of 47 /47
ZBIRKA ISPITNIH ZADATAKA IZ PREDMETA LINEARNA ALGEBRA Elektrotehnički fakultet Banja Luka

Ispitni zadaci iz predmeta linearna algebra

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Ispitni zadaci iz predmeta linearna algebra - Elektrotehnicki fakultet Banjaluka( 2010 - 2014 )

Citation preview

ZBIRKA ISPITNIH ZADATAKA IZ PREDMETA

LINEARNA ALGEBRA Elektrotehnički fakultet Banja Luka

LINEARNA ALGEBRA 22.02.2010.

1. Riješiti jednačinu:

16 .

2. Polinom , sa realnim koeficijentima, pri dijeljenju sa polinomom 1 daje količnik 3 7 i ostatak , pri dijeljenju sa 2 daje ostatak 29, a pri dijeljenju sa 1 daje ostatak 16. Odrediti brojeve i .

3. Neka je linearan operator : , definisan sa 2 2 3 4

2 4 3

Odrediti matricu linearnog operatora u standardnoj bazi. Ukoliko postoji, pronaći inverz operatora .

4. Neka je kvadratna matrica reda 2010, a jedinična matrica istog reda, tako da važi . Dokazati da važi:

a. b. 1 c. 1 0

5. Neka je

1123

,

212

5

,

052

1

i

114

2

,

2304

. Odrediti dimenziju i po

jednu bazu prostora i .

6. Naći sopstvene vrijednosti i vektore matrice operatora diferenciranja u prostoru . :

Raspodjela bodova . 15 . 10 . 20 . 15 . 25 . 15

LINEARNA ALGEBRA 24.06.2010.

1. [10] Dokazati da je razlika između kvadrata srednjeg po veličini i manjeg korijena

jednačine 3 1 0

jednaka 2. 2. [10] Izračunati

34

·4

3. a) [10] Dokazati da matrična jednačina

nema rješenja ni za jednu kvadratnu matricu .

b) [10] Neka je 1 1 12 0 1

i preslikavanje sa i zadato sa

Dokazati da je linearno preslikavanje. c) [20] Neka je : linearan operator zadat sa:

· · gdje je

3 22 2

.

Odrediti rang i defekt, te po jednu bazu slike i jezgra operatora . je prostor polinoma stepena ne većeg od 2, a oznaka za trag matrice.

4. a) [5] Ispitati da li je skup

0

potprostor od . b) [5] Odrediti jednu bazu jezgra operatora kojem odgovara matrica

1 1 24 1 14 2 2

c) [10] Ispitati istinitost tvrdnje: Ako je rang linearnog operatora : najmanje 2, tada je defekt tog operatora najviše 1.

d) [5] Da li je 1

√21 11 1

matrica rotacije u za ugao ?

5. a) [5] Da li za sve kvadratne matrice i reda važi

· · ? b) [10] Dokazati da je : zadat sa

, , , 7 , invertibilan operator, te odrediti matrice operatora i u odnosu na kanonsku bazu prostora .

NAPOMENA: Sve odgovore obrazložiti!

LINEARNA ALGEBRA 08.07.2010.

1. [15] Koliko ima prirodnih brojeva koji dijele bar jedan od brojeva 10 , 20 i 30 ?

2. a) [10] Odrediti uslov koji moraju da zadovolje koeficijenti jednačine

0 tako da je proizvod dva njena korijena jednak proizvodu druga dva korijena.

b) [10] Odrediti nule polinoma 9 3 7 3 2.

3. [20] Odrediti opšte rješenje sistema linearnih jednačina: 4 2 3 4 12

2 5 2 2 3 6 3 2 2 9

2 7 9 17 2

4. Dato je preslikavanje : , , formulom

· 0 0 02 2 4

3 · · 3 3 61 1 2

gdje je , prostor realnih matrica dimenzija , a trag matrice . a) [5] Dokazati da je linearno preslikavanje. b) [10] Odrediti rang i defekt prelikavanja . c) [5] Naći bar jednu bazu prostora jezgre i slike preslikavanja .

5. Neka je : linearno preslikavanje dato sa

2 3 1 · gdje je prostor realnih polinoma stepena ne većeg od 5. a) [10] Odrediti matrični zapis operatora u standardnoj bazi. b) [15] Odrediti sve sopstvene vrijednosti, te sopstveni vektor matrice operatora koji

odgovara najmanjoj sopstvenoj vrijednosti. NAPOMENA: Sve odgovore obrazložiti!

LINEARNA ALGEBRA 02.09.2010.

1. [20] Koliko ima sedmocifrenih parnih prirodnih brojeva u čijem se zapisu dvije cifre 7

ne pojavljuju jedna do druge? 2. [20] Riješiti jednačinu:

2 · 2 0.

3. [20] U vektorskom prostoru dati su potprostori: 1,1,1,2 , 1,2,2, i 1,3,4, 2 , 1,4, , 1 .

Odrediti dimenziju i po jednu bazu potprostora i u zavisnosti od . Za one za koje je dim najmanja, ispitati da li je 1,2,3,4 element .

4. [20] Linearni operator je zadat na sljedeći način:

1,1,1 1,0,0 , 1, 1,0 1,1,0 , 1,0,1 1,1,1 .

Odrediti opštu formulu operatora , te provjeriti da li je operator invertibilan. Odrediti matricu operatora i, ukoliko postoji, inverzan operator i njegovu matricu.

5. [20] Neka su sopstvene vrijednosti matrice nule polinoma:

18 99 162 0. Sopstveni vektori koji odgovaraju sopstvenim vrijednostima poredanim od najmanje prema najvećoj su:

121

, 211

i 142

respektivno. Odrediti rješenje sistema:

·275454

.

NAPOMENA: Sve odgovore obrazložiti! Vrijeme za izradu je 180 min. Pisati hemijskom olovkom plavog traga, isključivo na ispitnim sveskama dodijeljenim od strane asistenta. Nije dozvoljena upotreba kalkulatora, niti mobilnih telefona.

LINEARNA ALGEBRA 16.09.2010.

1. [20] Ako za kompleksan broj važi:

12 cos

dokazati da važi: 1

2 cos ,

2. [20] Diskutovati i riješiti sistem linearnih jednačina:

· 1 ·

· ·

3. [15] Odrediti relaciju između realnih brojeva , i tako da vektori

, 1,2,3 čine bazu prostora – prostora polinoma stepena ne većeg od 2.

4. [25] Date se u matrice i : 1 01 1

,

1 1 00 1 01 0 1

.

Neka je skup definisan sa:

, · · . Dokazati da je potprostor prostora , , pa odrediti njegovu dimenziju i jednu bazu.

5. [20] Dokazati da je preslikavanje dato sa:

1 11 1 2

, .

linearan operator. Odrediti matricu u standardnoj bazi, rang i defekt, te po jednu bazu prostora slike i jezgra tog preslikavanja. Da li je operator invertibilan?

NAPOMENA: Sve odgovore obrazložiti! Vrijeme za izradu je 180 min. Pisati hemijskom olovkom plavog traga, isključivo na ispitnim sveskama dodijeljenim od strane asistenta. Nije dozvoljena upotreba kalkulatora, niti mobilnih telefona.

LINEARNA ALGEBRA 29.09.2010.

1. [10] U skupu realnih brojeva definisana je operacija sa:

2

gdje je operacija operacija sabiranja u skupu . Provjeriti da li je algebarska struktura , Abelova grupa.

2. Koliko ima prirodnih brojeva iz intervala 1, 200 koji su:

a) [5] djeljivi sa bar jednim od brojeva 3, 5, 7; b) [5] djeljivi sa 3 i 5, ali nisu djeljivi sa 7; c) [5] djeljivi sa 3, ali nisu djeljivi ni sa 5, ni sa 7?

