Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZITET U NIŠU
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET
DEPARTMAN ZA MATEMATIKU
PRIMENA POISSONOVE SLUČAJNE MERE U
TEORIJI NEŽIVOTNOG OSIGURANJA
MASTER RAD
MENTOR STUDENT
dr Marija Milošević Bojana Jovanović
NIŠ, OKTOBAR 2015.
2
Sadržaj
Uvod 3
1 Uvodni pojmovi i rezultati 5
2 Opšti Poissonov proces 12
2.1 Pojam tačkastog procesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Raspodela tačkastog procesa i Laplaceov funkcional . . . . . . . . . . . . 17
3 Osobine Poissonove slučajne mere 19
3.1 Poissonove slučajne mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Laplaceov funkcional i nenegativni Poissonovi integrali . . . . . . . . . . 28
3.3 Svojstva opštih Poissonovih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Konstrukcija Poissonovih slučajnih mera na osnovu datih mera istog tipa 38
4.1 Transformacija tačaka Poissonove slučajne mere . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Označavanje Poissonove slučajne mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Cramér-Lundbergov model i srodni modeli kao označene Poissonove
slučajne mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Superpozicija Poissonovih slučajnih mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Poissonove slučajne mere u teoriji kolektivnog rizika 53
5.1 Dekompozicija prema iznosu šteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Dekompozicija prema godini nastanka šteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Dekompozicija prema godini prijavljivanja šteta . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Efekti zavisnosti između kašnjenja u prijavljivanju šteta i iznosa šteta . 58
5.5 Efekti inflacije i kamate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Zaključak 62
Literatura 64
Biografija 65
3
Uvod
Tačkasti procesi predstavljaju specijalnu klasu slučajnih mera, zbog čega se mogu
razmatrati u mnogo širem kontekstu. Iako je pojam tačkastog procesa intuitivno
privlačan, on je beskonačno-dimenzionalne strukture i zbog toga je prilično složen.
Tačkasti procesi imaju široku primenu i to u teoriji ekstremnih vrednosti, teoriji
opsluživanja, statistici, stohastičkoj geometriji, između ostalog.
Filip Lundberg je 1903. godine, uveo Poissonov proces kao jednostavan model
prebrojavanja šteta u neživotnom osiguranju. To je bila prva primena Poissonovog
procesa u ovoj teoriji. U osiguranju su decenijama primenjivane metode koje su bazirane
na tačkastim procesima ali bez eksplicitnog naglašavanja, dok je u neživotnom
osiguranju Norberg propagirao njihovu primenu. Tačkasti procesi su takođe teorijska
osnova pristupa zasnovanog na primeni lanaca Markova u životnom osiguranju.
U ovom radu biće proučavan model kolektivnog rizika. Ključni pojam biće opšti
Poissonov proces ili Poissonova slučajna mera. Na primer, Cramér-Lundbergov model se
interpretira kao specijalan Poissonov proces. Ovaj opšti pristup omogućava da se
sagledaju jednostavne posledice opšte teorije, kao što su: svojstvo statistika poretka
Poissonovog procesa ili svojstvo nezavisnosti priraštaja složenog Poissonovog procesa.
Naravno, opšta teorija zahteva više napora da bi njena primena mogla biti uzeta u obzir,
a rezultat toga je transparentnost rezultata.
Poissonove slučajne mere su posebni tačkasti procesi za koje postoji bogata
teorija. Na početku, u Glavi 1, dat je kratak uvod o Poissonovom procesu i procesu
obnavljanja zbog njihovog praktičnog značaja u teoriji neživotnog osiguranja, ali i zbog
toga što predstavljaju osnovu za nastanak opštijih modela koji se razmatraju u ovom
radu. U Glavi 2 uveden je pojam tačkastih procesa i predstavljen način na koji se Cramér-
Lundbergov model i model obnavljanja mogu tumačiti u kontekstu tačkastih procesa.
Takođe, uveden je tačkasti proces prekoračenja koji ima značajnu ulogu u teoriji
ekstremnih vrednosti. U Glavi 3 prikazane su osnovne osobine i primeri Poissonove
slučajne mere. Definisani su Poissonovi integrali, tj. integrali u odnosu na Poissonovu
slučajnu meru koji predstavljaju jedan od centralnih pojmova u teoriji tačkastih procesa.
Takvi integrali će biti interpretirani kao broj šteta ili ukupan iznos šteta u proizvoljnom
4
periodu. U Glavi 4 prikazani su različiti principi za konstrukciju novog Poissonovog
procesa na osnovu datog. Kombinacija tehnika iz ove glave je osnova za analizu
tačkastog procesa modela kolektivnog rizika koja je data u Glavi 5.
Želela bih da se posebno zahvalim svom mentoru, dr Mariji Milošević, na
razumevanju, nesebičnoj pomoći i podršci prilikom izrade ovog master rada.
5
Glava 1
Uvodni pojmovi i rezultati
Lundbergov model je pogodan za opisivanje osnovnih osobina homogenog
portfolija neživotnog osiguranja. Pod tim pojmom se podrazumeva portfolio koji se
sastoji od polisa osiguranja koje se odnose na srodne rizične događaje ili čak na isti
događaj. Model podrazumeva sledeće pretpostavke:
Štete nad osiguranim predmetima nastaju u slučajnim trenucima 𝑇𝑖 , gde je
0 = 𝑇0 < 𝑇1 ≤ 𝑇2 ≤ …, pri čemu je 𝑇𝑖 trenutak nastanka 𝑖-te štete (dolazno vreme
𝑖-te štete).
Iznos štete koja je nastala u trenutku 𝑇𝑖 je 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, …. Pritom su 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, …,
nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom.
Nizovi 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 i 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 su uzajamno nezavisni.
U kontekstu neživotnog osiguranja procesi prebrojavanja imaju značajnu ulogu u
modeliranju broja šteta tokom vremena u okviru portfolija osiguranja.
Definicija 1.1 Slučajan proces 𝑁 = 𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 je proces prebrojavanja ako važi:
1) 𝑁 0 = 0 s.i.
2) 𝑁 𝑡 ∈ 0, 1, 2, … ,
3) za svako 𝑡 ≥ 0, > 0, 𝑁(𝑡) ≤ 𝑁(𝑡 + ) s.i.
U tom smislu, 𝑁(𝑡) se može shvatiti kao broj realizacija nekog slučajnog događaja do
trenutka t, zaključno sa njim, a 𝑇𝑖 kao trenutak kada se taj događaj realizovao 𝑖-ti put,
odnosno dolazno vreme 𝑖-tog događaja. Specijalno, ako niz 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 predstavlja
trenutke realizacije šteta, onda je N proces broja šteta.
Sledeća definicija se odnosi na reprezentaciju procesa prebrojavanja u terminima
dolaznih vremena 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 , ali će zbog predstojećeg razmatranja biti formulisana za
proces broja nastalih šteta.
6
Definicija 1.2 Proces broja nastalih šteta se definiše kao
𝑁 𝑡 = # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑇𝑖 ≤ 𝑡 , 𝑡 ≥ 0,
pri čemu su 𝑇𝑖 , 𝑖 = 1,2, …, dolazna vremena šteta.
Sa aspekta osiguravajuće kompanije od posebnog značaja je proces ukupne štete
određenog portfolija osiguranja.
Definicija 1.3 Proces ukupne štete 𝑆 = 𝑆(𝑡), 𝑡 ≥ 0 se definiše kao
1) 𝑆 0 = 0 s.i,
2) 𝑆(𝑡) = 𝑋𝑖𝑁 𝑡 𝑖=1 ,
pri čemu je 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz iznosa šteta, a 𝑁(𝑡) broj nastalih šteta u portfoliju neživotnog
osiguranja do trenutka t, zaključno sa njim.
Ovako definisan slučajan proces 𝑆(𝑡), 𝑡 ≥ 0 predstavlja ukupan iznos svih šteta u
portfoliju osiguranja do trenutka 𝑡, zaključno sa njim, za 𝑡 ≥ 0.
Tridesetih godina 20. veka Harald Cramér je razvio teoriju kolektivnog rizika
polazeći od pretpostavke da je proces ukupne štete S generisan iznosima šteta čija
dolazna vremena 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 određuju Poissonov proces.
U nastavku će za proizvoljnu realnu funkciju 𝑓 definisanu na [0,∞) biti korišćena
oznaka
𝑓(𝑠, 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑠 , 0 ≤ 𝑠 < 𝑡 < ∞.
Definicija 1.4 Slučajan proces 𝑁 = 𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 je nehomogen Poissonov proces ako
važe sledeći uslovi:
1) 𝑁 0 = 0 s.i,
2) za svako 𝑡𝑖 , 𝑖 = 0,1,2, …, pri čemu je 0 = 𝑡0 < 𝑡1 < … < 𝑡𝑛 , priraštaji N(𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖] su
uzajamno nezavisni,
3) postoji neopadajuća, neprekidna s desna funkcija 𝜇 : [0,∞) → [0,∞), pri čemu je
𝜇 0 = 0, tako da priraštaji N(s,t], 0 ≤ s < t < ∞ imaju Poissonovu raspodelu sa
parametrom 𝜇(𝑠, 𝑡 ,
4) sa verovatnoćom 1, trajektorije {N(t,ω), t ≥ 0, ω ∈ Ω} procesa N su neprekidne sa
desna za svako t ≥ 0 i imaju konačan limes s leva za svako t > 0.
Za slučajne procese koji imaju osobinu 4) kaže se da imaju cádlág trajektorije. Kako
𝑁(𝑠, 𝑡 ima Pois(𝜇(𝑠, 𝑡 ) raspodelu, to je 𝐸𝑁(𝑠, 𝑡 = 𝜇(𝑠, 𝑡 i zbog toga se funkcija 𝜇 naziva
funkcija srednje vrednosti procesa N.
Ako je M slučajna promenljiva sa Poissonovom raspodelom sa parametrom λ,
tada je 𝐸𝑀 = 𝜆 što znači da je dovoljno odrediti matematičko očekivanje slučajne
promenljive M da bi se odredila njena raspodela. U tom slučaju je raspodela verovatnoća
slučajne promenljive M data sa
𝑃 𝑀 = 𝑘 = 𝑒−𝜆𝜆𝑘
𝑘!, 𝑘 = 0,1,2, ….
7
Definicija 1.4 ukazuje na to da je dovoljno odrediti funkciju srednje vrednosti
Poissonovog procesa N da bi se odredila njegova raspodela. Iz Definicije 1.4 se može
zaključiti da priraštaji funkcije µ zapravo određuju raspodelu priraštaja procesa N.
Najpoznatiji Poissonov proces je onaj kod koga je funkcija srednje vrednosti
linearna tj. 𝜇 𝑡 = 𝜆𝑡, 𝑡 ≥ 0, 𝜆 > 0. Tada se radi o homogenom Poissonovom procesu.
Specijalno, ukoliko je 𝜆 = 1, tj. 𝜇 𝑡 = 𝑡, onda se radi o standardnom homogenom
Poissonovom procesu.
U opštem slučaju, nehomogeni Poissonov proces N ima funkciju intenziteta 𝜆(𝑡)
ako za svako 0 ≤ s < t < ∞ priraštaj 𝜇(𝑠, 𝑡 ima reprezentaciju
𝜇(𝑠, 𝑡 = 𝜆 𝑢 𝑑𝑢,
𝑡
𝑠
pri čemu se pretpostavlja da je 𝜆(𝑡) nenegativna, merljiva funkcija.
Ukoliko je N homogen Poissonov proces tada je
𝜇(𝑠 + , 𝑡 + = 𝜆 𝑡 + − 𝑠 − = 𝜆 𝑡 − 𝑠 = 𝜇(𝑠, 𝑡 , 0 ≤ 𝑠 < 𝑡 < ∞, > 0,
tj. priraštaji homogenog Poissonovog procesa su stacionarni.
Homogeni Poissonov proces sa intenzitetom (parametrom) 𝜆 ima sledeće
osobine:
1) 𝑁 0 = 0 s.i,
2) 𝑁(𝑠, 𝑡 ima Pois(𝜆(𝑡 − 𝑠)) raspodelu, 0 ≤ 𝑠 < 𝑡 < ∞,
3) ima nezavisne i stacionarne priraštaje,
4) ima cádlág trajektorije.
U kontekstu osiguranja, ako je proces broja šteta homogeni Poissonov proces to
znači da se, u proseku, štete javljaju uniformno tokom vremena. Međutim, ukoliko se
štete javljaju sa promenljivim intenzitetom 𝜆(𝑡) onda se primenjuje nehomogeni
Poissonov proces kao proces broja šteta. Prema tome, nehomogeni Poissonov proces je
adekvatniji model broja šteta u portfoliju neživotnog osiguranja, imajući u vidu da se u
praksi štete ne realizuju uniformno tokom vremena. Na primer, štete nad osiguranim
vozilima se češće realizuju u zimskom periodu u odnosu na ostatak godine.
Međutim, primena homogenog Poissonovog procesa u teoriji neživotnog
osiguranja olakšava izračunavanja i predstavlja osnovu za složenije modele.
Pod uslovom da je N homogeni Poissonov proces i 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz nezavisnih
slučajnih promenljivih sa istom raspodelom, proces 𝑆 = 𝑆(𝑡), 𝑡 ≥ 0 , koji je definisan na
sledeći način
𝑆 𝑡 = 𝑋𝑖 , 𝑡 ≥ 0,
𝑁 𝑡
𝑖=1
se naziva složeni Poissonov proces (složena Poissonova suma) zato što ima neke
osobine Poissonovog procesa. Naime, za proces 𝑆 = 𝑆(𝑡), 𝑡 ≥ 0 važi
1) 𝑆 0 = 0 s.i,
8
2) ima cádlág trajektorije,
3) ima nezavisne i stacionarne priraštaje,
4) u opštem slučaju, priraštaji nemaju Poissonovu raspodelu.
Pored toga, funkcija srednje vrednosti procesa S, na osnovu nezavisnosti nizova
𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 i 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 , je
𝐸𝑆 𝑡 = 𝐸 𝑋𝑖
𝑁 𝑡
𝑖=1
= 𝐸 𝐸 𝑋𝑖
𝑁 𝑡
𝑖=1
𝑁(𝑡)
= 𝐸 𝐸 𝑋𝑖 𝑁 𝑡
𝑁(𝑡)
𝑖=1
= 𝐸 𝐸𝑋𝑖
𝑁(𝑡)
𝑖=1
= 𝐸𝑋1𝐸𝑁 𝑡 . (1.1)
Primenom istih argumenata dobija se da je disperzija tog procesa
𝑣𝑎𝑟𝑆 𝑡 = 𝐸(𝑣𝑎𝑟 𝑆 𝑡 𝑁 𝑡 ) + 𝑣𝑎𝑟 𝐸 𝑆 𝑡 𝑁 𝑡
= 𝐸 𝑣𝑎𝑟 𝐸 𝑋𝑖
𝑁 𝑡
𝑖=1
𝑁(𝑡) + 𝑣𝑎𝑟 𝐸 𝑋𝑖
𝑁 𝑡
𝑖=1
𝑁(𝑡)
= 𝐸 𝑁 𝑡 𝑣𝑎𝑟𝑋1 + 𝑣𝑎𝑟 𝑁 𝑡 𝐸𝑋1
= 𝑣𝑎𝑟𝑋1𝐸𝑁 𝑡 + 𝐸𝑋1 2𝑣𝑎𝑟𝑁 𝑡
= 𝐸𝑁 𝑡 𝑣𝑎𝑟𝑋1 + 𝐸𝑋1 2 = 𝐸𝑁 𝑡 𝐸 𝑋1
2 . (1.2)
Neformalna diskusija o teoriji obnavljanja
Procesi obnavljanja se primenjuju kao modeli za prebrojavanje događaja koji se
realizuju u slučajnim vremenskim trenucima, pri čemu su njihova međudolazna
vremena aproksimativno nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom. U
kontekstu neživotnog osiguranja ti trenuci se mogu interpretirati kao dolazna vremena
šteta. Procesi obnavljanja imaju značajnu ulogu u primenama verovatnoće. Složeni
stohastički sistemi mogu biti opisani pomoću jednog ili više procesa obnavljanja. Na
primer, internet se može shvatiti kao superpozicija velikog broja ON/OFF procesa. Svaki
od ovih procesa odgovara jednom od ''izvora'' (kompjutera) koji komunicira sa drugim
izvorima. ON se odnosi na aktivan period izvora dok se OFF odnosi na period tišine.
ON/OFF periodi svakog izvora čine dva niza nezavisnih pozitivnih slučajnih
promenljivih sa istom raspodelom, koji definišu procese obnavljanja. Proces obnavljanja
je određen nizom obnavljanja koji registruje svaku promenu na pojavi koja se razmatra.
Na primer, to mogu biti vremena zamene tehničkog uređaja ili alata, sijalica lampi ili
9
goriva u nuklearnim elektranama. Na osnovu ovih elementarnih primena proces je dobio
naziv. Pored toga, procesi obnavljanja imaju značajnu primenu u teoriji neživotnog
osiguranja kao procesi koji registruju svaku nastalu štetu. Tada trenuci nastanka šteta
čine odgovarajući niz obnavljanja kojim je proces obnavljanja određen.
Zbog svoje praktične važnosti, procesi obnavljanja spadaju u najčešće proučavane
procese u teoriji verovatnoće.
Neka je 𝑊𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz nenegativnih slučajnih promenljivih koje su nezavisne i
imaju istu raspodelu i 𝑇𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niz definisan na sledeći način
𝑇𝑛 = 𝑊1 + … + 𝑊𝑛 , 𝑛 ≥ 1, 𝑇0 = 0 s.i.
Tada je 𝑇𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niz obnavljanja, a proces 𝑁 𝑡 = # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑇𝑖 ≤ 𝑡 , 𝑡 ≥ 0, proces
obnavljanja.
Teorema 1.1 (Teorema o homogenom Poissonovom procesu kao procesu obnavljanja)
(I) Slučajan proces 𝑁 = 𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 za koji važi 𝑁 𝑡 = # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑇𝑖 ≤ 𝑡 , 𝑡 ≥ 0, pri
čemu je 𝑇0 = 0 s.i. i 𝑇𝑛 = 𝑊1 + … + 𝑊𝑛 , 𝑛 ≥ 1, gde je 𝑊𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz nezavisnih
slučajnih promenljivih sa eksponencijalnom raspodelom sa parametrom 𝜆,
predstavlja homogen Poissonov proces sa parametrom 𝜆.
(II) Neka je 𝑁 = 𝑁 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 homogen Poissonov proces sa parametrom 𝜆 i neka su
0 = 𝑇0 < 𝑇1 ≤ 𝑇2 ≤ …, odgovarajuća dolazna vremena. Tada N ima
reprezentaciju 𝑁 𝑡 = # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑇𝑖 ≤ 𝑡 , 𝑡 ≥ 0, a niz 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 ima reprezentaciju
𝑇0 = 0 s.i. i 𝑇𝑛 = 𝑊1 + … + 𝑊𝑛 , 𝑛 ≥ 1, gde je 𝑊𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz nezavisnih slučajnih
promenljivih sa eksponencijalnom raspodelom sa parametrom 𝜆.
U kontekstu neživotnog osiguranja, slučajne promenljive 𝑊𝑖 , 𝑖 ≥ 1 predstavljaju
međudolazna vremena šteta.
Za slučajnu promenljivu sa eksponencijalnom raspodelom je karakteristično da
se ''velike vrednosti'' realizuju sa veoma malim verovatnoćama. Zbog toga ona nije
adekvatna za opisivanje međudolaznih vremena onih šteta koje se javljaju kao posledica
delovanja nekih pojava koje se javljaju veoma retko. Primer takvih pojava mogu biti
elementarne nepogode koje se javljaju relativno retko ali kao posledice imaju velike
materijalne štete koje osiguravajuća kompanija mora uzeti u obzir. Zbog toga je sa
aspekta osiguranja prirodno uopštenje Poissonovog procesa proces obnavljanja čija
međudolazna vremena imaju neki tip raspodele za koji je karakteristično da se velike
vrednosti realizuju sa velikim verovatnoćama. Pretpostavka da je broj šteta u portfoliju
osiguranja proces obnavljanja kao posledicu ima model koji više odgovara realnosti ali je
kompleksniji. Na taj način bi se izgubila mnoga pogodna svojstva koje imaju modeli koji
se baziraju na homogenom Poissonovom procesu. Pre svega, u opštem slučaju, ne bi bila
poznata raspodela za N(t), a samim tim ni EN(t) i 𝑣𝑎𝑟𝑁(𝑡). Međutim, homogeni
Poissonov proces i proces obnavljanja imaju ista neka asimptotska svojstva.
10
Reosiguranje
S obzirom na to da preuzimaju na sebe veliki rizik, osiguravajuće kompanije se
često i same osiguravaju. Dakle, reosiguranje je osiguranje osiguravajućih kompanija i
nastalo je iz njihove potrebe da redukuju rizik. U tom smislu, one često sklapaju ugovore
o udruživanju svog učešća, kako u premiji tako i u snošenju rizika od nastanka šteta.
Osnovni tipovi ugovora o reosiguranju su:
1) ugovori o reosiguranju ukupne štete ili neke verzije ukupne štete,
2) ugovori o reosiguranju ekstremno velikih šteta.
1.1) Proporcionalno reosiguranje
U ovom slučaju se reosigurava 𝑝% ukupnog iznosa šteta u određenom periodu.
Dakle, reosiguravač se obavezuje da će isplatiti sumu 𝑅𝑝 𝑡 = 𝑝𝑆 𝑡 , bez obzira na
iznose pojedinačnih šteta. Ovakav tip ugovora se najčešće javlja u kontekstu šteta
prosečnih iznosa.
1.2) Stop-loss osiguranje
U ovom slučaju reosiguravač pokriva razliku između iznosa ukupne štete i neke
unapred zadate granice K. Dakle, osiguravajuća kompanija zadržava onaj deo rizika koji
podrazumeva naknadu šteta do nivoa K, a ostatak prenosi na reosiguravača.
Reosiguravač isplaćuje sumu
𝑅𝑆𝐿 𝑡 = (𝑆 𝑡 − 𝐾)+ = 0, 𝑆 𝑡 ≤ 𝐾,𝑆 𝑡 − 𝐾, 𝑆 𝑡 > 𝐾.
1.3) Excess-of-loss osiguranje
Kod ovog tipa osiguranja, reosiguravač isplaćuje, za svaku štetu, razliku između
njenog iznosa 𝑋𝑖 i neke granice D, ukoliko 𝑋𝑖 premašuje D. Suma koju isplaćuje
reosiguravač je
𝑅𝐸𝐿 𝑡 = (𝑋𝑖 − 𝐷)+
𝑁(𝑡)
𝑖=0
.
U praksi se često susreću kompanije reosiguranja koje prihvataju naknadu šteta čiji su
iznosi u intervalu oblika (D1,D2]. U tom smislu se i reosiguravači reosiguravaju, tj.
sklapaju ugovor o prihvatanju šteta čiji iznos premašuje D1, a na drugoj strani se
osiguravaju kod druge kompanije koja se obavezuje da će prihvatiti štete čiji je iznos
veći od D2.
2) Reosiguranje najvećih šteta se odnosi na slučaj kada se u trenutku 𝑡 = 0, prilikom
sklapanja ugovora, reosiguravajuća kompanija obavezuje da će pokriti k najvećih šteta u
intervalu [0,t]. Dakle, ona isplaćuje iznos
𝑅 𝑡 = 𝑋 𝑁 𝑡 −𝑖+1 ,
𝑘
𝑖=1
11
pri čemu je 𝑋(𝑁 𝑡 −𝑖+1) statistika poretka reda N(t)−𝑖+1 uzorka (X1, X2, . . . , XN(t)).
U nastavku će biti navedene teoreme o monotonoj i dominantnoj konvergenciji
koje će se eksplicitno primenjivati u dokazima tvrđenja.
