1

PREDAVANJE– 3. KINEMATIKA I DINAMIKA ROBOTA

Minimalna konfiguracija manipulacionog robota

Sl. 2.13. Minimalna konfiguracija i šaka robota

Minimalna konfiguracija podrazumeva mehanizam sa tri zgloba, odnosno tri

stepena slobode.

Na takvu minimalnu konfiguraciju nadovezuje se takozvani završni, mehanizam

robota koji demo uslovno nazivati šaka.

Na slici 2.13 shematski je predstavljena podela lanca na minimalnu konfiguraciju i

šaku. Sledi da minimalna konfiguracija obuhvata zglobove S1 ,S2 i S3 i segmente 1, 2

i 3, a šaka se nadovezuje i sadrži određeni broj zglobova i segmenata (na primer 4,

5 i 6).

Naziv minimalna konfiguracija potiče otuda što svaki manipulacioni robot poseduje

takav mehanizam. Minimalna konfiguracija često se definiše kao mehanizam sa tri

stepena slobode koji vrši pozicioniranje tj. dovođenje šake na željeno mesto u

radnom prostoru. Kasnije demo videti da se pod pojmom pozicioniranja obično

podrazumeva položaj samog vrha šake robota (tačka A na slici 2.13). Tako, na taj

položaj, pored minimalne konfiguracije, utiču i segmenti same šake. Otuda se može

redi da minimalna konfiguracija određuje položaj korena šake, (tačka C na slici

2.13), a zajedno sa šakom vrši pozicioniranje vrha (tačka A na slici 2.13).

2

Minimalna konfiguracija je mehanizam sa tri zgloba od kojih svaki može biti

rotacioni ili translatorni. Označimo sa R rotacioni, a sa T translatorni zglob. Sada

možemo uvesti označavanje mehanizma na slededi način: na primer RTT označava

mehanizam sa tri zgloba (i tri stepena slobode) od kojih je prvi rotacioni, a druga

dva translatorna.

Sada demo, koristedi uvedeno označavanje obraditi najčešde sheme minimalne

konfiguracije robota.

3

a) Pravougaona ili TTT shema. - Dekartova (Kartezijanska) konfiguracija

Minimalna konfiguracija pravougaone ili TTT sheme ima tri translatorna

zgloba.

Na slici 2.14 prikazan je primer ovakve minimalne konfiguracije i to izgled robota i

njegov shematski prikaz.

Sl 2.14. Pravougaona minimalna konfiguracija

Kako je na slici prikazano, minimalna konfiguracija se završava jednom pločicom (C

na slici 2.14) na koju se zavrtnjima ili nekako drugačije vezuje šaka robota. Podela

na minimalnu konfiguraciju i šaku robota ima smisla samo shematski, a ne i na

stvarnoj konstrukciji.

Pod radnim prostorom minimalne konfiguracije robota podrazumevamo onaj deo

prostora u čiju svaku tačku može da dođe vrh konfiguracije (tačka C na sl. 2.14).

4

Sl. 2.15. Radni prostor pravougaone minimalne konfiguracije

Posmatrajmo TTT-shemu prikazanu na slici 2.14 i razmotrimo šta je to što ograničava mogudnost da vrh C stigne u bilo koju tačku prostora. Ograničenje potiče otuda što pomeranje bilo kog segmenta kroz odgovarajudi zglob nije ograničeno. Na primer, kod klizanja zgloba S1 po šipki G1G2 uvedeni su mehanički graničnici (G1 i G2). I kod ostalih zglobova dužina izvlačenja ili uvlačenja segmenata ograničena je samom dužinom segmenata, pa se u konstrukciji uvode graničnici. S obzirom na ovakva ograničenja, radni prostor TTT-robota bio bi pravougaonik prikazan na slici 2. 15. Otuda i naziv pravougaona shema. Da bi bilo jasnije treba istadi da horizontalna šipka G1G2 nije segment, ved predstavlja deo nepomične podloge, a segment 1 je vertikalni stub.

Povoljna je za velike robote, velike nosivosti, koji se izvode kao portalni

(“gantry”) roboti. Može se postidi velika krutost konstrukcije, jednostavno je upravljanje (kao kod CNC mašina alatki).

Nedostaci:

teška i skupa izrada (linearno je uvek komplikovanije i skuplje od obrtnog),

manje su brzine nego kod robota sa obrtnom osnovom.

5

b) Cilindrična ili RTT-shema.

Minimalna konfiguracija cilindrične ili RTT-sheme ima tri zgloba od kojih je

prvi rotacioni, a druga dva translatorna.

Na slici 2.16 prikazan je primer ovakve minimalne konfiguracije i to izgled robota i

njegov shematski prikaz.

