Predavanje linearna algebra

8/18/2019 Predavanje linearna algebra

1/15

4. EGZISTENCIJA RJEŠENJA SISTEM LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA

(KRONECKER-CAPELLIEV STAV)

Koristeći stav o jednokosti ranga matrice i broja linearno nezavisnih vrsta (kolona) te matrice, dokazaćemoKron!"r-C#$%%&' #' (Kronecker, L., njemački matematičar (182!18"1)# $a%elli, &., talijanski matematičar

(18''!1"1) ). im stavom iskazan je $or*#n i +o'o%,#n *slov da sistem linearnih jednačina# /# /+# 012 ⎫⎪

111 12 2 1nn 1 ⎪# /# /+# 012 ⎪

211 22 2 2nn 2

1

+# /

+#

+/

+/# 01 ⎬⎪

⎪ ⎪ ()

311 322 3n n 3 ⎭ b*de saglasan.

S#' . (&) a bi sistem (1) bio saglasan, $or*no je i +o'o%,no da je

r#n5(A$) 0 r#n5(A). (6)

(&&) -eka je rang(& %) rang(&) r, tada sistem (1) ima/

1 (#) *"on#7no 3no5o r,8n,# 9# r : n,2 (*) ,+&n'no r,8n, 9# r 0 n .

Do"#9. (&) 0istem (1) moemo za%isati * ekvivalentnom oblik*/

#⎡11

a⎤⎡12

a⎤⎡1n

1⎤⎡1⎤

⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥

⎢ # ⎥⎢ # ⎥⎢# ⎥⎢1 ⎥ ⎢21 ⎥ / ⎢ 22 ⎥ /+ ⎢ 2n ⎥ 0 ⎢ 2 ⎥ . 2

1 ⎢ ⎢ +

⎥ ⎥2 ⎢

⎢ +⎥

⎥n ⎢

⎢ +⎥

⎥ ⎢

⎢ +⎥

⎥() ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥

#⎢ 31 ⎥⎢#32 ⎥⎢#3n 1⎥⎢ 3 ⎥

⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦

akle, ako sistem (;) ima rjeenje (;2


2/15

# /# /+# 01 ># >−# 2⎪

211 22 2 2rr 222r/1 r/12nn ⎪

3

⎬⎪⎪

()

#r11

+#r2

2++#

rr

r01

r>#

r2r/1

r/1−−#

rn 2

n⎪⎪

⎭gdje smo nebazisne ne%oznate (r/;2 r/


3/15


4/15

%&n#rn& Fn"!&on#% ili %&n#rn# For3#.

) 0%ecijalno, kada je J I imamo %reslikavanje (o%erator) koje elementima iz I %ridr**jeelemente iz I.⊂

4) 0k*% svih linearnih o%eratora & /IG J označavaćemo sa L(I, J).

Pr&3,r;. -ekaje I K n, J K m i A∈M m,n(K). 0vaka takva matrica deinie neki linearni o%erator. 4rirodnaveza izme=* matrice i linearnoga o%eratora deinie se sa

(∀ I∈ ) &() 0 A ( J∈ )2 gdje je A %roizvod matrica. Dvako deinisan o%eratorzaista je linearan, zbog %oznatih osobina mnoenja matrica.

Pr&3,+*#. 9adavanje o%eratora %omoć* neke matrice najvaniji je %rimjer linearnoga o%eratora. obar dioovoga %oglavlja biti će %osvećen %ro*čavanj* veze izme=* matrice i linearnog o%eratora.4okazaćemo da vrijedi i obratnatvrdnja/ svakom linearnom o%erator* odgovara jedna matrica. ilo bi netačnozaklj*čiti da je %ojam linearnog o%eratorane%otreban, %oto se on moe %ot%*no o%isati matricama. Ee=*tim, sit*acija je neto sloenija.4reciznija, veza izme=* o%eratora i matrice mogla bi se ovako o%isati/ako s* zadane baze vektorskih %rostora I i J,tada svakom o%erator* & /IGJ za taj %ar baza odgovara jednamatrica. Ee=*tim, %romijenom baze, istom o%erator*odgovara neka dr*ga matrica.Linearni o%erator zadaje se neovisno od baza %rostora, ali tek izbor baza odre=*je kojam* matrica odgovara.-ajinteresantnija analiza matričnoga rač*na *%ravo se sastoji * tome da se daj* odgovori nasljedeća dva %itanja/

;@ kako odabrati baz* %rostora %a da %rikaz linearnoga o%eratora b*de %o mog*ćnosti to jednostavnija matrica (to sličnija dijagonalnoj)#


5/15

⎢ ⎥

A(#&, )A ⎢#


6/15

F &, 32n

%rostora I dimenzije n * %rostor J dimenzije m, tako da vrijedi ( : I) ( N F J) F &(:)∀ ∈ ∃ ∈ A. (11)

Pr&3,+*#. ?elacija (11), veza o%eratora i matrice, toliko je vana da smo zbog jednostavnosti orm*le n#3,rno bili nedovoljno %recizni. 4aljiviji čitalac će *očiti da * orm*li (11) vektor s lijeve i s desne strane nema istoznačenje. 0 lijeve strane, on je element vektorskoga %rostora I i njegov %rikaz * bazi toga %rostora ima oblik 0 /

+ . 0 desne strane, vektor %oistovjeć*jemo s vektorom!kolonom 0 :1,..., :nT ∈ K n, a11 nn

zatim, nakon mnoenja s matricom A, vektor A (koji %ri%ada %rostor* ) treba shvatiti na način/ (A);F ; /... / (A)3 F 3 .

R#93or&3o $r&3,n #'# ; n# $r&3,r&3# "o,& "onr&8 3#r&! o$r#or#.

Pr&3,r 1

2 ,.

( & 0∀ 12n)D( ) 0& 0& ()&&>1

D 002

(0)()te je

( &2, 02n∀ )+ 0D 0((&2 9# ,>1=&2

1 () ,>1) )0⎨ ⎧

&,,& ,>1&⎩029# ,>1 &.

akle, matrica D * tom %ar* %rirodnih baza glasi⎛0100⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

0020⎜ ⎟


7/15

⎜⎟D 0⎜

+⎟

.

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜000n⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝0000⎠

V,*#. -eka je o%erator iz %rethodnog %rimjera. Ddgovaritti na slijedeća %itanja/1 ;zrač*nati kvadrat matrice tog o%eratora D< .

1. 2. Kojem o%erator* odgovara ta matrica a li je 2

+2 Pn G Pn , gdje je o%erator dr*gog+2

2. izvoda

2 9a n Q, na%ii matric* D i %rovjeri da je D40 @.

3 6vjeri se da je Dn 0O . 4rokomentarii taj rez*ltatN a li on neto govori o n!tim izvodima *nkcija bazi/

( & 0∀ 02n) ()0 . &&

.


8/15

⎝$n1 $nn ⎠⎝Qn1 Qnn ⎠gdje kolone matrice 4 (matrice U) %redstavljaj* koordinate razlaganja vektora nove (stare) baze %reko vektora stare(nove) baze.


9/15


10/15

m*lti%l

ikativn

oj

gr*%i

vrijedi/

1 (&) lijevi inverzni element je *jedno i desni inverzni element i obratno#

2 (&&) inverzni element je jedinstven. 9a vjeb* dokazati stavove & i .

3 (&) koordinatne re%rezentacije tačke linearnog %rostora I * odnos* na baze i F tog %rostora

S#' . -eka s* date/

WW

0 ( 2...2)

K ∈ n i ( 2...2) K ∈ n, res%ektivno#

1 n1 n

(&&) matrica %relaska P0($&,)32n sa stare baze na nov* baz* F . ada je vezaizme=* novih i starih koordinata data matričnom jednakoć*

F 0 P-;

(66)

Do"#9. 6 razlaganj* vektora %o staroj i novoj bazi 0 /+

11 nn WW,

0F /+F

11 nn izrazimo ,

koristeći jednakosti (2). obijemo ! ''

n nnnn ⎛⎜n⎞

⎟F 0 0 , QF 0 Q F .⎜ ⎟ &W"" ,, &, & ⎜&, ,⎟"01 ,01 ,01 &01 &01⎝ ,01 ⎠

Ddavde, zbog linearne nezavisnosti vektora baze , slijedin W

( " 0∀ 12n) 0 Q" ", , ,01

to je, na osnov* deinicije mnoenja vektora ekvivalentno saW ⎛⎞⎛⎞

⎜⎟ Q ⎜⎟

1 ⎛⎜Q11 X 1n ⎞⎟1

⎜⎟ ⎜⎟

⎜⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎟

⎜⎟ ⎜⎟

=⎜⎟⇔ U ⋅: . ()


11/15

⎜⎟ ⎜ ⎟ F⎜⎟

⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟

⎜⎟ ⎜⎟

W ⎝

Q Q ⎠

⎝⎠n1 nn ⎝⎠

nn Kako je, %rema stav* 2, 0 P-; , to iz (P) slijedi (55). ime je stav dokazan.

Pr&3,+*#. ;s%iimo zajedno orm*le (5) i (55) F 0 P i 0PF X 0 F i F 0 X (P 0 E &%&+P >@ ). gdje s*/

1 i F vrste koje odgovaraj* starom i novom bazis*, i F kolone kordinata vektora koje odgovaraj* #ro3 ino'o3 bazis* res%ektivno#1. 2. P i s* *zajamno inverzne matrice %relaska (P 0 E)2. (#) P sa #ro5 na no'& *#9& F2 tj. sa no'&1 F na #r koordinate,3. (*) sa no'o5 F na #r& *#9& 2 tj. sa #r&1 na no' F koordinate vektora :.

Pr&3,r ;. -eka s* date baze/ #r# baza e (e1,e2, e ) i no'# baza ( 1, 2 , ). 4ri čem* je F 1=21+32/ 32F 2 =31+42/ 32F 1 0 1+22+23.

Ddrediti matrice %relaska/ 4 sa #r baze e na no' baz* i U sa no' baze na #r baz* e. R,8n,.⎛231 −65−2⎞⎛ ⎞

⎜⎟⎜⎟Dčito je/ P 0⎜

⎜⎜⎜342⎟

⎟⎟⎟2,. 0 P>1

⎜⎜⎜⎜4−31

⎟⎟⎟⎟2 (+P 0>1). ⎜⎟⎜⎟

112 1−11

⎝⎠ ⎝⎠

9a%isati jednakosti %relaska sa nove na star* baz* ( e U 4⇔ !1).Rektor : :1e1 B :2e2 B :e * odnos* na baz* , ima koordinate : U:e 4

!1:e , tj.

⎛⎞

V

2 ⎞⎛⎞ ⎧

⎪W

0>6 /5 >2

>⎜⎟⎛ 65− 1 123

1 1 ⎪

⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎪

⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟

' '⎜⎟

⎜⎟⎜ ⎟

04−31 0⇔ 4 >3 /


12/15

< ⎜⎟ ⎨

⎜⎟⎜⎟2 2 123

⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎪

⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎪

⎜⎟ 11

⎝ ⎝⎠ x

⎝⎠W3

>1 ⎠ 3 ⎪⎩

1W 0 1−2B 3

W WW

0%ecijalno vektor ; /


13/15

W WWW⎜ ⎜ ⎟ W⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎟

0A2 0⎜ ⎜ Y ⎟⎟2 0⎜ ⎜ Y ⎟⎟. ()9

⎜⎟ ⎜⎟

W

W

⎝ 3 ⎠⎝n ⎠Eatrice A i AW s* odre=ene kao * %aragra* '.2.

-eka je P0($&,)nn matrica %relaza sa baze na nov* baz* * %rostor* I, a R0(r&,)33 matrica %relaza sa baze F na nov* baz* F * %rostor* J. -a osnov* jednakosti (55) * stav* , vrijedi

W0 P

>1 (;@)

W0 R

>1. (;;)

Koristeći (1) i (11), iz (") izlazi>1 W >1

R 0 A (P 2)tj.

RAWP

>12

0(( ))ili

W >1

0(RA P ). (12)4ore=enjem jednakosti (8) i (12), za matrica %ridr*enih o%erator* &, izlazi

W>1

ARAP . (;)

Tednakost (1) daje vez* izme=* navedenih matrica (koje odgovaraj* istom o%erator*).

6 s%ecijalnom sl*čaj* kad je I J, onda je e , e W W , 4 ? , te jednakost (1) %ostaje W>1

APAP . (;4)

ime smo dokazali S#' 4. -eka je A matrica o%eratora & L(I,I) * bazi e (e∈ 1, ..., en ) I ,⊂ P matrica %relaza iz

stare baze e * nov* baz* e V (eV1, ..., e Vn ). 6 novoj bazi o%erator* & odgovara matricaAW 0 P>

1AP. (;)

Pr&3,+*. ;) Tednakosti (1Q) i (1') s* ekvivalentne# * tim jednakostima sve matrice s* kvadratne.


14/15

samo ov*/ slične matrice imaj* jednake determinante. 9aista, %oinet!$a*chFjevom stav* vrijedi det(B) det(P-;)det(A)det(P) det(A) %oto je det(P -;) l7det(P). 9ato ima smisla deinisati+r3&n#n o$r#or# det(&) det(A) gdje je A matricao%eratora & * bilo kojoj odabranoj bazi.

.4. JEZGRA I SLIKA LINEARNOG OPERATORA

DF&n&!&,# ;. 6 sk*%* L(I, J) interna o%eracija sabiranja o%eratora i eksterna o%eracija mnoenja o%eratoraskalarom (brojem) mog* se *vesti na sljedeći način/

1 1. 0*ma & B o%eratora & i iz L(I, J) je o%erator deinisan jednakoć*2 (&B):&:B:, : I∈ .3 2. 4roizvod a& skalara a i o%eratora & iz L (I, J) je o%erator deinisan jednakoć*4 (a&)(:) a(&(:)), : I∈ .5 . -*la o%erator D je o%erator za koji je

6 D(:) v, za svako : I∈ .2 9a o%erator & L(I, J) simetričan o%erator !& se zadaje %omoć* jednakosti∈

!& (!1)&.

-ije se teko *vjeriti da vrijedi

S#' ;. 0k*% L (I, J) svih linearnih o%eratora, koji elementima : I %ridr**j* elemente F J, sadeinisanim∈ ∈o%eracijama sabiranja i mnoenja skalarom, izabranim n*la o%eratorom i simetričnimo%eratorom obraz*je linearan

%rostor.

-avodimo neka svojstva linearnih o%eratora.S#' @. 0lijedin ⎛ n ⎞ #A( ) 0A # 0A(⎜ ⎟ 0 ) 00 2

M &&⎜

&&⎟

&01 ⎝&01 ⎠na osnov* čega se zaklj*č*je da s* &(:1),..., &(:n) linearno zavisni elementi * J.

-eka je & L(I, J). 0k*% svih elemenata &(:), (:eI) označavamo sa &(I). Rai & (I) J. -ije se teko *vjeriti da∈ ⊂ je & (I) %od%rostor %rostora J.DEINICIJA JEZGRE I SLIKA LINEARNOGA OPERATORA. 6z svaki linearni o%erator & %ridr*ena s* dvask*%a. ;@ 4rvoga sačinajavaj* svi oni vektori %rostora I koji se %reslikavaj* * n*la vektor %rostora J. Dznačavamo gas Kr A i nazivamo ,95r# ili n%#$o$roor o%eratora & . <

@r*gog čine svi vektori * J koji s* slika nekoga vektora

iz I. Dznačavamo ga s I3A ili &(I) i nazivamo %&"# o%eratora &. akle, vrijedi

KrA /Y I @ &(∈ ) @Z,I3A / Y J@∈ &() za neki IZ.∈


15/15

Pr&3,+*#. Kr je skraćenica engleske riječi "rn% (jezgra). I3 dolazi od engleske riječi &3#5 (slika).

S#' 4. Ker & i ;m& vektorski s* %ot%rostori. Do"#9.9a jezgr* slijedi ovako. 6zmimo 2 Ker&. ad je∈&(a B b) a&() B b&() @ jer s* oba sabirka

jednaka n*li. 0lično vrijedi i za slik*.DF&n&!&,# r#n5# & +F"# o$r#or#. ;@ 4ojam jezgre o%eratora vezan je s %roblemom rjeavanja homogenihlinearnih sistema. 9aista, ako je A matrica %ridr*ena o%erator*, tada je jednačina &() @ ekvivalentna s matričnom

jednačinom A 0 @ . 4okazali smo da je sk*% svih rjeenja ove jednačine %ot%rostor raza%et s n - r nebazisnihvektora, %ri čem* je n dimenzija %rostora I ( broj ne%ozntih * sistem*), a r je rang matrice A sistema. aj %ot%rostor

jednak je jezgri o%eratora & . Dva dimenzija jezgre o%eratora & zove se jo +F" o$r#or#.

akle, r#n5 o$r#or# & L(I, J) jeste dimenzija %rostora &(I) i označava se sa rang(&) 0k*% svih elemenata∈: I za koje je∈ A0 @ je jedan %od%rostor %rostora I, * ta se lako *vjeravamo.

Documents

Predavanje linearna algebra