U tom smislu neka je (Ω, ℱ, 𝜇) merljiv prostor, pri čemu je 𝜇 konačna mera.
Merljiva funkcija 𝑓 na tom prostoru je integrabilna ako je
𝑓 𝑑𝜇
Ω
< ∞.
Teorema 1.2 (Teorema o monotonoj konvergenciji) Neka je 𝑓𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niz nenegativnih,
merljivih, integrabilnih funkcija na (𝛺, ℱ, 𝜇), pri čemu je 𝑓𝑛 ≤ 𝑓𝑛+1 𝜇.s.s, za svako 𝑛 ≥
1. Ako je 𝑓 nenegativna, merljiva funkcija, takva da je 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑓𝑛 = 𝑓, 𝜇.s.s, tada je funkcija
𝑓 integrabilna i
lim𝑛→∞
𝑓𝑛 𝑑𝜇 = 𝑓 𝑑𝜇.
Ω
Ω
Teorema 1.3 (Teorema o dominantnoj konvergenciji) Neka je 𝑓𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niz integrabilnih
funkcija na merljivom prostoru (𝛺, ℱ, 𝜇), pri čemu je
lim𝑛→∞
𝑓𝑛 = 𝑓 𝜇. 𝑠. 𝑠.
Ako postoji nenegativna, integrabilna funkcija 𝑔, takva da je 𝑓𝑛 ≤ 𝑔, za svako 𝑛 ≥ 1, tada
je 𝑓 ≤ 𝑔 i
lim𝑛→∞
𝑓𝑛 𝑑𝜇 = 𝑓 𝑑𝜇.
Ω
Ω
12
Glava 2
Opšti Poissonov proces
Poissonov proces se primenjuje kao model prebrojavanja šteta u neživotnom
osiguranju tokom vremena. Prirodno se postavlja pitanje: „Kako modelirati broj šteta,
čiji se iznosi nalaze u određenim granicama, tokom vremena?“
Osnovna ideja za rešenje ovog problema je uopštiti Poissonov proces tako da on
prebrojava događaje koji zavise od više faktora, odnosno ne samo prema vremenu
njihove realizacije već u skladu sa nekim dodatnim uslovima. Na taj način se dobija opšti
Poissonov proces ili Poissonova slučajna mera.
Potreba za uvođenjem takvog procesa se javlja, na primer, u excess-of-loss
reosiguranju. Tada je za reosiguravača od značaja modeliranje broja šteta koje
premašuju unapred zadati nivo. Pored toga, za svaku osiguravajuću kompaniju je od
značaja modeliranje broja šteta čiji se iznosi nalaze u određenim granicama jer na taj
način stiče detaljniji uvid u strukturu svog portfolija. Određivanje premije osiguranja,
kao centralni zadatak osiguravajuće kompanije, postaje adekvatnije s obzirom na
dodatne informacije koje pruža takav pristup.
2.1 Pojam tačkastog procesa
U samom centru interesovanja u ovom poglavlju biće pitanja: Šta je tačkasti
proces, kako se može opisati njegova raspodela i koji su jednostavniji primeri takvih
procesa?
Neka je (Ω,ℱ,P) prostor verovatnoće i 𝑋𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niz slučajnih vektora definisan
na tom prostoru, sa skupom stanja E, tj. 𝑋𝑛 : Ω→ E, 𝑛 ≥1, pri čemu je E ⊂ 𝑅d Borelov skup.
Dakle, E ∈ Ɛ, gde je Ɛ Borelova σ-algebra nad skupom E.
Za 𝐴 ⊂ 𝐸, neka je
𝑁 𝐴 = # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑋𝑖 ∈ 𝐴 ,
13
tj. N A je broj slučajnih vektora 𝑋𝑖 sa vrednostima u skupu A. Tada je N(A) = N(A,ω ,
ω∈Ω slučajna promenljiva za fiksirani skup A, dok je N(·,ω mera prebrojavanja za
fiksirano ω∈Ω.
Tačkasti proces se može predstaviti pomoću Dirakove mere 𝜀𝑥 za 𝑥 ∈ E, pri čemu
je, za A ∈ Ɛ,
𝜀𝑥 𝐴 = 𝐼𝐴(𝑥) = 1, 𝑎𝑘𝑜 𝑗𝑒 𝑥 ∈ 𝐴,0, 𝑎𝑘𝑜 𝑗𝑒 𝑥 ∉ 𝐴,
A∈Ɛ.
Za dati niz 𝑥𝑖 , 𝑖 ≥ 1 ⊂ E,
𝑚 𝐴 = 𝜀𝑥𝑖 𝐴
∞
𝑖=1
= # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑥𝑖 ∈ 𝐴 , 𝐴 ∈ Ɛ,
prestavlja meru prebrojavanja na Ɛ. Ona se naziva tačkasta mera ukoliko je 𝑚(K) < ∞ za svaki kompaktan skup K ⊂ E. To znači da nijedan kompaktan skup K ne sme sadržati beskonačno mnogo tačaka 𝑥𝑖 .
Neka je Mp(E) prostor svih tačkastih mera na E i ℳ𝑝(E) najmanja σ-algebra koja
sadrži sve skupove oblika
{𝑚 ∈ 𝑀𝑝 𝐸 : 𝑚(𝐴) ∈ 𝐵}, (2.1)
za svako A ∈ Ɛ i svaki Borelov skup B⊂[0,∞], tj. ℳ𝑝(E) je najmanja σ-algebra u odnosu
na koju je preslikavanje 𝑚 → 𝑚(A) merljivo za svaki skup A ∈ Ɛ.
Definicija 2.1 (Definicija tačkastog procesa) Tačkasti proces N na skupu E je merljivo preslikavanje prostora (Ω,ℱ) u prostor (Mp(E), ℳ𝑝(E)).
Drugim rečima, tačkasti proces N je slučajna funkcija čije su vrednosti tačkaste mere, odnosno, za svako ω ∈ Ω vrednost 𝑚(·) = N(·,ω) je tačkasta mera. Specijalno, za kompaktne skupove K ⊂ E, važi da je N(K) < ∞. U kontekstu mera prebrojavanja prirodno je da N(A) može uzeti i vrednost ∞ ako A nije kompaktan skup.
.
. . .
. . . . . . 𝐴 .
. . . . 𝑋𝑖(𝜔) . .
. . . . . .
. . . .
Slika 2.1
14
Na Slici 2.1 su predstavljene vrednosti slučajnih promenljivih 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 u (0,∞)2. Broj indeksa 𝑖 za koje vrednosti 𝑋𝑖(ω) pripadaju skupu A, za fiksirano ω ∈ Ω, predstavlja promenljivu prebrojavanja N(A). U ovom slučaju je N(A,ω)=9.
Sledeći rezultat opravdava činjenicu da se tačkasti proces N može interpretirati
kao kolekcija (N(A))A∈Ɛ slučajnih promenljivih N(A) sa vrednostima u {0, 1, . . . ,∞}. Lema 2.1 (Tačkasti proces kao kolekcija slučajnih promenljivih prebrojavanja) Preslikavanje N prostora (Ω,ℱ) u (Mp(E), ℳ𝑝(E)) je tačkasti proces na E ako i samo ako je,
za svako A ∈ Ɛ, N(A) slučajna promenljiva sa vrednostima u {0, 1, . . . ,∞}, takva da je N(A)<∞ za svaki kompaktan skup A ⊂ E. Dokaz: Neka je N tačkasti proces na E. Na osnovu Definicije 2.1 tačkastog procesa, preslikavanje ω → N(·,ω) iz (Ω,ℱ) u (Mp(E), ℳ𝑝(E)) je merljivo. Sa druge strane, za dati
Borelov skup A ∈ Ɛ preslikavanje 𝑓𝐴 : 𝑚 → 𝑚(A) iz (Mp(E), ℳ𝑝(E)) u ([0,∞],ℬ([0,∞])) je
merljivo. Ovo sledi iz činjenice da je σ-algebra ℳ𝑝(E) generisana skupovima iz (2.1).
Tada je kompozicija tih preslikavanja 𝑁(𝐴, 𝜔) = 𝑓𝐴(𝑁 ∙, 𝜔 ) takodje merljivo preslikavanje, tako da je N(A) slučajna promenljiva i, po definiciji tačkastog procesa, N(A)<∞ za kompaktan skup A.
Dokaz drugog smera ovog tvrđenja neće biti naveden zbog složenosti, a može se naći u [1] (videti Propoziciju 3.1).⟡
Tačkasti procesi se mogu predstaviti u obliku 𝑁 = 𝜀𝑋𝑖
∞𝑖=1 , gde je 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz
d-dimenzionalnih slučajnih vektora, tako da, sa verovatnoćom 1, svaki ograničen Borelov skup B ∈ Ɛ sadrži samo konačno mnogo tačaka 𝑋𝑖 . Tada je, za skoro svako ω ∈ Ω, sa
𝑁 𝐴, ω = 𝜀𝑋𝑖 ω 𝐴 ,
∞
𝑖=1
gde je A ∈ Ɛ, definisana tačkasta mera na Ɛ. Neka je 𝑚 = 𝜀𝑥𝑖
∞𝑖=1 tačkasta mera na E i 𝑦𝑖 , 𝑖 ≥ 1 podniz niza 𝑥𝑖 , 𝑖 ≥ 1 koji
sadrži sve međusobno različite vrednosti 𝑥𝑖 (bez ponavljanja). Višestrukost vrednosti 𝑦𝑖
se definiše kao 𝑛𝑖 = # 𝑗 ≥ 0 ∶ 𝑦𝑖 = 𝑥𝑗 . Tada se 𝑚 može predstavti kao 𝑚 = 𝑛𝑖𝜀𝑦𝑖
∞𝑖=1 .
Ako je 𝑛𝑖 = 1 za svako 𝑖, tada se 𝑚 naziva jednostavna tačkasta mera. Analogno, ako su realizacije tačkastog procesa N jednostavne tačkaste mere sa verovatnoćom 1, tada je N jednostavan tačkasti proces. Alternativno, tačkasti proces N sa reprezentacijom 𝑁 = 𝜀𝑋𝑖
∞𝑖=1 , gde je 𝑋𝑖 niz slučajnih vektora sa skupom stanja E, je jednostavan tačkasti
proces ako su sve tačke 𝑋𝑖 , 𝑖 =1,2, . . . , različite sa verovatnoćom 1.
Primer 2.1 (Proces obnavljanja kao jednostavan tačkasti proces) Neka je 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz obnavljanja sa nezavisnim, pozitivnim koracima 𝑌𝑖 koji imaju istu raspodelu, tj.
T0 = 0 , 𝑇𝑖 = Y1 + Y2 + . . . + 𝑌𝑖 , 𝑖≥ 1. (2.2)
Na osnovu strogog zakona velikih brojeva, 𝑇𝑖 ↑ ∞ s.i. kada 𝑖 → ∞ i zbog toga realizacije 𝑇𝑖(𝜔), 𝑖 ≥ 1 nemaju konačne granične vrednosti, sa verovatnoćom 1. Zbog toga je slučajna promenljiva
15
𝑁(𝐴) = 𝜀𝑇𝑖 𝐴 = #
∞
𝑖=1
𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑇𝑖 ∈ 𝐴
konačna s.i. za svaki ograničeni Borelov skup A ⊂ E = (0,∞). Kako je 𝑌𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1 > 0 s.i, za svako 𝑖≥1, odnosno 𝑇𝑖 ≠ 𝑇𝑖−1 sa verovatnoćom 1, N je jednostavan tačkasti proces. Primer 2.2 (Matematički model obnavljanja u neživotnom osiguranju kao jednostavan tačkasti proces) U skladu sa matematičkim modelom obnavljanja koji je predstavljen u Glavi 1, dolazna vremena šteta su predstavljena nizom obnavljanja {𝑇𝑖 , 𝑖≥1}. U trenutku 𝑇𝑖 dešava se šteta u iznosu 𝑋𝑖 . Kako je 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz nezavisnih pozitivnih slučajnih promenljivih sa istom raspodelom, nezavisnih od niza 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 , sledeće slučajne promenljive definišu tačkasti proces na E = (0,∞)2:
𝑁 𝐴 = 𝜀(𝑇𝑖 ,𝑋𝑖) 𝐴 = #
∞
𝑖=1
𝑖 ≥ 1 ∶ (𝑇𝑖 , 𝑋𝑖) ∈ 𝐴 .
Na osnovu istog argumenta kao u Primeru 2.1, sa verovatnoćom 1, svaki ograničen skup A⊂E sadrži samo konačno mnogo tačaka (𝑇𝑖 , 𝑋𝑖) čije su vremenske komponente 𝑇𝑖 međusobno različite. Dakle, N je jednostavan tačkasti proces.
Primer 2.3 (Tačkasti proces prekoračenja) Neka je 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz slučajnih promenljivih i 𝑢𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niz realnih brojeva. Tačkasti proces prekoračenja koji odgovara granici 𝑢𝑛 je dat sa
𝑁𝑛 ∙ = 𝜀𝑛−1𝑖(∙)𝐼 𝑋𝑖>𝑢𝑛 }
𝑛
𝑖=1
.
Neka je E=(0,1] skup na kome su definisani tačkasti procesi 𝑁𝑛 , 𝑛 =1,2, . . . . Pritom 𝑁𝑛 predstavlja broj članova niza X1,X2, . . . ,𝑋𝑛 koji prekoračuju granicu 𝑢𝑛 . Na primer,
𝑁𝑛(0, 1] = #{𝑖 ∶ 0 < 𝑛−1𝑖 ≤ 1, 𝑋𝑖 > 𝑢𝑛} = #{𝑖 ≤ 𝑛 ∶ 𝑋𝑖 > 𝑢𝑛}.
Kako postoji samo konačno mnogo različitih tačaka 𝑛−1𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝑁𝑛 je jednostavan tačkasti proces.
Odmah se primećuje bliska veza sa teorijom ekstremnih vrednosti. Na primer, neka 𝑋(𝑛−𝑘+1) označava k-tu najveću statistiku poretka uzorka X1, X2, . . . ,𝑋𝑛 .
Tada je {𝑁𝑛(0, 1] = 0} = {#{ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑋𝑖 > 𝑢𝑛} = 0} = {max (X1, . . . , 𝑋𝑛) ≤ 𝑢𝑛} ,
{𝑁𝑛(0, 1] < k} = {#{ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑋𝑖 > 𝑢𝑛} < k} = {𝑋(𝑛−𝑘+1) ≤ 𝑢𝑛},
a slučajni događaji ovog oblika su u osnovi razmatranja u okviru teorije ekstremnih vrednosti.
Primer 2.4 (Složen tačkasti proces) Neka je F neprekidna funkcija raspodele na 𝑅 koja je bijekcija i neka je 𝑌𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz
nezavisnih slučajnih promenljivih sa funkcijom raspodele 𝐹. Tada je niz 𝑋𝑖 =
max 𝑌𝑖−1, 𝑌𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , strogo stacionaran 1-zavisan, tj. susedni članovi 𝑋𝑖 i 𝑋𝑖+1 su
16
zavisni, a za 𝑘 ≥ 2, slučajne promenljive 𝑋𝑖 i 𝑋𝑖+𝑘 su nezavisne. Osim toga, slučajne
promenljive 𝑋𝑖 imaju istu funkciju raspodele
𝑃 𝑋𝑖 ≤ 𝑥 = 𝑃 𝑌𝑖−1 ≤ 𝑥, 𝑌𝑖 ≤ 𝑥 = 𝐹(𝑥) 2
= 𝐹 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ.
Za 𝑛 ≥ 2, biće razmatran tačkasti proces
𝑁𝑛 = 𝜀𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝜀𝑌𝑖
𝑛
𝑖=1
𝐼 𝑌𝑖≥𝑌𝑖−1 } + 𝜀𝑌𝑖−1
𝑛
𝑖=1
𝐼 𝑌𝑖<𝑌𝑖−1 }
= 𝜀𝑌0𝐼 𝑌1<𝑌0
} + 𝜀𝑌𝑖
𝑛
𝑖=1
𝐼 𝑌𝑖≥𝑌𝑖−1 } + 𝐼 𝑌𝑖<𝑌𝑖−1} + 𝜀𝑌𝑛
𝐼 𝑌𝑖≥𝑌𝑖−1 } ,
na skupu 𝐸 = 𝑅. To je pravi složeni tačkasti proces. Zaista, za 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1 i 𝑛 ≥ 2,
𝑃 𝑋𝑖 = 𝑋𝑖+1 = 𝑃 𝐼 𝑌𝑖≥𝑌𝑖−1 } + 𝐼 𝑌𝑖>𝑌𝑖+1
} = 2 = 𝑃 𝑌𝑖 ≥ 𝑌𝑖−1, 𝑌𝑖 > 𝑌𝑖+1
= 𝐸 𝑃 𝑌1 ≥ 𝑌0 𝑌1 𝑃 𝑌2 < 𝑌1 𝑌1
= E[(P(Y1 ≥ Y0 | Y1))2]. (2.2)
Najpre je potrebno uočiti da je 𝑃 𝑌1 ≥ 𝑌0 𝑌1 = 𝐹(𝑌1) i
𝑃 𝐹 𝑌1 ≤ 𝑥 = 0, 𝑥 < 0,
𝑃(𝐹 𝑌1 < 𝑥2), 𝑥 ≥ 0,
=
0, 𝑥 < 0,
𝑃 𝑌1 < 𝐹−1 𝑥2 , 𝑥 ∈ 0,1 ,
1, 𝑥 > 1,
=
0, 𝑥 < 0,
𝑑 𝐹(𝑡) ,𝐹−1(𝑥2)
−∞𝑥 ∈ 0,1 ,
1, 𝑥 > 1,
= 0, 𝑥 < 0, 𝑥, 𝑥 ∈ 0,1 ,1, 𝑥 > 1,
odakle sledi da 𝐹(𝑌1) ima uniformnu raspodelu na intervalu 0,1 .
Tada je E[(P(Y1 ≥ Y0 | Y1))2]= 𝐸 𝐹(𝑌1) = 𝑥2𝑑𝑥 = 1/31
0, odnosno, na osnovu (2.2) sledi
da verovatnoća da slučajne promenljive 𝑋𝑖 i 𝑋𝑖+1 budu jednake iznosi 1/3. Pored toga,
važi da je
𝐸(𝐼 𝑌𝑖≥𝑌𝑖−1 } + 𝐼 𝑌𝑖+1<𝑌𝑖
} ) = 𝐸 𝐸 𝐼 𝑌𝑖≥𝑌𝑖−1 } + 𝐼 𝑌𝑖+1<𝑌𝑖
} 𝑌𝑖
= 𝐸 𝑃 𝑌𝑖−1 ≤ 𝑌𝑖 𝑌𝑖 + 𝑃 𝑌𝑖+1 < 𝑌𝑖 𝑌𝑖
17
= 2𝐸 𝑃 𝑌0 ≤ 𝑌1 𝑌1
= 2𝐸 𝐹(Y1) = 1.
2.2 Raspodela tačkastog procesa i Laplaceov funkcional
U Poglavlju 2.1 je navedeno da su realizacije tačkastog procesa N tačkaste mere. Zbog
toga se raspodela procesa N definiše na odgovarajućim skupovima koji su elementi σ-
algebre nad skupom tačkastih mera, tj.
PN(A) = P(N ∈ A), A ∈ ℳp(E).
Na osnovu [2] (videti Propoziciju 6.2. III), raspodela za N je jedinstveno određena
familijom konačno-dimenzionalnih funkcija raspodele slučajnih vektora
𝑁(𝐴1), … , 𝑁(𝐴𝑚 ) , (2.3)
za svaki izbor ograničenih Borelovih skupova A1, . . . , 𝐴𝑚 ∈ Ɛ i 𝑚 ≥ 1. Kolekcija svih
ovakvih raspodela predstavlja konačno-dimenzionalne raspodele tačkastog procesa.
Mnogo lakše se mogu zamisliti konačno-dimenzionalne raspodele nego sama
raspodela PN. Zaista, (2.3) je slučajni vektor, čije su komponente slučajne promenljive sa
celobrojnim vrednostima, koji je u potpunosti određen verovatnoćama
𝑃 𝑁 𝐴1 = 𝑘1, … , 𝑁 𝐴𝑚 = 𝑘𝑚 , 𝑘𝑖 ∈ {0, 1, . . . ,∞}, 𝑖 = 1, … , 𝑚.
Iz teorije verovatnoća je poznato da je često umesto raspodele slučajne
promenljive pogodnije razmatrati neke druge karakteristike kao što su karakteristična
funkcija, Laplace-Stieltjesova transformacija, funkcija generatrisa momenata i slično.
Svaka od njih karakteriše raspodelu odgovarajuće slučajne promenljive. Sličan princip se
primenjuje i na tačkaste procese, o čemu će biti reči u nastavku.
Definicija 2.2 Laplaceov funkcional tačkastog procesa N je dat sa
𝜓𝑁 𝑔 = 𝐸𝑒− 𝑔 𝑑𝑁𝐸 = 𝑒− 𝑔𝐸 𝑑𝑚
𝑀𝑝 𝐸
𝑃𝑁 𝑑𝑚 , (2.4)
gde je 𝑔 proizvoljna nenegativna, ograničena, merljiva funkcija definisana na skupu E.
Matematičko očekivanje u (2.4) je uvek konačno, jer je podintegralna funkcija
ograničena jedinicom. Za 𝑔 ≥ 0, integrali 𝑔 𝑑𝑁𝐸
i 𝑔 𝑑𝑚𝐸
koji se pojavljuju u (2.4) su
dobro definisani Lebesgue-Stieltjesovi integrali. Za ilustraciju 𝑔 𝑑𝑁𝐸
pretpostavlja se
da N ima reprezentaciju 𝑁 = 𝜀𝑋𝑖
∞𝑖=1 , gde su 𝑋𝑖 slučajni vektori sa vrednostima u skupu
E, imajući u vidu da je sa verovatnoćom 1 svaka realizacija procesa N tačkasta mera na
σ-algebri Ɛ. Tada je
18
𝑔 𝑑𝑁𝐸
= 𝑔(𝑋𝑖)
∞
𝑖=1
.
Specijalno, 𝑑𝑁 = 𝐼𝐴𝐸𝑑𝑁
𝐴 =N(A).
Lema 2.2 Laplaceov funkcional 𝜓𝑁 tačkastog procesa N na jedinstven način određuje
raspodelu PN.
Dokaz: Neka su
𝑔𝑧 = 𝑧1𝐼𝐴1+ … + 𝑧𝑚 𝐼𝐴𝑚
, (2.5)
ograničene, nenegativne funkcije definisane na skupu E, gde je 𝑧𝑖 ≥ 0 i 𝐴𝑖∈ Ɛ, 𝑖 = 1, … , 𝑚.
Tada je
𝜓𝑁 𝑔𝑧 = 𝐸𝑒− 𝑔𝑧 𝑑𝑁𝐸
= 𝐸𝑒−𝑧1𝑁 𝐴1 + …+𝑧𝑚 𝑁 𝐴𝑚 , 𝑧1 ≥ 0, … , 𝑧𝑚 ≥ 0,
Laplace-Stieltjesova transformacija vektora 𝑁𝑚 = 𝑁(𝐴1), … , 𝑁(𝐴𝑚) T. Ova
transformacija na jedinstven način određuje raspodelu vektora 𝑁𝑚 , što je dokazano u
[3]. Otuda kolekcija 𝜓𝑁(𝑔𝑧), za 𝑧𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, određuje konačno-dimenzionalne
raspodele procesa N. Na osnovu diskusije u Poglavlju 2.1, konačno-dimenzionalne
raspodele procesa N određuju raspodelu PN tačkastog procesa N. ⟡
Osnovna motivacija za primenu Laplaceovih funkcionala proističe iz činjenice da
oni određuju raspodelu odgovarajućeg tačkastog procesa.
U samom dokazu Leme 2.2 uvedena je još jedna klasa nenegativnih, ograničenih
funkcija g čiji Laplaceov funkcional 𝜓𝑁(𝑔) određuje raspodelu tačkastog procesa N, a to
su jednostavne funkcije 𝑔 = 𝑔𝑧 iz (2.5).
19
Glava 3
Poissonove slučajne mere
Poissonovi procesi ili, ekvivalentno, Poissonove slučajne mere predstavljaju
jednu od najvažnijih klasa tačkastih procesa. Oni se javljaju na prirodan način, kao
granični procesi 'binomnih tačkastih procesa', odnosno, tačkastih procesa sa nezavisnim
tačkama. Ovo je slično Poissonovoj graničnoj teoremi, kod koje niz slučajnih
promenljivih sa binomnom raspodelom konvergira u raspodeli ka slučajnoj promenljivoj
sa Poissonovom raspodelom. Poissonovi procesi imaju zanimljivu zavisnost i svojstva
raspodele. Od tačaka Poissonovog procesa mogu se konstruisati bogatije strukture, kao
što su Lévijevi i beskonačno deljivi procesi. Tako konstruisani procesi nasleđuju neke
osobine Poissonovih procesa koje olakšavaju izračunavanja.
3.1 Osobine Poissonove slučajne mere
Kao i do sada, neka je E ⊂ Rd i Ɛ Borelova σ-algebra nad skupom E. U nastavku će od
značaja biti pojam Radonove mere na skupu E.
Mera µ na E je Radonova mera ako je konačna na kompaktnim skupovima A ∈ Ɛ.
Definicija 3.1 (Poissonova slučajna mera (PSM)) Neka je µ Radonova mera na E. Tačkasti
proces N se naziva Poissonov proces ili Poissonova slučajna mera sa srednjom merom µ (u
oznaci PSM(µ)) ako su zadovoljena sledeća dva uslova:
(1) za A ∈ Ɛ, N(A) ima Poissonovu raspodelu sa parametrom μ(A),
(2) za sve disjunktne skupove A1, . . . , 𝐴𝑚 ∈ Ɛ, pri čemu je 𝑚 ≥ 1, slučajne
promenljive 𝑁(𝐴1), … , 𝑁(𝐴𝑚 ) su međusobno nezavisne.
Za skupove A za koje važi 𝜇 𝐴 = 𝑠 ∈ 0, ∞ , biće korišćena konvencija da je
𝑁 𝐴 = 𝑠, s.i, slučajna promenljiva sa Poissonovom raspodelom. To je u saglasnosti sa
20
relacijom 𝑌𝜆
𝑟→ 𝑠 kada 𝜆 → s, gde je 𝑌𝜆 slučajna promenljiva sa Poissonovom raspodelom
sa parametrom 𝜆 i s ∈ {0,∞}.
Naziv srednja mera procesa N je opravdan činjenicom da je 𝐸𝑁 𝐴 = 𝜇(𝐴) za
svako A ∈ Ɛ. To sledi iz definicije PSM prema kojoj srednja mera 𝜇 određuje raspodelu
procesa N što je slično činjenici da je Poissonova raspodela određena svojom srednjom
vrednošću.
Radonovo svojstvo srednje mere µ garantuje da, za svaki kompaktan skup K ∈ Ɛ,
važi da je 𝐸𝑁 𝐾 = 𝜇 𝐾 < ∞, odakle sledi da je 𝑁 𝐾 < ∞ s.i, što je u skladu sa
definicijom tačkastog procesa.
Propozicija 3.1 Svaka PSM N sa konačnom srednjom merom μ, za koju je 𝜇 𝐸 < ∞,
može se predstaviti u obliku
𝑁 𝐴 = 𝐼𝐴(𝑋𝑖)
𝜏
𝑖=1
,
pri čemu je A ∈ Ɛ 𝑖 {𝑋𝑖 , 𝑖≥1} niz nezavisnih slučajnih vektora sa skupom stanja E koji je
nezavisan od slučajne promenljive τ sa Pois(𝜇 𝐸 ) raspodelom i slučajni vektori 𝑋𝑖 imaju
istu raspodelu datu sa
𝑃 𝑋1 ∈ 𝐴 =μ(A)
μ(E), 𝐴 ∈ Ɛ.
Dokaz: U dokazu ovog tvrđenja će biti primenjen metod karakterističnih funkcija.
Karakteristična funkcija slučajne promenljive N(A) je
𝑓𝑁 𝐴 𝑡 = 𝐸𝑒𝑖𝑡 𝐼𝐴 (𝑋𝑘)𝜏𝑘=1 = 𝐸 𝐸 𝑒𝑖𝑡 𝐼𝐴 (𝑋𝑘)𝜏
𝑘=1 𝜏
= 𝐸 𝑓𝐼𝐴 𝑋1 (𝑡) 𝜏 , 𝑡 ∈ 𝑅.
Sa druge strane je
𝑓𝐼𝐴 𝑋1 𝑡 = 𝐸𝑒𝑖𝑡 𝐼𝐴 (𝑋1) = 𝑒𝑖𝑡0𝑃 𝑋1 ∉ 𝐴 + 𝑒𝑖𝑡1𝑃(𝑋1 ∈ 𝐴)
= 1 −𝜇(𝐴)
𝜇(𝐸)+ 𝑒𝑖𝑡
𝜇(𝐴)
𝜇(𝐸)
= 1 + (𝑒𝑖𝑡 − 1)𝜇(𝐴)
𝜇(𝐸), 𝑡 ∈ 𝑅.
Prema tome,
𝑓𝑁 𝐴 𝑡 = 𝑓𝐼𝐴 𝑋1 𝑡 𝑘
𝑒−𝜇(𝐸) 𝜇(𝐸) 𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
21
= 𝑒−𝜇(𝐸)𝑒𝜇 𝐸 𝑓𝐼𝐴 (𝑋1)(𝑡)
= 𝑒−𝜇(𝐴) 𝑒𝑖𝑡 − 1 ,
što je oblik karakteristične funkcije slučajne promenljive sa Poissonovom raspodelom.
Dakle, N(A) ima Pois 𝜇(𝐴) raspodelu.
Neka su 𝐴1 , … , 𝐴𝑚 ∈ Ɛ disjunktni skupovi. Tada je karakteristična funkcija
vektora 𝑁(𝐴1), … , 𝑁(𝐴𝑚) , za 𝑡1, . . . , 𝑡𝑚 ∈ 𝑅,
𝑓 𝑁(𝐴1),…,𝑁(𝐴𝑚 ) 𝑡1, . . . , 𝑡𝑚 = 𝐸𝑒𝑖 𝑡𝑘𝑁(𝐴𝑘)𝑚𝑘=1 ,
pri čemu je
𝑁 𝐴𝑘 = 𝐼𝐴 𝑋𝑗(𝑘)
𝜏𝑘
𝑗=1
,
i 𝜏𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑚, su nezavisne slučajne promenljive sa Pois 𝜇(𝐸) raspodelom, koje ne
zavise od nizova 𝑋𝑗(𝑘)
, 𝑗 ≥ 1 , 𝑘 = 1, … , 𝑚, nezavisnih slučajnih promenljivih sa istom
raspodelom
𝑃 𝑋𝑗(𝑘)
∈ 𝐴𝑘 =𝜇(𝐴𝑘)
𝜇(𝐸).
Pored toga, za različite vrednosti 𝑘 = 1, … , 𝑚, nizovi 𝑋𝑗(𝑘)
, 𝑗 ≥ 1 su uzajamno
nezavisni, tako da su sume
𝐼𝐴 𝑋𝑗(𝑘)
𝜏𝑘
𝑗 =1
, 𝑘 = 1, … , 𝑚
uzajamno nezavisne. Zbog toga je
𝑓 𝑁(𝐴1),…,𝑁(𝐴𝑚 ) 𝑡1, . . . , 𝑡𝑚 = 𝐸𝑒𝑖 𝑡𝑘 𝐼𝐴𝑘
𝑋𝑗(𝑘)
𝜏𝑘𝑗 =1
𝑚𝑘=1
= 𝐸𝑒𝑖𝑡𝑘 𝐼𝐴𝑘
𝑋𝑗(𝑘)
𝜏𝑘𝑗 =1
𝑚
𝑘=1
= 𝑓𝑁 𝐴𝑘 𝑡𝑘 .
𝑚
𝑘=1
Dakle,
𝑁 𝐴 = 𝐼𝐴(𝑋𝑖)
𝜏
𝑖=1
zaista određuje Poissonovu slučajnu meru u smislu Definicije 3.1. ⟡
22
Primer 3.1 (Homogena PSM)
Neka je dat proces N koji je PSM(λ Leb) na skupu E = [0,∞) za neko λ > 0, gde Leb
označava Lebesgueovu meru na E. Sa 𝑁 𝑡 = 𝑁 0, 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 je definisan stohastički
proces koji ima stacionarne priraštaje budući da za svako 0 < 𝑎 < 𝑏 < ∞ i > 0, važi da
𝑁(𝑎 + , 𝑏 + ∼ Pois(𝜆(𝑏 − 𝑎)). Štaviše, za 0 = 𝑡0 < 𝑡1 < ∙ ∙ ∙ < 𝑡𝑚 < ∞ skupovi
(𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚 su disjunktni, odakle sledi da su priraštaji N(𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚
međusobno nezavisni. Kako je 𝐸𝑁 0 = 𝐸𝑁 0 = 𝜆 0 = 0, gde je |A| = Leb(A) za
svaki Borelov skup A, to je N(0)=0 s.i. Tada, sa izuzetkom cádlág osobine trajektorija,
proces (N(t))t≥0 ima sve osobine homogenog Poissonovog procesa sa intenzitetom λ > 0.
Iz ovih razloga se PSM na [0,∞) sa srednjom merom λ Leb može nazvati homogenim
Poissonovim procesom ili homogenom PSM na skupu [0,∞).
Dokaz obrnutog tvrđenja, odnosno, činjenica da homogeni Poissonov proces (u
smislu Definicije 2.1), (N(t))t≥0, sa intenzitetom λ > 0 određuje homogenu PSM(λ Leb) se
može naći u [2] (videti Propoziciju 6.2 III). Za svako fiksirano ω, N(t,ω) se može
interpretirati kao mera prebrojavanja na intervalu [0,t]. Tada teorema o produženju
mere omogućava da se definiše uobičajena mera prebrojavanja N(·,ω) na Ɛ. Ovakav
postupak se može primeniti za svako fiksirano ω, ali mora biti ispunjen uslov da je
N(·,ω) tačkasta mera, za skoro svako ω∈Ω.
Upravo Primer 3.1 je motivacija za definisanje homogenog Poissonovog procesa
ili homogene PSM na svakom Borelovom skupu E ⊂ R. Na primer, PSM(λ Leb(· ∩ (a, b])
predstavlja homogenu PSM na intervalu E=(a,b]. Kako je Lebesgueova mera takođe
definisana na Euclidovom prostoru 𝑅d, može se definisati homogena PSM sa
intenzitetom λ > 0 na skupu E ⊂ 𝑅d zadavanjem srednje mere kao λ Leb(· ∩ E). (U ovoj
notaciji, zanemarena je zavisnost Lebesgueove mere od dimenzije d.) Poželjno je da
Lebesgueova mera skupa E bude pozitivna kako bi se izbegao trivijalan slučaj tačkastog
procesa koji iščezava na E.
U opštem slučaju, ukoliko je srednja mera 𝜇 PSM apsolutno neprekidna u odnosu
na Lebesgueovu meru, tj. postoji nenegativna funkcija λ(·) tako da je
𝜇 𝐴 = λ x dx, A ∈ Ɛ,
𝐴
tada je λ(·) funkcija intenziteta PSM.
Primer 3.2 (Restrikcija PSM na manjem skupu je takođe PSM)
Neka je na skupu E definisana PSM N sa srednjom merom 𝜇 i neka je E' ∈ Ɛ merljiv
podskup skupa E. Pored toga, neka je
N'(A) = N(A), A ∈ Ɛ' = β(E')
tačkasti proces na E'. Tada se na osnovu definicije PSM na E može zaključitii da, za A ∈ Ɛ',
N'(A) ima Pois(μ(A)) raspodelu i za sve disjunktne skupove A1, . . . , 𝐴𝑚 iz Ɛ', N'(A1), . . . ,
23
N'(𝐴𝑚 ) su nezavisne slučajne promenljive. Dakle, restrikcija N' procesa N na Borelovom
skupu E' ⊂ E je PSM sa srednjom merom μ' koja je restrikcija mere μ na Ɛ'.
Primer 3.3 (Rekordni niz niza nezavisnih slučajnih promenljivih sa istom raspodelom
čini Poissonov proces)
Neka je {𝑋𝑖 , 𝑖≥1} niz nezavisnih slučajnih promenljivih sa istom funkcijom raspodele F
koja je neprekidna i neka je {𝑀𝑖 , 𝑖≥1} odgovarajući niz parcijalnih maksimuma definisan
na sledeći način:
𝑀1 = 𝑋1, 𝑀𝑛 = max𝑖=1,…,𝑛
𝑋𝑖 , 𝑛 ≥ 2.
Na osnovu načina na koji je definisan niz parcijalnih maksimuma, M1 = X1 je prvi rekord
niza {𝑋𝑖 , 𝑖≥1}. U opštem slučaju, novi rekord se javlja ako je 𝑋𝑛 > 𝑀𝑛−1, s.i, tj. ako 𝑋𝑛
premašuje sve prethodne maksimume. Očigledno, u tom slučaju je 𝑀𝑛 = 𝑋𝑛 nova
rekordna vrednost. Rekordna vremena, odnosno, trenuci kada se javljaju novi rekordi
čine neopadajući niz 1=R1<R2<R3< · · · . Rekordni niz se može predstaviti u obliku
{𝑋𝑅𝑛, 𝑛 ≥ 1}= {𝑀𝑅𝑛
, 𝑛≥1}.
Niz {𝑀𝑖 , 𝑖≥1} predstavlja lanac Markova, što će biti pokazano u nastavku. Neka su
𝑥1 < 𝑥2 < … < 𝑥𝑛 < ∞ vrednosti iz domena funkcije F u kojima je ona strogo pozitivna.
Tada, za 𝑛 ≥ 2 i k ≥ 0, na osnovu nezavisnosti slučajnih promenljivih {𝑋𝑖 , 𝑖≥1}, važi da je
𝑃 𝑀𝑛+𝑘 ≤ 𝑥𝑛 𝑀𝑛−1 ≤ 𝑥𝑛−1, … , 𝑀1 ≤ 𝑥1
=𝑃 𝑋1 ≤ 𝑥1, … , 𝑋𝑛−1 ≤ 𝑥𝑛−1, max
𝑖=𝑛 ,…,𝑛+𝑘𝑋𝑖 ≤ 𝑥𝑛
𝑃 𝑋1 ≤ 𝑥1, … , 𝑋𝑛−1 ≤ 𝑥𝑛−1
=𝐹(𝑥1) ∙∙∙ 𝐹 𝑥𝑛−1 𝐹
𝑘+1(𝑥𝑛)
𝐹(𝑥1) ∙∙∙ 𝐹(𝑥𝑛−1)
= 𝐹𝑘+1 𝑥𝑛 .
Sa druge strane je,
𝑃 𝑀𝑛+𝑘 ≤ 𝑥𝑛 𝑀𝑛−1 ≤ 𝑥𝑛−1 =
𝑃 𝑀𝑛−1 ≤ 𝑥𝑛−1, max𝑖=𝑛 ,…,𝑛+𝑘
𝑋𝑖 ≤ 𝑥𝑛
𝑃 𝑀𝑛−1 ≤ 𝑥𝑛−1
=𝐹𝑛−1 𝑥𝑛−1 𝐹
𝑘+1(𝑥𝑛)
𝐹𝑛−1(𝑥𝑛−1)
= 𝐹𝑘+1 𝑥𝑛 .
Verovatnoće prelaza lanca Markova 𝑀𝑖 , 𝑖 ≥ 1 ne zavise od n već samo od F. Dakle, niz
𝑀𝑖 , 𝑖 ≥ 1 je homogeni lanac Markova.
Homogeni lanac Markova je određen svojom inicijalnom raspodelom tj.
raspodelom početnog stanja i verovatnoćama prelaza za jedan korak. Rekordni niz
24
𝑋𝑅𝑛, 𝑛 ≥ 1 = 𝑀𝑅𝑛
, 𝑛 ≥ 1 je takođe homogeni lanac Markova, što je dokazano u [1]
(videti Poglavlje 4.1) i [4] (videti Poglavlje 5.5). Kako je R1 = 1, inicijalna raspodela ovog
lanca Markova je F. Za 𝑥 < 𝑦, pri čemu je 𝐹 𝑥 > 0, verovatnoće prelaza za jedan korak
su date sa
𝜋 𝑥, 𝑦, ∞ = 𝑃 𝑋𝑅2> 𝑦 𝑋𝑅1
= 𝑥
= 𝑃 𝑋𝑅2> 𝑦, max𝑗 =2,…,𝑅2−1 𝑋𝑗 ≤ 𝑥 𝑋1 = 𝑥
= 𝑃 𝑋𝑛 > 𝑦, max𝑗 =2,…,𝑛−1 𝑋𝑗 ≤ 𝑥 𝑋1 = 𝑥 ∞𝑛=2
= 𝐹 (𝑦)𝐹𝑛−2 𝑥 ∞𝑛=2
= 𝐹 (𝑦)/𝐹 (𝑥).
U nastavku, neka je 𝐹 𝑥 = 𝑒−𝑥 , tj, X1 je slučajna promenljiva sa standardnom
eksponencijalnom raspodelom. Tada je rekordni niz {𝑋𝑅𝑛, 𝑛 ≥ 1} homogeni lanac
Markova sa inicijalnom raspodelom F i verovatnoćama prelaza za jedan korak
𝜋 𝑥, 𝑦, ∞ = 𝑒−(𝑦−𝑥).
Sa druge strane, biće razmatran niz obnavljanja 𝑇𝑛 = 𝑌1 + ∙ ∙ ∙ +𝑌𝑛 , 𝑛 ≥ 1, pri
čemu je 𝑌𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niz nezavisnih slučajnih promenljivih sa standardnom
eksponencijalnom raspodelom. Tada 𝑇𝑛 , 𝑛 ≥ 1 predstavlja homogeni lanac Markova sa
inicijalnom raspodelom F i verovatnoćama prelaza za jedan korak
𝑃(𝑇2 > 𝑦 𝑇1 = 𝑥) = 𝑃 𝑌2 + 𝑥 > 𝑦 = 𝑒−(𝑦−𝑥) .
Prema tome, važi da je 𝑇𝑛 , 𝑛 ≥ 1 𝑟= {𝑋𝑅𝑛
, 𝑛 ≥ 1} i samim tim rekordni niz nezavisnih
slučajnih promenljivih sa standardnom eksponencijalnom raspodelom je niz obnavljanja
standardnog homogenog Poissonovog procesa na (0,∞), što se može zaključiti na osnovu
Teoreme 1.1.
Ukoliko je F proizvoljna neprekidna funkcija, može se pokazati da važi sledeći
rezultat
𝑋𝑛 , 𝑛 ≥ 1 𝑟= 𝐺← 𝑌𝑛 , 𝑛 ≥ 1 . (3.1)
Pritom je {𝑌𝑛 , 𝑛≥1} niz nezavisnih slučajnih promenljivih sa standardnom
eksponencijalnom raspodelom, G(𝑥) = −log 𝐹(𝑥) i
𝐺← 𝑦 = inf 𝑧 ∈ 𝑅 ∶ 𝐺(𝑧) ≥ 𝑦
predstavlja uopšteni inverz funkcije G. Funkcija G je dobro definisana i neprekidna na
𝑥𝑙𝐹 , 𝑥𝑟
𝐹 , gde 𝑥𝑙𝐹
i 𝑥𝑟𝐹
označavaju levu i desnu granicu raspodele F, respektivno, u smislu
da je 𝐹 𝑥𝑙𝐹 = 0 i 𝐹 𝑥𝑟
𝐹 = 1. Kako je G neprekidna funkcija, 𝐺← je monotono rastuća
funkcija. Odatle i na osnovu (3.1), niz rekordnih vremena 𝑅𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niza 𝑋𝑛 , 𝑛 ≥ 1 i
25
𝑅 𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niza 𝑌𝑛 , 𝑛 ≥ 1 imaju istu raspodelu. Štaviše, rekordni nizovi 𝑋𝑅𝑛, 𝑛 ≥ 1 i
𝐺←(𝑌𝑅 𝑛), 𝑛 ≥ 1 imaju istu raspodelu. Kako niz 𝑌𝑅 𝑛
, 𝑛 ≥ 1 generiše standardnu
homogenu PSM na (0,∞), niz 𝐺←(𝑌𝑅 𝑛), 𝑛 ≥ 1 generiše PSM 𝑁0 sa skupom
stanja 𝑥𝑙𝐹 , 𝑥𝑟
𝐹 . Pritom je srednja mera 𝜇0 procesa 𝑁0 data sa
𝜇0(𝑎, 𝑏 = 𝐸𝑁0(𝑎, 𝑏
= 𝐸 # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑎 < 𝐺←(𝑌𝑅 𝑛) ≤ 𝑏
= 𝐸 # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝐺(𝑎) < 𝑌𝑅 𝑛≤ 𝐺(𝑏)
= 𝐺 𝑎 , 𝐺(𝑏 ) = 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎 , (𝑎, 𝑏] ⊂ 𝑥𝑙𝐹 , 𝑥𝑟
𝐹 .
Teorija rekordnih nizova predstavlja primenu teorije tačkastih procesa. Naime,
koristi se odgovarajuća transformacija tačaka rekordnog niza koji se odnosi na niz
nezavisnih slučajnih promenljivih sa eksponencijalnom raspodelom. To je specijalan
primer teorije opštih transformacija tačaka Poissonovih slučajnih mera koji će biti
detaljnije opisan u Poglavlju 4.1.
Broj rekorda u uzorku obima 𝑛 je dat sa
𝐿1 = 1, 𝐿𝑛 = 1 + 𝐼 𝑋𝑘>𝑀𝑘−1 = #
𝑛
𝑘=2
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ∶ 𝑅𝑖 ≤ 𝑛 , 𝑛 ≥ 2.
Propozicija 3.2 Matematičko očekivanje i disperzija broja rekorda u uzorku obima
𝑛, 𝑛 ≥ 2 su:
𝐸𝐿𝑛 = 1
𝑘
𝑛
𝑘=1
, 𝑣𝑎𝑟 𝐿𝑛 = 1
𝑘− 1
𝑘2
𝑛
𝑘=1
.
Dokaz: Na osnovu osobina matematičkog očekivanja i uslovnog matematičkog
očekivanja je
𝐸𝐿𝑛 = 1 + 𝐸𝐼 𝑋𝑘 >𝑀𝑘−1
𝑛
𝑘=2
,
i
𝐸𝐼 𝑋𝑘>𝑀𝑘−1 = 𝐸 𝐸 𝐼 𝑋𝑘>𝑀𝑘−1 𝑋𝑘 = 𝐸 𝑃 𝑋𝑘 > 𝑀𝑘−1 𝑋𝑘
= 𝐸 𝑃 max1≤𝑖≤𝑘−1
𝑋𝑖 < 𝑋𝑘 𝑋𝑘
= 𝐸 𝑃 𝑋1 < 𝑋𝑘 , … , 𝑋𝑘−1 < 𝑋𝑘 𝑋𝑘
= 𝐸 𝑃 𝑋1 < 𝑋𝑘 𝑋𝑘 ∙ ∙ ∙ 𝑃 𝑋𝑘−1 < 𝑋𝑘 𝑋𝑘
= 𝐸 (𝐹 𝑋𝑘 )𝑘−1 .