Sl. 2.16. Cilindrična minimalna konfiguracija Naziv cilindrična shema potiče otuda što pomeranja u zglobovima S1, S2 i S3 tačno

odgovaraju koordinatama ,z i cilindričnog koordinatnog sistema, što se vidi

upoređivanjem slike 2.16 i 2.17 (a). U daljem tekstu demo videti da je i radni

prostor ovakvog robota cilindričan.

6

Sl. 2.17. Cilindrični koordinatni sistem i radni prostor

Radni prostor: ograničenja se ovde javljaju zbog ograničene dužine segmenta 2 i 3,

jer se oni mogu izvlačiti (odnosno uvlačiti) iz odgovarajudih zglobova samo do

određene mere. Za obrtanje u zglobu S1 smatrademo da nije ograničeno, mada i tu

mogu da se pojave ograničenja.

7

c) Sferna ili RRT-shema

Minimalna konfiguracija sferne ili RRT- sheme ima tri zgloba od kojih su prva

dva rotaciona, a tredi translatorni.

Na slici 2.6 (b) prikazan je primer sfernog robota i njegova shema. Na slici 2.11 data je još jedna moguda shema sfernog robota. Treda moguda RRT- shema data je na slici 2.18 (a).

Sl. 2.18. Sferna minimalna konfiguracija

Pomeranja u zglobovima kod RRT-sheme približno odgovaraju koordinatama

sfernog koordinatnog sistema (slika 2.18 b), pa otuda naziv sferna shema.

Primedujemo da poklapanje nije potpuno. Na shemama slika 2.18 i 2.11 vidimo da

bi pomeranja u zglobovima S1, S2 i S3 odgovarala potpuno koordinatama i r

jedino ako bi dužina segmenta 2 bila jednaka nuli ili bar jako mala.

Odlike ove konfiguracije su:

niska i promenljiva rezolucija,

mali momenti inercije,

bolja fleksibilnost od prethodne dve. Razmotrimo radni prostor RRT-sheme robota. Ako uvedemo graničnike za maksimalno i minimalno izduženje u zglobu S3, a smatramo da su obrtanja u zglobovima S1 i S2 bez ograničenja, tada je radni prostor robota jedna šuplja lopta (slika 2.19 a). Ako postoje graničnici koji određuju krajnje tačke obrtanja u zglobovima S1 i S2, tada je radni prostor jedan isečak opisane lopte. Jedan primer je dat na slici 2.19 (b).

8

Sl. 2.19. Radni prostor sferne minimalne konfiguracije

9

d) RTR i TRRsheme Ove dve sheme obrađujemo zajedno zato što u onom obliku u kome se obično praktično realizuju imaju isti radni prostor.

Sheme su prikazane na slici 2.20 (a), (b), a jedan konkretan primer robota na slici 2.21 (a).

Sl. 2.20. RTR-shema (a) i TRR-shema. (b)

Radni prostor RTR i TRR-sheme robota je šuplji valjak kao što je prikazano na slici 2.21 (b).

Sl. 2.21. Primer RTR-robota i radni prostor

10

e) Laktasta ili RRR-shema

Minimalna konfiguracija laktaste ili RRR- sheme ima tri rotaciona stepena

slobode.

Jedan primer prikazan je na slici 2.6 (a), a na slici 2.22 dat je još jedan primer. Naziv laktasti robot potiče od karakterističnog "lakta" koji se uočava na ovoj shemi (L na slici 2.22). - drugi nazivi kao, na primer, zglavkasti ili antropoidni robot. Izdvojidemo posebno jednu od mogudih RRR-shema. Prikazana je na slici 2.23 i zbog sličnosti sa čovekovom rukom naziva se antropomorfna (čovekolika) shema.

Sl. 2.22. Laktasti ili RRR-robot

Radni prostor RRR-sheme robota zavisi od mogudnosti obrtanja u svakom zglobu. Ako bi obrtanja bila bez ograničenja, onda bi radni prostor bio lopta čiji je poluprečnik određen dužinom ruke. Kako obrtanja u zglobovima nisu neograničena to de radni prostor biti jedan deo lopte složenog oblika (slika 2.24).

Moramo spomenuti još jedan karakterističan slučaj laktaste sheme minimalne konfiguracije. Ta shema prikazana je na slici 2.25, a zvademo je ASEA. Shema, po švedskom robotu marke ASEA koji je najpoznatiji.

Sl. 2.23. Antropomorfna RRR- shema Sl. 2.24. Radni prostor laktastog robota

11

Sl. 2.25. ASEA-shema

12

Horizontalna zglobna konfiguracija (SCARA)1

Ima sve tri ose paralelne, pri čemu prve dve obezbeđuju poziciju u ravni, a treda vrši pozicioniranje upravno na tu ravan. Nema gravitacionh sila i momenata, motori mogu biti nepokretni i smešteni u osnovi robota, što omogudava postizanje velikih brzina. Ima veliku krutost u vertikalnom pravcu i veliku popustljivost u horizontalnoj ravni, što je čini veoma pogodnom za montažu (operacije insertovanja – umetanja). To je danas jedna od najčešde korišdenih konfiguracija robota.

