ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE

* Parte I: Nociones Fundamentales.

* Parte II: Límites y Continuidad

Primera Parte

Nociones Fundamentales

1.1 Diversos conjuntos numéricos.

En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los numeros enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas).

Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3. No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número π) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".

R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.

Segmento de una recta, [a, b], son todos los números reales comprendidos entre a y b, es decir, los números x tales que son mayores (o iguales) a "a" y menores (o iguales) a "b".

1.2 Función (de una variable real).

Por ahora consideraremos el conjunto R, o bien subconjuntos de R, para dar la definición de función de una variable.

Una función de una variable es una aplicación de R (o un subconjunto de R) en R, tal que a cada número real se le hace correspoder un único número de R, mediante una expresión matemática. Por ejemplo:

f : R ----> R x ----> x² + 1

En este ejemplo tenemos definida la función f(x) = x² + 1 (expresión abreviada), o bien y = x² +1. En esta función se hace corresponder al número -4 el 17, al -3 el 10, al -2 el 5, al 0 el 1, etc.

Lo cual se expresa: f(-4) = (-4)²+1 = 17; f(-3) = (-3)²+1= 10; f(-2) = (-2)²+1 = 5;

f(0) = 0²+1 = 1

A los números 17, 10, 5, 1 ... se les llama "imágenes por f" respectivamente de los valores -4, -3, -2, 0, ...

Esta función puede representarse mediante un gráfico, colocando en un eje horizontal los valores posibles para la variable x (todo el conjunto R), y colocando un punto para cada una de sus imágenes. En este caso tendremos la gráfica de y = x² + 1:

1.3 Conjuntos notables para una función.

Dada una función, y = f(x), son destacables dos conjuntos: (1) Dominio de definición de la función, (2) Conjunto imágen de f. El primero está formado por todos los números x que tienen imágen para la función f, mientras que el segundo está compuesto por todos los números y que son alguna vez imágen de algún x para la función f.

Para el caso de la función y = x² + 1 ambos conjuntos (dominio y conjunto imagen) son todo R, pero esto no siempre es así. Por ejemplo, para la función:

El valor x = 1 no tiene imagen, puesto que 5/0 no se halla definido en R, y en este caso el dominio de esta función es todo R excepto el número 1 (matemáticamente se expresa: R \ {1}.

Por otra parte, nosotros podemos definir una función y = x² + 1 pero cuyo dominio fuera sólo el intervalo [-1, 1], en este caso la gráfica de la función debería restringirse en el eje x a ese dominio [-1, 1], y no a todo R como la función que hemos dibujado anteriormente.

Dada una función y = f(x), el conocimiento de estos dos conjuntos, dominio y conjunto imágen, es la primera cuestión que uno debe plantearse para hacerse una idea de la gráfica -y por tanto del comportamiento- de dicha función.

1.4 Funciones elementales.

En Cálculo se utilizan fundamentalmente unas pocas funciones, llamadas funciones elementales, a partir de ellas se pueden construir las funciones compuestas cuyo número es infinito. Conviene, pues, conocer a fondo estas funciones elementales. Aquí las hemos dividido en cuatro grupos.

* Funciones aritmético-geométricas

* Funciones trigonométricas

* Funciones logarítmicas y exponenciales

* Funciones hiperbólicas

(Siga el vínculo para analizar cada grupo de ellas)

1

FUNCIONES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS

* La función identidad y = x

La función identidad, y = x (también representada I(x) = x, es algo tan obvio como que a cada valor x se le hace corresponder ese mismo x. Por tanto, su gráfica es:

Se trata de la diagonal "principal" divisoria de los ejes coordenados.

