RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 13

Geometria różniczkowa to dział matematyki, w którym do badania obiektów

geometrycznych wykorzystuje się metody oparte na rachunku różniczkowym.

Obiekty geometryczne (krzywe, powierzchnie, hiperpowierzchnie itp.) opisuje się

przy pomocy funkcji różniczkowalnych, a ich własności geometryczne bada się

przy pomocy pochodnych zwyczajnych i cząstkowych tych funkcji.

W niniejszym wykładzie ograniczymy się do zagadnień związanych z geometrią

krzywych na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej.

Intuicyjnie, przez krzywą rozumie się jednowymiarowy podzbiór pewnej

przestrzeni (płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej lub ich uogólneń).

W fizyce, krzywa jest trajektorią ruchu punktu materialnego.

Geometria różniczkowa

2

Niech I R będzie dowolnym przedziałem.

Definicja

Funkcję nRI:r nazywamy funkcją wektorową jednej zmiennej.

Uwaga

Jeżeli n = 2, to

Ittytxt )],(),([)(r ,

Jeżeli n = 3, to

Ittztytxt )],(),(),([)(r

Definicja

Funkcja wektorowa nRI:r jest klasy Ck

na zbiorze I0 I jeżeli posiada

ciągłe pochodne do rzędu k włącznie w każdym punkcie zbioru I0.

Twierdzenie

Funkcja wektorowa jest klasy Ck na zbiorze I0 wtedy i tylko wtedy, gdy jej

wszystkie współrzędne są klasy Ck na zbiorze I0.

Geometria różniczkowa

3

Definicja

Krzywą w przestrzeni Rn (n > 1) nazywamy dowolny ciągły obraz przedziału I

(otwartego lub domkniętego właściwego lub nie).

Funkcję, której obrazem jest krzywa nazywamy parametryzacją krzywej.

Definicja

Układ równań

It

tzz

tyy

txx

)(

)(

)(

nazywamy równaniami parametrycznymi krzywej w R3, t jest parametrem.

Tam gdzie nie prowadzi to do nieporozumień krzywa i jej opis parametryczny (parametryzacja) są zazwyczaj utożsamiane i określane wspólnym terminem krzywa.

Geometria różniczkowa

4

Uwagi

Parametryzacja krzywej nie jest określona w sposób jednoznaczny, np. równania

Rt

tz

ty

tx 1

Rs

sz

sy

sx

3

3

31

definiują tę samą prostą.

Równoważna notacja w zapisie funkcji wektorowych:

Ittztytxt )],(),(),([)(r

Ittztytxt ,)()()()( kjir

Wartości funkcji wektorowej można interpretować jako końce wektora zaczepionego w początku układu współrzędnych (wektora wodzącego). Zbiór tych końców bywa nazywany hodografem. Krzywą można więc utożsamiać z hodografem funkcji wektorowej. W kinematyce hodograf jest interpretowany jako tor poruszającego się punktu.

Geometria różniczkowa

5

Geometria różniczkowa

wektor wodzący

6

Definicja

Jeżeli przedział I występujący w definicji krzywej jest domknięty ([a, b], a < b),

to krzywą nazywamy krzywą Jordana, a punkty odpowiadające krańcom przedziału nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej.

Definicja

Łuk zwykły to krzywa Jordana bez punktów wielokrotnych.

Definicja

Krzywa zamknięta to krzywa Jordana, której początek pokrywa się z końcem.

Geometria różniczkowa

7

Definicja

Łukiem gładkim nazywamy łuk zwykły klasy C1 taki, że

Itt Intdla,0)('r .

Definicja

Punkt, w którym

0r )(' t

lub nie istnieje nazywamy punktem osobliwym krzywej.

Definicja

Krzywa kawałkami gładka (regularna) to krzywa, która daje się podzielić na skończona liczbę łuków gładkich. Punkty złączenia tych łuków nazywamy wierzchołkami krzywej.

Geometria różniczkowa

8

Krzywa na płaszczyźnie

Definicja

Krzywą płaską nazywamy krzywą, której wszystkie punkty należą do pewnej płaszczyzny.

Oczywiście każda krzywa płaską jest szczególnym przypadkiem krzywej przestrzennej.

Przy badaniu własności krzywych płaskich wykorzystuje się ich opis w przestrzeni dwuwymiarowej, którą jest zawierająca je płaszczyzna. Prowadzi to do istotnego uproszczenia wzorów obliczeniowych.

Każda funkcja ciągła odwzorowująca przedział liczbowy I R w R2 definiuje pewną krzywą płaską, lecz oprócz poznanych wcześniej prostej i krzywych stożkowych istotne znaczenie, z teoretycznego i praktycznego punktu widzenia, ma jeszcze ok. kilkadziesiąt rodzajów krzywych.

Krzywe na płaszczyźnie

10

Niech

Ittyy

txx

)(

)(

będzie parametryzacją krzywej płaskiej.

Jeżeli powyższy układ można przekształcić do postaci

y = f(x), lub x = g(y),

przez eliminację (rugowanie) parametru t, to taką postać przedstawienia krzywej

nazywamy postacią jawną.

Przykład Równanie parametryczne prostej

Rtty

tx

2

1

można zapisać w postaci jawnej

22xy .

Krzywe na płaszczyźnie

11

Jeżeli krzywą da się opisać za pomocą równania

F(x, y) = 0

to postać tę nazywamy postacią uwikłaną.

Przykład

Równanie parametryczne okręgu jednostkowego

)2,0[sin

cost

ty

tx

ma postać uwikłaną

122 yx .

Krzywe na płaszczyźnie

12

Niech P(x(t), y(t)) i Q(x(t1), y(t1)) oznaczają dwa różne punkty krzywej.

Definicja

Prostą przechodząca przez punkty P i Q nazywamy sieczną.

Kąt nachylenia siecznej do osi Ox oznaczamy 1.

Jeżeli dla ustalonej wartości parametru t istnieje skończona granica kątów

nachylenia siecznych

11

limtt

to prostą o kącie nachylenia nazywamy styczną do krzywej w punkcie P.

styczna

P

Q

O x

y

sieczna

1

Krzywe na płaszczyźnie

13

Definicja Wektor kierunkowy stycznej nazywamy wektorem stycznym.

Twierdzenie

Wektor styczny łuku gładkiego w punkcie P(x(t), y(t)) ma postać

)](),([)(' tytxt r .

Zwrot wektora stycznego jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t.

Interpretacja kinematyczna: wektor prędkości chwilowej punktu materialnego poruszającego się wzdłuż krzywej.

Definicja

Wersor styczny (unit tandent vector) w punkcie P(x(t), y(t)) ma postać

|)('|

)(')(

t

tt

r

rT

Krzywe na płaszczyźnie

14

Definicja

Prostą przechodzącą przez punkt P, prostopadłą do stycznej w tym punkcie

nazywamy prostą normalną do krzywej w punkcie P.

Jej wektor kierunkowy nazywamy wektorem normalnym.

Twierdzenie

Wektor normalny łuku gładkiego w punkcie P(x(t), y(t)) ma postać

)])(),([)((lub,)](),([)( txtyttxtyt nn .

Definicja

Wersor normalny (unit normal vector) w punkcie P(x(t), y(t)) ma postać

|)(|

)()(

t

tt

n

nN

Krzywe na płaszczyźnie

15

Wektor styczny i normalny

Zadanie Napisać równanie stycznej i normalnej do łuku gładkiego w zadanym punkcie.

wektor styczny

P

O x

y

wektor normalny

Krzywe na płaszczyźnie

16

Definicja

Długość łuku krzywej regularnej r = r(t) dla t [t0, t] obliczamy z wzoru

ddyxtl

t

t

t

t 00

|)(|)()()( 22r

Definicja Parametryzację krzywej, w której przyrost długości łuku jest równy przyrostowi parametru nazywamy parametryzacją łukową (naturalną).

Parametr wyznaczający parametryzację łukową krzywej nazywamy parametrem

łukowym (naturalnym) i oznaczamy literą s.

Twierdzenie Przy parametryzacji łukowej wektor styczny jest wersorem.

(przy zmianie parametru s wektor styczny zmienia jedynie kierunek zachowując stałą długość !).

Twierdzenie

Każda krzywa regularna posiada parametryzację naturalną.

)(sr

Krzywe na płaszczyźnie

17

Przykład

Funkcja

Rttvytvxt yx ],,[)( 00r

jest parametryzacją łukową prostej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor

v = [vx , vy] jest wersorem.

Funkcja

)2,0[],sin,cos[)( ata

ta

a

tatr

jest parametryzacją łukową okręgu o środku (0, 0) i promieniu a.

Znalezienie parametryzacji łukowej krzywej jest na ogół zadaniem trudnym, ponieważ całki wyrażające długość krzywej są kłopotliwe do obliczenia.

Krzywe na płaszczyźnie

18

Krzywizna krzywej regularnej

Niech r = r(s) będzie parametryzacją naturalną krzywej regularnej klasy C2,

punkty P i Q dwoma różnymi punktami krzywej, kątem między stycznymi

w tych punktach, s długością łuku krzywej pomiędzy punktami.

Krzywe na płaszczyźnie

styczna

P

Q

O x

y

styczna

Definicja Jeżeli istnieje granica

to nazywamy ją krzywizną krzywej, w punkcie P.

Δs

Δ

PQlim

19

Definicja Promieniem krzywizny nazywamy odwrotność krzywizny

0,1

R

Definicja

Okrąg jest styczny do krzywej w punkcie P, jeżeli ma z nią wspólną styczną

w tym punkcie.

Definicja

Okręgiem krzywiznowym (oskulacyjnym, ściśle stycznym) krzywej w punkcie P

nazywamy okrąg styczny do krzywej w tym punkcie, leżący po tej samej stronie co krzywa i mający promień równy promieniowi krzywizny.

Definicja

Środkiem krzywizny krzywej w punkcie P nazywamy środek okręgu krzywiznowego.

Krzywe na płaszczyźnie

20

Krzywe na płaszczyźnie

okrąg krzywiznowy

P

S

O x

y styczna

środek krzywizny

wektor krzywizny

21

Krzywe na płaszczyźnie

Okrąg krzywiznowy

22

Krzywe na płaszczyźnie

Okrąg krzywiznowy

23

Krzywe na płaszczyźnie

y = sin x,

styczna

normalna,

okrąg oskulacyjny

Okręgi krzywiznowe krzywej o równaniu y = sin x,

24

Twierdzenie

Jeżeli krzywa o równaniu )](),([ tytxr jest klasy C2 oraz 0yxyx ,

to w punkcie (x,y) zachodzą wzory:

Krzywizna:

3

2

3

22 ||

||

)(

||

r

yxyx

yx

yxyx

Promień krzywizny.

1R

Współrzędne środka krzywizny

yxyx

yxxy

yxyx

yxyx

2222

,

( yyyxxx ,,,,, , są obliczane dla stosownej wartości parametru t)

Krzywe na płaszczyźnie

25

Definicja Zbiór środkow krzywizny krzywej nazywamy ewolutą (rozwiniętą) tej krzywej.

Jeżeli xs(t), ys(t) są współrzędnymi środków krzywizny dla różnych wartości

parametru t, to równania

Ittyy

txx

s

s

)(

)(

są parametrycznymi równaniami ewoluty.

Definicja

Jeżeli krzywa C jest ewolutą krzywej K, to krzywą K nazywamy ewolwentą

(rozwijającą) krzywej C.

Krzywe na płaszczyźnie

26

Przykład

Wyznaczyć ewolutę elipsy 12

2

2

2

b

y

a

x

Równania parametryczne elipsy

)2,0[sin

cost

tby

tax

Pochodne

tby

tax

tby

tax

sin

cos

cos

sin

Wstawiamy do wzorów na współrzędne środka okręgu krzywiznowego

22232

22222

22

2222

gdzie,cos

))cossin((cos

)cos(sin

cossincoscos

bacta

c

tbtaaa

t

ttab

tbtatbtax

Podobnie

,sin 32

tb

cy

Krzywe na płaszczyźnie

27

Ewoluta elipsy

Ewolutą elipsy jest asteroida o równaniach parametrycznych

tb

cy

ta

cx

32

32

sin

cos

lub w postaci uwikłanej

3

4

3

2

3

2

)()( cbyax

Krzywe na płaszczyźnie

elipsa

ewoluta elipsy (asteroida)

promień krzywizny

okrąg oskulacyjny

28

Krzywe na płaszczyźnie

normalna do elipsy

elipsa

ewoluta elipsy (asteroida)

Twierdzenie

Jeśli środek krzywizny nie jest punktem osobliwym ewoluty, to jest on punktem

styczności normalnej do krzywej z jej ewolutą.

(Ewolutą krzywej K jest krzywą K1, której styczne przecinają krzywą K pod kątem

prostym.)

29

Krzywe na płaszczyźnie

Ewoluta elipsy

30

Krzywe na płaszczyźnie

Ewoluta asteroidy

asteroida

ewoluta asteroidy

promień krzywizny

okrąg oskulacyjny

31

Krzywe na płaszczyźnie

Ewoluta paraboli

parabola

ewoluta paraboli

promień krzywizny

okrąg oskulacyjny

32

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