Vertikalna zglobna konfiguracija

Ima izuzetno veliku fleksibilnost i vrlo je pogodna za robote malih i srednjih dimenzija. Ima sve nedostatke kao i prethodne, ali u odnosu na Dekartovu za iste dimenzije radnog prostora ima mnogo manje dimenzije, a time i cenu.

1 SCARA = Selective Compliance Assembly Robot Arm

13

PET TIPOVA ROBOTA KOJI SU DANAS NAJČEŠDE U PRIMENI Naz Raspored osa osnovne konfig. Kinematička šema Radni prostor

Dek

arto

va

(kar

tezi

jan

ska)

ko

nfi

gura

cija

TTT

P

ola

rno

cili

nd

ričn

a

kon

figu

raci

ja

RTT

Sfer

na

kon

figu

raci

ja

RRT

Ho

rizo

nta

lna

zglo

bn

a

(lak

tast

a) S

CA

RA

RRT (TRR)

Ver

tika

lna

zglo

bn

a

(lak

tast

a)

antr

op

om

orf

na

RRR

14

Završni mehanizam – zglobovi šake

Ima zadatak orijentacije end-efektora (EE).

U opštem slučaju potrebno je da završni mehanizam ima tri stepena slobode (SS), ali u zavisnosti od zadatka (primene) može imati 1, 2, ili 3 stepena slobode, kao što je prikazano slededom slikom.

Veoma je važno da se ose end-efektora sa tri stepena slobode seku u istoj tački.

Završni mehanizam robota sastoji se od određenog broja zglobova, a na kraju se

pričvršduje takozvani završni uređaj (engl. end-effector). Zglobovi šake su po

pravilu rotacioni. Na slici 2.26 prikazana je shema mehanizma šake. Tačka C

označava koren šake i tu je ucrtana pločica koja se učvršduje za vrh minimalne

konfiguracije koja je ucrtana isprekidano.

Sl. 2.26. Shema šake robota

Slika: Moguć broj tepeni slobode (SS) završnog mehanizma (end-efektora)

EE3 SS

EE

EE

1 SS EE2 SS

15

Tačka B označava položaj gde se takozvani završni uređaj učvršćuje za mehanizam

šake. To je ucrtano u obliku pločice na kojoj se nalaze zavrtnji za učvršćavanje.

Završni uređaj ucrtan je isprekidano, u obliku hvataljke. Vrh završnog uređaja označen

je tačkom A.

Sl. 2.27. Hvataljka robota

Mehanizam šake ima jedan, dva ili tri zgloba i isto toliko stepeni slobode. Broj

zglobova zavisi od namene tj. od zadatka koji će robot obavljati. S obzirom na to da

minimalna konfiguracija ima tri stepena slobode to znači da će robot ukupno imati

četiri, pet ili šest stepeni slobode.

Hvataljka ne mora da bude oblika klešta. Za neke primene pogodne su hvataljke sa

vakuumskim sisaljkama kao, na primer, za prenošenje limova.

Ako se postavlja zadatak farbanja prskanjem, tada je završni uređaj pištolj za

prskanje a ako je zadatak, na primer, tačkasto zavarivanje, tada je završni uređaj u

obliku zavarivačkih klešta. U raznim drugim primenama pojavljuje se različiti

završni uređaji. Međutim, često se koristi termin hvataljka, podrazumevajudi pod

tim sve vrste završnih uređaja. Pod hvataljkom se podrazumeva često i ceo

poslednji segment lanca.

Kao što možemo videti šaka industrijskog manipulacionog robota nema mnogo

sličnosti sa šakom čoveka, ali u novije vreme sve se češće koriste složene šake

opremljene većim brojem prstiju.

16

Mogudnosti kretanja robota, broj stepeni slobode,

redundantnost2 i singularitet Ako manipulator posmatramo kao prost kinematički lanac sa zglobovima V klase, tada on

kao kinematički sistem ima onoliko stepeni pokretljivosti koliko ima zglobova. Endefektor, kao slobodno kruto telo u prostoru, je jednoznačno određen sa 6 stepeni slobode. Međutim, kako je endefektor vezan kinematičkim lancem za podlogu, to on može imati manje ili jednako 6 stepeni slobode. Ukoliko robot ima više od 6 stepeni slobode, tada je on redundantan (u ovom kursu ih nedemo izučavati). Redundantnost je ponekad značajna zbog mogudnost ulaska robota u nepristupačne zone, kao, na primer, pri tačkastom zavarivanju karoserije automobila. Sledi objašnjenje pojedinih pojmova:

Pozicioniranje end-efektora znači dovođenje hvatača ili alata u tačno određenu poziciju u prostoru (tačka T na slici);

Potpuna orijentacija end-efektora podrazumeva njegov tačno definisan ugaoni položaj u prostoru. Zasad demo to tumačiti na slededi način: potrebno je da se osa end-efektora poklopi sa zadatom pravom u prostoru i da je moguda rotacija oko te prave;

Delimična orijentacija predstavlja poklapanje ose end-efektora sa zadatom pravom u prostoru. Rotacija end-efektora oko te prave u ovom slučaju nema značaja (osnosimetrični alati, na primer burgija). Iz ovih razloga najviše robota danas postoji sa 5 stepeni slobode.