* La función rotación y = m x

La función rotación, y = m x, es similar a la función identidad -salvo que un número m está multiplicando a la x-. En este caso, la gráfica es la misma que la anterior pero con la línea divisoria rotada respecto la diagonal principal. Veamos algunos ejemplos:

La recta está situada en los cuadrantes I y III para m positivo (como en las figuras superiores), o en los cuadrantes II y IV para m negativo (como en las figuras inferiores)

En realidad el valor m de la función "y = m x" nos da el valor de la pendiente de la recta, o sea, el valor de la tangente del ángulo formado por el eje OX positivo y la recta, tal como se aprecia en el gráfico:

* La función traslación y = x + n

La función traslación, y = x + n, es similar a la función identidad pero con la adición de un número n (distinto de 0), lo cual geométricamente equivale a "trasladar" la recta y = x (elevándola una cantidad n, si n es positivo, o descendiéndola en n, si n es negativo). Veamos dos ejemplos:

* La función lineal y = m x + n

La función y = mx + n representa a una línea recta cualquiera, formada por una rotación (expresada por la pendiente m) y por una traslación (expresada por medio de n). Un ejemplo es:

La recta forma un ángulo de 116,5° , o sea arc tg (-2), con el eje OX positivo.

De cualquier forma, una función lineal de la forma y = mx + n es útil expresarla en la forma llamada ecuación segmentaria:

Así expresada, claramente la recta corta al eje X en a y al eje Y en b, en nuestro ejemplo, la ecuación y = - 2x + 4 puede ser expresada como:

en la que de manera inmediata se observan los puntos de corte con los ejes: x=2, y=1.

* La función polinómica.

Por función polinómica nos referimos a una función de la forma: y = Pn(x), donde Pn(x) indica un polinomio en x de grado n, por ejemplo: .

La gráfica de estas funciones es una curva contínua típica que va cortando al eje X en cada una de sus raíces reales (puntos que hacen y=0 a la función polinómica). En nuestro ejemplo, el polinomio tiene las raíces reales y=-3, y=-1, y=1, y la gráfica es la de la figura. Obsérvese cómo los extremos de dicha curva se dirigen hacia el infinito, uno hacia +∞ el otro hacia - ∞.

Como caso especial y = a tienen por gráfica lineas parabólicas:

Para este caso la única raíz es x=0, y las gráficas son parábolas centradas en el orígen.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x.

Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.

Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:

El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa. La tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.

* Algunas observaciones y propiedades.

- En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el concepto de "radian".

- Como c > a y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, lo valores de a y b pueden ser positivos o negativos:

En la figura 1, tanto "a" como "b" son positivos ("a" se halla a la derecha, "b" está arriba). En la figura 2, "a" es positivo, y "b" es negativo. En la figura 3, ambos son negativos. En la figura 4, "a" es negativo y "b" positivo.

- Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del seno y coseno estos valores están comprendidos entre -1 y +1. Por contra, la tangente de un ángulo puede tener cualquier valor.

- Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental:

lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales como:

- La circunferencia trigonométrica. Se trata de una circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y la tangente. Seguir el vínculo para conocer más sobre esta circunferencia.

* La función seno.

Por y = sin x (o castellanizado y = sen x ) se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniéndose en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida.

Por otra parte, se considera a x positivo cuando partiendo de

las "3 horas" -siga imaginando el punto dando vueltas como si fuera un reloj- ha girado en sentido contrario al normal del reloj, y se considera a x negativo cuando partiendo de esa misma posición hubiera girado en sentido del reloj.

En la figura 1 vemos un ángulo positivo de x radianes, mientras que en la figura 2 se trata de una ángulo negativo de xradianes. Por ejemplo el x de las figuras de arriba podría ser un radian, por supuesto en Matemáticas se considera que:

1 + 2 equivale a 1 radian, 1 + 4 equivale a 1, 1 + 6 equivale a 1, ..... 2 - 1 equivale a - 1, 4 - 1 equivale a -1, 6 - 1 equivale a -1, .....

En definitiva, x + 2 k (siendo k un número entero) es equivalente a x, y por tanto se tiene que: sin x = sin (x + 2 k ) .

* Gráfica de la función y = sin x.

Observe cómo la función y = sin x es positiva en el intervalo [0, ], y es negativa en el intervalo [ , 2 ], asimismo se anula en los puntos x=0, x= , x=2 .

* La función coseno.

Por y = cos x se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes el coseno del ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) es considerado un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.

* Gráfica de la función y = cos x.

