Upload
damir-pasic
View
38
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
34457Informacijske mreže
5. Predavanje – Redovi čekanja
Ak.god. 2010./2011.
Prof.dr.sc. Mladen Kos
Informacijske mrežeTeme
� Redovi čekanja
� Red M/M/1
� PASTA
� Redovi M/M/*
2
� Erlangovi modeli
Informacijske mrežeRed M/M/1
� Dolazni proces: Poisson s parametrom λ
� Vrijeme posluživanja: iid, eksponencijalna razdioba s parametrom µ
� Vremena posluživanja i međudolazna vremena: nezavisni
Jedan poslužitelj
3
� Jedan poslužitelj
� Beskonačni prostor čekanja
� N(t): broj korisnika u sustavu u trenutku t (stanje)
0 1 n+1n2
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
Informacijske mrežeEksponencijalne slučajne varijable
Primjer: Zadane su s.v. X i Y:
� X: eksponencijalna s.v. s parametrom λ
� Y: eksponencijalna s.v. s parametrom µ
� X, Y: nezavisne s.v.
� Dokaz:
( )
( )
{min{ , } } { , }
{ } { }
{min{ , } } 1
t t t
t
P X Y t P X t Y t
P X t P Y t
e e e
P X Y t e
λ µ λ µ
λ µ
− − − +
− +
> = > > == > > =
= = ⇒
≤ = −
4
X, Y
Dokazati:
1. min{X, Y}: eksponencijalna s.v.s parametrom λ + µ
2. P{X<Y} = λ/(λ + µ)
Ovaj rezultat koristimo za opis reda
M/M/1 pomoću vremenski-
kontinuiranog Markovljevog lanca
0 0
0 0
0 0
0
( )
0 0
{ } ( , )
(1 )
( )
1
y
XY
yx y
yy x
y y
y y
P X Y f x y dx dy
e e dx dy
e e dx dy
e e dy
e dy e dy
λ µ
µ λ
µ λ
µ λ µ
λ µ
µ λ
µ
µµ λ µ
λ µµ λ
λ µ λ µ
∞
∞− −
∞− −
∞− −
∞ ∞− − +
< = =
= ⋅ =
= =
= − =
= − + =+
= − =+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
Informacijske mrežeRed M/M/1: Markovljev lanac
� Prijelazi u skupu {N(t): t ≥ 0} su potaknuti dolascima i odlascima
{N(t): t ≥ 0} može skakati samo u susjedna stanja
Pretpostavljamo da je proces u trenutku t u stanju i: N(t) = i ≥ 1
� Xi: vrijeme do sljedećeg dolaska – eksponencijalno s parametrom λ
: vrijeme do sljedećeg odlaska – eksponencijalno s parametrom
5
� Yi: vrijeme do sljedećeg odlaska – eksponencijalno s parametrom µ
� Ti = min{Xi,Yi}: vrijeme provedeno u stanju i
� Ti : eksponencijalno s parametrom v = λ + µ (prethodna stranica)
� Pi,i+1 = P{Xi < Yi} = λ/(λ+µ), Pi,i-1 = P{Yi < Xi} = µ/(λ+µ)
� P01=1, a T0 eksponencijalno s parametrom λ
{N(t): t ≥ 0} vremensko-kontinuirani Markovljev lanac:
, 1 , 1
, 1 , 1
, 0
, 1
0, | | 1
i i i i i
i i i i i
ij
q P i
q P i
q i j
ν λ
ν µ+ +
− −
= = ≥
= = ≥
= − >
Informacijske mreže
� Proces rađanja i umiranja → JLRp pµ λ= ⇒
Red M/M/1: stacionarne razdiobe
0 1 n+1n2
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
6
� Normalizacijska konstanta
� Stacionarna razdioba
1
1 1 0...
n n
n
n n n
p p
p p p p
µ λλ
ρ ρµ
−
− −
= ⇒
= = = =
0 0
0 1
1 1 1 1 , 1 za n
n
n n
p p pρ ρ ρ∞ ∞
= =
= ⇔ + = ⇔ = − <
∑ ∑
(1 ), 0,1,...n
np nρ ρ= − =
Informacijske mrežeRed M/M/1 (nast.)
� Prosječni broj korisnika u sustavu
1
0 0 0 0
2
(1 ) (1 ) (1 )
1 1(1 ) (1 )
1 (1 ) 1
n n n
n
n n n n
N np n nρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρ
ρ λρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ µ λ
∞ ∞ ∞ ∞−
= = = =
∂ = = − = − = − ∂
∂= − = − = =
∂ − − − −
∑ ∑ ∑ ∑
7
� Primjenom Littleovog teorema dobivamo prosječno kašnjenje po korisniku (čekanje+posluživanje)
� Prosječno vrijeme čekanja i broj korisnika u redu (nije uključeno posluživanje)
1 (1 ) 1ρ ρ ρ ρ µ λ∂ − − − −
λµλµ
λ
λλ −=
−==
11NT
21
i 1
QW T N Wρ ρ
λµ µ λ ρ
= − = = =− −
Informacijske mreže
� ρ = λ/µ: iskoristivost
� Dugoročno gledajući ρ je udio vremena zauzeća poslužitelja 4
6
8
10
N
Red M/M/1 (nast.)
