Sadržaj

1. Osnove SIX SIGMA ..................................................................................5 1.1. Šta je SIX SIGMA ? .................................................................................5 1.1.2. DMAIC model ................................................................................6 1.1.3. DMADV projektna metodologija ..........................................................6 1.2. Pravila u SIX SIGMA organizaciji ........................................................7 1.2.1. Master Black Belt …………………………………………...…...7 1.2.2. Black Belt …………………………………………………...….8 1.2.3. Green Belt ………………………………………………………......8 1.3. Statistika i SIX SIGMA …………………………………………...…9 1.4. Terminologija …………………………………………………………..10 1.5. Alati i Softveri za SIX SIGMA ………....................................................12 1.5.1. Alati za Six Sigma ……………………………………………......12 1.5.2. Softveri za SIX SIGMA ……………………………………….......13 1.6. Mogućnost modula Industrijska Statistika i SIX SIGMA ……………….14 1.7. Uspeh kompanije General Electric postignut implementacijom Six Sigma metodologije ……………………………………………...……………….....20

2. Upoznavanje statistike ………………………………………………...…..21 2.1. Enumeracija i Analiticke studije ……………………………………….21 2.1.1. Razlikovanje Enumerativne i Analitičke studije ................................21 2.2. Vrste uzorkovanja ……………………………………………………...22 2.2.1. Jednostavno slucajan uzorak ………………………………………..22 2.2.2. Stratifikovani uzorak ……………………………………………….23 2.2.3. Sistemski uzorak ……………………………………………….....23 2.2.4. Klaster uzorak …...........................................................................23 2.3. Vrste varijabli ……………………………………………………..….24 2.4. Operativne definicije ……...................................................................25

3. Prezentovanje podataka u grafikonima i tabelama ........................................26 3.1. Grafičko prikazivanje podataka .............................................................26 3.1.1. Trakasti grafikon ...............................................................................26 3.1.2. Pareto dijagram ................................................................................27 3.2. Grafičko crtanje podataka .........................................................................28 3.2.1. Histogram ..........................................................................................28 3.2.2. The Dot Pot ........................................................................................30 3.2.3. Pokretni grafikon ...............................................................................30

4. Deskriptivna statistika ...................................................................................32 4.1. Merenje centralne tendencije ....................................................................32 4.1.1. Aritmetička sredina ......................................................................... 32 4.1.2. Modus ...............................................................................................33 4.1.3. Medijana ........................................................................................34 4.1.4. Indeksi ...........................................................................................34 4.2. Mere varijabiliteta .................................................................................35 4.2.1. Razmak varijacije ..............................................................................36 4.2.2. Kvartil ...............................................................................................36 4.2.3. Srednja devijacija ..............................................................................37 4.2.4. Varijansa i standardna devijacija ......................................................37

5. Verovatnoća i verovatnoća raspodele ...........................................................38 5.1. Šta je verovatnoća ? .................................................................................38 5.2. Binomna raspodela ...............................................................................39 5.2.1. Karakteristike Binomne raspodele .....................................................39 5.3. Poisonova raspodela ...............................................................................40 5.3.1. Karakteristike Poisonove raspodele ...................................................40 5.4. Normalna raspodela .............................................................................41 5.4.1. Karakteristike Normalne raspodele ................................................41

6. Intervali poverenja ....................................................................................43 6.1. Osnovni koncept intervala poverenja ....................................................43 6.2. Intervali poverenja za matematičko očekivanje .........................................44

7. Parametarski testovi .......................................................................................46 7.1 Testiranje hipoteze ....................................................................................46 7.2 Parametarski testovi ................................................................................47 7.3 Proste i složene hipoteze ...........................................................................49

8. Zaključak ..................................................................................................50

9. Literatura ....................................................................................................51

2

1.Osnove SIX SIGMA

1.1. Šta je SIX SIGMA ?

Six Sigma je, prema mnogim stručnjacima iz oblasti razvoja i povećanja kvaliteta, najpopularnija menadžment metodologija, pomoću koje se poboljšavaju proizvodni procesi, u cilju povećanja zadovoljstva kupca.

Globalizacija i sve veća konkurencija, ne ostavlja prostor za greške. Preduzeće mora obezbediti zadovoljstvo svojih potrošača i mora stalno tragati za novim načinima ispunjenja, pa čak i prevazilaženja njihovih očekivanja. Zato Six Sigma, kao program obezbeđenja kvaliteta, koji predstavlja moćan instrument procesnog menadžmenta, mora postati deo poslovne kulture.Six Sigma je veliki brend u svetu korporativnog razvoja. Kako je sve počelo?

Kada su momci i devojke iz Motorole, 1986. godine odlučili da smanje varijacije u procesima elektronske proizvodnje, putem smanjenja defekata, pošlo se od činjenice da i najmanje varijacije kvaliteta materijala za izradu, rada neposrednih proizvođača, uslova proizvodnje i ostalih faktora utiču na varijacije u kvalitetu gotovih proizvoda. Nisu ni sanjali da će stvoriti novu menadžment strategiju, koju danas koriste mnoge organizacije, ustanove i preduzeća, na globalnom nivou. Six Sigma je doprla do svakog mesta, pa je veoma važno shvatiti njenu filozofiju i pokrenuti njenu praktičnu primenu.Six Sigma je, ne samo program, već i poslovna strategija i filozofija koja počiva na shvatanju da preduzeće može obezbediti kompetentnost, a posledično i konkurentnost smanjenjem defekata. Pri tome, defekt predstavlja sve ono što ne ispunjava očekivanja ili zahteve potrošača ili poslovnih procesa. Six Sigma je prvenstveno orjentisana na procese, a ne na rezultate, jer su rezultati determinisani onim što se dešava tokom procesa.Six Sigma metodologija kombinuje alate za kontinualno poboljšanje procesa. Procesi se analiziraju i objektivno se dodeljuju resursi onim procesima koji zahtevaju najveću pažnju. Zajednička karika među različitim procesima u organizaciji je defekt. Ima ih u svakom procesu i oni su ti koji prouzrokuju doradu, škart, dodatni rad zaposlenih, povećane troškove, itd. Fokusom na prevenciju pojave defekata i njihovo efikasno i efektivno otklanjanje, smanjiće se radna norma kao i troškovi procesa, te se resursi mogu osloboditi za druga ulaganja.

Six Sigma metodologija podrazumeva merenje defekata u procesu, a potom i njihovu eliminaciju, između ostalog, u cilju adekvatnog poređenja procesa. Poređenjem procesa mogu se doneti objektivne odluke o tome gde rasporediti resurse, za bolje performanse.

3

Postoje dve metodologije, DMAIC, za unapređenje postojećih poslovnih procesa i DMADV, za unapređenje novih procesa.Posle sagledavanja ogromnog finansijskog uspeha Motorole, GE, i drugi koji su ranije usvojili SIX SIGMA menadžment, mnoge kompanije širom sveta sada su pokrenule SIX SIGMA program za upravljanje.

1.1.2. DMAIC Model

Voditi menadžera u svom zadatku poboljšanja kratkoročnih i dugoročnih rezultata, SIX SIGMA koristi pet koraka poznata kao DMAIC Model, nazvan za pet koraka u procesu : Definisanje, Mera, Analiza, Poboljšanje i Kontrola.

Definisanje. Problem je definisan zajedno sa troškovima, koristi i uticajem na kupca.

Mera. Operativne definicije za svaku kritično-do-kvalitetno (CTQ) situaciju su razvijene. Pored toga, postupak merenja je verifikovan, tako da je u skladu preko ponovljenih merenja.

Analiza. Analiza uzorka da bi se utvrdili defekti i promenljive u procesu koje izazivaju nedostatke. Podaci se prikupljaju u cilju odvraćanja referentnih vrednosti za svaku promenljivu procesa.

Poboljšanje. Značaj svakog procesa promenljive sa CTQ karakteristikama se izačava pomoću posebno dizajniranih eksperimenata. Cilj je da se utvrdi nivo za svaku promenljivu.

Kontrola. Cilja je da se održi dugoročna korsti od izbegavanja potencijalnih problema koji se mogu javiti kada se proces menja.

1.1.3. DAMDV prjektna metodologija

DMADV projektna metodologija je isto što i DFSS (Design For Sigma Six).

D – definišite ciljeve na osnovu zahteva klijenta.M – merite i identifikujte CTQ (karakteristike od ključnog značaja za kvalitet), mogućnosti proizvoda, proizvodnje i rizika.A – analizirajte alternativna rešenja, kreirajte dizajn na visokom nivou i izaberite najbolje rešenje.D – dizajnirajte detalje, optimizujte dizajn.V – Proverite dizajn, pokrenite pilot i predajte projekat klijentu.

