1

1

Greda i konzola

11. dio

2

Dijagrami:

1. Uzdužnih sila N2. Popre�nih sila TZ

3. Momenata savijanja My

3

Prosta greda

1. Optere�ena koncentriranom silom F

x

z

4

azadovoljen 0F .3

R 0R 0M .2

R 0R 0M .1

x

AAB

BBA

=�

⋅=�=⋅−⋅=�

⋅=�=⋅−⋅=�

lbF

bFl

laF

aFl

I. Reaktivne sile:

x

z

5

( )

00

0

0

0R-R- 0F

:Kontrola

BAz

=

=++⋅−

=+⋅−⋅−

=+=�

Fl

baF

Fl

aFl

bF

F

x

z

6

II. Dijagrami unutarnjih sila

Uzdužna sila N u nekom presjeku nosa�a jednaka je sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne strane presjeka u os nosa�a) u promatranom presjeku.

Dijagram uzdužnih sila N

N – dijagram nema

x

z

2

7

Dijagram popre�nih sila Tz – dijagram

Za karakteristi�ne to�ke: A, 1 i BTA = RA T1

d = RA – F= - RB

(T1l = RA) TB = - RB

x

z

8

Tz – dijagram

9

Dijagram momenata savijanja My

Izme�u to�aka A i 1 Izme�u to�aka 1 i BMy= RA

. x My= RA. x – F. (x-a)

- za x = 0; MA = 0 - za x = a; M1 = RA. a

- za x= a; M1 = RA. a - za x = l; MB = 0

M1l = M1

d

x

z

10My – dijagram

11

A - 1 1 – BxRM Ay ⋅= ( )axFxRM Ay −⋅−⋅=

12

To�ka A – 1 To�ka 1 – B

Diferencijalna veza:

)A(Ay

Ay

TRdx

dM

xRM

1−==

⋅= ( )( )

)B(Ay

Ay

Ay

TFRdx

dM

aFxFRM

axFxRM

−=−=

⋅+⋅−=

−⋅−⋅=

1

zy T

dx

dM=

Veza izme�u dijagrama My i TZ

3

13

Derivacija momenta savijanja po nosa�ujednaka je popre�noj sili.

zy T

dx

dM=

Veza izme�u dijagrama momenata savijanja My i

dijagrama popre�nih silaTZ

14

15

Primjer:

• F=8,66 kN RA= 6,50 kN• l = 4 m RB= 2,16 kN• a = 1 m

16

Prosta greda

1 b) Kosa sila F !• F=10 kN α = 60°• l = 4 m• a = 1 m

Reakcije: RAH= 5,0 kN ; RAV= 6,50 kNRB= 2,16 kN

Dijagrami: N, Tz i My

17

Prosta greda

2. Optere�ena kontinuiranim optere�enjem q

18azadovoljen 0F .32

lqR 0

2l

lqlR 0M .2

2lq

R 02l

lqlR 0M .1

x

AAB

BBA

=�

⋅=�=⋅⋅−⋅=�

⋅=�=⋅⋅−⋅=�

I. Reaktivne sile

x

z

4

1900 0

022

0R-R- 0F

:Kontrola

BAz

==⋅+⋅−

=⋅+⋅−⋅−

=⋅+=�

lqlq

lqlqlq

lq

x

z

20

II. Dijagrami unutarnjih sila

N – dijagram

• Uzdužnih (normalnih) sila nema.

Tz – dijagram• Popre�na ili transverzalna sila Tz u nekom

presjeku nosa�a jednaka je sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne strane presjeka u normalu na os nosa�a u promatranom presjeku.

21

Dijagram popre�nih sila Tz

Od to�ke A do to�ke B jedno podru�je:TZ = RA – q . x

(jednadžba pravca)

x=0; TA = RA

x=l; TB = RA – q l = - RB

x

z

22

Tz - dijagram

23

Dijagram momenata savijanja My

- za x = 0; MA = 0 - za x = l; MB = 0

2

22x

qxR

xxqxRM AAy ⋅−⋅=⋅⋅−⋅=

z

x

24

22

022

lq

ql

qR

x

xq

Rdx

dM

A

Ay

===

=⋅−=

2

2x

qxRM Ay ⋅−⋅=

Traženje mjesta ekstrema:

Prvu derivaciju izjedna�imo s nulom i dobivamo vrijednost x za koji je

moment savijanja ekstreman (maksimalan).

5

25

2

2x

qxRM Ay ⋅−⋅=

2

lx =

8

84222222

2222

qlM

qlqllqlqlx

qxRM

ekst

Aekst

=

−=��

���

�⋅−⋅=⋅−⋅=

Vrijednost maksimalnog momenta savijanja:

26

Dijagrami:

27

My - funkcija:

Tz - prva derivacija:

Optere�enje q - druga derivacija:

2

2x

qxRM Ay ⋅−⋅=

zAy TxqR

dx

dM=⋅−=

qdx

Md y −=2

2

28

Diferencijalne veze izme�u unutarnjih sila i optere�enja:

zy T

dx

dM=

qdxdT

dx

Mdzy −=2

2

Druga derivacija momenta savijanja po nosa�u jednaka je – q (optere�enju nosa�a).