26
Kako je 𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒−𝜆𝑥 , 𝑥 > 0, to je
𝐸𝐼 𝑋𝑘>𝑀𝑘−1 = 1 − 𝑒−𝜆𝑥 𝑘−1
𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑑𝑥
∞
0
= 1 − 𝑒−𝜆𝑥 = 𝑡,
𝜆𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡,
= 𝑡𝑘−1𝑑𝑡
1
0
=1
𝑘.
Prema tome, za 𝑛 ≥ 2 je
𝐸𝐿𝑛 = 1 + 1
𝑘
𝑛
𝑘=2
= 1
𝑘.
𝑛
𝑘=1
Disperzija slučajne promenljive 𝐿𝑛 za 𝑛 = 2 je
𝑣𝑎𝑟𝐿2 = 𝑣𝑎𝑟 1 + 𝐼 𝑋2>𝑋1 = 𝑣𝑎𝑟 𝐼 𝑋2>𝑋1
= 𝐸 𝐼 𝑋2>𝑋1 − 𝐸 𝐼 𝑋2>𝑋1 2
=1
2−
1
22
= 1
𝑘−
1
𝑘2 .
2
𝑘=1
Ako je 𝑛 ≥ 3, važi
𝑣𝑎𝑟𝐿𝑛 = 𝑣𝑎𝑟 1 + 𝐼 𝑋𝑘>𝑀𝑘−1
𝑛
𝑘=2
= 𝑣𝑎𝑟 𝐼 𝑋𝑘 >𝑀𝑘−1
𝑛
𝑘=2
= 𝐸 𝐼 𝑋𝑘 >𝑀𝑘−1
𝑛
𝑘=2
2
− 𝐸 𝐼 𝑋𝑘>𝑀𝑘−1
𝑛
𝑘=2
2
= 𝐸 𝐼 𝑋𝑘>𝑀𝑘−1 2
+ 2 𝐸 𝐼 𝑋𝑘 >𝑀𝑘−1 𝐼 𝑋𝑖>𝑀𝑖−1
𝑖−1
𝑘=2
𝑛
𝑖=3
− 1
𝑘
𝑛
𝑘=2
2
.
𝑛
𝑘=2
Sa druge strane je
𝐸 𝐼 𝑋𝑘>𝑀𝑘−1 𝐼 𝑋𝑖>𝑀𝑖−1
= 𝐸 𝑃 𝑋𝑘 > 𝑀𝑘−1, 𝑋𝑖 > 𝑀𝑖−1 𝑋𝑘
= 𝐸 𝑃 𝑋𝑘 > 𝑋𝑘−1 𝑋𝑘 ∙∙∙ 𝑃 𝑋𝑘 > 𝑋1 𝑋𝑘 𝑃 𝑋𝑖 > 𝑋𝑖−1 ∙∙∙ 𝑃 𝑋𝑖 > 𝑋𝑘−1 𝑋𝑘
= 𝑑𝑥𝑘 1 − 𝑒−𝜆𝑥𝑘 𝑘−1
𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑘
∞
0
1 − 𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑖 𝑖−𝑘−1
𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑘
∞
𝑥𝑘
𝑑𝑥𝑖
27
= 1 − 𝑒−𝜆𝑥𝑘 𝑘−1
𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑘
∞
0
1 − 1 − 𝑒−𝜆𝑥𝑘 𝑖−𝑘
𝑖 − 𝑘𝑑𝑥𝑘
=1
𝑖 − 𝑘
1
𝑘−
1
𝑖 =
1
𝑘𝑖.
Dakle,
𝑣𝑎𝑟 𝐿𝑛 = 1
𝑘
𝑛
𝑘=2
+ 2 1
𝑘𝑖
𝑖−1
𝑘=2
𝑛
𝑖=3
− 1
𝑘2
𝑛
𝑘=2
− 2 1
𝑘𝑖
𝑖−1
𝑘=2
𝑛
𝑖=3
= 1
𝑘−
1
𝑘2
𝑛
𝑘=2
= 1
𝑘−
1
𝑘2
𝑛
𝑘=1
,
čime je tvrđenje dokazano.⟡
Veličine 𝐸𝐿𝑛 i 𝑣𝑎𝑟 𝐿𝑛 su reda log 𝑛 kada 𝑛 → ∞. Preciznije, 𝐸𝐿𝑛 − log 𝑛 → 𝛾, gde je
𝛾 = 0.5772 … Ojlerova konstanta. Neposredna posledica toga je da broj rekorda
nezavisnih podataka sa istom raspodelom raste veoma sporo.
Koliki je očekivani broj rekorda u 100, 1 000 ili 10 000 nezavisnih opservacija?
U Tabeli 3.1 su prikazani iznenađujući rezultati. 𝐸𝐿𝑛 predstavlja očekivani broja rekorda
niza 𝑋𝑛 , 𝑛 ≥ 1 , nezavisnih slučajnih promenljivih sa neprekidnom funkcijom raspodele
F dok je 𝑠𝑛 = 𝑣𝑎𝑟(𝐿𝑛) standardna devijacija ove ocene. Vrednosti iz tabele dobijene su
na osnovu navedenih formula.
Tabela 3.1
Na osnovu Tabele 3.1 se može zaključiti da rekordi nisu mnogo relevantni kao statistički
podaci jer je njihov broj mali iako je obim uzorka 𝑛 veliki.
28
3.2 Laplaceov funkcional i nenegativni Poissonovi integrali
Na osnovu Leme 2.2, raspodela tačkastog procesa je jedinstveno određena Laplaceovim
funkcionalom. Laplaceov funkcional PSM ima veoma karakterističan oblik. On će biti
primenjivan u nastavku za određivanje tačkastih procesa kao Poissonovih slučajnih
mera, kao i za određivanje njihovih srednjih mera.
Podsećanja radi, Laplaceov funkcional bilo kog tačkastog procesa koji se može
predstaviti u obliku 𝑁 = 𝜀𝑋𝑖
∞𝑖=1 na skupu E je dat sa
𝜓𝑁 𝑔 = 𝐸𝑒− 𝑔 𝑑𝑁𝐸 = 𝐸 𝑒− 𝑔 𝑋𝑖 ∞𝑖=1 ,
pri čemu je 𝑔 ≥ 0 ograničena, merljiva funkcija na E. Lebesgue-Stieltjesov inegral
𝑒− 𝑔 𝑑𝑁𝐸 se naziva još i Poissonov integral. Kako je 𝑔 nenegativna funkcija, ovaj integral
je dobro definisan. Čak i ako njegova vrednost teži beskonačnosti, tada 𝑒− 𝑔 𝑑𝑁𝐸 teži
nuli. Lema 3.1 daje potreban i dovoljan uslov da integral 𝑔 𝑑𝑁𝐸
bude konačan s.i.
Lema3.1 (Laplaceov funkcional PSM i ograničenost nenegativnih Poissonovih integrala)
(1) Laplaceov funkcional PSM(μ) na skupu E ⊂ Rd je dat sa
𝜓𝑁 𝑔 = 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝑥 𝜇 (𝑑𝑥 )𝐸 , (3.2)
pri čemu je 𝑔 ≥ 0 merljiva funkcija koja ne mora biti ograničena.
(2) Neka je 𝑔 nenegativna, merljiva funkcija na E. Tada je integral 𝑔 𝑑𝑁𝐸
konačan s.i.
ako i samo ako je
min 𝑔 𝑥 , 1 𝜇 𝑑𝑥 < ∞. (3.3)𝐸
Potpunije informacije o vezi između (3.2) i (3.3), pruža dekompozicija
1 − 𝑒−𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 = 1 − 𝑒−𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑥∈𝐸∶𝑔 𝑥 >1
+ 1 − 𝑒−𝑔 𝑥 𝑥∈𝐸∶𝑔 𝑥 ≤1
𝜇 𝑑𝑥 𝐸
= 𝐼1 + 𝐼2.
Skup vrednosti podintegralne funkcije integrala I1 je (1 − e-1, 1]. Dakle I1 je konačan ako i
samo ako je 𝜇 𝑥 ∈ 𝐸 ∶ 𝑔 𝑥 > 1 = 𝜇 𝑑𝑥 𝑥∈𝐸∶𝑔 𝑥 >1
< ∞. Kako je 𝑒−𝑡 ≥ 1 − 𝑡, za
svako 𝑡 ∈ 𝑅, sledi da je 1 − 𝑒−𝑡 ≤ 𝑡, tako da za podintegralnu funkciju 1 − 𝑒−𝑔(𝑥) važi da
je 1 − 𝑒−𝑔(𝑥) ≤ 𝑔 𝑥 . Dakle, integral I2 je konačan ako i samo ako je
𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 < ∞ 𝑥∈𝐸:𝑔(𝑥)≤1
. Prema tome, uslov (3.3) je ekvivalentan činjenici da je
integral u (3.2) konačan.
29
Dokaz: U dokazu su korišćeni argumenti iz dokaza Leme 10.2 i Teoreme 10.15 iz [5].
(1) Neka je 𝑔 jednostavna funkcija koja se može predstaviti u obliku
𝑔 = 𝑎1𝐼𝐴1+ … + 𝑎𝑚 𝐼𝐴𝑚
, (3.4)
gde su 𝐴1, … , 𝐴𝑚 ∈ Ɛ disjunktni skupovi i 𝑎𝑖 nenegativni realni brojevi. Tada je
𝑔 𝑑𝑁 = 𝑎𝑖
𝑚
𝑖=1
𝐼𝐴𝑖 𝑥 𝑁 𝑑𝑥 = 𝑎𝑖𝑁 𝐴𝑖 .
𝑚
𝑖=1𝐸𝐸
Na osnovu osobine PSM, slučajne promenljive N 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, su međusobno
nezavisne sa odgovarajućim srednjim vrednostima 𝜇(𝐴𝑖), 𝑖 = 1, … , 𝑚, koje mogu da
budu i beskonačne.
Ako je 𝜇 𝐴𝑖 = ∞ i 𝑎𝑖 > 0 za neko 𝑖, tada je 𝑁 𝐴𝑖 = ∞ s.i. po definiciji Poissonove
slučajne promenljive sa beskonačnom srednjom vrednošću, pa i 𝑔 𝑑𝑁𝐸
= ∞ s.i. i
𝜓𝑁 𝑔 = 0.
Ako su sve vrednosti 𝜇 𝐴𝑖 konačne, tada se neposrednim izračunavanjem dobija
da je
𝜓𝑁 𝑔 = 𝐸𝑒−𝑎𝑖𝑁(𝐴𝑖)
𝑚
𝑖=1
s obzirom na nezavisnost slučajnih promenljivih N 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚. Za svaku slučajnu
promenljivu M koja ima Poissonovu raspodelu sa parametrom λ > 0 i svaki realan broj z,
funkcija generatrisa momenata je
𝐸𝑒𝑧𝑀 = 𝑒−𝜆 𝜆𝑘
𝑘!
∞
𝑘=0
𝑒𝑧𝑘 = 𝑒−𝜆(1−𝑒𝑧).
Na osnovu prethodne relacije sledi da je
𝜓𝑁 𝑔 = 𝑒−𝜇 𝐴𝑖 (1−𝑒−𝑎𝑖)
𝑚
𝑖=1
= 𝑒− 1−𝑒−𝑎𝑖𝐼𝐴𝑖
𝑥 𝜇 (𝑑𝑥 )
𝐸𝑚𝑖=1
= 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝑥 𝜇 (𝑑𝑥 )𝐸 .
Pored toga, za svaku nenegativnu, merljivu funkciju 𝑔 na E postoji niz jednostavnih
funkcija 𝑔𝑛 ≥ 0 tipa (3.4) tako da je 𝑔𝑛 ↑ 𝑔, kada 𝑛 → ∞. Tada, na osnovu Teoreme 1.2 o
monotonoj konvergenciji, sledi da je
𝑔𝑛 𝑑𝑁𝐸
↑ 𝑔 𝑑𝑁𝐸
, s. i, 𝑛 ⟶ ∞,
30
1 − 𝑒−𝑔𝑛 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝐸
↑ 1 − 𝑒−𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 , 𝐸
𝑛 ⟶ ∞.
Konačno, na osnovu Teoreme 1.3 o dominantnoj konvergenciji, važi 𝜓𝑁(𝑔𝑛) → 𝜓𝑁 𝑔 ,
kada 𝑛 → ∞. Dakle, na osnovu prethodno dokazanog tvrđenja za jednostavne funkcije,
dolazi se do zaključka da
𝜓𝑁 𝑔𝑛 = 𝑒− 1−𝑒−𝑔𝑛 𝑥 𝜇 (𝑑𝑥 )𝐸
→ 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝑥 𝜇 (𝑑𝑥 )𝐸
= 𝜓𝑁 𝑔 , 𝑛 ⟶ ∞.
Ovim je dokazano da važi (3.2).
(2) Najpre neka je min 𝑔 𝑥 , 1 𝜇(𝑑𝑥)𝐸
< ∞, za neku merljivu funkciju 𝑔 ≥ 0.
Argument koji je naveden nakon Leme 3.1 pokazuje da je integral Laplaceovog
funkcionala Poissonove slučajne mere sa srednjom merom μ iz (3.2) konačan. Na osnovu
Teoreme 1.3 o dominantnoj konvergenciji Laplace-Stieltjesove transformacije integrala
𝑔 𝑑𝑁𝐸
kada z ↓ 0, važi da je
𝑃 𝑔 𝑑𝑁𝐸
< ∞ = lim𝑧↓0
𝐸 𝑒−𝑧 𝑔 𝑑𝑁𝐸 𝐼 𝑔 𝑑𝑁<∞𝐸
= lim𝑧↓0 𝐸 𝑒−𝑧 𝑔 𝑑𝑁𝐸
= 𝑒− lim
𝑧↓0 1−𝑒−𝑧𝑔 𝑥 𝜇(𝑑𝑥 )𝐸
= 𝑒0 = 1.
Ovim je dokazano da je 𝑔 𝑑𝑁𝐸
< ∞ s.i.
Dalje, neka je prethodni Poissonov intgral konačan s.i. Iz prvog dela dokaza
neposredno sledi da je 1 − 𝑒−𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝐸
konačan. Dakle, važi (3.3), čime je lema
dokazana. ⟡
Neposredna posledica Leme 3.1 je sledeća reprezentacija Poissonovih inegrala u
obliku složene Poissonove sume.
Posledica 3.1 (Reprezentacija Poissonovih inegrala u obliku složene Poissonove sume)
Neka je 𝑔 nenegativna, merljiva funkcija na E takva da važi (3.3). Ako je 0 < 𝜇 𝐸 < ∞,
tada se integral 𝑔 𝑑𝑁𝐸
može predstaviti u obliku složene Poissonove sume, odnosno,
𝑔 𝑑𝑁𝐸
𝑟= 𝑍𝑖
𝑀
𝑖=1
, (3.5)
31
pri čemu M ima Pois(μ(E)) raspodelu i ne zavisi od niza {𝑍𝑖 , 𝑖≥1}, nenegativnih, nezavisnih
slučajnih promenljivih sa istom raspodelom
𝐹𝑍 𝐵 = 𝐺 𝑔−1 𝐵 = 𝐺 𝑥 ∈ 𝐸 ∶ 𝑔(𝑥) ∈ 𝐵 , 𝐵 ∈ ℬ 0, ∞) ,
gde je 𝐺 𝑑𝑥 = 𝜇(𝑑𝑥)/𝜇(𝐸) verovatnosna mera na (E,Ɛ). Specijalno, matematičko
očekivanje i disperzija Poissonovog integrala su
𝐸 𝑔 𝑑𝑁𝐸
= 𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 ,𝐸
𝑣𝑎𝑟 𝑔 𝑑𝑁𝐸
= 𝑔 𝑥 2𝜇 𝑑𝑥 .𝐸
U nastavku će se često primenjivati predstavljanje Poissonovih integrala u obliku
složene Poissonove sume (3.5). Radi lakšeg označavanja, biće korišćen zapis
𝑍𝑖 = 𝐶𝑃 𝐸𝑀, 𝐹𝑍 ,
𝑀
𝑖=1
pri čemu EM označava matematičko očekivanje slučajne promenljive M sa Poissonovom
raspodelom, a 𝐹𝑍 funkciju raspodele slučajnih promenljivih 𝑍𝑖 , 𝑖 = 1,2, ….
Dokaz: Na osnovu relacije (3.3) i Leme 3.1(2), integral 𝑔 𝑑𝑁𝐸
je konačan s.i. Kako je
0 < 𝜇 𝐸 < ∞ to je sa 𝐺 𝐴 = 𝜇(𝐴)/𝜇(𝐸), A ∈ Ɛ, definisana raspodela verovatnoća na
(E,Ɛ). Na osnovu Leme 3.1(1), Laplace-Stieltjesovom transformacijom integrala 𝑔 𝑑𝑁𝐸
se dobija
𝐸 𝑒−𝑧 𝑔 𝑑𝑁𝐸 = 𝑒−𝜇(𝐸) 1−𝑒−𝑧𝑔 𝑥 𝐺(𝑑𝑥 )
𝐸
= 𝑒−𝜇(𝐸) 1−𝑒−𝑧𝑦 𝐺 𝑔−1 (𝑑𝑦 )𝑔(𝐸)
= 𝑒−𝜇 𝐸 (1−𝐸𝑒−𝑧𝑍 ), 𝑧 ≥ 0, (3.6)
gde je 𝑔 𝐸 = 𝑔 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐸 ⊂ [0,∞) i Z je nenegativna slučajna promenljiva sa
raspodelom 𝐺(𝑔−1) na ([0,∞), ℬ([0,∞))). Nije teško uočiti da je Laplace-Stieltjesova
transformacija složene Poissonove sume na desnoj strani izraza (3.5) u saglasnosti sa
formulom (3.6). Prema tome raspodele na levoj i desnoj strani izraza (3.5) se
podudaraju.
Za izračunavanje momenata složene Poissonove sume 𝑍𝑖 ,𝑀𝑖=1 primenjuju se
relacije (1.1) i (1.2), tako da je
32
𝐸 𝑍𝑖
𝑀
𝑖=1
= 𝐸𝑀 𝐸𝑍 = 𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 ,𝐸
dok je
𝑣𝑎𝑟 𝑍𝑖
𝑀
𝑖=1
= 𝐸𝑀 𝐸 𝑍2 = 𝑔(𝑥) 2𝜇(𝑑𝑥)𝐸
.
⟡
Napomena:
Slučajne promenljive 𝑍𝑖 i M, u opštem slučaju, nisu definisane na istom prostoru
verovatnoće (Ω,ℱ,P) na kome je definisana PSM N. Zaista, na osnovu prethodnog dokaza
se može zaključiti da su slučajne promenljive 𝑍𝑖 definisane na prostoru verovatnoće
([0,∞), ℬ([0,∞)),G(𝑔−1)). Međutim, da bi se pojednostavilo označavanje, koriste se iste
oznake za verovatnosne mere, matematička očekivanja, disperzije i ostale karakteristike
raspodela slučajnih promenljivih 𝑍𝑖 i M kao na prostoru (Ω,ℱ,P).
3.3 Svojstva opštih Poissonovih integrala
Neka je N PSM(μ) na skupu E ⊂ 𝑅𝑑 . U osnovi razmatranja su Poissonovi integrali
𝑓 𝑑𝑁,𝐸
pri čemu je 𝑓 merljiva funkcija na E. Poseban akcenat će biti na zavisnosti i
strukturi momenata ovih integrala.
U Poglavlju 3.2 je započeto izučavanje Poissonovih integrala sa nenegativnim
podintegralnim funkcijama. Kako je 𝑓 𝑑𝑁𝐸
Lebesgue-Stieltjesov integral, on je konačan
s.i. ako i samo ako je 𝑓 𝑑𝑁 < ∞𝐸
s.i. Na osnovu Leme 3.1(2), važi sledeće tvrđenje.
Lema 3.2 Neka je N PSM(µ) na E ⊂ Rd i 𝑓 realna merljiva funkcija na E. Integral 𝑓 𝑑𝑁𝐸
postoji i konačan je s.i. ako i samo ako važi
min 𝑓 𝑥 , 1 𝜇 𝑑𝑥
𝐸
< ∞.
U nastavku će se smatrati da funkcija 𝑓 na E ima merljiv nosač A ⊂ E ako ona nestaje
(iščezava) na 𝐴𝐶 = 𝐸 ∖ 𝐴, tj. ako je 𝑓 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ 𝐴𝐶 . Ovakvom definicijom, merljiv nosač
funkcije 𝑓 nije jedinstveno određen.
Poissonovi integrali 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
, 𝑖 = 1,2, …, imaju interesantnu osobinu, a to je da
su nezavisni ako funkcije 𝑓𝑖 imaju disjunktne nosače.
Lema 3.3 (Nezavisnost Poissonovih integrala sa disjunktnim nosačima) Neka je N PSM(μ)
sa skupom stanja E ⊂ Rd i 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑘 merljive, realne funkcije na E sa disjunktnim
33
nosačima. Ako je 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
< ∞ s.i, za svako 𝑖 = 1, … , 𝑘, tada su slučajne promenljive
𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
, 𝑖 = 1, … , 𝑘, međusobno nezavisne.
Dokaz : Pre svega je potrebno prisetiti se da, na osnovu Leme 3.1, integral 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
postoji i konačan je s.i. ako i samo ako je min 𝑓 𝑥 , 1 𝜇 𝑑𝑥 𝐸
< ∞.
Neka je 𝐴𝑖 nosač funkcije 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑘. Tada je
𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
= 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐴𝑖
.
Najpre, neka su 𝑓𝑖 nenegativne, jednostavne, merljive funkcije, odnosno, postoje
nenegativni realni brojevi 𝑎𝑗(𝑖)
i disjunktni skupovi 𝐴𝑗(𝑖)
⊂ 𝐴𝑖 , 𝐴𝑗(𝑖)
∈ Ɛ, 𝑗 = 1, … , 𝑚, tako da
je
𝑓𝑖 = 𝑎𝑗(𝑖)
𝐼𝐴𝑗
(𝑖)
𝑚
𝑗=1
. (3.7)
Prema tome, skupovi 𝐴𝑗(𝑖)
određuju particiju skupa 𝐴𝑖 za svako 𝑖 = 1, … , 𝑘. Bez gubljenja
opštosti važiće pretpostavka da 𝑚 ne zavisi od 𝑖. Na osnovu disjunktnosti nosača 𝐴𝑖 ,
disjunktnosti skupova 𝐴𝑗(𝑖)
i osobine PSM neposredno sledi da je
𝐸 𝑒− 𝑧𝑖 𝑓𝑖𝑑𝑁𝐴𝑖
𝑘𝑖=1 = 𝐸 𝑒
−𝑧𝑖 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐴𝑖 ,
𝑘
𝑖=1
(3.8)
pri čemu je 𝑧𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑘. Ovo svojstvo faktorizacije Laplace-Stieltjesove
transformacije slučajnih promenljivih 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
znači da su one međusobno nezavisne.
Kompletno objašnjenje ovog fenomena je dato u [3].
Dalje, neka su 𝑓𝑖 proizvoljne, nenegativne, merljive funkcije sa odgovarajućim
nosačima 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑘, za koje se pretpostavlja da su disjunktni. Za svaku funkciju
𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑘, postoji neopadajući niz, jednostavnih funkcija {𝑓𝑛𝑖 , 𝑛 ≥ 1}, oblika (3.7) sa
nosačem 𝐴𝑖 tako da 𝑓𝑛𝑖(𝑥) → 𝑓𝑖(𝑥) kada 𝑛 ⟶ ∞, za svako 𝑥 ∈ 𝐴𝑖 . Primenom Teoreme 1.2
o monotonoj konvergenciji se može zaključiti da važi relacija (3.8).