4

1.2. Pravila u SIX SIGMA organizacijama

Uloge viših izvršilaca (direktorili predsednik), izvršni odbor, šampion, vlasnik procesa, majstor crnog pojasa, crni pojas i zeleni pojas su od ključnog značaja za SIX SIGMA proces upravljanja.Viši izvršioci daju postrek, smer i podešavanja neophodna za krajnji uspeh SIX SIGME. Najuspešniji, visoko objavljeni SIX SIGMA napori su nepokolebljiv i jasan pravac vođstva od vrh upravljanja ka sredini.Iako to može biti mogući pokretač SIX SIGMA koncepta i procesa na nižim nivoima, dramatiča uspeh neće biti moguć sve dok izvršni organi ne postanu angažovani i preuzmu vodeću ulogu.Članovi izvršnog odbora su top menadžment neke organizacije. Oni treba da rade sa istim nivoom posvećenosti za SIX SIGMU kao menadžer na višem nivo izvršne vlasti.Šampioni imaju veoma aktivnu i lidersku ulogu u sprovođenju i implementaciji SIX SIGMA projekta. Oni blisko sarađuju sa izvršnim odborom. Crni pojas kao i majstor crnog pojasa nadgleda njihov projekat. Šampion treba da bude član izvršnog odbora ili najmanje da podnosi izvreštaj direktno članovima izvršnog odbora. On ili ona treba da ima dovoljno uticaja da ukloni prepreke ili obezbedi resurse bez potrebe da ide u vise delove organizavije. Vlasnik procesa je direktor procesa. On ili ona ima odgovornost za ovaj proces i ima ovlašćenje da promeni sa njegovim ili njenim potptisom. Vlasnik procesa traba da bude indentifikovan i uključen odmah u svim SIX SIGMA procesima koji se odnose na njegovu ili njebnu oblast.

1.2.1. Master Black Belt ( Majstor crnog pojasa )

Majstor crnog pojasa preuzima vodeću ulogu kao čuvar SIX SIGMA procesa i savetnik viših menadžera ili poslovnih jedinica. On ili ona mora da iskoriste svoje veštine sa projektina gde sun a čelu srni i zeleni pojasevi. Često, majstor crnog pojasa direktno izveštava višeg rukovodioca ili menadžera poslovne jedinice. Majstor crnog pojasa uspešno vodi nekoliko timova kroz složene SIX SIGMA procese. On je dokazan zastupnik, lider, moderator i tehnički ekspert u SIX SIGMA upravljanju. Uvek je najbolje za organizaciju da razvijaju svoje majstore crnog pojasa. Međutim, ponekad je nemoguće razviti svog majstora crnog pojasa zbog vremena potrebnog da bi neko postao majstor

5

crnog pojasa. Tako, ponekad okolnosti zahtevaju angažovanje majstora crnog pojasa izvan organizacije.

1.2.2. Black Belt ( Crni pojas )

Crni pojas je puno radno vreme agenta promena i unapređenje lidera koji ne može biti ekspert u procesu. Crni pojas je stručni kvalitet ali pod mentorstvom majstora crnog pojasa, ali može da izveštava menadžere o svojim zadacima kao crni pojas.

1.2.3. Green Belt ( Zeleni pojas )

Green Belt je pojedinac koji radi na projektima sa skraćenim radnim vremenom (25%), bilo kao član tima kompleksnih projekata ili kao vođa projekta za jednostavnije projekte. Većina menadžera u zrelim SIX SIGMA organizacijama su zeleni pojas. Sertifikat zelenog pojasa je kritičan preduslov za napredovanje u više nivoe upravljanja u SIX SIGMA organizaciji.

Zeleni pojas koji vodi jednostavnije projekte ima sledeće odgovornosti :

Usavršava povelju projekta Pregleda povelju projekta sa šampionom projekta Bira članove tima za ovaj projekat Komunicira sa šampionom, majstorom crnog pojasa i vlasnikom procesa tokom

svih faza projekte Omogućiti tim kroz sve faze projekta Zakazivanje sastanaka i koordinaciju logistike Analiziranje podataka kroz sve faze projekta Obučiti članoove tima osnovnim alatima i metodama u svim fazama projekta

U komplikovanim SIX SIGMA projektima, zeleni pojasevi blisko sarađuju sa tim liderima ( crni pojas ) da bi tim funkcionisao i napredovao kroz različite faze SIX SIGMA projekta.

6

1.3. Statistika i SIX SIGMA

Mnogi SIX SIGMA alati i metode uključuju statistiku. Šta se tačno podrazumeva pod statistikom , i zašto je statistika kao takva sastavni deo upravljanja SIX SIGMA ? Da bi se razumeo značaj statistike za poboljšanje kvaliteta, moramo se vratiti na čuveni citat iz 1925,godine Walter Shewhart-a, naširoko smatran kao ocem kvaliteta :

“ Dalekometni doprinos statistike ne zavisi toliko od visoko obučenih statističara u industriji koliko od stvaranja statistike bez predrasuda generacija fizičara, hemičara,inžinjera i ostalih koji će na bilo koji način imati u rukama razvoj i usmeravanje procesa proizvodnje sutrašnjice ”.

Ovaj citat je isto tako važi i danas kao što je i važio pre više od 85 godina.

Phase of DMAIC Model Statistical Methods

Define Tables and ChartsDescriptive StatisticsStatistical Process Control Charts

Measure Tables and ChartsDescriptive StatisticsNormal DistributionAnalysis of VarianceStatistical Process Control Charts

Analyze Tables and ChartsDescriptive StatisticsAnalysis of VarianceRegression AnalysisStatistical Process Control Charts

Improve Tables and ChartsDescriptive StatisticsAnalysis of VarianceRegression AnalysisDesign of Experiments

Control Statistical Process Control Charts

Tabela 1. Faze DMAIC modela i statistički metodi

7

1.4. Terminologija

Postoji mali broj termina i definicija koje se moraju proučiti, kako bi pomogle u razumevanju Six Sigma metodologije. Neki od njih su Vam verovatno već poznati:Proces je skup aktivnosti koje, upotrebljavajući resurse, dodaju vrednost u cilju proizvodnje izlaza koji zadovoljava potrebe kupca.Jedinica rada je izlaz iz procesa, ili pojedinačni korak procesa.Defekt je greška koja se prosleđuje kupcu. Defekt prouzrokuje nezadovoljstvo kupca i doradu.Prilike za grešku su mesta/koraci u procesu gde se defekt može pojaviti. Prilike za grešku definišu složenost procesa. Što je proces složeniji postoji više prilika za grešku. 

Šta je, dakle, dobar sigma nivo? Kako da znate kada radite efikasno i efektivno? Tradicionalno, kompanije su održavale tri sigma nivo, kao standard za industriju. Dakle, u opsegu +/- 1,5 sigma, procesi se odvijaju sa 99,74% uspešnosti, odnosno bez defekata (Sa premeštanjem sigma, tri sigma nivo procesi proizvode 93,32% bez defekta, što nije previše dobro).

Devedesetih godina, industrija se sve više približava četiri sigma nivou, što znači 99,9937% bez defekta u procesu (Sa premeštanjem sigma, to efikasnost pada na 99,38%).

Iako efikasnost procesa na četiri sigma nivou možda na prvi pogled i ne izgleda tako loše, nakon razmatranja primera iz prakse stvari se bitno menjaju:

U javnom vodovodu: 15 minuta nezdrave vode za piće stigne do građanstva svakog dana;

U telefonskoj industriji: građanstvo ostaje bez telefonske veze 9 minuta svake nedelje;

U poštanskoj usluzi: 2.000 pošiljki se izgubi svakog sata (sa četiri sigma procesima);

U farmaciji: 20.000 pogrešnih recepata za medikamente se prepiše na godišnjem nivou;

8

U vazduhoplovstvu: dva kratka ili duga sletanja na O'Hare aerodrom u Čikagu, svakog dana. Ovo takođe važi i za sve druge aerodrome uporedive veličine.

U hirurgiji: 500 nekorektnih operacija nedeljno.

Mnoge kompanije su shvatile da četiri sigma nivo nije više prihvatljiv. Organizacije se sve više orijentišu ka Six Sigma metodologiji, prvenstveno radi povećanja efikasnosti procesa na Six Sigma nivo. Zašto Six Sigma? Six Sigma procesi proizvode svega 3,4 defekta na milion prilika za defekt, dakle, skoro perfektni procesi. Kompanija čiji su procesi na Six Sigma nivou, smatra se Best-in-class organizacijom i služi kao model izvrsnosti. Rezultati Six Sigma procesa su sledeći:

U javnom vodovodu: svega 3 minuta nezdrave vode za piće godišnje; U telefonskoj industriji: bez telefonske veze 2,6 minuta svake dekade; U poštanskoj usluzi: svega 1,1 izgubljena pošiljka svakog sata; U farmaciji: 11 pogrešnih recepata za medikamente godišnje; U vazduhoplovstvu: četiri kratka ili duga sletanja na O'Hare aerodrom u Čikagu

svake dekade. Ovo takođe važi i za sve druge aerodrome uporedive veličine; U hirurgiji: 142 nekorektne operacije svake dekade.

Tabela2. prikazuje broj defekata u zavisnosti od sigma nivoa: 

Sigma značaj

Sigma  Broj defekata na milion prilika za grešku

1.5s 500,000 2.0s 308,300 2.5s 158,650 3.0s 67,000 3.5s 22,700 4.0s 6,220 4.5s 1,350 5.0s 233 5.5s 32 6.0s 3,4

Kompanije koje rade na 3 sigma nivou na defekte gube u proseku 25-40% od bruto prodaje, dok se kod kompanija čiji su procesi na 6 sigma nivou, gubici kreću ispod 1%.  Implementacija Six Sigma metodologijeČetiri koraka do Six Sigma kvaliteta:1.       odredite proces2.       merite i analizirajte proces3.       poboljšajte proces

9

4.       standardizujte poboljšanje

Ključni elementi za efikasnu implementaciju su: privrženo liderstvo; integracija sa strategijama najvišeg nivoa; okvir poslovnih procesa; inteligentna mreža kupaca i tržišta; projekti koji proizvode realne uštede i prihode; puno vreme lidera tima posvećen Six Sigma metodologiji; podsticaji za sve inicijative.

1.5. Alati i programi za Six Sigmu

1.5.1. Alati za Six Sigma

Pojedine faze DMAIC i DMADV metodologija zahtevaju upotrebu određenih alata.

Navešću najznačajnije:

5 Whys Analysis of variance ANOVA Gauge R&R Axiomatic design Business Process Mapping Cause & effects diagram (also known as fishbone or Ishikawa diagram)

10

Control chart Cost-benefit analysis CTQ tree Design of experiments Failure mode and effects analysis (FMEA) General linear model Histograms Quality Function Deployment (QFD) Pareto chart Pick chart Process capability Quantitative marketing research through use of Enterprise Feedback Management

(EFM) systems Regression analysis Root cause analysis Run charts SIPOC analysis (Suppliers, Inputs, Process, Outputs, Customers) Taguchi methods Taguchi Loss Function TRIZ

1.5.2. Softveri za SIX SIGMA

Najznačajniji softveri za Sigma Six metode: Actuate Arena (software) ARIS Six Sigma CHARTrunner by PQ Systems DataLyzer Spectrum DOE Pro XL EngineRoom by MoreSteam IBM WebSphere Business Modeler iGrafx Process for Six Sigma i-nexus JMP Oracle Crystal Ball Microsoft Visio Minitab QPR ProcessGuide by QPR Software Quality Companion by Minitab Quality Tools Charts Generator QTcharts

11

Quality Window by Busitech Quantum XL QWXL 3 by Busitech Quik Sigma Professional by Promontory Management Group Telelogic System Architect The Unscrambler Select Architect Business Process Modeling

1.6. Mogućnost modula Industrijska Statistika i SIX SIGMA

Za ilustraciju mogućnosti modula Industrijska statistika i šest sigma opcija Six Sigma (DMAIC) softvera Statistica u cilju ocene kvaliteta procesa i izabrane opreme prikazan je praktični primer obrade rukavca vratila u uslovima serijske proizvodnje. U tom cilju je izvedeno merenje prečnika rukavca vratila nominalne vrednosti 35 (+0,03; -0,10), mm. Merenje prečnika izvedeno je na uzorku od 48 komada pomičnim merilom sa digitalnim očitavanjem, tačnosti 0,01 mm, a rezultati merenja su prikazani u tabeli.

Slika1 . Struktura modula Industrijska statistika i šest sigma opcija SIX SIGMA (DMAIC) softvera

12

Na osnovu rezultata merenja relevantne karakteristike procesa (tabela) korišćenjem softverskog paketa Statistica - modul Industrijska statistika i šest sigma opcija Six Sigma (DMAIC) - Measure (slika) dobija se frekventna tabela sa grupisanim vrednostima i frekvencijama pojave pojedinih vrednosti i proverava normalnost raspodele rezultata merenja i izračunavaju osnovni statistički parametri raspodele - srednja vrednost i standardna devijacija (slika(.

Korišćenjem modula Industrijska statistika i šest sigma opcija Six Sigma (DMAIC) - Measure/SixGraph Summary dobijeni su rezultati prikazani na slici . Sa slike se može uočiti da program omogućuje generisanje X i R kontrolnih karata, proveru normalnosti raspodele, utvrđivanje sposobnosti procesa, generisanje dijagrama sposobnosti i sl. Opcija Six Sigma (DMAIC) - Measure/Process Capability obezbeđuje definisanje sposobnosti procesa i identifikovanje indeksa sposobnosti procesa (slika). Time su stvorene moguđnosti za analizu sposobnosti projektovanog tehnološkog procesa i sagledavanje pravaca unapređenja procesa.

r.br. Vrednost r.rr. Vrednost r.br. Vrednost r.br. Vrednost1. 35,02 13. 34,93 25. 34,98 37. 34,952. 34,96 14. 34,94 26. 34,96 38. 34,963. 34,99 15. 34,90 27. 35,02 39. 35,004. 35,04 16. 34,93 28. 34,84 40. 35,035. 34,87 17. 34,99 29. 34,99 41. 35,136. 35,10 18. 34,81 30. 34,91 42. 34,987. 34,97 19. 35,02 31. 34,94 43. 35,048. 34,94 20. 34,99 32. 35,07 44. 34,939. 35,05 21. 34,92 33. 34,85 45. 35,0010. 34,97 22. 35,06 34. 35,03 46. 34,9111. 35,01 23. 34,97 35. 34,95 47. 34,9012. 34,88 24. 34,92 36. 34,97 48. 35,00

Tabela 3. Rezultati merenja prečnika rukavca vratila 35 ( +0,3 ; -0,10 ), mm

13

Slika 2. Ekran programa Statistica - modul Industrijska statistika i šest sigma opcija Six Sigma (DMAIC) – Measure

14

Slika 3 Ekran programa Statistica - modul Industrijska statistika i šest sigma opcija Six Sigma (DMAIC) - Measure/Descriptive statististic sa rezultatima analize i osnovnim statističkim parametrima Raspodele

15

Slika 4. Ekran programa Statistica - modul Industrijska statistika i šest sigma opcija Six Sigma (DMAIC) - Measure/SixGraph Summary sa rezultatima analize

16

Slika 4. Ekran programa Statistica - modul Industrijska statistika i šest sigma opcija Six Sigma (DMAIC) - Measure/Process Capability sa rezultatima analize

Analiza rezultata prikazanih na slikama može, između niza drugih zaključaka za koje je potrebna detaljnija analiza i realizacija drugih etapa DMAIC ciklusa, ukazati na dva osnovna zaključaka: » Rezultati merenja slede normalnu raspodelu, » Na osnovu vrednosti pokazatelja sposobnosti (indeksi preciznosti Cp = 0,2723 < 1,33 i sposobnosti Cpk = 0,2557 < 1,33 imaju relativno niske vrednosti) evidentno je da proces obrade rukavca vratila ili izabrana oprema spadaju u grupu nepreciznih i netačnih (nepodešenih) procesa. Ova činjenica zahteva svestrana preispitivanja i analize procesa izrade osovine, koja obuhvataju proveru i preispitivanje izabranog procesa, izabrane opreme, prepodešavanje procesa i opreme itd.

Iako je prikazan samo mali deo mogućnosti modula Industrijska statistika i šest sigma opcija Six Sigma (DMAIC) - Measure očigledno je da softverski paket u značajnoj meri olakšava i obezbeđuje primenu metodologije šest sigma u analizi procesa i projektovanju unapređenja.

17

1.7. Uspeh kompanije General Electric postignut implementacijom Six Sigma metodologije

GE radi u više od 100 zemalja i ima 293.000 zaposlenih, od kojih 163.000 u SAD. Kompanija GE je tokom 1999. godine ostvarila uštede u iznosu od 1,5 milijadri dolara, a za period do 2005. godine očekuju se uštede od 8 do12 milijardi dolara. Postoji li metodologija koja može da obezbedi kompanijama uštede takvih razmera? Jedino Six Sigma.GE je kompanija koja nudi široki spektar usluga i proizvoda, baziranih na modernim tehnologijama. Kompanija u prvi plan stavlja privrženost zaposlenih i težnju ka ostvarivanju liderstva na svetskom nivou, u svakoj od oblasti poslovanja organizacije.U GE, Six Sigma se smatra disciplinovanom metodologijom definisanja, merenja, analiziranja, poboljšanja i kontrolisanja kvaliteta, svakog proizvoda, procesa i transakcije, sa krajnjim ciljem eliminisanja svih defekata. To zapravo znači dovođenje stvari do nivoa "blizu perfekcije" i osiguravanja da iste tu i ostanu.Nagrade:

Kompanija kojoj se ljudi najviše "dive" u svetu – Forutne, 1998; Američka kompanija kojoj se ljudi najviše "dive" – Fortune, 1998. i 1999; Najrespektovanija kompanija u svetu  – Financial Times, 1998; Najveći "kreator" bogatstva Amerike – Forutne, 1998. i 1999; Prvo mesto – Forbes World Super 50, 1999; Prvo mesto – Forbes Global International 800, 1999; Prvo mesto – Business Week 1000, 1998; Peto mesto – Fortune 500 (Ako be se rangirali nezavisno, devet sektora GE bilo bi

na listi Fortune 500).