8
poslužitelja
� ρ = 1 − p0: vrijedi za svakiM/G/1
� Uvjet stabilnosti: ρ < 1
Brzina dolazaka λ mora biti manja od brzine posluživanja µ
0
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
ρ
Informacijske mrežeRed M/M/1: vremensko-diskretni pristup
� Promatramo vremenske trenutke 0, δ, 2δ,… (δ je proizvoljno mali)
� Za proces diskretan u vremenu Nk = N(kδ) stacionarne vjerojatnosti su
�Prijelazne vjerojatnosti su
lim { ( ) } lim { }kt k
P N t n P N n→∞ →∞
= = =
001 ( )P λδ ο δ= − +
9
� Vremensko-diskretni Markovljev lanac (zanemareni o(δ))
00
, 1
, 1
1 ( )
1 ( ), 1
( ), 0
( ), 0
( ), | | 1
ii
i i
i i
ij
P
P i
P i
P i
P i j
λδ ο δ
λδ µδ ο δ
λδ ο δ
µδ ο δ
ο δ
+
−
= − +
= − − + ≥
= + ≥
= + ≥
= − >
0 1 n+1n2
λδ
µδ
λδλδ
µδ
λδ
µδµδ1 λδ µδ− − 1 λδ µδ− − 1 λδ µδ− −1 λδ−
Informacijske mrežeRed M/M/1: vremensko-diskretni (nast.)
� Vremensko-diskretni proces rađanja i umiranja → JLR:
0 1 n+1n2
λδ
µδ
λδλδ
µδ
λδ
µδµδ1 λδ µδ− − 1 λδ µδ− − 1 λδ µδ− −1 λδ−
10
� Vremensko-diskretni proces rađanja i umiranja → JLR:
� Uzmimo limes δ→0:
Gotovo!
1
1 0
[ ( )]π [ ( )]π
( ) ( )π π π
( ) ( )
n n
n
n n
µδ ο δ λδ ο δ
λδ ο δ λδ ο δ
µδ ο δ µδ ο δ
−
−
+ = + ⇒
+ += = = + +
�
0 00 0 0
( )lim π lim lim π
( )
n n
n np p
δ δ δ
λδ ο δ λ
µδ ο δ µ→ → →
+= ⇒ = +
Informacijske mrežePrijelazne vjerojatnosti
� Ak: broj korisnika došlih u sustav u intervalu Ik=(kδ, (k+1)δ]
� Dk: broj korisnika otišlih iz sustava u intervalu Ik=(kδ, (k+1)δ]
� Prijelazne vjerojatnosti Pij ovisne o uvjetnim vjerojatnostima:
Q(a,d | n) = P{Ak=a, Dk=d | Nk-1=n}
� Izračunati Q(a,d | n) pomoću statistike dolazaka i odlazaka
11
� Izračunati Q(a,d | n) pomoću statistike dolazaka i odlazaka
� Koristiti Taylorov razvoj: e-λδ = 1 – λδ + o(δ) i e-µδ = 1 – µδ + o(δ)
� Poissonovi dolasci: P{Ak ≥ 2} = o(δ)
� Vjerojatnost 0 dolaska i 0 odlaska u Ik je e-λδ e-µδ = 1 – λδ – µδ +
o(δ)
� Vjerojatnost više od 1 dolaska (odlaska) u Ik je o(δ)
�Pokazati: vjerojatnost pojave više od jednog događaja (dolazaka ili odlazaka) u Ik je o(δ)
☺ Detaljnije u navedenim knjigama
Informacijske mrežePrimjer: usporavanje
/
1 1 /
/
N N
N mT mT
m
ρ λ µ λ
ρ λ µ µ λ
λ µ λ
′′ = = = =
′− − −
′′ = = =
−
λµ
/ mλ/ mµ
/
1 1 /
1
N
NT
ρ λ µ λ
ρ λ µ µ λ
λ µ λ
= = =− − −
= =−
12
� M/M/1: usporavanje dolazaka i brzine posluživanja za faktor m > 1
� Faktori iskoristivosti ρ za oba su sustava isti ⇒ stacionarne
razdiobe su jednake, prosječni broj paketa u sustavu ostaje isti
� Kašnjenje u sporijem sustavu je m puta veće
� Iako je prosječni broj paketa u sustavu jednak, paketi se u prvom sustavu brže kreću
/
( / )
/ /
m
mW mW
m m
λ µ λ
ρ λ µ
µ λ µ λ
−
′′ = = =
− −
/W
λ µ λ
ρ λ µ
µ λ µ λ
−
= =− −
Informacijske mrežePrimjer: ubrzavanje
/
1 1 /
1/
( )
N N
NT T k
k k
ρ λ µ λ
ρ λ µ µ λ
λ µ λ
′′ = = = =
′− − −
′′ = = =
−
λµ
kλkµ
/
1 1 /
1
N
NT
ρ λ µ λ
ρ λ µ µ λ
λ µ λ
= = =− − −
= =−
13
� M/M/1: ubrzavanje dolazaka i brzine posluživanja za faktor k > 1
� Faktori iskoristivosti ρ za oba su sustava isti ⇒ stacionarne
razdiobe su jednake, prosječni broj paketa u sustavu je jednak
� Kašnjenje u bržem sustavu je k puta manje
� Iako je prosječni broj paketa u sustavu jednak, paketi se u drugom sustavu kreću brže
( )
//
( )
k k
W W kk k k
λ µ λ
ρ λ µ
µ λ µ λ
−
′′ = = =
− −
/W
λ µ λ
ρ λ µ
µ λ µ λ
−
= =− −
Informacijske mrežePrimjer: statistički MUX vs. TDM
mT mT′ = =
λµ
/ mλ/ mµ
/ mλ/ mµ
m
14
� Prijenosi se m iid Poissonova toka brzine λ/m; link kapaciteta 1; duljine paketa iid, eksponencijalna razdioba s parametrom (prosječno trajanje prijenosa) 1/µ. Kad se tokovi stope u jedan Poissonov tok (stat-mux) brzine λ, prosječno kašnjenje po paketu jeT = 1/(µ − λ)
� TDM ili FDM: podijeliti link na m kanala svaki kapaciteta 1/m idodijeliti po jedan kanal svakom prometnom toku
� Kašnjenje u svakom “redu” M/M/ 1 postaje m puta veće
Koje su prednosti TDM ili FDM nad statističkim multipleksiranjem?
mT mT
µ λ′ = =
−
Informacijske mrežeSvojstvo PASTA
� Markovljev lanac je “stacionaran” ili je u “stacionarnom stanju”:
� Proces starta uz stacionarnu razdiobu, ili
� Proces se odvija kroz beskonačno vrijeme t→∞
Vjerojatnost da je u nekom trenutku t proces u stanju i jednaka je stacionarnoj vjerojatnosti
( )T t
15
� Pitanje: Za red M/M/1 zadani t je vrijeme dolaska: kolika je vjerojatnost da je N(t) = i?
Odgovor: PASTA - Poisson Arrivals See Time Averages!
☺ PASTA je jedno od najvažnijih svojstava redova čekanja. Akronim PASTA treba pisati velikim, a ne malim slovima; pasta (talijanskog porijekla) je posebno važna u kulinarskim znanostima!
( )lim { ( ) } lim i
it t
T tp P N t i
t→∞ →∞= = =
Informacijske mrežeSvojstvo PASTA (nast.)
� Stacionarne vjerojatnosti:
� Stacionarne vjerojatnosti zauzeća do dolaska:
� Trenutak t- označava trenutak “točno prije t” (neposredno prije t)
Pretpostavka LAA (Lack of Anticipation Assumption): buduća
lim { ( ) }nt
p P N t n→∞
= =
lim { ( ) | }dolazak un
ta P N t tn
→∞
−= =
16
� Pretpostavka LAA (Lack of Anticipation Assumption): buduća međudolazna vremena i vremena posluživanja prethodno pristiglih korisnika su neovisna
Teorem: Sustav posluživanja zadovoljava LAA:1. Ako je dolazni proces Poissonov:
2. Poissonov proces je jedini proces s tim svojstvom(nužan i dovoljan uvjet)
, 0,1,...n n
a p n= =
Informacijske mrežeSvojstvo PASTA (nast.)
Može li se PASTA primijeniti na sve procese?
Primjer:
� Deterministički dolasci svakih 10 s
� Determinističko posluživanja trajanja 9 s
Do dolaska: sustav je uvijek prazan a = 0
17
Do dolaska: sustav je uvijek prazan a1= 0
Prosječno vrijeme s jednim korisnikom u sustavu: p1= 0.9
� “Korisnički” prosjeci nisu jednaki vremenskim prosjecima (a1≠p1)
� Ništa ne pomaže, proces mora biti Poissonov!
1
0 109 20 30 40 49
Informacijske mrežeSvojstvo PASTA: dokaz
� Definiramo A(t, t+δ): dolazak se zbio u intervalu [t, t + δ)
� Ako korisnik dolazi u t, vjerojatnost da će naći sustav u stanju n:
� A(t, t+δ) je nezavisan od stanja sustava prije vremena t, N(t-)
� N(t-) određen vremenom dolazaka < t, i korespondentnim vremenima
0{ ( ) | } lim { ( ) | ( , )}P N t n t P N t n A t t
δδ− −
→= = = +dolazak u
18
� N(t ) određen vremenom dolazaka < t, i korespondentnim vremenima posluživanja
� A(t, t+δ) nezavisan od dolazaka < t [Poisson]
� A(t, t+δ) nezavisan od vremena posluživanja pridošlih korisnika < t [LAA]
0 0
0
{ ( ) , ( , )}( ) lim { ( ) | ( , )} lim
{ ( , )}
{ ( ) } { ( , )}lim { ( ) }
{ ( , )}
n
P N t n A t ta t P N t n A t t
P A t t
P N t n P A t tP N t n
P A t t
δ δ
δ
δδ
δ
δ
δ
−−
→ →
−−
→
= += = + =
+
= += = =
+
lim ( ) lim { ( ) }n n n
t ta a t P N t n p
−
→∞ →∞= = = =
Informacijske mrežeSvojstvo PASTA: intuitivni dokaz
� ta i tr: slučajno odabrano vrijeme dolaska i vrijeme promatranja
� Dolazni procesi prije ta i tr su stohastički identični procesi� Obje razdiobe vjerojatnosti vremena prvog dolaska prije ta i prije tr su
eksponencijalne s parametrom λ
� Poopćenjem na ostale dolaske (drugi, treći,…) prije ta i tr daje isti rezultat
19
� Stanje sustava u nekom trenutku t ovisi samo o dolascima (i pripadnim vremenima posluživanja) prije t
Budući da su dolazni procesi prije vremena dolaska ta i prije slučajnog vremena promatranja tr identični, oni jednako “vide” stanje sustava
☺Za rigorozni dokaz vidjeti navedenu literaturu!
Informacijske mrežeSvojstvo PASTA nije ispunjeno
Primjer 1: Dolasci nisu Poissonovi� Međusobno nezavisna (iid) međudolazna vremena, ravnaju se po
jednolikoj razdiobi između 2 i 4 s� Vrijeme posluživanja je determinističko: 1 s
Neposredno prije dolaska: sustav je uvijek prazan, a1 = 0
λ = 1/3, T = 1 → N = Tλ = 1/3 → p1 = 1/3
20
1
Primjer 2: LAA nije zadovoljen� Poissonovi dolasci, međudolazna vremena Ti
� Vrijeme posluživanja korisnika i: Si = αTi+1, α < 1 Do dolaska: sustav je uvijek prazan, a1 = 0
Prosječno vrijeme u kojem je u sustavu jedan korisnik: p1 = α
☺ Ovo su primjeri svojstva poznatog pod imenom anti-PASTA. I ovdje, akronim anti-PASTA ne treba miješati s talijanskim izrazom antipasto(predjelo) iz kulinarskih znanosti!
