5. A/D i D/A konvertori - kelm.ftn.uns.ac.rskelm.ftn.uns.ac.rs/literatura/eiem/05_ADC_i_DAC.pdf · signal x' definisan nad diskretnim vremenskim domenom. Novodobijeni signal je signal

5 - 1

5. A/D i D/A konvertori

5.1. A/D konvertori 5.1.1. Pojam analogno-digitalne konverzije, kvantizacije i kvantizera U savremenim tehnikama merenja dominantnu grupu instrumenata i merne opreme, danas čine digitalni merni instrumenti. Oni često ne samo da premašuju performanse odgovarajućih analognih instrumenata (brzina, propusni opseg, pouzdanost, otpornost na smetnje, minijaturizacija, itd.), već imaju i znatno nižu cenu, a omogućuju i veoma jednostavnu automatizaciju procesa merenja. Čak i sama definicija mernog sistema podrazumeva i nameće prisustvo digitalnih kola, odnosno mikroprocesora ili čak kompletnih personalnih računara. Nažalost, veličine koje je potrebno dovesti na ulaze u merni sistem, samo su u veoma malom broju slučajeva, po svojoj prirodi digitalne. Pa čak i tada, često je potrebno analizirati parametre ovih digitalnih veličina na najnižem, fizičkom nivou, naročito u postupcima overe i atestiranja sistema ili dijagnostike, kod neregularnog rada usled otkaza ili ispada. Sa stanovišta merenja, jedini način da se ovakvi signali ispravno okarakterišu i u tim situacijama, jeste da se tretiraju kao analogne veličine i opišu odgovarajućim analognim parametrima. Da bi se i u ovim situacijama omogućila upotreba digitalnih mernih instrumenata i opreme, i iskoristile njihove prednosti, neophodno je date analogne veličine (signale) prevesti u digitalan oblik. Proces ili postupak koji omogućuje dobijanje zapisa neke analogne veličine u digitalnom obliku naziva se analogno-digitalna (A/D) konverzija. Uređaj koji omogućuje dobijanje ovog zapisa naziva se analogno-digitalni konvertor ili, skraćeno, A/D konvertor. Tipično, proces A/D konverzije obuhvata odmeravanje analogne veličine u vremenu i po amplitudi. Prema tome, A/D konvertori su uređaji koji prevode signale iz domena (kontinualno vreme, kontinualna amplituda) u domen (diskretno vreme, diskretna amplituda). Neka je x(t) signal nad vremenskim domenom, dat sa RXRx : (5.1) gde je X skup amplitudskih vrednosti, odnosno kodomen za x. Vremensko odmeravanje može se predstaviti kao relacija koja transformiše signal x u novi signal x' definisan nad diskretnim vremenskim domenom. Novodobijeni signal je signal nad diskretnim domenom, podskupom skupa celih brojeva Z. RXZPx :' (5.2) Vremensko odabiranje O je, dakle, dato sa txnxntRtPnZPRO |,|: (5.3)


5 - 2

Diskretizacija signala po amplitudi (kvantizacija) može se opisati kao relacija f koja vrednostima iz skupa X, koji je podskup skupa realnih brojeva, pridružuje vrednosti iz nekog konačnog diskretnog skupa Y YRXf : (5.4) Skup X označava se kao skup ulaznih vrednosti ili ulazni skup, a skup Y kao skup izlaznih vrednosti ili izlazni skup. Svakom A/D konvertoru potrebno je izvesno vreme da obavi kvantizaciju ulaznog signala. Stoga, iako je korak vremenske diskretizacije moguće preskočiti, odmeravanje u vremenu i zadržavanje signala na ulazu u kvantizer na odmerenoj vrednosti, garantuje stabilnost rada A/D konvertora i jednoznačnost i ponovljivost rezultata konverzije. Tipična blok šema jednog A/D konvertora prikazana je na slici 5.1.

Slika 5.1. Blok šema A/D konvertora Idealan slučaj kvantizacije bio bi preslikavanje podskupa X skupa realnih brojeva koji karakterišu ulaznu fizičku veličinu u skup Y realnih brojeva za računarsku obradu u beskonačnoj preciznosti. Naravno, ovakav konvertor je nemoguće realizovati, pre svega zbog nepostojanja računara sa beskonačnom mantisom u zapisu realnih brojeva. Zato se nameće prirodno ograničenje da skup izlaznih vrednosti Y mora biti konačan diskretan skup, koji se može predstaviti u realnim uređajima. Izlazni skup je, u praktičnim primenama, najčešće neki konačan podskup skupa celih brojeva Z, a neretko i samo podskup skupa prirodnih brojeva (uključujući i nulu), pa se tada relacija f može zapisati kao 0: NYRXf (5.5) Relacija f biće funkcija ako važi da:

1. svakoj vrednosti iz skupa X, odgovara bar jedna vrednost iz skupa Y i 2. svakoj vrednosti iz skupa X, odgovara tačno jedna vrednost iz skupa Y.

Kolo za odmeravanje

Kolo za zadržavanje

Kvantizer

Koder

Kolo za obradu

x(t) x'(t)x'(n) y(n) y'(n)

y"(n)

Kolo za odmeravanje i zadržavanje

A/D konvertor


5 - 3

Da bi se rezultati dobijeni kvantizacijom mogli smisleno interpretirati, neophodno je da relacija f bude funkcija, jer bi u protivnom:

postojale neke vrednosti ulaza za koje ne bi bilo moguće dobiti odgovarajući digitalni zapis, pa kvantizer ne bi u potpunosti obavljao postavljeni zadatak i ne bi bio praktično primenjiv i

bilo bi nemoguće predvideti i analizirati rad kvantizera, pa rezultati ne bi imali praktičnog smisla.

Prvi uslov biće zadovoljen, ako kvantizer svojom konstrukcijom omogućava prevođenje svih vrednosti iz kontinualnog ulaznog skupa X u skup Y. Ako postoji makar jedna vrednost x X, za koju ne postoji odgovarajući digitalni zapis y Y, tada su kvantizer i A/D konvertor neprimenljivi na datom opsegu ulaznih vrednosti. Međutim, opseg ulaznih vrednosti se često ograničava zbog konstrukcionih ograničenja kvantizera i A/D konvertora, pa se može smatrati da je prvi uslov automatski zadovoljen. Drugi uslov biće zadovoljen, ako kvantizer svojom konstrukcijom omogućava prevođenje vrednosti iz ulaznog skupa X u skup Y na jednoznačan (ponovljiv) način, tj. ako radi kao konačan deterministički uređaj koji će za istu vrednost x na ulazu uvek dati na istu vrednost y na izlazu. Vrednostima ulazne veličine koje se nađu izvan zadatog opsega kvantizera, ne mora se pridružiti samo jedna vrednost izlaza, odnosno relacija f izvan domena X ne mora biti funkcija. Pored toga, skup ulaznih vrednosti se ograničava i zbog toga što je neophodno obezbediti linearnost rada kvantizera, kako zbog interpretacije rezultata, tako i zbog kontrole greške sa kojom će kvantizacija biti obavljena. Vidimo, da se konstrukcijom kvantizera kao konačnog determinističkog uređaja i ograničavanjem opsega ulaznih vrednosti, omogućava jednostavna interpretacija dobijenih rezultata, a relacija f tada predstavlja njegovu prenosnu funkciju. 5.1.5. Parametri kvantizera Pored uslova 1 i 2, relacija f često zadovoljava i uslov:

3. da za svaku vrednost y iz skupa Y postoji vrednost x iz skupa X, takva da je f(x) = y, odnosno f je sirjektivna ("na") funkcija. Međutim, za funkciju f nikada ne važi da je injektivna ("1:1"), jer:

4. postoji više vrednosti iz skupa X, koje se preslikavaju u istu vrednost iz skupa Y. Ovaj uslov nametnut je potrebom za ograničavanjem broja izlaznih vrednosti, kako bi se one mogle zapisati sa konačnim brojem bita. Direktne posledice ove osobine su:


5 - 4

ne postoji inverzna funkcija f -1, kojom se iz digitalnog zapisa može na jedinstven način

rekonstruisati polazna analogna veličina, jer f nije bijektivna funkcija ("1:1" i "na"), i konverzija se uvek obavlja sa neotklonjivom greškom koja se naziva greška

kvantizacije1. Grešku kvantizacije nikako ne treba pomešati sa greškom konverzije. Greška konverzije je ukupna greška sa kojom je ulazna veličina predstavljena na izlazu A/D konvertora. Iako greška konverzije obuhvata i greške drugih komponenti, najčešće u A/D konvertoru dominira baš greška kvantizacije, zbog čega se vrlo često ova dva pojma izjednačavaju. Da bismo mogli interpetirati rezultate dobijene kvantizacijom, pridružimo svakoj vrednosti y iz konačnog diskretnog skupa Y celobrojnih vrednosti tačno jednu vrednost ŷ iz nekog diskretnog skupa Ŷ realnih vrednosti koji je podskup polaznog domena X. Skup Ŷ X predstavlja skup interpretacionih vrednosti za jedan konkretan kvantizer, odnosno A/D konvertor. Tada se svaki broj y dobijen kvantizacijom može interpretirati u polaznom domenu X i porediti sa polaznom vrednošću x iz ulaznog skupa (vidi primer u tabeli 5.1). Vrednosti ŷ iz skupa interpretacionih vrednosti nazivaju se još i kvantni nivoi.