2. Upoznavanje statistike18

2.1. Enumerativne i analitičke studije

Postoje dve vrste statističkih studija : Enumerativne i Analitičke. Ove dve vrste studija imaju različite namene, tako da moramo razumeti razliku između njih.Enumerativne studije se koriste da bi došli do zaključka o populaciji u prostoru i vremenu. Uobičajeni primer jedne enumerativne studije je politička anketa u kojoj možete izabrati uzorak registrovanih birača u određenoj geografskoj oblasti, kao i određenog vremene, kao što je oktobar 2005. Na osnovu rezultata iz uzorka, možemo napraviti statističke zaključke o celom biračkom registru za posetu liste u određenom geografskom području od oktobra 2005. Drugi primer enumerativne studije je studija vremena čekanja u filijali banke za vreme pauze za ručaku 2005. Na osnovu uzorka odabranih kupaca , zaljučci mogubiti doneti u vezi prosečnog vremena čekanja u 2005. Dinamička pitanja, kao što su Zašto ljudi dolaze u banku tokom pauze za ručak ili zašto vreme čekanja varira ne smatraju se u enumerativne studije. Svaki od ovih primera je vremensko specifičan i statičan. Ne postoji referenca na prošlost ili budućnost.

Analitičke studije se koriste za proučavanje uzročno-posledičnih sistema procesa da bi poboljšalo buduće funkcionisanje procesa. Primer analitičke studije koji se odnosi na vreme čekanja na obali za vreme pauze za ručak je proučavanje zašto nije bilovarijacije u prosečnom vremenu čekanja i koji faktor može biti uzrok ove varijacije da bi poboljšali buduće vreme čekanja na obali. Drugi primer jedne analitičke studije je poređenje načina marketing finansijskih usluga da bi se povećao finansijski udeo. Svaki od ovih primera se fokusira na budućnost a ne na prošlost ili sadašnjost. Možete koristiti informacije da donosite odluke za poboljšanje budućih dinamičkih funkcionisanja procesa.

2.1.1. Razlikovanje Enumerativne i Analitičke studije

Jednostavno pravilo za razlikovanje između Enumerativne studije i jednog analitičkog proučavanja je sledeći :Ako je 100% uzorak odgovaora pod istragom, studija je enumerativna, a ako je ne, studija je analitička.

19

2.2. Tipovi uzoraka

Sada, kako bi se upoznali sa uzorkovanjem, potrebno je da se upoznamo sa nekim terminima.Populacija, je cela grupa jedinica, artikala usluga, ljudi, itd... pod istragom za fiksni vremenski period i fiksnu vremensku lokaciju.Okvir je fizički spisak jedinica u populaciji. Jaz je razlika između jedinica u populaciji i jedinica u kadru.Ako se jedinice u jazu distribuiraju kao jedinica u okviru bez problema bi trebalo da dođe do jaza. Međutim, ako se jedinice u jazu ne distribuiraju kao jedinice u okviru, iz analize okvira moze rezultirati sistemska pristrasnost. Na primer, ako okvir njujorških stanovnika preko 18 godina starosti je birački spisak, onda statistička analiza ljudi od 18 godina i starijih je različit za ljude na listi ( okvir ), a ljudi nisu na listi (GAP). Primer gde ova razlika može uticati , ako je anketa vođena da odredi stav prema imigraciji, jer lista registracije birača ne bi uključivala građane koji nisu državljani.Uzorak je deo populacije koji je izabran da prikupi informacije i da obezbeđuje osnovu za delovanje na stanovništvo. Umesto uzimanja kompletnog popisa celokupnog stanovništva, statističke procedure uzorkovanja fokusiraju se na prikupljanju malih uzoraka od šireg stanovništva. Na primer, 50 potraživanja izvući iz liste, ili okvir, od 10.000 potraživanja predstavljaju uzorak.

Četiri vrste uzorkovanja se koriste, to su jednostavni slučajan uzorak, stratifikovani, sistemski i klaster uzorak. Ove metode uzorkovanja se razlikuju jedna od druge u njihovoj ceni, tačnosti i složenosti.

2.2.1. Jednostavan slučajni uzorak

Po principu slučajnog uzorka, svaki uzorak fiksne veličine ima istu šansu selekcije kao i svaki drugi uzorak te veličine. Princip slučajnog uzorka je elementarno izvlačenje uzorka. To je osnova za druge slučajne tehnike. Po principu slučajnog uzorka, n predstavlja veličinu uzorka, a N predstavlja veličinu okvira, a ne broj stanovnika. Sva stavka ili osoba, je numerisana od 1 do N. Mogućnost odabira bilo kog člana u prvom žrebu je 1/N. Možete koristiti nasumične brojeve da bi ste izabrali stavke iz okvira kako bi se otklonile predrasude i držale neizvesnosti u poznatim granicama.Dve važne tačke koje treba zapamtiti su različiti uzorci veličina n će dati različite statističke uzorke, i različite metode merenja će dati različite statistike uzorka. Slučaji uzorci, međutim nemaju predrasude u proseku, a greška u uzorkovanju može biti održana u poznati granicama povećanjem veličine uzorka.

20

2.2.2. Strtifikovani uzorak

U stratifikovanom uzorku , N stavka su podeljene u slojeve, prema nekim zajedničkim karakteristikama. Jednostavan slučajni uzorak je izabran u okviru svakog od slojeva, i na taj način vi kombinujete rezultate iz odvojenih slojeva po principu slučajnih uzoraka. Stratifikovani uzorak može smanjiti veličinu uzorka, a nataj način, smanjiti i troškove.Stratifikovani uzorak će imati manju veličinu uzorka od prostog slučajnog uzorka, ako su stavke slične u okviru slojeva( tzv. Homogenost ) i slojevi se razlikujujedni od drugih ( tzv. Heterogeni ). Kao primer stratifikovanom uzorku,pretpostavimo da firma ima radnike koji se nalaze na nekoliko objekata u geografskom području. Radnici na svakoj lokaciji su slični jedni drugima u pogledu karakteristika koje se proučavaju, ali su radnici na različitim lokacijama drugačiji u odnosu na druge radnike sa drugih lokacija u pogledu karakteristika koje se proučavaju. Radije uzimamo prost slučajan uzorak od svih radnika, jeftinije je nego da uzimamo iz svake grupe, a zatim kombinujemo rezultate u jednu procenu karakteristika koju proučavamo.

2.2.3 Sistemski uzorak

U sistemskom uzorku, N pojedinci ili stavke u okviru su postavljene u k grupama, deljenjem okvira N željenim uzorkom veličine n. Da bi ste izabrali sistemski uzorak, možete izabrati prvog pojedinca ili stavku nasumice iz k pojedinaca ili stavki u prvoj grupi u okviru. Ostatak uzorka možete izabrati uzimajući svaki k-tog pojedinca ili stavkuiz cele populaije.Ako se okvir sastoji iz liste od bezbroj stavki, ili određenog broja uzastopnih stavki koje dolaze na pokretoj traci, sistemski uzorak je brže i lakše izabrati nego kod prostog slučajnog uzorka.

2.2.4. Klaster uzorak

21

U klaster uzorku možete podeliti N pojedince i stavke u okviru mnogo klastera. Klasteri se prirodno javljaju u podeljenim okvirima, kao što su okruzi, izbornih okruzi, gradski blokovi, stambene zgrade, fabrike ili porodice. Možete uzeti nasumični klaster uzorak i proučavati sve pojedince ili stavke u svakom izabranom klasteru. To se zove jednostepeno klaster uzorkovanje.Metoda klaster uzorka je mnogo efikasnija nego princip slučajnog uzorka ukoliko se populacija proširila na širokom geografskom regionu. Metoda klaster uzorka je veoma korisna u smanjenju vremena putovanja. Međutim, klaster metode uzorka imaju tendenciju da budu manje efikasni i od principa slučajnog uzorka i od metode stratifikovanog uzorka. Pored toga, klaster metode su korisne za smanjenje troškova razvoja okvira, jer prvo, okvir se sastoji od klastera,i drugo, okvir je napravljen samo od individualnih jedinica u odabranim klasterima. Klaster uzorak često zahteva veću ukupnu veličinu da bi pružao precizne podatke kao oni iz efikasnijih procedura.