Konačno, razmatraju se Poissonovi integrali 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
sa proizvoljnom
podintegralnom funkcijom
𝑓𝑖 = 𝑓𝑖 + − 𝑓𝑖 − , 𝑖 = 1, … , 𝑘,
gde je 𝑓𝑖 +(𝑥) = max (𝑓𝑖 𝑥 , 0) i 𝑓𝑖 −(𝑥) = max (−𝑓𝑖 𝑥 , 0) i disjunktnim nosačima.
Funkcije (𝑓𝑖)± su nenegativne i imaju disjunktne nosače. Tada, na osnovu Laplace-
Stieltjesove transformacije sledi da su integrali (𝑓𝑖)±𝑑𝑁𝐸
, 𝑖 = 1, … , 𝑘, međusobno
nezavisni. Dakle, 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
= ( 𝑓𝑖 + − 𝑓𝑖 −)𝐸
𝑑𝑁 su nezavisne slučajne promenljive za
𝑖 = 1, … , 𝑘, pod pretpostavkom da postoje i da su konačne s.i, čime je dokazano tvrđenje.
⟡
34
Lema 3.3 je jedna od važnijih tvrđenja Glave 5, gde će biti razmatrani iznosi
ukupnih šteta portfolija neživotnog osiguranja u disjunktnim delovima prostora čije su
komponente vreme i iznos štete. Neposredna posledica je da su brojevi šteta i ukupni
iznosi šteta u disjunktnim delovima tog prostora međusobno nezavisni.
Primer 3.4 Neka je N PSM(μ) na skupu E ⊂ Rd sa tačkama 𝑋𝑖 i neka su 𝑓𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑘,
merljive funkcije na E sa međusobno disjunktnim nosačima, tako da su integrali 𝑓𝑗 𝑑𝑁𝐸
dobro definisani i konačni s.i. Tada su, na osnovu Leme 3.3, integrali
𝑓𝑗 (𝑥)𝑁𝐸
𝑑𝑥 = 𝑓𝑗 (𝑋𝑖)
∞
𝑖=1
, 𝑗 = 1, … , 𝑘,
međusobno nezavisni. Specijalno, neka je 𝑓 takva funkcija da integral 𝑓 𝑑𝑁𝐸
postoji i
konačan je s.i, i neka je 𝑓𝑗 = 𝑓𝐼𝐴𝑗, gde su 𝐴𝑗 ⊂ E, 𝑗 = 1, … , 𝑘, disjunktni Borelovi skupovi.
Tada su slučajne promenljive 𝑓(𝑥) 𝑁𝐴𝑗
𝑑𝑥 = 𝑓 𝑋𝑖 , 𝑗 = 1, … , 𝑘,𝑖:𝑋𝑖∈𝐴𝑗 međusobno
nezavisne.
U Posledici 3.1 su određeni matematičko očekivanje i disperzija Poissonovog
integrala 𝑔 𝑑𝑁,𝐸
pri čemu je 𝑔 nenegativna, merljiva funkcija i E skup čija je srednja
mera μ(E), 0 < μ(E) < ∞. U nastavku će ovi rezultati biti prošireni na klasu proizvoljnih
merljivih funkcija 𝑓 na skupu E, čija srednja mera ne mora biti konačna.
Lema 3.4 (Matematičko očekivanje, disperzija i kovarijansa opštih Poissonovih integrala)
Neka je N PSM(μ) na E ⊂ Rd i 𝑓 i 𝑔 realne, merljive funkcije na E.
(1) Ako je 𝑓(𝑥) 𝜇 𝑑𝑥 < ∞𝐸
, tada važi
𝐸 𝑓 𝑑𝑁𝐸
= 𝑓 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 .𝐸
(3.9)
(2) Ako važi
max 𝑓 𝑥 2, 𝑓 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 < ∞𝐸
, (3.10)
tada je
𝑣𝑎𝑟 𝑓 𝑑𝑁𝐸
= 𝑓 𝑥 2𝜇(𝑑𝑥)𝐸
, (3.11)
pri čemu je desna strana izraza (3.11) konačna.
35
(3) Neka funkcije 𝑓 i 𝑔 zadovoljavaju relaciju (3.10). Tada je
𝑐 𝑓, 𝑔 = 𝑐𝑜𝑣 𝑓 𝑑𝑁𝐸
, 𝑔 𝑑𝑁𝐸
= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 . (3.12)𝐸
Dokaz: (1) Pod datim pretpostavkama, Poissonovi integrali 𝑓+ 𝑑𝑁𝐸
i 𝑓− 𝑑𝑁𝐸
su
konačni s.i. Štaviše, oni imaju disjunktne nosače. Prema tome, na osnovu Leme 3.3, oni
su nezavisni. Kako razlika dve nezavisne slučajne promenljive ima konačno
matematičko očekivanje ako i samo ako te dve promenljive imaju konačna matematička
očekivanja, može se zaključiti da je 𝐸( 𝑓±𝑑𝑁) < ∞𝐸
potreban i dovoljan uslov da
očekivanje u (3.9) bude konačno. Stoga, bez gubljenja opštosti, neka je 𝑓 ≥ 0. Kako je μ
Radonova mera, postoji niz Borelovih skupova {𝐸𝑛 , 𝑛 ≥ 1} za koje važi 𝐸𝑛 ↑ 𝐸, kada
𝑛 → ∞, tako da je 𝜇 𝐸𝑛 < ∞ za svako 𝑛. Prema Posledici 3.1, za svako 𝑛 važi
𝐸 𝑓 𝑑𝑁𝐸𝑛
= 𝑓 𝑥 𝜇(𝑑𝑥)𝐸𝑛
. Štaviše, 𝑓𝐼𝐸𝑛 ↑ 𝑓, tako da, na osnovu Teoreme 1.2 o
monotonoj konvergenciji sledi da je
𝑓 𝑁 𝑑𝑥 𝐸𝑛
↑ 𝑓 𝑁(𝑑𝑥)𝐸
, s. i, 𝑛 → ∞,
𝐸 𝑓 𝑁 𝑑𝑥 𝐸𝑛
) ↑ 𝐸 𝑓 𝑁 𝑑𝑥 𝐸
) , 𝑛 → ∞.
Time je dokazan deo (1).
(2) Disperzija slučajne promenljive 𝑓 𝑑𝑁𝐸
je konačna ako i samo ako je drugi moment
te slučajne promenljive konačan. Kako su, pod datim pretpostavkama, integrali
𝑓+ 𝑑𝑁𝐸
i 𝑓− 𝑑𝑁𝐸
nezavisni i konačni s.i, važi da je 𝐸( 𝑓𝑑𝑁𝐸
)2 < ∞ ako i samo ako
je 𝐸( 𝑓±𝑑𝑁𝐸
)2 < ∞. U tom smislu, neka je, bez gubljenja opštosti, 𝑓 ≥ 0. Na osnovu
Teoreme 1.2 o monotonoj konvergenciji, važi
𝐸 𝑓𝑑𝑁𝐸𝑛
2
↑ 𝐸 𝑓𝑑𝑁𝐸
2
, 𝑛 → ∞.
Sa druge strane, na osnovu Posledice 3.1 se može zaključiti da je
𝐸 𝑓𝑑𝑁𝐸𝑛
2
= 𝑣𝑎𝑟 𝑓𝑑𝑁𝐸𝑛
+ 𝐸 𝑓𝑑𝑁𝐸𝑛
2
= 𝑓 𝑥 2𝜇(𝑑𝑥)𝐸𝑛
+ 𝑓 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝐸𝑛
2
36
↑ 𝑓 𝑥 2𝜇(𝑑𝑥)𝐸
+ 𝑓 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝐸
2
, 𝑛 → ∞.
Pod pretpostavkom (3.10), integrali na desnoj strani su konačni. Primenom dela (1) ove
teoreme zaključuje se da važi (3.11).
(3) Pre svega, potrebno je primetiti da za proizvoljne slučajne promenljive 𝑌1 i 𝑌2 sa
konačnim disperzijama važi relacija
𝑐𝑜𝑣 𝑌1, 𝑌2 = 1 4 𝑣𝑎𝑟 𝑌1 + 𝑌2 − 𝑣𝑎𝑟(𝑌1 − 𝑌2) . (3.13)
Neka je 𝑌1 = 𝑓 𝑑𝑁𝐸
i 𝑌2 = 𝑔 𝑑𝑁𝐸
. Na osnovu uslova (3.10) i dela (2) dokaza sledi da
slučajne promenljive 𝑌1 i 𝑌2 imaju konačne disperzije. Štaviše, primenom jednakosti
(3.11) i (3.13), može se zaključiti da važi
𝑐 𝑓, 𝑔 =1
4 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 2
𝐸
𝜇 𝑑𝑥 −1
4 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 2
𝐸
𝜇(𝑑𝑥)
= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 .
𝐸
⟡
Interesantna posledica Leme 3.4(3) je činjenica da ako su Poissonovi integrali,
čije podintegralne funkcije ne menjaju znak, nekorelirani, onda su ti integrali nezavisni.
To je neobično svojstvo, zbog toga što, u opštem slučaju, nekoreliranost dve slučajne
promenljive ne implicira njihovu nezavisnost. Izuzetak predstavljaju Gausove slučajne
promenljive iz čije nekoreliranosti sledi nezavisnost.
Posledica 3.2 (Nekorelirani Poissonovi integrali su nezavisni) Neka su 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
< ∞,
𝑖 = 1,2, …, Poissonovi integrali, pri čemu su 𝑓𝑖 merljive funkcije koje zadovoljavaju uslov
(3.10) (gde je 𝑓 zamenjena sa 𝑓𝑖) i za svako 𝑖 važi 𝑓𝑖 ≥ 0 ili 𝑓𝑖 ≤ 0.
(1) Integrali 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
, 𝑖 = 1,2, …, su međusobno nezavisni ako i samo ako je
𝑐 𝑓𝑖 , 𝑓𝑗 = 0 za svako 𝑖 ≠ 𝑗.
(2) Integrali 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
, 𝑖 = 1,2, …, su nekorelirani ako i samo ako funkcije
𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … imaju disjunktne nosače 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓𝑖 u smislu da
𝜇 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓𝑖 ∩ 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓𝑗 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗. (3.14)
Dokaz: Uslov da podintegralne funkcije ne menjaju znak je od ključnog značaja. Za
proizvoljne podintegralne funkcije 𝑓𝑖 , nekoreliranost i nezavisnost Poissonovih integrala
su različite osobine.
37
(1) Dokaz direktnog smera ovog tvrđenja je trivijalan, zbog čega je dovoljno dokazati da
iz nekoreliranosti integrala 𝑓𝑖 𝑑𝑁,𝐸
𝑖 = 1,2, …, sledi njihova nezavisnost.
Najpre, neka važi pretpostavka da su podintegralne funkcije nenegativne, tj.
𝑓𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, 2. Ako je 𝑐 𝑓1, 𝑓2 = 0, tada na osnovu (3.12) važi da je
𝑐 𝑓1, 𝑓2 = 𝑓1 𝑥 𝐸
𝑓2 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 = 0. (3.15)
Odatle, na osnovu 𝑓𝑖 ≥ 0 za 𝑖 = 1,2, sledi da je 𝑓1𝑓2 = 0 μ-skoro svuda, odnosno da 𝑓1 i 𝑓2
imaju disjunktne nosače u smislu (3.14). To dalje implicira
𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
= 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝑠𝑢𝑝𝑝 (𝑓𝑖)
= 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓𝑖 ∖(𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓1 ⋂𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓2 )
, s. i. 𝑖 = 1, 2. (3.16)
Ako se uvede oznaka 𝑆𝑖 = 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓𝑖 ∖ 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓1 ⋂𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓2 , 𝑖 = 1,2, na osnovu
prethodne relacije je jasno da integrali
𝑓1 𝑑𝑁𝑆1
= 𝑓1 𝑑𝑁𝐸
, 𝑓1 𝑑𝑁𝑆2
= 𝑓1 𝑑𝑁𝐸
, s. i, (3.17)
koji zadovoljavaju uslov nekoreliranosti (3.15) imaju disjunktne nosače 𝑆1 i 𝑆2. Na
osnovu Leme 3.3 sledi da su integrali u (3.17) nezavisni.
(2) Na osnovu dela (1) ovog dokaza, ako su integrali 𝑓𝑖 𝑑𝑁,𝐸
𝑖 = 1,2, …, nenegativnih
funkcija 𝑓𝑖 nekorelirani, tada važi (3.14).
Obrnuto, ako se pretpostavi da 𝑓1 i 𝑓2 imaju disjunktne nosače u smislu (3.14),
tada na osnovu (3.17) i Leme 3.3 sledi da su integrali 𝑓1 𝑑𝑁𝐸
i 𝑓2 𝑑𝑁𝐸
nezavisni, a
samim tim i nekorelirani.
Ako je 𝑓1 ≤ 0, 𝑓2 ≥ 0, ili 𝑓1 ≥ 0, 𝑓2 ≤ 0, tada je
𝑐 𝑓1, 𝑓2 = − −𝑓1 𝑥 𝑓2(𝑥) 𝐸
𝜇 𝑑𝑥 ,
dok je za 𝑓1 ≤ 0, 𝑓2 ≤ 0,
𝑐 𝑓1, 𝑓2 = 𝑓1 𝑥 𝐸
𝑓2 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 ,
tako da se dokaz ovog tvrđenja u navedenim slučajevima svodi na prethodni slučaj kada
su podintegralne funkcije nenegativne, zbog toga što znak funkcije ne utiče na njen
nosač. ⟡
38
Glava 4
Konstrukcija Poissonovih slučajnih
mera na osnovu datih mera
istog tipa
U ovoj glavi biće konstruisani novi Poissonovi procesi na osnovu date Poissonove
slučajne mere. Principi konstrukcije se mogu sagledati kroz:
merljive transformacije tačaka PSM,
nezavisno označavanje tačaka PSM,
superpoziciju nezavisnih PSM,
i biće razmatrani u narednim poglavljima.
Kombinacijom ova tri principa pruža se uvid u strukturu procesa broja šteta i
procesa ukupne štete u portfoliju neživotnog osiguranja. Ovakve konstrukcije su od
posebnog značaja jer omogućavaju opisivanje različitih fenomena kao što su kašnjenja u
prijavljivanju šteta ili u isplatama naknada klijentima koji su pretrpeli štete i spajanja
nezavisnih portfolija neživotnog osiguranja.
4.1 Transformacija tačaka Poissonove slučajne mere
Predmet proučavanja u ovom poglavlju biće prvi bazični princip konstrukcije
novih Poissonovih slučajnih mera, a to je transformacija tačaka date PSM.
Propozicija 4.1 (Transformisane PSM su PSM) Neka je 𝑁 = 𝜀𝑋𝑖
∞𝑖=1 tačkasti proces koji
je PSM(μ) na skupu E ⊂ 𝑅𝑑 , kojem je pridružena Borelova σ-algebra Ɛ = ℬ(𝐸). Neka su
tačke 𝑋𝑖 procesa N transformisane merljivim preslikavanjem ψ : E → E', gde je E' ⊂ 𝑅𝑚
39
Borelov skup i Ɛ'= ℬ(𝐸′) Borelova σ-algebra nad skupom E'. Pored toga, neka važi jedan
od sledećih uslova:
(1) Za svaki ograničen Borelov skup B ⊂ E', inverzna slika ψ-1(B) ⊂ E je ograničen
skup.
(2) Mera µ je konačna na E .
Tada je transformisani tačkasti proces
𝑁𝜓 = 𝜀𝜓(𝑋𝑖)
∞
𝑖=1
Poissonova slučajna mera sa srednjom merom 𝜇 𝜓−1 na E', pri čemu je srednja mera
data sa
𝜇𝜓 𝐴 = 𝜇 𝜓−1(𝐴) = 𝜇 𝑥 ∈ 𝐸 ∶ 𝜓(𝑥) ∈ 𝐴 , 𝐴 ∈ Ɛ'.
Dokaz: Kako je 𝜇𝜓 srednja mera PSM, ona je Radonova mera. Pod uslovom (2) to
neposredno sledi jer je
𝜇𝜓 𝐸′ = 𝜇 𝜓−1(𝐸′) ≤ 𝜇 𝐸 < ∞.
Ako je μ beskonačna mera, uslov (1) garantuje da je μ Radonova mera. To sledi iz
činjenice da je svaki kompaktan skup K ⊂ E' ograničen. Dakle pod uslovom (1), 𝜓−1(𝐾)
je ograničen podskup skupa E. Tada je zatvorenje skupa 𝜓−1(𝐾) kompakt u E, dakle ima
konačnu μ meru prema Radonovom svojstvu mere μ. Ovim je dokazano da je 𝜇𝜓 𝐾 <∞,
tj. da je 𝜇𝜓 Radonova mera.
U primenama, uglavnom je μ konačna mera. Kao posledica toga zadovoljen je
uslov (1).
Da bi se odredio proces Nψ kao PSM dovoljno je odrediti Laplaceov funkcional
procesa Nψ. U tom smislu će biti primenjen Laplaceov funkcional procesa N.
Neka je 𝑔 ograničena, nenegativna, merljiva funkcija na E'. Tada je 𝑔(𝜓)
ograničena, nenegativna, merljiva funkcija na E. Pritom je
𝑔 𝑑𝑁𝜓 = 𝑔(𝜓 𝑋𝑖 )
∞
𝑖=1
=𝐸′
𝑔 𝜓 𝑑𝑁𝐸
.
Dakle, iz oblika Laplaceovog funkcionala PSM(µ) N, sledi da je
𝜓𝑁𝜓 𝑔 = 𝐸𝑒− 𝑔(𝜓) 𝑑𝑁𝐸 = 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝜓 (𝑥 ) 𝜇 (𝑑𝑥 )𝐸
= 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝑦 𝜇𝜓 (𝑑𝑦 )𝐸′ .
U poslednjem koraku je primenjena smena promenljivih u integralu. Kako je 𝜇𝜓
Radonova mera, poslednji izraz je Laplaceov funkcional PSM(𝜇𝜓) na E'. Na taj način je
određena raspodela procesa Nψ. ⟡
40
Primer 4.1 (Nehomogen Poissonov proces na (0,∞))
Neka su 𝑇𝑖 tačke standardnog homogenog Poissonovog procesa N na (0,∞). Razmatra se
neopadajuća, cádlág transformacija ν : (0,∞) → [0,∞), pri čemu je ν(0+) = 0, i njen
uopšteni inverz
𝜈← 𝑦 = inf 𝑥 > 0 ∶ 𝜈(𝑥) ≥ 𝑦 ,
gde je 𝑦 ∈ (0,sup 𝜈(𝑥))𝑥>0 . Tada ν predstavlja meru (biće korišćen isti simbol za
transformaciju i za meru) na Borelovoj σ-algebri Ɛ nad skupom (0,∞), koja je zadata na
intervalima:
ν(𝑎, 𝑏] = ν(𝑏) − ν(𝑎), 0 < 𝑎 < 𝑏 < ∞.
Štaviše, tačke 𝜈←(𝑇𝑖) čine PSM(ν) sa skupom stanja
𝐸′ = 𝜈← 0, ∞) = 𝜈← 𝑦 : 𝑦 ∈ (0, ∞)
i srednjom merom ν. Zaista, na osnovu osobina uopštenog inverza, što se može naći u [1]
(videti Poglavlje 0.2), za svako 0 < 𝑎 < 𝑏 važi
# 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝑎 < 𝜈←(𝑇𝑖) ≤ 𝑏 = # 𝑖 ≥ 1 ∶ 𝜈←(𝑎) < 𝑇𝑖 ≤ 𝜈←(𝑏) = 𝑁(𝜈 𝑎 , 𝜈(𝑏 ) .
Ako |A| označava Lebesgueovu meru nekog Borelovog skupa A, tada je
𝐸𝑁(𝜈 𝑎 , 𝜈(𝑏 ) = (𝜈 𝑎 , 𝜈(𝑏 ) = 𝜈 𝑏 − 𝜈 𝑎 = 𝜈(𝑎, 𝑏 .
Ako je transformacija ν nelinearna ili, ekvivalentno, ako mera ν nije oblika λ Leb za neku
pozitivnu vrednost λ, uobičajeno je da se PSM(ν) naziva nehomogenim Poissonovim
procesom (ili PSM) sa funkcijom srednje vrednosti ν. Ova konvencija se odnosi i na
Poissonove procese koji nisu definisani na (0,∞), a takođe je u skladu sa Definicijom 3.1.
U Primeru 3.3 proučavan je tačkasti proces rekorda niza nezavisnih slučajnih
promenljivih sa istom raspodelom. Naime, konstruisan je nehomogeni Poissonov proces
transformacijom tačaka homogenog Poissonovog procesa (rekordni niz odgovarajućeg
niza nezavisnih slučajnih promenljivih sa eksponencijalnom raspodelom)
odgovarajućom merljivom funkcijom.
4.2 Označavanje Poissonove slučajne mere
Poissonove slučajne mere imaju još jednu izuzetnu osobinu. Tačkama PSM se može
pridružiti nezavisna koordinata. Iz očiglednih razloga pridružena koordinata se naziva
oznaka, a odgovarajući postupak označavanje. Tada, pod određenim restrikcijama
raspodele niza oznaka, novi proces je takođe PSM, ali na većem skupu stanja. O tome
govori sledeća propozicija.
Propozicija 4.2 (Nezavisno označavanje PSM) Neka je 𝑁𝑋 = 𝜀𝑋𝑖
∞𝑖=1 , PSM(μ) na skupu
𝐸1 ⊂ 𝑅𝑑 i neka je 𝑌𝑛 , 𝑛 ≥ 1 niz nezavisnih slučajnih vektora čije vrednosti pripadaju
41
E2 ⊂ Rm sa istom funkcijom raspodele F. Ako su 𝑋𝑛 , 𝑛 ≥ 1 i 𝑌𝑛 , 𝑛 ≥ 1 nezavisni nizovi,
tada je tačkasti proces 𝑁 = 𝜀(𝑋𝑖 ,𝑌𝑖)∞𝑖=1 PSM(𝜇 × 𝐹) na skupu E = E1 × E2.
Proces 𝜀(𝑋𝑖 ,𝑌𝑖)∞𝑖=1 koji se dobija kao rezultat postupka označavanja se naziva
označena PSM, niz 𝑌𝑖 , 𝑖 ≥ 1 je niz oznaka a raspodela slučajnih promenljivih 𝑌𝑖 , 𝑖 =
1,2, …, je raspodela oznaka. Takođe važi da se svaka PSM N na 𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2 sa srednjom
merom 𝜇 × 𝐹 na E, gde je μ Radonova mera na 𝐸1 i F funkcija raspodele na 𝐸2, može
interpretirati kao označena PSM sa funkcijom raspodele oznaka F.
Dokaz : Pre svega, potrebno je uočiti da je
𝑔 𝑑𝑁 𝐸
= 𝑔 𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 .∞
𝑖=1
U osnovi razmatranja je Laplaceov funkcional 𝜓𝑁 𝑔 procesa N,
𝜓𝑁 𝑔 = 𝐸 𝐸 𝑒− 𝑔(𝑋𝑖 ,𝑌𝑖)∞𝑖=1 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 ,
gde je 𝑔 ≥ 0, ograničena, merljiva funkcija na E.
Kako su 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 i 𝑌𝑖 , 𝑖 ≥ 1 nezavisni nizovi i 𝑌𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz nezavisnih
slučajnih promenljivih čija je funkcija raspodele F, važi da je
𝜓𝑁 𝑔 = 𝐸 𝑒−𝑔 𝑋𝑖 ,𝑦 𝐹 𝑑𝑦 𝐸2
∞
𝑖=1
= 𝐸𝑒 log 𝑒−𝑔 𝑋𝑖 ,𝑦 𝐹(𝑑𝑦 )𝐸2
∞𝑖=1
= 𝐸𝑒− 𝑓 𝑥 𝑁𝑋 (𝑑𝑥 )𝐸1 ,
pri čemu je NX PSM(μ) sa tačkama 𝑋𝑖 i funkcija 𝑓 data sa
𝑓 𝑥 = − log 𝑒−𝑔 𝑥 ,𝑦 𝐹 𝑑𝑦 𝐸2
.