3. [20] Date se u matrice i :

1 02 1

,

1 22 3

.

Izračunati , .

4. Odrediti linearni omotač skupa ako je on dat sa: a) [10] 2, cos , sin .

je podskup prostora realnih funkcija realnih parametara. b) [20] , , , … , , , , , … , , … , , , , … , , , ,

5. Data je u matrica :

1 √3 0 10 2 01 0 1 √3

.

Odrediti: a) [12] sopstvene vrijednosti matrice , kao i sopstveni vektor koji odgovara

srednjoj po veličini sopstvenoj vrijednosti, b) [3] rang matrice , c) [5] , gdje je proizvoljna invertibilna matrica iz , , d) [5] da li je matrica pozitivno određena.

NAPOMENA: Sve odgovore obrazložiti! Vrijeme za izradu je 180 min. Pisati hemijskom olovkom plavog traga, isključivo na ispitnim sveskama dodijeljenim od strane asistenta. Nije dozvoljena upotreba kalkulatora, niti mobilnih telefona.

Линеарна алгебра

4. фебруар 2013.

1. У скупу �� дефинисана је релација ψ са��, �����, � ���� � ���. Провјерити да ли је ψ релација еквиваленције и ако

јесте одредити количнички скуп. Дати геометријску

интерпретацију. (15)

2. а) Ако коријени полинома ��� � ��� � �� � �� � �, � � 0

чине геометријску прогресију доказати да важи ��� � ��. (15)

б) Одредити комплексне бројеве � � � за које је број

����������

��реалан. Дати геометријску интерпретацију добијеног

рјешења. (15)

3. У векторском простору ������� дата су два потпростора

� � � ��2 01 3 , �

1 96 2 , �

2 41 1�и � � � ���7 1

2 �6� , � 3 3�4 �2� , �2 �8

1 7 ��.

Одредити димензију и базу потпростора � � � и � � �. (15)

4. Дискутовати и ријешити систем у зависности од реалног

параметра а.

��� � �� � �� � � � 0�� � ��� � �� � � � 0�� � �� � ��� � � � 0�� � �� � �� � �� � 0

(15)

5. Нека је дата матрица А � 1 1 10 2 3$1 $1 $2%. Користећи Кејли

Хамилтонову Теорему и не рачунајући нити један степен дате

матрице одредити матрицу

& � ' $ 2'� � '� � 2' � 2(. (25)

Линеарна алгебра

7. фебруар 2011.

1. а) У скупу 3

ℝ дефинисана је релација ψ са

( ) ( ) 2 2 2 2, , , ,a b c d e f a e d bψ ⇔ − = − . Провјерити да ли је ψ

релација еквиваленције и ако јесте одредити количнички скуп.

Дати геометријску интерпретацију.

б) Скуп ( ) ( )\B \A B A B A=△ ∪ зове се симетрична разлика

скупова А и В. За призвољни скуп Е испитати алгебарску

структуру ( )( ),P E △ .

2. а) Одредити остатак дијељења полинома

2011 7 2( ) 2011 7 2 9P x x x x= + + + са полиномом

3( )Q x x x= − .

б) Одредити

20006 2

2 2

i

i

− −

3. Одредити детерминанту

5 4 0 0

1 5 4 0

0 1 5 0

0 0 0 5

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

.

4. У зависности од реалног параметра а дискутовати и

ријешити систем 2

3

1x y az

x ay z a

ax y z a

ax ay az a

+ + = + + = + + = + + =

.

5. Одредити сопствене вриједности и сопствене векторе

матрице А а затим наћи 1A− ако постоји

5 3 2

6 4 4

4 4 5

A

− = − −

Бодови: 1. 10+10 2. 10+15 3. 15 4. 20 5. 20

Линеарна алгебра

21. фебруар 2011.

1. а) Дат је скуп { }1 2, ,..., nX x x x= . Колико постоји

- бинарних релација

- рефлексивних бинарних релација

- симетричних бинарних релација

- бин. рел. које су истовремено рефлексивне и симетричне

у скупу X ? Одговоре детаљно образложити.

б) Нека је G скуп свих пресликавања једнакостраничног

троугла на самог себе. Испитати алгебарску структуру ( ),G � гдје је

� композиција пресликавања.

2. а) Одредити m тако да коријени једначине 2 2 0z mz m− + =

задовољавају услов 3 3 2 21 2 1 2z z z z+ = + , затим за свако m одредити

коријене и рачунски показати да важи дати услов.

б) Дат је бином 1

12

2

nx

x−

+

. Одредити n тако да је збир

биномних коефицијената последња три члана 22. Одредити ону

вриједност x за коју је збир трећег и петог члана 135.

3. У векторском простору 2 2xM дати су потпростори 1W

генерисан векторима 1 2

1 1 3 1,

0 0 1 0v v

= = −

и 2W генерисан

векторима 1 2

1 1 2 1,

1 0 1 1u u

− = =

. Одредити димензију и базу

потпростора 1 2W W∩ .

4. Ријешити матричну једначину AX B AC+ = ако је

1 2 0 1 3 9 2 3 2

1 3 2 , 10 0 1 , 1 0 4

0 4 3 13 1 8 3 1 1

A B C

− − − = − = = − − − − −

а затим

одредити матрицу М такву да важи XM MX= .

5. У зависности од реалних параметара ,α β

дискутовати систем

1

1

x y z

x y z

x y z

α βαβ αβ α

+ + = + + = + + =

Бодови: 1. 10+15 2. 10+10 3. 20 4. 20 5. 15

Линеарна алгебра

5. април 2011.

1. а) Нека је { }1 2, ,..., nS x x x= . Одредити број парова ( ),X Y гдје су

,X Y S⊆ такви да вриједи 1, 3, 3X Y X Y= ≥ ≥△ .

Напомена ( ) ( )\X Y X Y X Y= ∪ ∩△ је симетрична разлика.

б) Neka je ( )21 2 2

: 0 1 4 ,

0 0 1

t t t

M A t t t

+

= = ∈

ℝ . Испитати

алгебарску структуру ( ),M ⋅ гдје је ⋅ операција множења матрица.

Одредити [ ]( ) ,nA t n∈ℕ .

2. а) Нека су 1 2 3, ,z z z дати комплексни бројеви такви да важи

1 2 3 , 0z z z r r= = = > и 1 2 3 0z z z+ + = . Доказати да тада тачке

1 2 3, ,z z z чине у комплексној равни једнакостранични троугао.

б) Колико има рјешења ( ) { }1 2, ,..., , 0k ix x x x ∈ ∪ℕ једначине

1 2 kx x x n+ + + =⋯ гдје је n дати природан број?

3. Показати да је скуп реалних матрица комутативних са

матрицом

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

A

=

векторски простор у односу

на стандардне операције са матрицама а затим му

одредити димензију и једну базу.

4. Нека је

1 2 2

0 1 0

0 0 1

F

− − =

матрица линеарног оператора 3 3:f →ℝ ℝ

у стандардној бази. Одредити базу у којој ће матрица оператора

бити дијагонална.

5. Нека је

1 1

2 3 2

1 1 2

a

A

− =

Одредити a тако да једна сопствена

вриједност буде једнака суми друге двије.

Бодови: 1. 10+10 2. 15+10 3. 20 4. 20 5. 15

Линеарна алгебра

16. јун 2011.

1. а) У скупу { }2, 1,0,1,2,3S = − − дефинисана је релација

( ){ }2, : 2x y S xy x yρ = ∈ ≥ + . Провјерити да ли је ρ релација еквиваленције и

ако јесте одредити класе.

