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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JOCOTITLÁN

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MANUAL DE PRÁCTICAS

CÁLCULO VECTORIAL

Número de Prácticas propuestas por la asignatura: 2Número de prácticas propuestas: 5

ELABORÓ: Ing. Isaias Vázquez Juárez

VIGENCIA: Sep. 2015 a Sep. 2016

Revisado y Avalado por la Academia de Ing. En Sistemas Computacionales

Nombre y firma del Presidente de AcademiaM. en T.C. Erika López González

Nombre y firma del Secretario de AcademiaIng. Teresa Plata Hernández

VoBo

Nombre y firma del Jefe de DivisiónIng. Esther V. García Ortíz

Jocotitlán, Edo. De Mèx. A 28 de julio del 2015.

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CARRETERA TOLUCA-ATLACOMULCO KM. 44.8, EJIDO DE SAN JUAN Y SAN AGUSTÍN. JOCOTITLÁN, ESTADO DE MÉXICO, C.P. 50700 TELS: (01712)1231313, 1231348, FAX: 1210113

portal2.edomex.gob.mx/tesjo/index.htm www.edomexico.gob.mx

SECRETARÍA DE EDUCACIÓNSUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR


NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Operaciones entre vectores y ecuaciones de rectas y planos en R3

Práctica No. 1

Fecha de realización: 28 de julio del 2015Asignatura: Cálculo vectorialCarrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad1: Algebra de vectoresNúmero de práctica: 1Objetivo: Realizar operaciones entre vectores y obtener ecuaciones de rectas y planos.

Lugar: Aula Tiempo asignado: 2 hEquipocalculadora

MaterialesLápiz, hojas blancas tamaño carta.

Reactivos 7

Observaciones:

1. Introducción:

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).

En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar

geométricamente como segmentos de recta dirigidos (flechas) en el plano o en el espacio .

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

2. Marco Teórico:

Sean a = (a1, a2, … , an) y b = (b1, b2, …, bn) dos vectores elementos de Rn y r un número real. Entonces.

a) a ± b = (a1 ±b1, a2 ±b2, …., an ±bn)b) ra = (ra1, ra2, …, ran)

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c) a.b = a1b1 + a2b2 + …. + anbn (producto escalar)

i j k a1 a2 a3

d) a x b = = (a2b3-a3b2)i - (a1b3-a3b1)j + (a1b2-a2b1)k b1 b2 b3

= (a2b3-a3b2, a1b3-a3b1, a1b2-a2b1) (producto vectorial)

La ecuación vectorial de una línea recta en R3 es. P= Po + ta, en donde t es un número real.Unas ecuaciones paramétricas de la línea recta son:

x = xo + t a1

y = yo + ta2

z = z0 + ta3

Una ecuación cartesiana de la línea recta es:

x−xoa1

= y− yoa2

= z−zoa3

La ecuación vectorial de un plano Ƥ en R3 es: P = PO + ta + sb, en donde t y s son números reales.

Unas ecuaciones paramétricas del plano Ƥ, son.

X = xo + t a1 + sb1

Y = yo + t a2 + s b2

Z = zo + t a3 + s b3

Una ecuación cartesiana del plano Ƥ es.

ax + by +cz = d

3. Indicaciones:

Obtener lo indicado en cada caso, donde a= (3, 4, -1) y b = (5, 8, 7)

a) a +bb) a-bc) 3a + 5b

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d) a.be) a x b

f) Una línea recta pasa por el punto Po = (2, 5, 8) y es paralela al vector a = (5, 1, 4), determinar:

Una ecuación vectorial. Unas ecuaciones paramétricas. Una ecuación cartesiana.

g) Un plano pasa por el punto, Po = (2, 8, 9), y es generado por los vectores a = (2, 3, 4), y b= (2, 8, 9). Determinar:

Una ecuación vectorial. Unas ecuaciones paramétricas. Una ecuación cartesiana.

4. Procedimiento: Resolver de forma manual lo indicado en la parte tres.

5. Disposición de residuos: No aplica.

6. Resultados:

a) a + b = (8, 12, 6)b) a – b = (-2, -4, -8)c) 3a + 5b = (34, 52, 32)d) a.b = 40e) a x b = (36, -26, 4)f) (x, y, z) = (2, 5, 8) + t(5, 1, 4) , t Ɛ R (Ec. Vectorial)

X = 2 +5tY = 5 + t Ecs. ParamétricasZ = 8 + 4t

x−25

= y−51

= z−84

g) (x, y, z) = (2, 8, 9) + r(2, 3,4) + s(2, 8,9), r y s Ɛ R (Ec. Vectorial)

X = 2 +2r +2sY = 8 +3r + 8sZ = 9 +4r + 9s, y 4x + 4y -5z = -5 (Ec. Cartesiana)

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7. Análisis de Resultados: Qué se obtiene como resultado en los incisos d y e.

8. Cuestionario:

a) Explica el concepto de vector.b) Cuantas operaciones entre vectores conoces?c) Que se obtiene como producto del producto escalar entre vectores?d) Qué se obtiene como solución del producto vectorial entre vectores?

9. Conclusiones:

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NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Funciones vectoriales de variable real

Práctica No. 2

Fecha de realización: 28 de julio del 2015Asignatura: Cálculo vectorialCarrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad2: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricasNúmero de práctica: 2Objetivo:Determinar ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica. Calcular la derivada de una función dada paramétricamente. Expresar en coordenadas polares ecuaciones cartesianas de algunas curvas.

Lugar: Aula Tiempo asignado: 2 hEquipoCalculadora


Reactivos 3

Observaciones:

1. Introducción:

Cualquier función que tiene un conjunto de números reales como dominio y un conjunto de vectores como su rango se llama función vectorial de variable real.

2. Marco Teórico:

Las ecuaciones paramétricas de una curva son:

X = f(t)Y = ɸ(t)

Derivada de una función dada paramétricamente.

dydx

=φ '( t )f ' ( t )

Fórmulas para convertir coordenadas cartesianas a coordenadas polares.

r=√x2+ y 2

, ɵ = ang tan

yx

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3. Indicaciones: Determinar lo que se pide en cada caso.

a) Expresar en coordenadas paramétricas la siguiente curva y = x2

b) Si x = sen t, y y = cos t, obtener

dydx

c) Expresar la ecuación de la siguiente curva en coordenadas polares

X2 + y2 = 16

4. Procedimiento: Realizar manualmente lo que se pide en el apartado 3, aplicar la parte conceptual del marco teórico.


6. Resultados:

a) X = t, y= t2

b)

dydx

=− sentcos t

c) r = 4

7. Análisis de Resultados: Qué se obtiene como gráfica de la curva mostrada en el inciso a.

8. Cuestionario:

a) Explica el concepto de función vectorial de variable real.b) Qué se obtiene como rango de una función vectorial de variable real.c) Cuál es la interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial de variable

real en un punto?d) Escribe las fórmulas para convertir coordenadas polares a cartesianas.

9. Conclusiones:

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NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Funciones vectoriales de variable real

Práctica No. 3

Fecha de realización: 28 de julio del 2015Asignatura: Cálculo vectorialCarrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad3: Funciones vectoriales de variable realNúmero de práctica: 3Objetivo:Determinar el límite, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales de variable real.



Reactivos 4

Observaciones:

1. Introducción:

En la presente práctica se aplicarán los conceptos de límite, continuidad, derivada e integral de una función vectorial de variable real.

2. Marco Teórico:

Sea F(t)= (f1(t), f2(t), …., fn(t)) una función vectorial de variable real.

a) El lím F(t) = ( lim f1(t), lim f2(t), … , lim fn(t))

b) Una función F(t)= (f1(t), f2(t), …., fn(t)) es continua si las fi(t) son continuas, para todo i = 1, 2, …, n

c) F’(t)= (f’1(t), f’2(t), …., f’n(t))d)

∫F ( t )dt=(∫ f 1( t )dt ,∫ f 2( t )dt ,. .. ,∫ fn ( t )dt )

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a a a a


a) Lim (t, t2, 1), cuando t tiende a cero.b) Determinar si la función F(t) = ( 2t, t3, 0) es continua.c) Si F(t) = (e2t, sen t, cost), obtener F’(t).

d) Si F(t) = (et, sen t, cost), obtener: ∫F ( t )dt

4. Procedimiento: Realizar manualmente lo que se pide en el apartado 3, aplicar la parte conceptual del marco teórico.


6. Resultados:

d) (0, 0, 1)e) Como las funciones f1(t)= 2t, f2(t)=t3, y f3(t)= 0 son continuas, la función

F(t) es continua.f) (2e2t, cost, -sent)g) (et, -cost, sent)

7. Análisis de Resultados: Discutir la gráfica de F(t)= (t, t2, 1).

8. Cuestionario:

e) Explica el concepto de función vectorial de variable real.f) Qué se obtiene como gráfica de una función vectorial de variable real.g) Qué se obtiene como resultado al calcular el límite de una función vectorial de variable

real?h) Qué se obtiene como resultado al calcular la derivada de una función vectorial de variable

real?i) Qué se obtiene como resultado al calcular la integral de una función real de variable real?

9. Conclusiones:

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NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Derivadas parciales y plano tangente

Práctica No. 4

Fecha de realización: 28 de julio del 2015Asignatura: Cálculo vectorialCarrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad4: Funciones reales de varias variablesNúmero de práctica: 4Objetivo:Trazar gráficas de funciones reales de variable vector. Calcular derivadas parciales, determinar gradientes, y obtener la ecuación cartesiana de plano tangente.



Reactivos 4

Observaciones:

1. Introducción:

Las funciones reales de variable vector son aquellas que tienen como dominio un vector (varias variables) y como rango un número real. Por ejemplo el volumen de una caja rectangular depende de su longitud, de su ancho y de su altura; la temperatura de un punto de una placa de metal depende de las coordenadas de ese punto y posiblemente también del tiempo.

2. Marco Teórico:

Si f es una función de R2 en R, la gráfica de f es el conjunto de puntos (x, y, z)/ z = f(x, y, z), (x,y) Ɛ D f . Este conjunto es una superficie en R3.

Si las derivadas parciales de f y g respecto a la k-ésima coordenada existen sobre un conjunto abierto ∈,

a) DK(f + g) = Dkf + Dkgb) Dk(fg) = fDkg + g Dkf

c) Dk(fg

¿= gDKf −fDkg

g2

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d) DKfn = nDfn-1DKf

Definición. El gradiente de una función real de variable vector se define por.

∇f(x, y, z) = (∂ f∂ x

, ∂ f∂ y

, ∂ f∂ z

)

Plano tangente. La ecuación del plano tangente P a una superficie S en un punto dado Xo, está dada por

(X-Xo). ∇f(Xo) = 0


a) Dibujar la gráfica de la siguiente función z = x2 +y2 , obtener además la traza de la superficie con el plano z = 5

Obtener las derivadas parciales de f, si:

b) Si f(x, y) = x2y2 + y

c) Si f(x, y) = x2 z+ y+2

x2+1,

d) Determinar el plano tangente en el punto (1, 2, 6) a la superficie S de ecuaciónZ = 2x2 + y2

4. Procedimiento: Obtener lo que se pide en el punto 3 aplicando la parte conceptual de la parte 2.5. Disposición de residuos: No aplica.

6. Resultados:

a) Ver figura 1.

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Fig. 1 Gráfica de la función z = x2 + y2

b) D1f(x, y)= 2xy2, D2f(x, y)= 2x2y + 1

c) D1f(x, y, z) =2 x z− y−2(x2+1)2

, D2f(x, y, z) = 1

x2+1d) 4x +4y-z = 6

7. Análisis de Resultados: N/A

8. Cuestionario:

a) Escribe el concepto de función real de variable vector.b) Cuál es el dominio del tipo de función anteriorc) Qué se obtiene como gráfica de una función real de variable vector?d) Cuál es la interpretación geométrica del gradiente de una función en estudio en un punto dado.e) Cuál es la interpretación geométrica de la derivada direccional.

9. Conclusiones:

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NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Integrales dobles y triples

Práctica No. 5

Fecha de realización: 28 de julio del 2015Asignatura: Cálculo vectorialCarrera: Ing. En Sistemas ComputacionalesUnidad de Aprendizaje: Unidad 5: IntegraciónNúmero de práctica: 5Objetivo:Calcular integrales dobles en coordenadas cartesianas y polares. Calcular integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.



Reactivos 6

Observaciones:

1. Introducción:

De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble

integral de una función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al

realizar una "integral triple" de una función definida en una región del espacio xyz, el resultado

es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

2. Marco Teórico:

Si f(x, y) ≥ 0, ∬A

❑

f ( x , y ) dA representa el volumen del sólido bajo la superficie z = f(x, y) y sobre el

rectángulo R.

Propiedades de la integral doble.

a) ∬R

❑

kf ( x , y ) dA=k∬R

❑

f ( x , y ) dA

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b) ∬R

❑

[ f ( x , y )+g ( x , y )] dA=∬R

❑

f ( x , y )dA+∬R

❑

g ( x , y ) dA

c) ∬R

❑

f ( x , y ) dA=∬R1

❑

f ( x , y ) dA+∬R 2

❑

f ( x , y )dA

d) Si f(x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) en R.

∬R

❑

f ( x , y ) dA ≤∬R

❑

g ( x , y )dA

Integrales iteradas.

A una expresión como la siguiente, se conoce como integral iterada.

∬R

❑

f ( x , y ) dA=∫a

b [∫cd

f (x , y)dy ]dx

Integrales dobles sobre regiones no rectangulares

∬S

❑

f ( x , y ) dA=∫a

b [ ∫φ1( x)

φ2( x)

f (x , y )dy ]dx , o bien.

∬S

❑

f ( x , y ) dA=∫c

d [ ∫ω1 (x)

ω2 (x)

f (x , y )dx] dy

Integrales dobles en coordenadas polares

∬A

❑

f ( x , y ) dA=∬R

❑

f (rcosθ , r senθ )rdr dθ

Integrales triples en coordenadas cartesianas

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∭s

❑

f (x , y , z ) dV=∫a1

a2

∫∅ 1 (x)

∅ 2 (x)

∫ω1 (x , y)

ω2 (x , y)

f ( x , y , z ) dzdydx

Integrales triples en coordenadas cilíndricas

∭s

❑

f (x , y , z ) dV=∫θ 1

θ 2

∫r 1(θ)

r 2(θ)

∫g1 (r ,θ )

g2 (r ,θ )

f (rcosθ , rsenθ, z ) rdzdrdθ

Integrales triples en coordenadas esféricas

∭s

❑

f (x , y , z ) dV= ∭limites

apropiados

❑

f (rsen∅ cosθ ,r sen∅ cosθ ,rcos∅ )r2 sen∅ drd

3. Indicaciones: Obtener lo que se pide a continuación en cada caso.

a) Evaluar

∫0

3 [∫12

(2 x+3 y )dx ]dy

b) Evaluar la integral iterada

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∫3

5 [∫−x

x2

(4 x+10 y )dy ]dx

c) Determinar el volumen V del sólido sobre el rectángulo polar R ={(r , θ ) :1≤r ≤3 ,0≤ θ≤ π4 }

Y debajo de la superficie z= ex2+ y2

d) Evaluar la integral iterada.

∫−2

5

∫0

3x

∫y

x+2

4dzdydx

e) Determinar el volumen de la región sólida S, en el primer octante acotada arriba por el paraboloide z= 4-x2-y2 y lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 2x, como se muestra en la Fig. 2

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Fig. 2 Gráfica de intersección de dos superficies

f) Determinar el volumen del sólido S que está acotado por arriba por la esfera r = a y abajo por el cono ∅=α, donde a y α son constantes (figura 3)

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Figura 3

4. Procedimiento: Calcular lo indicado en el punto 3 aplicando la parte conceptual de la parte 2.5. Disposición de residuos: No aplica.

6. Resultados:

a)452

b) 339313

c) 318d) -14

e)5π4

f) 2π a3

3(1−cosα)

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7. Análisis de Resultados: N/A

8. Cuestionario:

a) Explica la interpretación geométrica del resultado obtenido en el inciso a.b) Escribe las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas a polares.c) Escribe las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas a cilíndricas.d) Escribe las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas a esféricas.

9. Conclusiones:

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