Observe cómo la función y = cos x es positiva en los intervalos [0, /2] y [3 /2, 2 ], y es negativa en el intervalo [ /2, 3 /2], asimismo se anula en los puntos x= /2, x=3/2.

* La función tangente.

Por y = tg x (también denotado tan x) se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos x = k /2, para k entero (positivo o negativo).

* Gráfica de la función y = tg x.

Observe cómo la función y = tg x es positiva en el intervalo [0, /2], y es negativa en el intervalo [- /2, 0], se anula en los puntos x=0, x= , x=2 ... (al igual que el seno). En los punto x = k /2 tiene un tipo específico de discontinuidad: tendiendo hacia - por la derecha de ellos, y tendiendo hacia + por la izquierda.

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

* Funciones exponenciales.

Se llama "exponencial" a un número positivo elevado a una variable x, por ejemplo:

Aunque la función exponencial por excelencia en Matemáticas es (siendo e=2.718281...), tal es así que a esta función se la suele expresar abreviadamente como exp(x), llamándola a secas "la exponencial de x".

Pero en general una función exponencial tiene la forma:

siendo a un número positivo distinto de 0.

Para dibujar las gráficas de estas funciones conviene considerar dos casos: I) exponenciales con a > 1; y II) exponenciales con a < 1.

* Función exponencial con a>1.

En esta gráfica puede apreciarse cómo la función exponencial es siempre positiva; cuando x tiende a - la función tiende a

anularse, mientras que por la derecha crece muy rápidamente hacia ( 2 elevado a 20 es superior a un millón). Toda función exponencial con a mayor que 1 tiene una gráfica muy similar a ésta. A este caso pertenece la función y= .

* Función exponencial con a<1.

Como puede apreciarse en la gráfica, la función exponencial es siempre positiva, pero en este caso el comportamiento de la función es el opuesto al caso anterior: es cuando x tiende a cuando la función tiende a anularse, por contra, crece rápidamamente para valores negativos de x.

* Funciones logaritmicas.

Decimos que logaritmo (base a) de un número positivo N es z, lo cual expresamos, , si se verifica:

En otras palabras, el logaritmo (base a) del número positivo N es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener ese número N

Por ejemplo, decimos que el Logaritmo decimal (base 10) de 100 es 2, puesto que 10²=100.

En el caso de que la base sea el número e = 2,7182818... se llama "logaritmo natural" o "logaritmo neperiano" (en honor del matemático John Neper), lo cual se suele denotar de una de estas formas:

Log N (sin poner la base), Ln N

En Matemáticas generalmente se utilizan logaritmos neperianos, y escasamente se utilizan logaritmos en otras

bases. Veamos las propiedades de los logaritmos:

* PROPIEDADES

Sean dos números positivos x, y, se tiene:

I) log (x . y) = log x + log y II) log (x / y) = log x - log y III) log x = c log x (siendo c un número positivo o negativo, entero o no)

Casos especiales:

* log (1 / x) = - log x (según la propiedad II, o la III con el exponente -1)

* (puesto que la raíz equivale al exponente ½)

* Función logaritmo (neperiano).

Podemos observar: (1) que sólo existe logaritmo para x positivo. (2) que para x=1 el logaritmo se anula, cosa que es lógica pues e° = 1 -y en general N° = 1-. (3) Para el rango (0, 1) el logaritmo es negativo. (4) Para x tendiendo a 0 el logaritmo se hace - . Y (5) el logaritmo crece lentamente para valores positivos de x, y tiende a infinito lentamente cuando x tiende a infinito.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las funciones y = sinh x, y = cosh x, y = tanh x.

En forma analítica, estas funciones pueden ser expresadas de forma análoga a las relaciones de Euler para las funciones circulares, esto es:

* gráfica de y = sinh x

La función senh x crece muy rápidamente hacia infinito , tanto en el eje positivo como en el negativo (hacia infinito negativo).

* gráfica de y = cosh x

La función cosh x crece muy rápidamente tanto en el eje positivo como el negativo hacia infinito positivo.

