Embed Size (px)
DESCRIPTION
..
Citation preview
ФАКУЛТЕТ ЗА ЕЛЕКТРОТЕХНИКА И
ИНФОРМАЦИСКИ ТЕХНОЛОГИИ - СКОПЈЕ
Соња Геговска-Зајкова Катерина Хаџи-Велкова Санева
Матрици, детерминанти,
и редови
Скопје, 2015 год.
1
Содржина
1. Матрици и детерминанти ......................................................................... 2 1.1. Дефиниција на матрица ........................................................................................ 2 1.2. Oперации со матрици ............................................................................................ 5
1.3. Транспонирана матрица ........................................................................................ 9 1.4. Некои специјални матрици ................................................................................. 10 1.5. Матрични полиноми............................................................................................ 11 1.6. Блок-матрици ....................................................................................................... 12 1.7. Детерминанта на матрица ................................................................................... 14
1.8. Минор и алгебарски комплемент на детерминанта ......................................... 16 1.9. Пресметување вредност на детерминанта ........................................................ 18
од втор и трет ред ................................................................................................. 18
1.10. Својства на детерминантите ............................................................................... 20 1.11. Адјунгирана и инверзна матрица ....................................................................... 25 1.12. Слични матрици ................................................................................................... 30 1.13. Карактеристичен и минимален полином на матрица ..................................... 31 1.14. Векторски простори ............................................................................................ 36
1.15. Линеарна зависност на вектори ......................................................................... 39
1.16. Ранг на матрица ................................................................................................... 42 1.17. Системи линеарни равенки ................................................................................. 45
2. Бројни редови ............................................................................................... 53
2.1. Дефиниција и конвергенција на броен ред ....................................................... 53
2.2 Особини на броен ред ......................................................................................... 54
2.3 Редови со позитивни членови ............................................................................ 56
2.4. Наизменични (алтернативни) редови ................................................................ 63
2.5 Редови со произволни членови .......................................................................... 64
2.6 Производ на конвергентни редови .................................................................... 65
3. Функционални низи и редови ................................................................... 67
3.1. Функционални низи. Дефиниција и конвергенција ......................................... 67
3.2. Особини на рамномерно конвергентните низи ................................................ 69
3.3. Дефиниција и конвергенција на функционални редови .................................. 70
3.4. Особини на рамномерно конвергентни редови ................................................ 73
3.5. Степенски редови ................................................................................................ 74
3.5.1. Дефиниција и конвергенција на степенски редови................................ 74
3.5.2. Интегрирање и диференцирање на степенските редови ....................... 78
3.5.3. Развивање функции во степенски ред ..................................................... 80
3.6. Фуриеови редови ................................................................................................. 85
3.6.1. Дефиниција на Фуриеов ред .................................................................... 85
3.6.2. Теорема на Дирихле .................................................................................. 89
3.6.3. Развивање функции во Фуриеов ред ....................................................... 89
10 Развивање функции во Фуриеов ред на интервалот , .................. 89
20 Развивање функции во Фуриеов ред на интервалот ,l l .................... 93
30 Развивање функции во Фуриеов ред на интервалот ,а b ..................... 96
2
1. Матрици и детерминанти
1.1. Дефиниција на матрица
При решавањето различни проблеми во науката и техниката често пати се
среќаваме со податоци кои се опишани како конечна или бесконечна низа реални или
комплексни броеви 1 2, , ,na a a односно 1 2, , ,na a a , или пак како
правоаголна шема броеви
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a aa a a
a a a
во која има m редици и n колони (m и n не мора да бидат конечни). Очигледно е дека
секоја конечна низа може да се разгледува како правоаголна шема која има само една
редица, т.е. m=1. Понатаму ќе претпоставиме дека броевите ija во шемата се реални.
Правоаголната шема m n броеви ija , 1, 2, , ,i m 1, 2, ,j n , од облик
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a aa a a
a a a
А
се нарекува матрица од ред m n .
Матриците ги означуваме со големите букви од латинската азбука А, В, С, ...
Броевите ija , 1, 2, , , 1, 2, ,i m j n се нарекуваат елементи на матрицата А.
Елементите од матрицата 1 2, , ,i i ina a a за кои првиот индекс i е фиксен, mi ,1 ,
ја формираат i-тата редица на матрицата. Слично, елементите од матрицата
1 2, , ,ј ј mja a a за кои вториот индекс j е фиксен, nj ,1 , ја формираат j-тата
колона на матрицата Елементот ija припаѓа на i-тата редица и j-тата колона на
матрицата А.
Често пати се користи ознаката ij m na
A , при што ija е општиот елемент на
матрицата А која има m редици и n колони.
Пример. Дадени се следниве матрици:
1 24 0
A , 1 5 2 0.8 B , 2 0 3
26 5
3
C .
3
Нивните редови се 2 2, 1 4 и 2 3 , соодветно. Елементот 21 4a , а елементот 13 3c .
Елементите 1, 2 ја формираат првата редица од матрицата А, а елементите 0, 5 ја
формираат втората колона од матрицата С. ▲
Во горниот пример забележуваме дека матрицата В има само една редица.
Матриците од ред 1m ги нарекуваме вектор-редици, а матриците од ред 1 n ги
нарекуваме вектор-колони.
Ако две матрици се од ист ред, тогаш соодветни елементи се елементите кои се
наоѓаат во иста редица и иста колона во двете матрици. Така, за матриците ij m na
A
и ij m nb
B елементите ija и ijb се соодветни.
Две матрици А и В се еднакви ако имаат ист ред и ако соодветните елементи им
се еднакви.
Значи, матриците ij m na
A и ij p q
b
B се еднакви ако и само ако ,m p n q
и , 1, , , 1, ,ij ijа b i m j n .
Матрицата од ред m n , за која сите елементи се еднакви на нула, се нарекува
нулта матрица од ред m n и се означува со m nО .
На пример, 2 3 3 3
0 0 00 0 0
, 0 0 00 0 0
0 0 0
O O .
Матрицата од облик
11 12 1
21 22 2
1 2
n
nij n n
n n nn
a a aa a a
a
a a a
А која има n редици и n
колони се нарекува квадратна матрица од ред n.
За квадратната матрица од ред n често пати се користи ознаката ij na А .
Елементите ija на квадратната матрица А од ред n кај кои двата индекси се еднакви
( i j ), т.е. елементите 11 22, , , nna a a , ја формираат главната дијагонала на
матрицата.
Елементите ija на квадратната матрица А од ред n за кои 1i j n , т.е.
елементите 1 2( 1) 1, , ,n n na a a , ја формираат споредната дијагонала на матрицата.
Траг на квадратната матрица ij na А е збирот од елементите на главната
дијагонала:
1
trn
ii
i
a
А .
4
Квадратната матрица D формирана од елементите кои ја сочинуваат главната
дијагонала на квадратната матрица А на следниов начин:
11
22
0 00 0
diag ,
0 0 nn
aa
a
D А
се вика дијагонална матрица на матрицата А.
Квадратната матрица ij n nd
D таква што 0,ijd за секој , , 1,i j i ј n , а барем
еден од елементите 0, 1,iid i n , се нарекува дијагонална матрица од ред n.
Дијагоналната матрица од ред n за која сите елементи од главната дијагонала се
еднакви на 1, се вика единична матрица од ред n и се означува со nI или nE :
1 0 00 1 0
.
0 0 1
n
n
I
Воведувајќи го симболот на Кронекер 1,0,ij
i ji j
, единичната матрица можеме да ја
претставиме во облик n ij n I .
Квадратната матрица ij nr R за чиишто елементи важи: ако i j тогаш 0ijr ,
, 1,i ј n , се нарекува горно-триаголна матрица во однос на главната дијагонала.
Слично, квадратната матрица ij nl L за чиишто елементи важи: ако i j тогаш
0ijl , , 1,i ј n , се нарекува долно-триаголна матрица во однос на главната
дијагонала. Според тоа,
11 12 1 11
22 2 21 22
1 2
0 00 0
, .
0 0
n
n
n n nnnn
r r r lr r l l
l l lr
R L
Аналогно се дефинираат горно и долно-триаголни матрици во однос на споредната
дијагонала.
5
1.2. Oперации со матрици
1.2.1. Множење матрица со број
Произволна матрица ij m na
A се множи со реалниот број така што со овој број се
множат сите елементи од матрицата. Според тоа, производ на матрицата А со бројот
е матрица од ред m n чиишто елементи се елементите од матрицата А помножени
со , т.е.
.ij ijm n m na a
A
На пример, ако 2 0 36 5 1
А , тогаш 10 0 15
530 25 5
А , 4 0 6
212 10 2
А , а
2 30 . А О
1.2.2. Собирање матрици
Нека ij m na
A и ij m n
b
B . Збир на матриците А и В е матрица од ред m n
чиишто елементи се збир од соодветните елементи од матриците А и В, т.е.
.ij ij ij ijm n m n m na b a b
A B
Забележуваме дека операцијата собирање матрици е дефинирана само за матрици од
ист ред.
На пример, нека 1 02 37 12
A , 2 31 47 11
B и 2 0 30 5 1
C .
Тогаш 1 2 0 3 1 32 1 3 4 1 77 7 12 11 14 1
A B , додека збировите A C и B C не се
дефинирани.
Разлика на матриците А и В од ред m n е матрица од ред m n која се добива
како збир од матриците А и 1 B , т.е.
1 .ij ij ij ijm n m n m na b a b
A B A B
Матрицата 1 B B се нарекува спротивна матрица на матрицата В.
За матриците од примерот даден погоре 1 2 0 3 3 32 1 3 4 3 17 7 12 11 0 23
A B .
Операциите собирање матрици и множење матрица со број ги имаат следниве
особини:
6
Нека A , B и С се произволни матрици од ред m n и , . Тогаш
1о A B B A . (собирањето матрици е комутативно)
2о A B C A B C . (собирањето матрици е асоцијативно)
3о Постои нулта матрица од ред m n , така што m n m n A O O A A .
(Нултата матрица m nO е неутрален елемент во однос на собирањето матрици)
4о За секоја матрица A од ред m n постои спротивна матрица А така што
m n A A A A O .
5о A A .
6о A A A .
7о A B A B .
8о 1 A A , mxnmxnmxn OOOA ,0 .
1.2.3. Множење матрици
Велиме дека матриците m nA и p qВ се согласни ако n p , т.е. ако бројот на
колони во матрицата А е еднаков со бројот на редици на матрицата В.
Нека 1 2 kа а а е вектор-редица, а
1
2
k
bb
b
е вектор-колона. Очигледно е дека
овие две матрици се согласни. Производот на овие две матрици го определуваме на
следниов начин:
1
21 2 1 1 2 2k k k
k
bb
а а а а b а b а b
b
.
На пример,
20
1 2 4 1 1 2 2 0 4 3 1 5 15.35
Нека ij m nа
A и ij n q
b
В се две согласни матрици. Производ на матриците А
и В се добива така што се множат вектор-редиците од матрицата А со вектор-колоните
од матрицата В.
Со други зборови, производот на матриците А и В е матрица ij m qc
C така
што
1 1 2 2
1
.n
ij ik kj i j i j in nj
k
c а b а b а b а b
7
Значи, елементот ijc е збир од производите на секој елемент од i-тата редица од
матрицата А со соодветниот елемент од j-тата колона на матрицата В.
Пример 1. Нека 0 1 1 01 3 2 02 4 1 2
A и
1 0 12 1 21 0 30 2 0
B . Да ги определиме производите
A B и B A .
Матриците се согласни, бидејќи бројот на колони во матрицата А е 4, што е
еднакво со бројот на редици во матрицата В. Производот A B ќе биде матрица од ред
3 3 :
1 0 10 1 1 0
2 1 21 3 2 0
1 0 32 4 1 2
0 2 0
A B
0 1 1 2 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 2 0 1 1 2 1 3 0 0
1 1 3 2 2 1 0 0 1 0 3 1 2 0 0 2 1 1 3 2 2 3 0 0
2 1 4 2 1 1 2 0 2 0 4 1 1 0 2 2 2 1 4 2 1 3 2 0
3 1 15 3 11 .9 8 9
Од друга страна, бројот на колони во матрицата В е 3, што е еднакво со бројот на
редици во матрицата А, па производот B A ќе биде матрица од ред 4 4 :
1 0 1 2 3 2 20 1 1 0
2 1 2 5 13 2 41 3 2 0 .
1 0 3 6 11 4 62 4 1 2
0 2 0 2 6 4 0
B A ▲
Од примеров може да се заклучи дека множењето матрици не е комутативно, т.е.
во општ случај A B B A , дури и во случај кога двата производи се дефинирани.
Пример 2. За матриците
22
22A и
1 1
1 1
B важи OBA иако OA и
OB . ▲
Од примеров може да се заклучи дека во општ случај од m p A B О не следува
дека m nA О или n pB О , каде што О е нултата матрица од соодветен ред.
Нека m nA , n pB , p qC и n pD се дадени матрици. Тогаш:
1о A B C A B C (множењето матрици e асоцијативно)
2о A B D A B А D (множењето матрици е дистрибутивно од лево во
однос на собирањето матрици)
3о B D C B C D C (множењето матрици е дистрибутивно од десно во
однос на собирањето матрици)
8
4о ,n p m p r m r n A O O O A O
5о n m A I I A A .
1.2.4. Степенување матрици
Матрицата А од претходниот пример е од ред 3 4 , па производот A A не е
дефиниран. За да може една матрица да се помножи со себе таа мора да биде квадратна,
т.е. да има ист број редици и колони.
Во множеството квадратни матрици може да дефинираме операција степенување
матрици на следниов начин:
0 1, , .n n
n n A I A A A
Нека A е квадратна матрица и 0,p q . Тогаш:
1о qpqp AAA
2о pqqp
AA .
Пример 3. Нека 2 30 2
A . Да ја определиме матрицата , n nA .
За 1 2 31,
0 2n
А А .
За 2,n 2 1
2
2
4 12 2 3 2 20 4 0 2
A A A .
За 3,n 3 2
3 2
3
8 36 2 3 3 20 8 0 2
A A A .
Со математичка индукција ќе покажеме дека 12 3 2
, .0 2
n nn
n
nn
A
За ,n k k , нека 12 3 2
0 2
k kk
k
k
A (индуктивна претпоставка).
За 1n k добиваме:
11 11
1
2 3 1 22 3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 20 2 0 2 0 2 2 0 2
k kk k k k kk k
k k k
kk k
A A A .
Оттука, според принципот на математичка индукција, заклучуваме дека тврдењето е
точно за секој природен број. ▲
Забелешка. Ако сите елементи на главната дијагонала на матрицата А се меѓусебе
еднакви, тогаш за определување на nA може да се искористи биномната формула. Овој
метод е посебно погоден кога матрицата А е триаголна матрица.
Така, за матрицата од горниот пример имаме:
1 2 22 3 1 0 0 32 2 2 2 2 .
0 2 0 1 0 0 1 2
nnnn n n n nn n
A I B I B B B
9
Но 2
2
0 3 0 3 0 00 0 0 0 0 0
B O , па 2 ,2 nnOB и
1
1 11 0 0 3 2 3 22 2 2 2 .
1 0 1 0 0 0 2
n nn n n n n
n
n nn
A I B
Ако А и В се квадратни матрици од ист ред, тогаш 2 2 2 А B A AB BA B ,
што во општ случај не мора да биде еднакво со 2 22 A AB B . Јасно е дека
2 2 22 А B A AB B само ако производот на матриците А и В е комутативен.
Забелешка. Во општ случај биномната формула
1
nn k n k
k
nk
А B A B
важи само ако производот на матриците А и В е комутативен.
1.3. Транспонирана матрица
Нека е дадена матрицата
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
ij m n
m m mn
a a aa a a
a
a a a
A .
Матрицата која се добива од матрицата А со замена на местата на редиците и
колоните се вика транспонирана матрица на А и се означува со ТА . Според тоа,
11 21 1
12 22 2
1 2
.
m
m
ji n m
n n mn
a a aa a a
a
a a a
ТA
Пример. Да ја определиме транспонираната матрица на матрицата 0 1 1 01 3 2 02 4 1 2
A .
А е матрица од ред 3 4 , па нејзината транспонирана матрица ќе биде од ред 4 3 :
0 1 21 3 4
.1 2 10 0 2
TA ▲
Својства на транспонираната матрица:
1о
TT
A A , каде што А е произволна матрица.
10
2о
T T TA B A B , каде што А и В се матрици од ист ред.
3о
T TA A , каде што А е произволна матрица, а е реален (комплексен) број.
4о
T T TA B B A , каде што А и В се согласни матрици.
За да го докажеме последново својство ќе претпоставиме дека ij m na
A ,
ij n qb
B и ij m q
c
C A B , при што
1
, 1 , 1n
ij ik kj
k
c а b i m j q
.
Значи, T
T
ij ji q mc c
TA B C .
Од друга страна, нека T T
ij q md
D B A , каде што
T T T T T T T T
1 1 2 2 1 1 2 2
1
1 1 2 2
1
, 1 , 1 ,
n
ij ik kj i j i j ik kj i j i j ki jk
kn
j i j i jk ki jk ki ji
k
d b а b а b а b а b а b а b а
а b а b а b а b c i m j q
па заклучуваме дека T ,C D т.е. T T T
A B B A . ■
Користејќи го принципот на математичка индукција може да се докаже следново
тврдење кое е поопшто од својството 4:
За матриците 1 2, , , kA A A за кои е дефиниран производот 1 2 kA A A , важи
равенството
1 2 1 2 1k k k Т ТТ Т Т
A A A A A A A .
5о ,
nn n
TT
A A , каде што А е произволна квадратна матрица.
6о Секоја дијагонална матрица е еднаква на својата транспонирана матрица.
1.4. Некои специјални матрици
1. Квадратната матрица ij na A е симетрична ако T
A A , т.е. ако ij jiа a ,
},...,2,1{, nji .
2. Квадратната матрица ij na A е антисиметрична (кососиметрична) ако
TA A , т.е. ако ij jiа a , },...,2,1{, nji .
Јасно е дека кај антисиметричната матрица важи 0iiа , {1,2,..., }.i n
Забелешка. Ако ij m na
A е матрица чии елементи се комплексни броеви,
тогаш матрицата ijm n
a
се вика конјугирана матрица на матрицата А.
11
Транспонираната матрица на конјугирана матрица ijm n
a
се означува со
*ji
n ma
A .
Квадратната матрица ij na A е ермитска ако *A A , т.е. ако jiijа a ,
},...,2,1{, nji .
Квадратната матрица ij na A е антиермитска ако AA , т.е. ако jiij aa ,
},...,2,1{, nji .
3. Квадратната матрица А е ортогонална ако IAAAATT .
4. Квадратната матрица А е инволуторна ако 2 A I .
5. Квадратната матрица А е периодична ако 1 ,k k A I . Најмалиот број k за кој
важи равенството се вика период на матрицата.
6. Квадратната матрица А е идемпотентна ако 2 A А .
7. Квадратната матрица А е нилпотентна ако ,k k A O . Најмалиот број k за
кој важи равенството се вика степен на нилпотентност на матрицата.
Пример. Матрицата 1 2 2
12 1 2
3 2 2 1
A е симетрична, ортогонална и инволуторна,
матрицата 0 1 21 0 32 3 0
В е антисиметрична, а матрицата 0 1 00 0 10 0 0
C е
нилпотентна со степен на нилпотентност 3.
1.5. Матрични полиноми
Нека A е квадратна матрица и
1 2
1 2 1 0( ) , 0k k
k k k kP x a x a x a x a x a a
е полином од степен k чии коефициенти 1 1 0, , , ,k ka a a a се реални броеви.
Полиномот 1 2
1 2 1 0( ) , 0k k
k k k kP a a a a a a
А А А А А I ,
се нарекува матричен полином на матрицата A од степен k.
Пример. Нека 0 1 00 1 01 0 1
A , а 2
2( ) 2P x x x . Ќе го определиме 2 ( )P А .
12
2
2
0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0( ) 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0
1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0 00 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 .1 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 2
P
А А А I
▲
1.6. Блок-матрици
Ако матрицата ij m na
A со помош на мрежа хоризонтални и вертикални линии
се раздели на повеќе матрици, тогаш велиме дека матрицата А е блок-матрица или
матрица разбиена на блокови.
Секој блок од матрицата А е матрица од ред i jm n која ја означуваме со ijA , каде
што 1 1
,p q
i j
i j
m m n n
, така што блок-матрицата А е од облик:
11 12 1
21 22 2
1 2
q
q
p p pq
A A A
A A AA
A A A
.
Пример 1. Нека 1 2 0 02 1 0 02 2 1 1
A . Еден начин оваа матрица да ја разбиеме на блокови
е следниов:
11 12
21 22
1 2 0 01 2 0 02 1 0 02 1 0 0 .
2 2 1 1 2 2 1 1
A AA
A A ▲
Нека А и В се блок-матриците
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
,
q q
q q
p p pq p p pq
A A A B B B
A A A B B BA B
A A A B B B
,
чии што соодветни блокови ijA и ijB се матрици од ист ред. Тогаш
11 12 1
21 22 2
1 2
, ,
q
q
p p pq
A A A
A A AA
A A A
13
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
.
q q
q q
p p p p pq pq
A B A B A B
A B A B A BA B
A B A B A B
Пример 2. Нека А е блок-матрицата од пример 1, а 2 1 3 04 3 1 21 1 2 0
B . Ќе го
определиме збирот од овие две матрици, користејќи блок-матрици.
Ја разбиваме на блокови матрицата В на следниов начин:
11 12
21 22
2 1 3 02 1 3 04 3 1 24 3 1 2
1 1 2 0 1 1 2 0
B BB
B B.
Тогаш
11 11 12 12
21 21 22 22
1 2 2 1 0 0 3 02 1 4 3 0 0 1 2
2 2 1 1 1 1 2 0
3 3 3 0 3 3 3 06 4 1 2 .6 4 1 2
3 3 3 13 3 3 1
A B A BA B
A B A B
▲
Нека А и В се блок-матриците
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 21 2
,
q r
q r
q q qrp p pq
A A A B B B
A A A B B BA B
B B BA A A
,
чии што блокови се такви што бројот на колони во блокот ijA е еднаков на бројот на
редици во блокот , 1, , 1, , 1, .jk i p j q k r B Тогаш
11 12 1
21 22 2
1 2
,
r
r
p p pr
C C C
C C CA B
C C C
каде што 1
, 1, , 1, .q
ik ij jk
j
i p k r
C A B
Пример 3. Нека А е блок-матрицата од пример 1, а
11 12 13
21 22 23
2 2 0 0 12 2 0 0 11 1 0 0 21 1 0 0 2
.0 0 1 1 0 0 0 1 1 00 0 3 3 3 0 0 3 3 3
B B BB
B B B
Тогаш,
14
11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23
21 11 22 21 21 11 22 22 21 11 22 23
1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 1 2 1 0 02 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 3 2 1 2 0 0
A B A B A B A B A B A BA B
A B A B A B A B A B A B
03
2 2 0 0 0 0 1 1 1 02 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 0 0 3 3 2 3
4 4 0 0 5 4 4 0 0 55 5 0 0 4 .5 5 0 0 4
6 6 4 4 96 6 4 4 9
▲
1.7. Детерминанта на матрица
Нека е дадена квадратната матрица ,ij na n A .
За 1n , 11aA . На оваа матрица можеме да ѝ придружиме реален
(комплексен) број кој го означуваме со det A , така што
11det aA .
(Овде 11a не означува апсолутна вредност на бројот 11a и 11 11det .a a A )
За 2n , на матрицата 11 12
21 22
a аа а
A и придружуваме број
11 1211 22 12 21
21 22
det .a а
a a a aа а
A
За 3n , на матрицата 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
A и придружуваме број
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
31 32 33
det .
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
A
Забележуваме дека во секој од горните три случаи, во дефиницијата на бројот
detA има !n собироци со по n фактори кои се елементи од матрицата.
На пример, за 3n имаме 3! 6 собироци со по три фактори. Секој собирок
содржи точно по еден елемент од секоја редица и од секоја колона на матрицата.
Со цел да ја обопштиме оваа дискусија, прво ќе дефинираме неколку поими.
Пермутација 1 2, , , np p p p на броевите 1, 2, , n е кое било нивно
преуредување. На пример, 1, 4, 2, 3, 5, 7, 6p е една пермутација на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , а
пак множеството
1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 2,1, 3 , 2, 3,1 , 3,1, 2 , 3, 2,1
15
содржи шест различни пермутации на броевите 1, 2, 3 . Во општ случај, 1, 2, , n
има !n различни пермутации.
Секое отстапување од природниот редослед 1, 2, , n во дадена пермутација, се
вика инверзија на пермутацијата.
На пример, во пермутацијата 1, 4, 2, 3, 5, 7, 6p има 3 инверзии: 4 е пред 2, 4 е
пред 3 и 7 е пред 6. Со други зборови, за да се добие природниот редослед, потребни се
три замени: 4 да си го замени местото со 2, потоа 4 да си го замени местото со 3 и на
крајот 7 да си го замени местото со 6.
Пермутацијата е од парна (непарна) класа ако има парен (непарен) број
инверзии, односно ако за да се добие природниот редослед се потребни парен
(непарен) број замени.
Знак на пермутацијата p е бројот
1, ако е од парна класа
1, ако е од непарна класа
pp
p
.
На пример, знакот на пермутацијата 1, 4, 2, 3, 5, 7, 6p е 1p , бидејќи таа
има непарен број инверзии, т.е. е од непарна класа. Знакот на пермутацијата
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7p (природниот редослед) е 1p .Error! Not a valid link.
Да се вратиме на бројот det A кој го придруживме на матрицата А за 3n .
Забележуваме дека првите индекси на елементите во секој собирок се подредени во
природен редослед (1, 2, 3). Вторите индекси во секој собирок претставуваат по една
пермутација на основното множество, т.е. за вторите индекси имаме: (1, 2, 3), (2, 3, 1),
(3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3). Собироците кај кои вторите индекси на елементите
формираат пермутација од парна класа се со позитивен предзнак, а собироците кај кои
вторите индекси на елементите формираат пермутација од непарна класа се со
негативен предзнак.
Обопштувајќи ја горната дискусија, можеме да дефинираме детерминанта на
квадратната матрица ij na A .
Дефиниција. Детерминанта на квадратната матрицата А од ред n е бројот
1 2
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
det ,n
n
n
p p n p
p
n n nn
a a a
a a aD p a a a
a a a
A
при што сумирањето се врши по сите !n можни пермутации 1 2, , np p p p на
1, 2, , n , а p е знакот на пермутацијата p.
Редот на детерминантата D е еднаков со редот на матрицата А. Елементите,
редиците, колоните, дијагоналите на матрицата А, се истовремено елементи, редици,
колони, дијагонали на детерминантата D.
Анализирајќи го збирот
16
1 2
1 2 ,n
p p n p
p
p a a a (1)
можеме да ги извлечеме следниве заклучоци:
1. Секој собирок во (1) е производ од n елементи на матрицата А, при што од секоја
редица и од секоја колона се јавува точно еден елемент;
2. Собироците кои соодветствуваат на пермутации од парна (непарна) класа имаат
позитивен (негативен) предзнак;
3. Секој елемент од матрицата А се јавува како множител во 1 !n собироци.
Не е тешко да се покаже дека ако матрицата е горно или долно-триаголна во
однос на главната дијагонала, тогаш нејзината детерминанта е еднаква на производот
од елементите на главната дијагонала, т.е.
11 12 1 11
22 2 21 2211 22 11 22
1 2
0 00 0
, .
0 0
n
nnn nn
n n nnnn
r r r lr r l l
r r r l l l
l l lr
Истото важи и за детерминантата на дијагоналната матрица:
11
2211 22
0 00 0
.
0 0
nn
nn
dd
d d d
d
Aко пак, матрицата е горно или долно-триаголна во однос на споредната
дијагонала, тогаш нејзината детерминанта се пресметува на следниов начин:
11 1( 1) 1 1( 1) ( 1)
2( 1) 221 2( 1) 2 21 2( 1) 1 1 2( 1) 1
1 ( 1)1
0 000
1 , 1 .
0 0
n n nn n n n
n nnn n n n n n
n n n nnn
r r r ll lr r
r r r l l l
l l lr
1.8. Минор и алгебарски комплемент на детерминанта
Нека D е детерминанта од n-ти ред
11 12 1, 1 1, 1, 1 1
21 22 2, 1 2, 2, 1 2
1,1 1,2 1, 1 1, 1, 1 1,
,1 ,2 , 1 , , 1 ,
1,1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1,
1 2 , 1
j ј j n
j ј j n
i i i j i ј i j i n
i i i ј i ј i ј i n
i i i j i ј i j i n
n n n j n
a a a а a a
a a a а a a
a a a а a aD
а а а а а а
a a a а a a
a a a а
, , 1
.
ј n j nna a
17
Детерминантата Мij од ред 1n , која се добива сo изоставување на i-тата редица и
j-тата колона од детерминантата D, се нарекува субдетерминанта или минор на
детерминантата D за елементот aij. Според тоа,
11 12 1, 1 1, 1 1
21 22 2, 1 2, 1 2
1,1 1,2 1, 1 1, 1 1,
1,1 1,1 1, 1 1, 1 1,
1 2 , 1 , 1
.
j j n
j j n
i i i j i j i nij
i i i j i j i n
n n n j n j nn
a a a a a
a a a a a
a a a a aМ
a a a a a
a a a a a
Детерминантата
( 1)i j
ij ijA М
се нарекува алгебарски комплемент или кофактор на детерминантата D во однос
на елементот aij.
Пример 1. Нека е дадена детерминантата од трет ред 1 2 02 3 10 2 1
D
. Ќе ги
определиме субдетерминантите 22M и 13M и кофакторите 32A и 11A .
Минорот 22M го добиваме од детерминантата D со изоставување на втората
редица и втората колона, т.е.
22
1 01 1 0 0 1
0 1M
.
Аналогно, минорот 13M го добиваме од детерминантата D со изоставување на
првата редица и третата колона, т.е.
13
2 34 0 4
0 2M
.
Користејќи ја дефиницијата, за кофакторите 32A и 11A добиваме
3 2
32 32
1 01 1 1 1 0 1
2 1A M
,
1 1
11
3 11 1 3 2 5
2 1A
. ▲
Пример 2. Нека е дадена матрицата
1 1 2 12 2 1 03 0 1 01 0 3 1
A . Алгебарскиот комплемент
21A на детерминантата на матрицата А е
18
2 1 2 1
21 21
1 2 11 1 0 1 0 1 1 1.
0 3 1A М
▲
1.9. Пресметување вредност на детерминанта
од втор и трет ред
Вредноста на детерминантата од втор ред се пресметува според дефиницијата, т.е.
11 12
11 22 12 21
21 22
.a a
a a a aa a
Пример 1. Детерминантата на матрицата 1 24 0
A е
1 2
det 1 0 ( 2) 4 0 8 8.4 0
A ▲
Вредноста на детерминантата од трет ред може да се пресмета на еден од
следниве начини:
1. Правило на триаголници
Вредноста на детерминантата од трет ред е број кој се добива како збир од
производите од три елементи на детерминантата, така што од секоја редица (колона) се
зема само по еден елемент. Со знак + е производот од елементите на главната
дијагонала и двата производи од елементите кои се темиња на триаголниците чија
основа е паралелна со главната дијагонала (на шемата овие триаголници се претставени
со полна линија). Со знак – е производот од елементите на споредната дијагонала и
двата производи од елементите кои се темиња на триаголниците чија основа е
паралелна со споредната дијагонала (на шемата овие триаголници се претставени со
испрекината линија).
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
31 32 33
.
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
2 . Сарусово правило
Вредноста на детерминантата од трет ред D може да се пресмета на еден од
следниве начини:
1. На десната страна покрај детерминантата се додаваат елементите од првите две
колони. Потоа се сумираат производите од трите елементи кои лежат на главната
дијагонала и двете дијагонални паралели десно од неа (на шемата прикажани со
полна линија). Од оваа сума се одземаат производите од трите елементи кои лежат
19
на споредната дијагонала и двете дијагонални паралели десно од неа (на шемата
прикажани со испрекина линија).
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
31 32 33 31 32
.
a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
2. Правилото може да се примени и на тој начин што под детерминантата ќе се
додадат елементите од првите две редици. Потоа се сумираат производите од
трите елементи кои лежат на главната дијагонала и двете дијагонални паралели
под неа (на шемата прикажани со полна линија). Од оваа сума се одземаат
производите од трите елементи кои лежат на споредната дијагонала и двете
дијагонални паралели под неа (на шемата прикажани со испрекина линија).
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
31 32 33
11 12 13
21 22 23
.
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
a a a
Подоцна ќе наведеме и други начини за пресметување вредност на детерминанта
од трет ред, како и вредност на детерминанта од n-ти ред.
Пример 2. Да се пресмета вредноста на детерминантата
3 8 1
2 5 0
1 1 2
користејќи:
а) правило на триаголници,
б) Сарусово правило,
3 8 1
a) 2 5 0 3 5 2 8 0 1 2 ( 1) 1 1 5 1 3 0 ( 1) 8 2 2 9.
1 1 2
3 8 1 3 8
б) 2 5 0 2 5 3 5 2 8 0 1 1 2 ( 1) 1 5 1 3 0 ( 1) 8 2 2 9.
1 1 2 1 1
▲
20
1.10. Својства на детерминантите
10. Вредноста на детерминантата не се менува ако редиците ги заменат местата со
соодветните колони. Новодобиената детерминанта се нарекува транспонирана
детерминанта.
Значи, ако А е квадратна матрица, тогаш
det det . TA A
На пример, нека 11 12
21 22
a a
a a
А e квадратна матрица од втор ред. Тогаш
11 21 11 12T
11 22 12 21
12 22 21 22
det det .a a a a
a a a aa a a a
A A
20. Ако две редици или колони во детерминантата си ги заменат местата, тогаш
детерминантата го менува знакот.
На пример, ако двете редици во детерминантата од втор ред 11 12
21 22
a aD
a a си ги
заменат местата, тогаш се добива детерминантата
21 22 11 12
21 12 11 22 11 22 12 21
11 12 21 22
.a a a a
a a a a a a a a Da a a a
30. Ако две редици или колони во детерминантата се еднакви, тогаш вредноста на
детерминантата е нула.
На пример, ако двете колони во детерминантата од втор ред се еднакви, тогаш
11 11
11 21 11 21
21 21
0.a a
a a a aa a
40.
Ако елементите од една редица (колона) во детерминантата се пропорционални со
соодветните елементи од друга редица (колона), тогаш вредноста на детерминантата е
еднаква на нула.
На пример,
11 12 11 12
11 12 11 12
0, const.a a a a
a a a a
50.
Детерминанта се множи со број така што се множат со тој број сите елементи од
која било редица или колона во детерминантата. Важи и обратното, ако сите членови на
една редица или колона имаат заеднички множител, тогаш тој множител може да се
извлече пред детерминантата.
Лесно се покажува дека за детерминанта од втор ред важат следниве равенства:
21
11 12 11 12 11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22 21 22 21 22
, const .a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
60. Вредноста на детерминантата не се менува ако на елементите од една редица
(колона) се додадат соодветните елементи од друга редица (колона) помножени со ист
број.
На пример, ако на елементите од првата редица на детерминантата од втор ред се
додадат соодветните елементи од втората редица помножени со бројот , тогаш
11 21 12 22 11 12
11 21 22 12 22 21 11 22 12 21
21 22 21 22
( ) ( )a a a a a a
a a a a a a a a a aa a a a
.
70. Нека А и В се две квадратни матрици од ист ред. Тогаш
det det det . A B A B
Важи и поопшто равенство:
1 2 1 2det( ) det det detk k A A A A A A ,
каде што 1 2, , , , k kA A A се квадратни матрици од ист ред. Ставајќи
1 2 = k A A A A во последното равенство, добиваме:
det( ) (det ) , k k k A A .
80. Збирот од производите на елементите од една редица или колона со кофакторите од
соодветните елементи на друга редица или колона во една детерминанта е еднаков на
нула.
На пример, ако е дадена детерминантата од трет ред
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a a
, збирот од
производите на елементите од втората редица со кофакторите од третата редица е:
12 13 11 13 11 12
21 31 22 32 23 33 21 22 23
22 23 21 23 21 22
21 12 23 21 22 13 22 11 23 22 21 13 23 11 22 23 12 21 0.
a a a a a aa A a A a A a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Поаѓајќи од дефиницијата на детерминантата од трет ред, можеме да видиме
дека
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33
31 32 33
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31 ( ) ( ) ( )
a a a
D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
22
1 1 1 2 1 322 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
11 11 12 12 13 13
1 1 1
.
a a a a a aa a a
a a a a a a
a A a A a A
Значи, детерминантата од трет ред D е еднаква на збирот од производите на
елементите од првата редица со нивните соодветни алгебарски комплементи. Оваа
постапка е позната и како разложување на детерминантата по елементите од првата
редица. Аналогна особина важи и за елементите од произволна редица или колона, т.е.
вредноста на детерминантата D е еднаква на збирот од производите на елементите од
една редица или колона со нивните соодветни алгебарски комплементи.
Така, ако развивањето го направиме по елементите од i-тата редица, {1,2,3}i ,
вредноста на детерминантата од трет ред D ќе ја пресметаме на следниов начин:
1 1 2 2 3 3.i i i i i iD a A a A a A
Ако пак, развивањето го направиме по елементите од j-тата колона, {1,2,3}j , вред-
носта на детерминантата D ќе ја пресметаме на следниов начин:
1 1 2 2 3 3 .j j j j j jD a A a A a A
Според тоа, користејќи ја особината 80
можеме да заклучиме дека
1 1 2 2 3 3 ,i k i k i k ika A a A a A D
односно
1 1 2 2 3 3 ,i k i k i k ika A a A a A D
1,каде што .
0,ik
i k
i k
Пример 1. Да се пресмета вредноста на детерминантата
3 8 1
2 5 0
1 1 2
користејќи разложу-
вање на детерминантата по елементите од некоја редица или колона.
Детерминантата може да се разложи по елементите на која било редица или колона, но
за да имаме најмалку пресметки ќе ја разложиме по елементите од онаа редица или
колона која содржи најмногу нули, на пример по елементите од третата колона.
1 3 3 3
13 23 33
3 8 12 5 3 8
2 5 0 1 0 2 1 ( 1) 2 ( 1) 7 2 9.1 1 2 5
1 1 2
A A A
▲
Во општ случај, детерминантата од n-ти ред може да се разложи по елементите
од првата редица на следниов начин:
11 12 1
21 22 2
11 11 12 12 1 1
1 2
.
n
n
n n
n n nn
a a a
a a aD а А а А а А
a a a
23
Аналогно на детерминантите од трет ред, детерминантата од n-ти ред може да се
разложи по елементите на која било редица или колона, т.е. важи следново тврдење:
Теорема на Лаплас. Детерминантата од n-ти ред D е еднаква на збирот од
производите на елементите од која било редица или колона со нивните
соодветни кофактори, односно
1 1
n n
ij ij ij ij
i j
D a A a A
.
Уште повеќе, за , 1, 2, ,i j n , важи
1
,n
ik jk ij
k
a A D
односно
1
,n
ki kj ij
k
a A D
1,каде што .
0,ij
i j
i j
Бидејќи кофакторите (кои се детерминанти од ред 1n ) се множат со елементите
од соодветната редица (колона), при развивањето на детерминантата пожелно е да се
одбере онаа редица (колона) која има најмногу нулти елементи. Користејќи ги
својствата на детерминантите, можно е дадената детерминанта да се трансформира така
што да се добие редица, односно колона во која ќе има голем број нулти елементи.
Пример 2. Да се пресмета вредноста на детерминантата
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
13 14 15 16
D .
Ќе ја трансформираме детерминантата така што во првата колона сите елементи освен
елементот 11а да бидат еднакви на нула:
3 3 12 2 1 951 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 45 6 7 8 0 4 8 12 0 4 8 12
.9 10 11 12 9 10 11 12 0 8 16 24
13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16
R R RR R R
D
Забележуваме дека елементите од втората редица се пропорционални на соодветните
елементи од третата редица, па заклучуваме дека 0D . ▲
Користејќи ги својствата на детерминанти, детерминанта од трет ред може да се
доведе во еден од следниве триаголни облици:
11 12 13 11 11 12 13 13
22 23 21 22 21 22 22 23
33 31 32 33 31 31 32 33
0 0 0 0
0 , 0 , 0 , 0 .
0 0 0 0
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
Вредноста на горните триаголни детерминанти лесно се пресметува, и притоа важи:
24
11 12 13 11
22 23 21 22 11 22 33
33 31 32 33
0 0
0 0 ,
0 0
a a a a
a a a a a a a
a a a a
11 12 13 13
21 22 22 23 13 22 31
31 31 32 33
0 0
0 0 .
0 0
a a a a
a a a a a a a
a a a a
Аналогно важи и за детерминанта од n ред.
Пример 3. Да се пресмета вредноста на детерминантата
3 8 1
2 5 0
1 1 2
сведувајќи ја во
некоја триаголна форма.
Ќе ја сведеме детерминантата во горно-триаголна форма во однос на главната
дијагонала. За таа цел, прво на елементите од третата редица ги додаваме елементите од
првата редица помножени со 2 , ( 3 3 12R R R ), а потоа на елементите од третата
редица ги додаваме елементите од втората редица помножени со 17
5, ( 3 3 2
17
5R R R ):
3 3 2
3 3 1
172 5
3 8 1 3 8 1 3 8 19
2 5 0 2 5 0 2 5 0 5 1 9.5
1 1 2 5 17 0 90 0
5
R R RR R R
▲
Пример 4. Да се пресмета вредноста на детерминантата
1 1 2 12 2 1 03 0 1 01 0 3 1
D
.
а) Сведувајќи ја во горно-триаголна форма во однос на главната дијагонала;
б) Разложувајќи ја детерминантата по елементите од една редица или колона.
а) Ќе ја трансформираме детерминантата на следниов начин:
3 3 24 4 3
4 4 1 4 4 2
3
2
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 12 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 03 0 1 0 3 0 1 0 5 2 0 01 0 3 1 0 1 1 0 2 3 0 0
1 1 2 12 2 1 0
115 2 0 0 2 1 1 11.
2110 0 0
2
R R RR R R
R R R R R R
D
б) Ќе ја разложиме детерминантата по елементите од втората колона.
25
12 22 32 42
1 2 2 2
1 1 2 12 2 1 0
1 2 0 03 0 1 01 0 3 1
2 1 0 1 2 11 3 1 0 2 1 3 1 0 5 6 11.
1 3 1 1 3 1
D А А А А
▲
1.11. Адјунгирана и инверзна матрица
Нека е дадена матрицата ,ij na n A . Матрицата
11 21 1
Т12 22 2
1 2
adj
n
nij n
n n nn
A A AA A A
A
A A A
A ,
каде што ijA е кофакторот соодветен на елементот aij, , 1, 2, ,i j n , се
нарекува адјунгирана (присоединета) матрица на матрицата А.
За адјунгираната матрица важат следниве особини:
1о adj adj det A A A A A I ;
Навистина,
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
adj
n n
n n
n n nn n n nn
a a a A A Aa a a A A A
a a a A A A
A A
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
det 0 00 det 0
0 0 det
det .
n n n
k k k k k nk
k k kn n n
k k k k k nk
k k k
n n n
nk k nk k nk nk
k k k
a A a A a A
a A a A a A
a A a A a A
AA
A
A I
Слично се покажува и равенството adj det A A A I . ■
2o
1det adj det , det 0
n A A A .
Ова својство е последица од својството 1о. Имено, од adj det A A A I , следува дека
26
det adj det det A A A I ,
односно
det det adj det detn
A A A I .
Делејќи го последново равенство со det 0A , го добиваме бараното тврдење. ■
Нека е дадена матрицата ,ij na n A . Велиме дека матрицата А е
несингуларна (инверзибилна или регуларна) ако постои матрица ij nx X
така што
.n A X X A I
Матрицата X се нарекува инверзна матрица на матрицата А.
Понатаму, инверзната матрица на матрицата А ќе ја означуваме со 1A .
Теорема. Ако det 0A , тогаш постои единствена инверзна матрица 1A која
може да се претстави во облик
1 1adj .
det
A AA
Доказ. Нека det 0A . Видовме дека adj adj det n A A A A A I . Делејќи го ова
равенство со det A , добиваме
1 1adj adj
det detn
A A A A IA A
.
Според дефиницијата за инверзна матрица, заклучуваме дека матрицата
1adj
detX A
A
е инверзната матрица на матрицата А.
Останува уште да покажеме дека таа е единствена. Ќе претпоставиме дека
постојат две инверзни матрици X и Y, т.е.
и .n n A X X A I A Y Y A I
Го множиме првото равенство со Y од лево, а второто равенство со X од десно и
добиваме
и ,n n Y A X Y I Y Y A X I X X
од каде што следува дека X Y . ■
Нека А е несингуларна матрица, т.е. постои матрица 1A која го задоволува
условот 1 1 .n
A A A A I Тогаш, согласно својството 7о на детерминантите, важи
1 1det det det det 1.n
A A A A I
27
Оттука заклучуваме дека потребен услов матрицата А да има инверзна матрица е
det 0A и 1 1det .
det
AA
Од горната теорема заклучуваме дека условот det 0A
истовремено е и доволен услов за егзистенција на инверзната матрица.
Ако det 0A , тогаш матрицата А нема инверзна матрица и велиме дека А е
сингуларна матрица.
За инверзната матрица 1A на несингуларната матрица А важат следниве особини:
1о Ако A е несингуларна матрица, тогаш и 1
A е несингуларна матрица и важи
1
1
A A .
Навистина, бидејќи A е несингуларна матрица, важи det 0A . Од равенството 1 A A I , следува дека 1det det A A I , односно 1det det 1 A A , па 1det 0 A ,
односно 1A е несингуларна матрица.
Од равенството 1 1
n
A A A A I следува дека матрицата А е инверзна матрица
на 1A , т.е. важи
11
A A . ■
2o Ако A и B се несингуларни матрици од исти ред, тогаш и A B е несингуларна
матрица и важи
1 1 1 A B B A .
Навистина, нека A и B се несингуларни матрици, т.е. det 0A и det 0B . Тогаш и
det det det 0 A B A B , па A B е несингуларна матрица. Бидејќи важи
1 1 1 1 1
n
A B B A A B B A AIA I
и
1 1 1 1 1
n
B A A B B A A B B IB I ,
заклучуваме дека 1 1 1 A B B A . ■
Применувајќи го принципот на математичка индукција може да се покаже дека
ако 1 2, , , ,k kA A A , се несингуларни матрици од исти ред, тогаш важи
равенството
1 1 1 1
1 2 1 1 .k k k
A A A A A A
Од последното равенство, за 1 2 = k A A A A се добива
1
1 , .k
k k
A A
3о Ако A е несингуларна матрица, тогаш и Т
A е несингуларна матрица и важи
1 Т
Т 1 .
A A
Навистина, бидејќи A е несингуларна матрица, важи det 0A , па тогаш и Tdet det 0 A A , односно Т
A е несингуларна матрица.
28
Од равенствата Т Т
Т 1 1 Т
n n
A A A A I I и Т Т
1 Т 1 Т
n n
A A A A I I
следува дека матрицата Т
1A е инверзна матрица за Т
A , т.е. важи 1 Т
Т 1 .
A A
■
Пример. Да се определат инверзните матрици на матриците
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
13 14 15 16
A и 1 2 02 3 10 2 1
B .
Веќе видовме дека
1 2 3 45 6 7 8
det 09 10 11 12
13 14 15 16
A , па заклучуваме дека матрицата А е
сингуларна и не постои нејзина инверзна матрица.
Од друга страна, 1 2 0
det 2 3 1 9 00 2 1
B , што значи дека В е несингуларна матрица
и постои нејзина инверзна матрица која ќе ја определиме користејќи ја формулата
1 1adj .
det
B BB
За да ја определиме адјунгираната матрица на В, ги пресметуваме кофакторите на
сите елементи на В:
1 1
11
3 11 1 3 2 5
2 1B
,
2 1
21
2 01 1 2 0 2
2 1B
,
1 2
12
2 11 1 2 0 2
0 1B
,
2 2
22
1 01 1 1 0 1
0 1B
,
1 3
13
2 31 1 4 0 4
0 2B
,
2 3
23
1 21 1 2 0 2
0 2B
3 1
31
2 01 1 2 0 2
3 1B
,
3 2
32
1 01 1 1 0 1
2 1B
,
3 3
33
1 21 1 3 4 3 4 7
2 3B
.
Според тоа
11 21 31
12 22 32
13 23 33
5 2 2adj 2 1 1
4 2 7
B B BB B BB B B
B .
Оттука
29
15 2 2 5 2 2
1 12 1 1 2 1 1 .
9 94 2 7 4 2 7
B
▲
За секоја несингуларна матрица А се дефинираат и степени со цели негативни
експоненти на следниов начин:
1 1 1 1 , .n
n
n
n A A A A A
Од тоа што 1
11 1 1 , n n
n n
n
A A A A A A A A следува
1
1 , .n
n n n
A A A
Нека A е несингуларна матрица и ,p q . Тогаш:
1о qpqp AAA
2о pqqp
AA .
Равенките во кои непозната е некоја матрица се викаат матрични равенки. Нека
А е квадратна несингуларна матрица од ред n. Тогаш постои единствено решение на
матричната равенка
, А X B
каде што X и B се матрици од ред n m . Решението на матричната равенка е 1 . X А B
Ако
1
2
n
xx
x
X , а
1
2
n
bb
b
B , тогаш матричната равенка А X B е краток запис на
системот од n линеарни равенки со n непознати
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
.
n n
n n
n n nn n n
а x a x a x bа x a x a x b
а x a x a x b
Ако 1
1
00
0
n
n
B О , тогаш велиме дека системот од n линеарни равенки со n
непознати е хомоген и неговиот матричен облик е 1n А X О . Хомогениот систем има
најмалку едно решение, а тоа е тривијалното (нулто) решение, т.е.
1
21
1
00
0
n
n n
xx
x
X О .
30
1.12. Слични матрици
Нека Ѕ е множеството квадратни матрици од ред n и , SА B .
Матрицата А е слична со матрицата В ако постои несингуларна матрица SX ,
така што 1 .А X BX
Во продолжение, ќе наведеме неколку својства на сличните матрици:
1o Секоја матрица е слична со себе.
Навистина, X I е несингуларна матрица и 1 .А I АI ■
2о Ако матрицата А е слична со матрицата В, тогаш и матрицата В е слична со
матрицата А.
Од сличноста на матриците А и В следува дека постои несингуларна матрица SX ,
така што 1 .А X BX Ја множиме матричната равенка од десно со 1X и добиваме
1 1 АX X B .
Множејќи ја добиената равенка од лево со X , имаме 1 , XАX B односно
1
1 1
B X АX . Матрицата 1X е несингуларна, па заклучуваме дека В е слична со
матрицата А. ■
3о Ако матрицата А е слична со матрицата В и В е слична со матрицата С, тогаш А е
слична со матрицата С.
Навистина, согласно дефиницијата за сличност на матрици, постојат несингуларни
матрици , SX Y такви што 1А X BX и 1B Y CY . Тогаш
11 1 1 1 1 А X BX X Y CY X X Y C YX YX C YX .
Матрицата YX е несингуларна, па оттука заклучуваме дека А е слична со матрицата
С. ■
4о Сличните матрици имаат иста детерминанта.
Од сличноста на матриците А и В следува дека постои несингуларна матрица SX ,
така што 1 .А X BX Тогаш
1 1det det( ) det det( ) det det det A X BX B X X B I B . ■
Од последната особина следува дека две слични матрици се истовремено или
несингуларни или сингуларни.
31
1.13. Карактеристичен и минимален полином на матрица
Нека ijа А е квадратна матрица од ред n. Матрицата
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a aa a a
a a a
А I ,
каде што е параметар, се нарекува карактеристична матрица за матрицата
А.
Полиномот
detP А
A I
се вика карактеристичен полином на матрицата А.
Пример 1. Ќе го определиме карактеристичниот полином на матрицата 0 0 10 1 0 .1 0 0
А
22
3 2
0 1det 0 1 0 1 1 1 1
1 0
1.
P
А A I
▲
Јасно е дека ако А е квадратната матрица од ред n, тогаш нејзиниот
карактеристичен полином е од степен n, т.е. има облик
1
1 1 0
n n
n nP b b b b
А .
Членот со највисок степен се добива од производот на дијагоналните елементи
11 22 nna a a . Значи за коефициентот nb добиваме 1n
nb . Ако
ставиме 0 , добиваме дека 00 detP b А
A . Значи, ако 0 0P А , тогаш матрицата
е несингуларна.
Равенката 0P А се вика карактеристична равенка за матрицата А.
Корените на карактеристичниот полином на дадена матрица А, односно корените
на карактеристичната равенка 0P А , се нарекуваат карактеристични или
сопствени вредности на матрицата А.
Бидејќи карактеристичната равенка е алгебарска равенка од n-ти степен, таа има n
корени, т.е. матрицата има n сопствени вредности кои може да бидат реални или
комплексни броеви. Некои сопствени вредности може да бидат повеќекратни.
Множеството од сите различни сопствени вредности на матрицата А се вика
спектар на А и се означува со А .
32
Значи, А ако и само ако карактеристичната матрица А I е сингуларна,
т.е. det 0 А I .
Согласно дискусијата дадена погоре, ако 0 е сопствена вредност на матрицата
А, тогаш таа е сингуларна матрица, а ако 0 не е сопствена вредност на матрицата А,
тогаш таа е несингуларна матрица.
Уште повеќе, може да се покаже дека ако А е квадратна матрица од ред n и
1 2, , , n се нејзините сопствени вредности, тогаш
1 2tr n A и
1 2det n A .
Пример 2. Сопствените вредности на матрицата од пример 1 ги добиваме решавајќи ја
карактеристичната равенка 0P А , т.е.
3 2 1 0 ,
а тое се еднократната сопствена вредост 1 1 и двократната сопствена вредност
2 3 1 . Според тоа, спектарот на матрицата А е 1,1 А . Од друга страна,
1 2 3tr 1 A , а 1 2 3det 1 A . ▲
Сличните матрици имаат исти сопствени вредности.
Нека А и В се слични матрици. Тогаш, постои несингуларна матрица X така што 1А X BX . Нека е сопствена вредност на матрицата А, односно 0P
А . Тогаш
1 1 1
1 1
1
det det det
det det det det det det
det det det det
det .
P
P
А
B
A I X BX X X X B I X
X B I X X X B I
X X B I I B I
B I
Добивме дека матриците А и В имаат исти карактеристични полиноми, т.е.
P P А В , а бидејќи 0P
А , следува дека и 0P В , односно е сопствена
вредност и на матрицата В. ■
Обратното не мора да важи. На пример, матриците 3I и 1 2 40 1 10 0 1
А имаат ист
карактеристичен полином 3
31P P
А I , но А не е слична матрица со 3I ,
бидејќи ако А е слична матрица со 3I , тогаш постои несингуларна матрица X за која
важи 1 1
3 3
А X I X X X I што не е точно. ▲
Ако А е несингуларна матрица од ред n и е нејзина сопствена вредност, тогаш 1
е сопствена вредност на матрицата 1А .
Нека е сопствена вредност на несингуларната матрица А од ред n, односно
0P А . Тогаш
33
1
1 1
1 1 1
1
det det det
1 1det det det det det det
1 det det 1 det .
n
n nn n
P
P
А
А
A I А АА А I А
A I А A А I A А I
A А I A
Добивме дека 11 detn nP P
А АA . Од 0P
А следува дека произ-
водот 11 det 0n n P
АA . Јасно е дека 0 , бидејќи во спротивно det 0A , што
противречи на претпоставката дека матрицата А е несингуларна. Значи, за да биде
производот еднаков на нула, мора да важи 1 0P А
, т.е. 1
е сопствена вредност
на матрицата 1А . ■
Слично се покажува дека ако е сопствена вредност на матрицата А, тогаш k е
сопствена вредност за матрицата , k kA .
Векторот (вектор-колоната) 1 1n n X O кој ја задоволува равенката АX X или
1n А I X O , се нарекува карактеристичен или сопствен вектор на
матрицата А соодветен на сопствената вредност .
Пример 3. Ќе ги определиме сопствените вектори на матрицата од пример 1.
Сопствениот вектор соодветен на сопствената вредност 1 1 го добиваме решавајќи
ја равенката 1 1 1АX X :
1 1
2 2
3 3
0 0 10 1 0 .1 0 0
x xx xx x
,
од каде што го добиваме системот равенки
3 1 1 1
2 2 2 1
1 3 3 1
0 , ,x x x cx x x cx x x c
па бараниот сопствен вектор е 1 1 1
10 , .1
c c
X
Слично, сопствениот вектор соодветен на сопствената вредност 2 3 1 го добиваме
решавајќи ја равенката 2 2 2АX X :
1 1
2 2
3 3
0 0 10 1 0 .1 0 0
x xx xx x
,
од каде што го добиваме системот равенки
3 1 1 2
2 2 2 3 2 3
1 3 3 2
, , ,x x x cx x x c c cx x x c
па сопствениот вектор е 2
2 3 2 3 2 3
2
1 00 1 , , .1 0
cc c c c cc
X ▲
34
Теорема на Хамилтон-Кели. Секоја квадратна матрица А е корен на својот
карактеристичен полином, т.е.
P A
A О .
Пример 4. Дадена е матрицата 1 0 02 1 1 .1 1 0
А Со помош на теоремата на Хамилтон-
Кели, да се определат матриците 3 1, А А и вредноста на матричниот полином f А
ако 7 6 5 4 3 22 2 6 3 2 1f x x x x x x x x .
Прво ќе го определиме карактеристичниот полином на матрицата:
3 2det 2 1.P А
A I
Тогаш, 3 22P А
A A A I , па согласно теоремата на Хамилтон-Кели,
3 22 A A I О .
Оттука 3 21 0 0
2 6 3 22 2 1
A A I .
Матрицата А е несингуларна, бидејќи det 0 1 0P А
A , па постои 1A . Равенката
3 22 0 A A I ја множиме со 1A и добиваме
2 12 A A A О ,
односно 1 21 0 0
2 1 0 13 1 1
A A A .
Делејќи го полиномот 7 6 5 4 3 22 2 6 3 2 1f x x x x x x x x со карактерис-
тичниот полином 3 22 1P x x x А , добиваме количник 4 22 1g x x x x и
остаток 2r x x x , односно
f x g x P x r x A .
Оттука, за матричниот полином f А имаме
f g P r A
A A A A .
Но, од теоремата на Хамилтон-Кели следува дека P A
A О , па
22 0 05 3 20 2 1
f r
A A A A . ▲
Ако за полиномот m A важат следниве тврдења:
- коефициентот пред највисокиот степен на m A е еднаков на 1,
- m A
А О , т.е. матрицата А е корен на полиномот m A ,
35
- полиномот m A
го има најмалиот можен степен од степените на сите
полиноми чијшто корен е матрицата А,
тогаш m A се нарекува минимален полином на матрицата А.
Лесно може да се покаже дека секоја квадратна матрица има само еден минимален
полином. Покрај тоа, минималниот полином m A
го дели без остаток секој полином
g чијшто корен е матрицата А ( т.е. за кој важи 0g A ). Како последица од ова
може да се заклучи дека минималниот полином m A го дели без остаток
карактеристичниот полином на матрицата А. Поради тоа, минималниот полином го
бараме меѓу делителите на карактеристичниот полином.
Пример 5. Ќе го определиме минималниот полином на матрицата
1 0 0 00 2 0 0
.0 0 2 10 0 0 2
А
Прво ќе го определиме карактеристичниот полином на матрицата А, а потоа ќе ги
најдеме неговите делители. Минималниот полином ќе биде еднаков на оној делител кој
има најмал степен и чијшто корен е матрицата А.
3 3
1 0 0 00 2 0 0
det 1 2 1 2 .0 0 2 10 0 0 2
P
АA I
Делители на овој полином се полиномите: 2
1 , 2 , 1 2 , 2 ,
2 3 2
1 2 , 2 , 1 2 и 3
1 2 .
Почнувајќи со делителот со најмал степен, проверуваме дали матрицата А е негов
корен. Така, за полиномот 1 добиваме
0 0 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1
A I О .
Слично се проверува дека 2
2 , 2 , 2 A I О A I A I О A I О . За поли-
номот 2
1 2 добиваме дека 2
2 A I A I О , па заклучуваме дека
минималниот полином на матрицата А е 2 3 21 2 5 8 4m
A . ▲
36
1.14. Векторски простори
Нека А, В и С се произволни множества.
Бинарна операција од множеството А В во множеството С е правило според
кое на секој елемент од множеството А В му се придружува единствен елемент од
множеството С.
На пример, ако А В С , собирањето реални броеви е бинарна операција од
во , но ако А В , а С , тогаш собирањето реални броеви не е бинарна
операција од во , бидејќи збирот на два реални броја не мора да биде цел број.
Нека V е непразно множество објекти, а К е полето реални броеви или полето
комплексни броеви . Во нашата понатамошна дискусија ќе сметаме дека К .
Во множеството V воведуваме бинарна операција собирање, што ја означуваме со ,
така што на секоја подредена двојка елементи , , , Vx y x y , и придружуваме
единствен елемент од множеството V означен со x y .
Воведуваме уште една бинарна операција од множеството K V во множеството
V и ја нарекуваме множење на елемент од V со скалар, така што на секоја подредена
двојка , , V, К x x и придружуваме единствен елемент од множеството V
означен со x или x .
Множеството V се нарекува векторски или линеарен простор над полето К,
ако за сите , , Vx y z и за сите , К важи:
А1. V x y ;
А2. x y z x y z ;
А3. x y y x ;
А4. Постои единствен елемент Vθ , така што x θ θ x x ;
А5. За секој вектор Vx , постои единствен вектор 1 V x , така што 1 1 x x x x θ ;
М1. V x ;
М2. x y x y ;
М3. x x x ;
М4. x x ;
М5. 1 x x , каде што 1 е единичниот елемент на полето К.
Во тој случај, елементите од множество V ги нарекуваме вектори или точки,
елементите од полето К скалари, операцијата + во множеството V е собирање
вектори, а операцијата , x x е множење вектор со скалар.
Ако во равенството М2 ставиме x y , добиваме дека за секој скалар К важи:
θ θ .
Слично, ако во равенството М3 ставиме 1 , а 1 , добиваме дека за
произволен вектор Vx важи:
0 . x x x θ
Елементот θ велиме дека е нулти вектор на векторскиот простор V.
37
Пример 1. Множеството од сите подредени n-торки реални броеви 1 2, , , ,nа а а
,iа 1,i n , го означуваме со n . Нека 1 2 1 2, , , , , , ,n nx x x y y y x y се
произволни елементи од n , а е произволен реален број.
Во n дефинираме операции собирање и множење со скалар на следниов начин:
1 1 2 2, , ,def
n nx y x y x y x y ,
1 2, , ,def
nx x x x .
Ќе покажеме дека множеството n е векторски простор. За таа цел проверуваме дали
важат својствата А1 до А5 и М1 до М5 за операциите дефинирани погоре. Избираме
произволни вектори , , nx y z и произволни скалари и .
А1. 1 1 2 2 1 2, , , , , , , , 1,n
n n n i i ix y x y x y z z z z x y i n x y ;
2 1 1 2 2 1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
А . , , , , , ,
, , ,
, , , ;
n n n
n n n
n n n
x y x y x y z z z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z
x y z
А3. 1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , ,n n n nx y x y x y y x y x y x x y y x ;
А4. Постои единствен вектор (0, 0, , 0) n
n
0 , така што
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
, , , (0, 0, , 0) 0, 0, , 0 ;
(0, 0, , 0) , , , 0 , 0 , , 0 , , , .
n n
n
n n n
n
x x x x x x
x x x x x x x x x
x 0 x
0 x x
Според тоа, нултиот вектор во n е (0, 0, , 0).
n
0
А5. За секој вектор 1 2, , , n
nx x x x , постои единствен вектор
1 2, , , n
nx x x x , така што
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
, , , , , , , , , ;
, , , , , , , , , ;n n n n
n n n n
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x 0
x x 0
М1. 1 2, , , , , 1,n
n ix x x x i n x ;
2 1 1 2 2 1 2 21
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
М . , , , , , ,
, , ,
, , , , , ,
, , , , , , ;
n n n n
n n
n n
n n
x y x y x y x y x y x y
x y x y x y
x x x y y y
x x x y y y
x y
x y
3 1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
М . , , , , , ,
, , ,
, , , , , ,
, , , , , , ;
n n
n n
n n
n n
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x
x x
4 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
М . , , , , , ,
, , , , , ,
, , , ;
n n
n n
n
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x
38
М5. 1 2 1 2 1 21 1 , , , 1 ,1 , ,1 , , ,n n nx x x x x x x x x x x .
Според тоа, множеството од сите подредени n-торки реални броеви n е
векторски простор над полето , а секоја подредена n-торка реални броеви
претставува вектор во n . ▲
Пример 2. Нека C 0,1 е множеството од сите функции дефинирани и непрекинати на
сегментот 0,1 . Дефинираме операции собирање функции и множење функција со
реален број на следниов начин:
0,1 , ( ) ( ) ( ),
( ) ( ),
def
def
x f g x f x g x
f x f x
каде што f и g се произволни функции од C 0,1 , а е произволен реален број.
Ќе покажеме дека множеството C 0,1 е векторски простор над полето од
реалните броеви, при што нултиот вектор е функцијата ( ) 0, 0,1x x .
Избираме произволни функции , , C 0,1f g h и произволни скалари и . За секој
0,1x важи:
А1. ( ) ( ) ( ) C 0,1f g x f x g x ;
2А . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );
f g h x f g x h x f x g x h x
f x g x h x f x g h x f g h x
А3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );f g x f x g x g x f x g f x
А4. Постои единствена функција 0,1C , така што 0,1 , ( ) 0x x и притоа
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( );
( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( );
f x f x x f x f x
f x x f x f x f x
Според тоа, нултиот вектор во просторот C 0,1 е функцијата ( ) 0x .
А5. За секоја функција вектор C 0,1f , постои единствена функција C 0,1f ,
така што 0,1 , ( )( ) ( )x f x f x и притоа
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( );
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( );
f f x f x f x f x f x x
f f x f x f x f x f x x
М1. ( ) ( ) C 0,1f x f x ;
2М . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( );
f g x f g x f x g x f x g x
f x g x f g x
3М . ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( );
f x f x f x f x
f x f x f f x
4М . ( ) ( ) ( ) ( ) ( );f x f x f x f x f x
М5. 1 ( ) 1 ( ) ( )f x f x f x .
Оттука заклучуваме дека множеството од сите непрекинати функции на сегментот
0,1 е векторски простор над полето . ▲
39
Пример 3. Слично како во горните два примери, може да се покаже дека множеството
матрици од ред m n со операциите собирање матрици и множење матрица со скалар е
векторски простор над полето скалари К. ▲
1.15. Линеарна зависност на вектори
За векторите 1 2, , , nx x x од векторскиот простор V велиме дека се линеарно
зависни ако постојат скалари 1 2, , , n , од кои барем еден е различен од
нула и притоа важи:
1 1 2 2 n n x x x θ , (1)
каде што θ е нултиот вектор на векторскиот простор V.
За векторите 1 2, , , nx x x од векторскиот простор V велиме дека се линеарно
независни ако равенството 1 1 2 2 n n x x x θ важи само кога
1 2 0n .
Векторот 1 1 2 2 n n x x x се нарекува линеарна комбинација од
векторите 1 2, , , nx x x со скалари 1 2, , , n .
Ако барем еден од векторите 1 2, , , nx x x е еднаков на нултиот вектор на
векторскиот простор V, тогаш тие се линеарно зависни вектори. Навистина, нека на
пример, 1 x θ . Тогаш
1 21 0 0 n x x x θ ,
т.е. важи равенството (1), при што коефициентот 1 1 0 .
Векторите 1 2, , , nx x x се линеарно зависни ако и само ако еден од нив може да
се претстави како линеарна комбинација од останатите вектори.
Навистина, нека 1 2, , , nx x x се линеарно зависни. Тогаш постојат скалари
n ,,, 21 од кои барем еден е различен од нула, така што важи
1 1 2 2 .n n x x x θ
Нека 1 0. Тогаш 321 2 3
1 1 1
nn
x x x x .
Обратно, нека векторот 1x може да се претстави како линеарна комбинација од
векторите 2 3, , , nx x x , т.е.
1 2 2 3 3 n n x x x x .
Оттука се добива 1 2 2 3 31 n n x x x x θ . Коефициентот пред 1x е различен
од нула, па заклучуваме дека векторите 1 2, , , nx x x се линеарно зависни. ■
40
Пример 1. Ќе провериме дали векторите 1, 1, 1 , 2, 1, 1 , 1, 5, 4 x y z од
векторскиот простор 3 се линеарно зависни. За таа цел ја формираме нивната
линеарна комбинација и ја изедначуваме со нултиот вектор, x y z 0 , т.е.
1, 1, 1 2, 1, 1 1, 5, 4 0, 0, 0 .
Оттука го добиваме системот
2 0
5 0
4 0
,
чиешто решение е 0 . Според тоа, векторите се линеарно независни. ▲
Ако во векторскиот простор V постојат n линеарно независни вектори, а секое
множество од 1n вектор е линеарно зависно, тогаш велиме дека векторскиот
простор е n димензионален, а бројот n е димензија на просторот.
Нека X е конечен систем од m вектори од векторскиот простор V. Бројот 0 r m
се нарекува ранг на системот вектори X и пишуваме rangr X ако
- Во системот X има r линеарно независни вектори,
- Секој систем од 1r вектори од X е линеарно зависен систем.
Со други зборови, ранг на системот вектори X е максималниот број линеарно
независни вектори во X .
Нека 1 2, , , kА е е е , каде што 1 2, , , kе е е се вектори од векторскиот простор
V. Велиме дека множеството А е генератор на векторскиот простор V ако секој
вектор од V може да се претстави како линеарна комбинација од векторите на
множеството А. Множеството од сите линеарни комбинации од овие вектори се
нарекува линеарна обвивка на А и се означува со L A .
Според тоа, 1 1 2 2 , K, 1, .k k iL А i k x x е е е
Множеството В од линеарно независни вектори од векторскиот простор V е база на
просторот V ако VL B .
Со други зборови, ако векторите 1 2, , , nx x x се линеарно независни и го
генерираат просторот V, тогаш тие претставуваат база на векторскиот простор.
Теорема. Секој вектор од векторскиот простор V на единствен начин може да се
претстави како линеарна комбинација на векторите од базата на тој простор.
Доказ. Нека 1 2, , , kB е е е е база на векторскиот простор V. Значи VL B , па
секој вектор Vx може да се претстави како линеарна комбинација на векторите од
базата, т.е. 1 1 2 2 , K, 1,k k i i k x е е е . Останува уште да покажеме дека
ова претставување е единствено. Ќе претпоставиме дека постојат две претставувања на
векторот x како линеарна комбинација на векторите од базата В:
41
1 1 2 2 1 1 2 2, , , K, 1,k k k k i i i k x е е е x е е е .
Одземајќи ги двете равенки, добиваме
1 1 1 2 2 2 ,k k k е е е θ
а оттука, заради линеарната независност на векторите од базата, следува дека
1 1 2 20, 0, , 0,k k
односно 1 1 2 2, , , k k . ■
Од секој генератор на векторскиот простор може да се избере база. Векторскиот
простор има бесконечно многу различни бази и сите тие содржат ист број вектори. Ако
просторот е n-димензионален, тогаш секоја негова база содржи точно n вектори. Оттука
заклучуваме дека секое множество од m n вектори во n-димензионалниот простор е
множество линеарно зависни вектори. Од друга страна, секое множество линеарно
независни вектори е или база на просторот или е дел од некоја база на тој простор.
Секоја база на векторскиот простор се нарекува координатен систем на тој
простор.
Нека 1 2, , , kB е е е е една база на векторскиот простор V. Видовме дека секој
вектор Vx може да се претстави како линеарна комбинација на векторите од базата,
т.е.
1 1 2 2 ,k kx x x x е е е
каде што K, 1,ix i k се еднозначно определени скалари. Значи, ако е дадена базата
В, тогаш векторот x е еднозначно определен со скаларите 1 2, , , kx x x кои се
нарекуваат координати на векторот, а векторот може да се претстави во матричен
облик
T
1 2 kx x xx .
Пример 2. Видовме дека множеството n од сите подредени n-торки реални броеви
1 2, , , ,nа а а ,iа 1,i n , со операциите собирање вектори и множење вектор со
скалар дефинирани погоре, претставува векторски простор. Една база на овој векторски
простор е множеството 1 2, , , nе е е , каде што
1 21, 0, , 0 , 0,1, , 0 , , 0, 0, ,1 .n е е е
Оваа база е позната како природна база на просторот n . Секој вектор од n на
единствен начин може да се претстави како линеарна комбинација на векторите од оваа
база:
1 2 1 1 2 2, , , n n nx x x x x x x е е е . ▲
Пример 3. Да го разгледаме множеството реални функции ( ) , 0,1, 2,kf x x k односно
множеството 21, ,А x x , x . Ова множество е линеарно независно, бидејќи за
секој x важи: 2
0 1 21 0a a x a x само ако 0 1 2 0a a a . Неговата линеарна
обвивка е множеството од сите полиноми чиј степен е помал од 3, т.е.
42
2
0 1 2 0 1 2, , ,L A p p x a a x a x a a a .
Во ова множество воведуваме операции собирање полиноми и множење полином со
број на следниов начин:
( ) ( ) ( ), ( ) ( ),p q x p x q x p x p x .
Лесно се проверува дека L A со овие операции е векторски простор над полето на
реалните броеви. Нулата на овој векторски простор е полиномот кој е идентички
еднаков на нула. Бидејќи база на овој простор е множеството 21, ,А x x , заклучуваме
дека векторскиот простор составен од сите полиноми чиј степен е помал од 3 има
димензија 3.
Овој резултат лесно може да се обопшти на множеството степенски функции
( ) , 0,1, ,kf x x k n и да се покаже дека тоа е база на векторскиот простор од сите
полиноми чиј степен е помал или еднаков на n. ▲
1.16. Ранг на матрица
Нека е дадена матрицата ij m na
A , ija , 1, 2, , ,i m 1, 2, ,j n , т.е.
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a aa a a
a a a
А .
Редиците во оваа матрица ги означуваме со 1* 2* *, , , mA A A , а нејзините колони со
*1 *2 *, , , nA A A . Тогаш, матрицата А може да се запише во облик
1*
2**1 *2 *
*
n
m
А
АА А А А
А
.
Очигледно е дека 1* 2* *, , , mA A A е систем од m вектори, а *1 *2 *, , , nA A A е систем од
n вектори. Видовме дека ранг на систем вектори е максималниот број линеарно
независни вектори во тој систем. Согласно оваа дефиниција, можеме да дефинираме
ранг на матрица по редици кој се означува со редициr А и ранг на матрица по
колони кој се означува со колониr А на следниов начин:
редици 1* 2* * редициrang , , , , 0mr r m А A A A А ,
или
колони *1 *2 * колониrang , , , , 0nr r n А A A A А .
За секоја матрица ij m na
A важи редици колониr rА А .
Максималниот број линеарно независни редици, односно колони, во матрицата
ij m na
A се нарекува ранг на матрицата А и се означува со r А .
43
Значи, редици колониr r r А А А .
Се поставува прашањето како може да се определи рангот на дадена матрица. За
да одговориме на ова прашање, прво ќе дефинираме неколку поими.
Елементарни трансформации на редиците, односно колоните на една матрица А
се:
1. Замена на i-тата радица (колона) со j-тата редица (колона), ( i jR R ),
2. Множење на елементите од i-тата редица (колона) со број различен од нула,
( , 0i iR R ),
3. Додавање на елементите од i-тата редица (колона), претходно помножени со
произволен број, на соодветните елементи од j-тата редица (колона),
( j j iR R R ).
Секоја ненулта матрица, со примена на елементарните трансформации на
редиците, се сведува на редично-скалеста форма ако се исполнети следниве услови:
- Ако редицата *iA содржи само нулти елементи, тогаш сите редици под *iA
содржат исто така само нулти елементи,
- Ако првиот ненулти елемент во редицата *iA е во j-тата колона, тогаш сите
елементи под i-тата редица во колоните *1 *2 *, , , јA A A се еднакви на нула.
Ако елементарните трансформации се применуваат на колоните од матрицата,
при што за колоните на новодобиената матрица се задоволени горните услови, тогаш
матрицата се сведува на колонично-скалеста форма.
На пример, матрицата
* * * * * *0 * * * * *0 0 0 * * *0 0 0 0 * *0 0 0 0 0 0
е сведена на редично-скалеста форма.
Првиот ненулти елемент во секоја редица се нарекува водечки елемент.
Може да се покаже дека рангот на матрицата не се менува со нејзиното сведување
во редично, односно колонично-скалеста форма.
Оттука, рангот на матрицата е еднаков на бројот на ненулти редици, односно
колони, во соодветната матрица сведена во редично, односно колонично-скалеста
форма.
Пример 1. Да го определиме рангот на матрицата
2 1 1 21 3 3 11 4 4 30 0 1 2
A .
Прво ќе ја сведеме матрицата во редично-скалеста форма:
44
2 2 1
3 3 11 2
3 3 2 3 4
22 1 1 2 1 3 3 1 1 3 3 11 3 3 1 2 1 1 2 0 7 7 41 4 4 3 1 4 4 3 0 7 7 40 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2
1 3 3 1 1 3 3 10 7 7 4 0 7 7 4
.0 0 0 0 0 0 1 20 0 1 2 0 0 0 0
R R RR R RR R
R R R R R
A
Забележуваме дека во редично-скалестата форма на матрицата А има 3 ненулти редици,
па заклучуваме дека 3r A . ▲
Нека е дадена матрицата ij m na
A , ija , 1, 2, , ,i m 1, 2, ,j n , т.е.
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a aa a a
a a a
А .
Ако се земат k редици и k колони од матрицата А се добива детерминанта од k-ти ред,
која се нарекува минор (субдетерминанта) од k-ти ред за матрицата А. Редот на
минорот кој е различен од нула и е со најголем ред (т.е. најголем број редици и колони)
се нарекува ранг на матрица по минори и се означува со минориr А .
Пример 2. Да го определиме рангот на матрицата
3 0 2
1 1 3
4 1 5
А по минори.
Единствен минор од трети ред е
3 0 2
det 1 1 3 0
4 1 5
А . Од тоа што 3 0
3 01 1
,
следува дека постои минор од втори ред кој е различен од нула, па минори 2r А . ▲
Се покажува дека редици колони минориr r r r А А А А . Тоа значи дека ако
r rА , тогаш меѓу сите минори на матрицата А постои барем еден од r-ти ред
различен од нула, а сите други минори со ред поголем од r се нули.
Ако А е несингуларна квадратна матрица од ред n, т.е. det 0A , тогаш минор кој
е различен од нула и е со најголем ред е det A , па заклучуваме дека r nA . Ако пак
А е сингуларна квадратна матрица од ред n, т.е. det 0A , тогаш .r nA
Пример 3. Да го определиме рангот на матрицата
3 8 1
2 5 0
1 1 2
А .
45
Бидејќи матрицата е несингуларна, т.е.
3 8 1
det 2 5 0 9 0
1 1 2
A , заклучуваме дека
3r A .
До истиот резултат ќе дојдеме и ако ја трансформираме матрицата во редично-
скалеста форма:
2 2 1
3 3 21 3 3 3 1
2 11
3 7
3 8 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 5 0 2 5 0 0 7 4 0 7 4
1 1 2 3 8 1 0 11 5 90 0
7
R R RR R R
R R R R R
А .
По сведувањето на матрицата А во редично-скалеста форма, бројот на ненулти редици
е еднаков на 3, па заклучуваме дека 3r A . ▲
1.17. Системи линеарни равенки
Нека е даден системот од m линеарни равеки со n непознати:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
, , , 1, , 1, .
n n
n nij i
m m mn n m
а x a x a x bа x a x a x b
а b i m j n
а x a x a x b
(1)
Решение на системот (1) е секоја подредена n-торка реални броеви 1 2, , , nx x x
која идентички ги задоволува сите равенки во системот.
Системот (1) може да се запише во матричен облик:
Аx b ,
каде што
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn m n
а а аа а а
а а а
А е матрица на системот, векторот
1
2
n
xx
x
x е
вектор на непознатите, а векторот
1
2
m
bb
b
b е вектор на слободните членови.
Матрицата С од ред 1m n која се добива од матрицата А на која и е додаден
векторот на слободните членови како 1n . колона, се нарекува проширена матрица
на системот и се означува со 1m n
C А b .
Системот (1) е согласен или конзистентен ако има барем едно решение.
46
Ако 1mb О , тогаш системот 1mАx О се нарекува хомоген систем. Хомогениот
систем е согласен. Едно негово решение е тривијалното (нултото) решение
1 2 0nx x x .
Ако пак, 1mb О , тогаш системот се нарекува нехомоген систем.
1.17.1. Формули на Крамер
Ќе разгледаме прво случај кога матрицата А е квадратна ( m n ) и несингуларна,
т.е. det 0A . Тогаш постои нејзината инверзна матрица 1А . Матричната равенка
Аx b ја множиме од лево со 1А и добиваме
1x А b ,
или
11 21 1 11 1 21 2 11 1
2 12 22 2 2 12 1 22 2 2
1 2 1 1 2 2
1 1,
det det
n n n
n n n
n mn n nn n n nn n
А A A А b A b A bx bx A A A b А b A b A b
x bA A A А b A b A b
A A
каде што ijA е алгебарскиот комплемент соодветен на елементот aij, , 1, 2, ,i j n .
Оттука добиваме дека
1
1, 1, .
det
n
i ji j
j
x A b i n
A
(2)
Со iА ја означуваме матрицата која се добива од матрицата А кога во неа елементите
од i-тата колона ќе се заменат со елементите на векторот b, т.е.
11 12 1, 1 1 1, 1 1
21 22 2, 1 2 2, 1 2
1 2 , 1 , 1
i i n
i i n
i
n n n i n n i nn
a a a b a a
a a a b a a
a a a b a a
А .
За да ја пресметаме детерминантата на оваа матрица, ќе ја разложиме по елементите од
i-тата колона, со што добиваме
1 1 2 2
1
det , 1, .n
i i i ni n ji j
j
A b A b A b A b i n
A
Според тоа, заклучуваме дека решението на системот (1) е
det, 1, .
det
iix i n
A
A
Овие формули се познати како формули на Крамер за решавање систем од n
линеарни равенки со n непознати.
Значи, ако det 0A , тогаш системот од n линеарни равенки со n непознати има
единствено решение кое е дадено со Крамеровите формули.
Ако det 0A , а барем една од детерминантите det 0i A , тогаш системот
равенки е противречен, т.е. нема решение. Но, ако det 0A и det 0i A за сите
47
1,i n , тогаш Крамеровите формули, во општ случај, не даваат одговор на прашањето
за решливоста на дадениот систем равенки.
Како специјален случај ќе го разгледаме системот од три линеарни равенки со три
непознати.
Ако 1 2 3det det det det 0 A A A A и барем еден кофактор од втор ред на det A
е различен од нула, тогаш една равенка од системот е последица од другите две, па
системот има бесконечно многу решенија и велиме дека е неопределен.
Ако пак, 1 2 3det det det det 0 A A A A и сите кофактори од втор ред на det A
се еднакви на нула, тогаш можни се следниве два случаи:
1. две равенки од системот се последица од третата, па системот има бесконечно
многу решенија, т.е. системот е неопределен.
2. системот нема решение, т.е. системот е противречен.
Навистина, нека претпоставиме дека 11 0a и ставаме 21 11a a и 31 11.a a Од
условот сите кофактори од втор ред на det A да се еднакви на нула, следува дека
22 12 23 13,a a a a и 32 12 33 13,a a a a , т.е.
11 21 12 22 13 23: : : 1:a a a a a a и 11 31 12 32 13 33: : : 1:a a a a a a .
Ако 2 1b b и 3 1b b , т.е. 11 21 12 22 13 23 1 2: : : : 1:a a a a a a b b и
11 31 12 32 13 33 1 3: : : : 1:a a a a a a b b (ако првата равенка се помножи со се
добива втората равенка, а ако првата равенка се помножи со се добива третата
равенка од системот). Значи, втората и третата равенка се последица од првата, па
системот има бесконечно многу решенија.
Ако пак, 2 1b b или 3 1b b , тогаш системот нема решение. ■
Пример 1. Користејќи детерминанти да се решат следниве системи линеарни равенки:
а)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6
2 5
2 2
x x x
x x x
x x x
, б)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 1
2 5 1
2
x x x
x x x
x x x
, в)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4
4 2 2 5
6 3 3 10
x x x
x x x
x x x
,
г)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4
4 2 2 8
6 3 3 12
x x x
x x x
x x x
, д)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 5
2 2
4 2 2 3
x x x
x x x
x x x
.
а) За детерминантата на системот добиваме
1 1 1
det 1 1 2 3 0
1 2 1
A , од каде следува
дека системот има единствено решение. За детерминантите 1det A , 2det A и 3det A
добиваме
48
1
6 1 1
det 5 1 2 3
2 2 1
A , 2
1 6 1
det 1 5 2 6
1 2 1
A , 3
1 1 6
det 1 1 5 9
1 2 2
A ,
па од формулите на Крамер имаме 31 21 2 3
detdet det1, 2, 3.
det det detx x x
AA A
A A A
Значи решението на системот е подредената тројка 1, 2, 3 .
б) 1 2 3det det det det 0 A A A A , и 11
1 23 0
2 1A , па следува системот има
бесконечно многу решенија (една равенка е последица на другите две равенки). На
пример, ако се соберат првата и третата равенка се добива втората равенка на системот.
Со тоа системот се сведува на систем од две равенки со три непознати
1 2 3
1 2 3
2 4 1
2
x x x
x x x
, од каде две од непознатите можат да се изразат преку третата
непозната, на пример 1 32 1x x и 2 3 1x x . Значи решението на системот е
множеството подредени тројки 3 3 32 1, 1, ,x x x 3 .x
в) 1 2 3det det det det 0 A A A A и 2: 4:6 1: 2:3 4:5:10 , па следува системот
нема решение, т.е. е противречен. До овој заклучок се доаѓа и директно ако забележиме
дека првата и втората равенка се противречни.
г) 1 2 3det det det det 0 A A A A и 2: 4:6 1: 2:3 4:8:12 , па следува системот
има бесконечно многу решенија (две равенки се последица од другите две). До овој
заклучок се доаѓа и директно од системот ако забележиме дека првата равенка
помножена со 2 ја дава втората равенка, а првата равенка помножена со 3 ја дава
третата равенка. Со тоа системот се сведува на една равенка со три непознати
1 2 32 4x x x , од каде една од непознатите може да се изрази преку останатите две
непознати, на пример 321 2
2 2
xxx . Значи решението на системот е множеството
подредени тројки 322 32 , , ,
2 2
xxx x
2 3, .x x
д) det 0A , но 1det 21 0 A , па системот нема решение. ▲
Користејќи ги Крамеровите формули, можеме да заклучиме дека хомогениот
систем линеарни равенки, за кој det 0A , има само тривијално решение
1 2 0nx x x . Ако пак det 0A , тогаш хомогениот систем ќе има бесконечно
многу решенија.
Пример 2. Користејќи детерминанти да се решат следниве хомогени системи:
а)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
2 5 3 0
3 4 2 0
x x x
x x x
x x x
, б)
1 2 3
1 2 3
1 2
0
3 2 0
3 0
x x x
x x x
x x
.
49
а) det 3 0 A , па следува дека системот има само тривијално решение
1 2 3 0x x x .
б) det 0A , па системот има бесконечно многу решенија 3 3 3
3 1, , ,
4 4x x x
3 .x ▲
Формулите на Крамер имаат повеќе теоретско отколку практично значење,
бидејќи при нивната примена треба да се пресметаат 1n детерминанта од n-ти ред.
Затоа тие не се користат при решавање системи за кои 4n .
1.17.2. Гаусов метод на елиминација
Го разгледуваме системот од n линеарни равеки со n непознати:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
, , , 1, , 1, ,
n n
n nij i
n n nn n m
а x a x a x bа x a x a x b
а b i n j n
а x a x a x b
кој може да се претстави во матричен облик
Аx b ,
каде што каде што
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
а а аа а а
а а а
А ,
1
2
n
xx
x
x и
1
2
m
bb
b
b .
Претпоставуваме дека системот има единствено решение, т.е. det 0А .
Гаусовиот метод на елиминација (метод на последователно исклучување на
непознатите) се базира на примената на елементарните трансформации на редиците од
матрицата А со цел системот Аx b да се трансформира во триаголен систем
Rx c ,
каде што каде што
11 12 1
22 20
0 0
n
n
nn
r r rr r
r
R , а
1
2
n
cc
c
c .
Триаголниот систем се решава сукцесивно поаѓајќи од последната равенка. Имено,
1
1, , 1,1.
nn
n i i ji j
j inn ii
cx x c r x i n
r r
Коефициентите 0iir , бидејќи по претпоставка системот има единствено решение, па
матрицата R е несингуларна, т.е. 11 22det 0nnr r r R .
50
Пример 3. Да се реши системот линеарни равенки
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 2 3
2 3 2 2 2
2 2 0
3 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
приме-
нувајќи го Гаусовиот метод на елиминација.
Ќе го сведеме системот Аx b во триаголен систем, применувајќи елементарни
трансформации по редиците на проширената матрица на системот:
2 2 1
3 3 1
4 4 1
4 3 34 4 2
2
6
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
2 3 2 2 2 0 1 4 2 4
1 2 2 1 0 0 0 1 1 3
1 3 1 2 1 0 1 2 0 2
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
0 1 4 2 6 0 1 4 2 6
0 0 1 1 3 0 0 1 1
0 0 6 2 6 0 0 0 8
R R R
R R R
R R R
R R RR R R
C А b
.3
24
Така, го добивме триаголниот систем
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
2 3 2 3
4 2 6
3
8 24
x x x x
x x x
x x
x
.
Поаѓајќи од последната равенка, добиваме 4 3x . Заменувајќи ја оваа вредност во
третата равенка, се добива 3 0x . Заменувајќи ги добиените вредности за 3x и 4x во
втората равенка, ја пресметуваме вредноста на 2 2x и конечно, од првата равенка
добиваме дека 1 1x . Според тоа, решение на дадениот систем е векторот
1203
x , т.е.
подредената четворка 1, 2, 0, 3 . ▲
1.17.3. Теорема на Кронекер-Капели
Се враќаме на системот од m линеарни равеки со n непознати:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
, , , 1, , 1, ,
n n
n nij i
m m mn n m
а x a x a x bа x a x a x b
а b i m j n
а x a x a x b
51
односно
Аx b ,
каде што
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn m n
а а аа а а
а а а
А е матрицата на системот, векторот
1
2
n
xx
x
x е
вектор на непознатите, а векторот
1
2
m
bb
b
b е вектор на слободните членови. Со С ја
означуваме проширената матрица на системот, т.е. 1m n
C А b .
Теорема на Кронекер-Капели. Системот од m линеарни равеки со n непознати (1)
има решение (е согласен) ако и само ако рангот на матрицата на системот е
еднаков со рангот на проширената матрица на системот, т.е.
r rА C .
Ако r r r А C и n r , тогаш системот има единствено решение, т.е.
постои само една n-торка реални броеви 1 2, , , nx x x која е решение на
системот.
Ако r r r А C и n r , тогаш системот има бесконечно многу решенија,
т.е. има n r степени на слобода или е n r -кратно неопределен.
Ако r rА C , тогаш системот нема решение, т.е. е противречен.
Пример 4. Да се решат системите линеарни равенки:
а)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 5
0
2 3
2 3 5
x x x
x x x
x x x
x x x
, б)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2
2 2 2 2
2 4
x x x x
x x x x
x x x x
, в)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2
2 1
3 2 2 2 0
x x x x
x x x x
x x x x
.
а) Применуваме елементарни трансформации по редици на проширената матрица на
системот за да ја сведеме во редично-скалеста форма:
2 2 1
3 3 1
4 4 1 4 4 22
1 2 2 5 1 2 2 5 1 2 2 5
1 1 1 0 0 3 1 5 0 3 1 5.
1 2 1 3 0 0 1 2 0 0 1 2
2 1 3 5 0 3 1 5 0 0 0 0
R R R
R R R
R R R R R R
C А b
Очигледно е дека бројот на ненултите редици и во матрицата А и во матрицата С по
нивното сведување во редично-скалеста форма е еднаков, односно 3r r r А C .
Согласно теоремата на Кронекер-Капели заклучуваме дека системот има решение. Од
52
друга страна, системот има 4m равенки со 3n непознати, па, 3r n . Според тоа,
единственото решение е векторот 112
x , т.е подредената тројка 1,1, 2 .
б) По сведување на проширената матрица на системот во редично-скалеста форма, се
добива:
2 2 1
3 3 1 3 3 2
21 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
2 2 1 2 2 0 0 1 0 2 0 0 1 0 2 .
1 1 2 1 4 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0
R R R
R R R R R R
C А b
Бројот на ненултите редици и во матрицата А и во матрицата С по нивното сведување
во редично-скалеста форма е еднаков, т.е. 2r r r А C . Согласно теоремата на
Кронекер-Капели заклучуваме дека системот има решение. Од друга страна, системот
има 3m равенки со 4n непознати. Значи, n r , а бидејќи 2n r , системот има
два степени на слобода и има бесконечно многу решенија од облик
1
21 2
1 2
, ,2
xx
x x
x x
x . ▲
в) По сведување на проширената матрица на системот во редично-скалеста форма, се
добива:
2 2 1
3 3 1 3 3 2
2
31 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
2 1 1 1 1 0 1 1 1 3 0 0 1 0 2 .
3 2 2 2 0 0 1 1 1 6 0 0 0 0 3
R R R
R R R R R R
C А b
Забележуваме дека, по сведувањето на матриците во редично-скалеста форма, бројот на
ненултите редици во матрицата на системот А е еднаков на 2, а бројот на ненултите
редици во проширената матрица на системот С е еднаков на 3. Значи,
2 3r r А C . Согласно теоремата на Кронекер-Капели заклучуваме дека
системот нема решение. ▲
Ако системот од n линеарни равеки со n непознати (1) е хомоген, видовме дека
тој има решенија различни од тривијалното ако и само ако детерминантата на системот
е еднаква на нула, т.е. ако матрицата на системот е сингуларна.
Јасно е дека за хомогениот систем од m линеарни равеки со n непознати
1mАx O важи r rА C , па од теоремата на Кронекер-Капели следува дека тој
секогаш има решение. Ако n r А тогаш системот има само тривијално решение, а
ако n r А , системот има бесконечно многу решенија.
53
2. Бројни (нумерички) редови
2.1. Дефиниција и конвергенција на броен ред
Нека е дадена низата од реални броеви 1 2, , , ,na a a . Изразот
1
21
n
nn aaaa
се вика броен ред.
Бројот na се нарекува општ член на редот
1n
na .
Ја разгледуваме низата nS со општ член
n
k
knn aaaaS1
21 . Сумата nS
од првите n членови на редот се нарекува n-та парцијална сума, а nS се нарекува
низа од парцијалните суми. Нејзините членови се:
nn aaaS
aaS
aS
21
212
11
.
Ако постои гранична вредност RS на низата nS кога n , т.е.
RSSn n
lim , тогаш велиме дека редот конвергира. S се нарекува сума (збир)
на конвергентниот ред
1n
na и означуваме San
n
1
.
Ако пак, граничната вредност на низата nS кога n е или , или не
постои, тогаш велиме дека редот дивергира.
Значи испитувањето на конвергенцијата на даден ред се сведува на испитување на
конвергенција на низата од неговите парцијални суми.
Пример 1. Ќе испитаме конвергенција на геометрискиот ред
n
n
n qqqq 2
0
1 , Rq .
За 1q важи q
qqqqS
nn
n
1
11 12 . Од граничната вредност
54
0, 1
, 1lim .
1, 1
не постои, 1
n
n
q
q
q
следува
1 ,постои не
1 ,
1 ,1
1
1
1limlimnn
q
q
q
qS
n
n .
За 1q , добиваме nSn
n 111 , па nSn
nnlimlim . Заклучуваме дека
1 ,дивергира
1 ,конвергира
0 q
n
n.
Во случај кога 1 q , сумата на редот
0n
nq е q1
1, т.е. важи
n
n
1
1
0
. ▲
Пример 2. Редот
nnn
1
3
1
2
11
1
1
се вика хармониски ред бидејќи секој
член е хармониска средина од соседните членови, т.е. за секој 2n важи
2
11
1 11
nn
n
aa
a. n-та парцијална сума на овој ред e
nSn
1
3
1
2
11 . Се покажува
дека низата nS не е Кошиева, од каде следува дека не е конвергентна. Според тоа,
редот
1
1
n n дивергира. ▲
Многу често определувањето на израз за n-та парцијална сума nS на даден броен
ред е тешко, па затоа со користење на дефиницијата не може да се определи дали редот
е конвергентен или дивергентен. Поради тоа, постојат тврдења кои даваат потребни или
доволни услови за конвергенција на даден броен ред кои се познати како критериуми
за конвергенција. Со овие критериуми се определува дали даден ред е конвергентен
или дивергентен, но со нив не се определува сумата на конвергентниот ред.
2.2. Особини на броен ред
10. Ако редот
1n
na конвергира и San
n
1
, тогаш редот
1n
nca ( 0c е константа)
конвергира и важи cScan
n
1
, т.е.
11 n
n
n
n acca .
20. Ако редовите
1n
na и
1n
nb конвергираат и 1
1
San
n
и 2
1
Sbn
n
, тогаш редот
1n
nn ba конвергира и важи 21
1
SSban
nn
, т.е.
111 n
n
n
n
n
nn baba .
55
30. Ако даден ред е конвергентен, тогаш е конвергентен и редот што се добива со
додавање или со изоставување конечен број членови на тој ред.
Доказот на првите три особини следува директно од дефиницијата за конвергенција
на броен ред и особините на бројни низи.
Од третата особина следува дека за испитување конвергенција на даден ред, не е
битно од кој број почнува индексот n. Нагласуваме дека, за разлика од конвергентните
низи каде што со додавање или изоставување конечен број членови, границата на
низата не се менува, оваа постапка кај конвергентни редови може битно да ја промени
сумата на редот.
За редот
1n
na велиме дека е ограничен од горе (од долу) ако низата од неговите
парцијални суми nS е ограничена од горе (од долу), т.е. ако постои реален број
M ( m ) таков што MSn ( mSn ), за секој Nn .
За редот
1n
na велиме дека е ограничен ако низата од неговите парцијални суми
nS е ограничена, т.е. ако постои реален број 0M таков што MSn , за секој
Nn .
4
0. Секој конвергентен ред е ограничен.
Доказ. Нека редот
1n
na е конвергентен. Тогаш низата од неговите парцијални суми
nS конвергира. Поради тоа што секоја конвергентна низа е ограничена, следува дека
низата nS е ограничена. Според тоа, редот
1n
na е ограничен. ■
50. (Потребен услов за конвергенција) Ако редот
1n
na конвергира, тогаш 0limn
na .
Доказ. Нека
1n
na конвергира и San
n
1
. Тогаш SSS nn
nn
1limlim , па
0limlim 1nn
SSSSa nnn .
■
Обратното тврдење на особина 5 не важи. На пример, за хармонискиот ред
1
1
n n
важи 01
limlim n
an
nn
, но сепак тој не е конвергентен ред (пример 2).
Пример 3. Редот
1
2
n
n дивергира бидејќи не е задоволен потребниот услов за конвер-
генција, т.е.
2limlim nan
nn
. Исто така, редот
1
1n
n дивергира бидејќи не постои
граничната вредност nn
nn
a 1limlim
. ▲
56
2.3. Редови со позитивни членови
Редот
1n
na за кој 0na , Nn се нарекува ред со позитивни членови.
Редот со позитивни членови конвергира ако и само ако е ограничен од горе.
Доказ. Нека редот со позитивни членови
1n
na конвергира. Според особина 4 следува
дека тој е ограничен.
Обратно, нека редот со позитивни членови
1n
na е ограничен од горе. Тогаш низата
од неговите парцијални суми nS е ограничена од горе. Оваа низа е и строго монотоно
растечка бидејќи важи
naaaaaaaaaa 221321211 , т.е.
nSSSS 321 .
Поради тоа што секоја монотоно растечка низа која е ограничена од горе е
конвергентна, следува дека низата nS е конвергентна. Според тоа, редот
1n
na е
конвергентен. ■
Пример 4. Ќе покажеме дека редот
1
1
n n конвергира за 1 .
За секое Nn важи 12 nn . Бидејќи редот е со позитивни членови, за неговата
низа од парцијални суми nS важи:
11
112
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1 1
)12(
1
2
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1 1
нн
nнn nSS
.
2
1
2
1
2
1
2
1 1
2
2
4
4
2
2 1
1
11
1
1
2
111
1
n
n
н
н
н
Во последното неравенство ја користевме особината на редовите со позитивни членови,
според која секоја парцијална сума е помала или еднаква од сумата на редот. Редот 1
112
1
n
n
е конвергентен геометриски ред бидејќи 12
10
1
q (пример 1) и
неговата сума е 12
21
1
. Заклучуваме дека низата од парцијални суми nS е ограни-
57
чена од горе, од каде следува дека редот
1
1
n n е ограничен од горе. Според тоа,
дадениот ред е конвергентен. ▲
Критериум со споредба (метод на мајорирање)
Нека
1n
na и
1n
nb се редови со позитивни членови и нека nn ba за секој
0nn ( Nn 0 ).
1) Ако редот
1n
nb конвергира, тогаш и редот
1n
na конвергира.
2) Ако редот
1n
na дивергира, тогаш и редот
1n
nb дивергира.
Доказ. Според особината 3, конечен број членови не влијае на конвергенцијата на
редот, па без губење на општоста можеме да земеме дека 10 n , т.е. nn ba , Nn .
1) Нека редот
1n
nb конвергира и Bbn
n
1
. Нека nA е низата од парцијални суми за
редот
1n
na . Тогаш важи
BbbaAk
k
n
k
k
n
k
kn
111
,
од каде следува дека низата nA е ограничена од горе. Според тоа, редот
1n
na е
ограничен од горе, па следува дека тој конвергира.
2) следува директно од 1) според законот за контрапозиција. ■
Пример 5. Ќе покажеме дека редот
1
1
n n дивергира за 1 .
Бидејќи Nn , од 1 следува дека nn , т.е. nn
11
, Nn . Според крите-
риумот со споредба, од дивергенцијата на хармонискиот ред
1
1
n n (пример 2) следува
дивергенција и на редот
1
1
n n за 1 . ▲
Од примерите 2, 4 и 5 следува дека за конвергенцијата на редот
1
1
n n, R
познат како хиперхармониски ред (обопштен хармониски или Риманов ред) важи:
1 ,дивергира
1 ,конвергира1
1
n n.
58
Пример 6. Ќе ја испитаме конвергенцијата на редот
1 2
1
nn n
.
Од тоа што 1n , следува дека nn n 22 , т.е. nn n 2
1
2
1 , Nn . Според
критериумот со споредба, од конвергенцијата на редот
1 2
1
nn
(геометриски ред со
12
1q ) следува конвергенција и на редот
1 2
1
nn n
. ▲
Критериум со количник
Нека
1n
na и
1n
nb се редови со позитивни членови. Ако постои граничната
вредност 0lim
kb
a
n
n
n, k R , тогаш редовите имаат иста природа, т.е. двата
реда се конвергентни, или двата реда се дивергентни.
Доказ. Од 0lim
kb
a
n
n
n следува дека за секој реален број 0 , постои природен број
0n , така што за секој 0nn важи kb
a
n
n , т.е. kb
ak
n
n . Бидејќи 0nb
добиваме nnn bkabk )()( за секој 0nn .
Од неравенството nn bka )( и од критериумот со споредба следува: ако
редот
1n
nb конвергира, тогаш и редот
1n
na конвергира, а ако редот
1n
na дивергира,
тогаш и редот
1n
nb дивергира.
Слично, од неравенството nn abk )( и од критериумот со споредба следува: ако
редот
1n
na конвергира, тогаш и редот
1n
nb конвергира, а ако редот
1n
nb дивергира,
тогаш и редот
1n
na дивергира. Заклучуваме дека двата реда имаат иста природа. ■
Пример 7. Ќе ја испитаме конвергенцијата на редот
12 1
1
n nn.
Бидејќи 1
1
2
nnan избираме
32/3
11
nnbn . Тогаш
011
lim1
1
1
limlim2
3
n
3
2
nn
nn
n
n
nn
b
a
n
n .
59
Бидејќи редот
12/3
1
n n е конвергентен (хиперхармониски ред со 1
2
3 ), па според
критериумот со количник следува дека и редот
12 1
1
n nn конвергира. ▲
Претходните два критериуми овозможуваат испитување на конвергенцијата на
даден ред со позитивни членови преку негова споредба со ред чија природа е позната.
Наредните критериуми овозможуваат да се испита конвергенцијата на даден ред со
користење само на дадениот ред.
Критериум на Даламбер
Нека
1n
na е ред со позитивни членови и нека постои граничната вредност
Ra
a
n
n
n
1lim .
Тогаш важи:
1) ако 1 , тогаш редот е конвергентен,
2) ако 1 , тогаш редот е дивергентен,
3) ако 1 , тогаш овој критериум не дава одговор.
Пример 8. Ќе ја испитаме конвергенцијата на редот
1 2
1
nn n
.
Бидејќи n
ann
2
1 , имаме
2
1
)1(2lim
2
1
)1(2
1
limlimn
1
n
1
n n
n
n
n
a
a
n
n
n
n . Од тоа
што 1 следува дека дадениот ред конвергира. ▲
Критериум на Коши
Нека
1n
na е ред со позитивни членови и нека постои граничната вредност
Rann
n
lim .
Тогаш важи:
1) ако 1 , тогаш редот е конвергентен,
2) ако 1 , тогаш редот е дивергентен,
3) ако 1 , тогаш овој критериум не дава одговор.
Пример 9. Ќе испитаме конвергенција на редот
1
2
11
2
1
n
n
n n.
Општиот член на дадениот ред е
2
11
2
1n
nnn
a
, па имаме
60
e
nna
n
n
n
nn
n2
111
2
1lim
11
2
1limlim
nnn
2
.
Бидејќи 1 следува дека дадениот ред дивергира. ▲
Критериум на Рабе
Нека
1n
na е ред со позитивни членови и нека постои граничната вредност
Ra
an
n
n
n
1lim1
.
Тогаш важи:
1) ако 1 , тогаш редот е конвергентен,
2) ако 1 , тогаш редот е дивергентен,
3) ако 1 , тогаш овој критериум не дава одговор.
Се покажува дека критериумот на Рабе е поопшт од критериумот на Даламбер.
Поради тоа, критериумот на Рабе може да даде одговор за конвергенцијата на даден ред
во случај кога критериумот на Даламбер не дава резултат, како што покажува следниов
пример.
Пример 10. Ќе ја испитаме конвергенцијата на редот
1 !)!2(
!)!12(
n n
n.
Општиот член на дадениот ред е !)!2(
!)!12(
n
nan
, па имаме
1
22
12lim
!)!2(
!)!12(
!)!22(
!)!12(
limlimnn
1
n n
n
n
n
n
n
a
a
n
n .
Бидејќи 1 следува дека критериумот на Даламбер не дава одговор.
Од тоа што 12
1
12lim1
12
22lim1lim
1
n
n
n
nn
a
an
nnn
n
n и од критериумот
на Рабе следува дека редот
1 !)!2(
!)!12(
n n
n дивергира. ▲
Интегрален критериум на Маклорен-Коши
Нека )(xf е непрекината, позитивна и монотоно опаѓачка функција на
интервалот ),1[ и нека )(nfan , Nn . Тогаш редот
1n
na е конвергентен
ако и само ако е конвергентен интегралот
1
)( dxxf .
61
Доказ. Од монотоноста на функцијата )(xf следува неравенството:
,2,1 ],1,[ ),()()1( kkkxkfxfkf ,
од каде добиваме
,2,1 ],1,[ ,)()()1(
111
kkkxdxkfdxxfdxkf
k
k
k
k
k
k
, т.е.
,2,1 ),()()1(
1
kkfdxxfkf
k
k
.
За 1,,2,1 nk ги добиваме неравенствата
)1()()(
)2()()3(
),1()()2(
1
3
2
2
1
nfdxxfnf
fdxxff
fdxxff
n
n
со чие собирање добиваме
)1()2()1()()()3()2(1
nfffdxxfnfff
n
, т.е.
121
1
32 )( n
n
n aaadxxfaaa . (*)
Нека редот
1n
na е конвергентен и RSan
n
1
. Од десната нееднаквост во (*)
следува SSdxxfdxxf nn
n
n
lim)(lim)(11
, од каде заклучуваме дека интегралот
1
)( dxxf е конвергентен.
Обратно, нека несвојствениот интеграл
1
)( dxxf е конвергентен и RIdxxf
1
)( . Од
левата нееднаквост во (*) добиваме
Iadxxfaaaa
n
n 1
1
121 )( .
62
Според тоа, n-та парцијална сума на редот
1n
na е ограничена од горе, од каде
заклучуваме дека редот
1n
na е конвергентен. ■
Забелешка. Во случај кога испитуваме конвергенција на редот
0nn
na , Nn 0 ,
проверуваме конвергенција на интегралот
0
)(n
dxxf .
Пример 11. Ќе ја испитаме конвергенцијата на редот
2
ln
n nn
n.
Ја разгледуваме функцијата xx
xxf
ln)( на интервалот ),2[ . Јасно е дека оваа
функција е непрекината (точка на можен прекин е ),2[00 x ), позитивна
( 0ln
)( xx
xxf , ),2[ x ) и монотоно опаѓачка ( 0
ln2
31
)('2
xx
x
xf , ),2[ x )
на интервалот ),2[ . Според интегралниот критериум, испитувањето на
конвергенцијата на дадениот ред се сведува на испитување конвергенција на
несвојствениот интеграл
2
lndx
xx
x.
.2
14
2
2ln2
2
14
14
2
2ln2
ln2lim
14
ln2lim
12
ln2lim
2
lnln
limln
22
222/3
22
BB
B
xx
x
dxxxx
x
xvdxxdv
x
dxduxu
dxxx
xdx
xx
x
B
BB
B
BB
B
B
B
Заклучуваме дека интегралот
2
lndx
xx
x конвергира, па следува дека и редот
2
ln
n nn
n
конвергира. ▲
Забелешка. Нека
1n
na е ред со негативни членови, т.е. важи 0na , Nn . Тогаш
nn ba , 0nb , па добиваме
11 n
n
n
n ba . Според тоа, испитувањето на конвер-
генцијата на редот
1n
na се сведува на испитување конвергенција на редот со
позитивни членови
1n
nb .
63
Забелешка. Истите резултати како за ред со позитивни членови важат и за редови со
ненегативни членови
1n
na , 0na , Nn , т.е. редови за кои некои членови се
еднакви на нула. Слично и за редови со непозитивни членови
1n
na , 0na , Nn .
2.4. Наизменични (алтернативни) редови
Редот
1 11
321
1
1
n
n
n
n
naaaaa , 0na , Nn
се нарекува наизменичен или алтернативен ред.
Критериум на Лајбниц
Ако 0lim
nn
a и низата na монотоно опаѓа, тогаш редот
1
11
n
n
na
конвергира.
Пример 12. Ќе ја испитаме конвергенцијата на хармонискиот наизменичен ред
1
1
n
n
n.
Низата со општ член n
an
1 е монотоно опаѓачка бидејќи важи nn a
nna
1
1
11 ,
Nn . Исто така, 01
limlim n
an
nn
, па според критериумот на Лајбниц следува
конвергенција на редот
1
1
n
n
n. ▲
Пример 13. Ќе ја испитаме конвергенцијата на редот
1
11
n
n
n
n.
Од критериумот на Лајбниц не добиваме одговор за конвергенцијата на дадениот
ред бидејќи 011
lim
n
n
n.
Општиот член на дадениот ред е n
na
n
n
11
. Од тоа што
12
12lim
2
121limlim
2
2
n
n
n
na
n
n
nn
n, и
122
32lim
22
321limlim
12
12
n
n
n
na
n
n
nn
n
следува дека не постои nn
a
lim . Бидејќи не е задоволен потребниот услов за
конвергенција, заклучуваме дека редот
1
11
n
n
n
n дивергира. ▲
64
2.5. Редови со произволни членови
Нека
1n
na е ред чиј членови се со произволни знаци. Редот
1n
na е ред со
ненегативни членови за кои можат да се применат критериумите за конвергенција од
поглавје 4.3. Затоа е важна врската меѓу конвергенцијата на редовите
1n
na и
1n
na
дадена во следново тврдење:
Ако редот
1n
na конвергира, тогаш конвергира и редот
1n
na .
Доказ. Нека редот
1n
na конвергира. Ставаме nnn aab . Бидејќи за секој реален
број x важи xx , следува неравенството nnnn aaab 20 . Заклучуваме дека
редот
1n
nb е со ненегативни членови. Бидејќи редот
11
22n
n
n
n aa е конвергентен,
од критериумот со споредба следува дека и редот
1n
nb е конвергентен. Од тоа што
1111 n
n
n
n
n
nn
n
n ababa следува дека редот
1n
na е разлика на два
конвергентни реда, па според особина 2 од поглавје 4.2. следува дека редот
1n
na е
конвергентен. ■
Ако редот
1n
na конвергира, тогаш велиме дека редот
1n
na апсолутно
конвергира. Ако пак, редот
1n
na дивергира, а редот
1n
na конвергира, тогаш
велиме дека редот
1n
na е условно конвергентен (семиконвергентен) ред.
Од претходното тврдење следува дека ако редот е апсолутно конвергентен тогаш е и
конвергентен. Јасно, ако редот е дивергентен, тогаш е и апсолутно дивергентен.
Согласно горната дефиниција, ако редот е конвергентен, но не е апсолутно
конвергентен, тогаш тој е семиконвергентен ред.
Пример 14. Во пример 12 покажавме дека редот
1
1
n
n
n е конвергентен ред, но тој не
е апсолутно конвергентен бидејќи хармонискиот ред
11
11
nn
n
nn е дивергентен
65
(пример 2). Според тоа, редот
1
1
n
n
n е семиконвергентен. ▲
Пример 15. Ќе ја испитаме конвергенцијата на редот
1
1
2
1
nn
n
n.
Прво ќе ја испитаме апсолутната конвергенција на дадениот ред, т.е.
конвергенцијата на редот
1 2
1
nn n
. Во пример 8 покажавме дека редот
1 2
1
nn n
е
конвергентен. Значи
1
1
2
1
nn
n
n е апсолутно конвергентен ред, па од последното
тврдење следува дека тој е и конвергентен ред. ▲
Се поставува прашањето за кои редови важи комутативниот и асоцијативниот
закон. Одговорот е даден во следниве тврдења.
Ако редот е конвергентен, тогаш и редот добиен со произволно групирање на
неговите членови е исто така конвергентен со иста сума како и првобитниот ред,
т.е. за конвергентните редови важи асоцијативниот закон.
Обратното тврдење не важи. На пример,
1) редот )11()11()11( е конвергентен и важи
0 )11()11()11( .
2) редот )11()11(1 е конвергентен и важи
1)11()11(1 .
додека редот
n
n
n11111
1
е дивергентен (пример 3).
Ако редот е апсолутно конвергентен, тогаш редот добиен со разместување на
неговите членови е исто така апсолутно конвергентен ред со иста сума како и
првобитниот ред, т.е. комутативниот закон важи само за апсолутно
конвергентните редови.
2.6. Производ на конвергентни редови
Нека
1n
na и
1n
nb се дадени редови. Тогаш редот
1n
nc каде што
1
1
1121
kn
n
k
knnnn babababac , Nn
се вика Кошиев производ на редовите
1n
na и
1n
nb .
Формирањето на редот
1n
nc може да се види нагледно од следнава шема:
66
1c 2c 3c
1a 2a 3a
1b 11ba 12ba 13ba ...
2b 21ba 22ba 23ba ...
3b 31ba 32ba 33ba ...
... ... ... ... ...
Се поставува прашањето под кои услови производот на два конвергентни реда е
повторно конвергентен ред. Одговорот го дава следното тврдење:
Нека
1n
na и
1n
nb се конвергентни редови со суми A и B, соодветно и нека
барем еден од нив е апсолутно конвергентен ред. Тогаш и нивниот производ
1n
nc е конвергентен ред со сума BAC , т.е. важи
1
1
111 n
kn
n
k
k
n
n
n
n baba .
Забелешка. Ако индексот n почнува од 0, тогаш се добива формулата
0 000 n
kn
n
k
k
n
n
n
n baba
Претпоставката дека барем еден од конвергентните редови
1n
na и
1n
nb треба да
биде апсолутно конвергентен за при нивното множење да се добие конвергентен ред е
битна, како што покажува и следниов пример.
Пример 15. Редот
1
11
n
n
n не е апсолутно конвергентен бидејќи редот
1
1
n n не е
конвергентен (хиперхармониски ред со 12
1 ). Со критериумот на Лајбниц се
покажува дека овој ред е конвергентен. Производот на редот
1
11
n
n
n сам со себе е
редот
1n
nc каде што
nnn
bababac n
nnnn
1
12
11)1( 1
1121 .
Од тоа што 1111
n
n
nnnnnncn следува дека 0lim
n
nc , па
заклучуваме дека редот
1n
nc дивергира. ▲
67
3. Функционални низи и редови
3.1. Функционални низи. Дефиниција и конвергенција
Низата од реални функции од една реална променлива ),( , ),(),( 21 xfxfxf n се
нарекува функционална низа и се означува )(xfn .
Пример 1. nx е функционална низа чии членови се ,,, 32 xxx , а членовите на
функционалната низа nxsin се ,3sin,2sin,sin xxx . ▲
За функционални низи се дефинираат следниве видови конвергенција:
- точкаста конвергенција (конвергенција по точки) или обична конвергенција, и
- рамномерна (униформна) конвергенција.
Ако секоја од функциите ),( , ),(),( 21 xfxfxf n е дефинирана за некој реален број
0xx , тогаш можеме да ја формираме низата од реални броеви
),( , ),(),( 00201 xfxfxf n .
Ако бројната низа ),( , ),(),( 00201 xfxfxf n конвергира, тогаш велиме дека
функционалната низа )(xfn конвергира во точката 0xx . Функционалната низа
)(xfn е конвергентна на множеството RD , ако за секое Dx 0 бројната низа
)( 0xfn е конвергентна. Множеството RD од сите точки за кои функционалната
низа )(xfn конвергира, се нарекува област на конвергенција на низата )(xfn , а
функцијата )(xf дефинирана на D на следниов начин:
Dxxfxf nn
000 ),(lim)(
се нарекува граница на конвергентната низа )(xfn . Според погоре изнесеното,
следува следнава дефиниција за овој вид конвергенција позната како точкаста
конвергенција (конвергенција по точки) или обична конвергенција.
Функционалната низа )(xfn точкасто конвергира на множеството RD кон
функција )(xf ако се исполнети следниве услови:
1. функциите ),( , ),(),( 21 xfxfxf n и )(xf се дефинирани на D и,
2. за секое Dx бројната низа )(xfn конвергира кон )(xf , т.е. за секое
Dx и за секој реален број 0 , постои природен број N кој зависи од x и
(понатаму означуваме ,xN ) така што )()( xfxfn кога ,xNn .
Пишуваме )()(lim xfxfnn
, Dx или )()( xfxfn , Dx кога n .
68
Пример 2. Ќе ја испитаме точкастата
конвергенција на функционалната низа
nx .
Од тоа што за произволно Rx 0 се
добива бројната низа nx0 за која важи
0
0 0
0
0, ( 1,1)
lim 1, 1 .
дивергира, ( 1,1]
n
n
x
x x
x
Заклучуваме дека бројната низа nx0 конвергира на интервалот ]1,1( , па следува дека
функционалната низа nx точкасто конвергира на интервалот ]1,1( кон функцијата
1 ,1
)1,1( ,0)(
x
xxf . ▲
Функционалната низа )(xfn рамномерно (униформно) конвергира на
множеството DE кон функцијата )(xf ако за секој реален број 0 , постои
природен број N кој зависи од (понатаму означуваме N ) така што за секое
Ex важи )()( xfxfn кога Nn . Пишуваме )()(limр.к.
xfxfnn
, Ex
или )()( xfxfn , Ex кога n .
Геометриски дефиницијата на рамномерна конвергенција можеме да ја толкуваме на
следниов начин. Ако )()(limр.к.
xfxfnn
, Ex , тогаш за секој реален број 0 , постои
природен број N така што за секое Ex важи )()()( xfxfxf n ,
Nn , т.е. сите функции )(xf n за кои Nn се наоѓаат во појасот меѓу
функциите )(xf и )(xf .
69
Се покажува дека од рамномерната конвергенција на функционална низа на
множество E следува негова точкаста конвергенција на истото множество E .
Обратното не важи како што покажува следниот пример.
Пример 3. Ќе ја испитаме точкастата конвергенција на функционалната низа
n
x.
Од тоа што за произволно }0{\0 Rx се
добива бројната низа
n
x0 за која важи
0lim 0 n
x
n, заклучуваме дека на
функционалната низа
n
x конвергира
точкасто кон функцијата 0)( xf на
множеството 0\R .
Ќе покажеме дека оваа низа не конвергира рамномерно на интервалот )1,0( . Нека
0 . Од неравенството )()( xfxfn добиваме 0n
x, т.е.
n
x. Од овде се
добива
xn , па избираме
xxN , каде што [ ]x го означува најголемиот цел
број помал или еднаков на x . Бидејќи ,xN зависи и од x следува дека дадената низа
не конвергира рамномерно на интервалот )1,0( . ▲
Предностите на рамномерната конвергенција во однос на точкастата конвергенција
на функционална низа )(xfn е во тоа што особините непрекинатост,
диференцијабилност и интеграбилност од функциите )(xf n се пренесуваат и на
граничната функција )(xf , како што покажуваат следниве особини.
3.2. Особини на рамномерно конвергентните низи
10. Ако )(xfn е функционална низа од непрекинати функции на E и )()(lim
р.к.
xfxfnn
,
Ex , тогаш )(xf е непрекината функција на E .
Доказ. Нека 0 . Од рамномерната конвергенција на низата )(xfn на E следува
дека NN така што Ex , 3
)()(
xfxfn кога Nn .
Нека Ex 0 . Од непрекинатоста на функциите )(xf n , Nn на множеството E ,
следува дека тие се непрекинати и во точката Ex 0 . Од овде заклучуваме дека
0)( така што
70
3)()( 00
xfxfxx nn .
Според тоа, добиваме
,333
)()()()()()(
)()()()()()( )()(
000
0000
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfxfxf
nnnn
nnnn
од каде следува дека )(xf е непрекината функција во точката Ex 0 . Од
произволноста на точката Ex 0 следува дека )(xf е непрекината функција на E . ■
20. Ако )(xfn е функционална низа од непрекинати функции на ],[ ba и
)()(limр.к.
xfxfnn
, ],[ bax , тогаш )(xf е интеграбилна функција на ],[ ba , бројната
низа
b
a
n dxxf )( конвергира и важи
b
a
b
a
nn
b
a
nn
dxxfdxxfdxxf )()(lim)(lim .
30. Ако )(xfn е функционална низа од диференцијабилни функции на ],[ ba ,
)()(limр.к.
xfxfnn
, ],[ bax и низата )(' xfn рамномерно конвергира на ],[ ba , тогаш
)(xf е диференцијабилна функција на ],[ ba и важи )(lim)(lim)( ' xfxfxf nn
nn
.
3.3. Дефиниција и конвергенција на функционални редови
Нека ),( , ),(),( 21 xfxfxf n е функционална низа. Тогаш редот
)( )()()( 21
1
xfxfxfxf n
n
n
се нарекува функционален ред.
Пример 4. sin
3
3sin
2
2sin
1
sinsin
1
n
nxxxx
n
nx
n
е функционален ред. ▲
Нека секоја од функциите ),( , ),(),( 21 xfxfxf n е дефинирана за некој реален
број 0xx . Ако за 0xx бројниот ред
1
0 )(n
n xf конвергира, тогаш велиме дека редот
1
)(n
n xf конвергира во точката 0xx . Множеството RD од сите точки за кои
функционалниот ред
1
)(n
n xf конвергира, се нарекува област на конвергенција на
редот
1
)(n
n xf .
71
Низата од парцијални суми на функционалниот ред
1
)(n
n xf е функционалната
низа )(xSn со општ член
n
k
knn xfxfxfxfxS1
21 )()()()()( .
Функционалниот ред
1
)(n
n xf точкасто конвергира на множеството RD ако
низата од неговите парцијални суми )(xSn точкасто конвергира кон функцијата
)(xf на множеството D . Граничната функција )(xf на конвергентната низа
)(xSn се нарекува збир (сума) на конвергентниот функционален ред
1
)(n
n xf и
пишуваме )()(1
xfxfn
n
.
Пример 5. Ќе ја испитаме точкастата конвергенција на функционалниот ред
1
2
!
1
n
n
n
x.
За произволно Rxx 0 се добива бројниот ред
1
2
0
!
1
n
n
n
x. Ова е броен ред со
позитивни членови, па од тоа што
10
1
1lim
!
1
)!1(
1
limlim2
0
2
0
12
0
1
n
x
n
x
n
x
a
a
nn
n
nn
n
n,
и од критериумот на Даламбер следува конвергенција на бројниот ред
1
2
0
!
1
n
n
n
x за
секое Rx 0 . Заклучуваме дека функционалниот ред
1
2
!
1
n
n
n
x точкасто конвергира
на R . ▲
Функционалниот ред
1
)(n
n xf рамномерно (униформно) конвергира на
множеството DE ако низата од неговите парцијални суми )(xSn рамномерно
конвергира кон функцијата )(xf на множеството E .
Наредното тврдење дава критериум за испитување рамномерна конвергенција на
даден функционален ред.
72
Критериум на Ваерштрас
Ако DxNnaxf nn ,,)( и ако бројниот ред со ненегативни членови
1n
na конвергира, тогаш функционалниот ред
1
)(n
n xf рамномерно и апсолутно
конвергира на множеството D .
Доказ. Апсолутната конвергенција на редот
1
)(n
n xf следува директно од условите на
тврдењето. Навистина, од тоа што nn axf )( , DxNn , и
1n
na е конвергентен
ред, според критериумот со споредба следува дека бројниот ред со ненегативни
членови
1
)(n
n xf конвергира за секое Dx . Заклучуваме дека функционалниот ред
1
)(n
n xf конвергира на множеството D .
Останува да се покаже рамномерната конвергенција на редот
1
)(n
n xf .
Нека )(xSn е низата од парцијални суми на редот
1
)(n
n xf и )()(1
xfxfn
n
. Од
тоа што nn axf )( , DxNn , , имаме
)()( )()()()( 212121 nnnnnnn aaxfxfxfxfxSxf , (1)
DxNn , .
Нека 0 . Од конвергенција на редот
1n
na следува дека низата од неговите
парцијални суми nA конвергира. Нека Aan
n
1
. Тогаш NN така што
nAA кога Nn , т.е.
21 nn aa кога Nn . (2)
Од неравенствата (1) и (2) следува дека за Nn и за секое Dx важи
)()( xSxf n , од каде следува рамномерна конвергенција на редот
1
)(n
n xf . ■
Пример 6. Ќе ја испитаме конвергенцијата на функционалниот ред
12
sin
n n
nx со
користење на критериумот на Ваерштрас.
Бидејќи 22
1sin
nn
nx , RxNn , и бројниот ред
12
1
n n е конвергентен ред
(хиперхармониски ред со 12 ), од критериумот на Ваерштрас следува дека редот
12
sin
n n
nx е рамномерно и апсолутно конвергентен на R . ▲
73
Пример 7. Ќе ја испитаме конвергенцијата на функционалниот ред
142
1
n nx со
користење на критериумот на Ваерштрас.
Бидејќи 44242
111
nnxnx
, RxNn , и бројниот ред
14
1
n n е
конвергентен ред (хиперхармониски ред со 14 ), од критериумот на Ваерштрас
следува дека редот
142
1
n nx е рамномерно и апсолутно конвергентен на R . ▲
Од особините на рамномерно конвергентните функционални низи следуваат
следниве особини на рамномерно конвергентните функционални редови кои ги прават
многу погодни за употреба.
3.4. Особини на рамномерно конвергентни редови
10. Ако )(xf n се непрекинати функции на ],[ ba и функционалниот ред
1
)(n
n xf
рамномерно конвергира кон функцијата )(xf на ],[ ba , тогаш )(xf е непрекината
функција на ],[ ba и важи
1
0
11
)()(lim)(lim00 n
n
n
nxx
n
nxx
xfxfxf , ],[0 bax .
20. Ако )(xf n се непрекинати функции на ],[ ba и функционалниот ред
1
)(n
n xf
рамномерно конвергира кон функцијата )(xf на ],[ ba , тогаш важи
11
)()()(n
b
a
n
b
a n
n
b
a
dxxfdxxfdxxf .
Со други зборови при условите дадени во горната особина, редот
1
)(n
n xf може да
се интегрира член по член.
30. Ако )(xf n се диференцијабилни функции на ],[ ba , )(' xf n се непрекинати функции
на ],[ ba , функционалниот ред
1
)(n
n xf точкасто конвергира кон функцијата )(xf на
],[ ba и функционалниот ред
1
' )(n
n xf рамномерно конвергира на ],[ ba , тогаш важи
1
'
1
)()()(n
n
n
n xfxfxf .
Со други зборови при условите дадени во горната особина, редот
1
)(n
n xf може да
се диференцира член по член.
74
Горните особини се директна последица од соодветните особини кај рамномерно
конвергентни функционални низи. Од нив заклучуваме дека рамномерно
конвергентните редови имаат својства како и конечните збирови.
3.5. Степенски редови
3.5.1. Дефиниција и конвергенција на степенски редови
Наједноставен функционален ред е редот од облик
,2,1,0 , , 2
210
0
iRaxaxaxaaxa i
n
n
n
n
n .
Овој ред се нарекува степенски ред бидејќи неговите членовите се степенски функции.
Забелешка 1. Функционалниот ред од облик
,2,1,0 ,, , )( )()()( 2
210
0
iRaааxaaxaaxaaaxa i
n
n
n
n
n
е исто така степенски ред кој со замената yаx се сведува на степенски ред од
претходниот облик
0n
n
n ya .
Забелешка 2. Секој полином е степенски ред бидејќи важи
.00 )( 212
210
2
210 nnn
n
n
nn xxxaxaxaaxaxaxaaxP
Забелешка 3. За 0x степенскиот ред 2
210
0
n
n
n
n
n xaxaxaaxa е
еднаков на 0а . Заклучуваме дека секој степенски ред е конвергентен за 0x .
При определување на множеството точки за кои степенскиот ред конвергира
(област на конвергенција) важна улога има следнава теорема:
Теорема на Абел
Ако степенскиот ред
0n
n
n xa е конвергентен за 0xx ( 00 x ), тогаш тој е
апсолутно конвергентен за секое |||,| 00 xxx .
Доказ. Од конвергенцијата на редот
0
0
n
n
n xa следува дека неговиот општ член n
n xa 0
тежи кон нула, а од конвергенцијата на низата n
n xa 0 следува дека таа е ограничена,
т.е. постои 0M така што Mxa n
n 0 за секое Nn . Тогаш за || 0xx ( 00 x ) важи
nn
n
nn
nn
n
n
nx
xM
x
xxa
x
xxaxa
00
0
0
0 .
75
Геометрискиот ред
0 0n
n
x
xконвергира бидејќи 1
0
x
x, па според критериумот со
споредба редот
0n
n
n xa конвергира, т.е. редот
0n
n
n xa апсолутно конвергира. ■
Како последица од теоремата на Абел се добива следново тврдење:
Ако степенскиот ред
0n
n
n xa е дивергентен за 0xx ( 00 x ), тогаш тој е
дивергентен за секое |,|||, 00 xxx .
Доказ. Нека степенскиот ред
0n
n
n xa е дивергентен за 0xx ( 00 x ). Ако го
претпоставиме спротивното, т.е. нека редот
0n
n
n xa е конвергентен за некое
|,|||, 00 xxx . Тогаш од теоремата на Абел, со замена на улогите на x и
0x следува дека и редот
0
0
n
n
n xa конвергира за секое |||,|0 xxx , што е спротивно
на претпоставката. Според тоа, редот
0n
n
n xa е дивергентен за секое
|,|||, 00 xxx . ■
Од претходните две тврдења следува дека за секој степенски ред
0n
n
n xa , постои
реален број 0R таков што:
редот
0n
n
n xa е апсолутно конвергентен за RRx , ,
редот
0n
n
n xa е дивергентен за ,, RRx , и
за Rx и Rx , не се знае дали редот
0n
n
n xa конвергира или дивергира.
Затоа во овие точки треба да се изврши дополнително испитување. Заменувајќи
Rx во редот
0n
n
n xa , се добива бројниот ред
0n
n
n xa чија конвергенција се
испитува преку некои од познатите критериуми. Аналогно се испитува и за
Rx .
Бројот 0R се вика радиус на конвергенција на степенскиот ред
0n
n
n xa , а
интервалот RR, е интервал (област) на конвергенција.
Според тоа, радиус на конвергенција на степенскиот ред
0n
n
n xa е растојанието
од точката 0 до крајните точки од областа на конвергенција на дадениот ред.
76
Ако R тогаш интервал на конвергенција е , , а ако 0R тогаш област
на конвергенција е 0 .
Бидејќи конвергенцијата на степенски ред во внатрешноста на интервалот RR,
е апсолутна, за наоѓање на радиусот на конвергенција на даден степенски ред може да
се искористат критериумите на Даламбер и Коши за конвергенција на редови со
позитивни членови.
Според критериумот на Даламбер, редот
0n
n
n xa е конвергентен ако постои
следнава гранична вредност и важи:
1limlim1
1
1
n
n
nn
n
n
n
n a
ax
xa
xa,
од каде се добива дека редот конвергира за 11
lim
lim
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
ax . Според тоа,
радиусот на конвергенција според Даламбер се наоѓа според следнава формула:
1
lim
n
n
n a
aR .
Аналогно се добива формулата за пресметување радиус на конвергенција на степенски
ред според Коши:
nn
n aR
1 lim
.
Пример 8. Ќе го определиме радиусот и областа на конвергенција на степенскиот ред
1 32
132
1
n
xxxx
n
x nn
n
nn
.
Бидејќи n
an
n
)1( , според Даламбер добиваме
11
lim
1
)1(
)1(
lim lim1
1
n
n
n
n
a
aR
nn
n
nn
n
n,
од каде следува дека интервал на конвергенција е 1,1 . Испитуваме конвергенција на
редот
1
1n
nn
n
x во крајните точки на интервалот 1,1 .
77
За 1x се добива бројниот ред
1
1
n n за кој е познато дека е дивергентен (хармониски
ред). За 1x се добива бројниот ред
1
1
n
n
n кој е наизменичен ред, па со користење
на критериумот на Лајбниц се покажува дека конвергира.
Заклучуваме дека редот конвергира за ]1,1(x . ▲
Пример 9. Ќе го определиме радиусот и областа на конвергенција на степенскиот ред
!
!3!2!1
1!
32
0
n
xxxx
n
x n
n
n
.
Бидејќи !
1
nan , според Даламбер добиваме
)1(lim!
)!1( lim
)!1(
1!
1
lim lim1
nn
n
n
n
a
aR
nnnn
n
n,
од каде следува дека интервал на конвергенција е , . ▲
Пример 10. Ќе го определиме радиусот и областа на конвергенција на степенскиот ред
3321 133232
1
1
nn
n
nn xnxxxxn .
Бидејќи n
n na , според Даламбер добиваме
001
1lim
1 lim
1
1
1 lim
)1( lim lim 1
1
1
e
nn
n
nn
n
n
n
a
aR
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
,
од каде следува дека област на конвергенција на дадениот ред е множеството 0 . ▲
Пример 11. Ќе го определиме радиусот и областа на конвергенција на степенскиот ред
n
n
n xxxx 2
0
1 .
Бидејќи 1na , според Даламбер добиваме
1 1
1 lim lim
1
n
n
n
n a
aR ,
од каде следува дека интервал на конвергенција е 1,1 . Испитуваме конвергенција на
редот
0n
nx во крајните точки на интервалот 1,1 .
78
За 1x се добива бројниот ред
0
)1(n
n за кој е познато дека е дивергентен бидејќи
не е задоволен потребниот услов за конвергенција, т.е. n
nn
na (-1)lim lim
не постои. За
1x се добива бројниот ред
1
1n
кој исто така е дивергентен бидејќи
011lim lim n
nn
a .
Заклучуваме дека редот конвергира за )1,1(x . Јасно е дека сумата на овој ред е
функцијата x1
1, т.е.
xx
n
n
1
1
0
, )1,1(x . ▲
Пример 12. Ќе го определиме радиусот и областа на конвергенција на степенскиот ред
0
3)1(
1
3
n
nn
xn
.
Со замената yx 1 се добива степенскиот ред
03 1
3
n
nn
yn
. Бидејќи 1
33
n
an
n ,
според Даламбер добиваме
3
1
1
1)1( lim
3
1
1)1(
3
1
3
lim lim3
3
3
1
3
1
n
n
n
n
a
aR
nn
n
nn
n
n,
од каде што следува дека интервал на конвергенција на редот
03 1
3
n
nn
yn
е
3
1,
3
1,
т.е. 3
1|| y . Од овде добиваме
3
1|1| x , т.е.
3
4,
3
2x . Со испитување конвергенција
на редот
0
3)1(
1
3
n
nn
xn
во крајните точки на интервалот
3
4,
3
2 се добива дека
област на конвергенција на овој ред е
3
4,
3
2. ▲
3.5.2. Интегрирање и диференцирање на степенските редови
Следниве особини покажуваат дека степенските редови во интервалот на
конвергенција може да се интегрираат и диференцираат член по член.
Нека RR, е интервал на конвергенција на степенскиот ред
0n
n
n xa и нека
неговата сума е функцијата )(xf , т.е. важи )(0
xfxan
n
n
за RRx , .
79
10. Нека сегментот ],[ ba се наоѓа во внатрешноста на интервалот RR, . Тогаш
функцијата )(xf е интеграбилна на ],[ ba и важи:
00
)(n
b
a
n
n
b
a n
n
n
b
a
dxxadxxadxxf .
20. За секое RRx , функцијата )(xf има извод и важи:
0
'
0
)(n
n
n
n
n
n xaxaxf .
Со други зборови при условите дадени во горните особини, степенскиот ред
0n
n
n xa може да се интегрира и диференцира член по член произволен број пати. Се
покажува дека редовите добиени со интегрирање и диференцирање на редот
0n
n
n xa имаат ист радиус на конвергенција како и редот
0n
n
n xa .
Пример 13. Ќе ја определиме сумата и областа на конвергенција на следниве степенски
редови:
а)
1
1
n
nnx , б)
1n
n
n
x,
а потоа ќе ја пресметаме сумата на бројните редови
113n
n
n и
1 2
1
nn n
.
а) Тргнуваме од степенскиот ред
n
n
n xxxx 2
1
за кој знаеме дека
конвергира за 1,1x и x
xx
n
n
11
, )1,1(x . Ако редот
1n
nx го диференцираме
член по член во областа на конвергенција добиваме:
'
1
'
1
x
xx
n
n , т.е. 2
1
1
)1(
1
xnx
n
n
.
Новодобиениот ред
1
1
n
nnx има ист радиус на конвергенција како и редот
0n
nx , т.е.
1R . Значи редот
1
1
n
nnx конвергира за 1,1x . Со испитување во крајните точки
на интервалот 1,1 се добива дека област на конвергенција на редот
1
1
n
nnx е 1,1 .
Бројниот ред
113n
n
n се добива од степенскиот ред
1
1
n
nnx за )1,1(3
1x .
Според тоа добиваме 4
9
)3/11(
1
3 21
1
nn
n.
80
б) Тргнуваме од степенскиот ред
n
n
n xxxx 2
1
1 1 за кој знаеме дека
конвергира за 1,1x и x
xn
n
1
1
1
1 , )1,1(x . Ако редот
1
1
n
nx го интегрираме
член по член на интервалот 1 ],,0[ tt добиваме:
t
n
t
n dxx
dxx01 0
1
1
1, т.е.
t
n
tn
xn
x0
1 0
1ln
,
од каде следува tn
t
n
n
1ln1
.
Новодобиениот ред
1n
n
n
x има ист радиус на конвергенција како и редот
1
1
n
nx , т.е.
1R . Значи редот
1n
n
n
x конвергира за 1,1x . Со испитување во крајните точки на
интервалот 1,1 се добива дека област на конвергенција на редот
1n
n
n
x е )1,1[ .
Бројниот ред
1 2
1
nn n
се добива од степенскиот ред
1n
n
n
x за )1,1[
2
1x . Според
тоа добиваме 2ln2/11ln2
1
1
nn n
. ▲
3.5.3. Развивање функции во степенски ред
Нека RR, е интервал на конвергенција на степенскиот ред
0n
n
n xa и нека
неговата сума е функцијата )(xf , т.е. важи
)( 2
210
0
xfxaxaxaaxa n
n
n
n
n
за RRx , .
Ако овој ред го диференцираме n пати добиваме:
xanan
xannnnannnxf
xannxaaxf
xnaxaxaaxf
nn
nn
n
n
n
n
n
1
1
)(
2
32
12
321
)!1(!
12)2)(1()1(12)2)(1()(
)1( 62)(''
32)('
81
Добиените редови имаат радиус на конвергенција R . Ставајќи 0x добиваме:
n
n anfafafaf !)0( , ,2)0('' ,)0(' ,)0( )(
210 , т.е.
0,1,2, ,!
)0()(
nn
fa
n
n.
Редот
0n
n
n xa го добива обликот
nn
n
nn
xn
fx
fx
ffx
n
f
!
)0(
!2
)0(
!1
)0()0(
!
)0( )(2
'
0
)( ''
кој се нарекува МакЛоренов ред за функцијата )(xf или развој на функцијата )(xf во
околина на точката 0x . Заклучуваме дека RRx , важи
nn
n
nn
xn
fx
fx
ffx
n
fxf
!
)0(
!2
)0(
!1
)0()0(
!
)0()(
)(2
'
0
)( ''
Се покажува дека ако функцијата )(xf може да се претстави во степенски ред на
интервалот RR, , тогаш тоа може да се направи на единствен начин преку
Маклореновиот ред.
Аналогно, ако степенскиот ред
0
0 )(n
n
n xxa конвергира кон функцијата )(xf за
RxRxx 00 , , каде што R е радиус на конвергенција на редот се покажува дека за
RxRxx 00 , важи
n
n
n
nn
xxn
xfxx
xfxx
xfxf
xxn
xfxf
)(!
)()(
!2
)()(
!1
)()(
)(!
)()(
0
0
)(
2
0
0
0
0
'
0
0
0
0
)(
''
Редот од десната страна на горното равенство се нарекува Тајлоров ред за функцијата
)(xf или развој на функцијата )(xf во околина на точката 0x .
Теорема на Тајлор
Нека непрекинатата функцијата )(xf има непрекинати изводи до n-ти ред и
конечен (n+1)-ви извод во некоја околина на точката 0x . Тогаш за секој x од таа
околина важи Тајлоровата формула
2
000 0 0
0
0
( ) ' ''1! 2!
( ),!
n
n
n
x xx xf x f x f x f x
x xf x R x
n
82
каде што
10,!1
)( 00
1
1
0
xxxfn
xxxR n
n
n .
Полиномот
2
000 0 0
0
0
( ) ' ''1! 2!
!
n
n
n
x xx xT x f x f x f x
x xf x
n
се нарекува Тајлоров полином од n -ти степен за функцијата )(xf во околина на
точката 0x , а ( )nR x е остаток (грешка) во форма на Лагранж. Постојат и други облици
на остатокот ( )nR x , но најупотребуван е Лагранжовиот облик. Значи од Тајлоровата
формула следува ( ) ( ) ( )n nf x T x R x .
Следново тврдење ги дава доволните услови кога дадена функција )(xf може да се
развие во Тајлоров ред.
Ако функцијата )(xf е бесконечно диференцијабилна на некој интервал кој ја
содржи точката 0x и ако сите нејзини изводи се ограничени со иста константа на
тој интервал, тогаш )(xf може да се развие во Тајлоров ред во околина на
точката 0x .
Ќе го определиме МакЛореновиот ред за некои најчесто користени елементарни
функции, при што некои од редовите ќе ги определиме со директно користење на
формулата за МакЛоренов развој, а некои ќе ги определиме со диференцирање или
интегрирање на претходно добиени МакЛоренови редови.
1) Рационална функција x
xf
1
1)(
Веќе покажавме дека оваа функција е збир на геометрискиот ред
0n
nx кој
конвергира за )1,1(x , т.е. важи
0
1, ( 1,1).
1
n
n
x xx
Ако во горниот ред воведеме замена yx , добиваме:
0
1( 1) , ( 1,1).
1
n n
n
y yy
2) Логаритамска функција )1ln()( xxf
83
Со интеграција на геометрискиот ред
1
11)1(n
nn x за кој важи
)1,1( ,)1(1
1
1
11
xxx n
nn добиваме
1
1)1()1ln(n
nn
n
xx . Овој ред конвергира
за ]1,1(x . Значи
1
1
ln(1 ) ( 1) , ( 1,1].n
n
n
xx x
n
Ако во горниот ред ставиме yx , добиваме
)1,1[ ,)(
)1()1ln(11
1
xn
x
n
xx
n
n
n
nn , т.е.
1
ln(1 ) , [ 1,1).n
n
xx x
n
3) Експоненцијална функција xexf )(
МакЛореновиот ред на оваа функција ќе го добиеме со директно користење на
формулата. Од тоа што за функцијата xexf )( важи
,2,1,0 ,)()( nexf xn добиваме ,2,1,0 ,1)0()( nf n ,
од каде следува
0 !n
nx
n
xе . За радиусот на конвергенција на добиениот степенски ред
се добива R , што значи дека редот конвергира за ),( x (пример 9), т.е.
важи
),( ,!0
xn
xе
n
nx
.
4) Тригонометриска функција xxf sin)(
Слично како за експоненцијалната функција, со директно користење на формулата
се добива
),( ,)!12(
)1(sin
0
12
xxn
xn
nn
.
Од тоа што ')(sincos xx со диференцирање на горниот ред добиваме
,)!2(
)1(
)!12(
)12()1()(
)!12(
)1(cos
0
2
0
2
0
'12
n
nn
n
nn
n
nn
xn
xn
nx
nx т.е. важи
),( ,)!2(
)1(cos
0
2
xxn
xn
nn
84
5) Биномна функција )1()( xxf , R
Дефинираме биномен коефициент
n
за R на следниов начин
.10
и ,!
)1()2)(1(
Nn
n
n
n
Со директно користење на дефиницијата за МакЛоренов ред се добива
)1,1( ,)1(0
xxn
xn
n
Горниот степенски ред се нарекува биномен ред. Јасно е дека за N се добива
познатата биномна формула.
Пример 14. Ќе го определиме МакЛореновиот ред на функциите:
а) x
xxf
1
1ln)( , б) xxf arctg)( .
а) Користејќи го развојот на логаритамските функции
]1,1( ,)1()1ln(1
1
xn
xx
n
nn и )1,1[ ,)1ln(
1
xn
xx
n
n
добиваме
1
12
1
1
11
1 .12
21)1()1(
)1ln()1ln(1
1ln)(
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
x
n
x
n
x
n
x
xxx
xxf
Интервал на конвергенција на новодобиениот ред е пресекот од интервалите на
конвергенција на редовите што ги користевме, т.е. )1,1( .
б) Ако во развојот на функцијата )1,1( ,)1(1
1
0
xxx n
nn ставиме смена 2yx
добиваме )1,1( ,)1(1
1
0
2
2
yyy n
nn . Ако овој ред го интегрираме на интервалот
1 ],,0[ tt добиваме
0 0
2
0
2)1(
1
1
n
t
nn
t
dyydyy
од каде следува
t
n
nnt
n
yy
00
12
0 12)1(arctg
.
85
Значи добиваме
0
12 )1,1( ,12
)1(arctg
n
nn
ttn
t . За 1t и 1t се добиваат кон-
вергентни бројни редови, па заклучуваме дека 2 1
0
( 1)arctg , [ 1,1]
2 1
nn
n
t t tn
. ▲
3.6. Фуриеови редови
3.6.1. Дефиниција на Фуриеов ред
Често пати, при решавањето проблеми во техниката, се јавуваат периодични
функции кои се многу сложени. Се поставува прашањето дали може ваквите функции
да се претстават преку поедноставни периодични функции од типот на sin x и cos x .
Одговорот на ова прашање води кон Фуриевите редови кои наоѓаат многу широка
примена во електротехниката и другите технички науки.
Функцијата :f е периодична ако постои реален број 0T така што за
секој fx D важи fx T D и ).()( xfTxf Бројот T се нарекува период на
функцијата f .
Ако f е периодична функција со период T , тогаш и kT ( k е произволен цел
број различен од 0) е период на функцијата f . Ако постои најмал позитивен број 0T за
кој важи дефиницијата, тој се нарекува основен период на функцијата.
На пример, константната функција ( ) , f x c x ( c е константа) е
периодична функција, но нема основен период, бидејќи , 0x T важи
( ) ( )f x T f x . Функциите cos , sin ,kx kx k се периодични функции со основен
период 0
2T
k
.
Ја формираме бесконечната сума, односно функционалниот ред:
0 01 1
1
cos sin cos sin cos sin .2 2
n n n n
n
a aa x b x a nx b nx a nx b nx
Функционалниот ред
0
1
cos sin ,2
n n
n
aa nx b nx
(1)
каде што , 0,1, 2,na n и , 1, 2,nb n се реални коефициенти, се нарекува
тригонометриски ред со коефициенти na и nb .
Ако тригонометрискиот ред (1) е конвергентен, тогаш неговата сума е периодична
функција бидејќи секој член во редот е периодична функција. Поради тоа,
тригонометриските редови имаат важна улога при претставувањето на периодичните
функции кои многу често се среќаваат во техниката.
86
Конвергенцијата на редот (1) зависи од својствата на низите коефициенти na и
nb , како што покажува следново тврдење.
Ако бројниот ред 1
n n
n
a b
конвергира, тогаш редот (1) е апсолутно и
рамномерно конвергентен за секој реален број x.
Ова својство е директна последица од критериумот на Ваерштрас, бидејќи важи
cos sin cos sin ,n n n n n na nx b nx a nx b nx a b
па од конвергенцијата на редот 1
n n
n
a b
следува апсолутна и рамномерна
конвергенција на редот (1). ■
Познато е дека, ако еден тригонометриски ред е рамномерно конвергентен во
некој интервал, тогаш неговата сума е диференцијабилна и интеграбилна функција на
тој интервал и редот може да се интегрира и диференцира член по член во тој интервал.
Нека ( )f x е функција дефинирана на интервалот , . Се поставуваат
следниве прашања:
1. Дали постои тригонометриски ред, конвергентен во интервалот , , чија
сума е функцијата ( )f x ?
2. Кои се коефициентите на тој ред?
3. Дали добиениот ред е единствен?
Прво, ќе се обидеме да одговориме на второто прашање. Претпоставуваме дека
функцијата ( )f x е периодична функција со период 2 која може да се развие во
тригонометриски ред кој рамномерно конвергира кон ( )f x на интервалот , , т.е.
важи
0
1
( ) cos sin2
n n
n
af x a nx b nx
.
Ако редот (1) рамномерно конвергира и неговата сума е ( )f x , тогаш за
коефициентите na и nb важи:
0
1 1 1( ) , ( )cos , ( )sin ,n na f x dx a f x nx dx b f x nx dx
(2)
каде што 1, 2,n
Доказ. Равенството
0
1
( ) cos sin2
n n
n
af x a nx b nx
го множиме со cosmx и потоа интегрираме во граници од до :
87
0
1
( )cos cos cos cos sin cos .2
n n
n
af x mx dx mx dx a nx mx dx b nx mx dx
За 0m имаме:
0
1
( ) cos sin .2
n n
n
af x dx dx a nx dx b nx dx
Функцијата sin nx е непарна функција, па sin 0nx dx
, а sin
cos 0nx
nx dxn
.
Според тоа, 0( )f x dx a
, односно
0
1( ) .a f x dx
За 0m важи cos 0mx dx
, а
1
sin cos sin sin 0.2
nx mx dx n m x n m x dx
За n m имаме
2 1 1 sin 2cos cos cos 1 cos 2 .
2 2 2
nxnx mx dx nx dx nx dx x
n
За n m важи
1
cos cos cos cos 0.2
nx mx dx n m x n m x dx
Според тоа, ( )cos , nf x mx dx a n m
а оттука добиваме дека
1( )cos , 0.na f x nx dx n
Ако равенството
0
1
( ) cos sin2
n n
n
af x a nx b nx
го помножиме со sin mx и потоа интегрираме во граници од до , добиваме
0
1
( )sin sin cos sin sin sin2
n n
n
af x mx dx mx dx a nx mx dx b nx mx dx
Оттука, слично како погоре ги добиваме коефициентите nb , т.е.
88
1
( )sin .nb f x nx dx
■
Значи, ако функцијата ( )f x е периодична функција со период 2 и интеграбилна
на интервалот , , тогаш коефициентите na и nb може да се определат од (2).
Тригонометрискиот ред
0
1
cos sin ,2
n n
n
aa nx b nx
каде што
0
1 1 1( ) , ( )cos , ( )sin ,n na f x dx a f x nx dx b f x nx dx
се нарекува Фуриеов ред за функцијата ( )f x на интервалот , , и пишуваме
0
1
( ) cos sin2
n n
n
af x a nx b nx
,
при што коефициентите na и nb се нарекуваат Фуриеови коефициенти.
Специјално, ако функцијата ( )f x е парна функција на симетричниот интервал
, , тогаш функцијата ( )cosf x nx е парна, а функцијата ( )sinf x nx е непарна, па
0
0 0
1 2 1 2( ) ( ) , ( )cos ( )cos ,na f x dx f x dx a f x nx dx f x nx dx
а 0nb за 1, 2,n
Во овој случај Фуриеовиот ред на функцијата е
0
1
( ) cos2
n
n
af x a nx
,
и се нарекува непотполн Фуриеов ред по косинуси.
Ако функцијата ( )f x е непарна функција на симетричниот интервал , ,
тогаш функцијата ( )cosf x nx е непарна, а функцијата ( )sinf x nx е парна, па
0 0, 0,1, 2, ,a n
а
0
1 2( )cos ( )sin , 1, 2,nb f x nx dx f x nx dx n
Во овој случај Фуриеовиот ред на функцијата е
1
( ) sinn
n
f x b nx
и се нарекува непотполн Фуриеов ред по синуси.
89
3.6.2. Теорема на Дирихле
Велиме дека функцијата ( )f x ги исполнува условите на Дирихле на сегментот
,a b ако:
а) ( )f x има најмногу конечен број точки на прекин од прв ред на ,a b , т.е. во
секоја точка од внатрешноста на интервалот постојат конечна лева и десна
граница, но во најмногу конечен број точки тие се различни меѓусебе ;
б) ( )f x има најмногу конечен број екстреми на ,a b , т.е. сегментот ,a b може
да се подели на конечен број потсегменти така што на секој од нив
функцијата е монотона.
Теорема на Дирихле. Ако функцијата ( )f x ги задоволува условите на Дирихле
на сегментот , , тогаш нејзиниот Фуриеов ред конвергира во сите точки од
сегментот , , а за неговата сума ( )S x важи:
1. ( ) ( )S x f x во сите точки x во кои функцијата ( )f x е непрекината;
2. ( 0) ( 0)
( )2
f x f xS x
во сите точки x во кои функцијата има прекин од
прв ред;
3. Во крајните точки од интервалот , важи
( 0) ( 0)( ) ( ) .
2
f fS S
Функцијата ( )S x е дефинирана за секој реален број, односно областа на конвергенција
на Фуриеовиот ред е множеството на реалните броеви. Исто така, ( )S x е периодична
функција со период 2 .
3.6.3. Развивање функции во Фуриеов ред
10 Развивање функции во Фуриеов ред на интервалот ,
Видовме дека ако ( )f x е 2 -периодична интеграбилна функција која ги
задоволува условите на Дирихле, тогаш таа може да се развие во Фуриеов ред на
интервалот , , при што коефициентите на редот се определуваат од изразите (2).
90
Пример 1. Да се развие во Фуриеов ред, ако е можно, функцијата , 0
( ), 0
xf x
x x
чиј период е 2 .
Прво проверуваме дали дадената функција ги задоволува условите на Дирихле:
а) ( )f x има прекин од прв ред во точката 0x , бидејќи 0
lim ( ) ,x
f x
а 0
lim ( ) 0x
f x
;
б) ( )f x е монотона на секој од интервалите , 0 и 0, .
Значи, функцијата ги задоволува условите на Дирихле, па според теоремата на
Дирихле, таа може да се развие во Фуриеов ред
0
1
cos sin2
n n
n
aa nx b nx
,
при што
0 2
0
0
0 0
1 1 1 3( ) ,
2 2
xa f x dx dx x dx x
0
0
1 1( )cos cos cos
sin, , cos
na f x nx dx nx dx x nx dx
nxu x du dx v nx dx
n
0 0
2
00
2 2
2
1 sin sin 1 1 cossin
0, 21 1
cos 1 1 1 , ,22 1
n
nx nx nxx nx dx
n n n n
n k
n kn n n k
n
91
0
0
0
0 0
0
1 1( )sin sin sin
cos, , sin
1 cos cos 1cos
1 sin 1cos cos .
nb f x nx dx nx dx x nx dx
nxu x du dx v nx dx
n
nx nxx nx dx
n n n
nxn n
n n n
Според тоа, во сите точки на напрекинатост на функцијата ( )f x важи
2
1
3 2 1( ) ( ) cos 2 1 sin .
4 2 1n
S x f x n x nxnn
За x и x добиваме ( 0) ( 0)
( ) ( ) ,2 2
f fS S
а за 0x
▲
Фуриеовите редови може да се искористат за пресметување сума на броен ред.
Пример 2. Со помош на Фуриеовиот ред од примерот 1 ќе ја пресметаме сумата на
бројниот ред
21
1.
2 1n n
За x важи
(0 0) (0 0) 0(0) .
2 2 2
f fS
92
21
2 1
2 21 1
3 2 1( ) ( ) cos 2 1 sin
4 2 1
13 2 3 2 1.
4 42 1 2 1
n
n
n n
f S n nnn
n n
Од друга страна, ( )f , па добиваме
2
1
3 2 1,
4 2 1n n
а оттука
2
21
1.
82 1n n
▲
Нека е дадена непериодична функција ( )g x која ги задоволува условите на
Дирихле на интервалот , . За да ја развиеме оваа функција во Фуриеов ред,
конструираме 2 -периодична функција ( )f x која може да се развие во Фуриеов ред,
при што
, , ( ) ( )x f x g x ,
а за коефициентите на Фуриеовиот ред важи
0
1 1( ) ( ) ,
1 1( )cos ( )cos ,
1 1( )sin ( )sin ,
n
n
a g x dx f x dx
a g x nx dx f x nx dx
b g x nx dx f x nx dx
за 1, 2,n
Пример 3. Да се најде периодична функција која може да се развие во Фуриеов ред и
на интервалот , се совпаѓа со функцијата ( )2
xg x .
Периодичното продолжување ( )f x на функцијата ( )2
xg x дава 2 -периодична
функција која ги задоволува условите на Дирихле на интервалот , и може да се
развие во Фуриеов ред. За коефициентите на редот имаме:
2
0
1 1 1 1( ) ( ) 0,
2 4
xa f x dx g x dx dx x
93
1 1 1( )cos ( )cos cos
2
sin, ,
1 sin 1 1 cossin 0,
2 2
na f x nx dx g x nx dx x nx dx
nxu x du dx v
n
nx nxx nx dx
n n n n
1
1 1 1( )sin ( )sin sin
2
cos, ,
1 cos 1cos
2
1 sin cos ( 1)cos cos .
2
n
n
b f x nx dx g x nx dx x nx dx
nxu x du dx v
n
nxx nx dx
n n
nx nn n
n n n n
Според тоа, Фуриеовиот ред на функцијата ( )g x е:
1
1
1( ) ( ) ( ) sin , , .
n
n
S x f x g x nx xn
За x и x добиваме
( 0) ( 0) 2 2( ) ( ) 0.2 2
f fS S
▲
20 Развивање функции во Фуриеов ред на интервалот ,l l
Нека ( )f x е периодична функција со период 2l, l . Сакаме да ја развиеме оваа
функција во Фуриеов ред на интервалот ,l l .
94
Нека ( )f x ги задоволува условите на Дирихле на интервалот , . Воведуваме
замена x
tl
, т.е.
ltx
. Тогаш ( ) ( )
ltf x f g t
. Функцијата ( )g t е периодична
функција со период 2 чиј Фуриеов ред на интервалот , е
0
1
( ) cos sin2
n n
n
ag t a nt b nt
.
Оттука, Фуриеовиот ред на 2l-периодичнта функција ( )f x на интервалот ,l l е
0
1
( ) cos sin2
n n
n
a n x n xf x a b
l l
,
при што
0
1 1 1( ) , ( )cos , ( )sin .
l ll
n n
ll l
n x n xa f x dx a f x dx b f x dx
l l l l l
За да се развие непериодична функција ( )f x на интервалот ,l l , се бара 2l-
периодична функција, која на интервалот ,l l се совпаѓа со функцијата ( )f x , слично
како при развојот на непериодична функција на интервалот , .
Специјално, ако функцијата ( )f x е парна функција на симетричниот интервал
,l l , тогаш функцијата ( )cosn x
f xl
е парна, а функцијата ( )sin
n xf x
l
е непарна, па
0
00
1 2 1 2( ) ( ) , ( )cos ( )cos ,
l ll l
n
ll
n x n xa f x dx f x dx a f x dx f x dx
l l l l l l
а 0nb за 1, 2,n
Во овој случај Фуриеовиот ред на функцијата е непотполн Фуриеов ред по косинуси:
0
1
( ) cos2
n
n
a n xf x a
l
.
Ако функцијата ( )f x е непарна функција на симетричниот интервал ,l l , тогаш
функцијата ( )cosn x
f xl
е непарна, а функцијата ( )sin
n xf x
l
е парна, па
0 0, 0,1, 2, ,a n
а
0
1 2( )cos ( )sin , 1, 2,
l l
n
l
n x n xb f x dx f x dx n
l l l l
Во овој случај Фуриеовиот ред на функцијата е непотполн Фуриеов ред по синуси:
1
( ) sinn
n
n xf x b
l
.
95
Пример 4. Ќе ја развиеме функцијата ( ) sinf x x во непотполн Фуриеов ред по
косинуси на интервалот 0, .
Функцијата е непрекината, монотоно расте на интервалот 0,2
, а монотоно
опаѓа на интервалот ,2
. Според тоа, таа ги задоволува условите на Дирихле.
За да добиеме непотполн ред по косинуси, треба да развиваме парна функција на
симетричен интервал. Затоа, функцијата ( ) sinf x x дефинирана на интервалот 0,
парно ќе ја продолжиме на симетричниот интервал , , така што конструираме нова
функција ( )F x која ги задоволува следниве услови:
1. ( )F x е дефинирана на интервалот , ;
2. ( ) ( )F x f x кога 0,x ;
3. ( ) ( )F x F x , односно функцијата ( )F x е парна функција.
Јасно е дека sin , (0, )
( ) .sin( ) sin , ( ,0)
x xF x
x x x
Ја развиваме функцијата ( )F x во
непотполн ред по косинуси 0
1
( ) cos2
n
n
aF x a nx
на интервалот , .
0
00 0 0
2 2 2 2 4( ) ( ) sin cos ,a F x dx f x dx x dx x
0 0 0
0 0
11 1
2
2
2 2 2( )cos ( )cos sin cos
cos 1 cos 12 1 1sin 1 sin 1
2 1 1
0, 2 12 1 11 1 1 11, .4
1 1 21
n
nn n
a F x nx dx f x nx dx x nx dx
n x n xn x n x dx
n n
n k
kn n n kn
n
Според тоа,
96
2
1
2 cos 2( ) ( ) , , ,
2 1n
nxS x F x x
n
( 0) ( 0)
( ) ( ) 0.2
f fS S
Тогаш
21
2 cos 2( ) ( ) , 0, , ( ) 0.
2 1n
nxS x f x x S
n
▲
30 Развивање функции во Фуриеов ред на интервалот ,а b
Нека ( )f x е периодична функција со период 2 , , ,l b a a b a b . За да ја
развиеме оваа функција во Фуриеов ред на интервалот ,а b воведуваме замена
x аt
l
,
2
b al
, при што ( ) ( )
ltf x f а g t
. Така добивме периодична
функција ( )g t со период 2 чиј Фуриеов ред на интервалот , е
0
1
( ) cos sin2
n n
n
ag t a nt b nt
.
Оттука, Фуриеовиот ред на 2l-периодичнта функција ( )f x на интервалот ,а b е
0
1
( ) cos sin2
n n
n
a n x n xf x a b
l l
,
при што 2
b al
, а
0
1 1 1( ) , ( )cos , ( )sin .
b bb
n n
aa a
n x n xa f x dx a f x dx b f x dx
l l l l l
Пример 5. Да се развие во Фуриеов ред на интервалот 1, 3 функцијата ( )g x x .
97
Периодичното продолжување ( )f x на функцијата ( )2
xg x дава периодична
функција со период 2 2l b a , која ги задоволува условите на Дирихле и може да се
развие во Фуриеов ред. За коефициентите на редот имаме:
33 3 23
01
1 1 1
( ) ( ) 4,2
xa f x dx g x dx x dx
3 3
3
11 1
3 3
1 1
( ) cos ( )cos cos
sin, ,
sin 1 1 cossin 0,
n
n x n xa f x dx g x dx x n x dx
l l
n xu x du dx v
n
n x n xx n x dx
n n n n
3 3
1 1
3 3
11
31
2
1
( )sin ( )sin sin
cos, ,
cos 1cos
3cos3 cos sin 2( 1).
n
n
n x n xb f x dx g x dx x n x dx
l l
n xu x du dx v
n
n xx n x dx
n n
n n n x
n nn
Според тоа, Фуриеовиот ред на функцијата ( )g x е
1
1
12( ) ( ) ( ) 2 sin , 1, 3 .
n
n
S x f x g x n x xn
За 1x и 3x добиваме
(1 0) (3 0) 3 1(1) (3) 2.
2 2
f fS S
98
▲