29

Primjer:

• q = 10 kN/m`• l = 4 m

Reakcije:RA = 20 kNRB = 20 kN

M1 = Mmaks.=ql2/8= 20 kNm

30

Konzola

Optere�enje:1. Vektor sile F kolinearan sa osi štapa2. Vektor momenta M kolinearan sa osi štapa

3. Vektor momenta M okomit na os štapa4. Vektor sile F okomit na os štapa

5. Vektor sile F pod kutom u odnosu na os štapa

6. Kontinuiranim optere�enjem q

6

31

1.a Vektor sile F

kolinearan s osi štapa

32

1.b Vektor sile F

kolinearan sa osi štapa

33

2. Vektor momenta M

kolinearan sa os štapa

34

3. Vektor momenta M okomit na os štapa

35

4. Optere�ena koncentriranom silom F –vektor sile okomit na os štapa

36

lFlF

FF

⋅=�=⋅−=�

=�=−=�

=�

AAA

AAz

x

M 0M 0M .3

R 0R 0F .2

azadovoljen 0F .1

I. Reakcije:

z

x

7

37

00 0

0R- 0F:Kontrola

Az

==+−=+=�

FF

F

z

x

38

N - dijagram

• nema

39

Tz - dijagram

TA = RA

40

41

My - dijagram

- za x=0M = - MA

- za x=lMB = 0

A

xRMM AAy ⋅+−= (jednadžba pravca)

42

Dijagrami

8

43

4. Vertikalna sila F = 8,66 kNl = 0,5 m

Rješenje:RA = 8,66 kNMA = 4,33 kNm

Dijagrami: Tz i My

44

5. Kosa sila

45

F = 10 kN α = 60°l = 0,5 m

Rješenje:FV = F sin α = 10 sin 60° = 8,66 kNFH = F cos α = 10 cos 60° = 5,00 kN

RAV = 8,66 kNRAH = 5,00 kNMA = 4,33 kNm Dijagrami: N, Tz i My

5. Kosa sila F

46

“Desna” konzola !

• Desni kraj uklješten (upet) oslonac.

• Za optere�enje vertikalnom silom F nacrtajte dijagrame unutarnjih sila.

47

6. Konzola optere�ena kontinuiranim optere�enjem q

482M 0

2M 0M .3

R 0R 0F .2

azadovoljen 0F .1

2

AAA

AAz

x

lqllq

lqlq

⋅=�=⋅⋅−=�

⋅=�=⋅−=�

=�

I. Reakcije

x

z

9

49

00

0 -

0R- 0F

:Kontrola

Az

==⋅+⋅=⋅+=�

lqlq

lq

x

z

50

Dijagrami:

• N – dijagrama – nema

• Tz – dijagramTz = RA – q x

- za x = 0; TA = RA

- za x = l; TB = 0

51

Tz - dijagram

x

52

My - dijagram

M = - MA

2x

xqxRMM AAy ⋅⋅−⋅+−=

AA

- za x = 0

- za x = lM = 0

BB

53

Dijagrami:

54

Ponovo: Greda3. Trokutno optere�enje q0

lx

qqx 0=

x

qx

x

z

10

55

l6xq

x6

lqx

31

2xq

xRM

l2xq

6lq

2xq

RT

lx

qq 2

lq

32

R 2

lq

31

R

30x

Ay

20x

Az

0xBA

⋅⋅−−⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅=

⋅⋅−⋅=⋅−=

=⋅⋅=⋅⋅=

Popre�na sila

Moment savijanja

Reaktivne sile

56

Tz dijagram

57

Dijagrami:

58

Greda

4. Optere�ena koncentriranim momentom M

1

59

1

60

1

11

61

Greda

5. Koncentrirani moment M u osloncu A

lM

R A =

lM

RA =l

MR B =

62

63

xRMM AA ⋅−=

64

65

Greda s prepustom

1

66

( ) ( )

azadovoljen 0F .3

R 0R 0M .2

R 0R 0M .1

x

AAB

BBA

=�

⋅=�=⋅−⋅=�

+⋅=�=+⋅−⋅=�

laF

aFl

lalF

alFlI. Reaktivne sile

x

z1

12

67

( )

00

0

0

0R-R 0F

:Kontrola

BAz

=

=+⋅−−⋅

=++⋅−⋅=+=�

Fl

aFF

laF

Fl

alFl

aF

F

x

z1

68

F

RRT

RT

RT

BAd

B

Al

B

AA

==+−=

−=

−=

1T

F

1

69

Tz - dijagram

1 z

x

70

0

0

1 =⋅−=⋅−=

⋅−==

M

aFlRM

xRM

M

AB

Ay

A

x

z1

71

1