Tabela 5.1. Primer kvantizacije i interpretacije dobijenih rezultata jednog A/D konvertora kod koga je dozovoljen opseg ulaznih vrednosti [0 V, 5 V]

(domen X = [0, 5] R) Ulazni napon

(kodomen Y N ) Preslikava se u broj

(interpetacioni skup Ŷ X) (kvantni nivoi)

Interpretira se kao napon 0,000 V – 0,999 V 010011 0,5 V 0,999 V – 1,999 V 100100 1,5 V 1,999 V – 2,999 V 000000 2,5 V 2,999 V – 3,999 V 111111 3,5 V 3,999 V – 5,000 V 011100 4,5 V

Zahvaljujući naporima konstruktora i proizvođača A/D konvertora, danas se, uglavnom, podrazumeva da su kvantni nivoi takvi da se na veoma jednostavan način mogu izračunati iz skupa izlaznih vrednosti kvantizera, pa su interpretaciona preslikavanja data relacijom 5.6 u praksi veoma jednostavna. XYYf ˆ:ˆ (5.6) Međutim, bez obzira na složenost ovog preslikavanja, uvek je neophodno uzeti ga u obzir, kako zbog matematičkog i metrološkog formalizma, tako i zbog pravilne interpretacije rezultata kvantizacije. Kao i u primeru iz tabele 5.1, u većini postojećih konvertora, izlazne vrednosti predstavljene su u binarnom zapisu, jer savremena tehnologija nameće njihovu realizaciju preko digitalnih logičkih kola. Postavlja se pitanje da li je u primeru iz tabele 5.1 bilo moguće optimizovati izlaz i upotrebiti manje cifara za predstavljanje svih ulaznih vrednosti? S obzirom da je maksimalan broj vrednosti (stanja) koje se dobijaju na izlazu datog kvantizera 5, sledi da su za

1 U maniru preuzetom iz kvantne fizike.


5 - 5

njihovo predstavljanje dovoljna 3 bita, bez ikakvog uticaja na vrednosti kvantnih nivoa. Ovo je prikazano u tabeli 5.5. Broj različitih mogućih stanja koja se mogu dobiti na izlazu A/D konvertora naziva se rezolucija konvertora. Minimalan broj cifara sa kojima se mogu predstaviti sve vrednosti izlaza, u binarnom zapisu naziva se broj bita A/D konvertora i označava se sa m. U praktičnim primenama teži se maksimalnom iskorištavanju svih m rezervisanih bita konvertora, odnosno konvertori se, po pravilu, konstruišu tako da imaju 2m (ili bar 2m-1) mogućih vrednosti izlaza (stanja), a ne kao u primeru iz tabele 5.1, gde je iskorišćeno samo 5 od mogućih 25 = 32 stanja, odnosu u primeru iz tabele 5.2 gde je iskorišćeno samo 5 od raspoloživih 23 = 8 stanja izlaza.

Tabela 5.5. Smanjenje potrebnog broja bita za digitalnu predstavu broja

(kodomen Y N ) Izlaz konvertora

Redukovan zapis (kvantni nivoi)

Interpretira se kao napon 010011 000 0,5 V 100100 001 1,5 V 000000 010 2,5 V 111111 011 3,5 V 011100 100 4,5 V

Ukoliko konvertor ima svega k < 2m mogućih stanja izlaza za ceo opseg ulaznih vrednosti, tada je njegov efektivan broj bita (ENOB – Effective Number Of Bits): mkmeff 2log (5.7)

Strogo govoreći, konvertori kod kojih je meff < m, i dalje imaju na svom izlazu sva moguća stanja (njih 2m), ali niži biti po značaju imaju nestabilnu prirodu (za istu zadatu vrednost na ulazu oni se menjaju) i zato smatramo da oni ne nose informaciju o ulaznoj veličini. Za konvertor prikazan u primerima iz tabela 5.1 i 5.2 efektivan broj bita je bita 32,25log2 effm (5.8)

bez obzira na to što su izlazne vrednosti formalno zapisane pomoću 5 cifara, odnosno 3 cifre. Greška sa kojom se analogna vrednost x predstavlja digitalnom vrednošću y (i interpretira kao kvantni nivo ŷ), označava se sa eq i može se napisati kao: xyeq ˆ (5.9)

Ovo je tzv. greška kvantizacije, a često se naziva još i šum kvantizacije jer je njegova slučajna priroda uzrokovana proizvoljnošću ulazne vrednosti u konkretnom realnom merenju. Šum kvantizacije zavisi kako od konkretne konstrukcije kvantizera, tako i od dozvoljenog opsega ulaznog signala i nelinearnosti kvantizera. Da bi se kvantizer mogao okarakterisati


5 - 6

nezavisno od primenjenog opsega i vrednosti ulaznih signala, i da bi se mogao uporediti po performansama sa drugim A/D konvertorima, uvedena je normirana relativna greška kvantizacije u obliku

opseg

e

opseg

xy q

ˆˆ (5.10)

Neka je najveća vrednost šuma kvantizacije za dati kvantizer emax. Tada najveća vrednost normirane greške kvantizacije, predstavlja grešku kvantizera za najnepovoljniju vrednost ulaznog signala, svedenu na opseg konvertora i naziva se Gornja granica normirane greške kvantizera. Ako je greška kvantizacije dominanta u odnosu na greške ostalih komponente, onda ona ujedno određuje i rezoluciju samog A/D konvertora. Gornja granica relativne greške kvantizera (konvertora) označava se sa Γ i može se napisati kao

opseg

emax (5.11)

Bez obzira na to, kolika je vrednost ulaznog signala, normirana greška sa kojom će on biti predstavljen u digitalnom obliku, ne može preći ovu grešku. U većini praktičnih realizacija, pokazuje se da rezolucija kvantizera ne zavisi od primenjenog opsega ulaznog napona, već samo od broja i izbora relativnog položaja kvantnih nivoa. Ovo je veoma praktično, jer omogućuje karakterizaciju A/D konvertora samo na osnovu njegovih konstrukcionih osobina, bez obzira na okruženje u kojem će biti primenjen. Za svaku konkretnu realizaciju kvantizera, odnosno A/D konvertora, može se izvesti jednoznačna veza između rezolucije, broja bita m i gornje granice normirane greške Γ, zbog čega se ovu pojmovi u praksi često izjednačavaju. Relacija 5.7 npr. ukazuje na jasnu vezu između efektivnog broja bita konvertora i njegove rezolucije. Zato se, kod konvertora kod kojih je rezolucija baš jednaka 2m, broj bita m često koristi kao sinonim za rezoluciju, odnosno kaže se da konvertor ima m-bitnu rezoluciju. Tako se može reći da je konvertor 14-bitni, odnosno da ima 14-bitnu rezoluciju. Međutim ovakvo označavanje nema mnogo smisla ako je efektivni broj bita meff različit od navedenog stvarnog broja bita m. Konvertor sa kvantizerom iz primera u tabeli 5.2 ima pet mogućih stanja izlaza, pa formalno ima m = 5 bita. Međutim njegova rezolucija može biti opisana maksimalnom greškom kvantizacije koja iznosi 0,5 V, pa mu je gornja granica normirane greške:

% 10V5

limV 5,0

q

e

e

q

(5.12)

Jasno je da bi rezolucija konvertora bila mnogo veća da je iskorišćeno preostalih 23 – 5 = 3 stanja izlaza na račun proširenja skupa interpretacionih vrednosti (na račun povećanja broja kvantnih nivoa). Razmotrimo primer konvertora sa kvantizerom datim tabelom 5.3. Normirana greška ovog konvertora data je sa

% 25,6V5

limV 3125,0

q

e

e

q

(5.13)


5 - 7

Iako formalno oba kvantizera prikazana tabelama 5.2 i 5.3 imaju po 3 bita, u prvom primeru se ne može govoriti 3-bitnoj rezoluciji, već je račun neophodno svesti na efektivan broj bita meff = 2,35. U drugom primeru, međutim, sva tri pojam mogu ravnopravno biti korišćena da opišu rezoluciju kvantizera (konvertora).

Tabela 5.3. Primer kvantizera sa opsegom od [0 V, 5 V]



(kvantni nivoi) Interpretira se kao napon

0,000 V – 0,624 V 000 0,3125 V 0,625 V – 1,249 V 001 0,9375 V 1,250 V – 1,874 V 010 1,5625 V 1,875 V – 2,499 V 011 2,1875 V 2,500 V – 3,124 V 100 2,8125 V 3,125 V – 3,749 V 101 3,4375 V 3,750 V – 4,374 V 110 4,0625 V 4,375 V – 5,000 V 111 4,6875 V

Važno je razumeti da i konkretne vrednosti kvantih nivoa, a ne samo njihov broj, takođe mogu uticati na rezoluciju A/D konvertora. Ako u primeru iz tabele 5.3 promenimo kvantne nivoe zaokruživanjem na najniži broj iz podopsega ulaznog napona, kao u tabeli 5.4 normirana greška konvertora postaće

% 5,12V5

limV 625,0

q

e

e

q

(5.14)

Što je gore nego u primeru iz tabele 5.2 iako je iskorišćeno svih 2m mogućih stanja izlaza. Primeri konvertora kod kojih su kvantni nivoi reskalirani na ovakav način su svi tipovi A/D konvertora sa sukcesivnim aproksimacija u koje spadaju i switching-capacitors A/D konvertori i kod njih je neophodno dodatno izvršiti reskaliranje kvantnih nivoa, kako bi se greška kvantizacije minimizovala.

Tabela 5.4. Pomeranje kvantnih nivoa kvantizera



(kvantni nivoi) Interpretira se kao napon

0,000 V – 0,624 V 000 0,000 V 0,625 V – 1,249 V 001 0,625 V 1,250 V – 1,874 V 010 1,250 V 1,875 V – 2,499 V 011 1,875 V 2,500 V – 3,124 V 100 2,500 V 3,125 V – 3,749 V 101 3,125 V 3,750 V – 4,374 V 110 3,750 V 4,375 V – 5,000 V 111 4,375 V

Kao što je već napomenuto, konvertori se danas, po pravilu, realizuju tako da imaju 2m (ili bar 2m – 1) mogućih vrednosti izlaza, pa se pojmovi rezolucije i broja bita i dalje u praksi izjednačavaju.


5 - 8

Ako su kvantni nivoi kvantizera ekvidistantni u celom opsegu ulaznog signala, tada ima smisla definisati kvant konverzije a, koji predstavlja razliku bilo koja dva susedna kvantna nivoa.

12

ˆˆˆˆ minmax

1

knn

yyyya (5.15)

Za simetričan opseg ulaznih vrednosti u uniformno raspoređene kvantne nivoe, maksimalna apsolutna vrednost kvantnih nivoa iznosi

2

12ˆmax

ay k (5.16)

Prema tome, jasno je da sam digitalni zapis veličine, odnosno izlaza kvantizera, ne predstavlja potpunu informaciju o konvertovanoj analognoj veličini. Minimalna informacija o konverziji nepoznatog ulaznog signala u digitalni zapis sadrži informacije o:

prirodi ulaznog signala (struja, napon i sl.), odnosno fizičkoj jedinici koja ga karakteriše (A, V itd.)

učestanosti i načinu odmeravanja vrednosti konverzije y interpretaciji dobijene vrednosti u terminima kvantnih nivoa

Potpuna informacija obuhvata još i

dozvoljen opseg ulaznih vrednosti ([xmin, xmax]) i procenu gornje granice greške konverzije u vidu rezolucije konvertora Γ

5.1.3. Greška konverzije i greška kvantizacije Greška konverzije, predstavlja grešku sa kojom se ulazna veličina x predstavlja u digitalnom obliku i potom interpretira preko usvojenih kvantnih nivoa. Kada je broj kvantnih nivoa (broj bita) konvertora mali, može se smatrati da inherentni šum u sistemu ne utiče bitno na proces konverzije, pa je ukupna greška konverzije jednaka šumu kvantizacije opsegeq q (5.17)

Za većinu A/D konvertora važi da je maksimalan šum kvantizacije jednak polovini kvanta, odnosno dobija se da je

2

aq (5.18)

Što je broj kvantnih nivoa A/D konvertora veći, to je kvant konverzije manji i konvertor je precizniji. Međutim sa smanjivanjem kvanta konverzije, konvertor postaje osetljiviji na uticaj


5 - 9

šuma. Kada je razlika susednih kvantnih nivoa jako mala, tada je veoma verovatno da i mali šum u sistemu može dovesti do „preskakanja” izlaza konvertora iz jednog stanja u drugo. Ovakvo „preskakanje” uzrokuje povećanje greške konverzije, odnosno smanjuje broj značajnih cifara sa kojima možemo očitavati kvantne nivoe. Idealan slučaj kvantizacije bio bi preslikavanje podskupa X skupa realnih brojeva koji karakterišu ulaznu fizičku veličinu u skup Ŷ realnih brojeva za računarsku obradu u beskonačnoj preciznosti. Relacija f tada je funkcija oblika ŷ = x, a greška takve konverzije jednaka je nuli, za svako x X (slika 5.2).

Slika 5.5. Prenosna funkcija i greška kvantizacije idealnog A/D konvertora

Realan A/D konvertor ima konačan i diskretan skup izlaznih vrednosti i stoga ima grešku konverzije koja je veća od nule, ali je ograničena. U slučaju malog broja bita, ova granica data je relacijom 5.18, jer je dominantna komponenta greške šum kvantizacije. Prenosna funkcija i greška konverzije ovakvog konvertora prikazane su na slici 5.3.

Slika 5.3. Prenosna funkcija i greška kvantizacije realnog višebitnog A/D konvertora

ŷ

xxmax

xmin

ŷmin

ŷmaxPrenosna funkcija

Greška kvantizacije

ŷ

xxmax

xmin

ŷmin

ŷmax Prenosna funkcija



5 - 10

Kada razlika susednih kvantnih nivoa konvertora postane previše mala, izlaz počinje da „preskače” iz jednog stanja u drugo, jer konvertor postaje iznimno osetljiv na prisustvo šuma. Tada se efektivan broj bita konvertora smanjuje usled smanjenja odnosa signal šum. Kada je x < xmin ili x > xmax, apsolutna vrednost greške kvantizacije prelazi vrednost od a/2 i za konvertor se kaže da je preopterećen. 5.1.4. Odmeravanje u vremenu i odnos signal/šum Iako greška kvantizacije u potpunosti zavisi od ulaznog signala može se pokazati da izobličenja koja uzrokuje greška kvantizacije imaju isti efekat kao i izvor šuma koji je nezavisan od ulaza, a sam Šum kvantizacije često se modeluje nezavisnim izvorom aditivnog belog šuma Error! Reference source not found.. Funkcija gustine raspodele verovatnoće greške kvantizacije se usvaja da je uniformna (slika 5.5). Mada ova pretpostavka ne mora uvek biti korektna, Widrow je pokazao u Error! Reference source not found. da će gubitak informacije o ulaznom signalu usled kvantizacije biti minimalan, ako je greška kvantizacije nezavisna od signala. Dalje je pokazano u Error! Reference source not found. da će funkcija gustine verovatnoće amplituda ulaznog signala moći u potpunosti da se rekonstruiše iz funkcije gustine verovatnoće izlaza nediterovanog konvertora, ako karakeristična funkcija ulaza Px(u), data kao Furijeova transformacija funkcije gustine verovatnoće px(x)

dxexpeEuP uxja

a

xuxj

x 2

2/

2/

2

(5.19)

ispunjava uslov da je

0uPx , za a

u2

1 (5.20)

pri čemu je a kvant upotrebljenog A/D konvertora. Ovo je poznata „Teorema o kvantizaciji“, odnosno „Teorema o odmeravanju u sistemima sa diskretnim vremenom“. Očigledno, ova teorema veoma podseća na teoremu o odmeravanju, koja dozvoljava rekonstrukciju analognog signala ograničenog spektra iz njegovih vremenskih odmeraka. Razlika je, naravno, u tome što se Teorema o kvantizaciji ne odnosi na odmeravanje signala u vremenu, već po amplitudama. Jasno je da uslov Teoreme o kvantizaciji ne može biti ispunjen ako je px(x) različito od nule nad ograničenim intervalom. Ovo mora biti tako, jer ako je Px(u) različito od nule nad ograničenim intervalom, tada njegova inverzna Furijeova transformacija ne može biti takođe različita od nule nad ograničenim intervalom. Ovo je, naravno, ispunjeno samo u malom broju slučajeva. Kao rezultat Teoreme o kvantizaciji, greška kvantizacije biće uniformno raspoređen slučajan signal, nekorelisan sa ulaznim signalom ukoliko je:

opseg ulaznih signala je takav da konvertor nije preopterećen ulazni signal je slučajan signal karakteristična funkcija ulaznog signala je „spektralno“ ograničena


5 - 11

U slučaju da ulazni signal ne zadovoljava gore navedene uslove, može se pristupiti diterovanju signala kako bi se promenila njegova statistička svojstva. Uticaj diterskog signala na statistiku greške kvantizacije pokazan je u Error! Reference source not found.. Dodavanjem odgovarajućeg diterskog signala na ulazu u konvertor, greška kvantizacije postaje uniformno raspoređena, spektralno bela i statistički nezavisna od ulaznog signala. Za slučaj diterovanog uniformnog kvantizera, Wagdy i Ng su pokazali u Error! Reference source not found. da je dovoljan (ali ne i potreban) uslov, da bi se greška kvantizacije mogla modelovati u vidu belog uniformnog šuma, da amplituda diterskog signala bude celobrojni umnožak kvanta. Razmotrimo slučaj jednobitnog kvatizera, koji je, u suštini, komparator sa nulom u funkciji A/D konvertora (slika 5.5). Ograničimo se na normirani slučaj, kada razlika kvantnih nivoa iznosi a = 1 V, odnosno jedno stanje konvertora kodira viši kvantni nivo od +0,5 V, a niži kodira niži kvantni nivo od -0,5 V. Ako je ulazni opseg ograničen na skup vrednosti vrednosti X = [-a, a], imamo ograničen opseg greške kvantizacije eq [-a/2, a/2].

Slika 5.5. Prenosna funkcija i greška kvantizacije jednobitnog A/D konvertora

Slika 5.6. Funkcija gustine raspodele verovatnoće greške kvantizacije Srednja vrednost i varijansa šuma kvantizacije dati su izrazima 5.18 i 5.19.

ŷ

x

ŷmin

ŷmaxPrenosna funkcija


xmaxxmin

p(eq)

1/a

a/2-a/2 eq


5 - 12

012/

2/

a

a

qqqqqqq dea

edeepeeEe (5.21)

123

11 22/

2/

32/

2/

2222 ae

ade

aedeepeeeE

a

a

qa

a

qqqqqqqeq

(5.22)

Iako odmeravanje i kvantizacija predstavljaju dve različite i nezavisne operacije nad signalom, one se veoma često kombinuju u A/D konvertorima. Jedan od najznačajnijih parametara ovakvih konvertora je odnos signal-šum koji se meri na izlazu A/D konvertora. Šum se sastoji iz šuma kvantizacije i sistemskog šuma, u koji spadaju termalni i 1/f – šum. Pretpostavljajući da je sistemski šum znatno manji od šuma kvantizacije, maksimalan odnos signal šum idealnog m-bitnog A/D konvertora se može lako izračunati. Pretpostavimo da se na ulaz konvertora dovodi sinusni signal. Maksimalna amplituda sinusoide koja ne uzrokuje preopterećenje konvertora iznosi

aA m 22

1max (5.23)

Efektivna vrednost ove amplitude iznosi

22

2 aA

m

eff (5.24)

Ukupna snaga greške kvantizacije u opsegu u kome je zadovoljen Nyquist-ov kriterijum, je prema 5.21 i 5.22 jednak

12

2222 a

ee qeeff q (5.25)

čemu odgovara efektivna vrednost signala šuma kvantizacije od

12

aeeff (5.26)

Prema tome, maksimalan odnos signal-šum idealnog m-bitnog konvertora je, za slučaj sinusnog ulaznog signala

dB 76,102,6dB 2

3log102log20

12/

22/2log20max

mm

a

aSNR

m

(5.27)

Koristeći gornji rezultat, može se izračunati efektivan broj bita A/D konvertora koristeći maksimalan odnos signal-šum, u obliku


5 - 13

dB 02,6

dB 76,1max SNR

meff (5.28)

U slučaju da se ulazni signal odmerava u vremenu, učestanošću fs koja je jednaka dvostrukoj vrednosti širine spektra ulaznog signala 2fb, ispunjen je Nyquist-ov kriterijum i sva spektralna gustina snage šuma locirana je u opsegu korisnog ulaznog signala. Kada učestanost odmeravanja pređe vrednost od 2fb, za A/D konvertor se kaže da ima prekomerno odmeravanje (oversampling). Odnos fs / 2fb naziva se količnik prekomernog odmeravanja i označava se sa OSR (OverSampling Rate). Ako šum kvantizacije možemo smatrati belim, njegova spektralna raspodela gustine snage biće uniformno raspoređena po učestanostima (slika 5.6) i iznosiće

ss

e

q f

a

ffE q

12

22

(5.29)

gde je fs učestanost odmeravanja ulaznog signala, a fb na grafiku sa slike 5.6 predstavlja frekvencijski opseg ulaznog signala.

Slika 5.6. Spektralna gustina snage šuma kvantizacije Na osnovu izraza 5.18 jasno je da povećanje frekvencije odmeravanja ulaznog signala snižava plato šuma u korisnom opsegu. Ova činjenica omogućava korišćenje čak i jednobitnih A/D

konvertora u aplikacijama koje iziskuju visoku rezoluciju i tačnost (2

S

b

fOSR

f mora biti

dovoljno visok). Pored toga, neophodno je izvršiti niskopropusno filtriranje tako dobijene povorke odmeraka da bi se nepotrebne komponente šuma odsekle i, konačno, na izlazu pojavili rezultati željenih karakteristika. Kvadrat efektivne vrednosti šuma u opsegu ulaznog signala iznosi

OSR

a

f

fadf

f

adffEe

s

bf

f sqOSReff

b

b

1

1212

2

1212

2222

(5.30)

Iz gornje formule jasno je da je smanjenje efektivne snage šuma u korisnom opsegu signala proporcionalno oversemplingu.

Eq

a2/12fs

fs/2- fs /2 f fb -fb


5 - 14

dB log1076,102,6

dB log102

3log102log20

12/

22/2log20max

OSRm

OSRmOSRa

aSNR

m

(5.31)

Sve ove karakteristike impliciraju pravac razvoja A/D konvertora sa malim ulaznim brojem bita, velikim OSR-om i odgovarajućom filterskom strukturom optimalnom po kriterijumu smanjivanja nivoa šuma na izlazu. Efektivan broj bita A/D konvertora je i dalje dat izrazom 5.28, pa je jasno da se oversamplingom, odnosno podizanjem nivoa signal-um, može povećati efektivan broj bita A/D konvertora.

dB 02,6

dB 76,1max SNR

meff (5.32)

Definisan preko maksimalne vrednosti SNR, efektivni broj bita sistema predstavlja najveći broj korisnih informacionih bita koji su implicirani odnosom signal / šum. Često je u realnim sistemima odnos signal šum takav da manje značajni biti ne nose korisnu informaciju, pa su mnogi konvertori koji su deklarisani kao 20-bitni, zapravo 14-bitni ili lošiji zbog veoma nepovoljnog odnosa signal-šum. U slučaju da kvantizacije nediterovanih determinističkih signala kao što su npr. složenoperiodični signali, pretpostavke o statističkoj nezavisnosti šuma kvantizacije od ulaznog signala i njenoj uniforman raspodeli neće biti ispunjen, pa relacije 5.21 i 5.22 neće važiti. Kvantizacija ovakvih signala obavezno dovodi do harmonijskih izobličenja i intermodulacije, pa je greška kvantizacije visoko korelisana sa ulaznim signalom. Nelinearna izobličenja korelisana sa ulaznim signalom su veoma važna u obradi govornih signala, jer uslovljavaju pojavu razumljivosti govora i u situacijama kada snaga šuma u sistemu prelazi granicu snage izobličenja. U sistemima sa multipleksom po talasnim dužinama, distorzione komponente blizu nosećih učestanosti, pri čemu su od najvećeg značaja intermoulacioni produkti trećeg reda.


5 - 15

5.2. Fleš A/D konvertori Fleš A/D konvertori su veoma rasprostranjen tip konvertora. Svoju primenu su našli čak i kao ulazni segmenti nekih drugih tipova A/D konvertora. Naziv su dobili po tome što promene ulaznog analognog napona trenutno utiču na digitalnu vrednost izlaza konvertora. Ova osobina im omogućava da se efikasno primenjuju za konverziju brzo promenljivih napona koji zahtevaju visoku učestanost odmeravanja. Na slici 5.7 je prikazana opšta šema m-bitnog fleš A/D konvertora na kome će biti objašnjen primer rada ove vrste A/D konvertora.

Slika 5.7. Opšta šema fleš A/D konvertora

ON

“1”

ON

ON

OF+

ON

ON

ON

OF-“1”

y(n)

...

...

x

VEE

VCC R/2

R

R

R

R

R/2

V0

V1

V2

V2m

-1

V2m

-2

V2m

-3

U2m

U2m

-1

U3

U2m

-2

U2

U1

U0


5 - 16

Ulazni napon y dovodi se na neinvertujuće krajeve operacionih pojačavača (OP) koji u ovom kolu rade kao komparatori. Ulazni signal y poredi se sa kompracionim nivoima V0 , V1, V2, ..., V2

m-1 koji su dovedeni na invertujuće izlaze OP-ova. Ovi naponi dobijeni su preko naponskog

razdelnika sastavljanog od napona napajanja VCC > 0 i VEE < 0, razdelničkih otpornika R i simetrizacionih otpornika R/2 koji su na slici 2.1.1 prikazani isprekidanom linijom, s obzirom da mogu biti izostavljeni. Tačna uloga simetrizacionih otpornika biće objašnjena nešto kasnije. Kada je neinvertujući ulaz nekog OP-a (označen sa "+") veći od neinvertujućeg (označenog sa "-"), na izlazu OP-a se dobija pozitivan napon koji odgovara naponu napajanja (+12 V). Ovo odgovara situaciji kada je ulazni napon y veći od odgovarajućeg komparatorskog nivoa Vn. U obrnutom slučaju na izlazu se dobija negativan napon (-12 V). Kada je ulazni napon y između neka dva komparatorska nivoa Vn i Vn+1, tada su izlazi svih operacionih pojačavača od Vn naniže jednaki +12 V, a izlazi svih operacionih pojačavača od Vn+1 naviše jednaki - 12 V. Kako se ulazni napon menja, menja se i broj n, pa je, zbog sličnosti sa skalom živinog termometra, ovaj kod dobijen na izlazima OP-ova nazvan termometarski kod. Termometarski kod se pomoći logičkih "i" kola sa jednim invertujućim ulazom prevodi u select kod, kod koga je pozitivan samo jedan (n-ti) izlaz, dok su svi ostali negativni. Upotrebom raznih kombinacionih mreža ovaj kod se može prevesti u komplement dvojke, označen binarni broj (broj sa predznakom) ili neki drugi binarni kod. Sam odabir koda bitan je jedino zbog kasnije obrade podataka, pa ovde neće biti razmatrana nijedna konkretna realizacija kodera za dobijanje izlazne funkcije konvertora y(n). Izlazi operacionih pojačavača moraju se dovesti na ograničavače nivoa "ON" radi prilagođenja logičkim "i" kolima koja rade sa TTL naponskim nivoima (0 V i 5 V). Jedna moguća realizacija ograničavača nivoa data je na slici 5.8.

Slika 5.8. Ograničavač nivoa sa otpornicima i diodom Kada je na ulazu ograničavača napon VIN = +12V, napon VOUT na izlazu je

INOUT VRR

RV

21

1

(5.33)

Usvajanjem da je npr. R2 = 10 kΩ, za R1 se dobija

R1

R2

±12 V

VOUT


5 - 17

86,714221OUTIN

OUT

VV

VRR (5.34)

Međutim, za vrednost otpornika moramo usvojiti standardnu vrednost od 2k71 R (5.35) Izlazi prvog i poslednjeg "i" kola koriste se za indikaciju prekoračenja opsega (overflow). Njihovi drugi ulazi zakucani" su na logičku jedinicu, koja obezbeđuje indikaciju prekoračenja, bez obzira na stanja ostalih operacionih pojačavača u konvertoru. Zamišljeni naponski nivoi U0, U1, ..., U2

m kojima se interpretiraju vrednosti izlazne funkcije konvertora y(n), predstavljaju kvantne nivoe konvertora. Da bi se minimizovala greška konverzija usvaja se da se kvantni nivoi nalaze tačno na polovini između dva komparatorska nivoa. Željena veza između izlaza konvertora i interpretirajuće vrednosti napona je oblika 5.36. 12,,1 , m

n nUnya (5.36)

gde je a – kvant n konvertora. Ovu vezu nažalost nije moguće postiće za sve vrednosti napona napajanja i simetrizacionih otpornika. 5.2.1.

Osobine fleš A/D konvertora

Fleš A/D konvertori se odlikuju izuzetnom brzinom konverzije. Kako je konverzija gotovo trenutna, mogu se javiti problemi vezani za stabilnost odziva u situacijama kada se ulazni napon brzo menja. Da bi se dobio stabilan odziv konvertora, ulazni napona se odmerava i zadržava tzv. sample-and-hold kolom. Ovo kolo očitava trenutnu vrednost ulaznog napona i na svom izlazu drži ovu vrednost sve dok se konverzija i obrada podataka u digitalnom delu instrumenta ne završe. Tek tada se pristupa uzimanju sledećeg odmerka ulaznog napona. Da se ne bi izgubila informacija o veoma brzim komponentama ulaznog signala, učestanost kojom se on odmerava mora biti veća od Nikvistove učestanosti, odnosno bar dva puta veća od najveće učestanosti u spektru ulaznog signala. Osnovno ograničenje fleš A/D konvertora ogleda se u složenosti, zbog čega oni imaju ograničenu rezoluciju. Naime, m-bitni fleš A/D konvertor ima na svom ulazu 2m operacionih pojačavača. Tako bi npr. Za 10-bitni konvertor bilo potrebno realizovati preko hiljadu operacionih pojačavača. Ovo znatno poskupljuje cenu fleš A/D konvertora sa svakim narednim dodatim bitom, pa se u praksi retko sreću fleš A/D konvertori sa više od 10 bita. Takođe velik broj operacionih pojačavača zahteva velik broj komparatorskih nivoa Vn. Ovih nivoa ima 2m, pa se za opseg konvertora od 10-tak volti dobijaju komparatorski nivoi koji se razlikuju za nekoliko desetina milivolti. Sami operacioni pojačavači mogu imati ofset koji je veći od ovoga, pa bi rad ovakvih konvertora bio veoma nestabilan.


5 - 18

5.2.2. Fleš A/D konvertor sa simetrizacionim otpornicima R/2

Posmatrajmo prvo slučaj kada simetrizacioni otpornici postoje. Izrazi za komparatorske nivoe sa slike 5.7 tada su

12,,0 ,

12

12

12 22

2

22

2

m

EERRm

Rm

CCRRm

R

n nVR

RnV

R

nRV (5.37)

To je dalje jednako

12,,0 ,22

12

221

21

21

mEEEECCmEEm

m

CCmn nVVVn

Vn

Vn

V (5.38)

Kvant konvertora je

m

EECCnnnn

def VVVVUUa

21

pokazati se može

1

(5.39)

Normirana greška konvertora je

122

1

22

122

22/

21

21

21

012

21

m

EECCmm

mm

EECCm

EECCdef

VV

VV

VV

VV

Opseg

a

m

(5.40)

Opseg u izrazu 5.40 diktiran je činjenicom da ne smeju biti trigerovani „overflow“ (OF) biti

kako bi greška konverzije odstala linearna. Pogrešno bi bilo uzeti da je

m

EECC

mEECC

EECCpogresno VV

VV

VV

a

22

122/ 21

(5.41)

Kvantni nivoi su

mEEEECCm

mn

mnn

ndef

n

nVVVn

naV

nVV

naV

U

2,,0 ,2

)OF( 2,2/

12,,1,2

)OF( 0,2/

1

1

(5.42)

Izlaz konvertora dat je kao

12,,1 , m

n nUnya (5.43)


5 - 19

Odatle je

12,,1 ,2

2

2

m

EECC

EEm

mEECC

EEEECCmn n

VV

Vn

VV

VVVn

a

Uny (5.44)

5.2.3. Simetričan bipolarni fleš A/D konvertor sa simetrizacionim otpornicima Kada je VCC = –VEE, dobija se simetričan bipolarni fleš A/D konvertora kod koga su komparatorski nivoi dati svođenjem izraza 5.38 do 5.43 na 5.45,

12,,1 ,2

2

2,,0 ,2

22

2

12,,0 ,2

12

mm

mCCCCmn

mCC

mCCCCmn

nnny

nVVn

U

Va

nVVn

V

(5.45)

odnosno

1

2

2,,0,,1

2

2 mm

ny (5.46)

Dakle, za ovaka konvertor je prirodno da ima kod u komplementu dvojke ili sa bitom predznaka. 5.2.4. Unipolaran fleš A/D konvertor sa simetrizacionim otpornicima

Kada je VEE = 0, dobija se tzv. unipolaran konvertor. Relacije 5.38 do 5.43 se svode na 5.47.

12,,1 ,

2,,0 ,2

2

12,,0 ,2

21

m

mCCmn

mCC

mCCmn

nnny

nVn

U

Va

nVn

V

(5.47)

odnosno


5 - 20

12,,2,1 mny (5.48)

Zato je za unipolaran konvertor prirodno da ima neoznačen binaran kod (bez predznaka). 5.2.5. Fleš A/D konvertor bez simetrizacionih otpornika

Razmotrimo sada slučaj kada simetrizacioni otpornici nisu prisutni. Bez simetrizacionih otpornika, komparatorski nivoi imaju vrednosti

12,,0 ,12

12

22,,1

0

,

,12

12

12

,

mEEEECCm

m

m

CC

EEm

m

CCm

EE

n

nVVVn

n

n

n

V

VR

RnV

R

nRV

V

(5.49)

Kvant konvertora je

121

mEECC

nn

VVVVa (5.50)

pa je normirana greška

122

1122/ 21

mEECC

mEECC

def

VV

VV

Opseg

a (5.51)

Ponovo je opseg konvertora diktiran neaktiviranjem overflow bita, što pokazuje da rezolucija konvertora definisana na ovakav način ne zavisi ni od izbora napona napajanja ni od prisustva simetrizacionih otpornika. Kvantni nivoi u ovom slučaju su

)OF( 2

12,,1

)OF( 0

,2/

,12

,2/

)OF( 2

12,,1

)OF( 0

,2/

,2

,2/

21

1

1

m

m

CC

EEEECCm

EE

m

m

n

nn

ndef

n

n

n

n

aV

VVVn

aV

n

n

n

aV

VVaV

U (5.52)

Uopštavanjem se dobija da je

mEEEECCmn nVVV

nU 2,,0 ,

1221

(5.53)


5 - 21

Izlaz konvertora je

12,,1 ,122

1

12

1221

m

EECC

EEm

mEECC

EEEECCmn n

VV

Vn

VV

VVVn

a

Uny (5.54)

5.2.6. Simetričan bipolarni fleš A/D konvertor bez simetrizacionih otpornika

Kada je VCC = –VEE, dobija se da su

12,,1 ,2

2

2,,0 ,12

1212

2

12,,0 ,12

2

mm

mCCCCmn

mCC

mCCCCmn

nnny

nVVn

U

Va

nVVn

V

(5.55)

pa sledi da je

1

2

2,,0,,1

2

2 mm

ny (5.56)

5.2.7. Unipolarni fleš A/D konvertor bez simetrizacionih otpornika

Za VEE = 0, dobija se

12,,1 ,2

1

2,,0 ,12

12

12,,0 ,12

21

m

mCCmn

mCC

mCCmn

nnny

nVn

U

Va

nVn

V

(5.57)

odnosno


5 - 22

2

32,,

2

3,

2

1 mny (5.58)

Ovakav koder je nemoguće realizovati (koder mora biti celobrojni), pa se, u poslednjem slučaju, pokazuje da je neophodno pomeranje zamišljenih kvantnih nivoa za pola kvanta kako bi se kompenzovala potreba za razlomljenim (necelobrojnim) vrednostima izlazne funkcije y(n). Ovo dovodi do povećanja maksimalne greške konverzije sa ±a/2 na opseg 0 ÷ a. Time se pogoršava rezolucija konvertora. Zato je unipolarni napon napajanja nepoželjno koristiti bez prisustva simetrizacionih otrponika. Na osnovu izloženog jasno je da je uloga simetrizacionih otrponika da obezbede jednostavnu interpretaciju izlaznih vrednosti y(n). 5.2.8.

Korišćenje OF- i OF+ bita za povećanje opsega konvertora

Biti OF- i OF+ sa slike 5.7 mogu se iskoristiti za dobijanje dodatnih kvantnih nivoa U0 i U2

m. Pri tome će se povećati broj bita koji je potreban za kodovanje svih stanja izlaza A/D konvertora. Kvantnih nivoa sada će biti 2m + 1, pa je potrebno uvođenje još jednog bita za kodovanje svih stanja izlaza. Na ovaj način konvertor postaje prividno m + 1 -bitni. Zapravo, u konvertoru se nisu promenili ni kvant ni rezolucija i stoga nema smisla pričati o povećanju broja bita konvertora. Jedino što se zaista povećalo je opseg ulaznog napona, koji sada može imati vrednosti od V0 – a / 2 do V2

m – 1 + a / 2. Uvođenjem dodatnog bita nije maksimalno iskorišćen raspoloži opseg izlaznih vrednosti i efektivan broj bita ovakvog konvertora iznosi svega

m

mm2

1

(5.59) s tim da se vrednosti svih parametra konvertora, kao što su komparatorski nivoi, kvantni nivoi, rezolucija i sl., i dalje računaju po formulama koje važe za m.


5 - 23

5.3. Stohastički adicioni A/D konvertori Neka se na ulaz fleš A/D konvertora sa m bita i kvantom a dovodi konstantan napon x(t) = const i neka mu je na ulazu u superponiran slučajan signal h(t) kao na slici 5.9.

Slika 5.9. Diterovanje signala na ulazu u A/D konvertor Neka je zadovoljen uslov Widraw-a:

2)(

ath

(5.60) i neka je ulazni signal konstantan sa vrednošću ∆ (5.61) gde je ∆ < a/2. Bez diterskog signala, izlaz fleš A/D konvertora bi bio uvek isti i iznosio bi na. Međutim, kada se na ulazni signal doda aditivni diterski signal h(t), oblast odlučivanja za fleš A/D konvertor biti kao na slici 5.10.

Slika 5.10. Mogući pragovi odlučivanja za diterovni fleš A/D konvertor Ovakav konvertor naziva se stohastički adicioni A/D konvertor sa jednim generatorom slučajnog napona (SAADK-1G). Neka je raspodela slučajnog signala uniformna sa gustinom

ahp

1)(

(5.62)

x(t)

h(t)

m bita

fleš A/D konvertor y(n)

(n – 1)a

na

(n + 1)a

x na + a/2

na – a/2

Δa

Δa


5 - 24

i neka se meri velik broj (N) vrednosti yn koje se uprosečavaju u vremenu. Tada će izlaz konvertora y biti

anPannaPnayN

yN

nn 11

1

1

(5.63)

Sa slike 5.10 vidi se da je oblast odlučivanja između x + a/2 i y – a/2. Verovatnoća da se konvertor nađe u kvantnom stanju (n + 1)a jednaka je verovatnoći da je

a

aa

athPanatx

anathtxanP

221 (5.64)

Verovatnoća da se A/D konvertor nađe u kvantnom stanju na je

a

aaa

athPanatx

anathtxnaP

22 (5.65)

Na osnovu 5.64 i 5.65, dobija se da je

xanaa

aan

a

aanay

1 (5.66)

Odnosno, greška konverzije je jednaka nuli, ali samo u teoretskom slučaju, kada N → ∞, odnosno kada merenje traje beskonačno dugo. U realnosti izlazna veličina y ima varijansu 2

y

koja predstavlja apsolutnu grešku merenja. Neka je greška pojedinačnog uzorkovanja xye n (5.67)

Ako za pojedinačne odmerke yn važi da im je treći centralni moment ograničen (treći moment od e je ograničen), tada se mogu primeniti centralna granična teorema i teorija uzoraka, pa će važiti da je

N

y

y

22

(5.68)

pri čemu je

2222 exyyy (5.69) Dalje važi da je


5 - 25

aaa

a

aaa

a

aaa

anPanenaPnaee

22

222 11

(5.70)

pri čemu je

2

aa (5.71)

pa je

4

222 a

ey (5.72)

Pokažimo još da je jednakost 5.68 ispravna, dokazujući da je treći centralni moment slučajne promenljive e ograničen.

323322333 2333 e (5.73) Ako je R opseg fleš A/D konvertora, tada je Ranna 1, (5.74) Takođe važi da je

kkkkk RdpRdpdp

1

(5.75)

Izraz 5.73 sada postaje

33233 623 RRRRRe (5.76) Drugi način da se pokaže da je treći moment ograničen je

332

23

32233223

33333

8

15

82

44

23

2/

243243

11

aaa

aa

aaa

a

aaaaaaa

aaaaaaa

a

aa

aaa

a

aaaanPanenaPnaee

(5.77)

Iz izraza 5.70 vidi se da je merenje precizno kada imamo velik broj odmeraka, a tačno kada je mereni signal blizu kvantnog nivoa. Ovaj slučaj se podudara sa situacijom kada će fleš A/D


5 - 26

konvertor bez diterskog signala, imati tačno merenje. Grafik kvadrata apsolutne greške prikazan je na slici 5.11.

Slika 5.11. Grafik greške višebitnog SAADK-1G Prema tome, diterovanje predstavlja metodu za povećanje preciznosti fleš A/D konvertora, pravljenjem kompromisa između brzine i preciznosti.

2y

2a

2a a a2a a 2

4

2a

x = const


5 - 27

5.3. Sigma-delta (Σ-Δ) A/D konvertori Na slici 5.12 prikazana je šema delta modulatora/demodulatora

+1-bit quantizer

Integrator

+-

channel Integrator)(tx

NF

)(tx

)(tx

)(tx

Slika 5.12. Osnovna struktura delta modulatora/demodulatora U osnovi ideje delta modulacije je digitalni prenos razlike susednih odbiraka analognog ulaznog signala kroz komunikacioni kanal, čime se smanjuje količina prenesenih podataka. Ako se izvrši mala rekonfiguracija sistema sa slike 5.12 dobija se sigma delta A/D konvertor prikazan na slici 5.13. Premeštanjem integratora iz grane povratne sprege, kao i sa prijemne strane u direktnu granu i dodavanjem D/A konvertora u granu povratne sprege dobijamo bazičnu strukturu Σ-Δ A/D konvertora, na čijem izlazu je neophodno izvršiti niskopropusno filtriranje da bi digitalni odbirci odgovarali klasičnim sistemima digitalne obrade signala (paralelni višebitni odbirci umesto povorke bita).

Integrator++-

)(tx

)(ty

1SF

decimator

1-bit D/A

][ny ][nx

DFF SS /12

Slika 5.13. Σ-Δ A/D konvertor prvog reda

Blok za decimaciju ćemo u početnim analizama ostaviti po strani. Sistem možemo smatrati linearnim u određenoj meri (jednobitni A/D i D/A konvertori svakako nisu linearni, ali možemo ih smatrati takvima u prvoj aproksimaciji), pa nam je stoga omogućena primena Z transformacije u njegovoj analizi.

++-

)(zx)(zy

I(z) +( )N z

1z

Slika 5.14. Σ-Δ A/D konvertor prvog reda u Z domenu

Integrator u Z domenu ekvivalentan je akumulatorskom kolu:


5 - 28

+++

)(zx )(zy

1z

Slika 5.15. Integrator u Z domenu

Prenosna funkcija inegratora je 1( ) ( ) ( )y z x z z y z , (5.78) odnosno

1

1( )

1 1

zI z

z z

(5.79)

Jednobitni A/D konvertor (u praksi komparator s nulom) ekvivalentno je predstavljen dodavanjem šuma kvantizacije ( )N z . Analizom prenosne funkcije konvertora dobijamo:

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y z X z I z z Y z I z N z (5.80)

1 1

( ) 1( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

I zY z X z N z

z I z z I z , (5.81)

ako uvrstimo prenosnu funkciju integratora, dobijamo:

11 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( )

1 11 1

1 1

zzzY z X z N z X z N z X z z N z

zz z

(2.5.5) Zamenom jz e direktno dobijamo DTFT transfer funkciju. Očigledno je da je transfer funkcija za signal ( )X z jedinična, dok je transfer funkcija za šum:

1 2 2 21 1 1 cos( ) sin( )j

j j jj

z eNTF z e e e e j

(5.82)

2 2 2 2 2( ) Re Im 1 2cos cos sin 2 2cosNTF (5.83)


5 - 29

Slika 5.16. Transfer funkcija za šum Σ-Δ A/D konvertora prvog reda

Ovakva karakteristika Σ-Δ A/D konvertora predstavlja njegovu najveću prednost u odnosu na ostale vrste A/D konvertora. 5.3.1. Koncept uobličavanja spektra šuma (MASH) Različita prenosna funkcija za signal i šum definiše pravce realizacije komercijalnih Σ-Δ A/D konvertora. Kako je u osnovi funkcija uobličavanja šuma ekvivalentna viskopropusnom filtru, logična je pretpostavka da bi uz određene izmene karakteristika mogla da se pooštri i da se dobije veće potiskivanje šuma u okolini nulte frekvencije. Na slici 5.17 vidi se polazna osnova navedenog koncepta.

Slika 5.17. Osnovni Σ-Δ A/D konvertor sa izolovanim šumom kvantizacije N(z)

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y z X z G z z G z Y z N z (5.84)

1 1

( ) 1( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

G zY z X z N z

z G z z G z (5.85)


5 - 30

Izlaz Y(z) sadrži u sebi komponentu šuma N(z), tako da ako primenimo sličan blok koji digitalizuje samo pomenuti šum možda uspe njegova eliminacija iz izlaznog digitalnog signala.

Slika 5.18. Višestepeni uobličavač šuma

Analiza izlaza svakog od blokova dovodi nas do rešenja problema šuma.

1

1 1 11 1

( ) 1( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

G zO z X z N z

z G z z G z (5.86)

2

2 11 12 2

( ) 1( ) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( )

G zO z N z N z

z G z z G z (5.87)

zNzGz

zFzN

zGz

zGzF

zGzzX

zGz

zGzOtot 1

21

nuli jednako bude ovo dakoizaberu ta filtri se da je ideja

21

2

11

11

1

111

1

1

(5.88)

Ako se usvoji da je

121 1

1

z

zIzGzG (5.89)


5 - 31

zN

z

z

zFzN

zIz

zFzIzX

z

zzzOtot 1

1

11

1

1

1

11

1

1

11

1

1

(5.90)

Da bi izraz u zagradi bio nula, potrebno je da bude ( ) ( ) 1I z F z , (5.91) odnosno

11( ) 1

( )F z z

I z , (5.92)

tada 5.90 postaje:

zNzzXzN

z

z

zzXzOtot 1

211

1

1

1

1

11

1

(5.93)

Ovako dobijena izlazna funkcija se razlikuje od izlazne funkcije osnovnog Σ-Δ A/D konvertora u kvadratna funkcija uz komponentu šuma, umesto linearne. Grafik amplitudske karakteristike prenosne funkcije uz komponentu šuma u izrazu 5.93 prikazan je na slici 5.16 i označen ja sa NTF2(ω). Tehnika eliminacije šuma uobličavanjem spektra šuma se može praktično primenjivati i zastupljena je u komercijalnim Σ-Δ A/D konvertorima. Ograničenje u pogledu broja stepeni za prigušenje šuma nameće problem stabilnosti sistema. Konkretno broj stepeni ne bi trebalo da pređe 4 ili maksimalno 5. 5.3.2. Praktični aspekti primene Σ-Δ A/D konvertora Visoka izlazna rezolucija (24 bita) Visoka tačnost U većini primena relativno uzan frekvencijski opseg signala na ulazu (ne prelazi audio

opseg) Korišćenje se svodi na programiranje niskog nivoa hardvera, čime se podešavaju parametri

pre svega vezani za ulazno pojačanje, OSR i izlaznu filtarsku strukturu sa decimatorom. Veoma pogodni za primene u sistemima kod kojih pojedine komponente u spektru signala

koji se digitalizuje nisu jednako značajne (ne nose jednaku količinu informacije), kao npr. u audio tehnici, gde se šum uobličava u skladu sa frekvencijskom osetljivošću ljudskog uha.


5 - 32

5.4. Switching-capacitors A/D konvertori Pun naziv ove vrste A/D konvertora je „Konvertori sa sukcesivnim aproksimacijama uz korišćenje preraspodele naelektrisanja“. S obzirom da, kod ovih konvertora, raspodela naelektrisanja zavisi od odnosa kapacitivnosti a ne od apsolutnih vrednosti kapacitivnosti, u nastavku teksta su kondenzatori dimenzionisani u relativnim jedinicama. Šema četvorobitnog switching-capacitors (S-C) A/D konvertora prikazana je na slici 5.19.

Slika 5.19. Šema četvorobitnog konvertora sa sukcesivnim aproksimacijama uz korišćenje preraspodele naelektrisanja

5.4.1. Faza inicijalizacije Inicijalizacija započinje odmeravanjem ulaznog signala, odnosno povezivanjem gornjih ploča kondenzatora na napon VL = 0 V, a donjih ploča na nepoznati mereni napon VX, kao što je ilustrovano na slici 5.20.

Slika 5.20. Uzimanje odbirka ulaznog napona Korišćenjem jednostavne formule za kapacitivnost

U

QC (5.94)

dobija se da je ukupna količina naelektrisanja u sistemu

Vx

Vr

0 0 0 0 01 1 1 1 1

Vr

SW1

12

SW2

12

48

+

-

3

26

74

112VL

VL

SW11 2

SW21 2

8 4 2 1 1

+

-

3

26

74

VL

VX VL


5 - 33

)(16 LXS VVCQ (5.95)

Kako je VL = 0, sledi da je XS VCQ 16 (5.96)

U narednoj fazi, kolo prelazi u stanje zadrške (hold), kao na slici 5.21.

Slika 5.21. Zadržavanje odbirka

U ovom stanju, gornje ploče kondenzatora se odvajaju od mase (VL), a donje ploče se prebacuju od ulaznog napona VX na masu (VL). Formula koja sada važi za naelektrisanje je XLH VCVVCQ 16)(16 (5.97) Na osnovu zakona o održanju naelektrisanja i relacija 2.4.3 i 2.4.4, sledi da je XVV (5.98) Ovo je inicijalni napon na ulazu u komparator. Time je završen proces odmeravanja i konvertor je spreman za proces A/D konverzije. 5.4.2. Faza konverzije Izlaz iz komparatora, pošto se prekopča svaki od kondenzatora, određuje da li se donja ploča kondenzatora zadržava na referentnom naponu VR ili se vraća na nulu. Da bi se razumelo kako se proces odvija, konverzija će biti opisana na primeru konkretnog ulaznog napona

RX VV32

21 (5.99)

Za vreme inicijalizacije, zbirno naelektrisanje svih kondenzatora je

RRXS CVVCVCQ2

21

32

211616 (5.100)

Za vreme hold stanja, invertujući ulaz komparatora odlazi na

RX VVV32

21 (5.101)

118

+

-

3

26

74

4 2

VL

VL

Vi


5 - 34

Postavljanjem četvorobitnog SAR (Successive Approximation Register) registra na vrednost „1000“ kondenzator „8“ se preveže sa mase na VR i kolo izgleda kao na slici 5.22.

Slika 5.22. Prekopčavanje kondenzatora „8“ za najteži bit SAR registra

Ukupno naelektrisanje u sistemu, sada je jednako zbiru naelektrisanja na kondenzatoru „8“ i zbiru naelektrisanja na ostalim kondenzatorima. CVCVVVCVVCQ RLR 168)(8)(8 (5.102) S obzirom na očuvanje celokupnog naelektrisanja u sistemu, ova količina naelektrisanja jednaka je količini stvorenoj za vreme perioda odmeravanja, pa je

CVCVCVCVQ RRXS 1682

2116 (5.103)

odakle je

VVVV RR 32

5

2

218

16

1 (5.104)

Kako je neinvertujući ulaz u komparator na 0 V, a invertujući negativan, komparator na izlazu daje logičku jedinicu (pozitivan napon), što znači da je konvertovani signal manji od merenog, pa će kondenzator „8“ ostati povezan na napon VR i u sledećem koraku. SAR registar ostaje napunjen jedinicom ne najtežem bitu (MSB) i kreće se u sledeći korak. U sledećem koraku se naredni bit (22) postavlja na jedinicu (SAR = 1100) i proverava se da li će V- biti veće ili manje od VL = 0 V. Tada se i kondenzator „4“ postavlja na VR, pa kolo poprima konfiguraciju kao na slici 5.23. Sada će ukupno naelektrisanje u sistemu biti CVCVVVCVVCQ RLR 1612)(4)(12 (5.105)

VR

8

4 2 1 1

+

-

3

26

74

VL

VL

Vi


5 - 35

Slika 5.23. Prekopčavanje kondenzatora „4“ na VR Prema zakonu o održanju naelektrisanja, sledi da je

VVV R32

3 (5.106)

Znači da će invertujući ulaz biti na većem potencijalu od neinvertujućeg i da će komparator na izlazu dati negativan napon (logička nula za μP). Ova nula će prekopčati kondenzator „4“ nazad na masu, i resetovati bit 3 u SAR registru (SAR = 10xx). U narednom koraku će se bit 2 (21) postaviti na jedinicu, pa će u SAR registru sadržaj biti „1010“, a kondenzator „2“ će se spojiti na VR (slika 5.24).

Slika 5.24. Prekopčavanje kondenzatora „2“ na VR

Količina naelektrisanja u sistemu je CVCVVVCVVCQ RLR 1610)(6)(10 (5.107) odakle je

VVV R32

1 (5.108)

VR

8 4

2 1 1

+

-

3

26

74

VL

VL

Vi

VR

8

4

2

1 1

+

-

3

26

74

VL

VL

Vi


5 - 36

pa treći bit zadržava vrednost, odnosno SAR = 101x. Na kraju se poslednji bit (20) postavlja na jedinicu i u SAR se nalazi vrednost „1011“. Dakle, prvi od dva „1“ kondenzatora se prekopčava na VR, kao na slici 5.25.

Slika 5.25. Prekopčavanje kondenzatora „1“ na VR

Slično kao i u prethodnim slučajevima, sada se dobija da je

VVV R32

1 (5.109)

Komparator će na izlazu dati negativan napon, što znači da se i najniži bit u SAR resetuje nazad na nulu. Kada je obrađen i poslednji bit, sadržaj SAR registra je ujedno i rezultat A/D konverzije. Kvant konvertora je

mRV

a2

(5.110)

gde je m broj bita konvertora. Vrednost SAR = 1010 treba interpretirati kao

RR

mR

DA VVV

SARaSARV16

10

21010

2 42/ (5.111)

Normirana greška A/D konvertora je,

m

RV

a

2

1 (5.112)

a greška konverzije napona VX iz primera je

RXDA VVVV32

1/ (5.113)

Jasna je i uloga drugog „1“ kondenzatora. Da nije njega, svaka jedinična vrednost kapacitivnosti bi odgovarala 1/15 od reference, umesto potrebne 1/16.

VR

8

4

2 1

1

+

-

3

26

74

VL

VL

Vi


5 - 37

5.2. D/A konvertori Digitalno-analogni (D/A) konvertori su uređaji koji na svom izlazu generišu vrednosti neke analogne fizičke veličine, npr. napona, struje, količine naelektrisanja, na osnovu zadatog apstraktnog digitalnog zapisa (niza nula i jedinica) na ulazu koji predstavlja broj u konačnoj preciznosti. Pri tome se podrazumeva da je datom digitalnom zapisu već unapred pridružena transformaciona funkcija, tablica ili grafik koji na jednoznačan način povezuju analognu veličinu sa digitalnim zapisom. Češće, digitalno-analogni konvertori se koriste da na osnovu serije apstraktnih binarnih sekvenci u konačnoj preciznosti generišu kontinualan vremenski promenljiv analogni signal. U tom slučaju, mora se unapred poznavati vremenski interval koji će u analognom domenu razdvajati pojedine generisane vrednosti. Ovaj interval najčešće je jednak recipročnoj vrednosti učestanosti odmeravanja koja je upotrebljena u inverznom postupku A/D konverzije. Veoma retko se u praksi sreću D/A konvertori koji imaju promenljiv interval (učestanost) generisanja analognih impulsa. Na slici 5.26 prikazane su varijante signala koje se mogu dobiti na osnovu iste binarne sekvence upotrebom različitih vremenskih intervala.

Slika 5.26. Različiti signali dobijeni od istog digitalnog zapisa upotrebom različitih učestanosti odmeravanja.

Analogni signal najčešće se dobija tako što se prvo generiše povorka analognih impulsa koji odgovaraju apstraktnim vrednostima digitalnog zapisa u unapred utvrđenim intervalima kΔt (slika 5.27), zatim se ove povorke impulsa proširuju na trajanje celog intervala Δt (slika 5.28), a na kraju se najčešće primenjuje niskopropusno filtriranje kako bi se ograničio spektar izlaznog signala (slika 5.29). Ukoliko se namerno želi realizovati povorka impulsa strmih ivica sa širokim spektrom, tada se niskopropusni filtar može izostaviti.

u3(t)

T3

t

t

u1(t)

T1

u2(t)

T2

t


5 - 38

Slika 5.27.

Slika 5.28

Slika 5.29 Sa slika 5.28 i 5.29 jasno je da će zadržavanje vrednosti impulsa neminovno pomeriti signal z(t), u odnosu na originalni signal x(t) za interval:

TfT

t

T

t

s

2/

2 (5.114)

Na osnovu koraka rekonstrukcije prikazanih na slikama 5.27 do 5.29, dolazi se do najopštije šeme D/A konvertora koja je prikazana na slici 5.30.

Slika 5.30. Principijelna blok šema D/A konvertora

z''(t)

t Δt 3Δt 5Δt …

20Δt

z'(t)

t Δt

z(t)

t

NF filtar

Dekoder Registar

y'(n) z''(n)y(n)

z'(t) z(t) Kolo za

odmeravanjeKolo za

zadržavanje

Kolo za odmeravanje i zadržavanje

D/A konvertor


5 - 39

5.2.3. Parametri i performanse D/A konvertora D/A konvertori su veoma važni za performanse nekih sistema. Njihove najvažnije karakteristike su:

Rezolucija Maksimalna učestanost odabiranja Monotonost Šum Ukupno harmonijsko izobličenje Dinamički opseg

Rezolucija predstavlja broj mogućih različitih analognih nivoa koje D/A konvertor može proizvesti u zadatom opsegu vrednosti. Ako se pretpostavi da svakom binarnom stanju u digitalnom domenu odgovara jedan vrednost izlazne analogne veličine, onda se rezolucija može izraziti i kao broj bita m D/A konvertora jer je tada broj mogućih stanja 2m. Rezolucija npr. određuje dubinu boje u generisanju video zapisa ili najmanju razliku u tonovima kod audio aplikacija. Maksimalna učestanost odabiranja je mera najveće brzine sa kojom kola D/A konvertora mogu raditi a da i dalje dalju ispravan rezultat na izlazu. Nikvist-Šenonova teorema daje vezu između učestanosti odabiranja i širine spektra generisanog signala. Monotonost je sposobnost D/A konvertora da generiše izlaz koji se menja samo u smeru u kome se menja digitalni ulaz. Npr. ako se digitalni ulaz poveća, analogna veličina neće imati propade ili oscilacije u vrednostima pre dostizanja stabilnog odziva.

Slika 5.31. Mogući odzivi D/A konvertora Šum je svaki neželjeni oblik analogne veličine koji moduliše izlaznu vrednost konvertora. Obično se izražava kao logaritam odnosa snaga neželjenog i željenog signala SNR (Signal-to-Noise Ratio). Ukupno harmonijsko izobličenje (distorzija) je mera nelinearnih izobličenja i modulacija izlaznog signala i kao takvo predstavlja takođe meru šuma konvertora. Međutim, ovaj oblik šuma dobio je poseban naziv „distorzija“ i, umesto kao logaritamski odnos snaga, češće se izražava u procentima ukupne snage neželjenih komponenti u spektru signala i korisne snage. Ovo je veoma važna osobina D/A konvertora za primene u generisanju malih i brzo promenljivih signala.

a) monoton odziv b) oscilujuć odziv


5 - 40

Dinamički opseg je razlika najveće i najmanje vrednosti analogne veličine koju D/A konvertor može proizvesti, izražena u decibelima (dB). Pored ovih karakteristika često je značajno posmatrati fazna izobličenja i džiter, posebno u primeni A/D konvertora u bežičnom prenosu signala (Wi-Fi) i kompozitnom videu, kod kojih kritična tačna reprodukcija faze. 5.2.2. Tipovi D/A konvertora Najčešći tipovi A/D konvertora su:

Impuslno-širinski modulator, kao najjednostavniji primer D/A konvertora, kod koga se stabilna struja ili napon propuštaju kroz niskopropusni analogni filter, pri čemu je trajanje tog propuštanja određeno digitalnim ulaznim kodom. Ova tehnika se često koristi kod upravljača brzinom okretanja električnih motora, npr. kod električnih vozova ili metroa.

Delta-sigma D/A konvertori koriste princip delta-sigma modulacije da rekonstruišu signal interpolacijom i dekodovanjem dugačkih sekvenci bita. S obzirom da se kod delta-sigma modulacije uvek radi oversampling, ovi D/A konvertori omogućuju upotrebu veoma jednostavnog hardvera. U složenijim primerima mogu se koristiti MASH kola radi uobličavanja karakteristike šuma distorzije.

Binarno-težinski D/A konvertori sadrže individualne elektronske komponente za svaki bit D/A konvertora koje se sabiraju u analognom domenu. Odlikuje ih velika brzina, jer se svi biti konvertuju istovremeno, ali su osetljivi na starenje komponenti, veoma su skupi, a nisu naročito precizni jer zavise od velikog broja referentnih napona i struja. Stoga se često ograničavaju na rezolucije od 8 bita ili manje.

Prekidačko-otpornički D/A konvertor koji se sastoji iz paralelne otporničke mreže koja razdeljuje referentni napon ili struju (opseg) u zavisnosti od vrednosti digitalnog ulaza.

Prekidačko-capacitivni D/A konvertor koji radi na sličnom principu kao i odgovarajući A/D konvertor, pomoću mreže paralelno vezanih kondenzatora proporcionalnih vrednosti čiji se krajevi kratko spajaju ili prevezuju na napon napajanja u zavisnosti od digitalnog ulaza konvertora. Odlikuje ih velika preciznost, ali su zbog sporosti pražnjenja i punjenja kondenzatora ograničeni na generisanje sporo promenljivih (niskopropusnih) signala.

D/A konvertori sa sukcesivnim aproksimacijama, tj. ciklični A/D konvertori koji proizvode izlaznu analognu veličinu u više koraka (ciklusa). U svakom ciklusu obično se konvertuje jedan bit ulazne digitalne sekvence.

D/A konvertori sa termometarskim kodom nastali su po analogiji sa fleš A/D konvertorima koji generišu odgovarajući termometarski kod na svom izlazu. Zasnivaju se na paralelnom hardveru koji rekonstruiše svaku moguću vrednost izlaznog napona. Tako npr. 8-bitni termometarski D/A konvertor ima 255 segmenata, dok 16-bitni ima 65.535 segmenata. Ovo su danas najbrži poznati konvertori sa najboljim performansama, ali su, zbog kompleksnog hardvera, veoma skupi. Njima je moguće postići brzine konverzije i preko 109 odmeraka/s.

D/A konvertor sa R-2R otporničkom lestvicom koristi binarno težinski kod na ulazu da uključuje ili isključuje segmente kaskadne strukture otpornika vrednosti R i 2R.


5 - 41

Veoma su precizni, posebno ako se realizuju u integrisanim kolima, zbog lakoće sa kojom se tehnološki proizvode identični otpornici. Nažalost, ovakva kaskadna struktura otpornika ima veliku parazitnu kapacitivnost, pa su ovi konvertori nešto sporiji od ostalih.

Hibridni D/A konvertori koriste neku od kombinacija prethodnih tehnika konverzije, posebno kada je potrebno postići kompromis između cene, brzine i rezolucije konvertora. Većina D/A konvertora konvertora u složenim integrisanim kolima je ovog tipa. Najčešće se primenjuje kombinacija termometarskog D/A konvertora za bite veće težine i konvertori sa R-2R mrežom za bite manje težine.

5.3. D/A konvertor sa R-2R otporničkom lestvicom Kao jedan konkretan primer biće obrađen D/A konvertor sa R-2R otporničkom mrežom koji na svom ulazu ima binarno težinski digitalni kod. Ovi konvertori posebno su značajni za integrisane merne instrumente koji se realizuju pomoći programabilnih elektronskih kola, digitalnih signal procesora ili mikroprocesora. Osim toga, za razliku od mnogih drugih tipova D/A konvertora koji se zasnivaju na identičnim principima kao i odgovarajući A/D konvertori, kod ovog tipa konvertora koristi se sasvim originalan pristup generisanju analogne veličine. Pretpostavimo da je zadatak generisanje napona i opsega 0 – Vcc na osnovu ulazne sekvence od n bita. Tada je pojednostavljena šema D/A konvertora data slikom 5.32, odnosno u varijanti sa uštedom otpornika u svakoj grani, slikom 5.33.

Slika 5.32. Sabirač napona sa težinskim faktorima stepena broja dva

Slika 5.33. Konvertor sa R-2R otporničkom mrežom


5 - 42

Svakom od bita a0 do an-1 odgovara logička nula ili logička jedinica, koje su predstavljene naponima od 0 V i Vcc respektivno. Drugim rečima, napon na nekom od 2R otpornika biće: 1..0, niVaU ccii (5.115)

Izlazni napon se tada može izračunati korišćenjem teoreme superpozicije i Tevenenove teoreme, kao zbir pojedinačnih uticaja izvora Ui. 5.3.1. Praktična razmatranja R-2R mreža je jeftina i relativno laka za izradu jer zahteva samo dve vrednosti otpornosti, odnosno jedne, ako se R realizuje kao paralelna veza para 2R, ili ako se 2R realizuje kao redna veza dva R otpornika. Sam D/A konvertor ima fiksnu izlaznu impedansu koja iznosi R. S obzirom da R-2R mreža ponaša kao niz strujnih razdelinka, tačnost konverzije zavisi isključivo od toga koliko su otpornici međusobno upareni. Male nesigurnosti otpornika vezanih na značajnije bite može premašiti doprinos manje značajnih bita. To može proizvesti nemonotono ponašanje na glavnim prelazima binarnih stanja poput promene sa 01111 na 10000. U zavisnosti od tipa i dizajna upotrebljenih logičkih kola mogu se javiti prelazni prebačaji i podbačaji napona, čak i u slučaju savršene uparenosti otpornika. To se može ispeglati vezivanjem kondenzatora na izlazu, ali se time bitno ograničava propusni opseg, što nije dopustivo u nekim primenama. Na kraju, treba uzeti u obzir i da je otpornik na red sa izlaznom impedansom digitalnog kola. Kola sa visokom izlaznom impedansom (npr. LVDS) mogu biti nepogodna za primene sa velikim brojem bita, jer značajno ograničavaju struju. Na taj način bi struja u kolu otpornika najnižeg bita bila u rangu šuma. Zato su ovi konvertori ograničeni na rezolucije od 8 bita u standardnim primenama, a do najviše 14 bita u integrisanoj izvedbi.

Documents

5. A/D i D/A konvertori - kelm.ftn.uns.ac.rskelm.ftn.uns.ac.rs/literatura/eiem/05_ADC_i_DAC.pdf · signal x' definisan nad diskretnim vremenskim domenom. Novodobijeni signal je signal