2.3 Vrste varijabli

Numeričko prikupljanje informacija o proizvodu, usluzi, procesu, individui ili stavci zovu se podaci. Zato što ne postoje dve stavke koje su potpuno identične, podaci sami po sebi variraju. Svaka karakteristika interesa naziva se promenljiva. U SIX SIGMA, termin CTQ se koristi kao skraćenica za kritično-kvalitetnu karakteristiku za proizvod, servis ilui proces. Pored toga, termin CTP se koristi kao skraćenica za kritična-karakteristika procesa u dizajnu nekog proizvoda ili usluge. Podaci su klasifikovani u dve grupe : atribut podataka i merenje podataka.Atribut podataka ( takođe se pominje kao kategoričan ili brojčani podatak ) se javlja kada je promenljiva klasifikovana u kategorije ili se koristi za brojanje pojavljivanja pojave. Atribut podataka stavlja pojedinca ili element u jednu od dve ili više kategorija. Na primer, rod ima samo dve kategorije. Udrugim slučajevima, postoji više mogućih kategorija u kojima može biti klasifikovana promenljiva. Na primer, moglo bi biti mnogo razloga za neispravne proizvode ili usluge. Bez obzira na broj kategorija, podaci se sastoje od broja i učestalosti stavki u određenoj kategoriji, da li je broj birača u uzorku koji preferiraju određenog kandidata na izborima ili broj pojavljivanja svakog razloga za neispravan proizvod ili uslugu. Brojačani podaci se sastoje od broja pojavljivanja pojave u stavci ili osobe. Primeri brojčanih podataka su broj mana u dvorištu fabrike tkanine ili broj automobila koji ulaze na utoput na određenoj lokaciji tokom specifičnog vremenskog perioda.Merni podatak ( takođe se pominju kao kontinuirana ili promenljiva podataka ) je rezultat merenja uzetog iz stavke ili osobe. Bilo koja vrednost teoretski može da dođe, ograničena je samo na preciznost mernog procesa. Na primer, visina, težina, temperatura i vreme ciklusa su primeri mernih podataka.

22

Promenljive se mogu opisati prema nivou merne skale. Postoje četiri skale merenja : nominalna, redna, interval i odnos. Atributi podataka svrstani u kategorije su nominalna skala podataka, na primer, u odnosu na konformiranje ne usaglašenim, u odnosu na isključivanje, muški protiv ženskog pola. Ne rangiranje podataka se podrazumeva. Nominalni skala podataka je najslabiji vid merenja. Redna skla se koristi za podatke koji mogu biti rangirani ali se ne mogu meriti, na primer, rangiranje stavova od 1 do 5 skali, gde je 1 – veoma nezadovoljan, 2- nezadovoljan, 3- neutralan, 4- zadovoljan, 5- veoma zadovoljan. Redni obim podataka podrazumeva jaču formu merenja od atributa podataka. Međutim, razklike između kategorije se ne može izmeriti.Izmereni podaci se mogu svrstati u interval i odnos podatala. U interval skali, razlike između merenja daju značajan iznos, ali ne postoji prava nulta tačka.

2.4. Operativne definicije

Sve promenljive moraju imati operativnu definiciju. Glavni problemi se javljaju kada su definicije merenja za CTQ i CTP u suprotnosti sa vremenom ili da se razlikuju od pojedinca do pojedionca. Dvosmislene definicije, kao što su neispravne, sigurne, okrugle i tople, nemaju značaja koje se može saopštiti, osim ako su operativno definisana.Operativna definicija je definicija koja daje značenje raznim korisnicima definicije.

23

3. Prezentovanje podataka u grafikonima i tabelama

3.1. Crtanje atributa podataka

Kada imate atribut podataka, upoređivanjem odgovora u kategorije određuje se frekfencija i procenat u svakoj kategoriji. Dva širopko rasprostranjena grafikona su trakasti grafikon i Pareto grafikon o kojima će mo raspravljati u nastavku.

3.1.1. The Bar Chart

Trakasti grafikoni predstavljaju svaku kategoriju jedne promenljive tipa atributa kao traka čija je dužina frekfencija ili procenat vrednosti koji spadaju u tu kategoriju. Podaci u tabeli predstavljaju broj greske i tip grške u laboratorijskim testovima.

Cause Frequency Percentage

Social Security Number 226 49.8

Name 71 15.6

Date of Birth 58 12.8

Test 44 9.7

Doctor 39 8.6

Others 16 3.5

Total 454 100.0

Tabela 4. Zbirna tabela za uzorke grešaka u laboratorijskim testovima

24

Slika5 . Minitab Bar Chart

Slika6 . JMP Bar Chart

3.1.2. The Pareto Diagram

Pareti diagram je posebna vrsta trakastog grafikona u kome su kategorije kao atributi promenljive navedeni na X osi, frekfencije u svakoj kategoriji( navedene od najveće do najmanje frekfencije ) prikazani su na levoj strani Y ose, a kumulativni procenat frekfencije prikazan je desnoj strani Y ose. Bez obeira na frekfenciju, druge kategorije se uvek nalaze na desnoj strani X ose.Osnovni princim Pareto Diagrama je da razdvoji nekoliko vitalnih kategorija od mnogih drugih manje važnih, i tako omogućava da se fokusirate na kritične kategorije.

25

Slika7 . Miitab Pareto dijagram

Slika8 . JMP Pareto dijagram

3.2. Crtanje mera podataka

3.2.1. Histogram

Histogram je specijalni trakasti grafikon za merenje podatke. U histogram, podaci su grupisani u susedne numeričke kategorija, na primer, 100 manje od 200, 200 manje od 300, 300 manje od 400, i tako dalje. Možete koristiti minitab ili JMP da organizujete podatke po grupama i crtanje histograma. Razlika između trakastog grafikona i histograma je da X osa na trakastom grafikonu je spisak kategorija, dok je X osa histogramu merna skala, pored toga , u histogramu postoje praznine između susednih rešetaka.

Slika9 . Običan grafikon i Histogram

26

Histogram je veoma pogodan za poređenje raspodela frekfencija

Slika 10 . Primer Poređenja raspodela frekfencije

Da bi ilustrovali histogram, možete ispitati proces ispunjavanju porudžbina na web sajtu.naručivanje se sastoji od nekoliko koraka, uključujuci i i prijem naloga, biranje delova naloga, proveru naloga, pakovanje i isporuka. Podaci u datoteci sastoje se od vremena, izraženog u minutima, ispunjnja uzorka od 200 naruažbina. Slika pokazuje minitab Histograma koji ispunjava naređenja. Dok druga slika ilustruje JMP Histograma.

Slika 11 . Minitab Histogram

Slika 12 . JMP Histogram

27

3.2.2. The Dot Plot

Tačka zaplet je grf mernih podataka u kojoj su naslagane vertikalno tačke na horizontalnoj osi za svaku vrednost promenlive kamate. Primetimo da tačka zaplet od ovih podataka izgleda drugačije nego hitogram. Ovo se dešava jer histogram grupiše podatke u klasne intervale, dok tačka zaplet prikazuje svaku vrednost podatka, sa visokog nivoa prezentovanja frekfencije svakog vremenskog podatka. Međutim, tačka zapleta takođe pokazuje koncetraaciju vrednosti u centru raspodele između 55 i 85 minuta i pokazuje ispunjava vreme koje je veoma nisko i veoma visoko.

Slika 13. Minitab Dot Pot

3.2.3 The Run Chart ( Pokretni grafikon )

Kada su podaci prikupljeni tokom vremena, trebalo bi da nacrtate promenljivu interesa u sekvencijalnom redosledu njihovog prikupljanja pre nego što nacrtrate bilo koji drugi grafik, izračunava deskriptivnu statistiku i obavlja bilo kakve statističke analize. Ovo morate da uradite zbog toga što mogućeg postojanja promenljive, koja ima važan utivaj na CTQ i CTP se izučavaju, ali nije uyimana u obzir u statističkim istraživanjima. Run

28

Chart je tip grafikona u kojoj se iscrtavaju sva merenja u određenom ttrenutku za CTQ i CTP na Y osi u to vremenskom periodu, a vreme na X oci. Pozivajući se na podatke koij se odnose na ispunjenje procesa porudžbina , sledeća slika ilustruje minitab grafikon za ispunjenje vremana nacrtanog u nizu u kome su oni dobili, dok druga slika ilustruje JMP Run grafikon.

Slika 14. Minitab Run Chart

Slika 15. JMP Run Chart

Kod ove dve slike primetili smo da postoji velika varijacija u ispunjenju vremena, i nema izgleda da bude obrazac u sekvecijalnom redosledu ispunjenja vremena.

29

4. Deskriptivna statistika

4.1. Srednje vrednosti obeležja

Za dublju analizu nisu dovoljni relativni brojevi i raspodela frekvencije, već se utvrđuju izvesni pokazatelji i parametri, čije utvrđivanje omogućava donošenje zaključaka o određenoj pojavi ili procesu. Prva grupa tih parametara su srednje vrednosti (proseci): Poželjne osobine srednjih vrednosti su:• Ako su sve vrednosti obeležja X jednake i njihova srednja vrednost treba da je tolika• Ako postoje minimalna i maksimalna vrednost X onda je srednja vrednost veća od minimuma i manja od maksimuma• Srednja vrednost treba da zavisi od svih vrednosti X na celom statističkom skupu

4.1.1. Aritmetička sredina

Aritmetička sredina niza brojeva je broj koji se dobije kad se njihov zbir podeli sa ukupnim brojem članova tog niza.Najčešće se koristi, metod izračunavanja je isti za negrupisane i grupisane podatke:

• Ako su utvrđeni

• Ako je x prekidnog tipa, sa frekvencijama :

• Ako je h neprekidnog tipa, sa frekvencijama:

30

Osim ako se prvi i poslednji grupni interval znatno razlikuju po dužini od ostalih (ili ako

je neki od njih beskonačan), tada je:

, gde je prosečna dužina preostalih intervala.

Iz raspodele relativnih frekvencija .

Pored univerzalnih (koji se mogu pokazati) aritmetička sredina ima još neke osobine koje omogućavaju njeno lakše određivanje:1) Zbir odstupanja vrednosti obeležja X na posmatranom skupu od njihove

aritmetičke sredine je jednako nuli:

2) Zbir kvadrata odstupanja vrednosti obeležja X na elementima statističkog skupa od bilo kog broja a je najmanji ako je :

minimum za

3) Ako između X i Y postoji linearna zavisnost, ista takva zavisnost postoji između njihovih aritmetičkih sredina:

4) Pretpostavka: statistički skup 1: ; statistički skup 2: ; tada je aritmetička sredina za oba skupa zajedno jednaka ponderisanoj aritmetičkoj sredini:

5) Posmatra se S statističkih skupova sa elemenata i aritmetičkih sredinarespektivno. Tada je aritmetička sredina obeležja H na svim skupovima zajedno jednaka ponderisanoj aritmetičkoj sredini:

Često se statistički skupovi sastoje iz stratuma, tj. podskupova koji se međusobno isključuju, a zajedno čine ceo skup. Statistički podaci se prikupljaju i obrađuju po stratumima => analiza celog skupa, što je nekad nemoguće.

4.1.2. Modus

Modus je ona vrednost obeležja X koja ima najveću frekvenciju u posmatranom statističkom skupu ili ona vrednost u čijoj se okolini najčešće pojavljuju „izmerene“ vrednosti X na statističkom skupu.To je jedina srednja vrednost koja se može koristiti za kvalitativna obeležja i predstavlja dobar pokazatelj za homogene statističke skupove.

31

Kada je X grupisano i dato raspodelom frekvencija, za modus se uzima sredina grupnog intervala sa najvećom frekvencijom.

4.1.3. Medijana

Medijana je ona vrednost obeležja X koja deli statistički skup na dva jednaka dela.

Ako su

Za obeležje koje je grupisano i dato raspodelom frekvencija, medijanu određujemo tako što prvo odredimo grupni interval u kome se nalazi , a zatim po dogovoru biramo jednu vrednost iz tog intervala. Ako je X dato raspodelom:

X ...(f) f1 f2 ... fk

Prvo se određuje indeks S za koji će biti zadovoljeno: .

Za medijanu se uzima vrednost X u intervalu na sledeći način:

4.1.4. Indeksi

Služe za najjednostavniju analizu vremenskih serija (praćenje dinamičkih kretanja pojava).Indeks je broj koji predstavlja količnik vrednosti posmatranog obeležja X u trenutku t

(Xt) i vrednosti tog obeležja u nekom drugom trenutku .

Postoje dve vrste indeksa: bazni i lančani indeks.Lančani indeksi su količnici vrednosti obeležja X u trenutku t (Xt) i njegove vrednosti u prethodnom trenutku merenja t–1 (Xt-1). Za lančani indeksi su:

32

najčešće

Za vremensku seriju od T podataka, dobija se (T–1) lančani indeks jer se prvi podatak u seriji ne može porediti sa prethodnim. Ako od procentualno izraženog indeksa u trenutku t oduzmemo 100, dobićemo procentualno izraženu promenu obeležja X od momenta (t–1), do momenta t koji nazivamo stopa promene.

Slika 16. Grafički prikaz indeksa

Bazni indeksi služe za iskazivanje promene posmatranog obeležja u vremenskoj seriji u odnosu na jedan trenutak merenja sa kojim želimo da poredimo ostale promene:

U statističkoj analizi se često koristi prosečna stopa promene:

4.2.Mere varijabiliteta

Ukazuje na dve činnjenice: njihov iznos govori koliko su srednje vrednosti obeležja H dobri predstavnici svih njihovih vrednosti na posmatranom skupu i treba da pokažu koliko se svi elementi na posmatranom skupu međusobno razlikuju u odnosu na dato obeležje X. Tj: što je varijansa manja to je srednja vrednost bolji predstavnik, i obrnuto.

33

4.2.1. Razmak varijacija

Razmak varijacije je razmak između najveće i najmanje vrednosti X na posmatranom statističkom skupu:

Kada je obeležje X grupisano i dato raspodelom frekvencija , da bismo odredili R, moramo znati i . Ima najveću primenu u kontroli kvaliteta i industrijskoj proizvodnji.

4.2.2 Kvartil

Kvartilna devijacija skluži zisključenje određenog procenta elemenata statističkog skupa. Određena je izrazom:

– gornji kvartil je ona vrednost obeležja X za koju 75% elemenata stati-stičkog skupa ima vrednost X manju od (25% elemenata ima X veće od ) – donji kvartil je ona vrednost obeležja X za koju 25% elemenata statističkog skupa ima vrednost manju od .Računaju se slično kao medijana:

34

4.2.3 Srednja devijacija

Srednja devijacija (zavisi od svih vrednosti X) je aritmetička sredina apsolutnih vrednosti odstupanja od njegove aristmetičke sredine na posmatranom statističkom skupu:

• su obeležja, je aritmetička sredina:

• Za grupisane podatke date raspodelom frekvencija:

• Relativne frekvencije:

4.2.4. Varijansa i standardna devijacija

Varijansa i standardna devijacija. Standardna devijacija je pozitivna vrednost korena varijanse. Varijansa je aritmetička sredina kvadrata odsupanja vrednosti obeležja X od njegove aritmetičke sredine:

• su obeležja, je aritmetička sredina:

• , :

• Relativne frekvencije:

• Koeficijent varijacije je procentualno izražen odnos standardne devijacije i

aritmetičke sredine obeležja X:

35

5. Verovatnoća i verovatnoća raspodele

5.1. Šta je verovatnoća ?

Klasična definicija verovatnoće određuje takozvanu verovatnoću à priori i pojam verovatnoće definiše preko jednako verovatnih događaja u relativno uskoj klasi eksperimenata sa konačnim brojem jednako verovatnih mogućih rezultata.DEF: Verovatnoća slučajnog događaja A je odnos broja „povoljnih“ rezultata za događaj A i broja mogućih rezultata eksperimenta:

могући

повољни

n

mAP

)(, Р(А) је á priori вероватноћа.

U izvesnim slučajevima je moguće proširiti klasičnu definiciju i na eksperimente sa beskonačno mogućih rezultata; tako se dobija geometrijska verovatnoća. Ako imamo oblast G i unutar nje oblast g, ako je A događaj koji znači „bačena kockica je

pala u tačku oblasti g“; tada je )(

)()(

GPov

gPovAP

Jednodimenzionalni prostor: интервалвећи

интервал

D

dAP

)(

Trodimenzionalni prostor: )(

)()(

GV

gVAP

Višedimenzionalni prostor => odnos odgovarajućih hiperzapremina.

36

DEF: Verovatnoća á posteriori (eksperimentalna, empirijska verovatnoća) je verovatnoća slučajnog događaja A ako se neki eksperiment može pod istim uslovima ponoviti

neograničen broj puta:

таексперименпонављањаброј

Ареализоваопутасеколикоброј

n

AnAP

n

lim)(

DEF: Verovatnoća slučajnih događaja je svaka funkcija P definisana na slučajnim događajima koja preslikava slučajne događaje u realne brojeve i koja ima sledeće tri osobine:

a) Nenegativnost - svakom slučajnom događaju A funkcija R pridružuje nenegativan broj R(A), R(A) ≥ 0b) Normiranost - sigurnom događaju funkcija R pridružuje broj 1. R(Ω) = 1c) Aditivnost - ako se slučajni događaji A1, A2, … međusobno isključuju, onda funkcija R pridružuje njihovoj uniji broj koji je jednak zbiru brojeva koje funkcija R

pridružuje događajima A1, A2, … ...)()(...)( 2121 APAPAAP

Ove osobine predstavljaju aksiome koji određuju verovatnoću, i iz njih slede osobine:

• )(1)( APAP

• 0)( P

• 0)( P

• Ako A implicira В ( BA ), онда: )()( BPAP

• )()()()( BAPBPAPBAP , specijalno:

ako i samo ako: )( BAP

5.2. Binomna raspodela

DEF: Za slučajnu promenljivu H kažemo da ima binomnu raspodelu ako može uzeti jednu vrednost k iz niza nenengativnih celih brojeva {0, 1, 2, …, n} sa verovatnoćama:

1,10,)()(

qppqp

k

nkXPkP knk

n

)!(!

!

knk

n

k

n

binomni koeficijent

37

• Oznaka: pnBX ;:

• Zakon verovatnoća:X 0 1 … n

p(x)00

0

nqpn 11

1

nqpn

…0qp

n

n n

• Zbir binomnih verovatnoća: 1)(

0

nn

k

knk qpqpk

n

• Funkcija generatrise: nt

n

k

knktn

k

knkkt peqqpek

nqp

k

netg

00

)(

• Očekivana vrednost: (izvod funkcije g(t) u t=0): npXE

• Varijansa (drugi izvod funkcije g(t) u t=0, drugi običan momenat): npq2

• Koeficijent asimetrije: npq

pq 2

1

)(

• Koeficijent spljoštenosti: npq

pq6132

• Koristi se u Bernoulli-jevoj šemi nezavisnih događaja, teži normalnoj spljošte-

nosti za n , kada je 5,0qp simetrična raspodela.

5.3. Poisson-ova raspodela

Opisuje verovatnoću da će slučajan događaj nastupiti u određenom vremenskom ili prostornom intervalu pod određenim uslovima, pri čemu je verovatnoća događaja veoma

38

mala, a broj pokušaja (vremenski ili prostorni interval) veoma veliki, tako da se događaj realizuje nekoliko puta (npr. broj grešaka po stanici knjige).DEF: Za slučajnu promenljivu H kažemo da ima Poisson-ovu raspodelu ako može uzeti vrednost k iz niza nenegativnih celih brojeva {0, 1, 2, …, n} i to sa verovatnoćom:

,!

)()( ek

kXPkPk

pri čemu je ,0 i predstavlja parametar raspodele.

1. Oznaka: )(: PX

2. Zakon verovatnoća:X 0 1 2 … k …

P(x) e!0

0 e

!1

1

e!2

2 … ek

k

!…

3. Pošto je

0 !k

kx

k

xe

zbir verovatnoća: 1

!)(

00

eek

ekPk

k

k

4. Očekivana vrednost:

0

1

0 !1! k

k

k

k

kee

kkm

5. Drugi običan momenat:

2

22

00

22 !2!

1! k

k

k

k

k

k

ke

kkkkee

kkm

2

6. Varijansa: 22

2 mm

7. Centralni momenti: 2

43 3;

8. Koeficijent asimetrije: 1

1

9. Koeficijent spljoštenosti: 1

32

10. Modus: ;1 k

• ako nije ceo broj, onda će u intervalu ;1 postojati jedna vrednost koja će

zatovoljiti nejednakost: k1 ; i to je modus Poisson-ove raspodele ][ o •

ako je ceo broj, raspodela je bimodalna: .,1 21 oo

5.4. Normalna raspodela

39

DEF: Za slučajnu promenljivu H kažemo da ima normalnu raspodelu ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom:

,,

2

1)(

2

2

2 xeb

xf b

ax

Slika 17. Normalana raspodela

Gde su a i b parametri modela, 0,, bba

• Oznaka baNX ;:

• f(x) je simetrična u odnosu na pravu: x=a , gde ima maksimum: 21

)(b

xf

• Očekivana vrednost (dobijena preko integrala): m = a

• Varijansa:

bb

axysmenadxeax

bmXE b

ax

2

2

2222

2

1

• Najčešća oznaka normalne raspodele

• Specijalno za: 1,0 2 m dobija se standardizovana normalna raspodela data

zakonom verovatnoća, tj. Gauss-ovom krivom:

2

2

2

1)(

x

exf

Vrednosti funkcije raspodele, f(x) za standardizovanu normalnu raspodelu date su u tabelama i označene sa F(h).

• 3,0 21 simetrična raspodela normalne spljoštenosti• Za određivanje verovatnoća da će se X naći u intervalu (x1, x2) koristimo tabele, odnosno funkciju raspodele standardizovane normalne raspodele:

40

mxmxdxexXxP

b

axysmenadxexXxP

mx

mx

x

x

x

mx

12221

221

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

1

6. Intervali poverenja

6.1. Osnovni koncept intervala poverenja

Kod nekih problema nije neophodno utvrditi jednu vrednost parametra, već neki interval u kome bi mogla da se nalazi prava vrednost tog parametra. Kad takav interval određujemo preko uzorka onda taj interval zovemo interval poverenja.

Iz uzorka oderićemo dve statistike takve

da je uvek . Ove dve statistike su slučajne promenljive koje određuju neki interval čije granice se menjaju sa promenom uzorka.

Označimo sa procenat uzoraka koje će sadržavati taj parametar, a sa procenat uzoraka koji neće sadržavati taj parametar, tj. neka je verovatnoća da interval

prekrije nepoznati parametar , a je verovatnoća da se to ne ostvari, tj.

gde predstavlja nivo poverenja, a interval poverenja.Ako iz iste populacije biramo više uzoraka, onda će procenat uzoraka koji sadrže parametar biti jednak nivou poverenja .Postupak određivanja intervala poverenja:(1) Određujemo funkciju uzorka i parametra , npr. sa sledećim osobinama:• je definisana za svaku vrednost , neprekidna je i monotono rastuća (opadajuća)• Raspodela funkcije ne zavisi od nepoznatog parametra . Neka je njen zakon verovatnoća .

41

(2) Za zadani nivo poverenja određujemo i takve da je . Ove

vrednosti su takve da je za svaku slučajnu promenljivu koja ima zakon verovatnoća verovatnoća da se nađe u intervalu jednaka , tj

(3) Rešavanjem nejednačina po parametru

dobiće se rešenje , tj. . Slučajni događaji

i su događaji sa jednakom verovatnoćom.

(4) Pošto statistika ima zakon verovatnoća dat funkcijom , onda će verovatnoća događaja biti jednaka nivou poverenja . Zato i

tvrdimo da je , tako da je interval poverenja sa

zadatim nivoom interval: Dužina intervala poverenja zavisi od nivoa poverenja ( ). Obe situacije su nepoželjne pa se u praski unapred odredi nivo poverenja (najčešće 95% ili 99% interval poverenja).

6.2. Intervali poverenja za matematičko očekivanje

Neka je očekivana vrednost populacije m nepoznata. Prvo ćemo odrediti interval poverenja za ovaj parametar kada populacija ima normalnu raspodelu.

Neka je uzorak iz takve populacije. Tada je sredina uzorka i ima

normalnu raspodelu sa parametrima . Statistika ima

standardizovanu normalnu raspodelu sa zakonom verovatnoća . Prema

tome, za funkciju možemo uzeti baš statistiku z , međutim ona zavisi i od varijanse populacije , zato ćemo posmatrati dva slučaja: (1) Neka je varijansa populacije poznata. Iz zakona verovatnoća statistike z odredićemo interval sa granicama tako da je . Koristeći

tablice za funkciju normalne raspodele, odredićemo tako da je , tj.

. U sledećem koraku rešavamo nejednačine ,

odakle dobijamo rešenje . Možemo sa verovatnoćom tvrditi da

42

će se realizovati događaj, a sa verovatnoćom da se neće realizovati zato je interval poverenja za m :

(2) Neka je varijansa populacije nepoznata. Sada ne možemo koristiti statistiku

z , jer njene vrednosti zavise od . U ovom slučaj koristimo statistiku

koja ima Studentovu raspodelu sa stepeni slobode, pri tome je varijansa uzorka

. Iz tablice za Studentovu raspodelu odredićemo tako da je

. Rešavanjem nejednačina

i dobijaju se rešenja:

za koje tvrdimo da je:

.Interval poverenja za m u ovom slučaju je interval sa granicom:

Potrebno je još odrediti interval poverenja za kada populacija nema normalnu raspodelu, koristimo se centralnom graničnom teoremom iz koje se može zaključiti da će statistika

imati približno normalnu raspodelu; za dovoljno veliki uzorak interval

poverenja biće interval sa granicom gde je određeno iz

.

Za zadati nivo poverenja, dužina intervala poverenja za očekivanu vrednost obrnuto je proporcionalna veličini uzorka. Zato se sa povećanjem uzorka može doći do intervala poverenja sa željenim uzorkom.

43

7. Parametarski testovi

7.1. Testiranje hipoteze

Na osnovu rezultata merenja u n bacanja, hipotezu ćemo prihvatiti ili odbaciti. Sama hipoteza odnosiće se na proporciju, rezultati merenja će biti rezultati uzorka, a postupak za proveru hipoteze na osnovu uzorka ćemo zvati testiranje hipoteze (postupak za odluku da li podaci u uzorku idu u prilog hipotezi ili ne).

Hipoteze se mogu odnositi na određene parametre populacije, takve hipoteze su parametarske, a postupak testiranja takvih hipoteza je parametarski test,Hipoteza se može odnositi samo na jednu moguću vrednost parametra ili na samo jednu tačno određenu raspodelu – takva hipoteza se zove prosta hipoteza. U drugim, multiplikovanim slučajevima u pitanju je složena hipoteza.

Ako, na bilo koji način, odluku o prihvatanju ili odbacivanju hipoteze donosimo na osnovu statističkih podataka, moguće su greške dva tipa:

• Greška prvog tipa je greška kada hipotezu odbacimo, a ona je tačna• Greška drugog tipa je greška kada hipotezu prihvatimo, a ona nije tačna

Glavni postupak pri testiranju hipoteze: posmatara se skup mogućih vrednosti u uzorku. Neka je to skup (tačke u n-dimenzionalnom prostoru) koji odgovara uzorku obima n . Skup podelimo na dva dela: podskup C (kritična oblast) i poskup .Odluku o odbacivanju donosimo ako rezultati uzorka upadnu u oblast C , tj. u kritičnu oblast. Ako rezultati uzorka upadnu u drugu oblast , hipotezu ne odbacujemo, tj. prihvatamo da je tačna. Kada je hipoteza tačna rezultati u uzorku mogu upasti u C ili ne upasti u nju. U prvom slučaju mi ćemo doneti pogrešne zaključke. Označimo sa verovatnoću da se to

desi, tj: pri čemu su elementi uzorka.

Nećemo pogrešiti ako rezultati upadnu u , a verovatnoća tačnosti tog zaključka je:

44

U ovom slučaju pogrešan zaključak je greška I vrste, a je njena verovatnoća i naziva se nivo značajnosti.Sa druge strane, kada nije tačna, onačimo to sa , rezultati uzorka mogu biti u C . Tada ćemo na osnovu opšteg kriterijuma doneti ispravan zaključak (tj. odbacićemo ). Ako rezultati uzorka upadnu u , donećemo pogrešan zaključak (jer ćemo prihvatiti

). Verovatnoću ovog pogrešnog zaključka označimo sa . To će biti verovatnoća:

, a verovatnoća tačnog zaključka će biti:

Verovatnoća predstavlja verovatnoću greške II vrste, a je moć testa.

Zaključak

Istina = ne prihvatamo = prihvatamo= tačna= tačna

Pri ovom postupku, C utiče na verovatnoću istinitosti donešenih zaključaka (odluka), ako se menja C , menjaće se i verovatnoća grešaka I i II vrste.Cilj je da se, za unarped određenu verovatnoću greške I vrste, tj. za unapred određeni nivo značajnosti , izabere oblast C koja će dovesti do najmanje moguće greške II vrste

, tj. da se izabere ona oblast C za koju će moć testa biti najveća.

7.2. Parametarski testovi

Kada posmatramo obeležje X i njegovu raspodelu u populaciji, najčešće nas interesuje neki parametar njegove raspodele (prosečna vrednost, varijansa...). Obično raspolažemo nekim podacima kojima možemo formirati pretpostavke o parametru. Da bismo te pretpostavke proverili iz populacije ćemo uzeti uzorak veličine n i na osnovu vrednosti u uzorku doneti zaključak o tačnosti ili netačnosti pretpostavke.

Označićemo sa nepoznati parametar populacije, a sa elemente uzorka iz posmatrane populacije. Najprostiji slučaj bi bio kad znamo da može imati samo dve vrednosti i . Tada hipoteze formulišemo na sledeći način:

= nulta hipoteza

= alternativna hipoteza (obe su proste hipoteze)

45

Postupak testiranja :

(1) Određujemo statistiku definisanu na uzorku, tako da je njena

raspodela „koncentrisana“ oko vrednosti kad je tačna. Istovremeno bi trebala biti takva da je njena raspodela koncentrisana oko kada je hipoteza tačna. Ako je

zakon verovatnoća to će biti funkcija koja će zavisiti od vrednosti i .

(2) Moguće vrednosti statistike podeliti na dva dela izborom broja (kritična vrednost) koji će biti između i

(3) Kritičnu vrednost odrediti tako da je verovatnoća događaja pod uslovom da je jednaka pragu značajnosti

(4) Sa slike se vidi da ćemo izborom odrediti verovatnoću grešaka I i II vrste. Ako smanjimo grešku I vrste (povećanjem ) povećavamo grešku II vrste i obrnuto. Zato se

određuje tako da bude unapred određen broj.

(5) Odluka o prihvatanju ili odbavcivanju : kada iz uzorka vrednost

statistike bude manja od , usvajamo , u protivnom odbacujemo

.

Slika 18. Testiranje

U ovom slučaju od svih statistika treba izabrati onu koja će imati „najbolju koncentrisanost“ oko i . Pri tom, pod „najboljom koncentrisanošću“ treba podrazumevati: • Očekivana vrednost statistike je oko vrednosti (ili = ) kada je tačna, u protivnom je oko (ili = )• Od svih statistika koje ispunjavaju prvi uslov, izabrati onu sa najmanjom varijansomU praksi se najčešće posmatraju slučajevi kada je = prosta, a = složena.Postupak za testiranje u ovim uslovima je analogan prethodnom, s tim što se za izabere statistika čiji je zakon verovatnoća pa dalje ide kao u prethodnom slučaju. Često se određuje statistika oblika čije vrednosti zavise od , a zakon

verovatnoća će biti funkcija koja ne zavisi od . Za hipotezu

46

odredićemo iz zakona verovatnoća kritičnu oblast C kao interval, takav da je , a na osnovu očekivanih vrednosti statistiku , kad je tačna i kad nije

tačna. Dalji postupak je isti. Retko se razmatra opštiji slučaj kada je složena.

7.3. Proste i složene hipoteze

Hipoteza se može odnositi samo na jednu moguću vrednost parametra ili na samo jednu tačno određenu raspodelu – takva hipoteza se zove prosta hipoteza. U drugim, multiplikovanim slučajevima u pitanju je složena hipoteza.

8. Zaključak

47

Koncepcija Six Sigma je koncepcija neprekidnog usavršavanja. Podaci ispitivanja pokazuju da u slučaju kada nema formalnog programa kvaliteta, većina kompanija ne izlazi iz okvira 3 ili 4 sigma. Zato je prva etapa definisanje mesta kompanije u datoj klasifikaciji ,nakon čega nastaje kretanje ka savršenstvu. Prva i najočiglednija prednost metodologije Six Sigma je povećanje rentabilnosti i profita, za račun smanjenja direktnih troškova kvaliteta. Osim toga, podiže se nivo zadovoljstva korisnika. Smanjenjem broja defekata i skraćenjem proizvodnog ciklusa raste proizvodnost rada i obim finalnih proizvoda. Imajući u vidu iznete činjenice, koje su samo mali deo činjenica vezanih za kompleksnu problematiku Six Sigma, kao i ogroman broj kompanija koje koriste metodologiju Six Sigma, može se zaključiti da je Šest sigma idealna metodologija, jer je:

usmerena ka korisnicima i njihovoj satisfakciji, usmerena ka sniženju troškova kvaliteta i povećanju profita, bazirana na podacima i činjenicama pri donošenju odluka i moćna metodologija smanjenja grešaka (defekata) i rasipanja procesa.

9. Literatura

48

i. Lazić M., Šest sigma - fantazija, zabluda ili činjenica?, Zbornik radova ISBN: 86-80581- 77-1, Festival kvaliteta 2005., Kragujevac, 2005.

ii. Lazić M., Alati, metode i tehnike unapređenja kvaliteta, univerzitetski udžbenik, Mašinski fakultet, Kragujevac, 2006.

iii. Lazić M., Šest sigma - filozofija kvaliteta u 21. veku?, Zbornik radova ISBN 978-86- 86663-33-7, Festival kvaliteta 2009.- 36. Nacionalna konferencija o kvalitetu, Kragujevac, 2009.

iv. Bashaw, W. L. Mathematics for Statistics (New York: Wiley, 1969).

v. Lanzer, P. Video Review of Arithmetic (Hickville, NY: Video Aided Instruc- tion, 1999).

vi. Levine, D. The MBA Primer: Business Statistics (Cincinnati, OH: Southwest- ern Publishing, 2000).

vii. Levine, D. Video Review of Statistics (Hickville, NY: Video Aided Instruc- tion, 1989)

viii. Shane, H. Video Review of Elementary Algebra (Hickville, NY, 1996).

49