La noción de ley de composición

Definición Ley de composición interna sobre 𝐴, es una aplicación: ⊛: 𝐴 × 𝐴 → 𝐴

Definición Dados tres conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 definimos una operación o ley de composición* sobre 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 con el siguiente símbolo:

⊛: 𝐴 × 𝐵 → 𝐶

Una operación o ley de composición, es una regla mediante la cual, de dos elementos obtenemos otro.

Lo que significa que operamos con un elemento 𝑎 ∈ 𝐴, y otro elemento 𝑏 ∈ 𝐵 y la operación o ley de composición proporciona un único elemento de 𝑐 ∈ 𝐶.

Una operación es interna, si, tanto los elementos iniciales, como los finales pertenecen a un único conjunto.

Definición Ley de composición externa sobre 𝐴, con dominio de operadores 𝐵, es una aplicación:

⊛: 𝐵 × 𝐴 → 𝐴

Si los conjuntos de partida son diferentes entre sí, se dice que la ley de composición es externa.

*NOTA La ley de composición también se conoce como operación binaria.

Nosotros nos limitaremos a leyes de composición donde 𝐶 = 𝐴.

La suma aritmética sobre ℕ, es una ley de composición interna.

El producto aritmético sobre ℕ, es una ley de composición interna.

La resta aritmética sobre ℕ, no es una ley de composición interna si el primer elemento es menor que el segundo.

La resta aritmética sobre ℤ, es una ley de composición interna.

La operación división aritmética sobre ℤ, no es una ley de composición interna.

Ejemplos de leyes de composición

Sean ℕ el conjunto de los números naturales y ℤ el conjunto de los números enteros.

ℕ = 1,2,3,4,5, … , ℤ = … − 5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5, … … .

Sea ⊛ ley de composición interna sobre el conjunto 𝐴, 𝑒 ∈ 𝐴, se llama elemento neutro para ⊛, si, y solo si:

𝑒 ⊛ 𝑎 = 𝑎 ⊛ 𝑒 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐴.

Elemento neutro

Sea ⊛ ley de composición interna sobre el conjunto 𝐴, y sea tal que existe el elemento neutro 𝑒 ∈ 𝐴, para ⊛. Se llama elemento inverso de 𝑎 ∈ 𝐴 con respecto de ⊛, al elemento 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, tal que:

𝑎𝑖 ⊛ 𝑎 = 𝑎 ⊛ 𝑎𝑖 = 𝑒 ∀𝑎 ∈ 𝐴.

Elemento inverso

La noción de Estructura algebraica

Definición Una estructura algebraica, es un conjunto no vacío que relaciona sus elementos entre sí con un conjunto de leyes de composición ⊛1,⊛2, … ,⊛𝑛 .

Considera un conjunto no vacío cualquiera (matrices, polinomios, vectores, funciones, etc.) Si proporcionamos a este conjunto una, o varias leyes de composición* que relacionen a los elementos del conjunto, estamos dando a dicho conjunto, cierta estructura. La estructura, queda definida por un conjunto y por los axiomas que rigen las leyes de las que está dotada.

Si el conjunto de la estructura es 𝐴 y tiene 𝑛 leyes de composición internas definidas, esto lo representaremos mediante el símbolo:

𝐴,⊛1,⊛2, … ,⊛𝑛

*Representaremos las leyes de composición mediante símbolos como ⊛, ⊚.

En lo que sigue, estudiaremos brevemente las estructuras básicas del algebra: Grupo (un conjunto y una ley de composición interna, ⊛). Anillo (un conjunto y dos leyes de composición interna ⊛1,⊛2.) Cuerpo (un conjunto con 2 leyes de composición, una interna ⊛, y otra externa ⊚). Espacio vectorial (Dos conjuntos, con 2 leyes de composición, una interna ⊛, y otra externa ⊚).

Pero antes, veamos ejemplos de estructuras algebraicas.

Ejemplos de estructura algebraica

(ℳ2×2 ℝ , ⊛1, ⊛2), donde las leyes de composición son*:

⊛1: 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22⊛1

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22=

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12

𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22.

⊛2: 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22⊛2

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22=

𝑎11 ∗ 𝑏11 + 𝑎12 ∗ 𝑏21 𝑎11 ∗ 𝑏12 + 𝑎12 ∗ 𝑏22

𝑎21 ∗ 𝑏11 + 𝑎22 ∗ 𝑏21 𝑎21 ∗ 𝑏12 + 𝑎21 ∗ 𝑏22

*Evidentemente "+" representa la operación suma de números reales y "∗", la operación producto.

1) Las matrices cuadradas de orden 2 con entradas 𝑎𝑖𝑗 reales.

2) Los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales.

(𝒫2 𝑥 ,⊛1), donde la ley de composición es:

⊛1: (𝑐1∗ 𝑥2 +𝑐2 ∗ 𝑥 + 𝑐3) ⊛1 (𝑑1∗ 𝑥2 +𝑑2 ∗ 𝑥 + 𝑑3) = 𝑐1 + 𝑑1 ∗ 𝑥2 + 𝑐2 + 𝑑2 ∗ 𝑥 + 𝑐3 + 𝑑3

3) Los vectores con tres componentes reales (tres-uplas).

(ℝ3, ⊛1), donde la ley de composición es*:

⊛1:

𝑎11

𝑎21

𝑎31

⊛1

𝑏11

𝑏21

𝑏31

=

𝑎11 + 𝑏11

𝑎21 + 𝑏21

𝑎31 + 𝑏31

.

El grupo se llama grupo Abeliano o conmutativo.

Si además el grupo 𝐺,⊛ posee la propiedad conmutativa, es decir, si ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺: 4) 𝑎 ⊛ 𝑏 = 𝑏 ⊛ 𝑎

Definición Un grupo es un par 𝐺,⊛ donde:

La noción de Grupo

2) Existe el elemento neutro, es decir, ∃𝑒 ∈ 𝐺, tal que ∀𝑎 ∈ 𝐺: 𝑎 ⊛ 𝑒 = 𝑒 ⊛ 𝑎 = 𝑎.

3) Existe el inverso, 𝑎𝑖 , es decir, ∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃𝑎𝑖 ∈ 𝐺, tal que: 𝑎 ⊛ 𝑎𝑖 = 𝑒

1) ⊛ es asociativa, es decir, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺: 𝑎 ⊛ 𝑏 ⊛ 𝑐 = 𝑎 ⊛ (𝑏 ⊛ 𝑐)

𝐺 es un conjunto. ⊛ es una ley de composición interna sobre 𝐺, que cumple tres propiedades:

Ejemplos de grupos

En los siguientes ejemplos: " + " , " − " , " ∗ " representan respectivamente la resta, la suma y la multiplicación aritmética. ℝ∗ = ℝ − 0 .

ℤ, + es grupo Abeliano (el neutro es el 0, y el simétrico de 𝑥 ∈ ℤ es −𝑥).

ℝ, + es grupo Abeliano (el neutro es el 0, y el simétrico de 𝑥 ∈ ℤ es −𝑥).

ℂ, + es grupo Abeliano (el neutro es el 0 , y el simétrico de 𝑥 ∈ ℂ es −𝑥).

ℝ∗,∗ es grupo Abeliano (el neutro es el 1, y el simétrico de 𝑥 ∈ ℝ es 1

𝑥).

Ejemplos de estructuras que no son grupos

ℝ,∗ no es grupo Abeliano (el cero no tiene simétrico).

ℕ, + no es grupo Abeliano porque sus elementos no tienen simétrico.

La noción de Anillo

El anillo 𝐴,⊛,⊚ es unitario si y solo si la ley ⊚ tiene elemento neutro.

Definición Un anillo es un trío 𝐴,⊛,⊚ donde:

1) Es asociativa, es decir, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴: 𝑎 ⊚ 𝑏 ⊚ 𝑐 = 𝑎 ⊚ (𝑏 ⊚ 𝑐)

(𝐴,⊛) es un grupo conmutativo. ⊚ es una ley de composición interna sobre 𝐴, que cumple dos propiedades:

2) Es distributiva con respecto de ⊛, es decir, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴: 𝑎 ⊛ 𝑏 ⊚ 𝑐 = (𝑎 ⊚ 𝑐) ⊛ (𝑏 ⊚ 𝑐)

Ejemplos de anillos:

ℤ, +,∗

ℝ, +,∗

ℝ × ℝ,⊛,⊚ , donde ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ: 𝑎, 𝑏 ⊛ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 𝑎, 𝑏 ⊚ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 ∗ 𝑐, 𝑏 ∗ 𝑑

ℝ × ℝ,⊛,⊚ , donde ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ: 𝑎, 𝑏 ⊛ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 𝑎, 𝑏 ⊚ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 ∗ 𝑐 − 𝑏 ∗ 𝑑, 𝑎 ∗ 𝑑 + 𝑏 ∗ 𝑐

= ℂ

El anillo 𝐴,⊛,⊚ es conmutativo si y solo si la ley ⊚ es conmutativa.

Definición Un anillo con identidad es un trío 𝐴,⊛,⊚ tal que:

1) 𝐴,⊛,⊚ es anillo. 2) Existe un elemento en 𝐴 que representaremos con el símbolo 𝕀 y es tal que ∀𝑎 ∈ 𝐴:

𝕀 ⊚ 𝑎 = 𝑎 ⊚ 𝕀 = 𝑎

𝑎, 𝑏 ⊛ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 . 𝑎, 𝑏 ⊚ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 ∗ 𝑐 − 𝑏 ∗ 𝑑, 𝑎 ∗ 𝑑 + 𝑏 ∗ 𝑐 .

𝕀 = 1,0 .

Sea ℂ = ℝ × ℝ. Entonces, ℂ,⊛,⊚ es anillo con identidad, si ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ:

Ejemplos de anillos con identidad

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22⊛

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22=

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12

𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22.

Sea ℳ2×2 ℝ . Entonces, ℳ2×2 ℝ ,⊛,⊚ es anillo con identidad, si:

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22⊚

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22=

𝑎11 ∗ 𝑏11 + 𝑎12 ∗ 𝑏21 𝑎11 ∗ 𝑏12 + 𝑎12 ∗ 𝑏22

𝑎21 ∗ 𝑏11 + 𝑎22 ∗ 𝑏21 𝑎21 ∗ 𝑏12 + 𝑎21 ∗ 𝑏22

𝕀 =𝑎11 00 𝑎22

La noción de Cuerpo Definición Un cuerpo es un trío 𝐶,⊛,⊚ donde:

1) 𝐶,⊛,⊚ es un anillo conmutativo con unidad 𝕀.

2) ∀𝑎 ∈ 𝐶 − 0 ∃𝑎𝑖 ∈ 𝐶 tal que 𝑎 ⊚ 𝑎𝑖 = 𝕀

𝑎, 𝑏 ⊛ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑 . 𝑎, 𝑏 ⊚ 𝑐, 𝑑 = 𝑎 ∗ 𝑐 − 𝑏 ∗ 𝑑, 𝑎 ∗ 𝑑 + 𝑏 ∗ 𝑐 .

𝕀 = 1,0 .

Sea ℂ = ℝ × ℝ. Entonces, ℂ,⊛,⊚ es cuerpo con unidad 𝕀, si ∀𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ:

Ejemplos de cuerpo

ℝ, +,∗

Un espacio vectorial 𝑉 sobre un cuerpo* 𝕂 , es una estructura algebraica que esta constituida por: Un conjunto no vacío, 𝑉. Una ley de composición interna, que representaremos con el símbolo ⨁, que relaciona a

los elementos del conjunto 𝑉 y que llamaremos suma: 𝑉⨁𝑉 → 𝑉

Una ley de composición externa, que representaremos con el símbolo ⨀, y que relaciona a los elementos del conjunto 𝑉 con los elementos del cuerpo 𝕂 , y que llamaremos producto por un escalar:

𝕂⨀𝑉 → 𝑉

*El cuerpo 𝕂 que trabajaremos es el cuerpo de los números reales, ℝ o el cuerpo de los números complejos.

La noción de Espacio Vectorial

A los elementos del espacio vectorial se les llama vectores, y a los elementos del cuerpo 𝕂, escalares. Dados los vectores 𝒖, 𝒗, 𝒘 ∈ 𝑉 y los escalares 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝕂 , decimos que 𝑉 es un espacio vectorial sobre 𝕂, si se verifican las 8 propiedades siguientes**:

1) 𝒖⨁𝒗 ⨁𝒘 = 𝒖⨁ 𝒗⨁𝒘 . 2) 𝒖⨁𝒗 = 𝒗⨁𝒖. 3) ∃𝒆 ∈ 𝑉 tal que 𝒖⨁𝒆 = 𝒖. 4) ∀𝒖 ∈ 𝑉, ∃𝒖𝒊 ∈ 𝑽 tal que 𝒖⨁𝒖𝒊 = 𝒆.

5) 𝛼⨀ 𝒖⨁𝒗 = 𝛼⨀𝒖⨁𝛼⨀𝒗. 6) 𝛼 + 𝛽 ⨀𝒖 = 𝛼⨀𝒖 ⨁ 𝛽⨀𝒖 . 7) 𝛼⨀ 𝛽⨀𝒖 = 𝛼 ∗ 𝛽 ⨀𝒖. 8) 𝕀⨀ 𝒖 = 𝒖.

**La expresión (𝛼 + 𝛽) representa la suma de dos números reales si 𝕂 = ℝ, o la suma de dos números complejos si 𝕂 = ℂ. El producto (𝛼 ∗ 𝛽) representa el producto de dos números reales si 𝕂 = ℝ, o el producto de dos números complejos si 𝕂 = ℂ.

Ejemplo Vamos a demostrar que tenemos un espacio vectorial sobre 𝕂 si:

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22⨁

𝑏11 𝑏12

𝑏21 𝑏22=

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12

𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22.

𝑽 Es el conjunto de las matrices de orden 2: 𝑉 = ℳ2×2.

𝕂 Es el cuerpo de los números reales, 𝕂 = ℝ.

⨁ Es la ley de composición de matrices:

⨀ Es la ley de composición externa entre reales y matrices:

𝛼⨀𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22=

𝛼 ∗ 𝑎11 𝛼 ∗ 𝑎12

𝛼 ∗ 𝑎21 𝛼 ∗ 𝑎22.

𝒆 El elemento neutro es la matriz de ceros de orden 2:𝒆 =0 00 0

.

𝕀 El elemento unidad es el uno.

Ejemplos de espacios vectoriales

𝓜𝒎×𝒏 El conjunto de las matrices de tamaño 𝑚 × 𝑛 con entradas reales o complejas.

𝓟𝒏 El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 𝑛.

ℝ𝒏 = 𝑥1, … , 𝑥𝑛 : 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ

𝓒 ℝ El conjunto de las funciones continuas en ℝ con la suma y el producto por escalares usuales.

Caracterización de los subespacios Si 𝑈 ⊂ 𝑉, es subespacio vectorial de 𝑉 si y sólo si: 𝑈 ≠ ∅. 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑈 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂 ⟹ (𝛼𝒖 + 𝛽𝒗) ∈ 𝑈

Subespacios vectoriales Se dice que 𝑈 ⊂ 𝑉, es subespacio vectorial de 𝑉 si: 1) Las operaciones de 𝑉 también son operaciones para 𝑈 2) Con estas operaciones, 𝑈 es un espacio vectorial (sobre 𝕂)

NOTA Como un subespacio vectorial también debe ser un espacio vectorial, debe tener elemento nulo (propiedad 3 de un espacio vectorial). Así, definido un subconjunto de un espacio vectorial, antes de caracterizarlo, resulta aconsejable determinar si el subconjunto 𝑈 tiene elemento neutro, puesto que por la propiedad 3, si no lo tiene, no puede ser subespacio vectorial.

El transbordador Columbia fue el primer transbordador espacial de Estados Unidos. 12 pisos de altura, 75 toneladas de peso y 10 años de investigación.

El vuelo requiere de una monitorización computarizada constante.

Para poder ponerlo en órbita, hacen falta tres motores principales en el orbitador y un sistema de maniobra orbital llamado OMS.

El sistema de control de vuelo envía una secuencia de comandos a las superficies de control aerodinámico y a 44 pequeños impulsores de propulsión a chorro. Matemáticamente, las señales de entrada y salida a un sistema son funciones .

𝑠2

acelerómetro

Unidad de medición inercial

1

−

𝑠

Girómetro

− Error en la aceleración del Cabeceo

+ +

Cabeceo ordenado 𝐾1

+ +

Tasa del Cabeceo ordenado

Tasa del Cabeceo

+

Error en la tasa del Cabeceo

𝐾2 𝐺1(𝑠) 𝐺2(𝑠) Cabeceo

−

Aceleración del Cabeceo ordenado

Controlador Dinámica del Transbordador

En las aplicaciones es importante que estas funciones se puedan sumar y multiplicarse por un escalar, operaciones análogas a las operaciones de suma de vectores en ℝ𝑛. Por este motivo, el conjunto de todas las entradas posibles (funciones ) se denomina espacio vectorial.

Sistema de control del cabeceo para el transbordador espacial. Fuente: Space Shuttle GN&C Operations Manual. Rockwell International)