Ukoliko robot imaviše stepeni slobode nego što zahteva zadatak, tada je on redundantan u odnosu na taj zadatak, pa se višak stepeni slobode može blokirati prema nekom kriterijumu optimalnosti.

Radni prostor robota se može podeliti na dostizivi i radni prostor veštine. Dostizivi radni prostor je onaj koga vrh end-efektora može dostidi. Radni prostor veštine je deo dostizivog radnog prostora koji end-efektor može dostidi u proizvoljnoj orijentaciji.

Singulariteti su konfiguracije ili položaji manipulatora u kojima on gubi jedan ili više stepeni slobode. Njihova identifikacija je važna iz slededih razloga:

U singularnim položajima end-efektora njegovim konačnim brzinama bi odgovarale beskonačno velike brzine u pojedinim zglobovima;

Konačnim silama i momentima end-efektora bi odgovarale beskonačno velike sile i momenti u pojedinim zglobovima;

U singularnim položajima ne postoji jednoznačno rešenje inverznog kinematičkog problema;

U singularnim položajima određeni pravci kretanja su nedostizivi.

Singulariteti se obično javljaju na granicama radnog prostora, mada ponekad postoje i u samom radnom prostoru. Korisno je razdvojiti singularitete ruke od singulariteta end-efektora.

Sledi nekoliko primera singularnih položaja (v. sliku). U prvom primeru kada je 2 = 0, tada

je duž pravca a1 nemogude ostvariti ni silu, ni kretanje. U drugom primeru, kada je a1 = a2 i 2 =

180o, tada se za svako 1 kretanje ostvaruje samo u jednoj tački O, koja je singularna i predstavlja

radni prostor veštine. U tredem primeru vrh miruje za a1 = a2, a u četvrtom za d4/dt = d6/dt. Manipulator je u singularnom položaju redundantan i ako u proizvoljnom položaju to nije bio.

2 redundantnost = suvišnost

17

Slika: Primeri singulariteta

Pr. 1

a1 a2

1

2 = 0

O

1

2

a1

a2EE

Pr. 2

EE

4

5

6Pr. 4

2

2

a1

a2

1

Pr. 3

18

Pozicioniranje robota i orjentacija

Pozicioniranje podrazumeva dovođenje vrha hvataljke u željenu tačku radnog prostora.

Sl. 2.31. Potpuna orijentacija

Potpuna orijentacija hvataljke podrazumeva postavljanje hvataljke u tačno

određeni uglovni položaj u prostoru.

Zahteva se da se određena osa hvataljke ili radnog predmeta poklopi sa željenim pravcem u prostoru i još se zadaje ugao obrtanja hvataljke oko tog pravca. Slika 2.31 ilustruje potpunu orijentaciju. Osu predmeta (*) treba poklopiti sa pravcem otvora (*') i još predmet obrnuti oko ose za ugao da bi se ispupčenje na bočnoj strani predmeta postavilo naspram žljeba u otvoru. Tada se tek predmet može uvesti u otvor.

Delimična orijentacija hvataljke podrazumeva samo da se određena osa hvataljke

ili radnog predmeta poklopi sa željenim pravcem u prostoru.

Razlika između delimične i potpune orijentacije prikazana je na slici 2.32. na primeru prenošenja kontejnera sa tečnošdu.U slučaju (a) važno je jedino da osa (*)bude vertikalna, odnosno u pitanju je delimična orijentacija. U slučaju (b) važna je ne samo osa (*) nego i osa (**) koja mora zauzeti željeni pravac. Kada je pravac (*) određen, onda položaj pravca (**) može biti definisan uglom obrtanja oko ose (*). U pitanju je potpuna orijentacija kontejnera.

19

1. PROSTORNI OPISI I TRANSFORMACIJE

Robotska manipulacija po definiciji obuhvata pomeranje objekata i alata u prostoru.

Izučavanje manipulacije obuhvata definisanje prostornih odnosa između objekata i objekata i

manipulatora. Logično je najpre poznavati pozicije i orjentacije objekata i manipulatora, odnosno

endefektora i svakog elementa ponaosob. Za definisanje i manipulaciju matematičkim entitetima za

opis pozicije i orjentacije potrebno je definisati koordinatne sisteme i konvencije za njihov opis,

odnosno . Sličan problem je razmatran u kompjuterskoj grafici i Solid Model Systems o

čemu će biti reči kasnije.

1.1 Pozicija i orijentacija krutog tela

Pozicija svake tačke krutog tela određena je poznavanjem pozicije i orjentacije krutog tela.

Pretpostavljajući da robot ima šest stepeni slobode tada se njegov endefektor može proizvoljno

pozicionirati i orjentisati u ograničenom prostoru.

Pretpostavljajući da smo za vrh endefektora (TCP) na poznat način vezali koordinatni sistem

xB yB zB koga ćemo označiti uređenom trojkom M{B}, tada bi pozicija endefektora bila određena

vektorom položaja koordinatnog početka sistema {B} u referentnom sistemu {A}.

Orijentacija koordinatnog sistema {B} je određena pravcima njegovih osa, odnosno ortova u

odnosu na sistem {A} ili pomoću Ojlerovih uglova.

Komponente ili projekcije ortova osa sistema {B} u odnosu na referentni sistem {A}

predstavljaju kosinuse njihovih pravaca. Matrica rotacije ili matrica orjentacije koja opisuje

orjentaciju koordinatnog sistema {B} u odnosu na koordinatni sistem {A} u oznaci se izvodi na

sledeći način (po konvenciji):

Napomena:

APOB

jA

xA

kA

zA

zB

xB

yB

iA

yA

jB

iB

kB

{B}

RA

B

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

B

A

B

A

B

AA

B

k,kcos j,kcos i,kcos

k,jcos j,jcos i,jcos

k,icos j,icos i,icos

ki ji ii

kj jj ij

ki ji ii

k j iR

20

u pitanju su ortonormalne matrice (vektori ortogonalni i jedinični), pa je njihova inverzna

matrica isto što i transponovana, što će reći:

dovoljno je poznavati i dva jedinična vektora jer se treći može dobiti njihovim vektorskim

proizvodo;

u robotici se uvodi pojam frame-a kao koordinatni sistem koji je definisan u odnosu na

neki drugi. Ovakav frame odnosno koordinatni sistem može biti opisan u odnosu na neki

referentni sa četiri vektora kao:

Intuitivno nas navodi na pomisao da se frame može izraziti i matricom 4x4 o čemu će biti

reči.

RRR B

A

TA

B

1A

B

OB

AA

B P,RB

21

1.2 Transformacija koordinata

1.2.1 Rotacione matrice

Rotaciona matrica može biti predstavljena i kao transformaciona matrica koja preslikava

koordinate tačke, odnosno vektora položaja iz jednog koordinatnog sistema u drugi. Neka je za

pokretni koordinatni sistem na poznat način vezano kruto telo i neka se koordinatni počeci

pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema poklapaju.

APOB

BP

xA

AP

zA

zB

xB

yB

P

yA

{B}

{A} PRPP BA

BOB

AA

OP=1P

j0

x0

k0

z0 z1

x1

y1

i0

y0

j1

i1

k1

P

1z

1y

1x

1

p

p

p

P

0z

0y

0x

0

p

p

p

P

R

pR

p

p

p

kk jk ik

kj jj ij

ki ji ii

P

0

1

10

1

1z

1y

1x

101010

101010

101010

0

22

1.2.2 Rotacije oko koordinatnih osa

Veoma je važno znati matrice koje predstavljaju rotacije pokretnog koordinatnog sistema

oko osa nepokretnog koordinatnog sistema (osnovne rotacione matrice).

1.2.3 Homogene transformacije – koordinatni sistemi (frame-ovi)

Uvođenje homogenih koordinata nam omogućava da matričnim množenjem obuhvatimo i

translaciju, odnosno da jednom matricom predstavimo transformaciju koja uključuje i translaciju i

rotaciju. Na ovaj način možemo potpuno da predstavimo položaj i orijentaciju jednog proizvoljno

postavljenog koordinatnog sistema u odnosu na drugi i da izvršimo preslikavanje koordinata tačaka

iz jednog koordinatnog sistema u drugi (do sada smo razmatrali slučaj kada su im se koordinatni

počeci poklapali).

Neka je vektor položaja tačke P=ai+bj+ck. Ovaj vektor izražen u homogenim koordinatama

glasi:

U robotici ćemo uzimati da je w=1

1z1o1y1o1x1o

1

o

0

ozo

1z1o1y1o1x1o

1

o

0

oyo

1z1o1y1o1x1o

1

o

0

oxo

pkkpjkpikpkpkp

pkjpjjpijpjpjp

pkipjipiipipip

pRp

RRR

00

1

1

1

0

T0

1

10

1

w

z

y

x

P

w

c z ;

w

by ;

w

a x:su gde

w – vektor razmere (dodatna četvrta koordinata)

23

1.2.3.1 Transformacija translacija

Može biti predstavljena matricom 4x4 sa sledećim značenjima:

1. Predstavlja transliran koordinatni sistem u odnosu na neki referentni;

2. Preslikava koordinate iz jednog koordinatnog sistema u drugi;

3. Služi kao transformacioni operator da translira tačku u istom koordinatnom sistemu.

1 0 0 0

c 1 0 0

b 0 1 0

a 0 0 1

Ttran

- - - - - - - -

Intuitivno naziremo matricu rotacije, tj. da se x1 projektuje na x, y1 na y, z1 na z dok su a,b i c koordinate početka x1y1z1

b

z

y

x

x1

y1

z1

c

a

P

0P

z0

y0

x0

x1

x1

1P y1

z1

z1

y1

c

b

a

1 11 0 0 0

c 1 0 0

b 0 1 0

a 0 0 1

1

1

1

1

1

1

10

zc

yb

xa

z

y

x

PTP tran

24

1.2.3.2 Transformacija rotacije

Do sada smo razmotrili matrice rotacije R3x3 kada su im se koordinatni sistemi poklapali. U

homogenim koordinatama one se proširuju na matrice 4x4 na sledeći način:

1 0 0 0

0 a o n

0 a o n

0 a o n

1 0 0 0

0

0

0

Tzzz

yyy

xxx

rot

R3x3

25

Sada osnovne transformacije rotacije oko koordinatnih osa postaju:

Takođe i matrica RPY postaje:

1 0 0 0

1 c s 0

0 s- c 0

0 0 0 1

T ),x(rot

1 0 0 0

0 c 0 s-

0 0 1 0

0 s 0 c

T ),y(rot

1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 c s

1 0 s- c

T ),z(rot

1 0 0 0

0

0

0

T ,,

- - - - - - - - -

RPY Napomena: sva pravila i značenja koja su

važila za R3x3 važe i za homogene rotacione

matrice 4x4.

26

Geometrija segmenata

Šta je potrebno zadati, pa da geometrija segmenata bude potpuno određena.

Postoje dva pristupa zadavanju geometrije segmenata, a razlikuju se po načinu

postavljanja koordinatnih sistema:

Pristup J. Stepanjenka,

Pristup Denavi-Hartenbergov

Bavi se izučavanjem problema određivanja položaja, odnosno orijentacije endefektora preko

unutrašnjih i spoljašnjih koordinata, brzina i ubrzanja vrha i segmenata.

Unutrašnje i spoljašnje koordinate

Rekli smo da se manipulator može modelirati kao prost otvoren kinematički lanac koji se

sastoji od nekoliko segmenata povezanih R i/ili T zglobovima.

Prvi segment se vezuje za nepokretan član (postolje), dok se za poslednji vezuje endefektor.

Dakle, imamo n pokretnih segmenata i n zglobova sa jednim stepenom slobode.

a, o, n – jedinični vektori koordinatnog sistema endefektora

5

o

z0

y0

x0

y6

z6

x6

z6

6

2

4

1

z5

z4

z3 z2

z1

s6

s5 s4

s3

s2

s1

s0

n

a

P

d3

27

Unutrašnje ili generisane koordinate: qi(t), i=1,…., n(6), definišu relativna pomeranja

segmenata, odnosno zglobova. To su uglovi ili dužine. To su neprekidne, dva puta diferencijabilne,

vremenske funkcije u opsezima koji su određeni mehaničkim ograničenjima.

qi(t)=i – kada su zglobovi rotacioni

qi(t)=ai – kada su zglobovi translatorni

Ove skalarne veličine mogu biti organizovane u vektorskom obliku tako da možemo

uspostaviti vektor unutrašnjh koordinata:

Promenom unutrašnjih koordinata menjaju se pozicija i orijentacija endefektora.

Broj stepeni slobode (n) je obično 4-6, dok slučajeve kada je n>6 (redundantni roboti)

nećemo razmatrati.

Vektor spoljašnjih koordinata koji definiše poziciju i orijentaciju endefektora, odnosno

opisuje zadatak, ima m koordinata. U opštem slučaju to su 6 koordinata:

Kao što smo rekli, ako je m<n, tada je robot redundantan u odnosu na zadatak, odnosno

odbacili smo neke koordinate. Na primer, ako nas ne interesuje orijentacija, tada imamo xe=[ x y z ]T

što znači da ako bismo imali robot sa šest stepeni slobode, tada bismo blokirali (odbacili) 4, 5, 6.

Da bismo potpuno opisali poziciju i orijentaciju endefektora, za njega vezujemo koordinatni

sistem x6 y6 z6 odnosno n o a (a – vektor pristupa (approach), o – pravac otvaranja prstiju hvatače

(open), n = ao – vektor normale (normal).

Poziciju i orijentaciju endefektora u odnosu na nepokretni koordinatni sistem možemo

definisati na sledeći način:

POZICIJA:

Dekartov koordinatni sistem [px py pz]T

Polarno-cilindrični koordinatni sistem [rcos, rsin, z]T

Sferni koordinatni sistem [rsincos, r sinsin, rcos]T

ORIJENTACIJA:

Dekartov koordinatni sistem:

Promenom unutrašnjh koordinata menja se pozicija i orijentacija endefektora, pa je xe=f(q),

što predstavlja tzv. direktni kinematički problem.

Mnogo češći i mnogo složeniji je inverzni kinematički problem koji predstavlja određivanje

vektora unutrašnjih koordinata za zadati vektor spoljašnjih koordinata q=f –1

(xe).

max iimin i qqq

..n(6)1,2,......i

)t(q

)t(q

q

n

1

T

e zyxx

1 0 0 0

p 1 0 0

p 0 1 0

p 0 0 1

Tz

y

x

poz

1 0 0 0

0

0

0

Torj orjpoz

0

6 TTT

1 0 0 0

0

0

0

1 0 0 0

0 a o n

0 a o n

0 a o n

z z z

yy y

x x x

RPY

(,,) noa RPY

(,,)

28

Kinematičke jednačine

Da bismo izvršili kinematičko modeliranje manipulatora, možemo vezati koordinatne

frame-ove za svaki segment i odrediti poziciju i orijentaciju jednog segmenta u odnosu na drugi,

svakog u odnosu na osnovu i poziciju i orijentaciju endefektora. Frame-ovi koji se vezuju za

segmente se nazivaju A matrice.

Na primer:

određuje poziciju i orijentaciju prvog segmenta u odnosu na osnovu,

određuje poziciju i orijentaciju drugog segmenta u odnosu na prvi.

Ako bismo želeli da odredimo poziciju i orijentacijudrugog segmenta u odnosu na osnovu

imali bismo:

A0

1

A1

2

AAT 1

2

0

1

0

2

29

i di

i+1

zi-1

i

i-1

i-2

ai-1 ai

i-1

i

i+1 i i-1

xi

zi

i-

xi-1

xi

i-

di

i

i

ai

Za opšti slučaj manipulatora sa šest stepeni slobode, kao na slici, pozicija i orijentacija

endefektora bi bila:

Denavit – Hartembergovi kinematički parametri, specifikacija A matrica

Razmotrićemo najčešće korišćen način pridruživanja (dodeljivanja) koordinatnih frame-ova

segmentima manipulatora.

Pri projektovanju segmenata projektant mora da vodi računa o dimenzijama, oblicima,

tolerancijama, materijalu, kvalitetu obrađenih površina itd. Međutim, za potrebe u kinematici,

segment definišu dve ose zglobova koje se relativno mogu opisati sa dva parametra (broja). To su

rastojanje osa, odnosno zajednička normala i ugao zaokrenutosti osa meren u ravni normalnoj na tu

normalu.

Posmatrajmo prost, otvoren kinematički lanac i način pridruživanja frame-ova segmentima.

AAAAAAT 5

6

4

5

3

4

2

3

1

2

0

1

0

6

30

ai-1

i=0

di

ai

i+1 i - ravan

i+1

i

zi-1 zi

- ravan

)zz(x i1ii

Zaključujemo:

svaka osa zgloba sadrži dve normale (ai-1 i ai) – po jednu za svaki segment

relativni položaj dva segmenta je određen rastojanjem dI između normala ai-1 i ai duž ose

“i” i uglom i između tih normala meren u ravni normalnoj na osu “i”.

Dodeljujemo koordinatne sisteme:

koordinatni početak i-tog segmenta postavljamo u preseku normale ai i ose i+1;

xi osa ide u pravcu normale ai dok zi osa ide u pravcu ose i+1 (prethodna i naredna –

manipulacija indeksima) – sa yi treba kompletirati koordinatni sistem desne orijentacije;

sada to uradimo i osi “i”;

očigledno je da je i ugao između osa xi-1 i xi ;

i predstavlja ugao zaokrenutosti između osa zi-1 i zi oko xi .

U opštem slučaju kada ose nisu komplanarne imamo situaciju kao na prethodnoj slici.

Međutim, u slučaju da su ose koplanarne imamo dva specifična slučaja:

1. slučaj

U ovom slučaju su ose paralelne, pa postoji beskonačno mnogo normala, ali mi ih biramo

tako da je di=0 (ako konstrukcija dozvoljava) pri čemu je i=0, odnosno izgubilo je smisao.

2. slučaj

U ovom slučaju ai=0, međutim .

)zz(x i1ii

31

Možemo zaključiti da se koordinatni sistem i-tog segmenta smešta u njegov kraj, odnosno

zglob (ako ga ima) jer, na primer, endefektor nema zgloba.

Položaj jednog segmenta u odnosu na drugi možemo odrediti na sledeći način: posmartajući

na slici osu i+1 u odnosu na osu i, odnosno osu i u odnosu na osu i-1 gledamo kako dovesti frame i-

1do poklapanja sa frame-om i (setiti se apsolutnih i relativnih transformacija)

Za rotacioni zglob i je i=f(t) dok su ai, di, i konstantne.

Za translatorni zglob di=f(t) dok su ai, i, i konstantne.

Za translatorne zglobove se obično, mada na mora, koordinatni sistemi usvajaju tako da je

ai=0, pa pošto su i i i konstante, a di=f(t) imamo:

Ako bismo želeli da odredimo položaj bilo koje tačke na segmentu i, na primer iP u odnosu

na koordinatni sistem vezan za prethodni segment tj. u odnosu na koordinatni sistem i-1 imali

bismo:

Iako matrice izgledaju relativno komplikovane, pri projektovanju se, iz razloga

jednostavnijeg upravljanja, odnosno brzine sračunavanja, manipulatori projektuju tako da je, gde

god je to moguće, i=0 ili i=90, i ai i/ili di=0.

1 0 0 0

d c s 0

0 sc- cc s

0 ss cs- c

Aiii

iiiii

iiiii

1i

i

PAP i1i

i

1i

A1i

i

1 0 0 0

d c s 0

a sc- cc s

a ss cs- c

1 0 0 0

0 c s 0

0 s- c 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

a 0 0 1

1 0 0 0

d 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 c s

0 0 s- c

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

ii

i

i

ii

ii

),(),(),(),(

1

s

c

TTTTAiiiii xrotaxtrandztranzrot

i

i

32

1.3 Algoritam pridruživanja koordinatnih sistema segmentima

Pridruživane nije jednoznačno. Algoritam sadrži sledeće korake:

Korak 1: Locirati i označiti ose zglobova z0, z1, ….zn-1 (zn je na endefektoru);

Korak 2: Postavljanje baznog frame-a. Postaviti koordinatni početak bilo gde na z0 osi, x0

i y0 čine desni koordinatni sistem;

For i =1,2,….n-1 izvršiti korake 3-5

Korak 3: Locirati koordinatni početak Oi u položaj gde zajednička normala između osa zi-

1 i zi seče osu zi. Ako su ose zi-1 i zi paralelne lociraj Oi tako da bude di=0 (ako je to

moguće zbog konstrukcije);

Korak 4: Uspostaviti xi osu duž zajedničke normale između osa zi-1 i zi kroz Oi ili

upravcu normale na ravan koju obrazuju zi-1 i zi ako se seku ;

Korak 5: Uspostaviti yi tako da se kompletira koordinatni sistem desne orijentacije.

Korak 6: Uspostavljanje koordinatnog frame-a endefektora Onxnynzn, odnosno, (n, o, a);

Korak 7: Kreirati tabelu parametara segmenata di, ai, i i i ;

segm. I [] ai[mm] di [mm] i []

1

2

- di i i označiti zvezdicama ako su promenljive. Ponekad se uz ove promenljive mogu

definisati i opsezi kretanja.

- i : ugao između osa zi-1 i zi meren oko ose xi

- ai : rastojanje duž xi od Oi do preseka xi i zi-1 ose

- di : rastojanje duž zi-1 ose od Oi-1 do preseka xi i zi-1 (promenljiva za translatorni zglob)

- i : ugao između xi-1 i xi meren oko zi-1 ose (promenljiva za obrtni zglob)

))zz(x( i1ii

33

yG

xG zG

z5

z4

z3

1.4 Direktni kinematički problem

Rešavanje direktnog kinematičkog problema predstavlja određivanje pozicije i orijentacije

endefektora za zadate unutrašnje koordinate (qi, i=1,2,3….n (6)), odnosno za zadate rotacije ili

pomeranja u zglobovima uz poznavanje ostalih parametara ai i i

Kada se matrice A izmnože dobijamo matricu 4x4 u kojoj znamo šta je pozicija, a šta

orijentacija.

Obično se za svaki konkretan manipulator ove matrice izmnože ručno u opštim brojevima, a

zatim se za svaki konkretan slučajzamenom konkretnih parametara dobija pozicija i orijentacija

endefektora.

Za slučaj nekog opštijeg simulacionog paketa mogu se parametri zameniti u matricama, pa

ih onda množiti kao matrice brojeva.

Napomenuli smo ako se ose orijentacije, odnosnoose zglobova šake seku u jednoj tački, jer

se tada pozicija i orijentacija mogu razdvojiti.

Napomena: zbog univerzalnosti,

završavaju pločom za vezu

endefektora, na koju se mogu vezivati

razni endefektori

AAAAAAT 5

6

4

5

3

4

2

3

1

2

0

1

0

6

AAAAAATTT 5

6

4

5

3

4

2

3

1

2

0

1orjpoz

0

6

Dekartov spoljašnj

prostor

- presek osa

Torij Tpoz

Prostor aktuatora

Dekartov spoljašnji

prostor

Prostor

zglobova

Napomena:

34

Takođe i pri postavljanju robota moguće su, u zavisnosti od postolja, različiti koordinatni

sistemi.

HTBT G

EE

0

G

ref

0

ref

EE

zref

y0

z0

x0

yref

xref

35

1.5 Inverzni kinematički problem

deo sa matematikom