* gráfica de y = tanh x

La función y = tanh x tiene por asíntota y=1 en el infinito positivo, y por asíntota y=-1 en el infinito negativo.

Algunas relaciones:

Las funciones hiperbólicas inversas:

Las funciones inversas de sinh x, cosh x, tanh x, son, respectivamente llamadas "argumento seno hiperbólico", "argumento coseno hiperbólico" y "argumento tangente hiperbólica" (NOTA: algunos autores las llaman "arco seno hiperbólico", "arco coseno hiperbólico" y "arco tangente hiperbólica"):

y = arg sinh x (función inversa de y = sinh x) , y = arg cosh x (función inversa de y = cosh x) , y = arg tanh x (función inversa de y = tanh x) .

De cualquier manera cada una de estas tres funciones tiene otra forma analítica más manejable:

Por ejemplo, para la primera de ellas, podemos partir de:

despejar x:

por lo tanto, la función inversa del seno hiperbólico, y = arg sinh x, puede también ser expresada:

en definitiva, las tres funciones hiperbólicas inversas son:

Cuyas gráficas son:

Observaciones:

* y = arg sinh x se hace + (creciendo muy lentamente) en el infinito positivo, y se hace - , asimismo lentamente, en el infinito negativo.

* y = arg cosh x sólo esta definido para valores mayores o iguales a 1, se hace + (creciendo muy lentamente) en el infinito positivo.

* y = arg tanh x sólo esta definido para valores de x comprendidos entre -1 y +1, se hace + (creciendo rapidísimamente) en x=+1, y se hace - , asimismo rapidisimamente, en x=-1.

1.5 Funciones compuestas.

Una función como y = cos (x² + 1) es llamada función compuesta, pues en este caso está formada por dos funciones elementales: (1) la función coseno, y (2) la función polinómica x²+1.

Matemáticamente se expresa así: f o g (x) (lease "g compuesta con f") refiriendose a la composición de las funciones elementales g(x) con f(x) -NOTA: Si se lee de derecha a izquierda es porque éste es el orden en el que se operan- . Así en nuestro ejemplo:

f(x) = cos x , g(x) = x²+1 son las dos funciones elementales. Entonces:

f o g (x) = cos ( +1 ) es la función "g compuesta con f"

Si por ejemplo, queremos hallar f o g (2) , debemos hallar en primer lugar g(2) -lo cual es 2²+1, o sea, 5- y a continuación hallar f (5) -lo cual es cos 5, o sea, 0,28366. En definitiva, la forma de operar es:

f o g (x) = f [g(x)] = cos [x²+1]

operando primeramente las operaciones de los corchetes internos.

* Podemos tener una composición de tres o más funciones elementales, lo cual es similar a lo que aquí hemos visto. Por ejemplo, una función compuesta de tres funciones sería:

f o g o h(x) = cos³ (x²+1)

(NOTA: Es costumbre en Matemáticas expresar las potencias del seno, coseno, etc. como sen²x, cos³x, etc. en lugar de las más correctas: (sen x)², (cos x)³,... Así la función de arriba sería más correcto escribirla: (cos(x²+1))³ . Fin de lo nota)

la cual está formada por las tres funciones elementales: f(x) = x³ , g(x) = cos x , h(x) = x²+1. En donde la función potencia cúbica es la tercera (lease la NOTA anterior) y la h(x) es la primera a la hora de aplicarse. Es decir:

f o g o h(x) = f [g [h(x)]] = (cos [x²+1])³

1.6 Funciones inversa de una función.

Dada una función f (x) , se llama "función inversa de f (x)", lo cual se expresa , a una función que al componerla con f(x), de cualquier manera, a la izquierda o a la derecha, resulte la identidad. Es decir:

f(x) o = o f(x) = x

Por ejemplo, para la función f(x) = x² en el ámbito de los números positivos, tenemos que su función inversa es:

=

lo cual significa que:

f(x) o = ( )² = x

o bien,

o f (x) = = x

Otro ejemplo nos lo dan las funciones f(x) = , = Ln x, las cuales son mutuamente inversas:

* Ejercicios para el alumno

1) Determinar los dominios de definición (campos de existencia) de las siguientes funciones:

2) Hallar los ceros de las siguientes funciones (los valores de x en los que f(x)=0 ).