Na osnovu 𝑒−𝑔 𝑥 ,𝑦 𝐹 𝑑𝑦 𝐸2
≤ 1 sledi da je 𝑓 ≥ 0. Prema tome, može se primeniti Lema
3.1(1). Imajući u vidu da je F funkcija raspodele na 𝐸2, dobija se
𝜓𝑁 𝑔 = 𝑒− 1−𝑒−𝑓 𝑥 𝜇(𝑑𝑥 )𝐸1
= 𝑒− 1− 𝑒−𝑔 𝑥 ,𝑦 𝐹 𝑑𝑦
𝐸2 𝜇 (𝑑𝑥 )
𝐸1
= 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝑥 ,𝑦 𝜇×𝐹 (𝑑𝑥 ×𝑑𝑦 )
𝐸1×𝐸2 .
Prethodni izraz predstavlja Laplaceov funkcional PSM(𝜇 × 𝐹) na 𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2.
42
U nastavku će biti dokazano da se svaka PSM(𝜇 × 𝐹) N na 𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2 , gde je 𝜇
Radonova mera na 𝐸1 i F funkcija raspodele na 𝐸2 može interpretirati kao označena PSM
sa funkcijom raspodele oznaka F.
Neka je 𝑔 ≥ 0 ograničena, merljiva funkcija i (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖), 𝑖 ≥ 1 tačke PSM N. Kako je N
PSM(𝜇 × 𝐹), važi
𝜓𝑁 𝑔 = 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝑥 ,𝑦 𝜇×𝐹 (𝑑𝑥 ×𝑑𝑦 )
𝐸1×𝐸2
= 𝑒− 1− 𝑒−𝑔 𝑥 ,𝑦 𝐹 𝑑𝑦
𝐸2 𝜇 (𝑑𝑥 )𝐸1
= 𝑒− 1−𝑒−𝑓 𝑥 𝜇(𝑑𝑥 )𝐸1 ,
pri čemu je
𝑓 𝑥 = − log 𝑒−𝑔 𝑥 ,𝑦 𝐹 𝑑𝑦 𝐸2
.
Na osnovu 𝑒−𝑔 𝑥 ,𝑦 𝐹 𝑑𝑦 𝐸2
≤ 1 sledi da je 𝑓 ≥ 0. Sa druge strane je
𝜓𝑁 𝑔 = 𝐸 𝐸 𝑒− 𝑔(𝑋𝑖 ,𝑌𝑖)∞𝑖=1 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 .
= 𝐸 𝑒−𝑔 𝑋𝑖 ,𝑦 𝐹 𝑑𝑦 𝐸2
∞
𝑖=1
= 𝐸𝑒 log 𝑒−𝑔 𝑋𝑖 ,𝑦 𝐹(𝑑𝑦 )𝐸2
∞𝑖=1
= 𝐸𝑒− 𝑓 𝑥 𝑁𝑋 (𝑑𝑥 )𝐸1
= 𝜓𝑁𝑋 𝑓 .
Dakle,
𝜓𝑁𝑋 𝑓 = 𝑒
− 1−𝑒−𝑓 𝑥 𝜇 (𝑑𝑥 )𝐸1 ,
tj. 𝑁𝑋 je PSM(𝜇). ⟡
U okviru sledećeg primera biće ilustrovano nezavisno oslabljivanje PSM. U
opštem slučaju, pod pojmom nezavisnog oslabljivanja stohastičkog procesa se
podrazumeva određeni vid njegove dekompozicije, pri čemu komponente zadržavaju
svojstva polaznog procesa, a sam kriterijum na osnovu kojeg se vrši oslabljivanje je
nezavisan od procesa.
Primer 4.2 (Nezavisno oslabljivanje PSM)
Neka su 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, …, tačke procesa NX koji je PSM(μ) na skupu E ⊂ Rd. Ovoj PSM se
pridružuje niz oznaka 𝑌𝑖 , 𝑖 ≥ 1 koje su nezavisne slučajne promenljive sa
43
Bernoullijevom raspodelom čija funkcija raspodele FY je određena verovatnoćama
𝑃 𝑌𝑖 = 1 = 𝑝 i 𝑃 𝑌𝑖 = −1 = 𝑞, gde je 𝑝 + 𝑞 = 1 i 𝑝 ∈ 0,1 .
Označeni tačkasti proces
𝑁𝑋,𝑌 = 𝜀(𝑋𝑖 ,𝑌𝑖)
∞
𝑖=1
,
je PSM(𝜇 × 𝐹𝑌) na skupu 𝐸 × +1, −1 . Specijalno, tačkasti procesi
𝑁𝑋+ = 𝜀𝑋𝑖
𝐼 𝑌1=+1
∞
𝑖=1
= 𝑁𝑋 ,𝑌 ∙ ∩ 𝐸 × +1 ,
𝑁𝑋− = 𝜀𝑋𝑖
𝐼 𝑌1=−1
∞
𝑖=1
= 𝑁𝑋 ,𝑌 ∙ ∩ 𝐸 × −1 ,
su nezavisni, jer su definisani na disjunktnim skupovima 𝐸 × +1 i 𝐸 × −1 . Kako su
𝑁𝑋+ i 𝑁𝑋
− restrikcije PSM 𝑁𝑋 , na skupovima 𝐸 × +1 i 𝐸 × −1 , na osnovu primera 3.2,
sledi da su 𝑁𝑋+ i 𝑁𝑋
− PSM sa srednjim merama koje su restrikcije srednje mere 𝜇 na tim
skupovima. Kako je 𝑁𝑋 PSM sa srednjom merom 𝜇 na skupu E, za svako 𝐴 ∈ Ɛ, slučajna
promenljiva 𝑁𝑋(𝐴) ima Poissonovu raspodelu sa parametrom 𝜇(𝐴), tako da je
𝐸𝑁𝑋 𝐴 = 𝜇(𝐴). Srednja mera procesa 𝑁𝑋+ se određuje kao
𝐸𝑁𝑋+ 𝐴 = 𝐸 𝜀𝑋𝑖
(𝐴)𝐼 𝑌1=+1
∞
𝑖=1
= 𝐸 𝐸 𝜀𝑋𝑖(𝐴)𝐼 𝑌1=+1
∞
𝑖=1
𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1
= 𝐸 0𝑃 𝑌1 = −1 + 𝜀𝑋𝑖(𝐴)𝑃 𝑌1 = +1
∞
𝑖=1
= 𝑝𝐸 𝜀𝑋𝑖(𝐴)
∞
𝑖=1
= 𝑝𝜇 𝐴 .
Postupak kojim su dobijeni tačkasti procesi 𝑁𝑋+ i 𝑁𝑋
− su jednostavni primeri
nezavisnog oslabljenja procesa NX . Zaista, za svaku tačaku 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, …, procesa NX, u
zavisnosti od realizacije slučajne promenljive 𝑌𝑖 tj. da li je 𝑌𝑖 = +1 ili 𝑌𝑖 = −1, odlučuje se
da li se 𝑋𝑖 uključuje u prebrojavanje ili se isključuje. Tako proces 𝑁𝑋+ prebrojava samo
one slučajne promenljive 𝑋𝑖 za koje oznaka 𝑌𝑖 uzima vrednost +1.
Ovaj postupak je ilustrovan na Slici 4.1 gde su razmatrani podaci o iznosima šteta
osiguranja od požara u Danskoj koji su objavljeni 2002 godine. Originalne tačke procesa
se sastoje iz parova 𝑇𝑖 , 𝑋𝑖 gde je prva komponenta dolazno vreme štete, a druga njen
iznos. Oslabljeni proces sadrži samo one tačke za koje je prijavljen gubitak profita. Ova
praksa je tipična za prodavnice i poslovne zgrade koje se ne mogu koristiti nakon
44
požara. Može se, naravno, sumnjati u to da je predložena procedura oslabljivanja takva
da je kriterijum po kome se 𝑋𝑖 prebrojava ili ne zaista nezavisna od 𝑋𝑖 .
Slika 4.1
Na levom grafiku Slike 4.1, su ilustrovani podaci o iznosima šteta osiguranja od požara u
Danskoj koji su objavljeni 2002 godine. Svako dolazno vreme 𝑇𝑖 je označeno
odgovarajućom logaritmovanom vrednošću iznosa štete log 1 + 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1, … ,447, gde
𝑋𝑖 predstavlja oštećenje na objektu. Oznake se na levom grafiku nalaze iznad apscise. Na
desnom grafiku iste slike je ilustrovan oslabljeni proces koji se sastoji od onih tačaka
𝑇𝑖 , log(1 + 𝑋𝑖) za koje je prijavljen gubitak profita 𝑃𝑖 . Nakon oslabljenja, 168 šteta je
uključeno, što je 37% od ukupnog godišnjeg broja šteta. Na oba grafika su prikazane i
negativne vrednosti −log 1 + 𝑃𝑖 , 𝑖 = 1, … , 447, ispod apscisa zbog preglednosti. One
štete za koje nije prijavljen gubitak profita su na oba grafika predstavljene tačkama
𝑇𝑖 , 0 .
4.3 Cramér-Lundbergov model i srodni modeli kao označene
Poissonove slučajne mere
U osnovi razmatranja je Cramér-Lundbergov model u kontekstu teorije tačkastih
procesa.
Primer 4.3 (Cramér-Lundbergov model kao označena PSM)
Posmatra se isti tačkasti proces N kao u Primeru 2.1, koji je generisan tačkama 𝑇𝑖 , 𝑋𝑖 ,
pri čemu je 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz obnavljanja nezavisan od niza 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 nezavisnih slučajnih
promenljivih sa skupom stanja E2 = (0,∞) i funkcijom raspodele F. Jedna od mogućih
interpretacija je da je 𝑋𝑖 iznos štete koja se dešava u trenutku 𝑇𝑖 . Ako su 𝑇𝑖 tačke
45
homogenog Poissonovog procesa na E1 = (0,∞), sa intenzitetom λ > 0, tada, na osnovu
Propozicije 4.2, tačke 𝑇𝑖 , 𝑋𝑖 predstavljaju označenu PSM N sa skupom stanja
𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2 i srednjom merom λ Leb× 𝐹.
Neposredna posledica ove činjenice je da su slučajne promenljive
𝑁 𝐴1 , … , 𝑁(𝐴𝑚) međusobno nezavisne i imaju Poissonovu raspodelu, pod uslovom da
su 𝐴1, … , 𝐴𝑚 disjunktni skupovi.
Specijalno, neka je (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, disjunktna dekompozicija vremena i neka
su skupovi 𝐴𝑖 definisani na sledeći način
𝐴𝑖 = (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 × 𝐵𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚,
pri čemu su 𝐵𝑖⊂ (0,∞) Borelovi skupovi. Tada su brojevi šteta koje se dešavaju u
vremenskim intervalima (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 i čiji iznosi šteta se nalaze u skupu 𝐵𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚,
međusobno nezavisni. Na primer, (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚 mogu označavati disjunktne
godine, mesece, dane i slično.
Još jedan važan specijalan slučaj se javlja ukoliko se posmatra dekompozicija
prostora iznosa šteta na disjunktne skupove, na primer oblika (𝑐𝑖 , 𝑑𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚. Tada
su, za svaki Borelov skup 𝐶𝑖 iz (0,∞), 𝑖 = 1, … , 𝑚, brojevi šteta 𝑁(𝐶𝑖 × (𝑐𝑖 , 𝑑𝑖 ) sa
sredinom λ|𝐶𝑖| 𝐹 𝑑𝑖 − 𝐹(𝑐𝑖) međusobno nezavisne slučajne promenljive sa
Poissonovom raspodelom. Pritom 𝑁(𝐶𝑖 × (𝑐𝑖 , 𝑑𝑖 ) označava broj šteta nastalih u periodu
𝐶𝑖 , čiji iznosi pripadaju intervalu (𝑐𝑖 , 𝑑𝑖 . Dakle, svaka dekompozicija prostora iznosa
šteta na disjunktne skupove implicira nezavisnost brojeva šteta, bez obzira na oblik
skupova 𝐶𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚.
Međutim, ukoliko se krene od pretpostavke da se radi o Cramér-Lundbergovom
modelu, dobija se stroži rezultat. Neka su 𝐴1, … , 𝐴𝑚 disjunktni Borelovi skupovi u E i
𝑓𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑚 realne, merljive i integrabilne funkcije. Tada su, na osnovu Leme 3.3,
integrali
𝑓𝑘𝑑𝑁
𝐴𝑘
= 𝑓𝑘(
𝑖: 𝑇𝑖 ,𝑋𝑖 ∈𝐴𝑖
𝑇𝑖 , 𝑋𝑖), 𝑘 = 1, … , 𝑚,
nezavisne slučajne promenljive. Na primer, neka je 𝑓𝑘 𝑡, 𝑥 = 𝑥 i 𝐴𝑘 = (𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 × 𝐵𝑘 , pri
čemu su intervali (𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑚, disjunktni. Tada su ukupni iznosi šteta
𝑓𝑘𝑑𝑁
𝐴𝑘
= 𝑋𝑖 ,
𝑖:𝑎𝑘<𝑇𝑖≤𝑏𝑘 ,𝑋𝑖∈𝐵𝑘
𝑘 = 1, … , 𝑚,
nezavisne slučajne promenljive. Dakle, ukupni iznosi šteta u disjunktnim vremenskim
periodima (godinama, mesecima, danima i slično) predstavljaju nezavisne slučajne
promenljive. Na osnovu sličnog argumenta, ukupni iznosi šteta čije su vrednosti u
intervalima (𝑐𝑖 , 𝑑𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, su takođe nezavisne slučajne promenljive, bez obzira na
vremenski period 𝐶𝑖 . Prema tome, slučajne promenljive
𝑋𝑖 ,
𝑖:𝑇𝑖∈𝐶𝑘 ,𝑐𝑘<𝑋𝑖≤𝑑𝑘
𝑘 = 1, … , 𝑚, (4.1)
46
su međusobno nezavisne.
Prethodni rezultati važe i u slučaju da je 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz dolaznih vremena
nehomogenog Poissonovog procesa. Ono što se menja je srednja mera μ Poissonovog
procesa na vremenskoj osi. Na primer, sa istom notacijom i pod istim pretpostavkama
kao u prethodnom slučaju, brojevi šteta 𝑁(𝐶𝑖 × (𝑐𝑖 , 𝑑𝑖 )) su međusobno nezavisne
slučajne promenljive sa Pois 𝜇(𝐶𝑖) 𝐹 𝑑𝑖 − 𝐹(𝑐𝑖) raspodelom i ukupni iznosi šteta iz
(4.1) su nezavisne slučajne promenljive.
Primer 4.4 (Višedimenzionalni iznosi šteta)
Na osnovu Propozicije 4.2 proistekla je zanimljiva činjenica, a to je da oznake PSM mogu
biti višedimenzionalne. Na primer, neka je 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 ⊂ E1 = (0,∞) niz dolaznih vremena
homogenog Poissonovog procesa sa intenzitetom λ > 0 i neka su oznake 𝑋𝑖 ∈ E2 = (0,∞)d
nezavisni d-dimenzionalni slučajni vektori sa istom funkcijom raspodele F. Tada su
𝑇𝑖 , 𝑋𝑖 tačke PSM(λ Leb× 𝐹) na 𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2 = (0,∞)d+1. Vektor 𝑋𝑖 se može interpretirati
kao višestruki iznos štete koja je prouzrokovana događajem koji se dešava u trenutku 𝑇𝑖 .
Ovaj model se može interpretirati kao višedimenzionalni Cramér-Lundbergov model.
Na primer, neka je 𝑇𝑖 „dolazno vreme“ požara na osiguranom objektu. Pored toga,
neka 𝑋𝑖(1)
označava oštećenje na objektu, 𝑋𝑖(2)
oštećenje sadržaja zgrade (nameštaja,
dragocenosti, mašina i slično) i 𝑋𝑖(3)
oštećenje na susednim objektima usled požara. Pri
ovakvom označavanju, 𝑋𝑖 = 𝑋𝑖(1)
, 𝑋𝑖(2)
, 𝑋𝑖(3)
predstavlja višestruki iznos štete.
Opravdano je pretpostaviti da su slučajni vektori 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … nezavisni, dok sa druge
strane, pretpostavka da su komponente 𝑋𝑖(𝑘)
, k=1,2,3, ovih vektora nezavisne nije
opravdana. U prethodno opisanom scenariju, tipično je da se javlja uzajamna zavisnost
komponenata vektora 𝑋𝑖 za svako fiksirano 𝑖.
Slika 4.2
47
Na levom grafiku Slike 4.2 ilustrovani su podaci iz 2002 godine o višestrukim
iznosima šteta u slučaju osiguranja od požara u Danskoj koji predstavljaju označeni
tačkasti proces. Ukupno je prijavljeno 447 požara koji su prouzrokovali štete čiji su
iznosi veći od 1 milion danskih kruna. Svaka od ovih šteta određuje trodimenzionalnu
realizaciju slučajnog vektora iznosa štete, odnosno, štetu na objektu, štetu na sadržaju
objekta i gubitak profita. Poslednja kategorija podrazumeva, na primer, poslovne zgrade
koje se ne mogu koristiti nakon požara. Na grafiku je na logaritamskoj skali prikazan
trodimenzionalan označeni tačkasti proces čije su komponente dolazna vremena i iznosi
šteta na objektu i njegovom sadržaju. Neki od dvodimenzionalnih iznosa šteta imaju
jednu komponentu koja je jednaka nuli, što odgovara slučaju da nije prijavljeno
oštećenje na objektu ili njegovom sadržaju.
Svako dolazno vreme 𝑇𝑖 , 𝑖 = 1, … , 447 na 𝑥-osi je označeno parom log(1 +
𝑋𝑖) , − log(1 + 𝑌𝑖) odgovarajućih logaritmovanih vrednosti iznosa šteta, gde 𝑋𝑖
predstavlja oštećenje na objektu i nalazi se iznad 𝑥 ose, a 𝑌𝑖 oštećenje sadržaja objekta i
nalazi se ispod 𝑥 ose. Tačke koje leže na 𝑥-osi predstavljaju one štete kod kojih nije
prijavljeno oštećenje na objektu ili sadržaju objekta. Na desnom grafiku iste slike su
prikazane tačke log(1 + 𝑋𝑖) , − log(1 + 𝑌𝑖) . Većina tačaka je koncentrisana u blizini
prave 𝑥 = 𝑦 što ukazuje na to da su 𝑋𝑖 i 𝑌𝑖 zavisne slučajne promenljive.
Gruba procena podataka pokazuje da postoji zavisnost između komponenata
dvodimenzionalnih iznosa šteta, što je prikazano na desnom grafiku Slike 4.2. Na primer,
procenjena korelacija između komponenata je 0,43.
Primer 4.5 (Kašnjenje u prijavljivanju šteta)
Još jedna zanimljiva primena Poissonovih slučajnih mera je u kontekstu kašnjenja u
prijavljivanju šteta. Pod tim se podrazumeva da i-ta šteta nije prijavljena osiguravajućoj
kompaniji u trenutku nastanka 𝑇𝑖 , već u trenutku 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , sa nekim slučajnim
vremenskim zakašnjenjem 𝐷𝑖 . Postoji jak empirijski dokaz da se većina šteta prijavljuje
sa značajnim zakašnjenjem. Razlozi ovakvih pojava su višestruki. Na primer, šteta se
može dogoditi na odmoru ili u nedelji između novogodišnje noći i Božića. Većina
kancelarija (barem u Evropi) je tada zatvorena i može biti teško da se ostvare bilo kakva
prava. Alternativno, vozač može biti učesnik nesreće i mora da ostane u bolnici duži
vremenski period bez mogućnosti da prijavi oštećenje svom osiguravajućem društvu. U
različitim slučajevima, osiguranik nije mogao biti svestan štete ili je, zbog katastrofalnog
događaja bio prezauzet da bi je prijavio. Situacija poput ove se često javlja u slučaju
snažnih oluja. Tada mogu proći meseci pre nego što se prijave sve štete. U takvim
situacijama, ukupan iznos štete može biti veliki zbog jednog značajnog događaja i samim
tim poželjno je da se ocenjivanje broja šteta i ukupnog iznosa šteta bazira na istorijskim
podacima o sličnim štetama.
U tom kontekstu, pojednostavljeni model je sledeći. Sa 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 je označen niz
dolaznih vremena šteta homogenog Poissonovog procesa sa intenzitetom λ > 0, pri čemu
su štete prijavljene sa zakašnjenjem 𝐷𝑖 , tj. u trenucima 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , 𝑖 = 1,2, …. Neka je
𝐷𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz nezavisnih, pozitivnih slučajnih promenljivih kašnjenja sa istom funkcijom
raspodele FD, nezavisan od niza 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 dolaznih vremena i od niza 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1
48
nezavisnih iznosa šteta sa istom raspodelom. Tada je (𝑋𝑖 , 𝐷𝑖), 𝑖 ≥ 1 niz nezavisnih
parova sa istom raspodelom i nezavisan je od niza 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 . Na osnovu Propozicije 4.2,
tačke 𝑇𝑖 , 𝑋𝑖 , 𝐷𝑖 predstavljaju PSM(λ Leb× 𝐹 × 𝐹𝐷) na skupu E = (0,∞)3.
Specijalno, na osnovu Propozicije 4.1, dolazi se do zaključka da tačke 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 čine
PSM NT+D na (0,∞) sa srednjom merom na (0, t] datom sa
𝜐(0, 𝑡 = 𝐸𝑁𝑇+𝐷(0, 𝑡 = 𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝐷 𝑠, 𝑑 : 0 < 𝑠 + 𝑑 ≤ 𝑡
= 𝜆 𝐹𝐷 𝑑𝑟 𝑑𝑠
𝑡−𝑠
𝑟=0
𝑡
𝑠=0
= 𝜆 𝐹𝐷 𝑥 𝑑𝑥
𝑡
𝑜
= 𝜆𝑡 − 𝜆 𝑃 𝐷 > 𝑥 𝑑𝑥.
𝑡
0
(4.2)
Specijalno, ako je 𝐸𝐷 = 𝑃 𝐷 > 𝑥 𝑑𝑥 < ∞∞
0, tada važi
𝑡−1𝐸𝑁𝑇+𝐷(0, 𝑡 = 𝜆 − 𝒪 𝑡−1 , 𝑡 → ∞.
Prema tome, broj šteta se, u srednjem, ne razlikuje od analognog rezultata u Cramér-
Lundbergovom modelu ukoliko je t veliko. Očekivani broj šteta u vremenskom intervalu
fiksirane dužine h (na primer, jedna godina) se izračunava na sledeći način
𝐸𝑁𝑇+𝐷(𝑡, 𝑡 + = 𝜆 𝐹𝐷 𝑥 𝑑𝑥
𝑡+
𝑡
.
Tada, za veliko t i neprekidnu funkciju raspodele FD važi sledeća asimptotska relacija
𝐸𝑁𝑇+𝐷(𝑡, 𝑡 + ≈ 𝜆𝐹𝐷 𝑡 .
Sa aspekta osiguravajuće kompanije, jedna od interpretacija slučaja u kome štete
nisu bile prijavljene osiguravajućoj kompaniji tokom dovoljno dugog vremenskog
perioda može biti model u kome je 𝐹𝐷 raspodela sa teškim repovima i konačnim
matematičkim očekivanjem pri čemu t nije veliko. Tada odstupanje vrednosti 𝜆𝐹𝐷 𝑡 od
odgovarajuće vrednosti 𝐸𝑁(𝑡, 𝑡 + = 𝜆 u Cramér-Lundbergovom modelu, koje može
biti značajno, pokazuje razliku između slučaja u kome se štete prijavljuju neposredno
nakon nastanka i slučaja u kome se kasni u prijavljivanju.
Ako se označi PSM NT+D, koja je generisana tačkama 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , nizom 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1
nezavisnih iznosa šteta sa istom raspodelom, tada tačke 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖 čine PSM(𝜈 × 𝐹) na
(0,∞)2, gde je ν data izrazom (4.2) i F je funkcija raspodele iznosa šteta. Kao u Primeru
4.3, može se razložiti vremenska osa i/ili prostor iznosa šteta na disjunktne skupove, što
kao posledicu ima nezavisnost broja šteta i ukupnih iznosa šteta u disjunktnim
vremenskim periodima i/ili intervalima iznosa šteta.
49
Primer 4.6 (Reprezentacija ukupnog iznosa šteta na nekom podskupu u obliku složene
Poissonove sume, nastavak Primera 4.3)
U Primeru 4.3 proučavan je ukupan iznos šteta u slučaju Cramér-Lundbergovog modela
koji je posmatran kao označeni homogeni Poissonov proces. Tada su 𝑇𝑖 tačke
homogenog Poissonovog procesa sa intenzitetom λ > 0 na (0,∞), koji je nezavisan od
niza 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 nezavisnih, pozitivnih iznosa šteta čija je funkcija raspodele F. Na osnovu
Posledice 3.1, dolazi se do zaključka da se ukupan iznos štete na Borelovom skupu A ∈ Ɛ
= ℬ((0,∞)2), pri čemu je 𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹 𝐴 < ∞, može predstaviti u obliku složene
Poissonove sume
𝑥 𝑁(𝑑𝑡, 𝑑𝑥)
𝐴
= 𝑋𝑖
𝑖:(𝑇𝑖 ,𝑋𝑖)∈𝐴
𝑟= 𝑍𝑖
𝑀
𝑖=1
.
Pritom je slučajna promenljiva M ~ Pois 𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹 𝐴 nezavisna od niza
nenegativnih, nezavisnih slučajnih promenljivih 𝑍𝑖 , 𝑖 ≥ 1 čija je funkcija raspodele FZ
data sa
𝐹𝑍 𝑦 = 𝐺 𝑡, 𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 ≤ 𝑦
= 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹 𝐴 ∩ 0, ∞ × 0, 𝑦
𝐿𝑒𝑏 × 𝐹 (𝐴), 𝑦 > 0.
Specijalno, neka je 𝐴 = 𝐵 × 𝐶, pri čemu su B,C ⊂ (0,∞) Borelovi skupovi, F(C)>0 i |B|>0.
Tada je M ∼ Pois(λ |B| F(C)) i
𝐹𝑍 𝑦 =𝐹(𝐶 ∩ 0, 𝑦 )
𝐹(𝐶)= 𝑃 𝑋1 ≤ 𝑦 𝑋1 ∈ 𝐶 , 𝑦 ≥ 0.
tj. raspodela slučajne promenljive 𝑍𝑖 je ista kao uslovna raspodela slučajne promenljive
𝑋𝑖 pod uslovom da 𝑋𝑖 ∈ C. Ako je funkcija 𝑓 definisana na sledeći način 𝑓 𝑡, 𝑥 = 𝑥, važe
sledeće relacije
𝐸 𝑓 𝑑𝑁𝐴
= 𝜆 𝑥 𝑑𝑡 𝐹 𝑑𝑥 ,𝐴
𝑣𝑎𝑟 𝑓 𝑑𝑁𝐴
= 𝜆 𝑥2
𝐴
𝑑𝑡 𝐹 𝑑𝑥 .
U slučaju da je 𝐴 = 𝐵 × 𝐶 važe sledeće pojednostavljene formule
𝐸 𝑓 𝑑𝑁𝐴
= 𝜆 𝐵 𝑥 𝐹(𝑑𝑥)𝐶
= 𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹 𝐴 𝐸 𝑋1 𝑋1 ∈ 𝐶 ,
50
𝑣𝑎𝑟 𝑓 𝑑𝑁𝐴
= 𝜆 𝐵 𝑥2 𝐹(𝑑𝑥)𝐶
= 𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹 𝐴 𝐸 𝑋12 𝑋1 ∈ 𝐶 .
Analogne formule se mogu izvesti i ako se radi o Cramér-Lundbergovom modelu
kod kog se javlja kašnjenje u prijavljivanju šteta.
4.4 Superpozicija Poissonovih slučajnih mera
Treći metod za konstrukciju nove PSM na osnovu datih PSM je superpozicija ili
spajanje PSM. Sam metod se bazira na činjenici da je suma m nezavisnih slučajnih
promenljivih sa Poissonovom raspodelom sa parametrima 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, slučajna
promenljiva sa Poissonovom raspodelom sa parametrom 𝜆 = 𝜆1 + … + 𝜆𝑚 .
Propozicija 4.3 Neka su N1, . . . , Nm međusobno nezavisni tačkasti procesi na istom skupu
E ⊂ 𝑅d. Ako je Ni PSM(𝜇𝑖) sa srednjom merom 𝜇𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, tada je superpozicija ovih
procesa, tj. tačkasti proces N = N1 + . . . + Nm PSM na E sa srednjom merom 𝜇 = 𝜇1 + … +
𝜇𝑚 .
Dokaz: Neka su 𝑁1, … , 𝑁𝑚 , nezavisne PSM(𝜇𝑖), 𝑁 = 𝑁1 + … + 𝑁𝑚 i 𝑔 ≥ 0, ograničena,
merljiva funkcija. Za svako 𝑖 = 1, … , 𝑚,, neka su 𝑋𝑗(𝑖)
, 𝑗 = 1,2, …, tačke procesa 𝑁𝑖 . Najpre
je potrebno primetiti da je
𝑔 𝑑𝑁𝐸
= 𝑔 𝑋𝑗(𝑖)
.
∞
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
Tada je
𝜓𝑁 𝑔 = 𝐸𝑒− 𝑔 𝑑𝑁𝐸 = 𝐸𝑒− 𝑔 𝑋𝑗
𝑖 ∞
𝑗 =1𝑚𝑖=1
= 𝐸𝑒− 𝑔 𝑋𝑗 𝑖
∞𝑗 =1
𝑚
𝑖=1
= 𝜓𝑁𝑖 𝑔
∞
𝒊=1
= 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝑥 𝜇 𝑖(𝑑𝑥 )𝐸
∞
𝑖=1
= 𝑒− 1−𝑒−𝑔 𝑥 (𝜇1+ …+𝜇𝑚 )(𝑑𝑥 )𝐸 .
Dakle, superpozicija N je PSM(𝜇1 + … + 𝜇𝑚). ⟡
Rezultat prethodne propozicije je veoma pogodan s obzirom na to da se na
superpoziciju N može primeniti celokupna teorija koja je do sada uvedena. Na primer,
integrali 𝑓𝑖 𝑑𝑁𝐸
su međusobno nezavisni ako funkcije 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑘 imaju disjunktne
51
nosače. Specijalno, na osnovu Leme 3.3, ukupni iznosi šteta 𝑥 𝑑𝑁𝐴𝑖
u disjunktnim
skupovima 𝐴𝑖 ⊂ E, 𝑖 = 1, … , 𝑘, su nezavisni.
U nastavku će biti razmatran slučaj kada su 𝑁𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚 međusobno nezavisni
označeni Poissonovi procesi. Tada, u opštem slučaju, superpozicija N nije označeni
Poissonov proces, tj. Poissonov proces sa srednjom merom koja je proizvod
odgovarajućih mera.
Primer 4.7 (Superpozicija nezavisnih označenih Poissonovih procesa)
Neka su 𝑁𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚 međusobno nezavisni označeni Poissonovi procesi, odnosno
označene PSM, na skupu 𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2, pri čemu je 𝜇𝑖 × 𝐹𝑖 srednja mera procesa 𝑁𝑖 , 𝜇𝑖
Radonova mera na E1 i 𝐹𝑖 funkcija raspodele na E2.
U kontekstu osiguranja, superpozicija nezavisnih označenih PSM ima značajnu
ulogu. Iz tog razloga razmatra se 𝑚 nezavisnih portfolija, od kojih svaki odgovara
različitoj grani neživotnog osiguranja, kao što je osiguranje od požara, osiguranje
motornih vozila, osiguranje kuća. Neka je {𝑇𝑗(𝑖)
, 𝑗 ≥ 1} niz dolaznih vremena u i-tom
portfoliju, koji je generisan PSM(𝜇𝑖) na (0,∞) i nezavisan je od niza {𝑋𝑗(𝑖)
, 𝑗 ≥ 1} iznosa
šteta koje su nezavisne slučajne promenljive čija je funkcija raspodele 𝐹𝑖 i skup stanja E2,
tj. par 𝑇𝑗 𝑖 , 𝑋𝑗
𝑖 određuje 𝑗-tu štetu u 𝑖-tom portfoliju. Tačkasti niz 𝑇𝑗 𝑖 , 𝑋𝑗
𝑖 , 𝑗 ≥ 1
opisuje evoluciju šteta u 𝑖-tom portfoliju.
Spajanjem m nezavisnih portfolija konstruisan je novi portfolio, u okviru kojeg se
ne pravi razlika u tome iz kojeg su portfolija štete. Na taj način se dobija niz (𝑇𝑘 ,𝑋𝑘), 𝑘 =
1,2, …, pri čemu je 𝑇𝑘=𝑇𝑗 𝑖 , za neki par indeksa 𝑖, 𝑗 i odgovarajući iznos štete 𝑋𝑘 = 𝑋𝑗
𝑖
ima funkciju raspodele 𝐹𝑖 . Dakle, tačkasti niz ( 𝑇𝑘 , 𝑋𝑘), 𝑘 ≥ 1 opisuje evoluciju šteta u
čitavom portfoliju.
Zanimljiva posledica Propozicije 4.3 je činjenica da je tačkasti proces N=N1+ . . .
+Nm broja šteta u spojenom portfoliju PSM(μ) na 𝐸1 × 𝐸2 čija je srednja mera
𝜇 = (𝜇𝑖 × 𝐹𝑖)𝑚𝑖=1 . Specijalno, za svaka dva Borelova skupa A ⊂ E1 i B ⊂ E2, važi
𝜇 𝐴 × 𝐵 = 𝜇𝑖 𝐴 𝑚
𝑖=1𝐹𝑖 𝐵 .
U opštem slučaju, poslednja relacija se ne može predstaviti u obliku 𝜇 𝐴 × 𝐵 =
𝜈 𝐴 𝐹(𝐵), pri čemu su A ⊂ E1 i B ⊂ E2 Borelovi skupovi, ν srednja mera na E1 i F funkcija
raspodele na E2. Dakle, u opštem slučaju, μ nema predstavljanje u obliku 𝜇 = 𝜈 × 𝐹, tj. u
obliku proizvoda mera. Sa druge strane, za svaki označeni tačkasti proces M na 𝐸1 × 𝐸2,
srednja mera 𝜈 × 𝐹 određuje raspodelu slučajne promenljive M, pri čemu je ν Radonova
mera na E1 i F funkcija raspodele na E2.
Međutim, postoje specijalni slučajevi kada μ ima reprezentaciju u obliku
proizvoda mera 𝜇 = 𝜈 × 𝐹. U nastavku će biti razmatran primer koji ilustruje takvu
situaciju.
Neka su 𝜇𝑖 = 𝜆𝑖𝛾, 𝑖 = 1, … , 𝑚, pri čemu su 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, pozitivni brojevi i γ
Radonova mera na E1. Ako su ispunjeni sledeći uslovi
52
𝜆 = 𝜆1 + ∙ ∙ ∙ + 𝜆𝑚 , 𝐹 = 𝑝𝑖𝐹𝑖
𝑚
𝑖=1
, 𝑝𝑖 =𝜆𝑖
𝜆, 𝑖 = 1, … , 𝑚,
tada je F funkcija raspodele na E2 i
𝜇(𝐴 × 𝐵) = 𝜆𝛾(𝐴) 𝑝𝑖𝐹𝑖 𝐵 𝑚
𝑖=1= 𝜆𝛾 𝐴 𝐹 𝐵 ,
pri čemu su A ⊂ E1 i B ⊂ E2 Borelovi skupovi. Na osnovu poslednje relacije, dolazi se do
zaključka da je μ proizvod odgovarajućih mera na 𝐸1 × 𝐸2. Dakle, superpozicija N ima
reprezentaciju označene PSM na 𝐸1 × 𝐸2 , čija je srednja mera 𝜆𝛾 × 𝐹. Taj proces je
određen tačakama 𝑇𝑖 , 𝑋𝑖 , pri čemu 𝑇𝑖 , 𝑖 = 1,2, …, predstavljaju dolazna vremena
Poissonovog procesa na E1 sa srednjom merom 𝜆𝛾, koji je nezavisan od niza 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1
nezavisnih slučajnih promenljivih sa funkcijom raspodele F. Specijalno, ako je γ = Leb, N
je označena homogena PSM sa intenzitetom λ. Očigledno, u tom slučaju, funkcija
raspodele F je mešavina funkcija raspodela 𝐹𝑖 sa težinskim koeficijentima 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚,
tj. 𝑝𝑖 ≥ 0 i 𝑝𝑖𝑚𝑖=1 = 1. Specijalno, važi sledeća jednakost u raspodeli
𝑋𝑖 𝑟= 𝐼 𝐽=1 𝑋1
(1)+ … + 𝐼 𝐽=𝑚 𝑋1
(𝑚),
pri čemu je sa 𝑝𝑖 = 𝑃 𝐽 = 𝑗 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, određena raspodela slučajne promenljive J koja
je nezavisna od međusobno nezavisnih slučajnih promenljivih 𝑋1(𝑖)
, 𝑖 = 1, … , 𝑚.
Ako je 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz dolaznih vremena u spojenom portfoliju, onda se niz
𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 odgovarajućih iznosa šteta dobija biranjem jedne od 𝑚 funkcija raspodela 𝐹𝑖
iznosa šteta, a biranje opisuje slučajna promenljiva J.
Napomena
Postupak označavanja se može proširiti na proizvoljne tačkaste procese. Štaviše,
niz oznaka može biti izabran tako da zavisi od tačkastog procesa. Kao posledica toga,
postupak oslabljivanja koji je opisan u Primeru 4.2, može biti definisan tako da zavisi od
osnovnog tačkastog procesa. Na primer, ako se Cramér-Lundbergov model interpretira
kao označeni homogen Poissonov proces, eventualna odluka o tome da li štetu treba
uključiti u portfolio može se zasnivati na iznosu štete, tj. ako iznos štete prelazi
određenu granicu, šteta bi mogla biti isključena iz portfolija i obuhvaćena ugovorom o
reosiguranju. Dakle, ugovaranje reosiguranja, u skladu sa navedenim kriterijumom o
iznosu šteta, može se shvatiti kao postupak oslabljivanja.
53
Glava 5
Poissonove slučajne mere u teoriji
kolektivnog rizika
U prethodnim glavama navedeni su osnovni rezultati teorije tačkastih procesa.
Poseban akcenat je bio na Poissonovim slučajnim merama (PSM) i njihovim osobinama.
U ovoj glavi biće opisana primena tih rezultata na modele teorije kolektivnog rizika.
Specijalno, biće predstavljena primena principa označavanja i transformacija PSM koji
su uvedeni u Glavi 4, a takođe i primena nezavisnosti brojeva šteta, za koje se
pretpostavlja da generišu Poissonov proces, kao i Poissonovih integrala na disjunktnim
podskupovima prostora određenog vremenom i iznosima šteta. Naime, razmatraće se
različite dekompozicije prostora određenog vremenom i iznosima šteta kao što su
dekompozicija prema iznosu šteta, godini nastanka šteta i godini prijavljivanja šteta. Na
osnovu strukture PSM, brojevi šteta i ukupni iznosi šteta na podskupovima tog prostora
su nezavisne slučajne promenljive i njihove raspodele će biti navedene.
5.1 Dekompozicija prema iznosu šteta
Neka je 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 niz dolaznih vremena šteta koje opisuje PSM(μ) na skupu
(0,∞), nezavisan od niza 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 jednodimenzionalnih, nezavisnih iznosa šteta sa
funkcijom raspodele F na (0,∞). Kao što je već dokazano u Poglavlju 4.2, tačke 𝑇𝑖 , 𝑋𝑖
predstavljaju PSM(𝜇 × 𝐹) na skupu E = (0,∞)2.
Ako su 0 = c0< c1< · · · < cm< ∞ i m ≥ 1, tada su intervali iznosa šteta
𝐴𝑖 = (𝑐𝑖−1, 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚, 𝐴𝑚+1 = 𝑐𝑚 , ∞ ,
disjunktni. U datom vremenskom periodu (𝑎, 𝑏 , za neko 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 < ∞, npr. godini,
mesecu i slično, brojevi šteta
54
𝑁𝑖 = 𝑁 (𝑎, 𝑏 × 𝐴𝑖 ), 𝑖 = 1, … , 𝑚 + 1,
su međusobno nezavisne slučajne promenljive sa Poissonovom raspodelom. Specijalno,
na osnovu svojstava PSM, Ni ima Pois(𝜇(𝑎, 𝑏 × 𝐹(𝐴𝑖)) raspodelu, za 𝑖 = 1, … , 𝑚 + 1.
Na osnovu Leme 3.3, odgovarajući ukupni iznosi šteta
𝑆𝑖 = 𝑥 𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑥
(𝑎 , 𝑏 ×𝐴𝑖
= 𝑥𝐼(𝑎 , 𝑏 ×𝐴𝑖 𝑡, 𝑥 𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑥
𝐸
= 𝑋𝑗
𝑗 :𝑎<𝑇𝑗≤𝑏 ,𝑋𝑗∈𝐴𝑖
, 𝑖 = 1, … , 𝑚 + 1,
su međusobno nezavisne slučajne promenljive, jer podintegralne funkcije 𝑓𝑖 𝑡, 𝑥 =
𝑥𝐼(𝑎 , 𝑏 ×𝐴𝑖 𝑡, 𝑥 imaju disjunktne nosače. Ako je μ(𝑎, 𝑏]<∞, tada je
𝜇 × 𝐹 (𝑎, 𝑏 × 𝐴𝑖 = 𝜇(𝑎, 𝑏 𝐹 𝐴𝑖 < ∞, 𝑖 = 1, … , 𝑚 + 1.
Dakle, na osnovu Posledice 3.1, svako 𝑆𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚 + 1 ima reprezentaciju u
obliku složene Poissonove sume
CP(μ(𝑎, 𝑏] F(𝐴𝑖), P(X1 ≤ · | X1 ∈ 𝐴𝑖)), 𝑖 = 1, … , 𝑚 + 1.
Važan specijalan slučaj se dobija za 𝑚 = 1. Naime, prostor iznosa šteta je
podeljen na dva skupa A1 = (0, c] i A2 = (c,∞), za neko c > 0, tj. portfolio je podeljen na
manje i veće iznose šteta. Veličina c se može interpretirati kao nivo retencije ili nivo
zadržavanja u kontekstu excess-of-loss reosiguranja. U tom slučaju, primarni osiguravač
pokriva iznos svake štete, do nivoa c, tj. iznos
min(𝑋𝑗 , 𝑐)
𝑗 :𝑇𝑗∈(𝑋𝑗 ,𝑐)
= 𝑥𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑥 (𝑎 , 𝑏 ×(0, 𝑐
+ 𝑐 𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑥 (𝑎 , 𝑏 ×(𝑐 , ∞
= 𝑆1 + 𝑆2,
a reosiguravač pokriva, za svaku štetu, razliku između njenog iznosa i granice c, tj. sumu
(𝑋𝑗 − 𝑐)+
𝑗 :𝑇𝑗∈(𝑎 , 𝑏
= (𝑥 − 𝑐)𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑥 (𝑎 , 𝑏 ×(𝑐, ∞
= 𝑆3.
Iznosi šteta S1+S2 i S3 su zavisni, dok su iznosi S1 i S2, koji predstavljaju platežne obaveze
primarnog osiguravača, kao i S1 (platežna obaveza primarnog osiguravača) i S3 (platežna
obaveza reosiguravača) nezavisni.
Situacija sa proporcionalnim reosiguranjem je drugačija. Naime, primarni
osiguravač pokriva iznos
55
𝑝 𝑥𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑥 ,(𝑎 , 𝑏 ×(0, ∞
dok reosiguravač pokriva iznos
𝑞 𝑥𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑥 (𝑎 , 𝑏 ×(0, ∞
,
pri čemu su 𝑝, 𝑞 ∈ (0,1) i 𝑝 + 𝑞 = 1. U tom slučaju, ukupni iznosi šteta su strogo zavisne
slučajne promenljive jer su u linearnoj vezi, pa je njihova korelacija 1.
5.2 Dekompozicija prema godini nastanka šteta
Kao u Poglavlju 5.1, neka tačke 𝑇𝑖 , 𝑋𝑖 ∈ (0,∞)2 predstavljaju označenu
PSM(𝜇 × 𝐹) N. Pored toga, neka se obračun ukupnog iznosa šteta koji osiguravajuća
kompanija treba da nadoknadi klijentima vrši na godišnjem nivou. U tom smislu,
vremenska osa se razlaže na međusobno disjunktne podskupove (godine)
𝐴𝑖 = (𝑖 − 1, 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ….
Na osnovu svojstva PSM, neposredno sledi da su brojevi šteta 𝑁 𝐴𝑖 × 0, ∞ , koje su se
desile tokom različitih godina 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1,2, …, međusobno nezavisne slučajne promenljive
sa Pois(μ(𝐴𝑖)) raspodelom. Specijalno, ako niz 𝑇𝑗 , 𝑗 ≥ 1 određuje homogeni Poissonov
proces, tada raspodela procesa 𝑁 𝐴𝑖 × 0, ∞ ne zavisi od 𝑖 tj. godine. Shodno tome,
godišnji ukupni iznosi šteta 𝑥𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑥 𝐴𝑖×(0, 𝑐
su nezavisne slučajne promenljive i imaju
reprezentaciju u obliku složene Poissonove sume CP(μ(𝐴𝑖), 𝐹). Specijalno, pod ovim
pretpostavkama, godišnji ukupni iznosi šteta predstavljaju niz nezavisnih slučajnih
promenljivih sa istom raspodelom. Rezultati u ovoj glavi su jednostavne posledice
teorije o opštim Poissonovim procesima.
Na gornjim graficima Slike 5.1 su predstavljeni podaci iz perioda od 1980. do
2002. godine o godišnjem broju šteta i ukupnim iznosima šteta nastalih kao posledica
požara u Danskoj. Svi iznosi šteta su izraženi u skladu sa cenama iz 2002. godine uz
pomoć indeksa potrošačkih cena. U levoj koloni se nalaze ukupni godišnji brojevi šteta
dok se u desnoj koloni nalaze odgovarajuće godišnje logaritmovane vrednosti ukupnih
iznosa šteta.
Porast broja šteta tokom vremena se može objasniti na različite načine. Prvi od
načina je da nisu sve kompanije mogle da prijave štete nadležnim institucijama u ranijim
godinama. Prema drugom, prijavljene su samo one štete čiji je iznos prelazio 1 milion
danskih kruna u godini prijavljivanja. U skladu sa cenama iz 2002. godine, ova granica
odgovara iznosu od 2,244 miliona kruna 1980. godine. To znači da mnoge štete nisu
prijavljene u periodu od 1980. do 2001. zbog korišćenja različitih granica. Na primer, da
je granica iz 1980. od 2,244 miliona kruna bila primenjena 2002. godine, 172 od 447
56
prijavljenih šteta (ili 38%) se ne bi računale. Treći podrazumeva da su osiguranje od
požara i cene nekretnina blisko povezani. Zbog toga, indeks potrošačkih cena neće biti
najbolji indikator za ocenu naknada šteta kod osiguranja od požara.
Da bi se pokazao uticaj inflacije, na donjim graficima Slike 5.1, predstavljeni su
godišnji brojevi šteta i ukupni iznosi onih šteta koje prelaze 1 miliona kruna u skladu sa
cenama iz 2002. godine (što je 2,244 milion kruna u skladu sa cenama iz 1980. godine).