Informacijske mrežeSvojstvo PASTA: razdiobe odlaska
� Stacionarne vjerojatnosti broja korisnika u sustavu neposrednonakon odlaska:
� Uz vrlo općenite pretpostavke:
� N(t) se mijenja za jedinične inkremente (to je uvije ispunjeno kod stabilnog reda M/M/1, ρ < 1)
lim { ( ) | }odlazak u n
td P t tX n+
→∞= =
21
kod stabilnog reda M/M/1, ρ < 1)
� Postoji limes za an i dn
an = dn, n=0,1,… (npr. jedan ode ⇒ jedan dođe)
U stacionarnom stanju, sustav izgleda stohastički identičan za dolazećeg i odlazećeg korisnika
� Poissonovi dolasci + LAA: u stacionarnom stanju sustav je stohastički identičan i za dolazećeg i za odlazećeg korisnika, a jednako ga vidi i promatrač koji ga promatra u nekom proizvoljnom vremenu
Informacijske mrežeRedovi M/M/*
� Poissonov dolazni proces� Međudolazna vremena: iid, eksponencijalna
� Vremena posluživanja: iid, eksponencijalna
� Vremena posluživanja i međudolazna vremena: nezavisna
22
nezavisna
� N(t): broj korisnika u sustavu u t (stanje)
{N(t): t ≥ 0} može se modelirati kao vremensko-kontinuirani ili vremensko-diskretni Markovljev lanac
Brzine prijelaza između stanja ovise o svojstvima sustava
Svojstvo PASTA je uvijek zadovoljeno
Informacijske mrežeRed M/M/1/K: sustav s gubicima
� M/M/1 s konačnim prostorom za čekanje� Najviše K korisnika istovremeno u sustavu
0 1 KK-12
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
23
� Najviše K korisnika istovremeno u sustavu
� Korisnik koji dolaskom nalazi K korisnika u sustavu je odbačen
� Stacionarna razdioba
� Uvjet stabilnosti: uvijek stabilan – čak i kad je ρ ≥ 1
� Vjerojatnost gubitka – pomoću svojstva PASTA:
0
0 1
, 1, 2,...,
1
1
n
n
K
p p n K
p
ρρ
ρ +
= =
−=
−
1
(1 ){ } { ( ) }
1gubitak
K
KP P N t K
ρ ρ
ρ +
−= = =
−
Informacijske mrežeRed M/M/1/K (dokaz)
� Isto kao i kod M/M/1:
0 1 KK-12
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
, 1,2,...,n
p p n Kρ= =
24
� Normalizacijska konstanta:
Generalizacija: tzv. okrnjeni Markovljev lanac
1
0 0
0 1
0 1
11 1 1
1
1
1
KK Kn
n
n n
K
p p p
p
ρρ
ρρ
ρ
+
= =
+
−= ⇒ = ⇒ =
−−
⇒ =−
∑ ∑
0, 1,2,...,
n
np p n Kρ= =
Informacijske mrežeOkrnjeni Markovljev lanac
� {X(t): t ≥ 0} vremenski-kontinuirani Markovljev lanac sastacionarnom razdiobom {pi: i = 0,1,…}
� S podskup od {0,1,…}: skup stanja; promatramo samo proces u S
� Eliminirati sva stanja koja nisu u S
� Staviti 0, ,ji ijq q j S i S= = ∈ ∉� �
25
� Staviti
� {Y(t): t ≥ 0}: rezultirajući okrnjeni proces; ako je ireducibilan:
� Vremensko-kontinuirani Markovljev lanac
� Stacionarna razdioba
U nekim slučajevima treba provjeriti ovisnost o sustavu
0
za
za
j
ij
i S
pj S
pp
j S
∈
∈
=
∉
∑�
0, ,ji ijq q j S i S= = ∈ ∉� �
Informacijske mrežeOkrnjeni Markovljev lanac (nast.)
� Mogući dovoljni uvjet
� Provjera razdiobe okrnjenog procesa
1. Zadovoljava JGR
( ) ( )
j i
j ji i ij j ji i ij ji ij
p pp q p q p q p q q q
p S p S= ⇒ = ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
,j ji i ij
i S i S
p q p q j S∉ ∉
= ∈∑ ∑
26
2. Zadovoljava normalizacijski zakon:
Dovoljni uvjet: bolje je koristiti JLR!
Relacija s pojmom “reverzibilnost”
Ispunjeno za multidimenzionalne lance
( ) ( )
,
j ji i ij j ji i ij ji ij
i i i S i S i S i S
j ji i ij j ji i ij
i S i S i S i S
p S p S
p q p q p q p q j S
∈ ∈ ∈ ∈
∈ ∈ ∈ ∈
⇒ = ⇒ = ∈
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑� � � � � �
( )1, ( )
( ) ( )
ii i
i S i S i S
p p Sp p S p
p S p S∈ ∈ ∈
= = = ≡∑ ∑ ∑�
Informacijske mrežeRed M/M/1: sustav s promjenljivim brzina
� Međudolazna vremena: neovisna, eksponencijalna, s parametrom λn
0 1 n+1n2
0λ
1µ
nλ
1nµ +
1λ
2µ
1nλ −
nµ
27
� Međudolazna vremena: neovisna, eksponencijalna, s parametrom λn
kad se nalazi u stanju n
� Vremena posluživanja: neovisna, eksponencijalna, s parametrom µn
kad se nalazi u stanju n
� Vremena posluživanja i međudolazna vremena: neovisna
{N(t): t ≥ 0} je proces rađanja i umiranja
Stacionarna razdioba:1
1 1
0 0
0 1 01 1
, 1 1n n
i i
n
i n ii i
p p n pλ λ
µ µ
−− ∞ −
= = =+ +
= ≥ = +
∏ ∑∏
Informacijske mrežeRed M/M/c
� Poissonovi dolasci brzine λ
� Eksponencijalna vremena posluživanja s parametrom µ
0 1 c+1c2
λ
µ
λ
cµ
λ
2µ
λ
cµ
28
µ
� c poslužitelja (kanala u kontekstu npr. prijenosnih mreža)
� Pridošli korisnik nalazi n korisnika u sustavu, pa vrijedi� n < c: on se uputi na neki slobodni poslužitelj
� n ≥ c: on se uključi u red čekanja – svi poslužitelji su zauzeti
Proces rađanja i umiranja s brzinom umiranja ovisnom o stanju
[Vrijeme provedeno u stanju n prije skoka u stanje n − 1 je minimum odBn= min{n,c}, eksponencijalno s parametrom µ]
, 1
,n
n n c
c n c
µµ
µ
≤ ≤=
≥
Informacijske mrežeRed M/M/c (nast.)
0 1 c+1c2
λ
µ
λ
cµ
λ
2µ
λ
cµ
� Jednadžbe lokalne ravnoteže
1 ( )1 : ,
n ncn c p p p p p
λ λ λ λ λ ρ λρ
≤ ≤ = = = = = ≡� �
29
� Normalizacija
1 0 0 0
0 0 0
1 ( )1 : ,
( 1) ! !
1 ( ) :
! ! !
n n
n c c n c nc n
n c
cn c p p p p p
n n n n n c
c cn c p p p p p
c c c c c c
λ λ λ λ λ ρ λρ
µ µ µ µ µ µ
λ λ λ λ ρ
µ µ µ µ
−
− −
≤ ≤ = = = = = ≡
−
> = = = =
� �
1 11 1
0
0 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) 11 1
! ! ! ! 1
k c k cc ck c
n
n k k c k
c c c cp p
k c k c
ρ ρ ρ ρρ
ρ
− −∞ − ∞ −
−
= = = =
= ⇒ = + + = + −
∑ ∑ ∑ ∑
Informacijske mrežeRed M/M/c (nast.)
� Vjerojatnost čekanja – pridošli korisnik nalazi zauzete sve poslužitelje
� Erlang-C formula: koristi se u telefoniji (komutacija kanala)
0 0
( ) ( ) 1{ }
! ! 1
c cn c
Q n
n c n c
c cP P p p p
c c
ρ ρρ
ρ
∞ ∞−
= =
= = = =−
∑ ∑čekanje u redu
30
� Erlang-C formula: koristi se u telefoniji (komutacija kanala)
� Pozivi dolaze brzinom λ; vrijeme zauzeća (trajanje) poziva je eksponencijalno sa srednjim trajanjem 1/µ
� c raspoloživi broj kanala (npr. prijenosnog sustava)
� Poziv koji naiđe na zauzeta c kanala, neprestano pokušava pronaći slobodni kanal – “ostaje u redu”
� Red M/M/c/c: sustav s gubicima - kasnije ćemo detaljnije izučavati
� Poziv koji nalazi zauzeta c kanala je blokiran i odbačen (nema čekanja)
� Erlang-B formula: koristi se u telefoniji
Informacijske mrežeRed M/M/c (nast.)
� Očekivani broj korisnika u redu čekanja – nisu na posluživanju
� Srednje vrijeme čekanja (u redu)
0 0 2
2
( ) ( )( ) ( )
! ! (1 )
(1 )(1 ) 1
c c
n c
Q nn c n c
Q Q
c cN n c p p n c p
c c
P P
ρ ρ ρρ
ρρ ρ
ρρ ρ
∞ ∞ −
= == − = − =
−
= − =− −
∑ ∑
31
� Srednje vrijeme čekanja (u redu)
� Srednje vrijeme boravka u sustavu (čekanje + posluživanje)
� Očekivani broj korisnika u sustavu
(1 )
Q
Q
NW P
ρ
λ λ ρ= =
−
1 1 1
(1 )
Q
Q
PT W P
c
ρ
µ µ λ µ λ ρ µ= + = + = +
− −
1
Q
Q
PN T P c
c
λ λ ρλ ρ
µ λ µ ρ= = + = +
− −
Informacijske mrežeRed M/M/c: primjer – opet stat-MUX
� Komunikacijski link poslužuje c Poissonovih tokova ukupne brzine λ. Link je podijeljen na c odvojenih kanala pri čemu je svakom kanalu pridružen pojedini tok.
� Ako u nekom prometnom toku nema paketa koji čekaju na prijenos, onda se njemu pripadni kanal koristi za prijenos paketa iz nekog drugog toka.
� Prijenosno vrijeme paketa u svakom kanalu ravna se po
32
� Prijenosno vrijeme paketa u svakom kanalu ravna se po eksponencijalnoj razdiobi sa srednjom vrijednosti 1/µ.
Sustav se može modelirati kao red M/M/c. Prosječno kašnjenje po paketu je
Pogledajmo sada stat-MUX s jednim kanalom koji ima c puta veći kapacitet. Njega možemo modelirati kao red M/M/1 iste dolazne brzine λ i brzine posluživanja cµ. Prosječno kašnjenje po paketu je sada
1QP
Tcµ λ µ
= +−
Informacijske mrežeRed M/M/c: primjer (nast.)
Kad je ρ puno manji od 1 (slabo opterećen sustav) imamo :
1QP
Tc cµ λ µ
= +−
0, 0Q QP P≅ ≅
Tc
T≅
33
Kad je ρ samo neznatno manji od 1 (jako opterećen sustav) imamo
:
Kod slabog opterećenja: stat-MUX s c kanala daje gotovo c puta veće kašnjenje od stat-MUX koji kombinira c kanala u jedan veliki (kao kod sustava TDM). Kod velikog opterećenja: kašnjenja kod oba sustava su podjednaka.
1, 1, 1/ 1/( )Q QP P cµ µ λ≅ ≅ −�
1T
T≅
Informacijske mrežeRed M/M/∞
� Beskonačni broj poslužitelja ⇒ nema čekanja u redu
Red M/M/c uz c = ∞ ⇒ JLR + normalizacija
0 1 n+1n2
λ
µ
λ
( 1)n µ+
λ
2µ
λ
nµ
34
� Red M/M/c uz c = ∞ ⇒ JLR + normalizacija
� Stacionarna razdioba:
Poisson brzine λ/µ (= a ≡ ponuđeni promet)
� Prosječni broj korisnika i prosječno kašnjenje:
Rezultat vrijedi i za red M/G/∞
/( / ), 0,1,...
!
n
np e nn
λ µλ µ −= =
1,
NN T
λ
µ λ µ= = =
Informacijske mrežeRed M/M/c/c
� c poslužitelja, nema prostora za čekanje
� Pridošli korisnik je, kad naiđe na zauzete sve poslužitelje, blokiran (i odbačen)
0 1 c2
λ
µ
λ
2µ
λ
cµ
35
odbačen)
� Stacionarna razdioba za vjerojatnosti stanja:
� Vjerojatnost blokiranja (svojstvo PASTA) - Erlang-B formula:
� Erlang-B formula se koristi u telefoniji i komutaciji kanala
Rezultat vrijedi i za red M/G/c/c
1
0
( / ) ( / ), 0,1,...,
! !
n kc
n
k
p n cn k
λ µ λ µ−
=
= =
∑
1
0
( / ) ( / )
! !
c kc
c
k
pc k
λ µ λ µ−
=
=
∑
Informacijske mrežeM/M/∞ i M/M/c/c (dokazi)
� Jednadžbe lokalne ravnoteže:
( )n p p p p p pλ λ λ λ λ λ
µ λ⋅
= ⇒ = = = =�
�
0 1 n+1n2
λ
µ
λ
( 1)n µ+
λ
2µ
λ
nµ
36
� Normalizacija:
� Obično se koristi oznaka: a = λ/µ – ponuđeni promet
1 1 2 0
0
( )( 1) ( 1)
( / ), 0,1,...
!
n n n n n
n
n
n p p p p p pn n n n n
p p nn
µ λµ µ µ µ µ µ
λ µ
− − −= ⇒ = = = =− ⋅ −
⇒ = =
��
�
1
0
0
( / ),
!
kc
k
pk
λ µ−
=
= ∑ za M /M / c / c
1
/
0
0
( / ),
!
k
k
p ek
λ µλ µ−
∞−
=
= = ∞ ∑ za M /M /
Informacijske mrežeZbroj eksponencijalnih slučajnih varijabli
� X1, X2,…, Xn: iid, eksponencijalne s.v. s parametrom λ
� T = X1 + X2 +…+ Xn
Funkcija gustoće vjerojatnosti za T:
[Gama razdioba s parametrima (n, λ)]
1( )
( ) , 0( 1)!
nt
T
tf t e t
n
λλλ
−−= ≥
−
37
[Gama razdioba s parametrima (n, λ)]
Ako je Xi vrijeme između dolazaka i - 1 i i, tada je Tvrijeme do n-tog događaja
Za proizvoljno mali δ:
(Kumulativna) funkcija razdiobe:
1( )
{ [ , )} ( )( 1)!
nt
T
tP n t t f t e
n
λλδ δ λδ
−−+ = =
−- ti dolazak u
1
0
( ){ } 1 { }
( 1)!
nt
s
n
sP t t e ds P n t
n
λλλ
−−≤ = = −
−∫ - ti dolazak nakon
Informacijske mrežeZbroj eksponencijalnih s.v. (nast.)
Primjer: Poissonovi dolasci brzine λ
� τ1: vrijeme do dolaska prvog korisnika
� τi: i-to međudolazno vrijeme
� τ1, τ2,…, τn: iid, eksponencijalne s.v. s parametrom λ
� tn= τ1+ τ2+…,+τn: vrijeme dolaska n-tog korisnika
38
� tn= τ1+ τ2+…,+τn: vrijeme dolaska n-tog korisnika
tn se ravna po gama-razdiobi s parametrima (n, λ)
Za proizvoljno mali δ :
1 1
0
( ) ( )( ) , 0; { }
( 1)! ( 1)!
n nt
t t
n
t tf t e t P t t e dt
n n
λ λλ λλ λ
− −− −= ≥ ≤ =
− −∫
1( )
{ [ , )} ( )( 1)!
nt
T
tP n t t f t e
n
λλδ δ λδ
−−+ = =
−- ti dolazak u
Informacijske mrežeRed M/M/1: vrijeme boravka
� Red M/M/1 – disciplina posluživanja FCFS
� Ti: vrijeme koje korisnik i provede u sustavu(čekanje + posluživanje) – vrijeme boravka ili
kašnjenje
T : eksponencijalna razdioba s parametrom µ - λ
39
� Ti: eksponencijalna razdioba s parametrom µ - λ
� Dokaz 1: direktno izračunavanje funkcije razdiobe vjerojatnosti
� Dokaz 2: korištenjem neke od transformacija (2. predavanje)
☺ Dokaz 3: intuitivno – provedite sami!
Informacijske mrežeM/M/1: vrijeme boravka – 1. dokaz
0
{ ( ) ( ) }
( )(1 )
i i k
k
nkt k
P D t t D t k p
te
µ µρ ρ
∞
=
∞−
= + − ≤
= ⋅ −
∑
∑∑
(1)
(2)
0
{ } { | } { }i i i i
k
P T t P T t N k P N k∞
=
> = > = =∑
40
0 0
0
0 0
( )
( )(1 )
!
( )(1 )
!
( ) ( )
! !
t k
k n
nkt k
n k n
n nk kt n t
n n
t t t
te
n
te
n
t te e
n n
e e e
µ
µ
µ µ
µ λ µ λ
µρ ρ
µρ ρ
µ λρ
−
= =
∞−
= =
− −
= =
− − −
= ⋅ −
= −
= ⋅ =
= =
∑∑
∑ ∑
∑ ∑
(2)
(3)
(4)
Informacijske mrežeM/M/1: vrijeme boravka – 1. dokaz
� ti je vrijeme dolaska i-tog korisnika, a je broj korisnika u sustavu neposredno prije i-tog dolaska
� Jednadžba (1): i-ti korisnik će provesti vrijeme Ti u sustavu, znajući da je dolaskom u sustav naišao na prisutnih k korisnika, samo ako je broj odlazaka u intervalu (ti , ti + t) manji od k + 1. P{Ni = k} = pk
(PASTA)
( )i i
N N t−=
41
(PASTA)
� Jednadžba (2): tijekom tog intervala poslužitelj je uvijek zauzet, pa su vremena između odlazaka iid i eksponencijalna s parametrom µ:
� Jednadžba (3): zamjena redoslijeda sumacija
� Jednadžba (4): koristi se činjenica
( ){ ( ) ( ) } , 0
!
nt
i i
tP D t t D t n e n k
n
µ µ−+ − = = ≤ ≤
1
0 0
1 1
1 1 1
n nnk k k
k n k k
ρ ρρ ρ ρ
ρ ρ ρ
∞ ∞ −
= = =
−= − = − =
− − −∑ ∑ ∑
Informacijske mrežeM/M/1: vrijeme boravka – 2. dokaz
� Ni je broj korisnika u sustvu neposredno prije i-tog dolaska
� vrijeme boravka u sustavu i-tog korisnika, kad on nalazi kkorisnika već u sustavu
� je suma od k iid eksponencijalnih s.v.
( )k
iT
( )
1 1...
k
i i i i k i kT S S S R− − + −= + + + +
( )k
iT
( )k
iT
42
� Sj je vrijeme posluživanja korisnika j, a Ri-k preostalo vrijeme posluživanja upravo posluživanog korisnika
� Si,…, Si−k+1 : iid, eksponencijalne s.v. s parametrom µ
� Ri-k: eksponencijalna s.v. s parametrom µ, neovisna od Si,…, Si−k+1
� je suma slučajnih brojeva od iid eksponencijalnih s.v.
Koristiti funkciju izvodnicu momenata (2. predavanje, str. 2-47)
☺ Preporuča se studentu da za vježbu primjeni neku drugu transformaciju
i
( )iN
i iT T=
Informacijske mrežeM/M/1: vrijeme boravka – 2. dokaz
� s.v. je eksponencijalna s parametrom µ samo ako je njena funkcija izvodnica momenata µ /(µ – t)
( )
( )
0
0 0
( ) [ ] [ | ] { }
[ ] ( )
i i
i
ki
ki
tT tT
T i ik
tT
k kTk k
M t E e E e N k P N k
E e p M t p
∞
=
∞ ∞
= =
= = = =
= =
∑
∑ ∑
43
njena funkcija izvodnica momenata µ /(µ – t)
1
0 0
( ) (1 ) (1 )
1
( )1
i
k k
k
T
k k
M tt t t
t t
µ µ λρ ρ ρ
µ µ µ
µ λ µ λλµ µ λ
µ λ
+∞ ∞
= =
= − = −
− − −
− −= ⋅ =
− − −−−
∑ ∑
( )1 1
1
( ) ( ) ( )... ( ) ( )ki i i k i ki
k
S S S RTM t M t M t M t M t
t
µ
µ− − + −
+
= = −
Informacijske mrežeO Erlangovim formulama
� Interpretacija u telefoniji (red M/M/c/c):
� pn je dio vremena u kojem je n-ti kanal zauzet (stanje n).
� λ je prosječni broj poziva u jedinici vremena
� τ (= 1/µ) je srednje vrijeme zauzeća kanala.
� a = λτ = λ/µ je ponuđeni promet i brojčano se izražava u jedinicama erlang (erl) u čast A.K. Erlanga koji je 1917. prvi izveo formulu za pn.
44
erlang (erl) u čast A.K. Erlanga koji je 1917. prvi izveo formulu za pn.
� Stacionarne vjerojatnosti - sustav se nalazi u stanju n:
� Erlang-B formula - vjerojatnost blokiranja (n = c):
1
0
, 0,1,...,! !
n kc
n
k
a ap n c
n k
−
=
= =
∑
1
0! !
c kc
c
k
a ap
c k
−
=
=
∑
Informacijske mrežeO Erlangovim formulama (nast.)
� Erlang-B formula susreće se pod različitim imenima: Erlangova formula gubitaka (ili blokiranja), Erlangova prva formula,…Također se koriste i različite oznake za pc: � U Europi: E1,c(a) ili Ec(a) ili E(c,a)
� U SAD: B(c,a) ili B
� Izraz za pn zove se i “okrnjena” Poissonova razdioba, Erlangova razdioba gubitaka,…
45
razdioba gubitaka,…� a/c je ponuđeni promet po poslužitelju (kanalu) i često se zove
intenzitet prometa (= ρ)� Obavljeni ili preneseni promet a* je općenito definiran za
stacionarno stanje kao srednji broj zauzetih poslužitelja (kanala):
Prva suma odnosi se na korisnike koji se poslužuju (n < c), a druga suma govori o činjenici da su svi poslužitelji zauzeti samo ako je najmanje c korisnika u sustavu. (Intuitivno je jasno: a = a*+ apc ili pc = (a – a*)/a, što je i prirodna definicija za pc).
1
1
c
n n
n n c
a np c p− ∞
∗
= =
= +∑ ∑
Informacijske mrežeO Erlangovim formulama (nast.)
� Ako sada uzmemo da je disciplina posluživanja takva da se blokirani korisnici i odbace (pn = 0 za n > c), uvrštavanjem izraza za pn u izraz za a*, nakon nekih pojednostavljenja (obavite to sami!), dobivamo:
Dakle, ponuđeni promet a bit će ujedno i obavljeni promet a* samo
[1 ]ca a p∗ = −
46
Dakle, ponuđeni promet a bit će ujedno i obavljeni promet a* samo ako je broj poslužitelja beskonačan. U stvarnosti je obavljeni promet točno onaj dio ponuđenog prometa koji nije blokiran (izgubljen) od strane sustava
� Zauzetost poslužitelja (faktor iskoristivosti) ρ je definirana kao obavljeni promet po poslužitelju u stacionarnom stanju
U telefoniji je zauzetost ρ mjera stupnja iskorištenja skupine poslužitelja (npr. pretplatničke grupe u komutacijskom sustavu)
a
cρ
∗
=
Informacijske mrežeO Erlangovim formulama (nast.)
Vidimo: ako c raste, a a* raste tako da pc ostaje konstantan, tada i ρ raste ⇒ velike grupe poslužitelja (kanala) su efikasnije od malih. U praksi je taj rezultat obično oslabljen (prvenstveno zbog hardverskih ograničenja): velike jako opterećene grupe poslužitelja su ranjivije na degradaciju posluživanja (tijekom prometnog preopterećenja) od malih grupa poslužitelja s istim blokiranjem pc ali nižom zauzetosti ρ
Primjer: slučaj za c = 1: poslužitelj alternira između stanja´zauzet` i
47
� Primjer: slučaj za c = 1: poslužitelj alternira između stanja´zauzet` i ´slobodan`; svako stanje zauzetosti traje prosječno τ (= 1/µ), a svaki slobodni interval prosječno 1/λ. Jedan ciklus se sastoji od slobodnog intervala i susjednog zauzetog intervala pa je njegova prosječna duljina 1/λ + τ, a omjer τ /(1/λ + τ) = a /(1 + a) je Erlang-B formula za c
= 1. Dakle, omjer srednjih vrijednosti τ /(1/λ + τ) pokazuje udio vremena u kojem je poslužitelj zauzet
Za izračunavanja Erlang-B formule pc= B(c,a), koristi se rekurzija:
( 1, )( , ) , (0, ) 1
( 1, )
aB c aB c a B a
c aB c a
−= =
+ −
Informacijske mrežeO Erlangovim formulama (nast.)
� Erlang-C formula: pridošli korisnik nalazi zauzete sve poslužitelje i stane u red čekanja, tj. blokirani korisnik je zakašnjen. Vjerojatnost da su svi poslužitelji zauzeti je PQ (vidi str. 4-27 do 4-31), te ako stavimo a = cρ = λ/µ u formule za red M/M/c imamo:
{ }čekanje u reduc
aP P p p
∞
= = =∑
48
� Erlang-C formula susreće se pod različitim imenima: Erlangova formula kašnjenja, Erlangova druga formula,…Također se koriste i različite oznake za pQ:
� U Europi: E2,c(a)
� U SAD: C(c,a)
0
11
0
0
{ }( 1)!( )
, 0! ( 1)!( )
čekanje u reduQ n
n c
k cc
k
P P p pc c a
a ap a c
k c c a
=−
−
=
= = =− −
= + ≤ <
− −
∑
∑
Informacijske mrežeO Erlangovim formulama (nast.)
� Za razliku od Erlang-B formule, Erlang-C formula ne vrijedi za proizvoljnu funkciju razdiobe vremena posluživanja
Opet, za razliku od Erlang-B formule, Erlang-C formula vrijedi samo u slučaju kad je ponuđeni promet a manji od broja poslužitelja c (ili ekvivalentno ρ < 1)
Erlang-C formula se ne može primijeniti kad je red čekanja (tj.
49
Erlang-C formula se ne može primijeniti kad je red čekanja (tj. spremnik) konačan. Naime, u tom slučaju, ako korisnik naiđe na puni red čekanja (puni spremnik) on će biti odbačen i izgubljen
Na osnovu definicije prenesenog prometa vidimo da je a* = a, ili ekvivalentno: iskoristivost ili zauzetost poslužitelja ρ = a*/c jednaka je intenzitetu prometa a/c (=ρ ): to je intuitivno jasno jer u Erlangovom modelu kašnjenja svi blokirani korisnici idu u red čekanja (koji je beskonačan) i na kraju su svi posluženi
Za numerička izračunavanja korisna je formula:
( , )( , )
[1 ( , )]
cB c aC c a
c a B c a=
− −