Segunda Parte:

Límites y Continuidad

1.II.1 Noción de límite de una función en un punto.

Una función y = f(x) puede no estar definida para un cierto punto, digamos x = xo , como sucede con y = log x en el punto x = 0, o como sucede con y = tg x en el punto x = En realidad, una función y = f(x) puede llegar a mostrar un comportamiento extraño en cierto punto x = xo . Para comprender mejor estas posibles anomalías de algunas funciones se introduce la noción de límite de una función en un punto.

La función y = f(x) tiene como límite L en el punto x=a.

Para determinar el límite de y = f(x) en cierto punto x = a , debemos prescindir del valor que tenga f(a), incluso puede que f(a) ni siquiera esté definido, y fijarnos en los valores de f(a) para puntos extremadamente cercanos a x = a.

En el ejemplo del gráfico, observando los valores de los puntos muy próximos a x= a, lo cual será expresado así: x→a, se llega a la conclusión que el límite de y = f(x) "cuando x tiende al valor a" es L. Utilizando simbología matemática, lo expresamos:

1.II. 2 Limites laterales.

Existen funciones que en un cierto punto x = a poseen una discontinuidad, sufriendo su gráfica de un "salto", tal como se muestra en la figura de abajo.

La función y = f(x) tiene como límite L+ por la derecha del punto x=a, y el límite L- por la izquierda del punto x=a.

Para la función y = f(x) del gráfico de arriba, no está definido el valor f(a) , y se dice que el límite de f(x) "por la derecha" del punto x = a (expresado así: x→a+) es L+, lo cual en simbología matemática es:

Por otra parte, se dice que el límite de f(x) "por la izquierda" del punto x = a ( expresado así: x→a-) es L+, que en simbología matemática es:

(NOTA: En Cálculo Infinitesimal suelen emplearse letras griegas tales como: para referirnos a valores numéricos muy pequeños.)

Por otra parte, para que podamos hablar verdaderamente del límite de f(x) en el punto x = a los los límites laterales deben ser iguales, es decir, debe cumplirse:

1.II. 3 Limites infinitos.

Hay dos casos destacables de límites, tal como podemos verlo en las gráficas de abajo

Para la función y = f(x) de la Fig. 1, f(x) tiende al valor L para x en el infinito (geométricamente se habla de que y = L es una "asíntota horizontal" de la curva ). En el caso de la Fig. 2, es la función y = f(x) la que toma un valor infinito en el punto x=a (geométricamente x=a es una "asíntota vertical" de la curva).

En el primer caso se expresa:

Mientras que el segundo así:

1.II. 4 Algunas propiedades sobre el infinito y valores indeterminados.

Cuando se opera con límites de funciones se trabaja con el conjunto R ampliado, es decir, el conjunto de los números reales al que se le han añadido los entes numéricos: + , - . Conviene, por tanto, tener claras algunas propiedades de estos entes, así como valores que son indeterminados en este conjunto:

* Para cualquier número n (incluido el 0): n/ = 0.

* Para cualquier número n positivo (distinto de 0): n .+ = + , n .(- )= - .

* Para cualquier número n negativo (distinto de 0): n .+ = - , n .(- )= + .

* Para el caso del 0: 0 . + y 0 . (- ) son Indeterminados.

* Para números n positivos + /n = + , pero para n negativos + /n = - .

* Para el caso del 0: + /0 = , así como - /0 = , pero en ambos casos el signo del infinito es Indeterminado . Algo similar sucede cuando dividimos un número entre cero: 3/0 = , -3/0 = (el signo del infinito es indeterminado, aunque sí podemos asegurar lo que sucede tanto a la derecha de 0, como a la izquierda de 0 ).

* Asimismo son Indeterminados:

/ (con cualquier signo), - , 0/0 , 0° , ° (cualq. signo).