Sa ovih grafika može se uočiti da se raspodele godišnjih brojeva šteta i ukupnih iznosa
šteta ne menjaju bitno tokom godina, iako obe kategorije imaju blago rastući trend.
Donji grafici su više u skladu sa pretpostavkama PSM o dolaznim vremenima i iznosima
šteta u odnosu na gornje. Kao rezultat se javljaju nezavisni godišnji brojevi šteta sa istom
raspodelom i ukupni iznosi šteta sa istom osobinom.
Slika 5.1
5.3 Dekompozicija prema godini prijavljivanja šteta
Neka se 𝑖-ta šteta dešava u trenutku 𝑇𝑖 , pri čemu niz 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 određuje
homogeni Poissonov proces sa intenzitetom 𝜆 > 0 na (0,∞). Odgovarajući iznosi šteta 𝑋𝑖
se prijavljuju sa zakašnjenjem 𝐷𝑖 , 𝑖 ≥ 1. U kontekstu tačkastih procesa, svako dolazno
57
vreme 𝑇𝑖 , 𝑖 = 1,2, … se označava parom 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖 sa vrednostima u skupu (0,∞)2 i
funkcijom raspodele 𝐹𝐷,𝑋 , pri čemu je moguće da komponente ovih parova budu zavisne.
Niz oznaka (𝐷𝑖 , 𝑋𝑖), 𝑖 ≥ 1 predstavlja niz nezavisnih slučajnih promenljivih sa istom
raspodelom koji je nezavisan od niza 𝑇𝑖 , 𝑖 ≥ 1 . Neka je FD funkcija raspodele slučajnih
promenljivih 𝐷𝑖 , 𝑖 = 1,2, … i F funkcija raspodele slučajnih promenljivih 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, ….
U nastavku se pretpostavlja nezavisnost slučajnih promenljivih 𝐷𝑖 i 𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, ….
Na osnovu Primera 4.5, tačke 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖 predstavljaju PSM 𝜈 × 𝐹 , u oznaci 𝑁𝑇+𝐷,𝑋 , na
(0,∞)2, pri čemu je
𝜈(0, 𝑡 = 𝜆 𝐹𝐷(𝑦)
𝑡
0
𝑑𝑦, 𝑡 ≥ 0.
Vremenski interval (0,∞) se deli na disjunktne periode (npr. godine) 𝐴𝑖 = (𝑖 − 1, 𝑖 , 𝑖 =
1, 2 …. Vremenska komponenta procesa 𝑁𝑇+𝐷,𝑋 prebrojava štete prijavljene u periodu 𝐴𝑖 ,
pri čemu postoji mogućnost da su se štete desile u nekom periodu ranije. Odgovarajući
parovi brojeva šteta i ukupnih iznosa šteta
𝑁𝑇+𝐷,𝑋 𝐴𝑖 × 0, ∞ , 𝑥𝑁𝑇+𝐷,𝑋 𝑑𝑡, 𝑑𝑥 𝐴𝑖×(0,∞)
, 𝑖 = 1,2, …,
su međusobno nezavisni. Broj šteta u periodu 𝐴𝑖 ima Pois(ν(𝐴𝑖)) raspodelu, a
odgovarajući ukupni iznos štete ima CP(ν(𝐴𝑖), F) raspodelu 𝑖 = 1, 2, …, prema Primeru
4.6.
Neka je sa 𝑁𝑇,𝐷 označena PSM 𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝐷 koja je generisana tačkama 𝑇𝑖 , 𝐷𝑖 .
Broj šteta koje su se dogodile u 𝑖-tom periodu, ali su prijavljene d perioda kasnije je
predstavljen relacijom
𝑁𝑖 ,𝑑 = # 𝑗 ≥ 1 ∶ 𝑖 − 1 < 𝑇𝑗 ≤ 𝑖, 𝑖 + 𝑑 − 1 < 𝑇𝑗 + 𝐷𝑗 ≤ 𝑖 + 𝑑
= 𝑁𝑇,𝐷 𝑡, 𝑦 : 𝑡 ∈ 𝐴𝑖 , 𝑡 + 𝑦 ∈ 𝐴𝑖+𝑑 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑑 = 0,1, ….
Na osnovu prethodne relacije se može zaključiti da 𝑁𝑖 ,𝑑 ima Poissonovu raspodelu sa
parametrom
𝐸𝑁𝑖 ,𝑑 = (𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝑑) 𝑡, 𝑦 : 𝑡 ∈ 𝐴𝑖 , 𝑡 + 𝑦 ∈ 𝐴𝑖+𝑑
= 𝜆 𝐹𝐷 𝑑𝑦 𝑑𝑡𝑡+𝑦∈(𝑖+𝑑−1, 𝑖+𝑑 𝑡∈(𝑖−1, 𝑖
= 𝜆 𝐹𝐷 𝑧 − 𝐹𝐷(𝑧 − 1) 𝑑𝑧. 𝑑+1
𝑑
Raspodela procesa 𝑁𝑖 ,𝑑 ne zavisi od 𝑖, s obzirom na homogenost odgovarajućeg
Poissonovog procesa sa dolaznim vremenima 𝑇𝑗 , 𝑗 = 1,2, …. Za različito 𝑖, slučajne
58
promenljive 𝑁𝑖 ,𝑑 , 𝑖 = 1,2, …, su određene disjunktnim podskupovima skupa stanja, tako
da su nezavisne. Poissonovo svojstvo garantuje da su odgovarajući ukupni iznosi šteta
𝑋𝑗
𝑗 : 𝑖−1<𝑇𝑗≤𝑖 ,𝑖+𝑑−1<𝑇𝑗 +𝐷𝑗≤𝑖+𝑑
, 𝑖 = 1,2, …,
nezavisne složene Poissonove sume sa istom raspodelom.
5.4 Efekti zavisnosti između kašnjenja u prijavljivanju šteta i
iznosa šteta
Neka važe pretpostavke iz Poglavlja 5.3, sa tom razlikom što je dozvoljena
zavisnost između komponenata 𝐷𝑖 i 𝑋𝑖 međusobno nezavisnih parova 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖 , 𝑖 =
1,2, …. U tom kontekstu, vreme prijavljivanja 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , 𝑖-te štete zavisi od iznosa štete 𝑋𝑖 .
Ova pretpostavka može da bude realna. Na primer, verovatnije je da će se veliki iznos
štete prijaviti ranije nego mali iznos štete. Ovaj fenomen je ilustrovan u Primeru 5.1.
Tačke 𝑇𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖 predstavljaju PSM 𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝐷,𝑋 , u oznaci N, pri čemu je 𝐹𝐷,𝑋
funkcija raspodele para 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖 na (0,∞)2. Specijalno, ovo svojstvo implicira da su parovi
𝑁 𝐵𝑖 , 𝑥 𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑦, 𝑑𝑥 𝐵𝑖
, 𝑖 = 1,2, … brojeva šteta i ukupnih iznosa šteta međusobno
nezavisni, ako su 𝐵𝑖 ⊂ (0,∞)3, 𝑖 = 1,2, … disjunktni Borelovi skupovi.
Za svaki ograničen Borelov skup A ⊂ (0,∞)3, odgovarajući ukupan iznos štete
𝑥 𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑦, 𝑑𝑥 𝐴
ima CP 𝜆 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝐷,𝑋 (𝐴), FZ raspodelu datu funkcijom raspodele
𝐹𝑍 𝑦 = 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝐷,𝑋 (𝐴 ∩ 𝑡, 𝑑, 𝑥 : 𝑥 ≤ 𝑦 )
𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝐷,𝑋 (𝐴)
= 𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝐷,𝑋 (𝐴 ∩ (0, ∞)2 × 0, 𝑦 )
𝐿𝑒𝑏 × 𝐹𝐷,𝑋 (𝐴), 𝑦 > 0.
Neka je skup A obika
𝐴 = (𝑡1, 𝑡2 × (𝑑1, 𝑑2 × (𝑥1, 𝑥2 , 0 < 𝑡1 ≤ 𝑡2, 0 < 𝑑1 ≤ 𝑑2, 0 < 𝑥1 ≤ 𝑥2.
Tada 𝑥 𝑁 𝑑𝑡, 𝑑𝑦, 𝑑𝑥 𝐴
ima raspodelu
𝐶𝑃(𝜆 𝑡2 − 𝑡1 𝐹𝐷,𝑋( 𝑑1, 𝑑2 × 𝑥1, 𝑥2 , 𝐹𝑍 ,
čija je funkcija raspodele
𝐹𝑍 𝑦 =𝐹𝐷,𝑋((𝑑1, 𝑑2 × (𝑥1, min(𝑥2, 𝑦) )
𝐹𝐷,𝑋((𝑑1, 𝑑2 × (𝑥1, 𝑥2
59
= 𝑃 𝑋1 ∈ (𝑥1, min(𝑥2, 𝑦 ) 𝐷1 ∈ (𝑑1, 𝑑2 , 𝑋1 ∈ (𝑥1, 𝑥2 , 𝑦 > 0.
Primer 5.1 (Veliki iznosi šteta imaju tendenciju ranijeg prijavljivanja nego mali iznosi
šteta)
Uz dodatne informacije o zavisnosti između 𝐷𝑖 i 𝑋𝑖 , može se odrediti funkcija raspodele
𝐹𝐷,𝑋 na sledeći način. Neka je uslovna raspodela za D1, pod uslovom 𝑋1 = 𝑥, 𝑥 > 0,
eksponencijalna sa parametrom 𝑥𝛾, za neko γ > 0 i neka X1 ima Γ(α,β) raspodelu za neke
parametre α, β > 0.
Gustina raspodele 𝑓𝐷,𝑋 slučajnog vektora 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖 se može izračunati na osnovu
uslovne gustine 𝑓𝐷 𝑦 𝑋1 = 𝑥 i gustine 𝑓𝑋 slučajne promenljive X1 na sledeći način:
𝑓𝐷,𝑋 𝑦, 𝑥 = 𝑓𝐷 𝑦 𝑋1 = 𝑥 𝑓𝑋 𝑥
= 𝑥𝛾𝑒−𝑥𝛾𝑦𝛽𝛼
Γ 𝛼 𝑥𝛼−1𝑒−𝛽𝑥
= 𝛾𝛽𝛼
Γ(𝛼)𝑥𝛼𝑒−𝑥(𝛾𝑦 +𝛽), 𝑥, 𝑦 ≥ 0.
Opravdanje za izbor gustine 𝑓𝐷,𝑋 se ogleda u tome da će veliki iznosi šteta X1 = 𝑥 povećati
parametar eksponencijalne raspodele P(D1≤ 𝑦 | X1 = 𝑥), pa veliki iznosi šteta imaju
tendenciju da se prijavljuju brže nego mali iznosi šteta. Ova činjenica neposredno sledi iz
sledećeg poređenja repova uslovne raspodele tj. za svako 0 < 𝑥1 < 𝑥2, važi da je
P(D1> 𝑦 | X1 = 𝑥1)= 𝑒− 𝑥1𝛾 𝑦 > 𝑒− 𝑥2𝛾 𝑦= P(D1> 𝑦 | X1 = 𝑥2).
Integracijom u odnosu na 𝑥 se dobija marginalna gustina 𝑓𝐷 slučajne promenljive D1,
𝑓𝐷 𝑦 = 𝑓𝐷,𝑋 𝑦, 𝑥 𝑑𝑥
∞
0
= 𝛾𝛽𝛼
Γ(𝛼)
Γ(𝛼 + 1)
(𝛾𝑦 + 𝛽)𝛼+1
(𝛾𝑦 + 𝛽)𝛼+1
Γ(𝛼 + 1)𝑥𝛼𝑒−𝑥(𝛾𝑦 +𝛽)𝑑𝑥
∞
0
=𝛾𝛼𝛽𝛼
(𝛾𝑦 + 𝛽)𝛼+1, 𝑦 ≥ 0.
To znači da je raspodela slučajne promenljive D1 iz familije Pareto raspodela sa
parametrom 𝛼 > 0. Ovaj rezultat je iznenađujući jer je iz oblika uslovne gustine
𝑓𝐷 𝑦 𝑋1 = 𝑥 i gustine 𝑓𝑋 , teško pretpostaviti da kašnjenje u prijavljivanju D1 ima Pareto
raspodelu. Kako FD ima teške repove, postoji značajna verovatnoća da će neke štete biti
prijavljene sa veoma velikim zakašnjenjem.
60
5.5 Efekti inflacije i kamate
Neka su zadovoljene pretpostavke iz Poglavlja 5.3. Tada vremena prijavljivanja
šteta 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 predstavljaju PSM(ν), u oznaci 𝑁𝑇+𝐷, sa srednjom merom datom sa
𝜈(0, 𝑡 = 𝜆 𝐹𝐷(𝑦)𝑡
0𝑑𝑦, 𝑡 > 0. Pretpostavlja se uzajamna nezavisnost nizova 𝑋𝑖 , 𝑖 ≥ 1 i
𝐷𝑖 , 𝑖 ≥ 1 . Prema tome, tačke 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖 predstavljaju PSM 𝜈 × 𝐹 , u oznaci 𝑁𝑇+𝐷,𝑋 , na
skupu (0,∞)2.
Neka je 𝑓(𝑦, 𝑥) nenegativna, merljiva funkcija na 𝑅 ×(0,∞) takva da je 𝑓 𝑦, 𝑥 = 0
za 𝑦 < 0. Razmatra se stohastički proces
𝑆 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝑦, 𝑥 𝑁𝑇+𝐷,𝑋 𝑑𝑦, 𝑑𝑥
𝐸
= 𝑓 𝑡 − 𝑦, 𝑥 𝑁𝑇+𝐷,𝑋 𝑑𝑦, 𝑑𝑥
(0, 𝑡 ×(0,∞)
(5.1)
= 𝑓 𝑡 − 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖
∞
𝑖=1
= 𝑓 𝑡 − 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 , 𝑋𝑖
𝑁𝑇+𝐷 (0, 𝑡
𝑖=1
, 𝑡 ≥ 0.
Ako u nastavku važi pretpostavka
𝑓 𝑦, 𝑥 = 𝑒−𝑟𝑦 𝐼 0,∞ 𝑦 𝑥,
za neko r ∈ 𝑅 , tada je
𝑆 𝑡 = 𝑒−𝑟(𝑡− 𝑇𝑖+𝐷𝑖 )𝑋𝑖
𝑁𝑇+𝐷 (0, 𝑡
𝑖=1
, 𝑡 ≥ 0. (5.2)
Ako je r pozitivna vrednost, ona se može interpretirati kao stopa inflacije. Neka je 𝑡 > 0
sadašnji trenutak. Sadašnja vrednost iznosa štete 𝑋𝑖 koja je prijavljena u trenutku 𝑇𝑖 + 𝐷𝑖
u prošlosti iznosi 𝑒−𝑟(𝑡− 𝑇𝑖+𝐷𝑖 )𝑋𝑖 . Negativna vrednost r se može interpretirati kao
kamatna stopa. Tada, sadašnja vrednost platežne obaveze 𝑋𝑖 , koja je nastala u trenutku
𝑇𝑖 + 𝐷𝑖 u prošlosti, iznosi 𝑒−𝑟(𝑡− 𝑇𝑖+𝐷𝑖 )𝑋𝑖 i veća je od 𝑋𝑖 zbog narasle kamate.
Stohastički proces S koji je razmatran u (5.2) je uopštenje procesa ukupne štete u
Cramér-Lundbergovom modelu. Proces ukupne štete u Cramér-Lundbergovom modelu
se dobija izborom r=0 i 𝐷𝑖 = 0 s.i. u izrazu (5.2). Za razliku od složenog Poissonovog
61
procesa u originalnom Cramér-Lundbergovom modelu, proces (5.2), u opštem slučaju,
nema ni nezavisne ni stacionarne priraštaje čak i ako se pretpostavi da nema kašnjenja u
prijavljivanju, tj. 𝐷𝑖 = 0 s.i. U svakom slučaju, 𝑆(𝑡) ima reprezentaciju kao Poissonov
integral u (5.1) i zbog toga, na osnovu Posledice 3.1, ima reprezentaciju u obliku složene
Poissonove sume.
62
Zaključak
Osiguravajuća društva su institucije koje apsorbuju nepoželjne efekte rizika
svojih korisnika. Rapidne promene poslovnog i privrednog okruženja, zbog uticaja kako
političkih, tako i pravnih, socioloških, klimatskih faktora, zahtevaju sveobuhvatni i
dinamički tretman rizika, posebno u neživotnom osiguranju. Najstariji pristup ovom
problemu je individualna teorija rizika čiji je osnovni cilj da pruži matematičku analizu
fluktacija u poslovima osiguranja i da predloži različita sredstva zaštite od njihovih
nepoženjnih efekata. Ona posmatra pojedinačne polise osiguranja, sa različitim
karakteristikama i profilima rizika, tako da se ukupan rizik poslovanja dobija
sumiranjem potraživanja nastalih iz svih polisa u portfoliju osiguranja. Samim tim,
model kolektivnog rizika, zasnovan na aplikaciji stohastičkih procesa ima veliku ulogu u
neživotnom osiguranju.
U ovom radu je razmatrana primena teorije tačkastih procesa u ugovorima koji se
javljaju u osiguranju. U opštoj teoriji tačkastih procesa, koja je evoluirala poslednjih
nekoliko decenija, klasa Poissonovih slučajnih mera je poznata kao važan instrument
stohastičkih modela. Na primer, Poissonovi procesi predstavljaju osnovu za
konstruisanje drugih klasa složenijih stohastičkih procesa, kao što su Lévijevi i
beskonačno deljivi procesi.
Poissonove slučajne mere imaju posebnu ulogu u osiguranju jer predstavljaju
modele broja šteta. Naime, za svaku osiguravajuću kompaniju je od značaja modeliranje
broja šteta čiji se iznosi nalaze u određenim granicama da bi imala detaljniji uvid u
strukturu svog portfolija. Određivanje premije osiguranja, kao centralni zadatak
osiguravajuće kompanije, postaje adekvatnije s obzirom na dodatne informacije koje
pruža takav pristup. Pored toga, Poissonove slučajne mere se primenjuju kao modeli
broja šteta koje premašuju unapred zadati nivo, što je od posebnog značaja u
reosiguranju.
Pored mnogostrukog značaja teorijskih razmatranja, osnovni nedostatak i
ograničenje ovakvog modela se ogleda u tome što Poissonov proces ne može biti
prihvaćen kao opšti model broja šteta u portfoliju neživotnog osiguranja zbog određenih
63
restriktivnih svojstava. Međutim, za konstrukciju i razvijanje modela od posebnog je
značaja pretpostavka da broj šteta generiše Poissonov proces.
64
Literatura
[1] S.I. Resnick, (1987) Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes.
Springer, New York.
[2] D. Daley, and Vere-Jones, D. (1988) An Introduction to the Theory of Point
Processes. Springer, Berlin.
[3] P. Billingsley, (1986) Probability and Measure. 2nd Edition. Wiley, New York.
[4] L. Breiman, (1992) Probability. SIAM Classics in Applied Mathematics No 7.
[5] O. Kallenberg, (1997) Foundations of Modern Probability Theory. Springer, Berlin.
[6] M. Milošević, Teorija rizika, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu,
Prirodno-matematički fakultet, Niš.
[7] Sv. Janković, Teorija verovatnoća, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu,
Prirodno-matematički fakultet, Niš.
[8] Sv. Janković, Stohastički procesi, autorizovana predavanja, Univerzitet u Nišu,
Prirodno-matematički fakultet, Niš.
[9] T. Mikosch, (2004) Non-Life Insurance Mathematics. An introduction with
Stochastic Processes, Springer, Berlin.
65
Biografija
Bojana Jovanović je rođena 20.03.1991. godine u Vranju, Republika Srbija.
Osnovnu školu „Jovan Jovanović Zmaj“ u Vranju završila je 2006. godine, kao nosilac
Vukove diplome i đak generacije. Gimnaziju „Bora Stanković“ u Vranju, prirodno-
matematički smer, završila je 2010. godine.
Prirodno-matematički fakultet u Nišu, Departman za matematiku, upisala je
školske 2010/2011. godine. Osnovne akademske studije, sa zvanjem Matematičar,
završila je u septembru 2013. godine. Iste godine upisuje master akademske studije na
Prirodno-matematičkom fakultetu u Nišu, smer Primenjena matematika – matematika u
finansijama.
66
Прилог 5/1
ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ
НИШ
КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА
Редни број, РБР:
Идентификациони број, ИБР:
Тип документације, ТД: монографска
Тип записа, ТЗ: текстуални / графички
Врста рада, ВР: мастер рад
Аутор, АУ: Бојана Јовановић
Ментор, МН: Марија Милошевић
Наслов рада, НР: Примена Poisson-ове случајне мере у теорији
неживотног осигурања
Језик публикације, ЈП: српски
Језик извода, ЈИ: енглески
Земља публиковања, ЗП: Р. Србија
Уже географско подручје, УГП: Р. Србија
Година, ГО: 2015.
Издавач, ИЗ: ауторски репринт
Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.
Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)
65 стр.
Научна област, НО: математика
Научна дисциплина, НД: примењена математика
Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Poisson-овa случајнa мерa, процес броја
штета, неживотно осигурање
УДК 519.87 : 368.17
Чува се, ЧУ: библиотека
Важна напомена, ВН:
67
Извод, ИЗ: У овом раду се разматра примена Poisson-ове
случајне мере у теорији неживотног осигурања
у чијој је основи декомпозиција портфолија
осигурања. У том смислу, Poisson-ова случајна
мера описује број штета у одређеном
сегменту. Разматрањем броја штета и укупне
штете у сваком сегменту портфолија
осигурања засебно осигуравајућа компанија
има бољи увид у структуру и динамику свог
портфолија.
Датум прихватања теме, ДП:
Датум одбране, ДО:
Чланови комисије, КО: Председник:
Члан:
Члан, ментор:
Образац Q4.09.1
Q4.16.01 - Izdawe 1
68
Прилог 5/2
ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ
НИШ
KEY WORDS DOCUMENTATION
Accession number, ANO:
Identification number, INO:
Document type, DT: monograph
Type of record, TR: textual / graphic
Contents code, CC: university degree thesis
Author, AU: Bojana Jovanović
Mentor, MN: Marija Milošević
Title, TI: Application of the Poisson random measure in the
theory of non-life insurance
Language of text, LT: Serbian
Language of abstract, LA: English
Country of publication, CP: Republic of Serbia
Locality of publication, LP: Serbia
Publication year, PY: 2015
Publisher, PB: author’s reprint
Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.
Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)
65 p.
Scientific field, SF: mathematics
Scientific discipline, SD: applied mathematics
Subject/Key words, S/KW: Poisson random measure, claim number process,
non-life insurance
UC 519.87 : 368.17
Holding data, HD: library
Note, N:
69
Abstract, AB: This paper considers application of the Poisson
random measure in the theory of non-life
insurance which is based on decomposition of the
non-life portfolio. In this sense, the Poisson
random measure describes the number of claims
in a particular segment. By considering the
number of claims and the total claim amount in
each segment of the non-life insurance portfolio
insurance company has better insight into the
structure and dynamics of the portfolio..
Accepted by the Scientific Board on, ASB:
Defended on, DE:
Defended Board,
DB:
President:
Member:
Member, Mentor:
Образац Q4.09.13 - Издање 1
Q4.16.01 - Izdawe 1
![R]DMHGQLþNLPSUDYLOLPDXSRGUXþMXFLYLOQRJ ......okoliša, slučajne i diskretne štete ne smanje cjelovitost konstrukcije ispod prihvatljive razine preostale čvrstoće. Sve upute potrebne](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/60ea28ce714fd77ab2309c83/rdmhgqlnlpsudylolpdxsrguxmxflyloqrj-okolia-sluajne-i-diskretne.jpg)
