50
CURS 6 Spat ¸ii metrice A. Arusoaie [email protected] [email protected] Facultatea de Informatic˘ a, Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Ia¸ si Pagina cursului: https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mathematics_ro.html 6 Noiembrie 2017

CURS 6 - Spatii metrice - profs.info.uaic.roandreea.arusoaie/Cursuri/S_Curs6.pdf · CURS 6 Spat˘ii metrice A. Arusoaie [email protected] [email protected] Facultatea

  • Upload
    others

  • View
    33

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

CURS 6Spatii metrice

A. [email protected]

[email protected]

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

Pagina cursului: https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/mathematics_ro.html

6 Noiembrie 2017

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 50

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 3 / 50

Spatii metrice

Definitie

Fie X o multime nevida.

a) Se numeste distanta (sau metrica) pe X, o functie d : X ×X → R+ care satisfaceurmatoarele conditii:

(D1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀ x, y ∈ X;

(D2) d(x, y) = d(y, x), ∀ x, y ∈ X (simetria);

(D3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), ∀ x, y, z ∈ X (inegalitatea triunghiulara);

b) Perechea (X, d), unde X este o multime nevida iar d este o metrica pe X, se numeste spatiumetric.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 4 / 50

Spatii metrice

Propozitie

Fie (X, d) un spatiu metric. Atunci au loc:

a) d(x1, xn) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3) + ...+ d(xn−1, xn), ∀x1, x2, ..., xn ∈ X;

b) |d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X;

c) |d(x, y)− d(x′, y′)| ≤ d(x, x′) + d(y, y′), ∀x, x′, y, y′ ∈ X (inegalitatea patrulaterului).

Demonstratie: Punctul a) se demonstreaza utilizand inductia si proprietatea (D3).b) Din (D3) avem

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

d(y, z) ≤ d(y, x) + d(x, z)(D2)= d(x, y) + d(x, z)

Din aceste inegalitati obtinem

d(x, z)− d(y, z) ≤ d(x, y),

d(y, z)− d(x, z) ≤ d(x, y).

c) Aplicand a) pentru punctele x, x′, y, y′, obtinem

d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y′) + d(y′, y).

Schimband rolurile perechii de puncte (x, y) cu (x′, y′) obtinem

d(x′, y′)− d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(y, y′).

Din ultimele doua inegalitati obtinem concluzia.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 5 / 50

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 6 / 50

Spatii metrice. Exemple

1) Fie X = R si d1 : R× R→ R+, cu d1(x, y) = |x− y|, ∀x, y ∈ R. Atunci d1 este o distantape R, numita distanta uzuala (metrica uzuala), iar (R, d1) este un spatiu metric.

2) Fie X = Rn, n ∈ N∗ si fie d2 : Rn × Rn → R, definita prin

d2(x, y) =

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2, ∀ x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn.

Atunci d2 este o distanta, numita distanta euclidiana (metrica euclidiana), iar (Rn, d2) esteun spatiu metric.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 7 / 50

Spatii metrice. Exemple

Demonstratie: Aratam ca d2 este o metrica. Proprietatile (D1) si (D2) se verifica usor. Vomdemonstra (D3). Fie x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, ..., yn), z = (z1, z2, ..., zn) ∈ Rn. Aratam ca√√√√ n∑

k=1

(xk − zk)2 ≤

√√√√ n∑k=1

(xk − yk)2 +

√√√√ n∑k=1

(yk − zk)2 (∗)

Daca notam cu ak = xk − yk, bk = yk − zk, k = 1, n, atunci (∗) se rescrie astfel√√√√ n∑k=1

(ak + bk)2 ≤

√√√√ n∑k=1

a2k +

√√√√ n∑k=1

b2k

saun∑

k=1

(ak + bk)2 ≤n∑

k=1

a2k +

n∑k=1

b2k + 2

√√√√ n∑k=1

a2k ·

√√√√ n∑k=1

b2k

adican∑

k=1

akbk ≤

√√√√ n∑k=1

a2k ·

√√√√ n∑k=1

b2k (∗∗)

Inegalitatea (∗∗) se mai numeste inegalitatea lui Cauchy - Bunyakowski - Schwarz.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 8 / 50

Spatii metrice. Exemple

Demonstratie (continuare): Pentru a arata (∗∗) consideram urmatoarea functie

ϕ(λ) =n∑

k=1

(ak + λbk)2, ∀λ ∈ R. Cum ϕ(λ) ≥ 0,∀λ ∈ R, avem

ϕ(λ) = λ2n∑

k=1

b2k + 2λn∑

k=1

akbk +n∑

k=1

a2k ≥ 0, ∀λ ∈ R

Aceasta inegalitate are loc pentru orice λ ∈ R daca si numai daca(n∑

k=1

akbk

)2

−n∑

k=1

bk ·n∑

k=1

ak ≤ 0.

Asadar, are loc (∗∗):n∑

k=1

akbk ≤

√√√√ n∑k=1

a2k ·

√√√√ n∑k=1

b2k (∗∗)

si, deci, d2 este o metrica.

Daca n = 2, d2(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 este distanta obisnuita ıntre doua puncte dinplan.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 9 / 50

Spatii metrice

3) Fie X = Rn, atunci urmatoarele functii sunt distante pe Rn:

dp(x, y) =

(n∑

k=1

|xk − yk|p) 1

p

,∀ p > 1, ∀x, y ∈ Rn, (distanta Minkowski)

d1(x, y) =n∑

k=1

|xk − yk|, ∀ x, y ∈ Rn, (distanta Manhattan)

d∞(x, y) = max16k6n

|xk − yk|, ∀ x, y ∈ Rn, (distanta Cebısev)

d(x, y) =n∑

k=1

1

2k·|xk − yk|

1 + |xk − yk|, ∀ x, y ∈ Rn.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 10 / 50

Distanta Manhattan vs. Distanta euclidiana

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 11 / 50

Spatii metrice. Exemple

4) Daca X este o multime nevida oarecare, functia d : X ×X → R+, definita prin

d(x, y) =

{1, daca x 6= y0, daca x = y

,

este o metrica pe X (numita metrica discreta). (X, d) se numeste spatiu metric discret.

5) Fie R = R ∪ {−∞,+∞} si asa-numita functie a lui Baire, f : R→ [−1, 1], definita prin:

f(x) =

−1, x = −∞x

1 + |x|, x ∈ R

1, x = +∞

.

Atunci, functia df : R× R→ R, data prin

df (x, y) = |f(x)− f(y)| ,∀x, y ∈ R,

este o metrica pe R, iar perechea (R, df ) este un spatiu metric.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 12 / 50

Spatii metrice. Exemple

6) Fie A o multime oarecare. Notam cu B(A) = {f : A→ R | f(A) marginita ın R}.Atunci functia d : B(A)× B(A)→ R+ definita prin

d(f, g) = supx∈A|f(x)− g(x)|, ∀f, g ∈ B(A),

este o distanta.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 13 / 50

Spatii metrice

Definitie

Fie d si d metrici pe o multime X. Daca exista doua constante reale si pozitive, α si β, astfel ıncat

(∗) α · d(x, y) 6 d(x, y) 6 β · d(x, y), ∀x, y ∈ X,

atunci d si d sunt metrici echivalente.

Exemplu: Metricile d1, d2 si d∞ sunt echivalente pe Rn. Aceasta ıntrucat au loc relatiileurmatoare, de tipul (∗):

d∞(x, y) 6 d2(x, y) 6√n · d∞(x, y), ∀ x, y ∈ Rn si,

d∞(x, y) 6 d1(x, y) 6 n · d∞(x, y), ∀ x, y ∈ Rn.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 14 / 50

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 15 / 50

Spatii normate. Distanta indusa de norma

Definitie

Fie X o multime nevida.

i. O functie ‖ · ‖ : X → R+ se numeste norma pe spatiul liniar real (X,+, ·) daca satisfaceurmatoarele proprietati:

(N1) ‖x‖ = 0⇔ x = 0;

(N2) ‖λx‖ = |λ| · ‖x‖, ∀λ ∈ R, x ∈ X;

(N3) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ X (inegalitatea triunghiulara).

ii. Un spatiu liniar X ınzestrat cu o norma se numeste spatiu normat.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 16 / 50

Spatii normate. Distanta indusa de norma

Propozitie

Fie (X, ‖ · ‖) un spatiu liniar normat si fie

d : X ×X → R+, cu d(x, y) = ‖x− y‖, ∀x, y ∈ X.

Atunci d este o distanta pe X cu urmatoarele doua proprietati:

(i) d(x + z, y + z) = d(x, y), pentru orice x, y, z ∈ X;

(ii) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) pentru orice λ ∈ R, x, y ∈ X.

Distanta d se numeste distanta indusa de norma ‖ · ‖.

Observatii:

1. Nu orice distanta este indusa de o norma! ( Exemplu: distanta d, nu este indusa de norma,

ıntrucat d(x, 0) nu satisface (D2)).

2. Daca o distanta d provine dintr-o norma, atunci aceasta norma este unic determinata de dprin ‖x‖ = d(x, 0).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 17 / 50

Exemple de spatii normate

1. Daca X = Rn, se poate arata ca functia ‖ · ‖p : Rn → R+ definita prin

‖x‖p = dp(x, 0) =( n∑k=1

|xi|p) 1

p, ∀x ∈ Rn

este o norma, pentru orice p ∈ [1,∞).

I daca p = 2 vom obtine norma euclidiana.

I daca p→∞ atunci functia ‖ · ‖∞ : Rn → R+, definita prin

‖x‖∞ = d∞(x) = max1≤i≤n

|xi|, ∀x ∈ Rn,

este norma.

2. Fie multimea B(A) si fie ‖ · ‖ : B(A)→ R+ definita prin:

‖f‖ = supx∈A|f(x)|, ∀f ∈ B(A).

Aplicatia ‖ · ‖ este o norma, numita norma uniforma, care induce metrica definita anteriorprin

d(f, g) = ‖f − g‖ = supx∈A|f(x)− g(x)|.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 18 / 50

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 19 / 50

Vecinatatile unui punct

Definitie

Fie (X, d) un spatiu metric, x0 ∈ X arbitrar si r ∈ R∗+.

i. Numim bila deschisa de centru x0 si raza r, multimea

B(x0, r) = {x ∈ X | d(x, x0) < r},

ii. Numim bila ınchisa de centru x0 si raza r, multimea

B(x0, r) = {x ∈ X | d(x, x0) 6 r}.

iii. Numim sfera de centru x0 si raza r, multimea

S(x0, r) = {x ∈ X | d(x, x0) = r}.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 20 / 50

Vecinatatile unui punct

Definitie

Fie (X, d) spatiu metric si fie x0 ∈ X arbitrar.Spunem ca V ⊂ X se numeste vecinatate a punctului x0 daca

∃r > 0 astfel ıncat B(x0, r) ⊂ V.

Vom nota cu V(x0) multimea tuturor vecinatatilor punctului x0.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 21 / 50

Vecinatatile unui punct

d2(x, y) < r d∞(x, y) < r d1(x, y) < r

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 22 / 50

Vecinatatile unui punct

Definitie

Orice bila deschisa dintr-un spatiu metric, este vecinatate pentru orice punct al sau.

Definitie

Fie (X, d) un spatiu metric, x0 ∈ X si V(x0) sistemul vecinatatilor punctului x0.Se numeste sistem fundamental de vecinatati pentru x0, o familie U(x0) de parti ale lui X, caresatisface urmatoarele proprietati:

i. U(x0) ⊂ V(x0);

ii. pentru orice V ∈ V(x0), ∃U ∈ U(x0) astfel ıncat U ⊂ V.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 23 / 50

Vecinatatile unui punct

Propozitie

Fie (X, d) un spatiu metric, x0 ∈ X arbitrar si fie V(x0) un sistem de vecinatati punctul x0.Atunci au loc urmatoarele proprietati:

(V1) daca V ∈ V(x0) si V ⊆ U ⊆ X, atunci U ∈ V(x0);

(V2) daca V1, V2 ∈ V(x0), atunci V1 ∩ V2 ∈ V(x0);

(V3) ∀ V ∈ V(x0)⇒ x ∈ V ;

(V4) ∀ V ∈ V(x0), ∃W ∈ V(x0), astfel ıncat ∀y ∈W, V ∈ V(y).

Demonstratie:

(V1): Fie V ∈ V(x0)⇒ ∃r > 0 astfel ıncat B(x0, r) ⊂ V . Cum U ⊃ V , rezulta ca ∃r > 0 astfelıncat B(x0, r) ⊂ U, adica U ∈ V(x0).

(V2): Fie V1, V2 ∈ V(x0)⇒ ∃r1, r2 > 0 astfel ıncat B(x0, r1) ⊂ V1 si B(x0, r2) ⊂ V2.Considerand r = min{r1, r2} se vede ca B(x0, r) ⊂ V1 si B(x0, r) ⊂ V2. AdicaB(x0, r) ⊂ V1 ∩ V2.

(V3): rezulta imediat din definitia vecinatatii unui punct.

(V4): Fie V ∈ V(x0)⇒ ∃r > 0 a. ı. B(x0, r) ⊂ V. Consideram W = B(x0, r). Daca y ∈W ,rezulta ca d(x0, y) < r. Luand r′ astfel ıncat 0 < r′ < r − d(x0, y), observam caB(y, r′) ⊂ B(x0, r) ⊂ V. Prin urmare, B(y, r′) ⊂ V , adica V ∈ V(y).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 24 / 50

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 25 / 50

Multimi deschise. Multimi ınchise

Definitie

Fie (X, d) spatiu metric si fie A o submultime nevida a spatiului X.Multimea A se numeste multime deschisa daca A este vecinatate pentru orice punct al sau, adica

∀x ∈ A, ∃r > 0 astfel ıncat B(x, r) ⊂ A.

Daca (X, d) este un spatiu metric, vom nota cu τd familia tuturor multimilor deschise ale luiX. Familia τd se numeste topologia indusa de metrica d.

Daca X = Rn,∈ N∗, iar d este metrica euclidiana, atunci topologia indusa de metrica d senumeste topologia uzuala a lui Rn.

Definitie

Fie (X, d) un spatiu metric.Spunem ca F ⊂ X este o multime ınchisa daca CF = X \ F este o multime deschisa.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 26 / 50

Multimi deschise. Multimi ınchise

Exemple:

1. Orice bila deschisa dintr-un spatiu metric este o multime deschisa.

2. Orice bila ınchisa dintr-un spatiu metric (X, d) este o multime ınchisa.

3. Daca (X, d) este un spatiu metric, atunci X si ∅ sunt multimi ınchise.

4. Daca X = R, cu metrica euclidiana, un interval de forma [a, b), cu a < b nu este nicimultime ınchisa nici deschisa.

Propozitie

Fie (X, d) spatiu metric. Atunci au loc urmatoarele afirmatii:

i. Orice reuniune de multimi deschise este o multime deschisa;

ii. Intersectia a doua multimi deschise este o multime deschisa;

iii. Orice multime deschisa nevida se poate reprezenta ca reuniune de bile deschise;

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 27 / 50

Multimi deschise. Multimi ınchise

Definitie

Fie (X, d) un spatiu metric si fie A ⊆ X nevida.

a) Distanta de la un element x ∈ X la A este data de

ρ(x,A) := inf {d(x, a) | a ∈ A}.

b) Distanta dintre doua multimi nevide A,B ⊆ (X, d) este definita prin:

ρ(A,B) := inf {d(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

c) Se numeste diametru al unei multimi nevide A ⊆ (X, d) elementul din R dat de relatia:

ρ(A) := sup {d(a, a) | a, a ∈ A}.

Conventie: ρ(x,∅) = +∞ ∀x ∈ X, ρ(A,∅) = ρ(∅, A) = +∞,∀A ⊆ X si ρ(∅) = −∞.

Propozitie

Fie (X, d) un spatiu metric. Atunci au loc urmatoarele afirmatii:

i) A ⊆ B ⊆ (X, d) ⇒ ρ(A) 6 ρ(B)

ii) ρ(A) = 0 ⇔ A este formata dintr-un punct;

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 28 / 50

Multimi deschise. Multimi ınchise

Definitie

Fie A o submultime nevida a spatiului metric (X, d).

j) A se numeste marginita daca ρ(A) < +∞.

jj) A este numita multime nemarginita daca ρ(A) = +∞.

Teorema

Fie (X, d) un spatiu metric. Atunci multimea nevida A ⊂ X este marginita daca si numai dacaexista o bila deschisa B(x0, r) astfel ıncat A ⊂ B(x0, r).

Teorema

O submultime A a spatiului normat (X, ‖ · ‖) este marginita daca si numai daca

∃r > 0 astfel ıncat ‖x‖ < r,∀x ∈ A.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 29 / 50

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 30 / 50

Interiorul unei multimi

Definitie

Fie (X, d) spatiu metric si fie A o submultime nevida a spatiului X.

i. Un element x0 ∈ A se numeste punct interior al multimii A daca

∃r > 0, astfel ıncat B(x0, r) ⊂ A.

ii. Multimea tuturor punctelor interioare ale unei multimi A se numeste interiorul multimii A sise noteaza int A sau A.

Exemple:

1. X = R cu metrica euclidiana, si fie A1 = [a, b), A2 = (a, b], A3 = (a, b), A4 = [a, b], cu

a < b. Atunci: A1 = A2 = A3 = A4 = (a, b).

2. Fie X = R cu metrica uzuala si B = R \Q. Atunci B = ∅, deoarece, ∀x0 ∈ B, @r > 0 astfelıncat (x0 − r, x0 + r) ⊂ B, caci orice interval contine si numere rationale.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 31 / 50

Interiorul unei multimi

Teorema

Fie (X, d) un spatiu metric. Atunci sunt adevarate urmatoarele afirmatii:

I. A ⊆ A, ∀A ⊆ X;

II. A ⊆ B ⇒ A ⊆ B, ∀A,B ⊆ X;

III.˚

A ∩B = A ∩ B, ∀A,B ⊆ X;

IV. A ∪ B ⊆ ˚A ∪B, ∀A,B ⊆ X;

V. A este deschisa ⇔ A = A.

Demonstratie:

I. Afirmatia I. este evidenta.

II. Fie x ∈ A⇒ A ∈ V(x), si cum A ⊂ B, rezulta ca B ∈ V(x), adica x ∈ B.

III. “⊆”: Cum A ∩B ⊆ A si A ∩B ⊆ B ⇒ ˚A ∩B ⊆ A si

˚A ∩B ⊆ B ⇒ ˚

A ∩B ⊆ A ∩ B.“⊇”: Fie x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A si x ∈ B, adica A ∈ V(x) si B ∈ V(x). Prin urmare, obtinem

A ∩B ∈ V(x)⇒ x ∈ ˚A ∩B.

IV. A ⊆ ˚A ∪B si B ⊆ ˚

A ∪B (conform II.). Asadar, avem A ∪ B ⊆ ˚A ∪B.

V. “⇒:”Presupunem ca A este deschisa, atunci ∀x ∈ A⇒ A ∈ V(x)⇒ x ∈ A. Deci, A ⊂ A.“⇐”: Reciproc, daca A = A, atunci ∀x ∈ A, x este punct interior lui A, si deci A ∈ V(x).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 32 / 50

Exteriorul unei multimi

Definitie

Fie (X,d) spatiu metric si A ⊂ X, A 6= ∅.i) Un element x ∈ X care este punct interior complementarei X \A, se numeste punct exterior

al lui A.

ii) Multimea punctelor exterioare multimii A se numeste exteriorul multimii A (Ext(A)).

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 33 / 50

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 34 / 50

Aderenta unei multimi

Definitie

Fie (X, d) un spatiu metric si A ⊂ X.

i. Un punct x0 ∈ X se numeste punct aderent al multimii A daca

∀ V ∈ V(x0) avem V ∩A 6= ∅.

ii. Multimea tuturor punctelor aderente multimii A se numeste aderenta multimii A. Vom notaaderenta multimii A cu A.

Teorema

Fie (X, d) un spatiu metric si A ⊂ X.Un punct x0 ∈ X este aderent multimii A daca si numai daca ∀ε > 0, B(x0, ε) ∩A 6= ∅.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 35 / 50

Aderenta unei multimi

Teorema

Fie (X, d) spatiu metric. Atunci au loc urmatoarele relatii si afirmatii:

I. A ⊆ A, ∀A ⊆ X;

II. A ⊆ B ⇒ A ⊆ B, ∀A,B ⊆ X;

III. A ∪B = A ∪B, ∀A,B ⊆ X;

IV. A ∩B ⊆ A ∩B, ∀A,B ⊆ X;

V. A este o multime ınchisa ⇔ A = A.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 36 / 50

Aderenta unei multimi

Demonstratie:

I. Evident: Orice vecinatate a punctului x0 ∈ A contine punctul x0;

II. Daca x ∈ A⇒ ∀V ∈ V(x) avem V ∩A 6= ∅. Cum A ⊆ B, rezulta ca V ∩B 6= ∅⇒ x ∈ B.III. “⊆”: Tinand seama de II., din A ⊆ A ∪B si B ⊆ A ∪B rezulta ca A ⊆ A ∪B si

B ⊆ A ∪B. Asadar, avem A ∪B ⊆ A ∪B.“⊇”: Reciproc, daca x ∈ A ∪B avem U ∩ (A ∪B) 6= ∅, ∀U ∈ V(x).Pp. RA x /∈ A si x /∈ B, atunci ar exista V,W ∈ V(x) astfel ıncat V ∩A = ∅ si

W ∩B = ∅. Insa U = V ∩W ∈ V(x) si U ∩ (A ∪B) = ∅. Asadar am obtinut ocontradictie, ıntrucat U ∩ (A ∪B) 6= ∅, ∀U ∈ V(x).

IV. Cum A ∩B ⊆ A si A ∩B ⊆ B, din II. obtinem ca A ∩B ⊆ A ∩B.V. Fie A o multime ınchisa. Atunci (X \A) este deschisa. Deci

X \A = int(X \A) = Ext(A)⇒ A = X \ Ext(A) = A. Reciproc, daca A = A, rezulta caA = X \ Ext(A), adica X \A = Ext(A) = int(X \A). Prin urmare, X \A este o multimedeschisa, de unde rezulta ca A este ınchisa.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 37 / 50

Aderenta unei multimi

Definitie

Fie (X, d) spatiu metric si fie A ⊆ X.

i) Se numeste frontiera a multimii A multimea A ∩X \A, notata cu Fr(A) (sau ∂A).

ii) O multime A ⊆ (X, τ) se numeste densa ın X, atunci cand A = X.

Exemple: Fie X = R si fie d metrica euclidiana.

1. Daca A = [a, b], atunci Fr(A) = {a, b}.2. Daca A = R, atunci Fr(A) = ∅.

3. Daca A = Q, atunci A = Q = R, Fr(A) = R. Asadar, cum A = R, rezulta ca A este omultime densa ın R, ın raport cu metrica euclidiana.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 38 / 50

Structura cursului

1 Spatii metriceSpatii metriceExempleSpatii normate. Distanta indusa de norma

2 Multimi si puncte remarcabileVecinatatile unui punctMultimi deschise. Multimi ınchiseInteriorul unei multimiAderenta unei multimiMultimea derivata a unei multimi

3 Siruri si serii de elemente din Rn

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 39 / 50

Multimea derivata a unei multimi

Definitie

Fie (X, d) un spatiu metric si fie A ⊆ X.

a) Un element x ∈ X se numeste punct de acumulare pentru multimea A daca

∀ V ∈ V(x) avem (V \ {x}) ∩A 6= ∅.

b) Multimea tuturor punctelor de acumulare ale unei multimi A se numeste multime derivata alui A si se noteaza cu A′.

Teorema

Fie (X, d) un spatiu metric si fie A ⊆ X. Un punct x0 ∈ X este punct de acumulare pentru Adaca si numai daca ∀ε > 0, (B(x0, r) \ {x0}) ∩A 6= ∅

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 40 / 50

Multimea derivata a unei multimi

Propozitie

Fie (X, d) un spatiu metric. Atunci sunt adevarate urmatoarele relatii:

1◦. A′ ⊆ A, ∀A ⊆ X;

2◦. A ⊆ B ⇒ A′ ⊆ B′, ∀A,B ⊆ X;

3◦. (A ∪B)′ = A′ ∪B′, ∀A,B ⊆ X.

Demonstratie:

1◦. ∀x ∈ A′ ⇒ (V \ {x}) ∩A 6= ∅, ∀V ∈ V(x) ⇒ V ∩A 6= ∅, ∀V ∈ V(x) ⇒ x ∈ A.

2◦. ∀x ∈ A′ ⇒ (V \ {x}) ∩A 6= ∅, ∀V ∈ V(x)A⊆B=⇒ ∅ 6= (V \ {x}) ∩A ⊆ (V \ {x}) ∩B ⇒

x ∈ B′.3◦. A ⊆ A∪B si B ⊆ A∪B ⇒ A′ ⊆ (A∪B)′ si B′ ⊆ (A∪B)′ ⇒ A′ ∪B′ ⊆ (A∪B)′. Pe de

alta parte, ∀x ∈ (A ∪B)′ ⇒ ((U \ {x}) ∩A) ∪ ((U \ {x}) ∩B) 6= ∅, ∀U ∈ V(x).Daca am avea x /∈ A′ si x /∈ B′, atunci ar exista doua vecinatati V,W ∈ V(x) asa ıncat(V \ {x}) ∩A = ∅ si (W \ {x}) ∩B = ∅, de unde, notand cu U = V ∩W , am obtinecontradictia (U \ {x}) ∩A = (U \ {x}) ∩B = ∅. Asadar, (A ∪B)′ ⊆ A′ ∪B′.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 41 / 50

Multimea derivata a unei multimi

Teorema

Daca A ⊆ (X, d), atunci:

i) A = A ∪A′;ii) A = A ⇐⇒ A′ ⊆ A.

Demonstratie:

i) A ⊆ A si A′ ⊆ A ⇒ A ∪A′ ⊆ A. Invers, daca x ∈ A , atunci V ∩A 6= ∅, ∀V ∈ V (x). Inaceasta situatie, exista doua posibilitati: sau x ∈ A sau x /∈ A si, inevitabil,(V \ {x}) ∩A 6= ∅, adica x ∈ A′. Asadar: x ∈ A ∪A′. Altfel spus, avem si incluziuneaA ⊆ A ∪A′.

ii) Daca A = A, tinand seama de i), avem: A = A = A ∪A′. Adica: A′ ⊆ A. Reciproc, dacaA′ ⊆ A, atunci: A = A ∪A′ = A.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 42 / 50

Siruri si serii de elemente din Rn

Definitie

Fie (X, d) un spatiu metric oarecare si (xn)n∈N un sir de puncte din X.

a) Spunem ca sirul (xn)n∈N este marginit daca multimea elementelor sale este marginita, adicadaca exista x ∈ X si r ∈ R∗+ astfel ıncat xn ∈ B(x, r), ∀n ∈ N.

b) Spunem ca sirul (xn)n∈N este fundamental (sir Cauchy) daca:

∀ ε > 0, ∃nε ∈ N, asa ıncat, ∀n ∈ N, n > nε si ∀ p ∈ N : d(xn+p, xn) < ε,

sau, echivalent

∀ ε > 0, ∃nε ∈ N, asa ıncat, ∀m,n ∈ N,m, n > nε : d(xn, xm) < ε,

c) Spunem ca sirul (xn)n∈N este convergent la un x0 ∈ X daca sirul de numere reale(d(xn, x0))n∈N este convergent la 0.

Vom nota cu xnX→ x0 sau xn

d→ x0. Punctul x0 se numeste limita sirului.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 43 / 50

Siruri si serii de elemente din Rn

Teorema

Fie X = Rm (m ∈ N∗), dotat cu metrica euclidiana d2.

I. Un sir de puncte din (xn)n∈N ⊂ Rm, xn = (x1n, x2n, . . . , x

mn ) este convergent ın Rm, daca si

numai daca, cele m siruri componente sunt convergente. Mai mult, limita sirului(xn)n∈N ⊂ Rm este punctul ale carui coordonate sunt limitele celor m siruri.

II. Un sir de puncte din Rm este sir Cauchy daca si numai daca toate componentele sale suntsiruri Cauchy ın R. La fel, studiul unei serii din Rm, revine la studiul componentelor sale ın R.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 44 / 50

Siruri si serii de elemente din Rn

Demonstratie:

I. Fie (xn)n∈N ⊂ Rm un sir pentru care xn =(x1n, x

2n, . . . x

mn

), ∀n ∈ N si xkn ∈ R, ∀n ∈ N,

∀ k = 1,m. Totodata, ∀ y =(y1, y2, . . . , ym

)∈ Rm, este adevarata relatia:

|yk| 6 ‖y‖e =

√√√√ m∑i=1

(yi)2, ∀ k = 1,m (∗).

Presupunem ca xnd2−→ x0 =

(x10, x

20, . . . , x

m0

)∈ Rm, adica lim

n→∞d2(xn, x0) = 0 ın R.

Luand yk = xkn − xk0 , ∀ k = 1,m, atunci conform relatiei (∗), avem:

|xkn − xk∗ | 6 d2(xn, x0) 6m∑i=1

|xin − xi0|, ∀ k = 1,m. (∗∗)

Intrucat d2(xn, x0) −→ 0, reiese ca |xkn − xk0 | −→ 0, ∀ k = 1,m, ceea ce ınseamna ca toatecele m siruri componente ale sirului (xn)n∈N sunt convergente ın R, la coordonatelecorespunzatoare ale lui x0. Reciproca rezulta din (∗∗).

II. Daca vom considera yk = xkn+p − xkn, ∀ k = 1,m, ın relatia (∗), obtinem ca sirul

(xn)n∈N ⊂ Rm este sir Cauchy. La fel si concluzia privitoare la o serie din Rm.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 45 / 50

Siruri si serii de elemente din Rn

Teorema de caracterizare a punctelor aderente cu ajutorul sirurilor

Fie A o submultime a unui spatiu metric (X, d).Un punct x ∈ X este aderent pentru A daca si numai daca exista un sir de puncte (xn)n∈N dinA care sa convearga la x.

Demonstratie:

“⇒”Fie x ∈ A. Atunci, pentru orice V ∈ V(x), avem V ∩A 6= ∅. In particular, pentru

V = Bd

(x;

1

n

), cu n ∈ N∗, avem: Bd

(x;

1

n

)∩A 6= ∅, ∀n ∈ N∗. Alegand cate un punct

xn ∈ Bd

(x;

1

n

)∩A, ∀n ∈ N∗, obtinem un sir (xn)n∈N∗ ⊂ A pentru care d(xn, x) <

1

n,

∀n ∈ N∗, adica d(xn, x) −→ 0, cand n→∞. Cu alte cuvinte, xnd−→ x.

“⇐”Reciproc, daca (xn)n∈N∗ ⊂ A este un sir convergent la un punct x din X, atunci,

∀ ε > 0, ∃nε ∈ N, astfel ıncat, ∀n ∈ N, n > nε, sa avem d(xn, x) < ε.

Altfel spus, xn ∈ Bd(x; ε). Deci: Bd(x; ε) ∩A 6= ∅, ∀ ε > 0 ⇒ x ∈ A.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 46 / 50

Siruri si serii de elemente din Rn

Teorema de caracterizare a punctelor de acumulare cu ajutorul sirurilor

Fie (X, d) un spatiu metric si A ⊆ X. Atunci x ∈ A′ daca si numai daca exista (xn)n∈N∗ ⊂ A,astfel ıncat:

a) xn 6= x, ∀n ∈ N∗;b) lim

n→∞d(xn, x) = 0.

Altfel spus, x ∈ A′ daca si numai daca x ∈ A \ {x}.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 47 / 50

Siruri si serii de elemente din Rn

Definitie

a) Un spatiu metric (X, d) se numeste complet daca si numai daca orice sir Cauchy din X esteconvergent la un punct din X.

b) Un spatiu prehilbertian si complet (ca spatiu metric, cu metrica indusa de norma data, larandul ei, de produsul scalar ın cauza) se numeste spatiu Hilbert.

c) Un spatiu normat si complet (ın raport cu metrica indusa de norma existenta) se numestespatiu Banach.

Teorema

Spatiul Rn, ınzestrat cu produsul scalar euclidian, este un spatiu Hilbert. Dotat cu normaeuclidiana, Rn este un spatiu Banach, fiind un spatiu complet ın raport cu metrica euclidiana.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 48 / 50

Siruri si serii de elemente din Rn

Teorema

Orice sir fundamental dintr-un spatiu metric este marginit.

Demonstratie: Fie (xn) sir Cauchy ın spatiul metric (X, d). Atunci pentru ε = 1, ∃n1 ∈ Nastfel ıncat ∀n,m ≥ n1 ⇒ d(xn, xm) < 1. In particular, pentru n = n1, avem∀m ≥ n1 → d(xn1 , xm) < 1.Considerand r = max{1, d(x1, xn1 ), d(x2, xn1 ), ..., d(xn1−1, xn1 )} > 0, putem observa ca biladeschisa de centru xn1 si de raza r contine toti termenii sirului (xn), adica sirul (xn) estemarginit.

Teorema

Orice sir convergent ıntr-un spatiu metric este sir fundamental.

Demonstratie: Fie (X, d) un spatiu metric, si fie xnX→ x0.

Atunci, ∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε sa avem d(xn, x0) <ε

2. Daca

m,n ∈ N, m, n ≥ nε, atunci avem d(xn, xm) ≤ d(xn, x0) + d(x0, xm) <ε

2+ε

2= ε.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 49 / 50

Bibliografie

https://en.wikibooks.org/wiki/Topology/Metric_Spaces

Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLA Department ofMathematics, Los Angeles, 2015.

M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:Power Series), ImperialCollege London, Department of Computing, 2016.

W. G. Chinn, N. E. Steenrod - Introducere ın topologie, Editura Tehnica, Bucuresti, 1981.

Olga Costinescu - Elemente de topologie generala, Editura Tehnica, Bucuresti, 1969.

Rodica Luca-Tudorache - Analiza matematica. (Cap. 3), Ed. Tehnopress, Iasi, 2005.

E. Popescu - Analiza matematica. Calc. dif. (Cap. 4), Ed. Matrix Rom, Bucuresti, 2006.

V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica (Cap. IV), EdituraMatrix Rom, Bucuresti, 2006.

Anca Precupanu - Bazele analizei matematice (Cap. 4), Editura Polirom, Iasi, 1998.

D. Lehmann - Initiation a la Topologie Generale, Ellipses Marketing, 2004.

Silvia-Otilia Corduneanu - Capitole de analiza matematica, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, 2010.

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 50 / 50