Linearna algebra i geometrija

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehniki fakultet

Linearna algebra i geometrija

predavanja

Sarajevo, oktobar 2014.

Sadraj

Sadraj ii

1 Uvod 1

1.1 Elementi matematike logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Elementi teorije skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Elementi teorije algebarskih struktura . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Elementi teorije vektorskih prostora . . . . . . . . . . . . . . . 16

POGLAVLJE 1

Uvod

U ovom poglavlju uvest emo terminologiju i notaciju koritenu u nastavku.

Denirat emo osnovne pojmove matematike logike i teorije skupova i dati

neke njihove osobine. Zatim emo uvesti pojam binarne operacije, te deni-

rati algebarske strukture na datom skupu odreene samo jednom binarnom

operacijom, kao to su grupoid, polugrupa i grupa, kao i strukture sa dvije

binarne operacije, kao to su prsten, tijelo i polje. Uvest emo i pojam vek-

torskog prostora, njegove baze i dimenzije.

1.1 Elementi matematicke logike

Osnovni pojam u matematikoj logici je iskaz ili sud. To je svaka smis-

lena izjava koja moe biti samo istinita ili samo neistinita, odnosno lana.

Skup svih iskaza obiljeavat emo sa I, a pojedinaen izkaze malim slovimap, q, r, s, . . ..

Primjer 1.1. Reenica "Broj 4 je paran broj." je istinit iskaz, dok je ree-

nica "3 je vee od 5" neistinit iskaz. Reenica "Da li je 5 prost broj?" nije

iskaz, nego pitanje.

1.1.Elementi matematike logike Doc. dr. Almasa Odak

Istinitost iskaza p oznaava se sa (p), pri tome (p) = 1 znai da je iskazp istinit, a (p) = 0 znai da je neistinit. Takoer se koriste oznake (p) = >,kada je p istinit izkaza i (p) = , kada je p neistinit iskaz. esto se zbogkratkoe pisanja, ukoliko to ne dovodo do zabune, umjesto (p) pie samo p.U tom sluaju ne zanima nas sadraj iskaza p, nego samo njegova istinitosnavrijednost.

Na skupu iskaza moemo denirati odreene operacije

1

pomou kojih

dobijamo sloenije iskaze.

Negacija iskaza p, p, ita se "ne p" ili "nije p", je istinit iskaz jedinokada je p neistinit, a neistinit jedino kada je p istinit iskaz. Za negacijuiskaza p koriste se i oznake p i p.

Konjunkcija iskaza p i q, pq, ita se "p i q", istinita je jedino kadu su is-kazi p i q istiniti, a u protivnom je lana. U nekoj literaturi konjunkcijaiskaza p i q oznaava se sa pq ili p&q.

Disjunkcija iskaza p i q, p q, ita se "p ili q", lana je jedino kada suiskazi p i q lani, a u protivnom je istinita.

Ekskluzivna disjunkcija iskaza p i q, pY q, ita se "ili p ili q", istinita jejedino kada su iskazi p i q razliite istinitosne vrijednosti, a u protivnomje neistinita. Za ekskluzivnu disjunkciju koristi se i oznaka p qImplikacija iskaza p i q, p q, ita se "p implicira q" ili "p povlai q"ili "ako je p, onda je q" ili "p je dovoljno za q" ili "q je potrebno zap", istinita je uvijek kada je q istinit iskaz ili kada su i p i q neistiniti.Neistinita je, dakle, jedino kada je p istinit, a q neistinit iskaz.

Ekvivalencija iskaza p i q, p q, ita se "p ekvivalentno q" ili "p ako isamo ako q" (esto se pie skraeno akko) ili "p je potrebno i dovoljno zaq", istinita je jedino kada iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrijednost.

Zavisnost istinitosne vrijednosti sloenog iskaza od istinitosne vrijednosti

izkaza koji ga ine moemo zapisati u obliku tablice istinitosti.

(p) (q) (p) (p q) (p q) (p Y q) (p q) (p q)0 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 1 0

1 0 0 0 1 1 0 0

1 1 0 1 1 0 1 1

1

Preciznu deniciju operacije dat emo neto kasnije.

2


Sloeni iskazi dobijeni iz nekih polaznih iskaza primjenom logikih opera-

cija negacije, konjunkcije, disjunkcije, implikacije i ekvivalencije nazivaju se

formulama.

Primjeri formula su p q, (p q) (q r), q ((p r) (q r)).Istinosna vrijednost formule jasno zavisi od istinitosnih vrijednosti iskza

koji ju ine. Tu zavisnost je pogodno ispitivati pomou tablice istinitosti,

kao u sljedeem primjeru.

Primjer 1.2. Odrediti istinitosnu vrijednost formule p (q r) za sveistinitosne vrijednosti iskaza koje ih ine.

p q r r q r p (q r)0 0 0 1 1 0

0 0 1 0 1 0

0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 1 1

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0

Posebno vana situacija je kada je formula istinita za sve vrijdnosti isti-

nitosti iskaza koji ulaze u tu farmulu. Takva formula se naziva tautologija.

Formula koja je neistinita za sve vrednosii istinitosti iskaza koji ulaze u tu

formulu je kontradikcija. Pogledamo li tablicu istinitosti formule iz primjera

1.2 jednostavno zakljuujemo da posmatrana formula nije ni tautologija, a

ni kontradicija.

Zadatak 1.1. Odrediti istinitosnu vrijednost formula za sve istinitosne vri-

jednosti iskaza koje ih ine.

1. p p2. p p3. (p q) (q p)4. ((p q) r) (q r).Da li su neke od navedenih formula tautologije ili kontradikcije?

Osnovni zakoni logike iskaza izvode se koristei neke vane tautologije. U

nastavku emo navesti neke od njih.

3


Zakon dvojne negacije: p = p Zakon konzistentnosti (neprotivurjenosti): p p = 0 Zakon iskljuenja treeg: p p = 1 Zakon idempotentnosti za konjunkciju: p p = p Zakon idempotentnosti za disjunkciju: p p = p Zakon komutativnosti za konjunkciju: p q = q p Zakon komutativnosti za disjunkciju: p q = q p Zakon asocijativnosti za konjunkciju: p (q r) = (p q) r Zakon asocijativnosti za disjukciju: p (q r) = (p q) r Zakon distributivnosti disjunkcije u odnosu na konjunkciju: p(qr) =

(p q) (p r) Zakon distributivnosti konjunkcije u odnosu na disjukciju: p (qr) =

(p q) (p r) De Morganov zakon za konjunkciju: (p q) = p q De Morganov zakon za disjunkciju: (p q) = p q Zakon kontrapozicije: p q = q p Zakon tranzitivnosti implikacije: (p q) (q r) (p r) Zakon tranzitivnosti ekvivalencije: (p q) (q r) (p r)

Zadatak 1.2. Dokazati tanost navedenih zakona.

Posmatrajmo reenice "x je paran broj." i "x je djeljivo sa y.". Ove ree-

nice oigledno nisu iskazi jer im je nemogue odrediti istinitosnui vrijednost.

Ovakve reenice dovode do pojma predikata.

Denicija 1.1. Predikat je izjavna reenica koja sadri parametre i koja

postaje iskaz kada parametri poprime odreenu vrijednost. Broj parametara

predstavlja duinu predikata.

4


Dakle, "x je paran broj." je predikat duine 1, dok je reenica "x je djeljivo

sa y." predikat duine 2. Predikate duine 1 obino oznaavamo sa P (x), aduine 2 sa P (x, y).Za predikat P (x, y) opisan reenicom "x je djeljivo sa y." iskaz P (4, 2) jeistinit, dok je P (2, 5) neistinit iskaz.Posebno vani iskazi dobiveni od predikata su oni nastali pomou kvan-

tikatora, tj. zamjenica svaki i neki.

Univerzalni kavntikator, u oznaci , nam govori da je predikat istinitza sve vrijednosti neke od varijabli.

Egzistencijalni kvantikator, u oznaci , govori da je predikat istinit zaneki izbor varijable. U sluaju kada je izbor jedinstven koristi se oznaka

!.Kvantikatore je mogue i kombinirati kako bi se od datog predikata

formirao iskaz.

Primjer 1.3. Neka je predikat P (x) dat sa x2 = 9. Moemo formiratiiskaze:

p: Za svaki realan broj x vrijedi x2 = 9 q: Postoji realan broj x za koji vrijedi x2 = 9 r: Postoji tano jedan realan broj x za koji vrijedi x2 = 9 s: Postoji tano jedan prirodan broj x za koji vrijedi x2 = 9.Pomou kvantikatora zapisujemo ih na sljedei nain:

p: (x R)P (x), odnosno (x R)x2 = 9 q: (x R)P (x), odnosno (x R)x2 = 9 r: (!x R)P (x), odnosno (!x R)x2 = 9 s: (!x N)P (x), odnosno (!x N)x2 = 9.Za svaki od formiranih iskaza moemo odrediti njegovu istinitosnu vrijednost:

(p) = 0, (q) = 1, (r) = 0 i (s) = 1.

5

1.2.Elementi teorije skupova Doc. dr. Almasa Odak

Primjer 1.4. Za predikat P (x, y) opisan reenicom "x je djeljivo sa y."moemo formirati iskaze

p: Za svaki prirodan broj x vrijedi x je djeljivo sa 2. q: Postoji prirodan broj y za koji vrijedi da je 6 djeljivo sa y. r: Za svaki prirodan broj x i svaki prirodan prirodan broj y, x je djeljivsa y.

Pomou kvantikatora zapisujemo ih na sljedei nain:

p: (x N)P (x, 2) q: (y N)P (6, y) r: (x N)(y R)P (x, y)Za svaki od formiranih iskaza moemo odrediti njegovu istinitosnu vrijednost:

(p) = 0, (q) = 1 i (r) = 0.

1.2 Elementi teorije skupova

Osnovni pojam teorije skupova i jedan od osnovnih pojmova matematike

uopte je skup i on se i ne denira. Skup je zadan svojim elementima, bilo

da su nabrojani pojedinano ili karakterizirani nekom zajednikom osobinom.

Za skup koriste se i nazivi familija, kolekcija, klasa, a za njegove elemente

lanovi, take. Skupove obino obiljeavamo velikim slovima, dok njihove

elemente najee obiljeavamo malim slovima. Vani primjeri skupova su

skupovi brojeva, za njih emo korisiti sljedee oznake

N - skup prirodnih brojeva Z - skup cijelih brojeva Q - skup racionalnih brojeva I - skup iracionalnih brojeva R - skup realnih brojeva C - skup kompleksnih brojeva

6


Pripadnost elemeta a skupu A zapisujemo slimboliki sa a A i itamo"a je element skupa A". injenicu da elemenat b ne pripada skupu B za-pisujemo sa b / B i itamo "b nije element skupa B". Prazan skup obilje-avamo simbolom . Ukoliko je skup zadan nabrajanjem elemenata piemoih odvojene zarezom unutrar vitiastih zagrada, dok u sluaju kada je skup

A skup elemeta x koji zadovoljavaju osobinu p(x) piemo A = {x : p(x)} iliA = {x|p(x)}.Primjeri skupova su

{x, y, z}, {0, 1}, {a}, {x : x > 0}, {x : x = 3n n N}, {x : x = p

q p Z q Z}.Za skupove mogue je denirati odreene relacije i operacije

2

. Uvest

emo relacije inkluzije i jednakosti i operacije unije, presjeka, razlike i kom-

plementa.

Denicija 1.2. Neka su A i B skupovi takvi da je svaki elemenat skupa Aujedno i elemenat skupa B tada kaemo da je A podskup od B, odnosno daje B nadskup od A. Piemo A B, odnosno B A.Relaciju nazivamo relacijom inkluzije.Primjer 1.5. Vrijede inkluzije N Z Q R C.Denicija 1.3. Neka su A i B skupovi koji se sastoje od istih elemenata, tojeste ako vrijedi A B i B A, tada kaemo da su oni jednaki i piemoA = B.

Ukoliko skupovi A i B nisu jednaki piemo A 6= B.Ukoliko vrijedi da je A B i A 6= B kaemo da je A pravi podskup od

B.Relacije inkluzije i jednakosti za skupove zadovoljavaju sljedee osobine:

2

Preciznu deniciju relacije i operacije dat emo neto kasnije.

7


A A, (A B) (B A) A = B, (A B) (B C) (A C) A = A, (A = B) (B = A), (A = B) (B = C) (A = C)Denicija 1.4. Partitivni skup skupa A je skup svih podskupova skupa A.Oznaava se sa P(A) ili 2A.Jasno je da partitivni skup P(A) uvijek sadri i A. Na primjer za skup

A = {x, y} partitivni skup je P(A) = {, {x}, {y}, {x, y}}.Koristei operacije nad skupovima od datih skupova moemo formirati

nove skupove. Neka su dati skupovi A i B.

Unija skupova A i B, u oznaci AB, je skup iji elementi imaju svojstvoda pripadaju bar jednom od skupova A i B. Dakle, A B = {x : x A x B}.Presjek skupova A i B, u oznaci A B, je skup iji elementi imaju svoj-stvo da pripadaju i skupu A i skupu B. Dakle, A B = {x : x A x B}.Razlika skupova A i B, u oznaci A\B, je skup iji elementi imaju svojstvoda pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B. Dakle, A \ B = {x :x A x / B}.Simetrina razlika skupova A i B, u oznaci A4B unija razlika A \ B i

B \ A, dakle A4B = (A \B) (B \ A).

Neka je dat i skup X takav da je A X.Komplement skupa A u odnsosu na skup X, u oznaciACX je razlikaX\

A. Dakle, ACX = {x : x X x / A}. esto se koristi skraena oz-naka AC ukoliko je jasno u odnosu na koji skup se uzima komplement.Takoe se koriste oznake CX(A) i C(A).

Za skupove iji je presjek prazan skup kaemo da su disjunktni.

Moe sa pokazati da uvedene operacije zadovoljavaju sljedee osobine:

A A = A, A = A, A B = B A, (A B) C = A (B C) A A = A, A = , A B = B A, (A B) C = A (B C) (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C)

8


(A B) = (A B) (A \B) (B \ A) A4B = (A B) \ (A B) A AC = X, A AC = , XC = , C = X,(AC)C = A X \ (A B) = (X \ A) (X \B), X \ (A B) = (X \ A) (X \B)Zadatak 1.3. Pokazati da vrijede navedene osobine operacija sa skupovima.

Za uvoenje pojam Dekartovog proizvoda skupova potrebno je denirati

ureen par.

Denicija 1.5. Ureen par elemenata x i y, u oznaci (x, y) je skup {{x), {x, y}}.Termin "ureen" u prethodnoj deniciji istie da je poredak elemenata

u paru (x, y) bitan, x je prvi, a y drugi elemenat. Iz navedene denicijejednostavno proizilazi jednakost ureenih parova (x, y) = (u, v) ((x =u) (y = v)). Elemente ureenog para nazivamo i koordinatama.Pojam ureenog para moe se jednostavno pooptiti na ureene trojke,

etvorke,. . . , openito n-torke.

Dekartov proizvod skupova A i B, u oznaci AB je skup svih ureenihparova ije su preve koordinate elementi skupa A, a druge koordinateelementi skupa B. Dakle, AB = {(x, y) : x A y B}.

Dekartov proizvod skupa A sa samim sobom se naziva i Dekartovim kvadra-tom i obiljeava se sa A2. Dekartov proizvod i Dekartov kvadrat jednostavnose generaliziraju za slucaj tri i vie skupova. Dekartovog proizvoda skupa Asa samim sobom n puta naziva se i n-ti stepen skupa A.

Primjer 1.6. Rn je skup ureenih n-torki relanih brojeva. Dakle, Rn ={(x1, . . . , xn) : xi R, i = 1, . . . , n}. Posebno znaajne situacije su za n = 2i n = 3.

Ranije smo spominjali relacije inkluzije i jednakosti za skupove. Sada

smo u mogunosti denirati pojam relacije.

Denicija 1.6. Neka su A i B neprazni skupovi. Svaki podskup Dekartovogproizvoda A B je binarna relacija izmeu elemenata skupa A i elemenataskupa B. Ako su elementi a A i b B u relaciji piemo (a, b) iliab. Ako je A = B tada je A2 binarna relacija na skupu A.

9


Ukoliko elementi a A i b B nisu u relaciji piemo (a, b) / ili a/b.Za relaciju AB inverznu relaciju 1 B A deniramo tako da

(x, y) 1 akko (y, x) .Neka je A neprazan skup i binarna relacija na A. Rlacija moe daima sljedee osobine.

je reeksivna ako je (x A) xx. je antireeksivna ako je (x A) (x, x) / . je simetrina ako je (x, y A) (xy) (yx). je antisimetrina ako je (x, y A) (xy) (yx) (x = y). je tranzitivna ako je (x, y, z A) (xy) (yz) (xz).Uvedene osobine nam omoguavaju denisanje vanih tipova relacija kao to

su relacije ekvivalencije i relacije poretka.

Denicija 1.7. Relacija ekvivalencije na skupu A je binarnu relacija naA koja je reeksivna, simetrina i tranzitivna.

Za proizvoljne elemenat a A i relaciju ekvivalencije klasu ekvivalencijeelementa a, u oznaci [a] deniramo kao skup svih elemenata iz A koji suu relaciji sa a, to jeste [a] = {x A : xa}. Pokazuje se da su klaseekvivalencije meusobno disjunktne i da se skup A moe na jedinstven nainprikazati kao unija tih klasa. Skup klasa ekvivalencije za datu relaciju senaziva faktorski skup i obiljeava se sa A/. Relacija ekvivalencije se estoobiljeava sa .Primjeri relacije ekvivalencije su relacija paralelnosti za prave proizvoljne

ravni, uvedena relacija jednakosti za skupove.

Zadatak 1.4. Neka je dat cijeli broj m. Na skupu cijelih brojeva denirajmo

relaciju tako da je (x, y Z)xy (k Z)x y = km. Ispitati da li jedata relacija relacija ekvivalencije.

Denicija 1.8. Relacija poretka na skupu A je binarnu relacija na A kojaje reeksivna, antisimetrina i tranzitivna.

Ako je na skupu A zadata relacija poretka kaemo da je skup A ureenskup. Ako su svaka dva elementa skupa A u relaciji poretka, to jeste me-usobno uporediva, kaemo da je skup A totalno ureen skup. Za relacijuporetka koja je antireeksivna kaemo da je relacija strogog poretka.

10


Relacija poretka se esto obiljeava sa ili , dok se relacija strogogporetka obiljeava sa < ili .Relacija na skupu realnih brojeva je relacija poretka, kao i relacijainkluzije na partitivnom skupu nekog skupa, dok su relacija < na skupurealnih brojeva i relacija "biti pravi podskup" (esto se obiljeava sa $)na partitivnom skupu nekog skupa relacije strogog poretka. Skup relanih

brojeva je totalno ureen skup. Partitivni skup nekog skupa nije totalno

ureen skup.

Zadatak 1.5. Neka je relacija denisana sa ab akko a2 b2, gde je relacija poredka na skupu cijelih brojeva.

a) Ispitati da li je data relacija relacija poredka na skupu cijelih brojeva.

b) Ispitati da li je data relacija relacija poredka na skupu prirodnih brojeva.

Ranije smo spominjeali neke operacije sa iskazima, kao i ooperacije sa

skupovima, no nismo precizno denirali pojam operacije u optem sluaju.

To emo uiniti u narednom odjeljku, no prije toga uvest emo pojam funkcije

ili preslikavanja.

Denicija 1.9. Neka su A i B neprazni skupovi, a f zakon po kojemu sesvakom elementu A pridruuje jedan i samo jedan element skupa B. Ureenutrojku (A,B, f) nazivamo funkcija sa skupa A na skup B ili preslikavanje iz

skupa A u skup B. Piemo f : A B ili A f B.Skup A se naziva deniciono podruje ili domen funkcije f , a skup B jepodruje vrijednosti ili kodomen funkcije f . esto se preslikavanje poisto-vjeuje sa zakonom pridruivanja ukoliko je jasno is konteksta ta je domen,

a ta kodomen.

Element b skupa B pridruen elementu a A prema pravilu f obiljea-vamo sa f(a), dakle b = f(a). Element a se naziva nezavisnom varijablom iliargumentom funkcije f , dok je b zavisna varijabla funkcije f , odnosno slikaelementa a.Neka su data dva preslikavanja f : A B i g : B C takva da sekodomen prvog preslikavanja podudara sa domenom drugog preslikavanja.

Preslikavanje h : A C denirano sa h(a) = g(f(a)) za svako a A jednoz-nano je odreeno i naziva se kompozicijom preslikavanja f i g i oznaava sag f .Za preslikavanja mogue je postaviti i neke dodatne zahtjeve. Neka je

dato preslikavanje f : A B.

11

1.3.Elementi teorije algebarskih struktura Doc. dr. Almasa Odak

f je sirjektivno ili "preslikavanje na" ako je slika domena cijeli kodomen.

f je injektivno ili "1-1 preslikavanje" ako razliiti elementi domena imajurazliite slike.

f je bijektivno ili obostrano jednoznano preslikavanje ako je i sirjektivnoi injektivno.

Ako je f bijektivno preslikavanje skupa A na skup B, onda postoji funk-cija koja preslikava skup B na skup A, koja svakom elementu b B pri-druuje element a A, takav da je b = f(a). Ovako denirana funkcija jeinverzna funkcija nkcije f i oznaava se sa f1. Tada vrijedi f1(f(a)) = a.

1.3 Elementi teorije algebarskih struktura

Sa pojmom operacije smo se ve susretali ranije. Na primjer, kada iskazu

pridruuje negirani iskaz vrimo operaciju negacije iskaza. Ova operacija

jednom iskazu pridruuje novi iskaz, takve operacije nazivamo unarnim. U

sluaju konjuncije iskaza, paru iskaza pridruujemo novi iskaz, konjunkciju

poetnih iskaza, to je primjer binarne operacije. Mogu se denirati i ter-

narne, i openito n-arne operacije.Na skupu realnih brojeva pridruivanje broju a brojaa je primjer unarneoperacije, dok su operacije sabiranja ili mnoenja dva realna broja primjeri

binarnih operacija.

Operacija se mogu denirati na proizvoljnom skupu. Za skup G na kojemje denirana jedna ili vie operacija kaemo da je algebarska struktura. Za

razmatranje algebarskih struktura od posebnog su znaaja binarne operacije.

Preciznu deniciju dat emo u nastavku.

Denicija 1.10. Binarna operacija na skupu A je svako preslikavanjekoja preslikava elemente Dekartovog proizvoda skupa A u skup A, to jeste : A A A.Iz prethodne denicije je jasno da binarne operacije ureenom paru (a, b)

A A pridruuju elemenat c skupa A. Elemenat c nazivamo rezultatom bi-narne operacije na paru (a, b) i piemo c = (a, b) ili c = a b.Za binarnu relaciju deniranu na ovaj nain esto se kae da je unutranja

binarna operacija, jer je rezultat operacije u istom skupu kao i operandi.

Takoe kaemo da je skup A zatvoren u odnosu na operaciju .

12


Treba napomenuti da postoje skupovi i operacije denirane na njima koji

ne posjeduju osobinu zatvorenosti. Na primjer skup neparnih brojeva nije

zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja jer zbir dva neparna broja nije

neparan broj. Primijetimo da je ovaj skup zatvoren u odnosu na operaciju

mnoenja.

Svojstvo zatvorenosti se naziva i svojstvom grupoidnosti, otuda proizilazi

i sljedea denicija.

Denicija 1.11. Ureen par (G, ) nepraznog skupa G i binarne operacije na G nazivamo grupoid.

Primjer 1.7. (N,+), (N, ), (Z,+), (Z, ), (Q,+), (N, ), (R,+), (R, ),(P(A),), (P(A),) su grupoidi.Za operacije mogue je postaviti i neke dodatne zahtjeve. Neka je Aneprazan skup i neka je data operacija : A A A. je asocijativna ako (a, b, c A)(a b) c = a (b c). Za grupoidu kojem operacija zadovoljava svojstvo asocijativnosti kaemo da jeasocijativan.

je komutativna ako (a, b A)ab = ba. Za grupoid u kojem operacija zadovoljava svojstvo komutativnosti kaemo da je komutativan.

e je neutralni element za (a A)a e = e a = a.Ukoliko postoji neutralni elemenat u odnosu na operaciju moemo uvesti ipojam invertibilnosti.

a je invertibilan u odnosu na ako (b A)a b = b a = e. Elemenatb nazivamo inverznim elementom elementa a i obiljeavamo ga sa a.

Na primjer sabiranje i mnoenje na skupu prirodnih brojeva posjeduje

osobine asocijativnosti i komutativnosti. Mnoenje ima neutralan element

(1), dok u skupu prirodnih brojeva ne postoji neutralni element za sabiranje

(0 ne pripada skupu prirodnih brojeva). U skupu prirodnih brojeva, na

primjer, broj 2 nije invertibilan u odnosu na mnoenje, ne postoji njegov

inverzni element.

Zadatak 1.6. Neka je na skupu R denisana relacija . Ispitati osobineasocijativnosti i komutativnosti.

13


a) a b = a+b2,

b) a b = ab+ a b.Uvedene osobine omoguavaju deniranje sloenijih algebarskih struktura

u odnosu na grupoid.

Denicija 1.12. Asocijativan grupoid (G, ) je polugrupa.Denicija 1.13. Gupoid (G, ) koji je asocijativan, u kojem postoji baremjedan neutralni elemenat i u kojem je svaki elemenat invertibilan je grupa.

Denicija 1.14. Grupa (G, ) u kojoj operacija zadovoljava svojstvo ko-mutativnosti je Abelova grupa.

Denicija 1.15. Neka je (G, ) grupa i H G takav da je (H, ) grupa,tada kaemo da je (H, ) podgrupa grupe (G, ).Primjer 1.8. (i) (Z,+), (Q,+) i (R,+) su primjeri Abelovih grupa. Ne-utralni element je 0, a inverzni element elementa a je a.(i) (Q \ {0}, ) i (R \ {0}, ) su primjeri Abelovih grupa. Neutralni elementje 1, a inverzni element elementa a je 1

a. Za grupu na kojoj je operacija

operacija mnoenja kaemo da je multiplikativna.Primjer 1.9. Ureen par (Rn,+), pri emu je operacija sabiranja denisanapo komponentama, to jeste sa

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

je Abelova grupa. Ova injenica proizilazi iz injenice da je (R,+) Abelovagrupa i naina na koji je denirana operacija sabiranja. Neutralni element

je (0, . . . , 0), a inverznoi element elementa (x1, . . . , xn) je (x1, . . . ,xn).Za grupu na kojoj je operacija obiljeena znakom + kaemo da je adi-tivna, tada se neutralni elementa naziva nulom i obiljeava sa 0, a inverzni

elemenat elementa a se naziva suprotnim i oznaava se sa a. Ukoliko jeoperacija obiljeena sa kaemo da je grupa multiplikativna, neutralni ele-ment se naziva jedinica i biljeava se sa 1, a inverzni elemenat elementa a seoznaava sa a1.U narednom teoremu kojeg navodimo bez dokaza dat emo osnovne oso-

bine grupe.

14


Teorem 1.1. Neka je (G, ) grupa. Tada vrijedi:(i) Neutralni element je jedinstven.

(ii) Za svaki elemenat g G inverzni element g je jedinstven.(iii) Za neutralni elemenat e G vrijedi e = e.(iv) Za svaki elemenat g G vrijedi (g) = g.(v) Za svaka dva elemenata g1, g2 G vrijedi (g1 g2) = g2 g1.Bogatije strukture od grupe mogue je dobiti ako na nekom skupu de-

niramo dvije binarne operacije koje su meusobno usklaene. Na primjer

na skupovima brojeva moemo vriti sabiranje i mnoenje. Obino se ve u

denicijama pomenutih struktura operacije obiljeavaju sa + i . Tako emoi mi uiniti.

Denicija 1.16. Neka je P neprazan skup na kojem su denirane dvijeoperacije + i . Ureena trojka (P,+, ) je prsten ukoliko su zadovoljenisljedei uslovi:

(i) (P,+) je Abelova grupa,

(ii) (P, ) je polugrupa,(iii) zadovoljene su osobine distribuditvnosti date sa

(a, b, c P )a (b+ c) = a b+ a c

(a, b, c P )(a+ b) c = a c+ b c.

Primjer 1.10. (Z,+, ), (Q,+, ) i (R,+, ) su prsteni.Za neutralni elemenat 0 Abelove grupe (P,+) kaemo da je nula prstena

(P,+, ). Ukoliko polugrupa (P, ) ima neutralni elemenat kaemo da je tojedinica prstena (P,+, ) i obiljeavamo je sa 1. Za prsten kaemo da jeprsten s jedinicom. Za prsten (P,+, ) kaemo da je komutativan ukoliko jeoperacija komutativna.Narednim teoremom navodimo osnovne osobine prstena.

Teorem 1.2. Neka je (P,+, ) prsten. Tada za svako a, b, c P vrijedi:

15

1.4.Elementi teorije vektorskih prostora Doc. dr. Almasa Odak

(i) a 0 = 0 a = 0.(ii) a b = (a b) = a (b).(iii) (a) (b) = a b.Denicija 1.17. Prsten (P,+, ) u kojem je (P \ {0}, ) grupa je tijelo.Denicija 1.18. Komutativno tijelo je polje.

Primjer 1.11. (Q,+, ), (R,+, ) i (R,+, ) su polja.

1.4 Elementi teorije vektorskih prostora

U prethodnom odjeljku upoznali smo se sa pojmom binarne operacije, kojom

smo paru elemenata nekog skupa pridruivali novi elemenat tog skupa. Me-

utim, neto drugaija situacija od opisane je, na primjer, operacija mnoenja

vektora skalarom. U ovom sluaju operacija se vri meu elementima dva

razliita skupa. Ova i sline situacije opisuju se pojmom vektorskih prostora.

Denicija 1.19. Neka je (V,+) komutativna grupa, a (F,+, ) polje. Nekaje denirano preslikavanje F V V sa (, a) 7 a, tako da za svakoa, b V i svako , F vrijedi(i) (a+ b) = a+ b,

(ii) ( + )a = a+ a,

(iii) (a) = ()a,

(iv) 1a = a.

Tada kaemo da je V vektorski prostor nad poljem F i oznaavamo ga sa

V(F).

Elemente skupa V nazivamo vektorima, a elemente skupa F skalarima. Usluaju kada je polje F skup realnih brojeva govorimo o realnom, a u sluajuF = C o kompleksnom vektorskom prostoru.Za operaciju uvedenu prethodnom denicijom kae se da je eksterna bi-

narna operacija.

16


Primjer 1.12. Skup Rn u kome je sabiranje denirano kao u primjeru 1.9i eksterna binarna operacija R Rn Rn sa,

a(x1, . . . , xn) = (ax1, . . . , axn)

je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Za dati vektorski prostor mogue je denirati i njegov podprostor.

Denicija 1.20. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i W neprazanpodskup skupa V . W je podprostor vektorskog prostora V ako je W vektorskiprostor nad poljem F u odnosu na operacije koje su denirane u V .

Jednostavan kriterij za ispitivanje da li je neki skup podprostor vektorskog

prostora dat je uslovom sadranim u sljedeemo teoremu.

Teorem 1.3. Neka je W neprazan podskup vektorskog prostora V nad poljemF , W je podprostor vektorskog prostora V akko vrijedi

(a W )( F )a W, (1.1)

(a, b W )a+ b W. (1.2)Uslov (1.1) se naziva uslovom homogenosti, dok je (1.2) uslov aditivnosti.

Jednostavno se pokazuje da ovi uslovi mogu biti zamijenjeni jednim uslovom

datim sa

(a, b W )(, F )a+ b W. (1.3)Ovaj uslov se naziva uslovom linearnosti.

Usko povezan pojam sa pojmom vektorskih prostora je pojam linearne

kombinacije, linearno zavisnih i nezavisnih vektora.

Denicija 1.21. Neka je V vektorski prostor nad poljem F i neka su vi,(i = 1, . . . n) vektori prostora V i i, (i = 1, . . . n) skalari polja F , tadavektor

v = 1v1 + 2v2 + . . .+ nvn

nazivamo linearnom kombinacijom vektora vi, (i = 1, . . . n) sa skalarima i,(i = 1, . . . n).

U sluaju kada je i = 0, (i = 1, . . . n) kaemo da je linearna kombinacijatrivijalna.

17


Denicija 1.22. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Za vektorevi V , (i = 1, . . . n) kaemo da su linearno zavisni ako postoje skalarii F , (i = 1, . . . n) od kojih je bar jedan razliit od 0 takvi da je

1v1 + 2v2 + . . .+ nvn = 0.

Za vektore vi V , (i = 1, . . . n) koji nisu linearno zavisno kaemo da sulinearno nezavisni.

Sljedei teorem daje neke vaen osobine linearno zavisnih i linearno ne-

zavisnih vektora.

Teorem 1.4. (i) Niz vektora koji sadri nula vektor je zavisan.

(ii) Niz vektora koji sadri linearno zavisan podniz vektora je linearno za-

visan.

(iii) Svaki podniz linearno nezavisnog niza je linearno nezavisan.

(iv) Ukoliko su dva vektora niza jednaka niz je linearno zavisan.

(v) Niz vektora je zavisan akko se bar jedan od njih moe napisati kao

linearna kombinacija preostalih.

Za proizvoljno odabran skup vektora nekog prostora znaajno je posma-

trati skup svih linearnih kombinacija vektora iz tog skupa, pokazuje se da je

to njmanji vektorski prostor koji sadri odabrane vektore.

Denicija 1.23. Neka je S neprazan skup vektora vi, (i = 1, . . . n) vek-torskog prostora V nad poljem skalara F . Skup svih linearnih kombinacijaposmatranih vektora

L(S) = L({v1, . . . , vn}) = {1v1 + . . .+ nvn : i F, i = 1, . . . , n}nazivamo lineal vektora vi, (i = 1, . . . n).Kaemo da je lineal L(S) generisan skupom S i da je S generator lineala

L(S).

Teorem 1.5. Lineal L({v1, . . . , vn}) vektora vi, (i = 1, . . . n) vektorskog pros-tora V nad poljem skalara F je podprostor prostora V .

Teorem 1.6. Lineal L({v1, . . . , vn}) vektora vi, (i = 1, . . . n) je najmanjivektorski prostor koji sadri vektore vi, (i = 1, . . . n).

18


Imajui u vidu upravo navedeno prirodno je postaviti pitanje u kojem

sluaju skup S generie poetni prostor V . Posebno znaajna situacija je usluaju kada je skup S konaan, o tome govorimo u nastavku.

Denicija 1.24. Ako u vektorskom prostoru V nad poljem F postoji skup Stako da je L(S) = V kaemo da je V generisan skupom S. Ako je S konaankaemo da je vektorski prostor konano generisan.

Postavljanjem uslova linearne nezavisnosti za elemente generatora vek-

torskog prostora uvodi se pojam baze vektorskog prostora.

Denicija 1.25. Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Skup vektora Bje baza vektorskog prostora V ako je V generisan skupom B, to jeste L(B) =V i B je linearno nezavisan skup vektora u V .

Znaaj baze ogleda se u njenim osobinama koje emo navesti u narednim

teoremima.

Teorem 1.7. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko je taj skup maksimalan linearno nezavisan skup.

Teorem 1.8. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko je taj skup minimalan skup koji generie vektorski prostor V .

Teorem 1.9. Skup B vektora vektorskog prostora V nad poljem F je bazaakko se svaki vektor prostora V moe napisati kao linearna kombinacija ele-menata skupa B.

Teorem 1.10. Ako je V konano dimenzionalan vektorski prostor nad poljemF , tada sve baze imaju isti broj elemenata.

Posljednji teorem je motivacija za uvoenje pojma dimenzije.

Denicija 1.26. Neka vektorski prostor V nad poljem F ima bazu sa nelemenata, tada se prirodan broj n naziva dimenzija konano dimenzionalnogvektorskog prostora. Piemo n = dim(V ).

Teorem 1.11. Neka je V vektorski prostor nad poljem F dimenzije n. Tadasvaki skup od n linearno nezavisnih vektora ini bazu.

19


Primjer 1.13. Posmatrajmo vektore

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), e3 = (0, 0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1)

prostora Rn. Skup {e1, e2, e3, . . . , en} je baza vektorskog prostora Rn. Ovabaza se esto naziva i kanonskom. Proizvoljan element (x1, x2, x3, . . . , xn)prosotra Rn moe se napisati preko elemenata baze na sljedei nain

(x1, x2, x3, . . . , xn) = x1e1 + x2e2 + x3e3 + . . .+ xnen.

Dimenzija prostora Rn je n.

20

Sadraj

Sadraj ii

1 Uvod 0

2 Matrice i determinante 1

2.1 Pojam matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Sabiranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Mnoenje matrica skalarom . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Mnoenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.4 Transponovanje matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

POGLAVLJE 2

Matrice i determinante

U ovom poglavlju uvest emo pojam matrice. Matrice i operacije s ma-

tricama su pogodne za zapisivanje i rjeavanje sistema linearnih jednaina,

koriste se u teoriji linearnih transformacija, kao i u mnogim drugim oblas-

tima matematike. Pogodne su za zapisivanje podataka koji zavise od dva

parametra.

2.1 Pojam matrice

Denicija 2.1. Neka je P skup brojeva. Funkciju

A : {1, 2, . . . ,m} {1, 2, . . . , n} Pdatu sa (i, j) 7 aij nazivamo matricom formata m n nad skupom P .Matrice obino zapisujemo u obliku pravougaone sheme elemenata aij

i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n skupa P , to jeste u obliku

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn

.

2.1.Pojam matrice Doc. dr. Almasa Odak

Koristi se i skraena oznaka A = (aij)mn. U literaturi se koriste i sljedeeoznake A = [aij]mn i A = aijmn. Brojeve aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,nazivamo elementima matrice. Elementi ai1, ai2, . . . , ain ine i-ti red (vrstu)matrice, dok brojevi a1j, a2j, . . . , amj ine j-tu kolonu (stubac) matrice A.Dakle, element aij lei u i-tom redu i j-toj koloni.Obino je P neko polje brojeva. Skup svih matrica formata m n nadpoljem P obiljeavamo sa Mm,n(P ). U sluaju kada je P = R govorimo orealnim, a za P = C o kompleksin matricama. Skup svih realnih matrica seobiljeava i sa Rmn, a kompleksnih sa CmnMi emo se u nastavku, radi jednostavnosti bazirati na rad s realnim

matricama, mada se svi pojmovi mogu generalizirati i za sluaju proizvoljnog

skupa brojeva.

Denicija 2.2. Matricu sa istim broj redova i kolona, to jeste matricu for-

mata n n nazivamo kvadratnom matricom reda n.Dakle, kvadratna matrica reda n je oblika

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 ann

.Za elemente a11, a22, . . . , ann kaemo da su elementi glavne dijagonale kva-dratne matrice A, dok su elementi a1n, a2n1, . . . , an1 elementi sporedne di-jagonale matrice A.

Primjer 2.1. Neka je

A =

2 5 0 50 1 3 22 2 4 1

,B = 3 2 14 0 42 3 7

.Matrica A je pravougaona matrica formata 34, dok je matrica B kvadratnamatrica reda 3. Elementi 0,1,-3,2 su elementi drugog reda matrice A, ele-menti 0,-3,4 su elementi tree kolone te matrice. Elementi 3, 0, 7 ine glavnu

dijagonalu matrice B, dok su elementi -1,0,-2 elementi sporedne dijagonalete matrice.

Postavljajui zahtjeve na format matrice ili na elemente matrice dobijamo

neke specijalne tipove matica.

2


Matricu formata 1 n nazivamo matrica red ili matrica vrsta(a11 a12 a1n

),

a matricu formata m 1 matrica kolona ili matrica stubaca11a21.

.

.

am1

.Matrice red i matrice kolona nazivamo i vektorima.

Kvadratnu matricu iji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0nazivamo dijagonalnom

a11 0 00 a22 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 ann

.

Kvadratnu matricu iji su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki0 nazivamo donjom trougaonom matricom

a11 0 0a21 a22 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 ann

,a onu iji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0 nazivamo

gornjom trougaonom a11 a12 a1n0 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 ann

.

3


Matricu iji su svi elementi jednaki nula nazivamo nula matrica0 0 00 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0

.Nula matrica se obiljeava sa 0mn ili samo sa 0 ako se iz kontekstazna o kojem formatu se radi.

Dijagonalnu matricu reda n iji su elementi na dijagonali jednaki 1nazivamo jedininom matricom i obiljeavamo je sa En ili In

En =

1 0 00 1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1

.esto se pie samo E ili I ukoliko je iz konteksta jasno o kojem redumatrice se radi.

Primjer 2.2. Primjeri matrica su

A1 =(2 3 5 1

),A2 =

(a b

),A3 =

(xy

),A4 =

2.304

,

A5 =

2 0 00 1 00 0 4

,A6 =

a 0 0 00 0 0 00 0 b 00 0 0 c

,A7 =

1 3 2 20 2 8 60 0 3 30 0 0 4

,

A8 =

2 0 0 03 6 0 04 4 5 06 3 0 7

,A9 = ( 0 0 0 00 0 0 0),A10 =

1 0 00 1 00 0 1

.Matrice A1 i A2 su matrice vrsta, matrice A3 i A4 su matrice kolona. Ma-trice A5, A6 i A10 su primjeri dijagonalnih matrica. Matrica A7 je gornjatrougaona, a matrica A8 donja trougaona. Matrica A9 je primjer pravouga-one nula matrice, dok je matrica A10 jedinina matrica reda 3.

4

2.2.Operacije s matricama Doc. dr. Almasa Odak

U nastavku emo uvesti osnovne operacije s matricama, no prije toga

denirajmo relaciju jednakosti.

Denicija 2.3. Matrice A = (aij)mn i B = (bij)pq su jednake ako su istogformata i ako su im odgovarajui elementi jednaki, to jeste m = p, n = q iaij = bij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Zadatak 2.1. Pokazati da je relacija jednakosti za matrice na skupuMm,nrelacija ekvivalencije.

2.2 Operacije s matricama

U ovom odjeljku denirat emo osnovne operacije sa matricama: transpono-

vanje, sabiranje, mnoenje skalarom i mnoenje.

2.2.1 Sabiranje matrica

Dvije matrice istog formata A = (aij)mn i B = (bij)mn sabiraju se takoto im se saberu odgovarajui elementi, to jeste

A+B = (aij)mn + (bij)mn = (aij + bij)mn.

Primijetimo da je sabiranje matrica denirano samo za matrice istog for-

mata. Matrice razliitog formata se ne mogu sabirati.

Oduzimanje matrica se denie analogno. Dvije matrice istog formata

A = (aij)mn i B = (bij)mn oduzimaju se tako to im se oduzimaju odgo-varajui elementi, to jeste

AB = (aij)mn (bij)mn = (aij bij)mn.

Neka je A,B,C,0 Rmn. Sabiranje matrica posjeduje sljedee osobine

(i) Asocijativnost: (A+B) +C = A+ (B+C),

(ii) Komutativnost: A+B = B+A,

(iii) Nula matrica je neutralni element za sabiranje: 0+A = A+ 0 = A.

5


2.2.2 Mnozenje matrica skalarom

Matrica A = (aij)mn se mnoi skalarom R tako to se svaki elementpomnoi tim skalarom, to jeste

A = (aij)mn = (aij)mn.

Neka je A,B,0 Rmn, , R. Mnoenje matrica skalarom posjedujesljedee osobine

(i) (A+B) = A+ B,

(ii) ( + )A = A+ A,

(iii) ()A = (A),

(iv) 1A = A,

(v) 0A = 0.

Za svaku matricu A Rmn matricu (1)A oznaavamo krae sa A inazivamo suprotnom matricom matrice A. Za suprotnu matricu vrijedi

(vi) A+ (A) = A+A = 0.

2.2.3 Mnozenje matrica

Matrice A = (aij)mn i B = (bij)pq se mogu mnoiti samo ako je brojkolona matrice A jednak broju vrsta matrice B, odnosno ako je n = p. Uovom sluaju kaemo da su matrice A i B saglasne za mnoenje. Rezultujuamatrica C = AB je formata m q. Elemente cij matrice C raunamo poformuli

cij =n

k=1

aikbkj, (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , q).

Dakle, elemenat cij koji se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni matrice C = ABdobijemo tako to svaki element i-te vrste matrice A pomnoimo odgovara-juim elementom j-te kolone matrice B i te proizvode saberemo.Mnoenje matrica posjeduje sljedee osobine

(i) A(BC) = (AB)C, (A Rmn,B Rnp,C Rpq),

6


(ii) AEn = EmA = A, (A Rmn),(iii) A0np = 0mp, 0kmA = 0kn, (A Rmn),(iv) A(B+C) = AB+AC, (A Rmn,B,C Rnp),(v) (A+B)C = AC+BC, (A,B Rmn,C Rnp),(vi) AB = (A)B = A(B), R,A Rmn,B Rnp).Vano je napomenuti da mnoenje matrica u optem sluaju nije komu-

tativno. Naime, ako postoji proizvod AB matrica A i B, ne mora postojati iproizvod BA. Dodatno, i ako postoje oba proizvoda AB i BA to ne morajubiti matrice istog formata, ali ako i jesu istog formata, one u optem sluaju

nisu jednake.

U sluaju kada je matricaA kvadratna moemo je mnoiti samu sa sobom.U tom sluaju govorimo o stepenovanju matriceA. ZaA Rnn po denicijistavjamo

A0 = En, An = An1A (n N).

2.2.4 Transponovanje matrice

Transponovana matrica matrice A = (aij)mn je matrica AT = (aji)nm.Dakle, transponovanu matricu matrice A dobijemo tako to zamijenimoulogu kolona i vrsta.

Operacija transponovanja zadovoljava sljedee osobine

(i) (AT )T = A, (A Rmn),(ii) (A+ B)T = AT + BT , (, R,A,B Rmn),(iii) (AB)T = BTAT , (A Rmn,B Rnp).U sluaju kada je A = AT kaemo da je matrica A simetrina, a kada je

A = AT kaemo da je ona kososimetrina. Ukoiko je AAT = Em kaemoda je matrica A ortogonalna.Ukoliko su elementi matrice iz skupa kompleksnih brojeva onda se esto

posmatra matrica koja se dobije od poetne transponovanjem i konjugova-

njem elemenata. Takva matrica se obiljeava sa AH . Dakle, za A = (aij)mnje AH = (aji)nm.Koristei upravo uvedenu matricu uvodimo i sljedee tipove matrica.

7

2.3.Determinante Doc. dr. Almasa Odak

U sluaju kada je A = AH kaemo da je matrica A hermitska, a kada jeA = AH kaemo da je ona kosohermitska. Ukoiko je AAH = Em kaemoda je matrica A unitarna, a ako je AAH = AHA kaemo da je matrica Anormalna.

Imajui u vidu uvedene operacije sa matricama i njihove osobine moe se

zakljuiti da vrijede sljedei teoremi.

Teorem 2.1. (Rmn,+) je Abelova grupa.Teorem 2.2. (Rmn,+, ), gdje je operacija mnoenja matrica skalarom,je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

Primijetimo da (Rmn, ), gdje je operacija mnoenja matrica u optemsluaju nije ni grupoid. Naime, proizvod dvije matrice formata m n zam 6= n ne postoji, pa taj skup nije zatvoren u odnosu na mnoenje. Spe-cijalno, za m = n skup (Rnn, ) jeste grupoid, zbog zadovoljenog uslovaasocijativnosti, to je i polugrupa. No, postavlja se pitanje da li je (Rnn, )grupa. Iz osobine (ii) mnoenja matrica slijedi da je jedinina matrica redan neutralni element u (Rnn, ), pa za odgovor na postavljeno pitanje neo-phodno je ispitati egzisteniciju inverznog elementa matrice A u odnosu naoperaciju mnoenja.

U nastavku emo posebnu panju posvetiti kvadratnim matricama, jer

su upravo one matrice koje mogu posjedovati inverzni elemenat u odnosu na

mnoenje.

2.3 Determinante

U svrhu ispitavanja egzistencije i nalaenja inverznog elementa matrice A Rnn u odnosu na operaciju mnoenja matrica uvodimo pojam determinante.Precizna denicija determinanti se uvodi pomou pojma permutacija i

matematiki je prilino zahtjevna i ovdje je neemo navoditi. Smatrat emo

da je determinata matrice A Rnn realan broj pridruen toj matrici iopisati induktivni postupak za raunanje tog broja. Determinantu matrice

A obiljeavamo sa detA, det(A) ili |A|. U optem sluaju determinantumatrice reda n piemo u obliku

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 ann

8


i za determinantu kaemo da je reda n. Pojmovi elemenata, redova, kolona,dijagonale i sporedne dijagonale determinante su potpuno analogni odgova-

rajuim pojmovima za matrice.

Opti oblik matrice prvog reda je (a11). Njena determinanta je |a11| = a11.Dakle, determinanta matrice prvog reda jednaka je njenom jedinom elementu.

Opti oblik matrice drugog reda je

(a11 a12a21 a22

). Njena determinanta je

a11 a12a21 a22 = a11a22 a21a12.Dakle, determinanta matrice drugog reda jednaka je razlici proizvoda eleme-

nata na glavnoj dijagonali i proizvoda elemenata na sporednoj dijagonali.

Opti oblik matrice treeg reda je

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

. Njena determi-nanta je

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.Izraz za determinantu treeg reda moe se izvesti koristei tzv. Sarusovo

pravilo. Ono se sastoji u sljedeem. S desne strane determinante dopiemo

prvu i drugu kolonu te determinante, raunamo proizvod elemenata na glav-

noj dijagonali i na dvjema linijama paralelnim sa glavnom dijagonalom i

njih uzimamo sa znakom plus, a potom raunamo proizvode elemenata na

sporednoj dijagonali i dvjema linijama paralalnim sa njom i uzimamo ih sa

znakom minus. Ilustracija Sarusovog pravila data je u nastavku.

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12a21 a22a31 a32

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33Treba napomenuti da se opisano pravilo moe koristiti iskljuivo za raunanje

determinanti treeg reda i ne moe se uoptiti na determinante veeg reda.

Drugi nain raunanja matrica treeg reda je pomou matrica drugog reda.

9


Ovaj drugi metod je znaajan jer se moe uoptiti i za raunanje determinanti

vieg reda. Da bi ga mogli opisati potrebno je uvesti pojmove minora i

kofaktora elementa aij matrice A.

Denicija 2.4. Neka je A Rnn i aij proizvoljan elemenat te matrice.Determinanta reda n 1 koju dobijemo brisanjem i-tog reda i j-te kolone izdeterminante matrice A nazivamo minor elementa aij matrice A. Obiljea-vamo ga sa Mij.

Denicija 2.5. Neka je A Rnn i aij proizvoljan element te matrice. Broj(1)i+jMij nazivamo kofaktorom elementa aij matrice A. Obiljeavamo gasa Aij.

Primijetimo da determinantu treeg reda moemo napisati na sljedei

nain.

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31)= a11

a22 a23a32 a33 a12 a21 a23a31 a33

+ a13 a21 a22a31 a32

= a11M11 a12M12 + a13M13= a11A11 + a12A12 + a13A13.

Dakle, determinantu treeg reda napisali smo kao proizvod elemenata prve

vrste i njima odgovarajuih kofaktora. Kaemo da smo determinantu razvili

po prvoj vrsti. Moe se pokazati da se razvoj moe izvriti po bilo kojoj vrsti

ili koloni. Pokazuje se da se opisani postupak moe pooptiti na raunanje

determinante bilo kojeg reda, to jeste vrijedi sljedei teorem.

Teorem 2.3. Determinanta reda n jednaka je zbiru proizvoda elemenata makoje vrste ili kolone i njima odgovarajuih kofaktora

det(A) =ni=1

aijAij, (j = 1, . . . , n),

det(A) =nj=1

aijAij, (i = 1, . . . , n).

10


Opisani postupak se naziva Laplasov razvoj determinante. Obzirom da

se u ovom postupku kofaktori mnoe sa elementima vrste ili kolone po kojoj

se razvoj vri jasno je da je najpogodnije za razvoj birati kolonu ili vrstu koja

ima najvie elemenata jednakih nuli.

Postupak opisan u teoremu 2.3 je induktivnog karektera i teorijski omo-

guava raunanje determinante bilo kojeg reda, no ovaj postupak za deter-

minante veeg reda nije od praktinog znaaja. Naime broj operacija koje

treba obaviti za raunanje determinante reda n je reda n!. Ekasniji nainiza raunanje determinanti zasnivaju se na primjeni osobina determinanti. U

nastavku emo navesti neke od njih.

(i) Determinanta matrice koja ima vrstu (kolonu) koja se sastoji od samih

nula jednaka je 0.

(ii) Determinanta gornje ili donje trougaone matrice jednaka je proizvodu

elemenata na dijagonali. Specijalno, determinanta dijagonalne matrice

jednaka je proizvodu elemenata na dijagonali.

(iii) Determinanta matrice koja ima dvije jednake ili proporcionalne vrste

(kolone) jednaka je 0.

(iv) Ukoliko vrste i kolone matrice zamijene uloge determinanta matrice se

ne mijenja. Dakle det(A) = det(AT ).

(v) Determinanta mijenja predznak ukoliko dvije susjedne vrste (kolone)

zamijene mjesta.

(vi) Determinanta se mnoi skalarom tako to se jedna, proizvoljno oda-

brana, vrsta ili kolona determinante pomnoi tim skalarom. Drugim

rijeima, zajedniki faktor elemenata jedne vrste (kolone) moe se iz-

vui ispred determinante.

(vii) Determinanta je multilinearna funkcija svojih kolona (vrsta), to jeste

11

2.4.Inverzna matrica Doc. dr. Almasa Odak

vrijedia11 . . . a1i . . . a1na21 . . . a2i . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 . . . ani . . . ann

=a11 . . . b1i + c1i . . . a1na21 . . . b2i + c2i . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 . . . bni + cni . . . ann

=

a11 . . . b1i . . . a1na21 . . . b2i . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 . . . bni . . . ann

+ a11 . . . c1i . . . a1na21 . . . c2i . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 . . . cni . . . ann

.(viii) Vrijednost determinante ostaje nepromijenjena ukoliko sve elemente

jedne vrste (kolone) pomnoimo nekim realnim brojem i saberemo sa

odgovarajuim elementima neke druge vrste (kolone).

(ix) Za A,B Rnn vrijedi det(AB) = det(A)det(B).(x) Determinanta je razliita od nule ako i samo ako su vrste (kolone)

matrice linearno nezavisne.

Prilikom raunanja determinante posebno je pogodno koristiti osobinu

(viii). Primjenom transformacija opisanih ovom osobinom vrijednost deter-

minante se ne mijenja. Cilj je, njihovom primjenom, determinantu transfor-

misati na determinantu gornje ili donje traougaone matrice, a takve je lagano

izraunati primjenom osobine (ii).

2.4 Inverzna matrica

Pojam inverznog elementa u optem sluaju smo uveli ranije. Specijalno za

matricu A Rnn inverzna matrica je matrica B takva da jeAB = BA = En. (2.1)

Jedinstvenost inverzne matrice, ukoliko ona postoji, garantovana je slje-

deim teoremom.

Teorem 2.4. Neka je A Rnn. Ako postoji matrica B koja zadovoljava(2.1), onda je ona jedinstvena.

12


Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije matrice B1 i B2 koje zadovoljavaju(2.1). Pokaimo da je B1 = B2. Iz (2.1) slijedi

(B1A)B2 = EnB2 = B2,

(B1A)B2 = B1(AB2) = B1En = B1.

Dakle, B1 = B2, pa je dokaz zavren.

Obzirom na jedinstvenost, inverznu matricu matrice A, oznaavamo saA1.

Denicija 2.6. Za matricu A Rnn kaemo da je regularna ukoliko onaima inverznu matricu. U protivnom kaemo da je matrica A singularna.

Prirodno je postaviti pitanje postoji li ekasan metod za ispitivanje re-

gularnosti matrice.

U nastavku emo dokazati teorem koji nam daje metod ispitivanja regu-

larnosti pomou determinate i istovremeno eksplicitnu formulu za raunanje

inverzne matrice matrice A. Prije formulacije pomenutog teorema uvedimopojam adjungovane matrice i dokaimo jedan vaan rezultat za adjungovanu

matricu koji emo koristiti u nastavku.

Denicija 2.7. Neka je A Rnn. Matricu adj(A) = (Aij)T = (Aji)zovemo adjungovanom matricom matrice A.

Dakle, adjungovanu matricu matrice A dobijemo tako to svaki elementaij matrice A zamijenimo njegovim kofaktorom Aij i tako dobijenu matricutransponujemo. U nekoj literaturi se matrica sainjena od kofaktora matrice

A obiljeava sa A, a adjungovana matrica sa A.Operacija adjungovanja zadovoljava sljedee osobine.

(i) adj(AB) = adj(B)adj(A), (A,B Rnn),

(ii) adj(AT ) = (adj(A))T , (A Rnn).

Jo jedna vana osobina adjungovanja matrice data je sljedeim teore-

mom.

Teorem 2.5. Neka je A Rnn. Vrijedi Aadj(A) = adj(A)A = det(A)En.

13


Dokaz. Iskoristimo li razvoj determinante matrice A po j-toj (j = 1, . . . , n)koloni dobijamo jednakost

ni=1

aijAij = det(A).

Modikujemo li matricu adj(A) tako to algebarske komplemente Aij kolonej zamijenimo komplementima iz kolone k, k 6= j, dobijamo matricu koja imadvije iste kolone, pa je prema osobini (iii) determinanti determinanta takvematrice 0. Dakle, vrijedi

ni=1

aijAik = 0,

jer je gornja suma razvoj modikovane matrice po j-toj koloni. Dvije pos-ljednje jednakosti moemo objediniti koristei Kronekerov simbol dat sa

jk =

{1, j = k;0, j 6= k.Dakle,

ni=1

aijAik = jkdet(A).

Sada koristei deniciju mnoenja matrica jednostavno zakljuujemo da je

Aadj(A) = det(A)En. Analogno se dobije i adj(A)A = det(A)En, pa jetvrdnja teorema dokazana.

Teorem 2.6. Neka je A Rnn. Matrica A je regularna akko je det(A) 6= 0.Ako je A regularna, onda je

A1 =1

det(A)adj(A).

Dokaz. Neka je A regularna matrica. Tada postoji matrica A1 takva daje AA1 = A1A = En. Prema osobini (ix) determinanti slijedi da jedet(AA1) = det(A)det(A1), a prema osobini (ii) determinanta jedininematrice je 1, pa vrijedi det(A)det(A1) = 1. Dakle, mora biti det(A) 6= 0, pasmo dokazali da ukoliko je matrica A regularna , determinanta joj je razliitaod nula. Takoe slijedi da je u tom sluaju

det(A1) =1

det(A).

14

2.5.Rang matrice Doc. dr. Almasa Odak

Pokaimo sada da vrijedi obrat. Neka je det(A) 6= 0, pokaimo da je ma-trica A regularna. Dijeljenjem sa det(A) jednakosti iz teorema 2.5 dobijamoda vrijedi

1

det(A)adj(A)A = A

1

det(A)adj(A) = En,

pa iz denicije inverzne matrice slijedi da je A1 = 1det(A)

adj(A).

Invertovanje matrice zadovoljava sljedee osobine.

(i) Ako je A Rnn regularna matrica, tada je i A1 takoe regularna ivrijedi (A1)1 = A.

(ii) Ako su A,B Rnn regularne matrice tada je i AB regularna matricai vrijedi (AB)1 = B1A1.

(iii) Ako je A Rnn regularne matrica tada je i AT regularna matrica ivrijedi (AT )1 = (A1)T .

2.5 Rang matrice

Vaan pojam vezan za matrice je i rang matrice. Moe se koristiti za ispitiva-

nje regularnosti matrice, a vrlo je pogodan za rjeavanje sistema jednaina,

kao to emo vidjeti u sljedeem poglavlju.

Za razliku od determinante matrice koja moe biti pridruena samo kva-

dratnim matricama, rang matrice moe se odrediti za proizvoljnu matricu

formata m n.Neka je A Rmn proizvoljna matrica. Ukoliko je m 6= n, determinantamatrice A ne postoji. Meutim od kolona i vrsta matrice A mogue jeformirati nove matrice koje su kvadratne, pa je za njih mogue raunati

determinantu. Upravo navedeno slui za uvoenje pojma ranga matrice. Za

preciznu deniciju prvo uvedimo pojam podmatrice.

Denicija 2.8. Neka je A Rmn. Svaka matrica koja se iz matrice Amoe dobiti uklanjanjem bilo kojih vrsta i (ili) kolona je podmatrica matrice

A. Ukoliko je B podmatrica matrice A formata r r kaemo da je onakvadratna i da je reda r.

Denicija 2.9. Neka je A Rmn. Rang ne-nula matrice A je red njenenajvee kvadratne podmatrice kojoj je determinanta razliita od nula. Rang

nula matrice je 0. Rang matrice A oznaavamo sa r(A) ili rang(A).

15


Iz denicije odmah slijedi da za A Rmn vrijedi r(A) min{m,n}.Pokazuje se da se rang matrice moe izraziti i pomou linearne nezavis-

nosti redova i kolona. Ovu osobinu navodimo u narednom teoremu kojeg

dajemo bez dokaza.

Teorem 2.7. Rang matrice A jednak je maksimalnom broju linearno neza-visnih kolona matrice A. Maksimalan broj linearno nezavisnih kolona jednakje maksimalnom broju linearno nezavisnih vrsta posmatrane matrice.

Iz posljednjeg teorema odmah slijedi jo jedna osobina ranga matrice.

Vrijedi r(A) = r(AT ).Odreivanje ranga matrice, bilo po deniciji bilo koristei teorem 2.7, je

zahtjevan posao, jednostvaniji nain opisat emo u nastavku. Zasniva se na

primjeni elementarnih transformacija.

Denicija 2.10. Elementarne transformacije matrice su

(i) zamjena mjesta dvije vrste ili kolone,

(ii) mnoenje vrste ili kolone skalarom razliitim od 0,

(iii) mnoenje elemenata jedne vrste ili kolone skalarom razliitim od 0 i

dodavanje odgovarajuim elementima neke druge vrste ili kolone.

Denicija 2.11. Ako se matrica A moe dobiti iz matrice B primjenomkonanog broja elementarnih transformacija kaemo da su matrice A i Bekvivalentne i piemo A B.Znaaj ekvivalentnih matrica se ogleda u sljedeem teoremu.

Teorem 2.8. Ekvivalentne matrice imaju isti rang.

Dokaz. Za dokaz teorema emo koristiti karakterizaciju ranga pomou line-

arne nezavisnosti datu u teoremu 2.7.

Imajui u vidu deniciju linearne nezavisnosti odmah slijedi da se zamje-

nom mjesta dvije vrsta (kolone) ili mnoenjem vrste (kolone) nenultim bro-

jem ne mijenja maksimalan broj linearno nezavisnih vrsta (kolona), pa za-

kljuujemo da se elementarnim transformacijama tipa (i) i (ii) ne mijenjarang matrice.

Poaimo da je to sluaj i za elementarnu transformaciju tipa (iii). Ma-tricu A Rmn moemo napisati u sljedeem obliku

A =(K1 K2 . . . Ki . . . Kj . . . Kn

), (2.2)

16


pri emu smo saKi, (i = 1, . . . , n) oznaili i-tu kolonu matriceA. Primjenomelementarne transformacije tipa (iii) na kolone i i j dobijamo matricu oblika

B =(K1 K2 . . . Ki + Kj . . . Kj . . . Kn

),

gdje je R, 6= 0.Slijedi da ako je kolona Ki linearno zavisna od ostalih kolona onda je ikolona Ki+Kj linearno zavisna od tih kolona i obratno. Moemo zakljuitida matrice A i B imaju isti broj linearno nezavisnih kolona, onda imaju iisti rang.

Postupak za praktinu primjenu prethodnog teorema se ogleda u sljede-

em. Elementarnim transformacijama je potrebno datu matricu transformi-

sati na matricu iji je rang jednostavno odrediti. U tu svrhu uvodimo pojam

trapezne matrice.

Denicija 2.12. Neka je A Rmn. Mantrica A se naziva trapeznommatricom ako je oblika

t11 t12 t1nt21 t22 t2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

tm1 tm2 tmn

,pri emu postoji broj r (r min{m,n}) takav da je t11, t22, . . . , trr 6= 0, tij = 0, za svako i, j takvo da je i > j, tij = 0, za svako i, j takvo da je r < i j.Koristei teorem 2.7 jednostavno se zakljuuje da je rang trapezne matrice

jednak broju elemenata na glavnoj dijagonili koji su razliiti od 0. Dakle,

upravo su trapezne matrice one iji je rang jednostavno odrediti.

Vrijedi sljedei teorem.

Teorem 2.9. Za svaku ne-nula matricu postoji njoj ekvivalentna trapezna

matrica.

Dokaz ovog teorema neemo izvoditi. Dat emo ilustraciju pomou pri-

mjera.

17


Primjer 2.3. Neka je data matrica

A =

1 2 0 20 3 5 11 3 1 1

.Odredimo rang date matrice svoenjem na trapezni oblik. U prvom koraku

vrste 1 i 2 prepiimo, a zatim od tree vrste oduzmimo prvu. U drugom

koraku zamijenimo drugu i treu vrstu, a zatim od tree oduzmimo tri puta

drugu. 1 2 0 20 3 5 11 3 1 1

1 2 0 20 3 5 1

0 1 1 3

1 2 0 20 1 1 3

0 3 5 1

1 2 0 20 1 1 3

0 0 8 10

.Rang posljednje matrice je 3, pa je onda i rang matrice A takoe 3.

Elementarne transformacije nad matricom A mogu se opisati i pomoumnoenja te matrice odgovarajuim matricama koje se nazivaju elementar-

nim matricama. U nastavku emo opisati elementarne matrice koje daju

elemntarne transformacije nad vrstama.

(i) Elementarna matrica Eij kojom se postie zamjene vrsta i i j datematrice A dobije se iz jedinine matrice zamjenom vrsta i i j.

(ii) Elementarna matrica Ei() kojom se postie mnoenje vrste i matriceA skalarom jednaka je jedininoj matrici u kojoj je i-ta vrsta pom-noena sa .

(iii) Elementarna matricaEij() kojom se postie dodavanje j-te vrste pom-noene sa i-toj vrsti matrice A dobija se iz jedinine matrice takoto se u i-toj vrsti i j-toj koloni umjesto vrijednosti 0 pie skalar .

Primjer 2.4. Transformacije kojim smo matricu A iz prethodnog primjerasveli na trapezni oblik mogu biti opisane elementarnim matricama. Dobi-

jeni trapezni oblik se moe dobiti i mnoenjem poetne matrice odgovara-

juim elementarnim matricama. Transformaciji oduzimanja prve vrste od

18


tree odgovara matrica E31(1), zamjeni tree i druge vrste matrica E23 ikonano transformaciji oduzimanja tri puta druge vrste od tree odgovara

matrica E32(3), pa je

E32(3)E23E31(1)A

=

1 0 00 1 00 3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 1 01 0 1

1 2 0 20 3 5 11 3 1 1

=

1 0 00 1 00 3 1

1 0 00 0 10 1 0

1 2 0 20 3 5 10 1 1 3

=

1 0 00 1 00 3 1

1 2 0 20 1 1 30 3 5 1

=

1 2 0 20 1 1 30 0 8 10

Na kraju ovog poglavlja navest emo teorem koji slijedi iz prethodno

izloenog, a daje nam vezu regularnosti matrice i njenog ranga. Takoe emo

opisati i alternativni nain za nalaenje inverzne matrice za datu matricu.

Teorem 2.10. Neka je A Rnn. A je regularna akko je ekvivalentnajedininoj matrici reda n.

Postupak za nalaenje inverzne matrice pomou elementarnih transforma-

cija poznat je pod nazivom Gaus-ordanov postupak i sastoji se u sljedeem.

Neka je data matrica A Rnn, iju inverznu matricu traimo. Formi-ramo matricu formata n 2n tako to s desne strane matrice A dopiemojedininu matricu reda n. Dakle, za

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 ann

19


novoformirana matrica je oblikaa11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 ann

1 0 00 1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1

.Zatim nad novoformiranom matricom vrimo elementarne transformacije u

cilju dobijanja jedinine matrice na lijevoj strani nove matrice. Dakle, cilj je

dobiti matricu oblika1 0 00 1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1

b11 b12 b1nb21 b22 b2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

bn1 bn2 bnn

(2.3)Mogua su dva ishoda. Ukoliko u postupku primjene elemntarnih transfor-

macija dobijemo na lijevoj strani novoformirane matrice red sainjen od svih

nula moemo zakljuiti da je matricaA singularna, to jeste da nema inverznumatricu. U protivnom dobit emo matricu oblika (2.3). Tada je matrica Aregularna i vrijedi

A1 =

b11 b12 b1nb21 b22 b2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

bn1 bn2 bnn

. (2.4)Opravdanost opisanog postupka se zasniva na sljedeem. Ve smo napo-

menuli da se primjena elementarnih transformacija na matricu A moe opi-sati mnoenjem te matrice odgovarajuim elementarnim matricama. Dakle,

ukoliko smo primjenom k elementarnih transformacija doli do matrice oblika(2.3), onda se ona moe napisati u obliku

(Xk . . .X2X1A|Xk . . .X2X1En),pri emu smo sa X1,X2, . . . ,Xk oznaili odgovarajue elementarne matrice ipri emu je Xk . . .X2X1A = En, pa slijedi da je A

1 = Xk . . .X2X1. No, nadesnoj strani (2.3) se upravo nalazi ovaj produkt matrica, pa vrijedi (2.4).

Upravo opisani postupak za nalaenje inverzne matrice je znaajan jer je

za matrice veeg reda znatno ekasniji od ranije opisanog postupaka pomou

adjungovane matrice.

20

Univerzitet u Sarajevu

Elektrotehniki fakultet

Linearna algebra i geometrija

predavanja

Sarajevo, oktobar 2014.

Sadraj

Sadraj ii

1 Uvod 1

2 Matrice i determinante 2

3 Sistemi linearnih jednaina 3

3.1 Pojam sistema linearnih jednaina . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Kvadratni sistemi linearnih jednaina . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Rjeavanje sistema rjeavanjem matrine jednaine . . 6

3.2.2 Kramerovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Gausov metod eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Kroneker-Kapelijev stav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

POGLAVLJE 3

Sistemi linearnih jednaina

Mnogi problemi iz prakse mogu biti napisani u obliku sistema linearnih jed-

naina. U ovom poglavlju precizno emo denirati pojam sistema linearnih

jednaina i rjeenja sistema. Razlikovat emo kvadratne i pravougaone, ho-

mogene i nehomogene sisteme. Bavit emo se pitanjem egzistencije rjeenja

i metodama za rjeavanje sistema linearnih jednaina.

3.1 Pojam sistema linearnih jednacina

Denicija 3.1. Skup jednaina oblika

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2.

.

.

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm, (3.1)

gdje su aij i bj (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) elemeni polja brojeva F nazivamosistemom od m jednaina sa n nepoznatih xj (j = 1, . . . , n).

Najee se posmatraju situacije u kojima je polje F polje realnih ili

3.1.Pojam sistema linearnih jednaina Doc. dr. Almasa Odak

kompleksnih brojeva. Mi emo se u nastavku bazirati na takve sisteme iako

mnogi pojmovi i metodi mogu biti generalizirani i na druge situacije.

Brojeve aij (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n) nazivamo koecijentima sistema,dok su bi (i = 1, . . . ,m) slobodni lanovi.U optem sluaju kaemo da je sistem (3.1) pravougaoni, dok u sluaju

m = n govorimo o kvadratnom sistemu linearnih jednaina.U sluaju kada je bi = 0 (i = 1, . . . ,m) kaemo da je sistem homogen, au protivnom rije je o nehomogenom sisitemu linearnih jednaina.

Sistem linearnih jednaina (3.1) moemo napisati i pomou matrica u

obliku

AX = B, (3.2)

pri emu smo uveli oznake

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn

,X =

x1x2.

.

.

xn

,B =

b1b2.

.

.

bm

.Matricu A nazivamo matricom sistema, X je vektor nepoznatih, a B vektorslobodnih lanova. Sistemu jednaina takoe moemo pridruiti i takozvanu

proirenu matricu sistema, koju dobijemo tako to matrici sistema A s desnestrane dopiemo vektor slobodnih lanova. Obiljeavamo je sa (A|B). Dakle

(A|B) =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 . . . amn

b1b2.

.

.

bm

.Osnovno pitanje vezano za sisteme jednaina je nalaenje njihovog rjee-

nja. Uvode se pojmovi saglasnog i nesaglasnog sistema.

Denicija 3.2. Svaka ureena n-torka (1, 2, . . . , n) takva da je za

(x1, x2, . . . , xn) = (1, 2, . . . , n)

svaka od m jednaina sistema (3.1) identiki zadovoljena je rjeenje tog sis-tema.

4

3.1.Pojam sistema linearnih jednaina Doc. dr. Almasa Odak

Ukolio posmatramo sistem jednaina zapisan u matrinom obliku (3.2)

onda pod rjeenjem sistema podrazumijevamo svaki vektor X koji zadovo-ljava matrinu jednainu (3.2).

Denicija 3.3. Za sistem linearnih jednaina koji ima barem jedno rjeenje

kaemo da je saglasan (kompatibilan, rjeiv). U suprotnom kaemo da je

sistem nesaglasan (protivrjean, kontradiktoran, nerjeiv).

Pored egzistencije rjeenja, vano pitanje je i pitanje broja rjeenja. Je-

dan od rezultata koji nam govori o tome navest emo u narednom teoremu.

Formulisat emo ga i dokazati koristei matrini zapis.

Teorem 3.1. Ako su X1 i X2 dva razliita rjeenja sistema (3.2) onda je iX() = X1 + (1 )X2, za svako R takoe rjeenje tog sistema.Dokaz. Da bi dokazali tvrdnju dokazat emo da X() zadovoljava jednainu(3.2). Koristei osobine operacija s matricama i pretpostavku da X1 i X2zadovoljavaju jednainu (3.2) slijedi da je

A(X1 + (1 )X2) = AX1 + (1 )AX2 = B+ (1 )B = B,pa je dokaz zavren.

Upravo dokazani teorem nam kae da sistem, ukoliko ima dva razliita

rjeenja, onda ih ima beskonano mnogo.

Dakle, svaki sistem oblika (3.1) zadovoljava tanu jednu od sljedee tri

tvrdnje.

(i) Sistem nema rjeenje.

(ii) Sistem ima tano jedno rjeenje.

(iii) Sistem ima beskonano mnogo rjeenja.

U sluaju (ii) kaemo da je sistem odreen, dok u sluaju (iii) kaemo da

je neodreen. Jasno, u situaciji (i) sistem je nesaglasan, dok je u situacijama

(ii) i (iii) saglasan.

Primijetimo da je homogen sistem uvijek saglasan, jer je ureena n-torkasainjena od svih 0 rjeenje svakog homogenog sistema. Ovo rjeenje se na-

ziva trivijalnim. Ukoliko je homogeni sistem odreen onda je njegovo jedino

rjeenje trivijalno. Neodreen homogen sistem, pored trivijalnog, ima i druga

rjeenja koja nazivamo netrivijalnim.

5

3.2.Kvadratni sistemi linearnih jednaina Doc. dr. Almasa Odak

Napomenimo jo da rijeiti sistem znai nai sva njegova rjeenja ili us-

tanoviti da sistem nema rjeenje.

U nastavku ovog poglavlja govorit emo o metodama rjeavanja sistema

i uslovima pod kojim sistem zadovoljava tvrdnje (i)-(iii). Znaajnu ulogu

pri rjeavanju sistema imaju ekvivalentni sistemi. Slino, kao i kod matrica,

elementarnim transformacijama se sistem prevodi u ekvivalentan sistem.

Denicija 3.4. Dva sistema jednaina su ekvivalentna ako imaju isti skup

rjeenja.

Elementarne transformacije koje sistem prevode u ekvivalentan sistem su:

(i) Zamjena mjesta bilo koje dvije jednaine sistema.

(ii) Mnoenje proizvoljne jednaine sistema nekim brojem razliitim od 0.

(iii) Dodavanje jedne jednaine sistema, prethodno pomnoene nekim bro-

jem razliitim od 0, drugoj jednaini sistema.

Takoe se nekad pod elementarnom transformacijom podrazumijeva i pro-

mjena poretka varijabli u jednainama sistema, no treba napomenuti da je

u tom sluaju vano voditi rauna o novom poretku, pogotovo ukoliko se

sistem pie pomou matrica koje ga odreuju i rjeenje se zapisuje u obliku

ureene n-torke.

3.2 Kvadratni sistemi linearnih jednacina

U ovom odjeljku emo se baviti sistemima linearnih jednaina kod kojih je

broj jednaina jednak broju nepoznatih. Specinost ovog tipa sistema nam

garantuje da je matrica sistema kvadratna, pa je mogue raunati njenu

determinantu i odreivati njenu inverznu matricu ukoliko je ona regularna.

Upravo na ovim injenicama su zasnovane dvije metode rjeavanja kvadratnih

sistema koje emo opisati u nastavku.

3.2.1 Rjesavanje sistema rjesavanjem matricne jednacine

Kako smo ve napomenuli sistem linearnih jednaina, pa specijalno i kva-

dratni sistem linearnih jednaina, moe biti napisan u matrinoj formi (3.2).

Forma (3.2) se moe interpretirati kao matrina jednaina, jednaina u

kojoj je nepoznata varijabla matrica. Ovu matrinu jednainu, kao i matrine

6


jednaine openito, rjeavamo koristei operacije s matricama i njihove oso-

bine. Vano je napomenuti da treba voditi rauna da mnoenje matrica nije

komutativno.

Neka je matrica A kvadratnog sistema regularna, to jeste postoji njojinverzna matrica A1. Pomnoimo jednakost (3.2) s lijeve strane sa A1,a zatim iskoristimo injenicu da je produkt matrice i njoj inverzne matrice

jednak jedininoj matrici, kao i injenicu da je jedinina matrica neutralni

element za mnoenje matrica. Opisani postupak moemo zapisati na sljedei

nain.

AX = B

A1(AX) = A1B

(A1A)X = A1B

EX = A1B

X = A1B.

3.2.2 Kramerovo pravilo

U ovom dijelu opisat emo metod za rjeavanje kvadratnih sistema jednaina

baziran na primjeni determinanti. Kvadratnom sistemu

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2.

.

.

an1x1 + an2x2 + + annxn = bn, (3.3)

odgovara kvadratna matrica sistema A. Njoj moemo pridruiti determi-nantu, koju nazivamo determinantom sistema (3.3) i obiljeavamo je sa D.Istom sistemu moemo pridruiti i determinante Di, (i = 1, . . . , n), koje do-bijemo tako to i-tu kolonu determinante D zamijenimo kolonom slobodnihlanova. Dakle, za sistem (3.3) je

D =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 . . . ann

,7


Di =

a11 a12 . . . a1i1 b1 a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i1 b2 a2i+1 . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 . . . ani1 bn ani+1 . . . ann

.Rezultat na kojem se zasniva Kramerovo pravilo za rjeavanje kvadratnih

sistema dat emo u teoremu koji slijedi.

Teorem 3.2. Neka sistem (3.3) ima barem jedno rjeenje. Tada svako rje-

enje (1, 2, . . . , n) tog sistema zadovoljava jednakosti

iD = Di, (i = 1, . . . , n). (3.4)

Dokaz. Dokaz emo izvesti koristei osobine determinanti. Odaberimo pro-

izvoljno i ksirajmo indeks i, (i = 1, . . . , n). Prema osobini determinanti (vi),determinanta se mnoi skalarom tako to joj se jedna kolona ili vrsta mnoi

tim sklarom. Da bi pomnoili skalarom i determinantu D pomnoimo timskalarom i-tu kolonu te determinante. Zatim primijenimo osobinu (viii) nadobijenu determinantu tako to emo pomnoiti elemente prve kolone sa 1 idodat ih i-toj koloni, zatim pomnoiti elemente druge kolone sa 2 i dodat ihi-toj koloni i postupak ponoviti za sve kolone izuzev kolone i. Determinantakoju dobijemo nakon opisanih transformacija je oblika

iD =

a11 a12 . . . a1i1 a111 + a122 + . . .+ a1nn a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i1 a211 + a222 + . . .+ a2nn a2i+1 . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an1 an2 . . . ani1 an11 + an22 + . . .+ annn ani+1 . . . ann

.Po pretpostavci je (1, 2, . . . , n) rjeenje posmatranog sistema, pa uvrta-vanjem vrijednosti i (i = 1, . . . , n) u jednaine sistema dobijamo tane jed-nakosti, to znai da lijeve strane jednaina, koje se pojavljuju u i-toj kolonigornje matrice, moemo zamijeniti desnim, to jeste, itu kolonu vektoromslobodnih lanova. Dobijena matrica je upravo matrica Di, pa je tvrdnjateorema dokazana.

Posmatrajmo sistem (3.3). Neka je matrica sistema regularna, to jeste

D 6= 0. Tada iz (3.4) slijedi da je posmatrani sistem odreen i ima jedinstvenorjeenje dato sa

xi =DiD, (i = 1, . . . , n).

8


Ukoliko matrica sistema nije regularna, odnosno ukoliko jeD = 0 i ukolikopostoji indeks j, (j = 1, . . . , n) takav da je Dj 6= 0 onda jedna od jednainaiz (3.4), za i = j postaje nemogua, pa je sistem u ovom sluaju protivrjean.Zakljuak u preostalom sluaju, to jeste kada je D = 0 i Di = 0 za sve i =

1, . . . , n se ne moe direktno izvesti. Potrebno je posmatrati poddeterminanteposmatranih determinanti.

Upravo navedena razmatranja dovode do rezultata koji je poznat pod

nazivom Kramerovo pravilo. Formulisat emo ga u narednom teoremu.

Teorem 3.3. Neka je dat kvadratni sistem (3.3).

1. Ako je determinanta sistema D 6= 0 sistem ima jedinstveno rjeenjedato sa xi =

DiD, (i = 1, . . . , n), to jeste sistem je odreen.

2. Ako je D = 0 i barem jedna od determinanti Di (i = 1, . . . , n) razliitaod 0 sistem je protivrjean.

3. Ako je D = 0 i D1 = D2 = . . . = Dn = 0 onda mogu nastupiti dvijesituacije, sistem je neodreen ili je sistem protivrjean. Odgovor na

pitanje kada nastupa koja situacija daje nam sljedei niz koraka.

(a) Ako je bar jedna subdeterminanta reda n 1 determinante D raz-liita od nule sistem je neodreen.

(b) Ako je svaka subdeterminanta reda n 1 determinante D jednakanuli, a barem jedna od subdeterminanti reda n 1 determinantiDi razliita od nule, sistem je protivrjean.

(c) Ako je svaka subdeterminanta reda n1 svih determinanti Dk i Djednaka nuli nastavljamo postupak ponavljanjem koraka (a), (b) i

(c) za subdeterminante jednog reda manje.

Primjenom prethodnog teorema na homogene sisteme jednaina dobi-

jamo jednostavan kriterij kada homogeni sistem ima i netrivijalna rjeenja.

Posmatrajmo homogen kvadratni sistem

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0.

.

.

an1x1 + an2x2 + + annxn = 0. (3.5)

9

3.3.Gausov metod eliminacije Doc. dr. Almasa Odak

Neka oznake D i Di imaju isto znaenje kao i ranije. Iz naina formiranjadeterminanti Di i osobine (i) determinanti slijedi da je Di = 0 za svakoi = 1, . . . , n. Osim toga, kako smo ve napomenuli, homogeni sistem uvijekima trivijalno rjeenje, pa nikada nije nemogu. Dakle, vrijedi tvrdnja.

Posljedica 3.4. Homogeni sistem (3.5) je odreen ako je D 6= 0, a neodreenu sluaju kada je D = 0.

3.3 Gausov metod eliminacije

Gausov metod eliminacije zasniva se na injenici da se sistemi jednaina

kod kojih je matrica sistema trougaona ili trapezna jednostavno rjeavaju.

Takve sisteme emo zvati trougaonim ili trapeznim. Sam metod se sastoji

iz dvije osnovne etape, prva je transformisanje datog sistema u ekvivalentan

trougaoni ili trapezni, a druga je rjeavanje novodobijenog sistema.

Ilustrirat emo postupak na sistemu napisanom u optem obliku (3.1).

Pretpostavimo da je a11 6= 0. Ukoliko to nije sluaj moemo izvritielementarnu transformciju zamjene redoslijeda jednaina sistema, tako da

uslov bude zadovoljen. Naime, barem jedan od koecijenata uz varijablu x1mora biti razliit od nula, jer u protivnom varijabla x1 moe imati proizvoljnuvrijednost.

Prvu jednainu podijelimo sa x1, a zatim od i-te (i = 2, . . . ,m) jednaineoduzmimo prvu jednainu pomnoenu sa ai1. Dobijamo ekvivalentan sistemoblika

x1 +a12a11x2 + + a1na11 xn = b1a11(

a22 a21 a12a11)x2 + +

(a2n a21 a1na11

)xn = b2 a21 b1a11.

.

.(am2 am1 a12a11

)x2 + +

(amn am1 a1na11

)xn = bm am1 b1a11

.

Ovaj sistem moemo zapisati u neto kraem obliku uvedemo li oznake

a1j = a1ja11 , (j = 2, . . . , n),

b1 = b1a11 ,

aij = aij ai1 a1ja11 , (i = 2, . . . ,m, j = 2, . . . n),

10


bi = bi ai1 b1a11 ,, (i = 2, . . . ,m).Sistem poprima sljedei oblik

x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a22x2 + + a2nxn = b2.

.

.

am2x2 + + amnxn = bm

.

Postupak nastavljamo tako to prepiemo prvu jednainu, a na ostale pri-

mijenimo transformacije analogne ve uraenim. Drugu jednainu dijelimo

sa a22 i od i-te (i = 3, . . . ,m) oduzimamo drugu jednainu pomnoenu saai2. Naravno dijeljenje je mogue izvriti jedino ako je a

22 6= 0. Ukolikoto nije sluaj mogu nastupiti tri situacije. Ukoliko postoji ai2 6= 0 za nekoi = 3, . . . ,m, onda zamjenom mjesta jednaina postiemo da je traeni uslovzadovoljen. Ukoliko to nije sluaj mogue je da da postoji koecijent aij,i = 2, . . . ,m, j = 3, . . . , n razliit od nule, pa se zamjenom pisanja redosli-jeda varijabli, odnosno prenumeracijom, postie ispunjenje uslova. Ukoliko

ni jedan od dva navedena uslova nije taan, to znai da su svi koecijenti

sistema u svim jednaina izuzev prve jednaki 0, pa se te jednaine svode na

0 = bi, (i = 2, . . . ,m). Jasno, u ovom sluaju sistem ima jedino rjeenje akoje bi = 0 (i = 2, . . . ,m). U protivnom ovaj sistem, pa i poetni, je nemogu.Nakon opisanih transformacija uz skraene oznake

a2j =a2ja22, (j = 3, . . . , n),

b2 = b2

a22,

aij = aij ai2a2ja22, (i = 3, . . . ,m, j = 3, . . . n),

bi = bi ai2 b2

a22,, (i = 3, . . . ,m),

sistem poprima oblik

x1 + a12x2 + a

13x3 + a1nxn = b1

x2 + a23x3 + a2nxn = b2a33x3 + a3nxn = b3.

.

.

am3x3 + amnxn = bm

.

11


Postupak nastavljamo i nakon m koraka dobijamo trougaoni ili trapezni sis-tem. Treba napomenuti da je mogue i da u nekom k-tom (k < m) koraku

posljednjih m k jednaina poprimi oblik 0 = b(k)i , (i = k + 1, . . . ,m). Utom sluaju sistem je saglasan jedino ako je b

(k)i = 0 za sve i = k + 1, . . . ,m.U protivnom je nemogu.

Nizom opisanih koraka zavrava se prva etapa. Primijetimo da smo u

prvom koraku varijablu x1 eliminisali iz svih izuzev prve jednaine, nakontoga u drugom koraku varijabla x2 je eliminisana iz svih, izuzev prve i drugejednaine i tako dalje. Upravo iz ovog razloga se postupak naziva metodom

eliminacije.

U drugoj etapi rjeavamo sistem ekvivalentan poetnom dobijen u pret-

hodnoj etapi. U slaju kada je m = n dobijeni sistem je trougaoni i ako jesaglasan posljednja jednaina je oblika xn = b

(n)n i sistem ima jedinstveno rje-

enje. Dakle, posljednja jednaina nam daje vrijednost varijable xn. Zatim,uvrtavanjem te vrijednosti u pretposljednju jednainu moemo izraunati

vrijednost varijable xn1. Postupak nastavljamo. Konano u posljednjemkoraku ove etape, poznate su nam vrijednosti varijabli xn, . . . , x2 i pomouprve jednaine raunamo vrijednost varijable x1. Time je postupak rjeavanjasistema zavren.

U sluaju kada je m < n (ili k < n za situaciju kada odreeni broj jed-

naina poprima oblik 0 = b(k)i (i = k + 1, . . . ,m) i ako je sistem mogu)sistem ima beskonano mnogo reenja. Varijable xm+1, xm+2, . . . , xn mogubiti proizvoljno odabrane, a preostale, primjenom analognog postupka opi-

sanom postupku u situaciji m = n, mogu biti izraene preko proizvoljnoodabranih varijabli.

U sluaju kada je m > n postupkom eliminacije, da bi sistem bio mogu,odreen broj jednaina se mora svesti na identine jednaine ili jednaine

0 = b(k)i (i = k + 1, . . . ,m) i pri tome svi b

(k)i koje se pojavljuju u njima

moraju biti jednaki 0. Ostatak sistema je jednog od razmatrana dva oblika,

pa se tako i rjeava.

Treba napomenuti da se postupak eliminacije praktino vri primjenom

elementarnih transformacija na jednaine sistema, odnosno na proirenu ma-

tricu sistema. Ve smo obrazloili da se elementarne transformacije matrica

mogu interpretirati kao mnoenje matrice odgovarajuim matricama, pa je

naravno to sluaj i za elementarne transformacije sistema linearnih jednaina.

12

3.4.Kroneker-Kapelijev stav Doc. dr. Almasa Odak

3.4 Kroneker-Kapelijev stav

Kao to smo vidjeli ranije primjenom Kramerovog teorema mogue je ispi-

tivati saglasnost kvadratnih sistema linearnih jednaina. No, treba napo-

menuti da ovaj postupak moe biti jako obiman jer je potrebno raunati

veliki broj poddeterminanti. Takoe ovaj postupak je ogranien iskljuivo

na kvadratne sisteme. U ovom odjeljku emo opisati postupak za ispitiva-

nje saglasnosti pravougaonog sistema zasnovan na rangu matrice sistema i

proirene matrice.

Teorem 3.5. Sistem (3.3) je saglasan ako i samo ako je

rang(A) = rang(A|B) = r.Dodatno, ukoliko je ispunjena gornja relacija onda,

(i) ako je r = n sistem ima jedinstveno rjeenje,

(ii) ako je r < n sistem ima beskonano mnogo rjeenja.

Dokaz. Za dokaz teorema koristit emo interpretaciju ranga matrice datu po-

mou linearno nezavisnih kolona matrice navedenu u prethodnom poglavlju.

Prvo pretpostavimo da sistem ima rjeenje. Neka je ono dato sa x1 = 1,x2 = 2, . . . , xn = n i neka je matrica sistema zapisana pomou svojihkolona u obliku

A =(K1 K2 . . . Ki . . . Kj . . . Kn

). (3.6)

Koristei matrini zapis sistema jednaina i uvedene oznake slijedi da vrijedi

1K1 + 2K2 + . . .+ nKn = B.

Oigledno je B linearna kombinacija kolona matrice A, pa je rang(A|B) rang(A). Kako se dodavanjem kolona nekoj matrici rang ne moe smanjiti,to je rang(A) rang(A|B). Slijedi da je rang(A) = rang(A|B).Pretpostavimo da je sada rang(A) = rang(A|B) = r. Pokaimo da jesistem saglasan, tj. da ima rjeenje. Jednakost iz pretpostavke implicira da

je B zavisno od kolona matrice A, pa se moe napisati u obliku linearnekombinacije kolona K1, . . . , Kn, to jeste u obliku

B = 1K1 + 2K2 + . . .+ nKn,

13


a ovo upravo znai da su skalari 1, 2, . . . , n rjeenja posmatranog sistema.Ovim je prvi dio teorema dokazan.

Za dokaz drugog dijela primijetimo da iz pretpostavke da je rang(A) =rang(A|B) = r, prema deniciji ranga, slijedi da u matrici sistema postojisubdeterminanta reda r razliita od 0, odnosno da je r kolona matrice Alinearno nezavisno. Bez umanjenja optosti moemo pretpostaviti da je to

prvih r kolona. U protivnom moemo izvriti prenumerisanje varijabli. Os-talih n r kolona se mogu napisati kao linearne kombinacije prvih r kolona.Slino vrijedi i za vrste, pa je posljednjih m r jednaina sistema posljedicaprvih r jednaina, te se mogu odbaciti. Poetni sistem se sada moe napisatiu obliku

a11x1 +a12x2 + +a1rxr = b1 a1r+1xr+1 . . . a1nxna21x1 +a22x2 + +a2rxr = b2 a2r+1xr+1 . . . a2nxn.

.

.

ar1x1 +ar2x2 + +arrxr = br arr+1xr+1 . . . arnxn.(3.7)

Sistem (3.7) je kvadratni sistem reda r i determinanta tog sistema je raliitaod 0, pa primjenom Kramerovog metoda sistem (3.7) kao sistem od r vari-jabli ima jedinstveno rjeenje. No, za r < n poetni sistem ima beskonanomnogo rjeenja, jer za svaki izbor varijabli xr+1, xr+2, . . . , xn ima jedno rje-enje, pa je dokazana tvrdnja (i). Za n = r na desnoj strani sistema (3.7)nema varijabli, pa je jedinstveno rjeenja sistema (3.7) i jedinstveno rjeenje

poetnog sistema.

Napomenimo da se pri praktinoj primjeni Kroneker-Kapelijevog teorema

trai rang proirene matrice svoenjem na trapezni oblik i pri tome se po-

sljednja kolona matrice ne pomjera. Trapezni oblik proirene matric daje

nam i trapezni oblik matrice sistema, pa im je rang jednostavno odrediti.

Takodjer, trapezni oblik proirene matrice daje trapezni sistem koji je ekvi-

valentan poetnom sistemu, pa se on jednostavno rjeava, kao i kod Gausovog

metoda eliminacije.

Teorem 3.5 primijenjen na homogene sisteme daje nam jednostavan kri-

terij o egzistenciji netrivijalnih rjeenja homogenog sistema. Naime, obzirom

da je kolona slobodnih lanova homogenog sistema sastavljena samo od nula,

to je uvijek rang matrice sistema i proirene matrice sistema jednak, pa je

prema teoremu 3.5 sistem saglasan, kako smo ve i napomenuli.

14


Posljedica 3.6. Homogeni sistem AX = 0, A Rmn ima netrivijalnorjeenje akk

Documents

Linearna algebra i geometrija