Eksponencijalna funkcija ima oblik y = ax , gdje x može biti bilo koji broj, realan ili kompleksan , broj a zovemo osnova ili baza eksponencijalne funkcije. Baza a je data, konstantna veličina, a funkcija zavisi od parametra x koji se nalazi u eksponentu.

Primjeri eksponencijalnih funkcija : y = 2x, y = ( )x, y = 10x , y = ( )x ,...

Posmatrajmo funkcije y = 2x i y = ( )x . Kako ćemo nacrtati ove funkcije?

2

1

5

12

1

Kako glasi eksponencijalna funkcija za a=1?U slučaju kada je a=1, eksponencijalna funkcija je y = 1x .

Ova funkcija svakom realnom broju pridružuje broj 1. Kako glasi eksponencijalna funkcija kada je a=0?Eksponencijalna funkcija je y=0x .

x -2 -1 0 1 2

y=ax 1 1 1 1 1

Šta se dešava kada je a<o?

Za a<0 formula y=ax određuje funkciju koja je definisana samo za racionalne vrijednosti x = , gdje su p i q relativno prosti (brojevi p i q su relativno prosti ako je najveći zajednički djelitelj brojeva p i q jednak 1 tj. brojevi p i q nemaju zajedničkih faktora, npr. brojevi 8 i 9 su relativno prosti) i q je neparan.

Ako bi q bio paran npr. q=2, p=5 i a=-3 tada imamo y= .

q

p

5)3(

Definicija eksponencijalne funkcije y = ax :

Funkcija sa R→R+ koja za svaki pozitivan broj a (a≠1), realnom broju x pridružuje pozitivan broj y=ax, naziva se eksponencijalna funkcija.

Eksponencijalne funkcije y =10x i y = ex .(e ≈ 2.718281828459045 )

Eksponencijalne funkcije y=ax i y=a-x su simetrične u odnosu na y-osu. Grafici eksponencijalnih funkcija sa bazama koje su recipročni brojevi simetrični su u odnosu na y-osu i prolaze tačkom (0,1).

1. Grafički predstaviti funkciju y = 3x-1 i opisati njen grafik.

2. Kako bi glasila simetrična funkcija eksponencijalnoj funkciji y = 31-x i kako bi je nacrtali na istom grafiku?

3. Grafički predstaviti i opisati funkciju y = 2|1-x| .

Imat ćemo dva slučaja: za 1-x ≥ 0 → -x ≥ -1 tj. x ≤ 1 imamo y = 21-x

za 1-x < 0 → -x < -1 tj. x>1 imamo y = 2-(1-x) = 2x-1 .

Primjena eksponencijalnih funkcija

Sigurno ste koji put željeli ohladiti čaj uronivši ga u vodu. A jeste li znali kako je poznati Newton-ov zakon hlađenja eksponencijalna funkcija? I zbog nje temeperatura vašeg čaja nikada neće postati jednaka temperaturi vode. Temperatura čaja se približava temperaturi vode, ali je nikada ne postiže.

Eksponencijalne funkcije primjenjuju se u ekonomiji, gdje se eksponencijalnom funkcijom predstavlja rast ili pad proizvodnje preduzeća u vremenskom razdoblju. Na primjer, neki trgovac vinom može imati zalihe vina za koje je poznato da mu tržišna vrijednost na određeni način, zavisno od godine berbe, s vremenom raste. Vrijednost vina može rasti s vremenom po nekom eksponencijalnom zakonu rasta. Tada bismo imali eksponencijalnu funkciju vrijednosti vina.

Primjena eksponencijalnih funkcija

Eksponencijalnom funkcijom se predstavlja veza između radioaktivne materije i proteklog vremena (y = y0 · e−λt , tu je y0 količina materije u t = 0, a λ > 0 konstanta ovisna o vrsti materije).

Eksponencijalne funkcije se primjenjuju i u geografiji gdje se rast stanovništva predstavlja grafikom eksponencijalne funkcije.

Interesantno je i to da u atmosferi pritisak i gustina s visinom opadaju po eksponencijalnom zakonu.

Zadaci za zadaću :

Nacrtati grafike eksponencijalnih funkcija i opisati ih: a) y = 2-x+1

b) y = ( )|x|

c) y = 3-|x|-1

4

1