Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN

8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN

1/126

Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatereBibliografie

UNIVERSITATEA DIN PITE STI¸

˘ ˘

FACULTATEA DE MATEMATICA - INFORMATICA

˘

DOMENIUL DE DISERTA¸TIE MATEMATICA

RELATII METRICE ÎN PLAN

Coordonator:

Lect.univ.dr.


2/126

Absolvent:

Pitesti, 16 Iulie 201


3/126

Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatereBibliografie

Cuprins


4/126

Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare

Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice

Aplica¸tii

Teorema sinusurilor


5/126

Se !"#si$e%&˘ a; b; c > 0; a; b; c l&tu%ile ∆ ABC , &tu#!i u%'&t"&%e&˘ %el&¸tie

este e!(i)&le#t&*˘


6/126

a=b=

c = 2R +1

si# A

si# B

si# C


7/126

R =%&& !e%!ului !i%!u's!%is ∆ ABC .


8/126

Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice

Aplica¸tii

Teorema cosinusurilor

Se !"#si$e%&˘ a; b; c > 0; a; b; c l&tu%ile ∆ ABC; &tu#!i &u l"! u%'&t"&%ele˘ %el&¸tii*

2

2


9/126

2

2

b2

+ c 2

a2

a

= b

+ c

2_ b _ c _ !"s A , !"s A =

+2


10/126

2 _ b


11/126

c

2

2


12/126

2

a2

+ c 2

b2

b

= a

+ c

2_ a _ c _ !"s B , !"s B =

+/


13/126

2 _

a


14/126

c

2

2

2

a2


15/126

a

+ b2 c 2

c

= a

+ b

2_ a _ b _ !"s C , !"s C =

+


16/126

2 _ a


17/126

b


18/126


19/126


20/126


Aplica¸tii

Propozi¸tie: În orice triunghi oarecare, ABC , are loc rela¸tia:

3(GA2 + GB2 + GC 2) = BC 2 + CA2 + AB2;

(5)


21/126

( )

unde G este centrul de greutate al triunghiului.


22/126



Aplica¸tii

Propozi¸tie: Fie un triunghi ABC avnd lungi!ile laturilor egale cu a; b; c si¸ un "unct "elatura BC:

#tunci are loc rela¸tia($te%art):

c 2 _ C + b

2 _ B A

2 _ BC = B _ C _ BC

(&)


23/126


24/126


Aplica¸tii

Propozi¸tie: În orice triunghi oarecare, ∆ ABC; cu !edianele AA! ; BB! si¸ CC ! ; au loc

rela¸tiile:AA

! 2

=2(b2

+ c 2)

a2


25/126

'

BB! 2

=

2(a22

b2


26/126

'


27/126

CC ! 2

=

2(a2

+ b2)

c 2

'


28/126


29/126


Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic

Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice

Aplica¸tii

Propozi tie: # "%i!e △ABC eist&˘ %el& ti&*


30/126

si#( A B)

a2

b2

=

si#(

A + B)

c 2

Propozi¸tie:

#"%i!

e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*


31/126

b _ !"s C

c _ !"s B=b

2

c 2

a

Propozi¸tie:#"%i!e △ ABC eist&˘%el&¸ti&*

si# A


32/126

(b2 + c 2 a2) _ tg A = (a2 + c 2

b2) _ tg B

Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*

si#B

si#C

=

r

2

2R


33/126

22


34/126

+3

+4

+5

+10

Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela tii metrice în triunghi


35/126


Aplica¸tii



36/126

si#2

A

+ si#2B

+ si#2

C

= 1

r

+11


37/126

2R

2

2

2


38/126



39/126

!"sA!"s

B!"sC

=

p

+12


40/126

2

R

22


41/126



42/126

p

= "

+1/


43/126

rr ar b r c

u#$e* r a; r b ; r c su#t %&ele !e%!u%il"% e#s!%ise ∆ ABC:


44/126


a(b + c )+

b(c + a)+


45/126

+

c (a + b)

= +1


46/126

r a(r b + r c )

r b (r c + r a)

r c (r a + r b )


47/126


48/126


49/126

Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic R l tii t i î t l t


50/126


Aplica¸tii



51/126

a(bc )

+

b(c a)

+c (ab)

= 2+1

r a(r b

r (r


52/126

r b (r c

r a)

r c (r a

r b )

r c )