б) Ако је { }2 : , , 0, 0A x y x y x y= + ∈ ≠ ≠ℚ испитати алгебарску структуру

( ),A � гдје је � стандардно множење у ℚ .

2. а) Ријешити једначину 32 3 0 ,z i z− + = ∈ℂ .

б) На међународној конференцији радове излажу 3 Енглеза, 3 Француза и 3

Руса. На колико начина они могу изаћи пред говорницу, а да три учесника из исте

земље не иду један за другим?

3. Одредити детерминанту реда к

1 1 1 1 1

2 3 11

1 1 1 1

2 3 10

2 2 2 2

3 10 0

3 3 3

10 0 0

1 1

k k

k k

k k

k k

k k

− − −

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

.

4. Одредити сва рјешења матричне једначине

2 1 1 7 1 0 0

1 1 0 0 0 0X X

− + + = −

.

5. Дата је матрица

1 3 0 1

0 2 0

1 0 1 3

A

= +

.

Одредити све сопствене вриједности матрице А, сопствени вектор који одговара

средњој по величини сопственој вриједности, ранг матрице и испитати да ли је

матрица позитивно одређена. Бодови: 1. 10+10 2. 10+10 3. 20 4. 20 5. 20

Линеарна алгебра

30. јун 2011.

1. а) Доказати да је број 2 23 8 9n n+ − − дјељив са 64 за сваки број n∈ℕ .

б) Ако је 1 2

: ,1 2

mS m n

n

+ = ∈ + ℤ испитати алгебарску структуру ( ),A � гдје

је � обично множење.

2. а) Одредити нуле полинома 3 24(1 ) (5 16 ) 20 0z i z i z i− + + + − = у пољу ℂ

ако се зна да је једна нула чисто имагинарна.

б) У скупу ℂ ријешити једначину ( ) 1Re 1 2Im

1z

z z ii

−⋅ − − = − +

3. У векторском простору 4

ℝ дати су потпростори ( ) ( ){ }1,1,1,2 , 1,2,2,U Lin α= и

( ) ( ){ }1,3,4, 2 , 1,4, , 4V Lin α α α= + + ,α ∈ℝ . Одредити базе и димензије

потпростора U V+ и U V∩ у зависности од α .

.

4. Нека је 2 2 2: [ ] ( )xf P x M→ ℝ пресликавање дефинисано са

2( )b c a

f a bx cxb c

+ + + =

. Испитати да ли је f линеаран оператор, па ако

јесте одредити му матрицу у односу на базе 1 0 1 1 1 1 1 1

, , ,0 0 0 0 1 0 1 1

и

( )21, ,x x . Одредити базу и димензију за Im f и Ker f .

5. Дата је матрица cos sin

sin cosA

ϕ ϕϕ ϕ

− =

.

Одредити сопствене вриједности и сопствене векторе.

Бодови: 1. 10+10 2. 10+10 3. 20 4. 20 5. 20

Линеарна алгебра

1. септембар 2011.

1. а) У скупу 3

ℝ дефинисана је релација ρ са

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ], , , ,x y z a b c x a sign y sign b z cρ ⇔ = ∧ = ∧ = . Провјерити да ли је ρ

релација еквиваленције и ако јесте описати количнички скуп и класу којој припада

тачка ( )0,0,0 . Дати геометријску интерпретацију.

б) Колико има уређених четворки ( )1 2 3 4, , ,x x x x , , 1,4ix i∈ =ℤ таквих да важи

71 2 3 4 3x x x x⋅ ⋅ ⋅ = .

2. а) Комплексни бројеви који задовољавају услов

( ) ( )2 21 2 2 1 2 2Re Im 1

3 2 3 2

i z i i z i

i i

+ + − + + −= =

+ +

чине два тјемена једнакостраничног троугла. Одредити треће тјеме које се налази

у четвртом квадранту.

б) Ако је 3 1

1 1

− =

A одредити nA .

3. У векторском простору 4

ℝ дати су век.пп. ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1,3,2 , 2, 1,1,1 , 1,0,1,1 , 2,2,6,4Lin − и

( ) ( ){ }2,5,6,3 , 4, 10, 12, 6− − − −Lin . Одредити базе и димензије потпростора U V∩ и

+U V . .

4. Израчунати детерминанту

1 ...

2 ...

3 ...

... 1

...

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n n

n n n n n

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮.

5. У зависности од реалних параметара p и q дискутовати систем и ријешити у случају кад

је неодређен.

2

2

2

3 ( 2)

px y z

px py z q

px p y pz q

− − =

− + = − + + =

Бодови: 1. 10+10 2. 15+10 3. 15 4. 20 5. 20

Линеарна алгебра

15. септембар 2011.

1. а) У скупу 2

ℝ дефинисана је релација ρ са

( ) ( ) ( ) ( ), ,x y a b x b y a sgn y sgn bρ ⇔ + = + ∧ = . Провјерити да ли је ρ релација

еквиваленције и ако јесте описати количнички скуп и класу којој припада тачка

( )3,2 . Дати геометријску интерпретацију.

б) Сума биномних коефицијената у развоју бинома

3

2

12

2

n

nxnx

+

једнака је 64.

Одредити члан таквог развоја који не садржи x .

2. Дат је скуп { }3: 1S z z= ∈ =ℂ . Испитати алгебарску структуру ( ),S ⋅ гдје је ⋅ множење

комплексних бројева.

3. Нека је T скуп свих ( ), ,a b c таквих да је систем

3 2

4

5 3 2

x y z a

x y z b

x y z c

+ + = + + = + − =

сагласан. Доказати да

је ( ), ,T + ⋅ векторски простор а затим му одредити димензију и једну базу.

4. Провјерити да ли је линеарни оператор [ ] ( )2 2 2: xF P z M→ ℝ инјективан, сирјективан,

инвертибилан па ако јесте инвертибилан одредити његов инверз.

2 2 2 2 2( )

4 3 2 2

a b c a bF a bz cz

a b c a b c

+ − + + + = − + − + +

5. Ако су 1λ и 2λ сопствене вриједности матрице 1a b

Ac d

=

, доказати да су 2

1λ , 1 2λ λ и

22λ сопстене вриједности матрице

2 2

22 2

2 2

a ab b

A ac ad bc bd

c cd d

= +

.

Бодови: 1. 10+10 2. 20 3. 20 4. 20 5. 20

Линеарна алгебра

3. октобар 2011.

1. а) Доказати да за сваки природан број n важи

( ) ( )2 22

3 5 2 1 11

4 36 1 1

n

n n n

++ + + = −+ +

⋯ .

б) Нека је P скуп свих пермутација скупа { }1,2,3S = . Испитати алгебарску структуру

којој је носач скуп P а операција је композиција пресликавања.

2. а) У комплексној равни дата је тачка 1 3 4z i= + . Одредити тачке 2z и 3z тако да

троугао 1 2 3z z z∆ буде једнакостраничан ако се зна да је тачка 3 1

2 2H i= − средиште

странице 2 3z z .

б) Ако је

1 0 0 0

1 1 0 0

0 1 1 0

1 1 0 1

A

= − −

одредити nA .

3. У векторском простору 4

ℝ дати су век.пп.

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1,0, 1 , 1,2,3,0 , 2,3,3, 1 , 1, 2, 3,0U Lin= − − − − − и

( ) ( ) ( ){ }1,2,2, 2 , 2,3,2, 3 , 1,3,4, 3V Lin= − − − . Одредити базе и димензије потпростора

, ,U V U V∩ и +U V .

4. Дато је пресликавање ( ) ( )2 2 2 3: x xF M M→ℝ ℝ са ( ) ( )3F X X A tr X B= ⋅ + ⋅ ⋅ гдје је

0 0 0

2 2 4A

= − и

3 3 6

1 1 2B

− = − − .

а) Испитати да ли је пресликавање F линеарни оператор

б) Ако је одговор под а потврдан одредити ранг и дефект од F и базе за KerF и Im F

5. Одредити сопствене вриједности и сопствене векторе матрице

2

1

2 1

0

0

0

a a

A a a

a a

− −

=

Бодови: 1. 10+10 2. 15+10 3. 20 4. 20 5. 15

Линеарна алгебра

9. април 2012.

1. а) У скупу 2N дефинисана је релација ρ са

( ) ( ), ,a b c d a d b cρ ⇔ + = + . Испитати да ли је ρ релација

еквиваленције и ако јесте прецизно одредити количнички скуп.

б) Испитати алгебарску структуру ( ),G ⋅ гдје је

( )2 22 2

2: , 5 15

2x

x yG x y Q x y M R

y x

= ∈ ∧ − = ⊆

а ⋅ је множење

матрица.

2. а) У комплексној равни дате су двије тачке 1 2z i= + и

3 2 3z i= − + . Користећи особине комплексних бројева одредити

тачке 2z и 4z тако да 1 2 3 4z z z z буде квадрат.

б) Одредити остатак дијељења полинома 100 99 2( ) 3 3 9P x x x x x= + + − + полиномом ( ) 2 2 3Q x x x= + − .

3. Нека су { }1 2 3, ,B b b b= и { }1 2 3, ,C c c c= двије базе

векторског простора W над пољем реалних бројева при чему

важи 1 1 2 32b c c c= − − , 2 2b c= − и 3 2 32b c c= + . Доказати да је скуп

свих вектора који имају исте координате у обије базе

потпростор векторског простора W а затим му одредити

димензију и базу.

4. Одредити детерминанту

1

2

3

n

a x x x

x a x x

x x a x

x x x a

L

L

L

M M M O M

L

гдје су x и

, 1,2,...,ia i n= реални бројеви.

5. Нека је A регуларна квадратна матрица реда n и B

квадратна матрица реда n , таква да је 0A B B A⋅ + ⋅ = .

Одредити траг матрице B .

Бодови: 1. 10+15 2. 10+10 3. 20 4. 20 5. 15

Линеарна алгебра

27. фебруар 2012.

1. а) У скупу { }: 100A x x= ∈ ≤ℕ дефинисана је релација ρ са

x y zρ ⇔ ∃ ∈ℕ такав да y x z= ⋅ . Доказати да је ρ релација

поретка и одредити минимални и максимални елемент у односу

на ту релацију ако постоје.

б) Испитати алгебарску структуру ( ),H ⋅ гдје је

{ } ( )4 4, , , , , , , xH I I A A B B C C M= − − − − ⊆ ℝ а ⋅ је множење матрица.

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

A

− = −

,

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

B

= − −

и

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

C

− = −

.

2. а) Ријешити једначину

310 2 3 1

1

ia z a

i

+ = ⋅ − ако за комплексан

број a вриједи 3 3

.2 2

a a i+ = −

б) Одредити највећи заједнички дјелилац полинома 3 2( ) 11 6P t t at t= + + + и ( ) 3 2 14 8Q t t bt t= + + + над пољем ℝ као и

параметре a и b ако се зна да је он другог степена.

3. Конструисати линеарни оператор који пресликава

, 1,2,3i ia b i→ = при чему је ( )1 2,3,5a = , ( )2 0,1,2a = ,

( )3 1,0,0a = , ( )1 1,1,1b = , ( )2 1,1, 1b = − , ( )3 2,1,2b = .

4. Нека су A и B реалне ортогоналне матрице непарног

реда n . Доказати да бар једна од матрица A B+ и A B− мора

бити сингуларна.

5. Нека је ( ) ( )5 5:A x x→ℝ ℝ линеарно пресликавање дато са

( ) (3 1) ' 2A p x p p= − − . Одредити матрични запис оператора А у

стандардној бази а затим одредити све сопствене вриједности и

сопствени вектор који одговара најмањој сопст. вриједности.

Бодови: 1. 10+15 2. 15+10 3. 15 4. 20 5. 15

Линеарна алгебра

13. фебруар 2012.

1. а) У скупу ( )2 \ 0,0ℝ дефинисана је релација φ са ( ) ( ), ,a b c dφ

2 2bc da⇔ = . Провјерити да ли је φ релација еквиваленције и ако

јесте одредити количнички скуп. Колико има класа еквиваленције?

Шта су класе еквиваленције? Дати геометријску интерпретацију.

б) Испитати алгебарску структуру ( ),S ∗ гдје је

, , , , 1ax b

S a b c d ad bccx d

+ = ∈ ∧ − = + ℝ а ∗ је композиција функција.

2. а) Одредити nA ако је

4 2

1 3A

=

.

б) Збир два рјешења једначине 3 2 2 0x px p x r+ + + = једнак је 1.

Доказати да је тада ( )( )21 1r p p p= + + + .

3. Одредити детерминанту 2

2

2

2

1 0 0

1 0

0 1 0

0 0 0 1

x x

x x x

D x x

x

+

+= +

+

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

.

4. Одредити базе и димензије од , ,V W V W∩ и V W+ ако је

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4 : ' 0 0 1 0 1V p x p p p p= ∈ = ∧ = = −ℝ и

( ) ( ){ }4 : 1 0W p x p= ∈ =ℝ .

5. Дата је матрица

2 1 1 1

4 2 3 0

6 2 3 2

3 1 1 2

A

= − − − − − − − −

. Одредити

2 2 1n nA A −+ гдје је n∈ℕ .

Бодови: 1. 10+15 2. 10+10 3. 15 4. 20 5. 20

Линеарна алгебра

21. јун 2012.

1. а) Дата је релација еквиваленције у скупу �� таква да

��, �����, � ��� ��� � ��� ��. Одредити класе

еквиваленције. Дати геометријску интерпретацију. (10)

б) Нека jе � група. Елементу � � � придружимо функцију

��: � � � дефинисану са ����� � · � ��� � ��. Испитати

алгебарску структуру ����: � � ��,�� гдје је � композиција

функција. (15)

2. а) Одредити комплексне бројеве � за које важи да је број

�� � � � 1� · � 1 � реалан. (15)

б) Одредити коефицијенте � и � тако да полином

���� �� � � · �� � · �� � 8� � 4

има двије нуле другог реда. (10)

3. а) Ако је !1 11 1# и $ �% � &������: · % % · � показати

да је $ потпростор од &������ и одредити му димензију и базу.

(10)

б) Допунити базу потпростора $ до базе простора &������. (10)

4. Ако су дате матрице !1 10 1# и % !2 1

3 2#, одредити

�%�� · · %��. (10)

5. а) Одредити базе и димензије фундаменталних потпростора

матрице � � 2 �4�1 210 �41 20 0�2 4

�2 �31 �1�2 4 �. (5)

б) У зависности од реалних параметара � и � дискутовати и

ријешити систем: � · � � � � 4 � � · � � � 3 � 2� · � � � 4

(15)

Линеарна алгебра – други колоквијум

1. фебруар 2013.

1. Дати су вектори ����� = 1, ����� = 3�� и ���� = � + �� − 3� из векторског простора ℝ���. а) Одредити све векторе ����� тако да {��, ��, �, ��} буде

база. Поступак образложити. (10)

б) Испитати да ли је скуп свих вектора �� који задовољавају

тражени услов векторски потпростор од ℝ���? (10)

2. Одредити детерминанту реда к

1 1 1 1 1

2 3 11

1 1 1 1

2 3 10

2 2 2 2

3 10 0

3 3 3

10 0 0

1 1

k k

k k

k k

k k

k k

− − −

L

L

L

L

M M M O M M

L

. (15)

3. Нека је А ∈ М���ℝ� произвољна матрица.

а) Одредити сопствене вриједности матрице АТА. (10)

б) За А = �1,2,3� Одредити сопствене векторе матрице АТА. (10)

4. а) Формулисати и доказати Кронекер-Капелијеву теорему. (10)

б) Навести четири карактеризације сагласности система Ax = b.

(4)

в) Нека је A = �1 2 11 3 01 1 2 . i) Ријешити систем Ax = 0. (4)

ii) Да ли је систем Ax = b сагласан за свако b ∈ ℝ ? Одговор

образложити. (3)

iii) Ако је одговор под ii) негативан описати скуп b ∈ ℝ за које

је систем сагласан. (4)

5. а) Дефинисати алгебарску и геометријску вишеструкост

сопствене вриједности матрице А ∈ М!�ℂ�. (4)

б) Формулисати и доказати теорему која даје

карактеризацију матрице А ∈ М!�ℂ� која се може

дијагонализовати. (8)

в) Формулисати и доказати тврђење које се односи на

сопствене вриједности ермитске матрице. (8)

Линеарна алгебра Први колоквијум

1. Израчунати 4 8 3 8i − . (15)

2. Одредити све вриједности реалног параметра а за које једначина 5 5 0x x a− + = има двоструке коријене. (15)

3. Нека је :g →ℚ ℚ бијекција. Ако су операције ( )( )1 ( )x y g g y g x−∗ = + и

( ) ( )( )1x y g g y g x−= ⋅� дефинисане за ,x y∀ ∈ℚ испитати алгебарску

структуру ( ), ,∗ℚ � . (20)

4. а) Дефинисати бинарну релацију између скупова X и Y и бинарну релацију у скупу X . (3) б) Нека су ( )1 { 1, 2R = , ( )1,3 , ( )1, 4 , ( )2,3 , ( )2, 4 , ( )3,4 } и

( ) ( ) ( ){ }2 1,1 , 2,2 , 3,3R = бинарне релације у скупу { }1, 2,3,4X = . За сваку од

тих релација установити да ли је i) Р, ii) С, iii) АС и iv) Т

а онда установити да ли је нека од тих релација i) релација еквиваленције, ii) релација парцијалног уређења и iii) релација тоталног уређења.

Образложити одговоре. (7) 5. а) Дефисати појам пресликавања у терминима бинарних релација, па рећи да

ли је нека од бинарних релација 1R и 2R из претходног задатка

пресликавање. Образложити одговор. (3) б) Доказати тврђења:

i) Ако је g f� 1-1 пресликавање, тада је и f 1-1 пресликавање. (5) ii) Ако је g f� пресликавање на, тада је и g пресликавање на.(5)

в) Дефинисати појам инвертибилности пресликавања и навести двије карактеризације тог појма. (5) г) Доказати тврђење: Ако је :f X Y→ 1-1 пресликавање, тада f има лијеви инверз. (6)

6. а) Дефинисати на два начина појам варијације са понављањем при чему нема никаквих ограничења у вези са бројем понављања неког елемента, па на два начина одредити број тих варијација. (8) б) Дефинисати појам варијације са понављањем при чему се унапријед задаје број појављивања сваког од елемената, па на два начина одредити број тих варијација. (8)

Први колоквијум из Линеарне алгебре

29. новембар 2012.

1. Израчунати � � ��3��� �

�� � �

�� (10)

2. Нека је � ���, �� � �, � � � � �� � �� � 1�. Испитати

алгебарску структуру ��, �� гдје је операција � задата са

����, ��, ��, �� � � ��, �� � ��, �� � ��� � ��, �� � ���.

(20)

3. a) Дат је полином ���� � �� � � � �, � � такав да има

једну реалну и двије комплексне нуле. Одредити � тако да

апсолутна вриједност реалног коријена буде мања од модула

оба комплексна коријена. (25)

б) Формулисати и доказати теорему о факторизацији реалних

полинома. (10)

4. а) Дефинисати појам пресликавања у терминима бинарних

релација. (3)

б) Доказати тврђења:

• Ako je � � � 1-1 пресликавање тада је � 1-1

пресликавање. (6)

• Ако је � � � пресликавање “на” тада је и � пресликавање

“на”. (6)

5. Нека су дата пресликавања � � � � � и � � � � �

дефинисана са �� � � � � 1, � , � � 1� ���, �, �� � � � � � 2�.

За свако од пресликавања �, �, � � � установити да ли је

инјективно, сирјективно, инвертибилно па одредити инверз

када он постоји. (10)

6. а) Дефинисати три врсте варијација к-те класе скупа од n

елемената (на два начина када је то могуће), па онда на два

начина показати како се одређује њихов број. (6)

б) Нека је ���� X = n. Одредити ���� P(X) образлажући оно

што радите. (4)

1

Zadatak D-T001

Odrediti determinantu Dn gdje su x i ai, i = 1, n realni brojevi.

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 x x · · · xx a2 x · · · xx x a3 · · · x...

...... . . . ...

x x x · · · an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Rješenje1:

Zadatak ćemo uraditi svod-enjem na trougaoni oblik.Da bi bilo preglednije zapisaćemo datu determinantu navodeći i pretposled-nju vrstu i pretposlednju kolonu. Imamo:

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 x x · · · x xx a2 x · · · x xx x a3 · · · x x...

...... . . . ...

...x x x · · · an−1 xx x x · · · x an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Od druge vrste oduzmimo prvu, od treće vrste oduzmimo prvu, itd. od

n-te vrste oduzmimo prvu. Dobijamo:

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 x x · · · x xx− a1 a2 − x 0 · · · 0 0x− a1 0 a3 − x · · · 0 0

......

... . . . ......

x− a1 0 0 · · · an−1 − x 0x− a1 0 0 · · · 0 an − x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Iz prve kolone izvucimo a1 − x, iz druge a2 − x, itd. iz pretposlednje

an−1 − x i iz poslednje an − x pa imamo:

Dn = (a1−x)(a2−x) · · · (an−1−x)(an−x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1a1−x

xa2−x

xa3−x

· · · xan−1−1

xan−x

−1 1 0 · · · 0 0−1 0 1 · · · 0 0...

...... . . . ...

...−1 0 0 · · · 1 0−1 0 0 · · · 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2

Sad prvoj koloni dodamo drugu. Imamo:

Dn =n∏

i=1

(ai − x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1a1−x

+ xa2−x

xa2−x

xa3−x

· · · xan−1−1

xan−x

0 1 0 · · · 0 0−1 0 1 · · · 0 0...

...... . . . ...

...−1 0 0 · · · 1 0−1 0 0 · · · 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Prvoj koloni dodamo treću, itd. prvoj koloni dodamo n-tu. Imamo

Dn =n∏

i=1

(ai − x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1a1−x

+ xa2−x

+ · · ·+ xan−x

xa2−x

xa3−x

· · · xan−1−1

xan−x

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

...... . . . ...

...0 0 0 · · · 1 00 0 0 · · · 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ova determinanta je očigledno gornja trougaona pa je jednaka proizvodu

elemenata na glavnoj dijagonali. Imamo:

Dn =n∏

i=1

(ai − x) · ( a1a1 − x

+x

a2 − x+ · · ·+ x

an − x)

I sad ostaje samo da racionališemo izraz:

Dn =n∏

i=1

(ai − x) · (a1 − x+ x

a1 − x+

x

a2 − x+ · · ·+ x

an − x)

Dn =n∏

i=1

(ai − x) · (1 + x

a1 − x+

x

a2 − x+ · · ·+ x

an − x)

Dn =n∏

i=1

(ai − x) · x · ( 1x+

1

a1 − x+

1

a2 − x+ · · ·+ 1

an − x)

1. Koji od skupova je baza navedenog prostora:

a) 1 11 1

, 1 01 0

, 0 10 2

b) 2, , 2 , c) 3,1,1 , 1,3,1 , 1,1,3 , 3,1,3

2. Naći maksimalan podskup linearno nezavisnih vektora skupa 1,1,1 , 1,0,1 , 0,1,0 , 0,0,1 3. Dati su vektori: 1,2, 1 1,1,1 1,3, Odrediti za koje dati vektori čine bazu prostora . Za sve takve prikazati vektor 1,1,2 u dobijenoj bazi. 4. Dokazati da je , , , | 0, 0 potprostor od , te mu odrediti bazu i dimenziju. 5. Neka je

1 10 1

| Dokazati da je M potprostor od , te mu odrediti jednu bazu i dimenziju. 6. Neka su 1,1,1 , 1,0,1 i 1,1,0 , 1,2,1 baze potprostora L i M prostora . Odrediti jednu bazu potprostora .

7. Neka je : dat sa

, ,

Odrediti jezgro operatora. 8. Neka su 1 , 1 , 1 i , 2 , 2 baze potprostora L i M prostora . Odrediti po jednu bazu potprostora i .

9. Neka su 0 0

i 0

. Pokazati da su V i W vektorski

prostori, te odrediti po jednu bazu prostora V, W i . 10. U vektorskom prostoru dati su prostori 1,1,1,2 , 1,2,2, i 1,3,4, 2 , 1,4, , 1 Odrediti bazu i dimenziju prostora i u zavisnosti od . Za one za koje je dim 4 ispitati da li je 1,2,3,4 element . 11. Linearni operator A je zadan na sljedeći način 1,1,1 1,0,0

1, 1,0 1,1,0 1,1,0 1,1,1 Odrediti opštu formulu kojom djeluje operator A. 12. U vektorskom prostoru zadan je skup 1,2,0,1,1 , 1,1,0,0,1 . Nadopuniti ga do baze . 13. Dokazati da je , , , , | , 2 potprostor , te naći neku bazu i odrediti dimenziju S. Nadopuniti tu bazu do baze .

Линеарна алгебра Други домаћи задатак 2011/12 Задатак 1 – Реални бројеви, биномни коеф. и пми 1.

Одредити за коју вриједност x четврти члан у развоју 3

12

2

nx

x

+

је

двадесет пет пута већи од експонента бинома ако је биномни коефицијенат четвртог члана пет пута већи од биномног коефицијента другог члана.

2.

Доказати да је

2

0

2n

k

n n

k n=

=

∑ .

3. Доказати да је

1 1... , , , .

1

k k n nk n k n

k k k k

+ + + + + = ∈ ≤ +

ℕ .

4. У равни је повучено ,n n∈ℕ правих под условом да нема ниједног пара

паралелних правих нити скупа од три праве које се сијеку у једној тачки.

Доказати да је наведеном мрежом правих раван подијељена на ( )212

2n n+ +

области. 5.

Одредити n у изразу 1

12

2

nx

x−

+

тако да збир биномних коефицијената

последња три члана буде 22 а затим одредити ону вриједност x за коју збир трећег и петог члана износи 135.

6. Доказати неједнакост { }2 , 0n n n> ∈ ∪ℕ .

7. Доказати неједнакост { }43 , 8,9,...n n n> ∈ .

8. Ријешити једначину 21 3 4 5x x x− + + − =

9. Ријешити неједначину 2 22 3 2 2 4x x x x x− − + − ≥ − + .

10. Ријешити неједначину 2 28 12 4 1 7x x x x x− + + − ≥ + − .

Напомена Домаћи задатак радити на дволисницама величине А4. Урађене задатке предати у чистој дволисници на којој са предње стране у табели као у примјеру читко написати име, презиме и број индекса као и коначна рјешења задатака. У случају да неки задатак нисте радили ставите знак Х. Ако је рјешење преобимно само уписати УРАЂЕН.

ПЕТАР МАРКОВИЋ 1234/11

број задатка на листу нпр. 3

8 5 4

рјешење првог задатка

нпр. 5x = рјешење Х рјешење

оставити празан простор за поене

Линеарна алгебра Први домаћи задатак 2011/12 Задатак 1 – Скупови 1.

Геометријски представити област ( ){ } ( ) ( )1, : , : 3

2x y y x x y y x < ∩ ≥ − −

2. Геометријски представити област ( ){ } ( ){ }2 2 2, : , : 1x y y x x y x y< ∩ + ≥

3. Геометријски представити област ( ){ } ( ){ }3 2, : , :x y y x x y x y< ∩ ≤

4. Наћи партитивни скуп скупа { }{ }3, 1,4 .

5. Дати су скупови тачака ( ){ }2 2, : 1A x y x y= + < , ( ){ }2, : 2B x y y x= > и

( ){ }2, : 2C x y y x= ≤ − . Одреди и графички представи , , \A B B C A C∪ ∩

6. Дати су скупови тачака ( ){ }2 2, : 1A x y x y= + < , ( ){ }2, : 2B x y y x= > и

( ){ }2, : 2C x y y x= ≤ − . Одреди и графички представи \ , ,B A A B B C∪△

7. Нека су , ,A B C произвољни скупови. Да ли важи релација

( ) ( )A A B A A B∩ = ∩△ △ ?

8. Нека су , ,A B C произвољни скупови. Да ли важи релација

( ) ( )A B A B A B∩ = ∪△ △ ?

9. Нека су , ,A B C произвољни скупови. Да ли важи релација

( ) ( )\ \A B C A B C∩ = ∩ ?

10. Нека су , ,A B C произвољни скупови. Да ли важи релација

( ) ( ) ( )\ \A B C A B A C∩ = ∩ ∩ ?

11. Доказати да је ( ) ( ) ( )P A P B P A B∪ ⊆ ∪ .

12. Нека је ( ) ( )\ \ .A B A B B A= ∪△ Испитати да ли важи

( ) ( )A B C A B C=△ △ △ △ .

Напомена Домаћи задатак радити на дволисницама величине А4. Урађене задатке предати у чистој дволисници на којој са предње стране у табели као у примјеру читко написати име, презиме и број индекса као и коначна рјешења задатака. У случају да неки задатак нисте радили ставите знак Х.

ПЕТАР МАРКОВИЋ 1234/11

рјешење1 рјешење2 Х рјешење4

оставити празан простор за поене

Линеарна алгебра Први домаћи задатак 2011/12 Задатак 2 – Релације 1. Одредити релацију еквиваленције ρ ако је њен количнички скуп

{ } { } { } { }{ }2,5,7 , 1 , 3,6 , 4 .

2. Ако су 1R и 2R двије релације еквиваленције испитати релацију 1 2R R∩ .

3. На скупу ℕ дата је релација a bρ ⇔ a је релативно прост према b . Да ли је ова релација релација еквиваленције?

4. На скупу 2

ℕ дата је релација ( ) ( ), ,a b c d a d b cρ ⇔ ⋅ = + . Да ли је ρ

релација еквиваленције? 5.

Испитати све осовине релације ( ) 2 2, 1x y x y x xy yϕ∈ ⇔ − + =ℝ

6. Испитати све осовине релације ( ) 2 2,x y x y x yϕ∈ ⇔ ≤ℝ

7. Испитати све осовине релације ( ), 1 1x y x y x yϕ∈ ⇔ > ∧ <ℝ

8. Испитати све осовине релације

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( )2, , , \ ,0 : , ,x y u v x x x y u v xv yuϕ∈ ∈ ⇔ =ℝ ℝ .

Одредити количнички скуп. 9.

У скупу 3ℝ дефинисана је релација ψ са

( ) ( ) 2 2 2 2, , , ,a b c d e f a e d bψ ⇔ − = −. Провјерити да ли је ψ релација

еквиваленције и ако јесте одредити количнички скуп. Дати геометријску интерпретацију.

10. У скупу 3

ℝ дефинисана је релација ρ са

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ], , , ,x y z a b c x a sign y sign b z cρ ⇔ = ∧ = ∧ =. Провјерити да

ли је ρ релација еквиваленције и ако јесте описати количнички скуп и класу

којој припада тачка( )0,0,0 . Дати геометријску интерпретацију.

11. На скупу ℤ дата је релација ( ){ }1 , :x x xρ = − ∈ℤ . Провјерити Р, С, АС и Т.

12. На скупу ℚ дата је релација ( ){ }2 , : 0x y x yρ = ⋅ = . Провјерити Р,С,АС и Т.

13. На скупу ℕ дата је релација ( ){ }3 , : 2 ,x y x y k kρ = + = ∈ℕ . Провјерити Р,

С, АС и Т. 14. На скупу ℝ дата је релација ( ){ }1 , : 0x y x yρ = ⋅ > . Провјерити Р, С, АС и

Т.

Напомена Домаћи задатак радити на дволисницама величине А4. Урађене задатке предати у чистој дволисници на којој са предње стране у табели као у примјеру читко написати име, презиме и број индекса као и коначна рјешења задатака. У случају да неки задатак нисте радили ставите знак Х.

ПЕТАР МАРКОВИЋ 1234/11

рјешење1 рјешење2 Х рјешење4

оставити празан простор за поене

Линеарна алгебра Други домаћи задатак 2011/12 Задатак 3 – Комбинаторика

1. На колико начина може краљ из доњег лијевог поља шаховске табле доћи у њено горње десно поље, ако се мора помјерати тако да након сваког помака буде ближи циљу? Детаљно објаснити.

2. У корпи имамо 3 јабуке, 4 крушке и 3 дуње. У дворишту је десеторо дјеце. На колико начина воће можемо подијелити дјеци тако да свако дијете добије по макар један плод воћа?

3. Колико има r -то чланих подскупова од { }1,2,...,n n=ℕ од којих ниједан не

садржи два узастопна броја?

4. Нека је p прост број. Доказати да 2p дијели 2

2p

p

.

5. Колико има рјешења ( ) { }1 2, ,..., , 0k ix x x x ∈ ∪ℕ једначине

1 2 kx x x n+ + + =⋯ гдје је n дати природан број?

6. Доказати ...0 1 1 0

n m n m n m m n

r r r r

+ + + + = −

7. Доказати ...0 0 1 1

n m n m n m m n

n n n

+ + + + =

8.

Директор има 4 радника: Борка, Славољуба , Миленка и Милицу. За Новогодишње празнике он жели да подијели 1000 КМ у новчаницама од по 100 КМ својим радницима. На колико начина се може извршити подјела ако а) сваки радник не мора добити дио новца б) сваки од радника мора добити барем 100 КМ в) сваки радник мора добити макар 100 КМ а Славољуб мора добити макар 500 КМ јер је најбољи радник

9. Колико се осмословних различитих ријечи може направити од 30 слова азбуке али тако да свака ријеч садржи тачно 3 различита самогласника?

10. Колико има природних бројева мањих од сто милијарди који садрже цифру 2 у свом декадном запису?

Напомена Домаћи задатак радити на дволисницама величине А4. Урађене задатке предати у чистој дволисници на којој са предње стране у табели као у примјеру читко написати име, презиме и број индекса као и коначна рјешења задатака. У случају да неки задатак нисте радили ставите знак Х. Ако је рјешење преобимно само уписати УРАЂЕН.

ПЕТАР МАРКОВИЋ 1234/11 број задатка на листу

нпр 3 8 5 4

рјешење првог задатка

нпр 5x = рјешење Х рјешење

оставити празан простор за поене

Линеарна алгебра Први домаћи задатак 2011/12 Задатак 3 – Пресликавања 1. За функције :f →ℝ ℝ и :g →ℝ ℝ дефинисане са ( ) 1 3f x x= − и

( )2 1

3

xg x

−= наћи функције 1f − , f g� и .g g�

2. За функције :f →ℝ ℝ и :g →ℝ ℝ дефинисане са ( ) 1 3f x x= − и

( )2 1

3

xg x

−= наћи функције g f� , f f� и 1f − .

3. За реалне функције дефинисане са ( )

1

xf x

x=

− и ( ) 1

1g x

x=

+. наћи

функције 1 2, ,f f g f g−� � .

4. За реалне функције дефинисане са ( )

1

xf x

x=

− и ( ) 1

1g x

x=

+. наћи

функције 1, ,g g f g g−� � .

5. Дати су скупови A = {1,2,3,4,5} и B = {a,b,c} и бинарне релације

f1 = {(1,a), (2,b), (3,c)} f2 = {(1,a), (2,b),(3,c), (4,a),(5,b), (1,c)} f3 = {(1, a), (2,a), (3,a), (4,a),(5,a)} f4 = {(1,c),(2,b), (3,b), (4,c), (5,a)} а) Да ли су fi функције? б) Да ли су fi функције скупа А у скуп В? в) Ако су fi функције скупа А у скуп В да ли су инјективне? г) Ако су fi функције скупа А у скуп В да ли су сирјективне? д) Да ли се може дефинисати инјективна функција скупа А у скуп В? Одговоре детаљно образложити.

6. Дати су скупови A = {1,2,3} и B = {a,b,c,d} и бинарне релације

f1 = {(1,a), (2,b), (3,c), (1,d )} f2 = {(1,a), (2, a)} f3 = {(1,d ),(2,a), (3,c)} а) Да ли су fi функције? б) Да ли су fi функције скупа А у скуп В? в) Ако су fi функције скупа А у скуп В да ли су инјективне? г) Ако су fi функције скупа А у скуп В да ли су сирјективне? д) Да ли се може дефинисати сирјективна функција скупа А у скуп В? Одговоре детаљно образложити.

7. Нека је { }1,2,3,4,5,6A = и нека су , :f g A A→ ,

1 2 3 4 5 6:

5 2 5 5 3 5f

и 1 2 3 4 5 6

:5 3 1 6 4 2

g

. Одредити функције

1, , , ,f f g g f f f g g−� � � � .

8. Ако је :f A B→ инјекција онда вриједи ( ) ( )( )1 .X A f f X X−∀ ⊂ =

Доказати. 9.

За функције f (x) = 2x - 2x + 3 g(x) = 2x +1 h(x) = 2x +1 одредити f �g, g � f , f (1+ g(x)), g( f � g) а затим одредити f � g - g � f + 3h + f (1+ g(x)) - g( f � g) + 2g(2 - f (1))

10. За функције f (x) = 3x + 4 и g(x) = ax -1 одредити вриједност параметра a тако да буде f � g = g � f ( x∀ ∈ℝ ) . Затим за израчунату вриједност параметра одредити пресликавање f � g .

Напомена Домаћи задатак радити на дволисницама величине А4. Урађене задатке предати у чистој дволисници на којој са предње стране у табели као у примјеру читко написати име, презиме и број индекса као и коначна рјешења задатака. У случају да неки задатак нисте радили ставите знак Х.

ПЕТАР МАРКОВИЋ 1234/11

рјешење1 рјешење2 Х рјешење4

оставити празан простор за поене

Линеарна алгебра Први домаћи задатак 2011/12 Задатак 4 – Алгебарске структуре 1. Нека је G скуп свих ротација и симетрија једнакостраничног троугла на

самог себе. Испитати алгебарску структуру ( ),G � гдје је � композиција

функција. 2.

Нека је у скупу 3ℝ дефинисана бинарна операција * са

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , * , , , ,x y z x y z x x y z y y z z= + + + + . Испитати

алгебарску структуру ( )3,*ℝ .

3. Да ли скуп пермутација { }1234,2143,3412,4321P = образује групу у

односу на операцију композиције? 4. Да ли скуп S који садржи функције облика

( ), , , , , 0r sf x rx s x r s r= + ∈ ≠ℝ чини Абелову групу у односу на

операцију композиција функција? 5. Дат је скуп { }1,2,3,4S = и операција { }, min ,x y S x y x y∀ ∈ ∗ = .

Испитати све особине алгебарске структуре ( ),S ∗ .

6. Нека је G група. Елементу a G∈ придружимо функцију :at G G→

дефинисану са ( ) ( )1at x x a x G−= ⋅ ∀ ∈ . Докажи да је скуп { },at a G∈

група у односу на операцију композиција функција. Покажи да је

a b a bt t t⋅ = � .

7. Да ли се дата непотпуна Кејлијева таблица може допунити тако да алгебарска структура буде група? Детаљно образложити одговор.

e a b c

e e

a a e

b b e

c c e

8. Нека је ( ),G ⋅ група. Дефинишимо нову операцију a b b a∗ = ⋅ . Испитати

алгебарску структуру ( ),G ∗ .

9. Нека је { }\ 1G = −ℚ . Испитати да ли је ( ),G ∗ група, гдје је операција ∗

дефинисана са ( ),a b G a b a b a b∀ ∈ ∗ = + + ⋅ . Детаљно образложити.

10. Ако је

1 2: ,

1 2

mS m n

n

+ = ∈ + ℤ испитати алгебарску структуру ( ),S ⋅ гдје је ⋅

обично множење.

11. Нека је :f →ℝ ℝ бијекција. Ако су операције ( ) ( )( )1a b f f a f b−∗ = +

и ( ) ( )( )1a b f f a f b−= ⋅� . Испитати алгебарску структуру ( ), ,+ ⋅ℝ .

12. На скупу 2

ℝ дефинисане су операције

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y⊕ = + +

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y=⊙ .

Испитати алгебарску структуру ( )2 , ,⊕ℝ ⊙ .

13. Нека је { }, , ,R a b c d= . Допунити таблице операција + и ⋅ тако да структура

( ), ,R + ⋅ буде прстен.

a b c d

a

b a d c

c a

d a

+

a b c d

a

b b a

c a c

d

14. Испитати да ли је ( )2 , ,⊕ℝ ⊙ поље у односу на операције дефинисане са

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y⊕ = + + и

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1, , 2 ,x y x y x x y y x y x y= − +⊙ .

15. Нека је S скуп. Доказати да је ( )( ), ,P S + ⋅ комутативан прстен ако су

операције A B A B+ = ∆ (симетрична разлика) и A B A B⋅ = ∩ (пресјек). Напомена Домаћи задатак радити на дволисницама величине А4. Урађене задатке предати у чистој дволисници на којој са предње стране у табели као у примјеру читко написати име, презиме и број индекса као и коначна рјешења задатака. У случају да неки задатак нисте радили ставите знак Х.

ПЕТАР МАРКОВИЋ 1234/11

рјешење1 рјешење2 Х рјешење4

оставити празан простор за поене

Линеарна алгебра Други домаћи задатак 2011/12 Задатак 2 – Комплексни бројеви

1. Одредити 5 3 3i− + .

2. Одредити 61

1 3

i

i

−+

.

3. Ако је ( ) 1 1,

2 2

n ni i

f n n+ − = + ∈

ℕ доказати ( ) ( )4 0f n f n+ + = .n∀

4.

Одредити скуп тачака z из комплексне равни које задовољавају услов да 1

,zz

и 1 z− имају једнаке модуле.

5. Ријешити једначину 32 3 0z i− + = .

6. У којој области леже тачке z из комплексне равни за које важи

1 1 1z i z− ≤ ∧ − ≤ ? Дати геометријску интерпретацију.

7. Ако је p неки фиксни комплексни број и 1 2,z z рјешења једначине

2 2 1 0z pz− + = доказати да је 1 2 1 1z z p p+ = − + + .

8. Доказати да су тачке 1 2 3, ,z z z ∈ℂ колинеарне акко је 3 1

2 1

z za

z z

− =−

гдје је

a неки реалан број.

9. Израчунати 4 i .

10. Одредити комплексне бројеве z за које је 21

1z i

iz

− − +

реалан. Графички

представити добијени скуп. Напомена Домаћи задатак радити на дволисницама величине А4. Урађене задатке предати у чистој дволисници на којој са предње стране у табели као у примјеру читко написати име, презиме и број индекса као и коначна рјешења задатака. У случају да неки задатак нисте радили ставите знак Х. Ако је рјешење преобимно само уписати УРАЂЕН.

ПЕТАР МАРКОВИЋ 1234/11 број задатка на листу нпр. 3

8 5 4

рјешење првог

задатка нпр. 2

3x =

рјешење Х рјешење

оставити празан простор за поене

Линеарна алгебра Други домаћи задатак 2011/12 Задатак 4 – Полиноми

1. Одредити вишеструкост нуле 1x = полинома

( ) 5 4 3 22 2 1P x x x x x x= − + + − + .

2. Одредити параметре a и b тако да полином ( ) 3 22P x x x ax b= + + + буде

дјељив и са 2x − и са 3x − .

3.

Испитати за које све вриједности ненегативног цијелог броја m полином

( ) ( 1) 1m mf x x x= + − − над пољем ℝ је дјељив полиномом

( )22 1x x+ + .

4.

Испитати за које све вриједности ненегативног цијелог броја m полином

( ) ( 1) 1m mf x x x= + − − над пољем ℝ је дјељив полиномом

( )32 1x x+ + .

5. Одредити нуле полинома ( ) ( )3 24 1 5 16 20z i z i z i− + + + − у пољу ℂ ако се

зна да је једна нула чисто имагинарна.

6. Одредити нуле полинома ( ) 3P x x ax b= + + ако се зна да је једна нула

двострука.

7. Одредити највећи заједнички дјелилац полинома

( ) 3 23 10 2 3P x x x x= + + − и ( ) 4 3 23 4 3Q x x x x x= + − − − .

8. Одредити највећи заједнички дјелилац полинома

( ) 4 3 22 4 2 3P x x x x x= + − − + и ( ) 4 3 23 2Q x x x x x= + − − + .

9.

Примјеном Хорнерове шеме одредити непознате коефицијенте из једнакости

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

0 31 2 45 5 4 3 2

1

22 2 2 2 2

a ax x a a a

xx x x x x

− + = + + + +−− − − − −

.

10. Дат је полином 5 3 2( ) 3 4p x x x ax bx= − + + − Одредити реалне бројеве

,a b тако да је 1z i= − једна нула овог полинома а затим одреди остале нуле.

Напомена Домаћи задатак радити на дволисницама величине А4. Урађене задатке предати у чистој дволисници на којој са предње стране у табели као у примјеру читко написати име, презиме и број индекса као и коначна рјешења задатака. У случају да неки задатак нисте радили ставите знак Х. Ако је рјешење преобимно само уписати УРАЂЕН.