+2

f acumulada=4

Núm. de

Clase

Intervalo de Clase

Fi LRI LRS XiFr (%)

1 37 – 46 2 36.5 46.5 41.5 42 47 – 56 2 46.5 56.5 51.5 43 57 – 66 9 56.5 66.5 61.5 184 67 – 76 16 66.5 76.5 71.5 325 77 – 86 13 76.5 86.5 81.5 266 87 – 97 8 86.5 97.5 92 16

12050

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N) Distribución de frecuencias relativas acumuladas

Si cada una de las frecuencias acumuladas se divide entre n y el resultado se multiplica por 100, se obtiene la frecuencia relativa acumulada en porcentaje. O bien, sumando las frecuencias relativas usando la formula siguiente:

f reltiva acumulada=f relativa declase+ f relativa acumulada anteriorNúm. de

ClaseIntervalo de

ClaseFi LRI LRS Xi

Fr (%)

FaFra (%)

1 37 – 46 2 36.5 46.5 41.5 4 2 42 47 – 56 2 46.5 56.5 51.5 4 4 83 57 – 66 9 56.5 66.5 61.5 18 13 264 67 – 76 16 66.5 76.5 71.5 32 29 585 77 – 86 13 76.5 86.5 81.5 26 42 846 87 – 97 8 86.5 97.5 92 16 50 100

Frecuencia Relativa Acumulada de clase 2f reltiva acumulada=f relativa declase+ f relativa acumulada anterior

f reltiva acumulada=4+4

f reltiva acumulada=8

Frecuencia Relativa Acumulada de clase 3f reltiva acumulada=f relativa declase+ f relativa acumulada anterior

f reltiva acumulada=18+8

f reltiva acumulada=¿ 26

Frecuencia Relativa Acumulada de clase 4f reltiva acumulada=f relativa declase+ f relativa acumulada anterior

f reltiva acumulada=32+26

f reltiva acumulada=¿ 58

Frecuencia Relativa Acumulada de clase 5f reltiva acumulada=f relativa declase+ f relativa acumulada anterior

f reltiva acumulada=26+58

f reltiva acumulada=¿ 84

Frecuencia Relativa Acumulada de clase 6f reltiva acumulada=f relativa declase+ f relati vaacumulada anterior