53/126


1+1


54/126

1+1

=1

+16

r a

r b


55/126

r c

r


56/126



57/126

bc !"s A + ca !"s B + ab !"s C = R +13

a si# A + b si# B + c si# C


58/126

Propozi¸tie: # "%i!e t%iu#7(i, "&%e!&%e, ABC &%e l"! %el&¸ti&*

( p a)r a = ( p b)r b = ( p c )r c = ":

Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereR l t i hi il


59/126

Rezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice

Aplica¸tii

Propozi¸tie: D&!&˘ # este !e#t%ul !e%!ului #s!%is # △ ABC &tu#!i lu#7i'ilel&tu%il"% A#; B#; C# su#t*

A# =


60/126

bc ( pa)

p


61/126

B#=

ac ( pb)


62/126

p

:

C# =


63/126

ab( p

b)

p


64/126


65/126

Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecare


66/126

BibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice

Aplica¸tii

Propozi¸tie: D&!&˘ # este !e#t%ul !e%!ului #s!%is # △

ABC si¸ G este !e#t%ul $e 7%eut&te &l ∆ ABC &tu#!i lu#7i'e& l&tu%ii #G este*

#G2 = p2 + 2r 2 + 16Rr

5

Rela tii metrice în triunghiul oarecare


67/126



Aplica¸tii

Propozi¸tie: D&!&˘ $ este !e#t%ul !e%!ului !i%!u's!%is △ ABC si¸ % este "%t"!e#t%ul △ ABC &tu#!i lu#7i'e& l&tu%ii $% este*$%

2 = 5R 2 (a2 + b2 + c 2);

+14

# 8u#!¸tie $e R si¸ l&tu%ile △ ABC si¸$%

2 = R2(1 4 !"s A !"s B !"s C);


68/126

$% R (1 4 !"s A !"s B !"s C );+15

# 8u#!¸tie $e R si¸ u#7(iu%ile △ ABC:

Rela tii metrice în triunghiul oarecare


69/126




Aplica¸tii

Propozi¸tie: D&!&˘ $ este !e#t%ul !e%!ului !i%!u's!%is △ ABC si¸ # este !e#t%ul !e%!ului#s!%is △ ABC &tu#!i lu#7i'e& l&tu%ii $# este*

$# = R (R 2r ):


70/126



71/126

¸ g



Aplica¸tii

Teorema lui Pitagora

#t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC , !u i9"te#u&, AB = c si¸ !&tetele, AC = b si¸BC = a, su'& 9&t%&tel"%˘ lu#7i'il"% !&tetel"% este e7&l&˘ !u 9&t%&tul˘ lu#7i'iii9"te#uei, &$i!&*˘

2 2 2 2 2 2


72/126

AB2 = AC 2 + BC 2 & c 2 = b2 + a2



73/126



Aplica¸tii

Teorema catetei

#t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC , !u i9"te#u&, AB = c si¸ !&tetele, AC = b si¸ BC = a,lu#7i'e& u#ei !&tete este 'e$i& 7e"'et%i!&˘ $i#t%e lu#7i'e& 9%"ie!¸tiei s&le 9ei9"te#u&˘ si¸ lu#7i'e& i9"te#uei, &$i!&*˘

p


74/126

p

AB = B _ BC; AC = C _ BC



75/126



Aplica¸tii

Teorema înal¸˘timii

#t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC , !u i9"te#u&, AB = c si¸ !&tetele, AC = b si¸ BC = a,

#&l¸˘ti'e& este 'e$i& 7e"'et%i!&˘ & 9%"ie!¸tiil"% !&tetel"% 9ei9"te#u&,˘ &$i!&*˘

A2 = B C


76/126

A B _ C



77/126



Aplica¸tii

Teorema unghiului de /0'

#t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC , !u i9"te#u&, BC = a, !&tetele, AC = b, AB = c ,

m(BAC = 50

'

) si¸ m( ACB = /0

'

), lu#7i'e& !&tetei "9use u#7(iului $e /0

'

este:u'&t&te˘ $i# lu#7i'e& i9"te#uei, &$i!&*˘

AB = BC

2 :


78/126



79/126



Aplica¸tii

Propozi¸tie: În orice triunghi dre"tunghic, ABC , cu i"otenu*a, BC = a, catetele, AC = b, AB = c , are loc rela¸tia:

b sin B + c sin C = sina

A :

Propozi¸tie: În

orice

triunghi dre"tunghic, ABC , cu i"otenu*a, BC = a, catetele, AC = b, AB = c , are locrela¸tia:b cos C c cos B =

b2

a


80/126

c 2

:

Propozi¸tie: Înoricetriunghidre"tunghic, ABC ,

cui"ot

enu*a, BC = a, catetele, AC = b, AB = c , are loc rela¸tia:

c 2 _ tg B = b2 _ tg C:


81/126

(2)

(2)

(22)



82/126


Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecare

BibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice

Aplica¸tii

Propozi¸tie: În orice triunghi dre"tunghic, ABC , cu i"otenu*a, BC = a,

catetele, AC = b, AB = c , are loc rela¸tia:


83/126

sin(B C )

b2

c 2

(23)

=

:

sin(B + C )


84/126

a

2

Propozi tie: În orice triunghi dre"tunghic ABC cu i"otenu*a BC = a catetele AC = bAB i G t l d t t l l ti

3(GA2 + GB2 + GC 2) = 2BC 2:(2')


85/126



86/126

Aplica¸tii

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC se !u#"s! i9"te#u& BC si¸ B,&tu#!i &%i& t%iu#7(iului este*

" = a2 si# 2B :

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC se !u#"s! i9"te#u& BC si¸ C ,&tu#!i &%i& t%iu#7(iului este*


87/126

" = a2 si# 2C :



88/126

Aplica¸tii

Rezolarea triunghiurilor oarecare

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s! t"&te l&tu%ile, &tu#!i se 9"t$ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s! $"u&˘ l&tu%i si¸ u#7(iul $i#t%e ele, &tu#!i

se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s!* u# u#7(i, " l&tu%&˘ &l&tu%&t˘&˘ si #&l ˘ti'e& $us&˘ $i# ;%8ul !u#"s!ut &tu#!i se 9"t $ete%'i#&


89/126

&l&tu%&t & si¸ #&l¸ ti'e& $us& $i# );%8ul !u#"s!ut, &tu#!i se 9"t $ete%'i#&si¸ !elel&lte ele'e#te.



90/126

Aplica¸tii

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s!* u# u#7(i, " l&tu%&˘ si¸ #&l¸˘ti'e& 9e%9e#$i!ul&%&˘ 9e l&tu%& !u#"s!ut&,˘ &tu#!i se 9"t $ete%'i#& si¸!elel&lte ele'e#te.

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i se !u#"s!* " l&tu%&,˘ se'i9e%i'et%ul si¸ u#7(iul "9us l&tu%ii

!u#"s!ute, &tu#!i se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i se !u#"s!* " l&tu%&,˘ se'i9e%i'et%ul si¸ u# u#7(i &l&tu%&t˘l&tu%ii !u#"s!ute, &tu#!i se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.


91/126



92/126

Aplica¸tii

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s!* &%i&, se'i9e%i'et%ul si¸ u# u#7(i, &tu#!i


Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s!* r a; r b ; r c %&ele !e%!u%il"%e#s!%ise t%iu#7(iului, &tu#!i se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.


93/126



94/126

Aplica¸tii

Rezolarea triunghiurilor dreptunghice

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s!* !&tetele b si¸ c , &tu#!i se 9"t$ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s!* " !&tet&˘ si¸ i9"te#u& a, &tu#!i se 9"t

$ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s!* " !&tet&˘ si¸ u# u#7(i &s!u¸tit &tu#!ise 9"t $ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.


95/126



96/126

Aplica¸tii

Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s!* i9"te#u& si¸ u# u#7(i &s!u¸tit, &tu#!i


Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s! i9"te#u& si¸ su'& !&tetel"%, &tu#!i se9"t $ete%'i#& si¸ !elel&lte ele'e#te.


97/126



98/126

Aplica¸tii

Aplica¸tie

Se !"#si$e%&˘ a; b; c > 0; a; b; c l&tu%ile △ ABC , # !&%e &%e l"! %el&¸ti&*si#2 B + si#2 C = si#2 A:+2


99/126

Atu#!i* ∆ ABC este $%e9tu#7(i!.



100/126

Aplica¸tii

!emonstra¸tieDi# te"%e'& si#usu%il"% &)e'*

a

=

b=c

;


101/126

si# A

si# B

si# C

&tu#!i %el&¸ti& (2) $e)i#e*

b2 _ si#2 A+

c 2 _ si#2 A= si#2 A , b2 + c2 = a2: a2 a2


102/126

+ = si#2 A , b2 + c 2 = a2: a2 a2

Di# %e!i9%"!& te"%e'ei lui Pit&7"%& %eult&˘ !&*˘ ∆ ABC este $%e9tu#7(i!+ A =

50':

Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatere

Rela¸tii metrice în patrulatere Aplica¸tii

Bibliografie

Rela¸tii metrice în patrulatere


103/126

Propozi¸tie: Fie ABC u# 9&t%ul&te% &%


104/126


105/126

9&t%u "%i 9&t%&tul˘ se7'e#tului !&%e u#e¸ste 'i:l"&!ele$i&7"#&lel"%.A$i!&*˘

AB2 + BC 2 + C2 + A2 = AC 2 + B2 + () 2


106/126

Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatereRela¸tii metrice în patrulatere Aplica¸tii

Bibliografie


107/126

!e"ini¸tie: A#ti!e#t%ul u#ui 9&t%ul&te% i#s!%i9ti


108/126

2

e2

u#$e AC = m; B = n; R %&& !e%!ului #s!%is si¸ e este $ist¸t&$i#t%e 'i:l"&!ele $i&7"#&lel"%


109/126

$i#t%e 'i:l"&!ele $i&7"#&lel"%.


110/126

Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatereRela¸tii metrice în patrulatere Aplica¸tii

Bibliografie


111/126

RezolareN"t&'˘ l&tu%ile AB = l ; BC = l 2; A = l 3 si¸ u#7(iu%ile = *; C = +: Du!e'9e%9e#$i!ul&%ele AA! ; BB! 9e C si¸ 9e%9e#$i!ul&%& A( 9e BB! :# △ AA! *

A =

*;

!"s =

A!


112/126

A

) A! = A !"s

A

si# =

AA!

) AA! = l

3 si# *:

l 3


113/126

# △BB! C *

BB! = l 2 si# +; B

! C = l 2 !"s + B

! ( = A! A = l 3 si# *;

(B = BB! B! ( = l 2 si# + l 3 si# *:


Rela¸tii metrice în patrulatere

Aplica¸tii

Bibliografie

# △ A(B*A(

2 = l

2


114/126

(B2 = l 2 (l 2 si# +

l 3 si# * )2

m(B) = m(B) + m(B2)

u#$e

+


115/126

si¸

A(

A(


116/126

si# B2 =

) B2 = &%!si#

:


117/126

l

l

O


118/126

A( = A! B! = A! + B!

A! =


119/126

B! = A! B!

l ,2

(l 2 si# + l 3 si# * )

2 A !"s ;

$u9&˘ !&%e si¸


120/126

C = B!

+ B! C =

l ,2

(l 2 si# +

l 3 si# * )2 + l 2 !"s +:


121/126


122/126


Bibliografie

#i$liogra"ie


123/126

C. F%i7i"iu, Rela¸tii metrice în triunghi si¸ patrulater , >&l&¸ti, 2010?

I. C(i¸tes!u, M. C(i%i¸t&,˘ Geometria patrulaterului, E$itu%& Te"%&,1554? I. Su)"%") Curs de matematici superioare, E$. Te(#i!&,˘ 15?

F. Tu%t"iu, Probleme de Trigonometrie, E$itu%& Te(#i!&,˘ @u!u%e¸sti1546? T. L&les!u, Geometria triunghiului, E$itu%& A9"ll", C%&i")&,155/?

V. @"s"B, L. Ni!"les!u, Probleme practice de geometrie, E$. Te(#i!&,˘

@u!u%e¸sti, 1540?

Concursul Gazeta Matematica:"Rela¸˘tii metrice în triunghiul

oarecare", 2011?Probleme din revista Gazeta Matematica˘ cd!#$% ?


124/126


Bibliografie

R i t d M t ti ˘


125/126

Revista de Matematica˘ , -aia are, 23/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, 0cto!1rie, 2/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, artie, 2/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, $e"te!1rie, 2/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, 0cto!1rie, 2'/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, $e"te!1rie, 2'/

Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, Fe1ruarie, 25/)iitori*limpici!ro+ "Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare",222.


Bibliografie


126/126

VA MUL¸TUMESC!

Documents

Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN