- 1 -Sarajevo: 15. septembar 2008. Moji vrli studenti, moji dragi saradnici i ostali koji imate namjeru ili ete bacite pogled na ove stranice! Ovo su Biljeke'' za I sedmicu predavanja na predmetu Linearna algebra i geometrija. Imam namjeru da tekst popravim i doradim.Unaprijed se zahvaljujem za svaku i najmanju pomo u tom smislu.Sve sugestije i ispravke primam na mail: bmesih@gf.unsa.ba . S potovanjem Va, Behdet Mesihovi Literatura e biti citirana prema spisku literature u programu predmeta, kako slijedi: Literatura Preporuena1.B.Mesihovi:Biljekeislajdovispredavanja(moiesevidjetinaWEBsitu Fakulteta) 2.D. S. Mitrinovi, D. Mihailovi, P. M. Vasi: "Linearna algebra, polinomi i analitika geometrija", Graevinska knjiga Beograd,1990. 3.B. Mesihovi , . Arslanagi: "Zbirka rijeenih zadataka i problema iz matematike sa osnovma teorije i ispitni zadaci", Svjetlost-Sarajevo, 1988. 4.M.Uumli, P. Milii: "Zbirka zadataka iz matematike I", Bgd, 1989. Dopunska1.D. S. Mitrinovi: "Matematika u obliku metodike zbirke zadataka sa reenjima I i II", Beograd2.. Milovanovi, E. I. Milovanovi: Diskretna matematika", Ni, 2000.3.F. Dedagi: "Uvod u viu matematiku", Tuzla 1997. 4.M. Brakovi: Matematikadeterminante, sistemi linearnih jednaina, elementi vektorske algebre i analitike geometrije", Svjetlost-Sarajevo, 1990. 5.N. Elezovi: Linearna algebra, Element, Zagreb, 1996. 6.N. Elezovi, A. Agli: Linearna algebra, Zbirka zadataka, Element, Zagreb, 1996. Tako naprimjer: 10 pozivanje na stranicu: str.25-n-prep.''za n=1, 2, 3i4odnosi se na 25. str. u n-tom udbeniku iz spiska preporuene literature; 20 pozivanje na stranicu: str. 37-n-dop.''za n=1, 2, 3, 4, 5, i 6odnosi se na 37. str. u n-tom udbeniku iz spiska dopunske literature. A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark - 2 -Slijedi program predmeta: NazivLinearna algebra i geometrija OznakaPG 04 Cilj kursa Znanje i vjetine koje treba postii student Ciljkursajedatiosnovnaznanjaizlinearnealgebrei analitikegeometrija.Studenttreba biti u stanju analizirati rjeivost sistema linearnih jednadbi, koristei matrice i operacija s matricama kao instrumente za formalizaciju i analizu podataka, te poznavati osnove teorije vektorskihprostora.Uoblastianalitikegeometrije,nakonosvrtanadvodimenzionalni prostor,uvodiseanalitikageometrijautrodimenzionalnomprostoru(ravan,prava,krive drugog reda, povrine drugog reda povrine natale rotacijom). Program 1.Elementi matematike logike i teorije skupova Operacije. Algebarske strukture. Grupa. Prsten. Tijelo. Polje.2.Elementi teorije vektorskih prostora Definicije. Modeli. Svojstva raunanja. Potprostori. Linearne kombinacije.Generatori. Linearna ovisnost i neovisnost. Baze. Dimenzija. 3.Matrice Predstavljanje (definicija, kvadratna, transponovana, nula,jedinina)Operacije (suma, proizvod sa skalarom, proizvod dvije matrice) Rang i inverzna matrica (rang, Gaussovo pravilo, inverzija matrica) Determinante (predstavljanje, Sarrusovo pravilo, Laplaceovo pravilo, Svojstva) 4.Sistemi linearnih jednadbi Sistem sa m jednadbi i n nepoznatih. Rjeenje. Odreeni sistem. Neodreeni sistem. Nemogui sistem. Cramerovo pravilo. Gaussova eliminacija. Stav Kronecker-Capellia.5.Linearna preslikavanja Jezgra i slika linearnog preslikavanja (definicije, teoreme, primjeri) Linearna preslikavanja i matrice (pridruena matrica, matrica zamjene koordinata, teoreme, primjeri) Linearnifunkcionaliidualnivektorskiprostor(dualnivektorskiprostor,dualnabaza, bidualni vektorski prostor, primjeri) 6.Polinomi (Hornerova shema, rastavljanje na parcijalne razlomke) 7.Sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori Linearni operatori (matrica i determinanta, sline matrice) Sopstvenevrijednostiivektori(definicija,teoreme,sopstveniprostor,karakteristini polinom, geometrijska i algebarska viekratnost) Dijagonalizacija, dijagonazibilni operator, aplikativni primjeri) 8.Analitika geometrija u ravniniVektoriuravnini.Pravac(rastojanjeizmeudvijetake,analitikopredstavljanjepravca, paralelizam i ortagonalnost, presjek, pramen pravaca) 9.Analitika geometrija u prostoruVektoriuprostoru.Pravac.Ravnina.Pravaciravnina(rastojanjeizmeudvijetake, analitikopredstavljanjeravnineipravca,kolinearnostiortagonalnost,uglovi,presjeci, pramenovi ravnina, rastojanja) 10.Krive drugog reda (definicija, kanonske forme, klasifikacije) Elipsa. Hiperbola. Parabola. Povrine drugog reda (definicija, klasifikacija) Elipsoid. Hiperboloid. Eliptiki paraboloid. Hiperboliki paraboloid. Cilindar. Konus. 11.Rotacione povrine (definicija, povrine u cilindrinim koordinatama) Literatura Preporuena5.B. Mesihovi: Biljeke i slajdovi s predavanja (moi e se vidjeti na WEB situ Fakulteta) 6.D. S. Mitrinovi, D. Mihailovi, P. M. Vasi: "Linearna algebra, polinomi i analitika geometrija", Graevinska knjiga Beograd,1990. 7.B. Mesihovi , . Arslanagi: "Zbirka rijeenih zadataka i problema iz matematike sa osnovma teorije i ispitni zadaci", Svjetlost-Sarajevo, 1988. 8.M.Uumli, P. Milii: "Zbirka zadataka iz matematike I", Bgd, 1989. Dopunska7.D. S. Mitrinovi: "Matematika u obliku metodike zbirke zadataka sa reenjima I i II"Beograd - 3 -8.. Milovanovi, E. I. Milovanovi: Diskretna matematika", Ni, 2000.9.F. Dedagi: "Uvod u viu matematiku", Tuzla 1997. 10.M. Brakovi: Matematikadeterminante, sistemi linearnih jednaina, elementi vektorske algebre i analitike geometrije", Svjetlost-Sarajevo, 1990. 11.N. Elezovi: Linearna algebra, Element, Zagreb, 1996. 12.N. Elezovi, A. Agli: Linearna algebra, Zbirka zadataka, Element, Zagreb, 1996. Didaktike metode Predavanjaimajuzaciljdatiiscrpanobrissvihdijelovaprograma.Predavanjaseodvijajudirektnou auli na nain da student s lakoom moe pratiti njihov ritam i odmah raspoznati pitanja koja dri manje jsnim.Nakontozavrisizlaganjemsvakeodlogikizaokruenihjedinicanastavnogprograma, nastavnik postavlja i rijeava primjere i zadatke koji omoguuju da studenti ovladaju instrumentima i metodologijama izloenim tokom predavanja. Drugi primjeri i ispitni zadaci razmatraju se i rijeavaju tokom turotiala (pod voenjem i pratnjom tutora), na nain da se ve tokom izvoenja programa moe stalnoprovjeravatidostignutistupanjpripremljenostistudentadaovladaznanjimaivjetinamakoje treba postii u okviru ovog kursa. Nain provjere znanja Tokom trajanja kursa student prikuplja bodove prema slijedeem sistemu: -prisustvo satima predavanja i tutorijala: 10 bodova, student koji vie od tri puta izostane s predavanja i/ili tutorijala ne moe ostvariti bodove po ovoj osnovi; -izradadomaih zadaa:maksimalno10bodova;predvienajeizradaod5do10domaih zadaa ravnomjerno rasporeena tokom semestra; -parcijalni ispiti: dva pismena parcijalna ispita, pri emu svaki pozitivno ocijenjen parcijalni ispit donosi 20 bodova; Tokomtrajanjaparcijalnogispita(90minuta)rijeavanjusezadacizakojejeunaprijeddanovie odgovora,odkojihjejedantaan(studentkojitanoodgovorinasveovakopostavljenezadatke ostvaruje10bodova),kaoijedanzadataksotvorenimodgovorom(tanouraenzadatakdonosi10 bodova). Student koji je tokom trajanja semestra ostvario manje od 20 bodova ponovno upisuje ovaj kurs. Student koji je tokom trajanja semestra ostvario 40 i vie bodova pristupa usmenom zavrnom ispitu; ovaj ispit sastoji se iz diskusije zadataka s parcijalnih ispita, domaih zadaa i odgovora na jednostavna pitanja koja se odnose na teme kursa (osnovne definicije i iskazi najvanijih svojstava i/ili teorema). Usmeni zavrni ispit donosi maksimalno 40 bodova. Da bi postigao pozitivnu zavrnu ocjenu, student naovomispitumoraostvaritiminimalno20bodova.Studentkojineostvariovajminimumpristupa usmenom dijelu popravnog ispita. Studentkojijetokomtrajanjasemestraostvario20iviebodova,amanjeod40bodova,pristupa popravnom ispitu. Popravni ispit struktuiran je na slijedei nain: -pismenidiokojijestruktuirannaistinainkaoipismeniparcijalniispit;uokviruovog ispitastudentpolaezadatkeiztemazakojenijepostigaoprolaznuocjenu(10iviebodova) polaui parcijalne pismene ispite, -usmeni dio koji je struktuiran na isti nain kao usmeni dio zavrnog ispita. Usmenomdijelupopravnogispitamoepristupitistudentkojijenakonpolaganjaposmenogdijela popravnogispitauspiostvaritiukupanskorod40iviebodova;ovajskorsastojiseodbodova ostvarenihkroz:prisustvonastavi,izradudomaihzadaa,polaganjeparcijalnihsipitaipolaganje pismenog dijela popravnog ispita. Usmenipopravniispitdonosimaksimalno40bodova.Dabipostigaopozitivnuzavrnuocjenu studentnaovomispitumoraostvaritiminimalno20bodova.Studentkojineostvariovaj minimum ponovno upisuje ovaj kurs. Napomene: 1.Prilikom polaganja pismenog ispita student moe koristiti od strane nastavnika pripremljenu listu formula koje mogu biti od koristi prilikom rijeavanja zadataka. Nije dozvoljeno koritenje drugih biljeaka, knjiga, depnih kalkulatora, mobilnih telefona, niti drugih elektronskih pomagala. 2.Zadaci koje student treba rijeiti na ispituistog su tipa kao oni to su rijeavani tokom izvoenja predavanja i tutorijala. Broj ECTS bodova5,0 Broj sati predavanja39 Broj sati vjebi- Broj sati tutorijala21 - 4 -I UVOD U ovoj glavi daemo osnovne postavke matematike logike i teorije skupova, ije usvajanje pomae da se na jednostavniji i krai nain izloematematiki sadraji, to e znaajno pomoipraenju i usvajanju znanja. Polazei od osnovnih matematikih pojmova suda i skupa, bie izvedene definicije relacije, funkcije, operacije i razliitih algebarskih struktura, koji su osnovni pojmovi skoro svih matematikih i drugih egzaktnih teorija i njihovih aplikacija. 1. SUD I SKUP KAO OSNOVNI POJMOVI MATEMATIKE U matematikoj logici sud je osnovni pojam, koji se ne definie . Daemo intuitivnu'' definiciju: Sud (ili iskaz) je suvisla deklarativna reenica, koja u pogledu istinitosti zadovoljava dva principa:(i)sud je ili istinit ili neistinit i nita tree (princip iskljuenja treeg), (ii)nije i istinit i neistinit (princip kontradikcije). Sudove obiljeavamo obino malim slovima: p, q, r,..., koji su elementi skupa S svih sudova. Prema intuitivnoj definiciji suda i intuitivnoj definiciji skupa (vidi ... ), promatramo skup sudova S:={ p | (p) {0, 1} },gdje je (p)'' vrijednost '' sudap, gdje (p) = 1 znai da je sud pistinit,dok (p) = 0znai da je sudp neistinit. Umjesto (p), ako tonee dovesti do zabune,pisaemo samop.Pritom se nebavimo pitanjem ta je sutinski sadraj suda p ve samo njegovom vrijednou. Primjer 1) Da li su slijedee reenice sudovi:''Broj 5 je vei od broja 2''(istinitsud).''Broj 8 jednak je broju 3''(neistinit sud).''Je li danas ponedeljak? '' (nije sud, jer nije deklarativna, ve upitna reenica).'' Danas je nedelja '' (je sud, koji je iliistinit ili neistinit, veprema tome u kojem danu seizgovara). Kvantifikatori. Neka je p := p(x) sud ili neka formula algebre sudova koja zavisi od parametra (varijable) x, tada: 1.1.(x) p znai za svaki x je p".Simbol se zove univerzalni kvantifikator i podsjea na prvo slovo A" od njemakog alle = sviili engleskogall = svi. Primjeri: 2) Sud za svako realno x je x2 0 primjenom univerzalnog kvantifikatora zapisujemo krae (x) xR x2 0, ili jo krae:(x R)x2 0 ; 3) Sud za svako a i b iz skupa C kompleksnih brojeva vai (a+b)(a-b)=a2-b2 krae se zapisuje upotrebom kvantifikatora: (a, b) (a, b C) (a+b)(a-b)=a2-b2 1.2.(x) pznai: ''postoji x tako da je p" ili ''postoji bar jedno x za koje je p''Simbol predstavlja egzistencijalnikvant i fi kat or (pot i eodnj emakog, , esgi bt "= =i ma"i l i engl eskog,,exists" = postoji"); Isto tako: (! x) pznai postoji jedno i samo jedno x takvo da je p", tj. x je vezano sakvantifikatorom !. Primjeri: 4) Sud postoji bar jedno x iz skupa C kompleksnih brojeva takvo da je - 5 - a0 xn + al xn-1 + . . .+an-1x+ an = 0(a0 , al,, an-1, an C) pomou kvantifikatora zapisujemo (a0 , al,, an-1, an C) ( xC) a0 xn + al xn-1 + . . .+an-1x+ an = 0. 5) Sud za svako x postoji bar jedno y takvo da je x Y.Ako je f (X) = Y, tj. ako je svako y iz Y slika barem jednogoginala x X, kaemo da je preslikavanje f surjekcija ili preslikavanje " na'". Primjer1.NekajeY={0,1,2};tadapreslikavanjef :X{0,1} nije surjekcija sa X u Y, jer element 2 iz Y nije slika nijednog xX. Primjer 2. Neka je X = R i Y = R+ {0}=R0, gdje je R+ := {x R | x > 0}. Preslikavanje definirano na X pomou f(x) = x2je surjekcija skupa Xnas kupr Y=R0.Definicija 3. Preslikavanje f :X Y naziva se injektivnim ili injekcija skupa X u skup Y, ako i samo ako se razliiti elementi skupa X preslikavaju u razliite elemente skupa Y. Ovakvo preslikavanje naziva se i "1 1" preslikavanje. Dakle, po definiciji, f :X Y je injekcija ako vrijedi: ( x1,x2 X)(x1x2 f(x1) f(x2)), f(x1), f(x2)Y. (1) Imajui u vidu zakon kontrapozicije: (p q) (p q), jasna je da je Definicija 3ekvivalentna sa(f: X Y je injekcija) (( x1,x2 X) (f(x1)=f(x2) x1=x2)). Primjer 3. Preslikavanje f : N N definirano pomou f (n) = 2 n 1je injekcija skupa prirodnih brojeva N u samog sebe.Oito jef(m) = f (n) 2m 1 = 2n 1m = n. Definicija 4. Za preslikavanje f : X Ykaemo da je bijekcija skupovaXiYiliobostrano-jednoznanopreslikavanjeskupaXu skup Y ako je f iinjekcijaisurjekcija. - 15 -PRIMJEDBA.Preslikavanjasemoestroijedefinisati,takodasenekoristepojmovikojinisu precizno definirani, kao to su pojmovi postupak (zakon) ili pridruivanje iz definicije 4.Definicija 5. Neka je f (XxY) binarna relacija koja zadovoljava uslove: (a)Skup svih prvih komponenti x ureenih parova (x,y) f , jednak je skupu X, tj. Df = X. (b)Proizvoljno x X javlja se samo jednom kao prva komponenta ureenog para iz f, tj. (x X) (x, y1) f (x, y2) f y1 = y2; tada je f: XY. ZADACIZA VJEBU I.Zadaci: 9. i 10.na str. 19-3-prep. II.Zadaci: 12. do 17.i19. do 22. na str.19-3-prep. III. Zadaci: 219. do 274. na str.23-4-prep. IV.Zadaci: 1. do 13. na str.9-1-dop. 5.OPERACIJE I ALGEBARSKE STRUKTURE Napomenimo da smo ve koristili neke operacije bez posebnog notiranja: logike operacije: konjukcija , disjunkcija ,implikacija , ekvivalencija i negacija . Osim toga, uveli smo operacije sa skupovima. Koristili smo i neke od matematikih kvantifi'katora (, !, , | , . . . ),koji pomau da se matematiki iskazi izraze u kraoj formi. Neka je A proizvoljan skup iS A2. Definicija 6. Binarna operacija u skupu A je svako preslikavanje :S A. Dakle, svakom ureenom paru (a,b)S A2 pridruuje se jedan i samo jedan elementc A. Binarna operacija zove se takode: binarna kompozicija ili apstraktna operacija ili samo operacija. Prema definiciji preslikavanja izlazi: ( )( )( ) ( )2a,b S A !c A o a, b c =Znak o, koji kazuje da na elemente a i b skupa A treba primeniti odreeni postupak da bi se dobio elementciztogskupa,zoveseoperator.Rezultatoperacijeokojajeizvrenasaelementimaaib oznaava se: a o b=c u mj e s t o s a ( ) o a,b c =Operacija je zatvorena naA, ako je S = A x A.Nadalje emo,ako se ne kae drukije, smatrati da je operacija zatvorena na A.Definicija7.SkupGnakomejedefinisanabinarnaoperacija(napr.)nazivasegrupoid. Grupoid je, prema tome, ureeni par (G, ). Primjer 12. U skupu neparnih prirodnih brojeva2N+1 := {n=2k + l |k = 0,1, 2, . . . } operacija mnoenja je zatvorena operacija. Izlazi: ako su x1 = 2 k1 +1; x2 = 2 k2 +1, dva proizvoljna elementa skupa 2N+1, gdje suk1, k2 {0,1, 2,... ...}, tada je x1 x2 =(2 k1+1) (2 k2+1) = 4 k1 k2+2 k1 + 2 k2+ l = 2 (2 k1k2 + k1 +k2 )+1 odnosno x1 x2 =2 k + 1, gdje je k = 2 k1k2 + k1 +k2, odakle slijedi da je x1 x22N+1. - 16 - Pretpostavimo da je u nepraznom skupu A definirana operacija " o " iS = A x A, tj. da operacija ima svojstvo zatvorenosti. Rei emo: 1)operacija " o " asocijativna'', ako vrijedi (a, b , c A) ( ao b) o c = a o (b o c).(g1) 2)U skupu A postoji neutralni (jedinini) element u odnosu na operaciju "o", ako vrijedi ( e A) ( a A)a o e = a = e o a.(g2) 3)Svaki element iz A ima suprotni (inverzni) element, ako vrijedi (aA)(a*A)a o a* = e = a* o a.(g3) 4)Operacija je komutativna, ako (a, b A)a o b= b o a . (g4) Za operacije koje imaju konkretan smisao, operator o zamenjuje se znacima: +za sabiranje (brojeva, polinoma, vektora, itd.) ; - za oduzimanje (brojeva, polinoma, vektora, itd.)- ; xi l i.za mnoenje (brojeva, polinoma, itd.); :i l i/ za deljenje (brojeva, polinoma, itd.); za uniju skupova; za presek skupova; \ za diferenciju skupova; i.t.d. Definicija 8. Ureeni par (G, o) se naziva grupa , ako vrijede aksiomi (g1),(g2) i (g3);grupa (G, o) je komutativna ili Abel-ova grupa, ako u njoj vai iaksiom (g4). Nils. H.Abel (1802-1829) je norveki matematiar. Iskaimo jo jednom preciznu definiciju grupe.Algebarske strukturu(G, o) na ziva se grupa ako vrijede (aksiome grupe): 1 internost:( )( )( )2a,b G !c G aob c = 2 asocijativnost: (a, b , c G) ( ao b) o c = a o (b o c). (g1); 3 egzistencija neutralnog ili jedininog elementa: ( e G) ( a G)a o e = a = e o a.(g2) (e se naziva neutralnim ili jedininim elementom); 4 egzistencija inverznog (simetrikog) elementa: (aG)(a*G)a o a* = e = a* o a.(g3) gdje je e jedinini element u G. Elemenat a* (oznaava se sa a -1ili-a) naziva se inverznim ili simetrinim elementom elementa a.Ako pored aksioma 1 - 4 u grupi (G, o) vrijedi: 5 komutativnost: (a, b G)a o b= b o a , (g4) tada se kae daje grupa komutativna ili Abelova*. Neka je (H, o) grupa i HG, tada grupu (H, o) nazivamo podgrupom grupe (G, o). Na istom skupu moe se zadati vie operacija. esto operaciju, u grupi G, oznaavamo sa " + ", bez obzira da li se radi, ili ne, o sabiranju(adiciji) brojeva u uobiajenom smislu. Takve se grupe nazivaju i aditivnim grupama. Isto tako, u nekim grupama uvedena operacija moe biti oznaena sa ". ",a ne mora znaiti obino mnoenje (multiplikaciju) brojeva (grupe, toga tipa, zovemo multiplikativnim grupama). - 17 -Grupesemogurazlikovatipoprirodielemenata.Napr.,grupa(P(X),),gdjejeP(X) partitivni skup nepraznog skupa X, a skupovna operacija simetrina razlika, koju definiramo sa(A,B P(X)) A B := (A\B) (B\A); sdrugestrane,elementigrupe(Z,+)sucijelibrojevi.Provjeritidaobepomenutestrukture,zaista, ine grupu. Definicije 9.Neka je (S, o, ) struktura sa dvije operacije (S ima bar dva elementa). 9.1.Struktura (S, o, ) gdje su o i dvije binarne interne operacije u S naziva se prsten ako je: 1 (S, o) Abelova grupa; 2 operacija je asocijativna; 3 za sve a, b, c S vrijedi a(feoc) = (ab)o(ac);(boc)a = (ba)o(ca),tj. vrijede ilijeva i desna distributivnost operacije prema operaciji o, (tj. druga operacija ()je distributivna prema prvoj operaciji () u prstenu). 9.2.Prsten (S, o, )je tijelo ako je(S\{0}, )grupa, gdje je 0 neutralni element za operaciju o. 9.3. Komutativno tijelo (S, o, )je polje. Dakle, (S, o, ) je polje ako vrijedi: 1 (S, o) Abelova grupa; 2 (S\{0}, ) je Abelova grupa, grupa, gdje je 0 neutralni element za operaciju o; 3 za sve a, b, c S vrijedi a(feoc) = (ab)o(ac);(boc)a = (ba)o(ca), tj. vrijede ilijeva i desna distributivnost operacije prema operaciji o, (tj. druga operacija ()je distributivna prema prvoj operaciji ()) Uobiajenesuoznake:(G,.)zamultiplikativnugrupui(G,+)zaaditivnugrupu,(P,+,.)za prsten, (S, +, . ) za tijelo;0" je neutralni elemenat za adiciju +;1" je neutralni elemenat za multi-plikaciju. Za preslikavanje f grupe (G,) u grupu (H, o) kaemo da je homomorfizam grupe G u grupu H,ako je ( ) ( ) ( ) ( ) () a,b G f a b f a o f b . =Definicija 10. Neka trojke (X, , ) i (Y, +, x) imaju algebarsku strukturu polja. Za preslikavanjef : XY kaemo da je izomorfizam polja (X, , )u(Y, +, x),ako vrijedi (i) f : X Y je bijekcija, (i i )(a, bX)f(ay)=f(a)+f(b),(iii) (a, bX) f(ab) = f(a) x f(b). Osim toga, ako su polja ureena tj., ako imamo polja: ( X, , , ) i ( Y, +, x , )i akovrijedi (iv)(x, yX)xyf(x)f(y),tada se kae da su ureena polja (X, , ) i (Y, +, x) izomorfna. Sa matematike take gledita razlike meu izomorfnim strukturama nema. Jedino, ako nam je bitna priroda elemenata (ili operacija) u X kao algebarskoj strukturi, moemo naglasiti da je neto izvedeno (dokazano ili definirano) u X - "sa tanou do izomorfizma".Zadaci I.Zadaci: 12. do 17.i19. do 22. na str.19-3-prep. - 18 -II ELEMENTI TEORIJE LINEARNIH VEKTORSKIH PROSTORA Na skupovima R i C (realnih i kompleksnihbrojeva), te na skupu V vektora definiu se operacije +"i ." .Upotrebljavamo isti operator +" , mada se radi otri operacije sabiranja na tri razliita skupa. U skupu V operacija ." odnosi se na mnoenje skalara i vektora, tj. radi se o binarnoj eksternoj operaciji. Sve ove operacije imaju izvjesne zajednike osobine.Mogue je i na mnogim drugim skupovima definisati operacije + "i. " tako da ove operacije imaju iste osobine kao i za skupove R, C i V. U ovom paragrafu istraiemo osnovne osobine takvih struktura.Opiimo takvenove strukturu slijedeim definicijama: Definicije. Neka je K={a, b, c,...} polje i V={x, y, z,} bilo kakav neprazan skup.10. Vektorskiililinearni prostor Kaemo da je V linearni prostor nad poljem (K, +, ) ako su ispunjeni uslovi: I. (V, +)je aditivna grupa. II. Definirana je funkcija, ili binarna eksterna operacija, saKxVuV, t j . ( (a, x) KxV)(! axV) (a, x)a ax , koju nazivamomnoenje vektora skalarom i onoi maovasvoj st va:1)a (x + y) = ax+ ay (a K; x, y V); 2)(a + b) x = ax + b x (Va, b K; x V); 3)(a b) x = a (b x)( a, b K; x V); 4) 1 x = x( x V); gdje je 1 neutralni element za multiplikaciju upolja K. Elementi iz V zovu se vektori ilitake prostora V, a elementi iz K zovu se skalari.LinearniprostorVnazivamo realnim ilikompleksnimlinearnimprostoromzavisnood toga dali je K=R, ilijeK=C. 20.Linearna(ne-)zavisnostvektora: 1.Neka je dato n skalara {a1,, an} Kin vektora {x1,..., xn} V, tada se vektor ni i 1 1 n ni 1a x a x a x== + +Lnaziva linearna kombinacija (forma) vektora x1,..., xn , tj. kae se da je vektory=ni ii 1a x=izraen kaolinearna kombinacija vektora {x1,..., xn} V; akko je (a1,, an) = (0,..., 0) kaemo da je linearna kombinacija trivijalna2.Vektori {x1,..., xn}V su linearno zavisni akko postoji (a1,, an) (0,..., 0) tako da je ni ii 1a x== 0(1), (tj. akko je (1) vrijedi za bar jedna netrivijalna linearna kombinaciju, vektori su linearno zavisni); 3.Vektori {x1,..., xn}V su linearno nezavisni akko iz (1) slijedi (a1,, an) = (0,..., 0),(tj. ako (1) vai samo za trivijalnu linearnu kombinaciju, vektora su linearno zavisnih); 4. Za beskonaan skup vektora kaemo da je linearno nezavisan akko je svaki njegov konaanpodskup linearno nezavisan; 30P o t p r o s t o r , l i n e a l i g e n e r a t o r 1. Neprazan skup V1 V je vektorski potprostor vektorskog prostora V, ako je V1 vektorski prostor u odnosu na operacije koje su definisane u V.Je li neki skup vektorski potprostor lako se provjerava na osnovu stava:Stav 1. Neka je V vektorski prostor. V1 V je vektorski potprostor prostora V akko vrijedi (x,y V1)(a, b K)ax + by V1. (*) Dokaz. Potrebno je samo provjeriti da li nula-vektor iz V lei i u V1 , te da li suprotni element svakoga - 19 -elementa iz V1 i sam lei u V1. Poto je V1 podskup vektorskoga prostora V ostala svojstva su ispunjena u V1 jer vrijede u veem prostoru V.(, tj. uslov je dovoljan ) Ako je x V1, tad po pretpostavci stava u V1 lei i kombinacije: 1x + (-1) x = 0i 0 x + ( ] ) x =- x. Time smo pokazali daje W vektorski prostor. (,tj.uslovjepotreban)Obratnatvrdnjajeoigledna:akojeV1vektorskiprostor,onmorasadravati linearnu kombinaciju svaka svoja dva elementa. Uslov (*) iz stava moe se zamijeniti sa sljedea dva uslova: (x,y V1)x + y V1 (aditivnost) ,(x V1) ( a K)ax V1 (homogenost), to se moe lako provjeriti. Primjeri vektorskih prostora. 1) Vektorski prostor mogu initi i funkcije. Neka je F skup svih funkcija definiranih na segmentu [a,b] s vrijednostima u R. Operacije adicije i eksterno mnoenje definisani su na slijedei nain (x, yF; aR)(x+y)(t) :=x(t)+y(t), (ax)(t) := ax(t). 2)Pomou posljednjeg stava izlazi: vektorski prostor ini skup C[a, b] svih neprekinutih funkcija na intervalu[a, b], jer je zbir neprekidnih funkcija neprekidna funkcija.Ovi primjeri ukazuju na vanost pojma vektorskoga prostora. Sad emo navest najvaniji nain dobijanja vektorskih potprostora 2.Neka je U={x1,..., xn} V, linealomnadU naziva se skup ( )( )ni i i ii 1L U : a x i 1, n a K, x U= = = , tj. L(U) je skup svih linearnih kombinacija vektora iz U; Primjedba. Lako se dokazuje da je W=L(U) potprostor vektorskog prostora V. Da se uvjerimo u to, uzmimo dva elementa x, yovoga skupa: x =ni ii 1a x=,y =ni ii 1b x=. Tad je njihova linearna kombinacija oblika:ax + by =ni i ii 1(aa bb )x=+i ona ponovo pripada skupu W. Stoga je W vektorski potprostor od V. Nazivamo ga potprostor generiran (razapet) vektorima U={x1,..., xn} V. Ako je V=L(U) onda se kae da je V razapet sa U; u tom sluaju piemo U=G(V), tj kae se U je generator od V (ili da U razapinje ili generie V). Primjeri.3) Vektorski prostor ini: skup P svih polinoma; skup Pn svih polinoma stepena n.Zaista, Pn= L(U), gdje jeU={xi ( )i 0, n =xi = ti }. 4Bazaid i me n z i j a l i n e a r n o g p r o s t o r a1.Algebarska (Hamelova) baza vektorskog prostora Vje skup BV koji se sastoji od linearno nezavisnih vektora prostora V koji razapinje prostor V. 2.Neka baza Bima n (N) elemenata, kae se da je prostor V konaino-dimenzionalan i da mu je dimenzija jednaka n, tj.dim V = n. Ako se baza sastoji od beskonano mnogo elemenata kae se da je vektorski prostor V beskonano- dimenzionalan. Svi se prostori u gornjim primjerima mogu podijeliti u dvije skupine: prvu ine konano-dimenzionalni a drugu beskonano-dimenzionalni prostori. Je li neki prostor konano ili bcskonano-dimenzionalan odreujemo po broju linearno nezavisnih vektora koje moemo u njemu pronai. Tako na primjer, prostor P svih polinoma je beskonano-dimenzionalan jer su za svaki n vektori 1, t, t2,..., tn linearno nezavisni: njihova linearna kombinacija jednak je nula funkciji ako za svaki t vrijedi a0 + a1t + a2t2 + ... + antn = 0 - 20 -to je mogue samo ako su svi koeficijenti jednaki nuli. Takoe, beskonano-dimenzionalni su prostor neprekidnih funkcija (jer sadri sve polinome!), prostor svih funkcija itd. Oblast matematike koje izuava beskonano-dimenzionaine vektorske prostore naziva se funkcionalna analiza; linearna algebra bavi se konanodimenzionalnim prostorima. Stoga e svi vektorski prostori u nastavku biti konano-dimenzionalni. Dimenzija vektorskoga prostora. U konano-dimenzionalnome prostoru broj linearno nezavisnih vektora je konaan. Sam naziv prostora sadriu sebi rije 'dimen-zionalan'kojiupravoodreujekolikije tajbroj. Dimenzija prostora maksimalan je broj linearno-nezavisnih vektora u tome prostoru. Pojam dimenzije vektorskoga prostora intuitivno je jasan. Mi smo navikli govoriti o dvo ili tro-dimenzionalnom prostoru. Primjeri takvih prostora su R2,R?, R3itd, broj u oznaci prostora upravo oznaava njegovu dimenziju. Kod sloenijih prostora dimenziju je neto tee utvrditi. Posebno, pri odreivanju dimenzije raznih potprostora moramo koristiti aparat linearne algebre. Baza vektorskoga prostora. Neka je V vektorski prostor dimenzije n. To znai da u njemu moemo pronai skup B={x1,..., xn} V linearno nezavisnih vektora, takav da dodamo mu li bilo koji novi element x novodobiveni skup vie nee biti linearno nezavisan. Stoga postoje skalari {a1,, an, a} K. od kojih je bar jedan razliit od nule, takvi da vrijedi:1 1 n na x a x ax o + + + = L . Pri tom je sigurno a 0, inae bi iezavala linearna kombinacija vektora baze B={x1,..., xn} V.Dijeljenjem s brojem -a vektor x prikazujemo u obliku linearne kombinacije vektora {x1,..., xn}: 1 n1 na ax x xa a= LDakle, dokazali smo da vrijedi: Stav 2.Svaki vektor vektorskog prostora V moe napisati u obliku linearne kombinacije vektora baze tog prostora. Lako se dokazuju i slijedei stavovi: Stav 3. Prikaz svakoga vektora u odabranoj bazi je jedinstven, tj. neka je B={x1,..., xn}(V) baza prostora V nad poljem K, tada: (x V) (!(a1,, an) Kn) x=ni ii 1a x=. Stav 4. Svake dvije baze u vektorskom prostoru V imaju isti broj elemenata. Taj se broj podudara s dimenzijom prostora. Stav 5. Neka je V vektorskiprostor dimenzije n. Tada svaki skup od n linearno nezavisnih vektora ini bazu. Ovaj stav je vrlo koristan, jer za veinu prostora unaprijed znamo kolika im je dimenzija (napr. zato to smo na neki nain odredili neku bazu prostora). elimo li odrediti neku drugu bazu, dovoljno je izabrati odreen broj linearno nezavisnih vektora- nismo duni provjeravati razapinje li taj skup itav prostor. Za dokaz vidjeti napr. [4], pomona literatura. Primjer 4. U prostoru Pn svih polinoma stepena n bazu ine vektori eo(t) = 1, e1(t) =t, e2(t) =t2, . . . , en(t) = tn,stoga je njegova dimenzija n + 1.Primjer 5. Uoimo sljedei skup:eo(t) = 1, e1(t) =t -1, e2(t) =(t1)2, . . . ,en(t) = (t1)n.Tvrdimo da i ovaj skup ini bazu. Broj elemenata u njemu je n + 1. Oni su linearno nezavisni poto svaki polinom ima vei stupen od prethodnih i ne moe se prikazati kao njihova linearna kombinacija. Zato, prema stavu 5., ovaj skup ini bazu prostora Pn. Zakljuujemo da se svaki polinom P(t) Pn moe napisati u obliku:a0 + a1(t-1) + a2(t-1)2 + ... + an(t-1)n - 21 -Sem toga, vrijedi i obrat Stava 5., koji koristimo da ne provjeravamo linearnu nezavisnost: Stava 6. Neka je V vektorski prostor dimenzije n. Ako za vektore {x1,..., xn}( V) vrijedi V=L(x1,..., xn),tad oni ine bazu. Dokaz. Treba dokazati da su vektori {x1,..., xn} linearno nezavisni. Pretpostavimo suprotno. Izbacimo izskupa {x1,..., xn}sve vektore koji su linearno zavisni s preostalim. Dobit emo skup koji e sadrati m < n vektora, biti e linearno nezavisan i jo uvijek e razapinjati isti prostor. Takav skup je baza prostora, s manjim brojem elemenata od dimenzije prostora,to je proturjeno. Zato su poetni vektori linearno nezavisni. Na osnovu stavova 5. i 6., pokazali smo da je skup {x1,..., xk} V baza u prostoru V dimenzije n ako vrijede bilo koja dva od sljedea tri uvjeta: k = n, {x1,..., xk}su linearno nezavisni, {x1,..., xk}razapinju prostor V. Tree je svojstvo u tom sluaju posjedica odabrana dva. Prostor Rn. Za nas je najvaniji primjer prostora Rn.O elementima prostora Rn moemo govoriti kao o vektorima kolonama, ili kao o vektorima vrstama: to je samo stvar naina zapisivanja vektora. Mi emo zapisivati elemente prostora kao ureene n-torke. Operacije su definirane na nain: x + y = (x1,, xn) + (y1,,yn) = (x1+y1,,xn+yn),ax = (ax1, , ax2). U prostoru Rn izdvajamo n karakteristinih vektora:e1 =( 1, 0, .. . , 0) , e2= ( 0, 1, . . . , 0),..., en = (0,0,...,1). Skup {e1, e2, ..., en} nazivamo kanonskom bazom prostora Rn . Pokaimo da ovaj skup zaista ini bazu prostora. Linearna kombinacija tih vektora ima oblik: ni i 1 1 n ni 1a e a e a e== + + =La1 ( 1, 0, .. . , 0) +...+an (0,0,...,1)= (a1 ,..., an) i ona iezava onda i samo onda kad su svi skalari ai jednaki nuli.Dalje, bilo koji element x = (x1,, xn) Rn moe se napisati u obliku x = (x1,, xn)=x1 ( 1, 0, .. . , 0) +...+xn (0,0,...,1)= ni i 1 1 n ni 1a e a e a e== + +L , tj.kombinacija je vektora 1 ne , ,e . LTime smo utvrdili daje dimenzija prostora Rn jednaka n. Baza u svakom vektorskom prostoru ima beskonano mnogo, sve su one meu sobom ravnopravne.Baza se bira ovisno o problemu koji rjeavamo. U prostoru Rn je za veinu problema najpogodnija kanonska baza, jer su koeficijenti vektora u toj bazi jednaki njegovim koordinatama. ZADACI I.Provjeriti da li je V linearni prostor nad poljem K, te odrediti bazu i dimenziju prostora, ako je:a.(nN)V=Kn ,K=K , (gdje je K bilo koje skalarno polje; posebno razmotriti K=R ili K=C za n=1,2,3); (x, y Kn)x+y := (x1,,xn)+(y1,,yn) = (x1+y1,,xn+yn) interna kompozicija, sabiranje vektora; (x Kn)(aK) ax = (ax1, , ax2)eksterna kompozicija, mnoenje vektora skalarom. b.Pokazati da je skup C kompleksnih brojeva vektorski prostor nad tijelom kompleksnih brojeva. c. Skupvektora u ravni xOy, sa uobiajenom operacijom sabiranja i mnoenja skalara sa vektoromje vektorskiprostor nad tijelom R realnih brojeva. Naci jednu bazu u tom prostoru. d.Da li skup svih vektora koji se nalaze najednoj pravoj kojaprolazi kroz kooordinatni poetak, obrazuje vektorski prostor nad K=R. e.Da li je skup svih vektora ravni, bez vektorakojisu paralelni jednoj datoj pravoj, vektorski prostor? f.Neka je R+ skup pozitivnih realnih brojeva u kojem je operacija + " definisana kao obino - 22 -mnozenje realnih brojeva, a mnoenje" broja x>0 sa realnim brojem a iz Rkao xa. Dokazati da je R+ realnivektorski prostor nad R. g. SkupC[a, b] svihneprekidnih funkcija f(x) na segmentu [a, b] je vektorski prostor u odnosuna uobiajeneoperacije sabiranja funkcija i mnoenje funkcija brojem. Dokazati! II.Provjeriti da li u linearnom prostoru V nad poljem K vrijedi: a.(! oV) (x V)x + o = x , egzistencija jedinstvenog nula vektora; b.(x V) (! - xV)x + (- x) = o, egzistencija jedinstvenog suprotnog vektora; c.(x, y, z V)x+y = x+z y=z, pravilo kancelacije; d.(x, yV) (! zV)x+z = y,tj. jednaina x+z = yima jedistveno rjeenje z = y x : = y + (-x); e.(a K)ao = o,(oV ), tj. bilo koji skalar pomnoen sa o-vektorom daje o-vektor; f.(x V) 0x = o,(oV ), tj. bilo koji vektor pomnoen sa 0-skalarom daje o-vektor; g.(a K) (x V)ax = o (a = 0 x = o), tj. proizvod skalara i vektora je o(V) samo ako je jedanod mnoitelja neutralni elemenat (0 ili o respektivno); h.(a K) (x V)a(-x) = (- a)x = - (ax), PRIMJEDBA. Uporediti h. sa rezultatom koji bi dobili kad bi oba mnoitelja aixbila iz polja K (promjena znaka proizvoda u polju kad jedan od faktora promjeni znak).Razmotriti i ostale rezultate (oda.dog.)u istom smislu. III. Zadatak: 18.na str.20-3-prep.

-23- IIIMATRICE Definicije: 1.Neka je Nk= {1,2, .,., k} N, kN, tada svako preslikavanjeA: NmxNn K, (n, mN), (1) gdje je K obino neko polje, nazivamo matricom A formata (ili tipa) (m, n) iz polja K. Tu injenicu zapisujemokrae sa:A Mm,n (K), tj. Mm,n (K) je skup svih matrica (istog) formata (m,n) iz polja K.Kaemo da je matrica A realna (ili kompleksna) ve prema tome da li je K=R (ili je K=C). 2.Matrica se obino zadaje kao pravougaona ema svojih vrijednosti: ( (( ( ) )) )i 1, m; j 1, n = = = = = = = =A(i,j) = aij , tj. 11 12 1n21 22 2nm1 m2 mna a aa a aAa a a (((( (((( ((((= == = (((( (((( (((( L LL LL LL LM M M M M M M M M M M ML LL L,ili11 12 1n21 22 2nm1 m2 mna a aa a aAa a a= == =L LL LL LL LM M M M M M M M M M M ML LL L ili krae:A = (ai})m,nili A=||aij||m,n, gdje je aij elemenat matrice A, koji lei u i-toj vrsti(redu)ij-toj koloni (stupcu).Dakle, uobiajeno je da se matrice oznaavaju sa velikim slovima a njihovi elementi istim malim slovima latinice. Takoa11= (A)11 znai da je a11 elemenat matrice A koji lei u prvoj vrsti i prvoj koloni. Openito ( A Mm,n (K)) ( (( ( ) )) )i 1, m; j 1, n = = = = = = = = ai,j = (A)ij. 3.Ako je m n kaemo da je matrica pravugaona. Za m = n kaemo da je matrica A = (ai})n,n kvadratna matrica reda n ili krae da A Mn (K). Elemente: a11, a22, ..., annsainjavaju glavnu dijagonalu matrice A Mn (K); tragom matrice nazivamo zbir dijagonalnih elemenata niii; trA a== 1 elementi: a1n, a2,n-1, ...,an1lee na sporednoj dijagonali. 4.Transponovanu matricu matrice A oznaavamo sa AT iliA . Transponovanje matrice je unarna operacija koja se definie na slijedei nain: ( A Mm,n (K)) ( !B Mn,m(K)) B= AT df ( (( ( ) )) )i 1, m; j 1, n = = = = = = = =bji = aij, tj.i-tavrsta u A jei-ta kolona u AT. Vjeba. Zapisati matrice A i AT ako je AMm,n. 5.Vektor matrice su matrice koje imaju samo jednu vrstu [x1 x2 xn] ili krae X=[xi]1,n , te matrica kolona koja im samo jednu kolonu, napr. Y=[yk]n,1.Sem toga, ako je Y matrica kolona onda je njena transponovana matrica YT matrica vrsta (i obrnuto). Tako je naprimjer vektor [1- 4 20]T ustvari vektor kolona formata (4, 1). Neka je A = (aij)m,n , tada se matrica A moe zapisati kao:(ii)matricakolona:A= (A1.A2.Am.)T, gdje je Ai .= (ai1 ai2 ain)i-ta vrsta matrice A,(ii)matricavrsta: A=(A.1 A.2A.n), gdje je A.k= (a1ka2k amk)Tk-ta kolona matrice A. 6.Navodimo nekoliko matrica posebnog oblika: Nula matrica, oznaavamo je sa O (Mm,n (K)), je matrica iji su svi elementi nula, tjO= (0)m,n; Dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi van dijagonale jednaki nuli; ona se -24- zapisuje u obliku ( (( ( ) )) )1 12 21 2 nn nd 0 dd dili ili diag d , d , , d0 d d (((((((( (((((((( (((((((( (((((((( (((((((( (((((((( L LL LO O O O O O O O ili krae[di ij]n,n , gdje je ijKroneckerov delta simbol definisan sa:{ {{ { ij1, i j,0, i j.= == = = = = = Jedinina matrica je dijagonalna matrica iji su dijaginalni elementi jednaki 1, tj. matrica diag(1,,1). Oznaavamo je sa E, ili En kad elimo da istaknemo da je njen red n.Dakle,En= [ ij]n,n .Umjesto E u upotrebi je i oznakaI. Trougaone matrice (donja trouagona, tj. gornja trougaona) su kvadratne matrice: ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )11 11 12 1n21 22 22 2nij n,n ij ij ijn,nn1 n2 nn nna 0 a a aa a a a, ili a a 0, i j ; tj. , ili a a 0, i j .a a a 0 a (((((((( (((((((( (((((((( ((((((((= > = < = > = < = > = < = > = < (((((((( (((((((( (((((((( L LL LM O O M O O M O O M O O 7.Neka su A = (aij)m,n, B = (bij)p,q , C = (cij)r,stri matrice nad poljem Ki neka je K. Tada vrijede slijedee definicije: ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) )0df0ij ij1 m, n p, q ,(i) A B2 i 1,m; j 1, n a b , = == = = = = = = = = = = = = = = = = = tj. matrice su jednake akko su jednakog formata i imaju jednake odgovarajue elemente. (Dokazati da je=relacija ekvivalencije u skupu Mm,n (K)). ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) )0def0ij ij ij1 m, n p, q r, s ,ii A B C2 i 1, m; j 1, n a b c , = = = = = = = = + = + = + = + = = = + = = = + = = = + = = = + = tj. matrice se mogu sabirati akko su matrice sabirci istog formata; tada je i njihov zbir istog formata, a elementi zbira se dobiju sabiranjem odgovarajuih elemenata matrica sabiraka.( (( ( ) )) )( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) )0df0ij ij1 m, n p, q ,iii A B2 i 1, m; j 1, n a b , = == = = = = = = = = = = = = = = = = = ili matrica se mnoi skalarom tako da joj se svaki element pomnoi skalarom; ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) )( (( ( ) )) )0dfn0ij ik kjk 11 n p, r, s m, q ,iv AB C2 i 1,m; j 1, q c a b ,= == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

tj. proizvod AB dvije matrice postoji akko su matriceulanene , tj. akko je broj n kolona prvog faktora Ajednak broju p vrsta drugog faktora B, tj. broj elemenata u vrsti matrice A mora biti jednak broju elemenata u koloni druge matrice B. Sem toga, elementi matrice proizvoda dobiju se prema:

1jnij i . . j i1 in ik kjk 1njbc A B a a : a bb= == = (((( ((((= = = = = = = = = = = =(((( ( ( ( ( (((( L M L M L M L M -25- gdje je uzeto, po definiciji, da je dobijeni rezultat skalar a ne matrica formata (1, 1). 8.Osobine operacija sa matricama (matrice kao algebarske strukture). Koristei prethodne definicije lako se dokazuju stavovi: 1.Algebarska struktura(Mm,n (K), +)je Abelova grupa.(Ovdje je Mm,n (K) familija matrica istog formata (m,n) nad poljem K (= C ili R) ,a sabiranje matrica je definisano sa 7.(ii);nula matrica je O Mm,n (K), tj.O= (0)m,nje neutralni element za sabiranje, dok je matrica - A = (- aij)m,nsuprotan elemenat matrici A u odnosu na sabiranje. 2.Mm,n (K) je vekiorski prostor nadpoljem K, (gdje jemnoenje matrice skalarom dato sa 7.(iii)) . Dimenzija tog prostora dim(Mm,n (K)) = mn. Primjedba.Kakosvematricetipanxninevektorskiprostor,toevektorskiprostorinitiisve dijagonalnematrice,svegornjeilidonjetrougaonematriceitd.,jerjelinearnakombinacijadvijetakve matrice ponovo matrica istoga oblika (viditi stav 2.1.). 3.Mnoenje matrica, definisano sa 7. (iv), ima slijedee osobine: (i) (AMm,n (K); BMn,p(K)); CMp,r (K)) A(BC) = (AB)C,(ii)(AMm,n (K); B,CMn,p(K))A(B + C) = AB + AC, (iii) (A, BMm,n (K); CMn,p(K)) (A + B)C = AC + BC(iv)(AMm,n (K)) A En = A = Em A,(v)(AMm,n (K); BMn,m(K))(AB)T = BT AT. Dokaz (desne jednakost u (iv)).Neka je X= EmA , tada je na osnovu definicije mnoenjamatrica: X = (xij) m,n= Em A ( (( ( ) )) )mij ik kj ii ij ijk 1i 1, m; j 1, n x a a a= == == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = , odaklena osnovu jednakosti matrica izlazida jeEm A=A.VJEBE. a) Dokazati da je A En = A. b)Za dokaze ostalih tvrdnji (i) (v)iz stava 3. (kao i stavova 1. i2.)vidjetistr. 74-2-prep.Primjedbe: a)Lako se provjerava da mnoenje matrica u optem sluaju nije komutativno, tj. i kad postoje oba rezultata AB i BA, oni ili nisu istog formata, istog su formata akko su obe matrice kvadratne istog reda, ali i u tom sluaju te dvije matrice ne moraju biti jednake. Napr. 1 0 0 0 0 0 0 0A , B , te je AB BA0 0 1 0 0 0 1 0| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |= = = = = = = = = = = = = = = = ||||||||||||||||\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b) Iz (iv) slijedi da u skupu praugaonih matrica Mm,npostoje lijevi Em i desni En neutralni element koji su razliiti, tj. da samo u skupu kvadratnih matrica Mn,npostoji neutralni element En=Em= E= || ij||n,n za mnoenje matrica.c) Poto samo kvadratne matrice imaju neutralni element za mnoenje, to je samo grupoid(Mn,n ,) potencijalno grupa. Potrebno je istraiti pitanje egzistencije inverznih elemenata u tom grupoidu. Dakle, promatraemo samo kvadratne matrice (istog reda) radi toga to se samo u tom skupu definisane sve tri prije uvedene operacije:sabiranje matrica, mnoenje skalara i matrice te mnoenje matrica. 9.Determinanta matriceSvakoj kvadratnoj matrici AMn,n (K) pridruen je skalar njena determinanta,(engl, detertninant, njem. Determinante, fr. dterminant, rus. opredelitelj od lat. determinare -odredili.Taj skalar oznaavamo sadet Aili|A|iliD. Pri raunanju determinanti koristit emo zapis -26- 11 12 1n 11 12 1n21 22 2n 21 22 2nn1 n2 nn n1 n2 nna a a a a aa a a a a adet ilia a a a a a (((( (((( (((( (((( (((( (((( L L L L L L L LL L L L L L L LM M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M ML L L L L L L L. Oznaku | | uveo je 1841. Cayley.Kako je ovaj zapis slian onome kod matrica, govorit emo,kao i kod matrica , o elementima aij determinante, njenoj vrsti ili koloni, iako je ona (kad se izrauna) tek jedan skalar iz K. Determinante emo definsaati induktivno.Slijedi jednostavna ali neuobiajeno duga definicija determinante. 9.1. Definicijadeterminante i.Za n = 1 i matricu A = [a11] definicija je: detA = |A| = |a11| = a11. Ovdje|A|ili|a11|oznaava determinantu, a ne apsolutnu vrijednost. To nas ne treba brinuti, jer kasnije nikad neemo pisali determinantu matrice prvoga reda. Takoe, zapis determinante|A|ne treba dovoditi u vezu s apsolutnom vrijednou matrice koja nije niti e biti definisana. ii.Za n = 2, determinanta matrice drugoga reda, tj. determinanta drugog redadefine se ovako: D =a a: a a a aa a= -11 1211 22 12 2121 22. (1) Naprimjer:aab .b= +-221

Primjedba. to je motivisalo ovakvu definiciju determinante? Interesantno je spomenuti da je pojam determinante istorijski prethodio pojmu matrice, a javio se je pri rjeavanju sistema linearnih jednaina. Zapiimo najjednostavniji sistem linearnih jednaina: ax + by = e,cx+ dy=f. Njega moemo lako rijeiti bilo kojom od elementarnih metoda. Napr. metodom suprotnih koeficijenata: pomnoimo prvu jednainu brojem d, drugu brojem b i saberimo rezultate. Dobiemo ekvivalentnu jednainu: (ad bc)x = ed bfed bfx .ad bc-=- Slino, dobijemo da za drugu nepoznanicu vrijedi(ad bc)y = af ceaf cey .ad bc-=- Brojnik i nazivnik u ovim izrazima su determinante, tj. e b a ef d c f ed bf af cex , y .a b a b ad bc ad bcc d c d- -= = = =- - (2)Ova veza linearnih sistema i determinanti je utoliko vanija poto analogne formule vrijede i za sistema viega reda. to emo moi dokazati koristei determinante. iii.Za n=3, determinanta (matrica) treega reda definie sa (pomou determinante drugog reda): D = a a aa a a a a aa a a : a a aa a a a a aa a a= - +11 12 1322 23 21 23 21 2221 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 3231 32 33(3). Raunanje determinante moe se nastaviti raunanjem determinanti 2-gog reda: D =a (a a a a ) -11 22 33 23 32a (a a a a ) a (a a a a ) - - + -12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

=a a a a a a -11 22 33 11 23 32a a a a a a a a a a a a - + + -12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 Primjedba. Za izraunavanje determinante drugog itreeg reda moe se koristiti takozvano Sarusovo pravilo (Sarrus, 1798-1861).Ono je predstavljeno slijedeom emom: -27- a aa a+-11 1221 22]Z=a a a a -11 22 12 21,tj. slino za determinantu treeg reda, poslije dopisivanja sdesna njene prve dvije kolone, prema priloenoj emi izlazi: a a a a aa a a a aa a a a a+ + +- - -=11 12 13 11 1221 22 23 21 2231 32 33 31 32] ] ]Z Z Za a a11 22 33a a a a a a a a a + + -12 23 31 13 21 32 13 22 31a a a a a a - -11 23 32 12 21 33

I u ovom sluaju elementi sa istim prvim i drugim indeksom obrazuju glavnu dijagonalu ( a , a , a11 22 33). Nazivamo je jo i lijeva dijagonala. Elementia , a , a13 22 31 obrazuju sporednu dijagonalu ili desnu dijagonalu. Nazovimo nepotpunom lijevom dijagonalom du koja spaja elemente a12 i a23 i du koja spaja elemente a21 i a32. Slino elementi a12 i a21 obrazuju nepotpunu desnu dijagonalu kao ielementi a23 i a32. Lako je vidjeti da proizvod elemenata glavne dijagonalea , a , a11 22 33ulazi u determinantu sa znakom + (plus) a proizvod elemenata sporedne dijagonale sa znakom - (minus). Svaki od ostalih etiri sabiraka determinante je:proizvod od dva elementa sa nepotpune dijagonale i treeg elementa iz suprotnog ugla. Proizvodi se uzimaju sa znakom plus ako se radi o lijevoj nepotpunoj dijagonali i sa znakom minus ako se radi o desnoj nepotpunoj dijagonali. Naprimjer za dijagonalu a12 i a23 suprotni elemenat iz ugla je a33, pa se proizvod ovih elemenata a a a12 21 33mora uzetisa znakom minus.

iv.Definiciju determinante uiniemo jednostavnijom uvodei nove pojmove: (i)Minor (ili subdeterminanta) matriceA Mn (K) elementa aij naziva se determinanta (n - 1)-og reda koja se iz determinante detAn-tog reda dobije brisanjem i-te vrste i j-te kolone i oznaava se s Mij . (ii)Kofaktor (ili algebarske komplemente) elementa aij definie se pomou minora pridruujui mu predznake + ili -prema slijedeojformuli:( )i jijij ijijM , za i j parno,A MM , za i j neparno.++= - =+1Uz ove oznake, definicija (3) determinante treeg reda glasi:

D = detA = a11M11 - a12Ml2 + a13M13. (4) Ista formula, zapisana preko minora, glasi D = detA = a11A11 + a12Al2 + a13A13. (5) gdje je

11 121121 22a aM :a a= , 21 23 21 2212 1331 33 31 32a a a aM : , M :a a a a= = , tj. A11 := +M11, A12 := -M12, A13 := +M13. Ovakav nain raunanja determinante nazivamo razvoj determinante po elementima prve vrste.Primjer.Razvoj determinante po prvoj vrsti: ( ) ( ) ( ) ( ) = - + = - - - + - - =- - - -- -2 0 31 0 3 0 3 13 1 0 2 0 3 2 1 3 0 0 3 32 1 1 152 3 1 3 1 21 2 3 -28- Pokuajmo sad poopiti ovaj zapis. v.Tvrdimo da vrijedi formula analogna sa (4) za razvoj po po bilo kojoj vrsti: ( )( )i jij ij ij ijj ji , D det A a A a M+= =" = = = = - 3 31 11 3 1 (6) ili ak i za razvoj po bilo kojoj koloni: ( )( )i jij ij ij iji ij , D det A a A a M+= =" = = = = - 3 31 11 3 1. (7) Na primjer, za j = 2, razvijajui determinantu treeg reda po drugoj koloni, dobiemo: D=12 12 22 22 32 32a a aa a a a a aa a a a A+ a A+ a A = -a a aa a a a a aa a a= + -11 12 1321 23 11 13 11 1321 22 23 12 22 3231 33 31 33 21 3331 32 33,Raunanje determinante moe se nastaviti raunanjem determinanti 2-gog reda. Dobije se D =a a a a a a -11 22 33 11 23 32a a a a a a a a a a a a - + + -12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31.to se podudara s determinantom raunatom u (3). Vjeba. Provjeriti da e se ista vrijednost za D dobiti razvojem determinante treeg reda po po bilo kojoj vrsti ili koloni. vi.Determinanta matrice n-toga reda - Laplaceov razvoj. U opem sluaju, determinanta matrice define se razvojem po bilo kojoj vrsti, odnosno bilo kojoj koloni, ba kao u formulama (6) i (7). Takav se razvoj naziva Laplaceov razvoj determinante. Neka je Mij minor, a Aijkofaktor elementa aij. Tad se determinanta matrice A reda n definie na nain: ( ) ( )n ni jij ij ij ijj ji , n D det A a A a M+= =" = = = = - 1 11 1(8), kao razvoj po bilo kojoj i-toj vrsti, tj. kao razvoj po bilo kojoj j-toj koloni: ( )( )n ni jij ij ij iji ij , n D det A a A a M+= =" = = = = - 1 11 1 .(9)Primjedba. Bilo bi korektnije definisati determinantu razvojem samo po prvoj vrsti, a zatim dokazati da se taj razvoj podudara s razvojima po oslalim vrstama ili kolonama. Meutim dokaz ovoga stava (kojega srno provjerili za delerminante treega reda) je sloen, te ga neemo navoditi. Preporuujemo dokaze u citiranoj literaturi ili kompletiranje dokaza indukcijom. Za definiciju determinante najvee zasluge pripadaju Laplasu (Pierre Simon Laplace (1749-1827), francuski matematiar, fiziar i astronom). Moe se dokazati da je definicija determinante n-tog reda (8), tj. (9) ekvivalentna sa:

nj j njD det A a a a = = 1 21 2L (10) gdje se sumiranje vri po svim permutacijama ( j1 j2, ...jn ) skupa indeksa {1, 2, ..., n}, a sabirci nj j nja a a1 21 2L su produkt od n elemenata matrice A , od kojihbilo koja dva nisu ni iz iste vrsti ni iz iste kolone.Predznak + ili - ovisi o permutaciji ( j1 j2, ...jn ) drugih indeksa, ve prema tome da li je permutacija parna ili neparna: + dolazi uz parne, a - uz neparne permutacije, kojih ima podjednako mnogo. Detalje o permutacijama i ovakvoj definiciji determinante studenti mogu potraiti u literaturi. Je li raunanje determinante jednostavan posao ili nije? Kod determinariata vieg reda nastupaju potekoe kod njihovog efektivnog raunanja. Naime, iako je teorijski mogue izraunati svaku determinantu sluei se njezinom definicijom, to je esto praktino nemogue, jer broj osnovnih sabiraka raste astronomski s redom determinante. Tako nap. determinanta desetog reda ima 10! == 3.6 milijuna sabiraka, pa bi samo za popisivanje -29- tih sabiraka trebalo 36 knjiga, s 1000 stranica svaka. Tu, dakako, danas pomau raunari, ali se raun moe znatno pojednostavniti koriste li se neka svojstva determinanti. Eksplicitna formula (10) izgieda da daje jednostavan algoritam, ako ne za runo a ono barem pomou rau-nara. Medutim, takva je pomisao daleko od istine. Da bismo odredili determinantu koristei formulu (10) potrebno je uiniti, za zasvaki od n! sabiraka(toliko ima permutacija od n elemenata), tocno n - 1 mnoenje i na kraju n! - 1 sabiranje, to ukupno daje n.n!- 1 operacija. Taj je broj strahovito velik poto faktorijeli rastu vrlo brzo (ak bre od eksponencijalnih funkcija kao sto je recimo 10n). Raunajui determinante primjenom definicije, pomocu rekurzivnih formula, dobemo tek neznatnu utedu, potreban broj operacija ponasa se kao e. n!. Uz prctpostavku da raunar izvri 106 operacija u jednoj sekundi, dobiemo sljedea vremena koja su potrebna za izracun determinanti, uz ne ba preveliki broj n: Matrice reda 100 i raunanje njihovih determinanti este su u praksi to mora znaiti da se velike determinante ne raunaju primjenom gornjih formula. Dakako, postoje razliite formule ,a neke meu njima efikasnije su od drugih. Moe se pokazati da je za izraunavanje determinanti prethodnim svoenjem na trougaonu formu potrebno uiniti, za determinantu n-tog reda, priblino 2n3/3 operacija. Za matricu reda 25 potrebno vrijeme, raunajui na taj nain, iznosi 0.01 sekundu, to je prema gornjih 1018 godina ogromna uteda u vremenu. Da bismo doli do takvog algoritma, potrebno je izuiti svojstva determinanti. Navest emo sada osnovna svojstva determinanti. 9.2. Svojstva determinanti n-tog reda Naveemo nekoliko najvanijih svojstava. Pri tom emo zapravo ukazati na algoritam pomou kojega se determinante mogu jednostavno raunati. S obzirom da je naa definicija determinanti bila induktivna,determinanta je definisana pomou determinanti niega reda , metoda matematike indukcije bila bi osnova pri dokazivanju.Slijedee tvrdnje bit e iskazane za vrste ili kolone determinanti. Napomenimo da potpuno identine tvrdnje vrijede i ako rije vrsta zamijenimo sa kolona i obratno. Navodimo najvanija svojstva determinanti. Dokazi nekih tvrdnji dati su u obliku uputa ili naznaka ili u vrlo saetom obliku. Pri torn emo koristiti zapis u kojem kolone matrice (determinante) prikazujemo u obliku vektora. Dl. Determinanta trougaone (i dijagonalne) matrice jednaka je proizvodu elemenata na dijagonali. Ako je A napr. gornja trougaona matrica, tada svi proizvodi u (10), osim a11a22...ann imaju barem jedan element iz donjeg trougla pa su jednaki nula. Na primjer, za jedinicnu rnatricu vrijedidetE = 1. D2.det A = det AT. Jednakost vrijedi zbog formula (8) i (9). Iz ovog svojstva izlazi da svako svojstva koja vrijedi za vrste vrijedi i za kolone determinante (i obratno). D3. Zamjenom dviju vrste (kolona) determinanta mijenja predznak. Za n=2 osobina se jednostavno provjerava:( )a aD a a a a Da a= = - - = -21 221 11 22 12 2111 12, te za kompletiranje dokaza indukcijom ostaje da se dokae da svojstvo vai i za n+1 ako vai za n.NBROJOPERACIJAVRIJEMERAUNANJA 53243.2 . 10-4sekunda 109 864 0999.8 sekunda 254.2 . 1025 1.3 .1018 godina1002.5 . 10158 8 . 10150 godina -30- D4. Ako u A imamo dvije jednake vrste (kolone) onda je determinanta detA=0. Svojstvo slijedi stoga to po svojstvu D3 zamjenom dvije vrste determinanta mijenja predznak, a kako smo zamijenili iste vrste determinanta se ne mijenja. Dakle D= - D odakle slijedi D=0.D5. Determinanta je multilinearna funkcija svojih kolona, tj. ako je (samo jedna) napr.j-ta kolona matriceAMnlinearna kombinacija . j . j( ) ( ). jA A A = a + b1 2 onda je detA= detA(1) + detA(2) , gdje je j-ta kolona: . j( )A 1 umatrice A(1)i. j( )A 2 umatriciA(2)(ostale kolone su iste kao u matrici A). Ovo svojstvo slijedi direktno iz formule (9) za razvoj po j-toj koloni:

( )n n n( ) ( ) ( ) ( )kj kj kj kj kj kj kjk k kdet A a a A a A a A= = == a + b = a + b 1 2 1 21 1 1= detA(1) + detA( 2). Primjedba. Iskazati, tj zapisati princip superpozicije, kako se naziva osobina D5. za ==1.D6. (i)Neka je A1 matrica koja se dobije tako to se svi elementi neke od kolone matrice AMn pomnoze s brojem . Tada vrijedi detA1= detA, tj. determinanta se mnoi brojem tako dajoj se neka (ali samo jedna kolona) pomnoi tim brojem. (ii) Ako matrica A ima vrstu sastavljen od samih nula, ondaje detA = 0. Ovo su direktne posljedice svojstva D5. Svojstvo (ii) mogue je provjeriti direktno razvojem determinante po 0-vrsti. D7.Vrijede generalizacije formula (8) i (9):

( ) ( ){n ni jsj ij sj ij sij jza i s,i , n;s , n a A a M DD za i t;+= =" = = = - = d == 1 101 1 1(8!),

( )( ){n ni ji t ij it ij tji iza j t,j ,n;t ,n a A a M DD za j t.+= =" = = = - = d == 1 101 1 1 .(9!) Formule (8 !) dobiju se na osnovu D4. kao razvoj po i-toj vrsti kad umjesto i-te ponovo stoji s-ta vrsta tako da D ima dvije jednake vrste (za i s); formule (9 !) dobiju se na osnovu D4. kao razvoj po j-toj koloni kad umjesto j-te ponovo stoji t-ta kolona, tako da D ima dvije jednake kolone(za j t).D8.Determinanta se ne mijenja ako jednoj koloni dodamo neku drugu kolonu pomnoenu sa nekim brojem. Neka smo matricu A1 dobili iz matrice A tako to smoj-toj koloni A.j dodali t-tu kolonuA. tpomnoenu sa , tada je prema formuli (9) isvojstvu D5:

( )n n nij i t ij ij ij it iji i idet A a a A a A a A det A= = == + l = + l = 11 1 1, poto jenit ijia A=1= 0 prema (9 !)uD7,jer je to razvojdeterminante po j-toj koloni, koja ima dvije jednake kolone j-tu it-tu. D9. Ako je jedna kolona (ili vrsta) matrice A linearna kombinacija preostalih kolona (ili vrsta) onda je detA=0. Slijedi uzastopnom primjenom osobina D5 i D4. Primjedba. Kasnije emo dokazati da je ovajuslov i potreban, tj. detA=0akko su njene vrste (kolone) linearno zavisne. -31- D10. (Binet -Cauchyjev stav; J. P. M. Binet (1786-1856), francuski malematiar). Determinanta proizvoda dviju matrica jednaka je proizvoda determinanti: ( A, B Mn)det(AB) =detAdetB. Dokaz neemo izvoditi.Vjeba. Uzeti dvije proizvoljnematrice reda 2 ili 3 i provjeriti da je za njih ta tvirdnja tana. Primjer 1. Koristei svojstva determinante i Laplasov razvoj imamo: ( )( )II IIII IIV I.+- - - - + - -= + - -+ - ---= = - - =-1 12 8 8 4 1 4 4 23 12 15 3 1 4 5 12377 28 14 14 1 4 2 233 8 4 3 3 8 4 31 4 4 28 9 30 8 9 342 42 1 1 8 2 0 40320 8 2 020 16 30 20 16 3 Ovaj primjer pokazuje da raunanje determinanti moe biti ak i za determinante malenoga reda mukotrpan posao; da je 'runo' raunanje determinanti umjetnost sama po sebi: razliite osobe estoe razliitim pristupom doi do (istog!?) konanog rezultata. Osnovna ideja sastoji se u tome da se determinanta svodi na determinantu trougaone matrice, meutim izbor transformacija ostaje pri tome poprilino slobodan. Pri runome raunanju nastojimo izbjei raun s razlomcima koliko je god to mogue. S druge strane, algoritam prilagoen raunaru jednoznano je odreen i ne uzima toliko sloboda pri izboru transformacija. Mi emo taj (Gaussov) algoritam detaljno opisati pri rjeavanju sustema linearnih jednaina. Primjer 2. (Vandermondeova determinanta.) Provjerimo sljedei rezultat: ( )2 nj ii jn n n2 n1 1 1x x xx x .x x x 3)vektora vrimo tako da poetak svakog narednog vektora dovedemo translacijom do poklapanja sa krajnjom takom predhodnog vektora. Zbir n vektora(rezultantaR , vidi sl. 3b)je vektor koji poinje u poetnoj taki prvog vektora a zavrava u zavrnoj taki n-tog vektora nkk==1

aa1

na . Sl.2b,pored dokaza komutativnosti sabiranja vektora, slui da uvedemo definicija sabiranja vektora po pravilu paralelograma (ekvivalentna definiciji 1).Oduzimanje vektora definie se jednakou:

( )a, b V a b : a ( b) = +

,tj. oduzimanje vektora svodi se na dodavanje suprotnog vektora. Primjedba. Oduzimanje vektora interpretiramo tako da ih dovedemo na zajedniku poetnu taku A (vidi sl.4). Ako je

, tada je trea strana trougla ABD ; to je istovremeno i drugai a AB b AD = =

DB a b =

dijagonala paralelograma konstruisanog nad vektorima .i a AB b A = =

D

b

b

a

DB a b =

ABCDAC a b = +

c

nkkR a==1

na

a2

a1

b c +

a b c + +

b

a b +

a

Sl.3aSl.3b - 70 -Sl. 4Mnoenje vektora skalarom je eksterna operacija, tj. mnoenje skalara k (R) i vektora: R V V a V

jeste vektork , koji je definisan na slijedei nain:a

(i)nosa vektorakje jednak nosau od , tj.vektori ika su kolinearni;a a

a

(ii)smijervektorak je isti kao koda zak > 0,suprotan za k < 0, ( 0a );a

=0

(iii) intenzitetk k a a = .2 A1 Sl.5 Na sl.5, koja ilustruje mnoenje vektora skalarom, je:< 0).1 1OA= k (k 0); >a; OA a =1 2k (k OA a =2

A A2 O Mnoenje vektora skalarom ima osobine: Stav 3. Eksterno mnoenje ima osobine: R V V ( )( ), R a, b V

: (i) ( )a b a b; + =+ ( )( ) ii a a b; + =+

(iii) ( ) ; (iv) 1a a ( ) a =a . = Dokazje lako izvesti (tj. obrazloiti grafiki). Tako je, naprimjer, osobina (i)ilustrovana sa slijedeom slikom: a

( )a b +

a b +

b

b

b

b

b

b

a

Sl. 5 Na osnovu stavova 1 i 2 izlazi da je skup slobodnih vektora V realnivektorski prostor (vidi definiciju vektorskog prostora u glavi 2). -- 71 --7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmova dimenzija i baza prostora: ''Najvei'' broj linearno nezavisnih vektora u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostora. Ako je n dimenzija prostora V tada svaki skup( )ne , ..., e1 od n linearno nezavisnih vektora nazivamo bazom vektorskog prostora.Ova dva pojma dimenzija i baza su povezani: ako znamo dimenziju, znamo koliko linearno nezavisnih vektora sadri baza i obrnuto.Taj broj jednoznano odreen, tj. da ne zavisi o moguem izboru razliitih baza, to smo pokazali u poglavlju o linearnim vektorskim prostorima. Pojmovi baze i dimenzije prostora povezani su zatim sa pojmovima: linearne kombinacije, linearne zavisnosti i nezavisnosti vektora, koje smo definisali u istom poglavlju. Uvoenje koordinatnog sistema (koordinatizacija), koji e biti odreen izborom baze i koordinatnog poetka, omoguava predstavljanje vektora pomou realnih brojeva. Na taj nain pojednostavnjuju se operacije s vektorima, jer se operacije s vektorima svode na odgovarajue operacije s brojevima. Koordinatizacija pravca.Prostor V1 = VO (p) kolinearnih vektora na pravoj p dobijen je tako da se za proizvoljan vektora 0

(koji lei na pravoj p) posmatraju svi vektori oblika V1 ={ka

k R}. Svaka dva vektora iz V1 su linearno zavisna: jedan je viekratnik drugoga. Zato je ''najvei'' broj linearno nezavisnih vektora u prostoru V1 jednak 1, to je upravo dimenzija prostora V1. Svaki ne-nula vektor iz V1 ini bazu tog prostora.Koordinatizaciju pravca definiramo na sljedei nain: odaberemo na pravac p toku O p, te na njemu nanesemo brojni pravac tako da je nula u toki O. Jedinini vektori

definiemo kaoi O = 1 ,pri emu je broju 1 brojnog pravca pridruena toka 1. Vektori

je jednoznano odreen i vrijedi d(O,1) = | i

| = 1. S ovim smo na pravcu p zadali koordinatni sistem kao ureen par (O,i

), gdje je O koordinatni poetak (tj. ishodite), ai

vektor baze tog prostora koji je dimenzije jedan . Svakoj toki T koja lei na pravcu p jednoznano je pridruena njena apscisa x i vektorOT

. Po pravilu o mnoenju vektora skalarom iz paragrafa 7.1 vrijedi ( )( ) T p !x R OT x O x i . = = 1

(1) Broj x je skalama komponenta vektoraOT

. Zbog jednoznanosti predstavljanja (1) u koordinatnom sistemu (O,i

) koristimo, umjesto (1), sljedee oznake [ ] OT x =

ili. ( ) OT x =

(1) Uvoenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ] OM i , OP i , = = = = 2 2 5 5tada je ( )[ ] OM OP i . = =

3 2 24 24

Koordinatizacija ravnine. Sa V2= VO () oznaavamo vektorski prostor komplanarnih vektora u ravni : to je prostor u kojemu su najvie dva vektora linearno nezavisna. (Vidi sl.6) Nekasua

1ia

2bilokojadvanekolinearnavektora.Tadsuonilinearnonezavisniisvakitreivektor prostora V2 moe se izraziti u obliku linearne kombinacije vektoraa

1 ia

2. Zato je ( ) { }V L a , a a xa ya x, y R = = = + 21 2 1 2

Vektoria

1 ia

2 ine bazu. -- 72 -- Primijeti da bazu ovoga prostora V2= VO () ine i bilo koja (druga) dva linearno nezavisna vektora. Ako vektora

napiemo kao linearne kombinacije vektoraa

1 ia

2, tada kaemo da smo vektora

rastavili na komponente po vektorimaa

1 ia

2. Iskaimo sad u obliku teoremajednu jednostavnu ali vanu tvrdnju koju zadovoljavaju vektori prostora V2. Student e primijetiti da e analogne tvrdnje vrijediti i za bilo koji vektorski prostor. Stav1. Neka sua

1 ia

2 linearno nezavisni. Rastavljanje vektora

V2 na komponente po vektorimaa

1 i a

2 je jedinstveno, tj. ( ) ( ) ( )a V ! , R a a a2 21 2 1 1 2 2 = + (2) Dokaz. Pretpostavimo da se a

moe napisati u obliku (2) na dva naina: ( ) ( ) a a a a a , , , = + = +

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2. Odavde bi slijedilo ( )a ( )a + =1 1 1 2 2 20

kako sua

1 ia

2 linearno nezavisni, zakljuujemo da mora vrijediti, . = =1 1 2 2

Koordinatni sistem u ravni. Neka su a

1 ia

2 dva nekolinearna vektora u ravni sa zajednikom poetnom takom O.Taku Onazivamo koordinatnim poetkom (ili ishoditem). Trojku (O;a

1, a

2)nazivamo koordinatnim sistemom u ravni. Vektoria

1 ia

2odreuju dvije koordinatne ose Ox i Oy, koje odgovaraju pravcima p i q koji prolaze ishoditem i nosai su vektoraa

1 ia

2 respektivno (sl.7). Svakoj toki M u toj ravni jednoznano odgovara radijus-vektorOM

. Njega pak moemo rastaviti po bazi a

1 ia

2 tako da vrijedi OM xa ya = +1 2

. Time je poloaj toke M opisan ureenim parom skalara (x, y). Njih nazivamo koordinate toke M u koordinatnom sistemu (O,a

1, a

2). A za vektorea

1 ia

2kaemo da ''razapinju'' tu raven. Geometrijski, koordinate toke M odreuju se njezinim projiktovanjem na koordinatne ose p i q. Projekcija se vri u smjeru druge koordinatne osi. a2

ya2

a1

xa1

a

sl. 6 -- 73 -- Opisani koordinatni sistem u ravnini (sl.7) nazivamo pravougli koordinatni sistem (to nije obavezno) ako i samo ako su vektoria

1 ia

2 ortogonalni. U praksi obino koristimo pravougli koordinatni sistem. Koordinatizacija prostora.Koordinatizaciju trodimenzionalnog prostora E dobijemo slino kao to je prethodno uraeno za pravu i ravan. Prvo odaberemo ishodite O i meusobno okomite pravce p, q i r (jasno, ako se radi o pravouglom koordinatnom sistemu) koji prolaze kroz toku O. U ravni razapetoj pravcima p i q definiemo desni pravougli koordinatni sistem jedininih vektora ( )O, i , j

, gdje sui , j ortovikordinatnih osa Ox i Oy koje odgovaraju okomitim pravcima p i q respektivno. Zatim na pravcu r definiemo koordinatni sistem ( )O, k

. Time smo definisali pravougli koordinatni sistem ( )O, i , j,k u prostoru E koji je prikazan na sl.8. Pri tome vrijedii OI, j OJ, k OK, i j k . = = = = = =1

Sl.8 T'Sl.7 pq O M(x,y)a2

a1

r

-74-Brojne prave koje smo nanijeli na prave p, q i r su koordinatne ose i to redom apscisna, ordinatna i aplikatna osa (x-osa, y-osa i z-osa). Tri ravnine x-y, x-z i y-z, koje su odreene odgovarajuim koordinatnim osima, zovu se koordinatne ravnine i dijele prostor na osam oktanata. Neka je zadana toka T E. Ravni paralelne s koordinatnim ravnima koje prolaze kroz toku T sijeku koordinatne osi u tokama P, Q i R (sl.8). Koordinate tih toaka u koordinatnim sistemima( )O, i ,

( )O, j

i ( )O,k

jednake su x, y i z. Brojevi x, y i z su kordinate take T, to zapisujemo sa T(x,y,z), odnosno x je apscisa, y je ordinata, a z je aplikata take T. Brojevi x, y i z su su takoe koordinate (ili skalarne komponente) vektoraa OT =

u koordinatnom sistemu ( )O, i , j,k . Prema pravilu za sabiranje vektora vrijedi (sl.8) odnosno'OT OT OR xOI yOJ zOK,a xi yj zk.= + = + += + +

Skalarne komponente jednoznano su odreene takom T, te se za predstavljanje vektora koristi krai zapis ( )xa x, y, z , ili a y ,z = = kojinazivamo koordinatna forma (predstava) vektora. Vodei rauna o ovome, sabiranje vektora i mnoenje vektora skalarom svodi se na odgovarajue operacije sa matricama dimenzija (1,3) ili (3,1). Primjer1. Neka su date take M1(x1, y1, z1)i M2(x2, y2, z2).Tada, prema definiciji sabiranja vektora (po pravilu trougla ili ''nadovezivanjem'', tako da nam nije potrebna slika), vrijedi odnosno OM M M OM , M M OM OM . + = = 1 2 2 11 1 2 2

Dakle, ( ) ( ) ( ) ( ) M M x x i y y j z z k x x , y y , z z . = + + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Tako je naprimjer ( ) ( ) ( ) 2 0 1 5 2 3 3 2 4 A , , , B , , AB , , . =

Primjedba. Kod definicije pravouglog koordinatnog sistema u prostoru koristili smo tri meusobno okomite prave p, qir. Meutim koordinatni sistem moe se definisati i sa pravim koje nisu meusobno okomite, samo odabrane prave treba da su nekomplanarne. Za pravougli koordinatni sistem koristimo i termin Dekartov pravougli koordinatni sistem ili ortogonalni trijedar. Jedinini vektorii i , j k , postavljeni u taki O definiu tri koordinatne (Dekartove) ose: x-osu, y-osu i z-osu, respektivno. Pravougli koordinatni sistem oznaavamo sa Oxyz (ili xyz).Nadalje emo, kad je u ravni zadan koordinatni sistem (O; i, j), ravan nazivatiravan xy.Analogno, govorimo o prostoru xyz, ako je u prostoru zadan koordinatni sistem (O; i, j, k). Pojam orjentacije koordinatnog sistem. U dosadanjem izlaganju, meusobni poloaj bazisnih (koordinatnih) vektora nije bio bitan. Za na dalji rad, meutim, neophodno je precizirati ovaj poloaj. U upotrebi su dva pravougla koordinatna sistema: desni (engleski) i lijevi (francuski). Definicija 2.Kod desnog sistema ili tzv. trijedra desne orijentacije najkraa rotacija vektorai

prema vektoruj

oko z-ose, posmatrano sa kraja vektorak

, izvodi se u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu (pozitivna rotacija). Suprotno, kod lijevog sistema ili tzv. trijedra lijeve orijentacije pomenuta rotacija vektora izvodi se u smijeru kretanja kazaljke na satu (negativna rotacija). Trijedardesneorijentacijemoebitipredstavljensatriprstadesneruke,priemupalcu,kaiprstui srednjemprstuodgovarajuvektori ( )O, i , j,k respektivno.Odgovarajuimprstimaleverukemoebiti predstavljentrijedarleveorijentacije.Unaemdaljemrazmatranjuuvekemokoristititrijedardesne orijentacije. -75- sl.9a(desni trijedar) sl.9b (lijevi trijedar) 7.3.SKALARNI PROIZVOD VEKTORA Ugao meu vektorima. Pojam ugla izmeu dva vektora je jasan: to je manji (po apsolutnoj vrijednosti) od dva ugla koji zatvaraju dva zadana vektora (translatirana u zajedniki poetak). Oznaavat emo ga sa ( )a, b . =

Prema tome, ugao moe uzeti vrijednost0 i 0) visina paralelopipeda koja odgovara ovoj osnovi, te zakljuujemo da(a x b)c = Bh predstavlja zapreminu V paralelopipeda konstruisanog nad vektorima trijedra (a, b, c), ako je taj trijedar desne orjentacije (kao na sl.15). Ako je trijedar (a,b,c) lijeve orjentacije, tada jeprdc< 0, te je mjeoviti proizvod vektora jednak- V. U svakom sluaju, mjeoviti proizvod tri vektora po apsolutnoj vrednosti jednak je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad ovim vektorima, tj. dokazali smo stav 1. Zapremina paralelopipeda konstruisanog nad vektorima trijedra (a,b,c)je ( )( ) za desni trijedar-za lijevi trijedara b c,Va b c, = ,(2) Primjedba. Zapremina paralelopipeda razapetog pomou vektora (a,b,c)je( ) V= a b c . Pomou mjeovitog proizvoda ne samo da moemo sraunati zapreminuparalelopipeda konstruisanog nad vektorima trijedra (a,b,c), ve dobijemo i odgovor da li je taj trijedar desni ili lijevi.abc= d a b H Sl.1 . -81-Dakle, vrijedi: trijedar (a,b,c) je desni (lijevi) akko je mjeoviti proizvod[ ] a, b, cpozitivan (negativan). Zapremina tetraedra (piramide) konstruisanog nad vektorima istog trijedra (a,b,c) sa sl.1 ) je estina zapremine paralelopipeda, tj. ( )tetr1V =6a b c . Stav 2. Neka su 1 2 3 1 2 3 1 2 3a a a b b b c c c a i j k, b i j k, c i j k, = + + = + + = + + tj. vektori a, b, c zadani su preko koordinata, tada se mjeoviti proizvod moe sraunati na slijedei nain: [ ] ( )1 2 31 2 31 2 3a a ab b bc c ca, b, c : a b c . = =(3) Dokaz. Sad je ( ) ( )1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3c c ca a a c c c a a ab b b b b bi j ka b c i j k , = + + = (4) gdje smouzeli u obzir da je vektorski proizvoda x b mogue predstaviti determinantom i da je 1 2 3=c =c =c ic , jc , kc .Ako u determinanti na desnoj strani jednakosti (4), izvrimo dvije zamjene vrsta: prvu i drugu, a zatim drugu i treu, vrijednost determinante se nee promjeniti, tj. iz (4) dobijemo (3). Sad je lahko, koristei formulu (3) i osobine determinante, dokazati slijedee osobine mjeovitog proizvoda: 1.Akko su su vektori a,b,c komplanarni mjeoviti proizvod tri vektora je nula, tj. uslov komplanarnosti vektora je 1 2 31 2 31 2 3a a ab b bc c c= 0. 2.[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a, b, c b, c, a c, b, a a, c, b b, a, c c, b, a = = = = = ,odakle slijedi zakljuak: ciklikom (neciklikom) permutacijom vektora trijedra (a,b,c) ne mijenja (mijenja) se orjentacija tog trijedra.Gdje se mjeoviti proizvodi istog znaka dobiju jedan iz drugog ciklikom permutacijom vektora trijedra (a,b,c) ili kad u determinanti izvrimo dva puta zamjenu vrsta, a mjeoviti proizvodi suprotnogznaka dobiju se jedan iz drugog neciklikom permutacijom vektora trijedra (a,b,c) ili kad u determinanti izvrimo samo jednom zamjenu vrsta. 3.[ ] ( ) ( ) a, b, c : a b c a b c = = , tj. za mjeoviti proizvod bilo je opravdano uvesti oznaku [ ] a, b, c , poto je svejedno gdje stoji znak vektorskog, a gdje skalarnog proizvoda; 4.[ ] [ ] [ ] [ ] a, b, c a, b, c a, b, c a, b, c = = = ; 5.[ ] [ ] [ ] a b, c, d a, c, d b, c, d ; + = + Primjer 1. Izraunati zapreminu tetraedra ABCD iji su vrhovi take A(0,-1,0), B(3,3,0), C(-1,3,1), D(1,1,4). Volumen tetraedra jednak je estini volumana paralelopipeda konstruisanog nad vektorima: a AB =

, b AC =

, c AD =

. Poto je( ) ( ) ( )B Aa AB r r , , . , , , = = = = 3 3 0 0 1 0 34 0

i analogno( ) ( ) ib , , c , , , = = 1 4 1 1 2 4izlazi [ ] a, b, c = =+ 3 4 01 4 1 621 2 4. Dakle trijedar (a,b,c) je desni, a zapremina tetraedra ABCD je 1V=6. 62 Primjedba. Dakle, na jednostavan nain smo rijeili problem koji je geometrijski dosta sloen: odredili smo zapreminu tijela a da nismo ni nacrtali to tijelo. Istovrameno smo odgovorili s koje strane ravni ABC, koja je zadana sa tri take (A, B i C) lei etvrta taka (D).Na isti nain moemo provjeriti da li bilo koje etiri take lee u istoj ravni, jer e tada (i samo tada) volumen tetraedra biti nula. -82-Na slian nain moemo sraunati volumen bilo kojeg tijela koje je omeeno ravnim plohama, jer svako takvo tijelo mogue podijeliti na tetraedre. Zadatak za vjebu. Primjetiti da je volumen tetraedra ABCD, iz prethodnog primjera, mogue izraunati pomou paralelopipedrazapetog vektorima BA a, BC BA AC b a, BD BA AD c a. = = + = = + =

Koje je orjentacije trijedar ( )BA, BC, BD

?Kod raunanja zapremine tetraedra moramo li uzeti vektore vezane za isti vrh tetraedra, ili je mogue uzeti bilo koje tri orjentisana brida tetraedra, koji nisu komplanarni? 7.4.2.Dvostruki vektorski proizvod.Vektorski proizvod vektora a sa vektorskim proizvodomb x c zove se dvostruki vektorski proizvod. Dakle, to je vektora x (b x c). Dokazaemoda vrijedi a x (b x c) = b (ac) c (ab). (5) Iz definicije vektorskog proizvoda slijedi da je vektor d = a x (b x c) normalan na vektore b x c i a, a to znai da je komplanaran sa vektorima b i c. Prema tome postoje skalariu i v takvi da je a x (b x c) = ub+ vc.(5a) Neka je n jedinini vektor koji je ortogonalan na vektor c i lei u ravni vektora b i c, sl.2. Ako jednakost (5a) pomnoimo skalarno vektorom n izlazi [a x(b x c)]n = u(bn) a[(b x c) x n] = u(bn).(6) Sad je ( ) sin b c n b c n b c = = 2, tj. ( ) b c n = ( ) ( ) ( )0 0sin sin b c c b c b, c c b b, c c bn c, = = =gdje je c0ort vektora c. Prema tome je ( ) ( ) b c n bn c. = (7) Iz (6) i (7) slijedi u = ac. Dalje ( ) ( ) 0 a b c a a a b c = ( ) ( ) ( ) u v 0 u v 0 a b c ab ac + = + = (ac)(ab) + v(ac) = 0 v = - (ab), ime je dokaz zavren. Slino se dobije:(a x b) x c = b (ac) a (bc),(8) tj. dvostruki vektorski proizvod lei u ravni razapetoj vektorima koji su u zagradi. Vjeba. 1)Koristei formulu (5), provjeriti ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b . + + =0(9) 2) Dokazati formule (5) i (8) ako su vektori a,b i c zadani preko koordinata kao u stavu 2. Pritom koristiti injenicu da se i vektor d moe zapisati preko koordinata d = (d1, d2, d3), te da je d1= id,d2= jd, d3= kd, itd. 3) Provjeriti da je( ) a, b 0( )aba b b a bb b= + 2 21, (10) gdje formula (10) predstavlja rastavljanje vektora a po komponentama (u dva meusobno normalna pravca)u pravcu vektora b i vektora normalnog na b. 4) Za proizvode eteri vektora, dokazati slijedee jednakosti ( )( )ac ada b c dbc bd = ; (11) ( ) ( ) [ ] [ ] a b c d a, b, d c a, b, c d. = (12) n b c b x c Sl. 2. -83-Provjeriemo samo 4). Stavimoc d = e i iskoristimo mogunost ciklike permutacije u mjeovitom proizvodu: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )ac ada b c d a b e b e a b c d a bd c bc d a ac bd ad bc ;bc bd = = = = = = Sad stavimoa b e = i primjenimo (5). Dobijemo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] a b c d e c d ed c ec d a, b, d c a, b, y d. = = = Primjedba. Ako se u (11) umjesto c stavi a i umjesto d stavi b, dobije se jednakost ( )2sinaa aba b a b a, b ,ba bb = =2 2 2(13) Odakle se dobije Lagranov identitet (Lagrange, P.J.L., francuski matematiar (1736-1813)): ( ) a b ab a b . + =2 2 2 2 (14) Determinanta u (13) naziva se Gramova (Gram, J.P., danski matematiar (1850-1916)). Iz (13) ili (14) dobije se Koijeva nejednakost (Cauchy, A. L., francuski matematiar (1789-1857)) ( ) ( )( )22 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3a b +a b +a b a +a +a b +b +b ,(15) gdje znak jednakosti vai akko su vektori a i b kolinearni, tj. akko ( )( ) b a R , . = = 1 3Koijeva nejednakost ima generalniji oblika b a bn n n, = = = 22 21 1 1(16) gdje znak jednakosti vaiakko su vektori a i b kolinearni, tj. akko ( )( ) n b a R , . = = 1Vjeba. Provjerite skalarni oblik Lagranovog identiteta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 3a b a b a b a b a b a b a b +a b +a b a +a +a b +b +b - - - . + + + =2 2 2 2 - 84 - 7.5. KOORDINATNI SISTEMI 7.5.1. Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 7.3. definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su:(a)koordinatni poetak ili ishodite O proizvoljno odabrana taka iz E,(b)(i, j, k) je desni trijedar ortogonalnih ortova koji definiu orjentisane ose (x, y , z),(c) tri orjentisane koordinatne ravni xy, yz i zx. Taku TE obiljeavamo sa T(r) ili T(x,y,z). Pritom poistovjeujemo tri razliita skupa: skup taaka E, skup radijus vektora VO(E) i skup R3 ureenih trojki realnih brojeva, jer postoji oita bijekcija izmeu bilo kaja dva od tih skupova. Zaista, svakoj taki TE odgovara samo jedan radijus vektor te take r =OTJJJG ili smo jedna ureena trojka (x,y,z)R3koordinata tog vektora i obrnuto. Koordinatnim ravnima je prostor E podijeljen na osam oktanata, koje razlikujemo prema predznacima koordinata take T u pojedinim oktantima: xyz xyz I+++V++- II-++VI-+- III--+VII--- IV+-+VIII+-- Primjedba. Svaku taku P(x,y,0) koje lei koordinatnoj ravnixy mozemo posmatrati kao taku dvodimenzionog prostora te ravni u koordinatnim sistemom (O; i, j) i obiljeiti je sa sa P(x,y) ne zapisujui treu koordinatu z koja je jednaka nuli za sve take koordinatne ravni xy. Tu injenicu emo koristiti kod raznih zadataka za take ravni, kad ve imamo rjeenje za take prostora. Naprimjer: 1.Za vektor a = (a1, a2) u ravni xy (vidi sl.3) jedinini vektor je: 1 201 2a a 1=(a , a ), gdje je cossin = a , ;a a a= 2.Skalarni proizvod dvavektora: ab = (a1, a2)(b1, b2) = a1b1 + a2b2; 3.Vekttorski proizvod istih vektora:( )1 2 2 1a b a b a b k = . Sad emo, sluei se kordinatnim sistemom xyz u euklidskom prostoru E (i u ravni xy) rijeiti neke zadatke. Rastojanje dvije take. Neka su date dvije take T1(x1,y1,z1)iT2(x2,y2,z2). Njihova udaljenost je jednaka x z y sl.3 r T(x,y,z)P(x,y,0) - 85 - duini vektora( )1 2 2 1 2 1 2 1T T x -x ,y -y ,z -z =JJJJG, tj.( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1d T ,T := T T x x y y z z . = + + 2JJJJG(1) Formulom(1) je odreena metrika u prostoru E. Ako su take T1iT2 u ravni xy, tada jez1 = z2 = 0, te je formula za rasojanje ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 2 1 2 1d T ,T := TT x x y y . = + JJJJG(2) Podjela dui u datoj razmjeri. Podijeliti du AB u datom omjeru : 1 znai odrediti taku T, na toj dui, tako da vrijedi AT TB :1 : =JJJG JJG(3) Odgovoriemo na sljedee pitanje:Ako su zadane koordinate taaka A i B, koje su koordinate take T? Jednaina (1) daje sljedeu jednakost AT TB. =JJJG JJG Napisana s pomou radijusvektora, ona glasi rT rA = (rB - rT). Sreivanjem, odavde dobijamo izraz za radijusvektor take T: A BT1+r rr+= .(4) Zato su koordinate traene takeA B A B A BT T Tx x y y z zx y x1+ 1+ 1+, , .+ + += = = Sredite dui. Sredite S dui AB dijeli tu du u omjeru 1:1. Zato je = 1 i njegove su koordinate A B A B A Bx x y y z zS2 2 2, , , + + + ili, u vektorskom zapisu, ( )OS OA OB12= +JJG JJJG JJJG xy O A A0 a1 a2 cos sin sl.3 xT1 T2 O A B T sl.4 - 86 - sl. 6 r Ox T Konveksna kombinacija. Konveksna kombinacija dvaju vektora je vektor oblika r = r1+ r2 (5) pri emu za skalare vrijedi 0, 0, + = 1. (6) Ako su r1 i r2 predstavljeni svojim radijusvektorimaOA i OBJJJG JJJG, tada konveksnoj kombinaciji odgovara radijusvektor take T koja se nalazi na dui AB. Zaista, jednaina (4) moe se napisati u obliku (5) gdje smo stavili 1 1= ,1+ 1+. =Pokaimo da slina tvrdnja vrijedi i za tri take.Neka su A, B, C bilo koje tri take u prostoru. Neka je T taka unutar trougla ABC .Neka pravac CT sijee stranicu AB u taki P. Tad taka P ima radijusvektor 1 OP OA OB1+ 1+= +JJG JJJG JJJG za neku vrijednost koeficijenta > 0. Sad se radijusvektor take T moe napisati u obliku1 OT= OC+ OP1+ 1+ 1 1= OA+ OB+ OC1+ 1+ 1+ 1+ 1+=OA+OB+OC.JJJG JJJG JJGJJJG JJJG JJJGJJJG JJJG JJJG Koeficijenti, , su pozitivni i zadovoljavaju uslov ( )( ) ( )( ) ++ = + + =+ + + + +111 1 1 1 1. Dakle, radijusvektor svake take unutar trougla konveksna je kombinacija radijusvektora njegovih vrhova. Primjer 1. Teite trougla je ona toka T za koju vrijedi ( )A B Cr r r r . = + +13. Zaista, polovite P stranice AB ima radijusvektor( )OP OA OB = +12JJG JJJG JJJG. Teite je toka na teinici CP koja je dijeli u omjeru 2 : 1 ;ona ima radijusvektor 1 2OC+ OP3 3.JJJG JJG Uvrtavanjem dobijemo gornju formulu. Primjer 2. Analogna tvrdnja gornjoj vrijedi i za tetraedar. Neka su A,B,C,D etiri nekomplanarne toke. Tad se radijusvektor svake toke unutar tetraedra ABCD moe napisati u obliku konveksne kombinacije OT=OA+OB+OC+ODJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

pri emu za skalarne mnoitelje ,, vrijedi da su nenegativni i da im je zbir jednak jedinici. 7.5.2.Drugi koordinatni sistemi Pored Dekartovog u upotrebi su i drugi koordinatni sistemi u ravni i prostoru. Pomenuemo tri takva sistema (jedan u ravni i dva u prostoru). Polarni koordinatni sistem u ravni.Kod polarnog koordinatnog sistema kroz jednu fiksnu taku O (pol ili ishodite) povuena je polarna poluosa Ox (sl.6), tada je proizvoljna take T u ravni odreen parom polarnih koordinata (r, ): polarnim potegom r = d(O,T) 0 i uglom koji polarni potegOT zaklapa sa polarnom osom mjeren u pozitivnom smjeru, tj. u smjeru obrnutom od kazaljke na satu. Ako su date polarne koordinate take T(r, )onda se Dekartove koordinate raunaju pomou jednakosti [ ) [ ) ( )r ; 0,2 x= rcos ,y= rsin ;, 0vekor poloaja takeT moe se predstaviti u obliku rcos +rsin r i j = , - 87 - polarne koordinate raunaju se pomou Dekartovih koordinate na slijedei nain ( )2 2y yx,y r= x +y , tg= (sin= );x rR Geometrijsko mjesto taaka (tj. skup taaka) u ravni za koje je jedna od polarnih koordinata r ili konstantna, a druga promjenljiva, naziva se koordinatna linija (kod Dekartovih koordinata koordinatne linije su familija pravih paralelnih x osi kad je y konstanto, ili za x konstantno familija pravih paralelnih y osi). Tako za r = const kordinatne linije su familija koncentrine krunice sa centrom u ishoditu; za = const kordinatne linije su familija polupravih koje polaze iz ishodita zatvarajui ugao sa polarnom osom. Taka T(r0, 0) dobije se kao presjek odgovarajuih koordinatnih linija: r = r0 i = 0. Primjeri. 1. U polarnim koordinatama r- jednaina rcos ( - ) = b, (, b konstante) predstavlja pravu liniju. 2. Jednaina r = definie u polarnom sistemu r- takozvanu Arhimedovu spiralu. 3. Jednaina r = a(a > 0) upolarnom sistemu r- predstavlja krug iji je centar u ishoditu, a poluprenik je a. 4.r = a(1 + cos ), gdje je a > 0, definie u polarnom sistemu r- krivu liniju koja se naziva kardoida. Polarno-cilindrini koordinatni sistem.Neka je ravan, O fiksirana taka i p polarna osa u ravni . Konstruiimo kroz taku O osu z ortogonalnu na ravan (sl.7). Normalna projekcija T' take T prostora E na ravan odreena je polarnim koordinatama r i , a taka T u prostoru E potpuno je odreena trojkom (r, ,z) polarno-cilindrinih koordinate take T u prostoru, tj. polarnim potegom r , polarnim uglom i aplikatom z.Primjetimo da take prostora za koje su: 10Koordinate i z promjenljive, a koordinata rkonstantna lee na obrtnoj cilindrinoj povri ija je osa obrtanja osa Oz. 20Koordinate r i z promjenljive, a koordinata konstantna lee na polurravni koja prolazi kroz osuOz. 30Koordinate r i promjenljive, a koordinata z konstantna, lee na ravni koja je paralelna sa ravni . Presjek pomenute cilindrine povri i pomenutih dviju ravni je taka T u prostoru, a te povri su koordinantne povri take T. Presjekom dviju koordinantnih povri odreena je koordinatna linija ija svaka taka ima jednu promjenljivu i dvije konstantne koordinate. Uoimo Dekartov pravougli koordinatni sistem u prostoru iji je koordinatni poetak O, osa x je polarna osa p, osa z trea osa, a osa y je samim tim odreena (sl.7) tako da koordinatni sistem xyz bude odreene orjentacije. Ako sux,y, z pravougle Dekartove koordinate take T, tada je sa (sl.7) jasno da je x = rcos ,y = rsin ,z = z . (1) Relacije (1) predstavljaju vezu izmeu Dekartovih pravouglih koordinata take u prostoru i njenih polarno-cilindrinih koordinata. x y z O y x z sl.7 T T' r - 88 -

Sferni koordinatui sistem. Posmatrajmo ponovo fiksiranu ravan i u njoj pol O i polarnu osu p. Konstruiimo u taki O osu Oz ortogonalnu na (sl.8). Kroz proizvoljnu taku Mu prostoru E i osu z postavimo takozvanu meridijansku ravan (koja je jedinstvena i u njoj za pozitivan smjer rotacije uzmimo onaj za koji je: (OM',Oz) = 2. Uvedimo notaciju: =(OM',OM)gdje je: -/2 /2; |OM| i|OM'| obiljeimo redom sa i r . T a d aje jasno, da je poloaj take M u prostoru potpuno odreen brojevima , i, koje zovemo sfernim koordinatama take M u sl.8prostoru. Take prostora E za koje su: 1.Koordinate i promjenljive a konstanta, lee na sfernoj povri iji je centar O i oluprenika .2.Koordinate i promjenljive a konstanta, lee na obrtnoj povri iji je vrh u taki O a osa obrtanja je osaOz. 3.Koordinate i promjenljive a konstantna, lee na ravni koj a prolazi kroz osu z. Svojim zajednikim presjekom sferna povr, konusna povr i pomenuta ravan odreuju poloaj take M u prostoru. Ove povri zovu se koordinatne povri take M. Presjekom dviju koordinatnih povri sfernog koordinatnog sistema odreena je koordinantna linija tog sistema, ija svaka taka ima dvije sferne koordinate stalne a trea je promjenljiva. Uoimo sada Dekartov pravougli koordinatni sistem u prostoru ije je ishodite taka O, osa x je polarna osa p, osa z trea osa, a osa y je samim tim odreena (s1.9). Ako su x,y,z Dekartove pravougle koordinate take M u prostoru, tada, kao to se sa slike vidi, imamo:x = r cos;y = r sin, odnosno x = cos cos,y = cos sin, z = sin.(1) Posljednje relacije predstavljaju vezu izmeu Dekartovih pravouglih koordi nata take u prostoru i njenih sfernih koordinata.esto se, umjesto koordinate , kao sfernakoordinata uzima ugao = (Oz,OM) koji se mjeri u suprotnom smjeru od . Tada relacija (1) obzirom da je (vidi sl.9) + = /2, postajux = sin cos,y = sin sin, z = cos. - 89 - 7.6.JEDNAINA KRIVE LINIJE U RAVNI Posmatrajmo jednainuF(x,y) = 0, (9) gdje su x i y realne promjenljive.Ureeni par (a,b)R2 je rjeenje jednaine (9) akko je F(a,b) 0. Skup svih rjeenja jednaine (9) oznaimo sa K := { (x,y)R2 F(x,y) = 0 }. Svakom rjeenju (x,y) K odgovara jedna i samo jedna taka T(x,y) u ravni xy. Ukupnost svih takvih taaka T nazivamo grafikom skup K. Pritom poistovjeujemo skup K i njegov grafik, kao to smo poistovjetili ureeni par (x,y) i taku T(x,y) u ravni xy. Tako govorimo o krivoj K u ravni xy kao o grafiku jednaine (9), a jednainu (9) nazivamo jednainom krive K. Dva su osnovna zadatka analitike geometrije u ravni (a kasnije emo slino uraditi u prostoru): a.za data kriva K(u ravni xy) odrediti njenu jednainu; b.za datu jednainu (9) odrediti pripadnu krivu K, tj. njen grafik . Primjedba. Datu jednaina (9) moe da zadovoljava samo jedan par, nekoliko parova ili beskonaan skup parova ili da ne postoji nijedan takav par. Naprimjer, jednainu x2 + y2= 0 zadovoljava samo jedan par (x,y) = (0,0); jednainux + y + 1 = 0zadovoljava svaki par (x,y) = (t, 1 - t), gdje je t proizvoljan broj; skup rjeenja jednainax2 + y2 + 1

= 0 ilisin(x + 2y) + 3 = 0 je prazan, tj. nijedan par ne zadovoljava te jednain.Primjeri. 2) Neka je u ravni xy data krunica s centrom u taka S(1, - 2) poluprenika jednakim 3. Odrediti jednainu te krunice. Neka je T(x,y) proizvoljna taka krunice, tada je d(S,T) = 3. Prema formuli (8) imamo ( ) ( ) x y , + + =2 21 2 3odnosno (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9, to predstavlja jednainu krunice.3) Lee li take A(1,2) i B(- 1,- 1)na krivoj (ija je jednaina): 2x + 3y + 5 = 0 ? Zamjenimo koordinate take A u datu jednainu, tj. stavimo u datu jednainu (x,y) = (1,2), izlazi21+32 + 5 = 13 0. Dakle, taka A ne lei na datoj krivoj. Zamjenimo koordinate take B: 2(- 1) + 3(- 1) + 5 = - 5 + 5 = 0, tj. taka B lei na datoj krivoj. Parametarskim jednaininama krive K u ravninazivamo jednaine: ( ) t x =(t), y = (t) A R , (10) gdje su x i y koordinate proizvoljne take T(x,y) na krivoj K = { (x,y)R2 x (t), y (t) = = , tA }. Promjenljivu t A nazivamo parametrom. Pri promjeni parametra tA taka T(x,y) se kree po krivoj K . Ovakva interpretacija parametarskizadane kriva K ima razne primjene, tako u mehanici predstavlja putanju (trajektoriju) materijalne take T (x,y) gdje je parametar t vrijeme. Primjer 4. Jednaine: x = a cost,y = b sint , t[- , ],(11) predstavlja (za datepozitivne vrijednosti a i b) parametarske jednaine elipse sa centrom u ishoditu i poluosama a i b (sl. 9); parametar t je centralni ugao AOB. - 90 - Da se uvjerimo da parametarske jednaine (16), predstavljaju elipsu, dovoljno je svesti ih na oblik F(x,y) = 0. Zaista, (16) je ikvivalentno sa 2 22 22 22 2y y x x+ =cos t+sin t=1, tj.+ =1.a b a b Posljednja jednaina za x[- a, a], ao to nam je poznato odranije (ime emo se pozabaviti u sljedeem poglavlju), predstavlja jednaine elipse sa centrom u ishoditu i poluosama a i b. Primjedba. Da od parametarskih jednaina (10) doemo do jednaine (9) potrebno je eleminisati parametar t iz sistema (10) i odrediti oblast vrijednosti za x i y. Primjer 5. Odrediti koja je kriva odreena parametarskim jednainama: x = cos t, y = a cos2 t. Oito je dax , 1 1te eliminacijom parametra t dobijemo dio parabole y = ax2, zax . 1 1 (Nacrtati grafik). 7.7. JEDNAINA (-e) PRAVE U RAVNI Prava u ravni moe se zadati na razne naine, tj. jednaina prave ima vie ekvivalentnih oblika.

7.7.1. Kanonska i parametarska jednaina praveNeka suu ravni xy dati: taka T1(x1,y1) (ili T1(r1)), gdje je r1 vektorpoloaja take T1 , sl.1) ine-nula vektor a = (a1, a2). Time je potpuno odreena jedinstvena prava p, koja prolazi kroz taku T1 i paralelna je sa vektorem a. Tu pravu oznaiemosa p = p (T1,a); vektor a zvaemo vektor prave p. Jednainu prave p odrediemo iz uslova da su za proiz