La mayoría de estas relaciones son muy lógicas si nos acostumbramos a imaginar a + , como 1/(+0), y a - , como -1/(+0) -entendiendo por +0 un número positivo muy pequeño-.

1.II.5 Propiedades de límites.

Sea dos funciones f(x), g(x) tales que en cierto punto x = a, sus límites respectivos son A y B, es decir:

entonces se tiene que:

pero siempre debemos desacartar las expresiones indeterminadas como las anteriormente citadas.

1.II.6 Cálculo de límites.

Sea una función y = f(x) , si queremos hallar el límite de esa función en un determinado punto x = a, lo primero que haremos será hallar f(a), ante lo cual pueden suceder tres casos.

I) f(a) tiene un valor claro y unívoco. II) No podemos hallar f(a) , bien porque f(x) no tiene imagen en el punto x = a, o porque nos da un valor indeterminado. III) f(a) nos da un valor infinito.

Para el primer caso, podemos decir que ese mismo valor de f(a) es el propio valor del límite. Esto sucede en las regiones continuas de y = f(x) . Por ejemplo:

Ejemplo 1: Hallar el límite en el punto x = 2 de la función y = x² +1 .

Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos f(2) = 5.

Ejemplo 2: Hallar el límite en el punto x = 1 de la función :

Para este caso, si hallamos el valor de la función en x = 1 obtenemos f(1) = 0/0, que es uno de los casos de indeterminación, lo cual no significa que es imposible hallar el límite de f(x) en ese punto, sino que debemos "operar" para eliminar la indeterminación (por lo general toda indeterminación puede ser determinada). Por ejemplo podemos descomponer en factores el numerador de la fracción:

Al cancelar el factor (x -1) en el numerador y denominador hemos conseguido eliminar la indeterminación. Numerosas indeterminaciones nos aparecen cuando hallamos límites en el infinito, como en los próximos ejemplos.

Ejemplo 3: Hallar el siguiente límite en el infinito:

En principio si sustituimos x por + , nos encontramos con la indeterminación - , en estos casos suele funcionar multiplicar y dividir por la misma expresión pero con el signo positivo, es decir:

Ejemplo 4: Hallar el siguiente límite en el infinito:

Si sustituimos x por + , nos encontramos con la indeterminación / . Para estos casos de cocientes de polinomios en el infinito, se

sigue la regla: " Dividir numerador y denominador por la potencia máxima del denominador", que en nuestro caso es x³:

teniendo en cuenta que las potencias 1/x, 1/x², etc. son 0.

Hasta ahora hemos visto situaciones de los dos primeros casos, veamos ejemplos del tercer caso, es decir, cuando en x = a el valor de f(a) se hace infinito o impreciso (entendemos aquí por impreciso cuando los valores que toma la función en x = a+ y en x = a- difieren notablemente). Cuando nos encontremos en estas situaciones, pasaremos a hallar los límites laterales.

Ejemplo 4: Hallar el límite de la función y = 5/(x-2), en el punto x=2.

Al hallar f(2) nos encontramos con 5/0, o sea pero sin precisar el signo. Hallemos, pues, los límites laterales. Para ello consideraremos una cantidad infinitesimal positiva , que le añadimos al punto x=2 para hacer el límite por la derecha, y que le sustraeremos al x=2 para hacer el límite por la izquierda, a continuación hacemos el límite cuando ->0. Veamoslo:

* Por la derecha de x=2:

aquí sabemos que 5/0 es + , pues la cantidad es pequeñísima pero positiva (algo así como si fuera +0,00000000001).

* Por la izquierda de x=2:

ahora tenemos -5/, siendo ese número pequeñísimo pero positivo (imaginemos algo como antes: +0,00000000001), por tanto es el mismo resultado que antes pero con signo negativo.

Ejemplo 5: Estudiar lo que sucede en x=0 para la función :

Al tratar de hallar f(0) nos encontramos con el número e elevado al infinito impreciso, por lo tanto pasemos a hallar los límites laterales:

En este caso el límite por la derecha de x=0, es decir para x=0+ , nos conduce al número e elevado a 1/ (para esta expresión imaginense, como siempre, algo así como 1/ +0,00000000001), cuyo resultado es e elevado a + , o sea, + .

En este límite por la izquierda de x=0, es decir para x=0- , nos conduce al número e elevado a -1/, una potencia negativa cuyo resultado es la inversa de la potencia positiva , la cual, al igual que antes, es e elevado a + , o sea, nos da el inverso de + , que es el 0.

* EJERCICIOS SOBRE CÁLCULO DE LÍMITES.

Hallar los 10 límites indicados:

Soluciones: a) - (dch.), + (izq.) . b) 1 . c) 4 . d) -1/6. e) 12. f) 1/2 (dch.), -1

(izq.) . g) 0 (dch.), + (izq.) . h) 1. i) 0 . j) 1.

1.II.7 Algo más sobre límites de funciones.

No crea que el cálculo de límites es una tarea simple, en realidad, la gran variedad de funciones posibles y los más de siete tipos de indeterminación, complica mucho en ocasiones este cálculo. Por eso vamos a concentrarnos en algunos métodos sistemáticos para este cálculo.

I. El método exponencial para resolver la indeterminación .

II. La regla de L'Hôpital.

III. Utilización de infinitésimos para cálculo de límites.

(Siga el vínculo para ir a cada uno de estos temas)

Finalmente, debemos ser consciente de que no siempre existe límite de una función en un punto, y no solamente porque los límites laterales sean distintos (como hemos dicho en la cuestión 2.3), es que en ocasiones ni siquiera existen estos límites laterales. Consideremos por ejemplo la función

y = log x

para el punto x = 0 podemos hallar el límite por la derecha de x = 0, es decir:

sin embargo, no podemos hallar el limite a la izquierda de x = 0, puesto que no existen logaritmos de números negativos. Entonces decimos que ese límite a la izquierda no existe. Por supuesto, para un punto tal como x = -5 no existe ninguno de los límites laterales, pues log x sólo tiene existencia en la zona positiva de x.

Otro caso son funciones como y = sin x, y = cos x, u otras funciones periódicas, que al tratar de hallar su límite en cualquiera de los infinitos, nos encontramos sin poder decidir cuál es su valor allí (en realidad el infinito no es un punto sino una zona definida algo imprecisamente, y la igualdad = +1, provoca conflicto en este tipo de funciones). Por lo tanto, hemos de decir que no existe el límite:

Sin embargo, debe notarse que el producto o cociente de una función cuyo límite es inexistente con otra en la que sí exista puede conducir a un límite con existencia. Por ejemplo:

Aquí la función 1/x tiene por límite 0 en el infinito, que al multiplicarla por el seno de infinito no puede dar otra cosa que 0.

1.II.8 Continuidad de una función en un punto x=a.

Una función y = f(x) es continua en un punto x=a si la función está definida en un entorno del punto x=a, la función tiene límite en ese punto x=a, y además ese límite coincide con el valor que toma la función en x=a.

Esto lo podemos expresar esquemáticamente en:

Las funciones discretas (aquellas definidas solamente en puntos aislados) fallan al primero de los puntos.

Discontinuidad

Existen funciones con puntos o regiones de discontinuidad en el que falla alguno de estos puntos.

I) Discontinuidad evitable: Si falla el punto (3), es decir, si no existe f(a), o bien, este f(a) es diferente al límite de la función en x=a.

II) Discontinuidad de 1ª especie: Falla el punto (2). Cuando los límites laterales (por la derecha y por la izquierda) son distintos.

III) Discontinuidad de 2ª especie: Cuando al menos uno de los límites laterales no existe.

Ejemplo 1: Consideremos la función:

Esta función tiene un punto de discontinuidad en x=1, pues no existe f(1). Veamos su límite en este punto:

Existe el límite de la función en x=1. Se trata, pues, de una discontinuidad evitable en x=1. La gráfica de esta función sería:

Ejemplo 2: Sea la función:

Esta función tiene un punto de discontinuidad en x=0, pues no existe f(0) ya que los limites laterales son distintos en ese punto: