Upload
tranque
View
223
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ALGEBRA
Algebra
WYKŁAD 8
2
Geometria analityczna
3
Geometria analityczna
ALGEBRA 3
Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się
badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi
(obliczeniowymi) i algebraicznymi.
Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii
analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań,
które opisują badane figury.
Początki geometrii analitycznej są związane z nazwiskami
Fermata, Pascala oraz Kartezjusza, którzy jako pierwsi
punktom na płaszczyźnie przypisali pary liczb nazywane
ich współrzędnymi, a pewne zależności między współrzędnymi
w danym układzie współrzędnych utożsamili z krzywymi
na płaszczyźnie
4
Geometria analityczna
ALGEBRA
Definicja
Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ
współrzędnych, w którym zadane są:
punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego
wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą
O lub cyfrą 0.
zestaw parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami
układu współrzędnych.
Kartezjusz (René Descartes) x
0 y
z
Na zajęciach będziemy zajmować się głównie obiektami
w przestrzeni trójwymiarowej.
Pierwsze dwa wykłady stanowią przypomnienie
i uzupełnienie pojęć znanych ze szkoły średniej
w przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczyźnie)
ALGEBRA
Geometria analityczna
ALGEBRA
Krzywa stożkowa – zbiór punktów będący częścią wspólną powierzchni stożka obrotowego, i płaszczyzny.
Krzywe stożkowe
okrąg elipsa parabola hiperbola
para prostych punkt prosta
ALGEBRA
Typ krzywej zależy od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i jego tworzącą:
Gdy płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka i nie przechodzi przez jego wierzchołek otrzymujemy okrąg.
W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, krzywą stożkową jest elipsa.
Jeżeli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymujemy prostą (nie zaliczaną do krzywych stożkowych).
Krzywe stożkowe
ALGEBRA
Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana krzywa stożkowa jest hiperbolą.
Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi.
W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymujemy parę przecinających się prostych, nie zaliczaną do stożkowych.
Krzywe stożkowe
ALGEBRA
Krzywe stożkowe mogą być definiowane (równoważnie) na kilka sposobów.
Są również nazywane krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniami algebraicznymi drugiego stopnia względem zmiennych x i y.
Krzywe stożkowe
ALGEBRA
Definicja
Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których
suma odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stała i większa
od odległości tych punktów.
Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami elipsy.
Promieniami wodzącymi punktu P nazywamy odcinki PF1 oraz PF2
Środek odcinka łączącego ogniska nazywamy środkiem elipsy.
P’(x,y)
P’’(x,y)
Elipsa
ALGEBRA
Osią wielką elipsy nazywamy odcinek A1A2 (punkty A1 i A2 to punkty
przecięcia prostej wyznaczonej przez ogniska z elipsą).
Osią małą elipsy nazywamy odcinek B1B2 (punkty B1 i B2 to punkty przecięcia
symetralnej osi wielkiej z elipsą).
Odległość ognisk elipsy |F1F2| nazywamy ogniskową elipsy.
Stosunek ogniskowej do długości osi wielkiej nazywamy mimośrodem elipsy
i oznaczamy literą e:
Elipsa
1||
||
21
21 AA
FFe
ALGEBRA
Niech |PF1| +|PF2| = 2a, gdzie a > 0
aycxycx 2)()( 2222
2222 )(2)( ycxaycx
222222 )()(44)( ycxycxaaycx
222 44)(4 acxycxa
42222222 2)2( acxaxcycxcxa
42222222222 22 acxaxcyacaxcaxa
Elipsa
ALGEBRA
22422222 )( caayaxca
)()( 22222222 caayaxca
222 cabNiech 222222 bayaxb
12
2
2
2
b
y
a
xPostać standardowa równania elipsy
a - długość półosi wielkiej
b - długość półosi małej
Elipsa
ALGEBRA
wierzchołki
oś wielka
oś mała
długość półosi wielkiej = a
długość półosi małej = b
Elipsa
12
2
2
2
b
y
a
x
ALGEBRA
Kierownicami elipsy nazywamy proste o równaniach
c
ax
c
ax
22
oraz
Ponieważ mimośród a
ce
równania kierownic można zapisać
w równoważnej postaci
e
ax
e
ax oraz
Uwaga Stosunek odległości punktu elipsy od ogniska do odległości tego punktu od kierownicy (leżącej po tej samej stronie co ognisko) jest stały i równy mimośrodowi.
Elipsa
ALGEBRA
kierownica
Elipsa
ALGEBRA
długość odcinka jest równa
Elipsa
a
bp
222
Parametrem elipsy nazywamy długość cięciwy przechodzącej przez
ognisko i prostopadłej do osi wielkiej. Oznaczamy go przez 2p.
Półparametr p ma wartość
a
bp
2
ALGEBRA
Elipsa
Normalna do elipsy jest dwusieczną kąta między promieniami wodzącymi. Stąd sygnały świetlne, lub dźwiękowe wysłane z jednego ogniska, po odbiciu się od elipsy dochodzą jednocześnie do drugiego ogniska.
ALGEBRA
Równanie elipsy o środku (x0, y0) oraz osiach 2a i 2b, równoległych do osi układu współrzędnych ma postać.
1)()(
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
Jej ogniska F1 i F2 maja współrzędne
),(,),( 002001 yxcFyxcF
gdzie 2c jest ogniskową elipsy.
Elipsa
ALGEBRA
Elipsa
Jeżeli odcinek o długości a+b ślizga się jednym końcem po osi Ox, a drugim
po osi Oy, to punkt M dzielący ten odcinek w stosunku a:b zakreśla elipsę o
półosiach a, b gdy a b , lub okrąg gdy a = b.
Każdy punkt przedłużenia tego odcinka również zakreśla pewną elipsę.
Jest to podstawą konstrukcji przyrządu do kreślenia elips – elipsografu.
ALGEBRA
Elipsa
Elipsa jest szczególnym przypadkiem hypotrochoidy, gdy R = 2r;
(na rysunku R = 10, r = 5, d = 1).
ALGEBRA
Orbity planet
Definicja
Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których moduł różnicy
odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stały i mniejszy od |F1F2|.
Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami hiperboli.
Odległość między ogniskami hiperboli |F1F2| nazywamy ogniskową hiperboli.
Punkty przecięcia hiperboli i prostej wyznaczonej przez ogniska nazywamy wierzchołkami hiperboli.
Odcinek |A1A2| o końcach w wierzchołkach nazywamy osią rzeczywistą hiperboli.
Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek ogniskowej do długości osi rzeczywistej:
1||
||
21
21 AA
FFe
Hiperbola
Niech | |PF1| - |PF2| | = 2a gdzie a > 0
aycxycx 2|)()(| 2222
2222 )(2)( ycxaycx
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
222 44)(4 acxycxa
42222222 2)2( acxaxcycxcxa
42222222222 22 acxaxcyacaxcaxa
Hiperbola
42222222 )( acayaxac
)()( 22222222 acayaxac
222Niech acb 222222 bayaxb
12
2
2
2
b
y
a
x Postać standardowa równania
hiperboli
Hiperbola
wierzchołki
oś rzeczywista
oś urojona
Hiperbola
asymptoty
xa
by Równania asymptot :
Hiperbola
ALGEBRA
Kierownicami hiperboli nazywamy proste o równaniach
c
ax
c
ax
22
oraz
Ponieważ mimośród a
ce
równania kierownic można zapisać
w równoważnej postaci
e
ax
e
ax oraz
Uwaga Stosunek odległości punktu hiperboli od ogniska do odległości tego punktu od kierownicy (leżącej po tej samej stronie co ognisko) jest stały i równy mimośrodowi.
Hiperbola
ALGEBRA
Hiperbola
kierownice
ALGEBRA
długość odcinka jest równa
Hiperbola
a
bp
222
Parametrem hiperboli nazywamy długość cięciwy przechodzącej
przez ognisko i prostopadłej do osi wielkiej i oznaczamy 2p. Półparametr ma wartość
a
bp
2
Inna postać hiperboli
12
2
2
2
a
x
b
y
Hiperbola
Jeżeli a = b, wówczas hiperbola jest równoosiowa
222 ayx 12
2
2
2
b
y
a
x
Hiperbola
12
2
2
2
b
x
a
y 222 axy
Hiperbola
Przy obrocie o 45o równanie hiperboli równoosiowej
x2 – y2 = a2 przyjmuje postać 2
2axy
Hiperbola
ALGEBRA
Równanie hiperboli o środku (x0, y0), ogniskowej 2c oraz osi
rzeczywistej 2a, która jest równoległa do osi Ox ma postać
1)()(
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
gdzie 22 acb .
Jej ogniska F1 i F2 mają współrzędne
),(,),( 002001 yxcFyxcF
Hiperbola
ALGEBRA
Definicja Parabolą nazywamy zbiór punktów płaszczyzny równo oddalonych od ustalonego punktu F (ogniska) oraz prostej k nieprzechodzącej przez punkt F. Prostą k nazywamy kierownicą paraboli.
Parabola
O F(p/2, 0)
- p/2 x
y
P N
k: x= - p/2
|PF |= |PN|
Z definicji paraboli |PF |= |PN|
2)
2( 22 p
xyp
x
222 )2
()2
(p
xyp
x
44
222
22 p
pxxyp
pxx
pxy 22 standardowa postać rownania
paraboli
Parabola
ALGEBRA
Stała 2p jest nazywana parametrem paraboli, zaś p półparametrem.
Mimośród paraboli jest równy 1.
Parabola
O F(p/2, 0) - p/2 x
y
N
k: x= - p/2
|PF |= |PN|
długość odcinka jest równa 2p
ALGEBRA
Równanie paraboli o wierzchołku (x0, y0), parametrze 2p,
której oś symetrii jest równoległa do osi Ox ma postać
)(2)( 0
2
0 xxpyy
Równanie kierownicy takiej paraboli
20
pxx
Ognisko F ma współrzędne
),2
( 00 yp
xF
Parabola
ALGEBRA
Własności odbiciowe paraboli:
każdy promień "wpadający" do paraboli, prostopadły do kierownicy po odbiciu się od paraboli trafia w ognisko,
promienie wychodzące z ogniska po odbiciu się od paraboli tworzą wiązkę równoległą.
Parabola
O F(p/2, 0) x
y
All rays parallel to the axis are concentrated to a point (the
focus).
All paths from a wavefront to the focus are of equal length.
Parabola: wavefront
Hyperbola:
A
B
• Light converging towards B -> reflecting off the
hyperbola: converges at A
• For an arbitrary point P on the hyperbola,
(AP – BP) = constant
P
Ellipse:
.
Source at one focus.
Rays are reflected by the ellipse to the second focus
And all these paths have the same distance
Correctly focussed antenna:
Equi-length paths from axial
wavefront to the receiver
Signal path: