1

Веројатност 1. Вовед

Проучувањето на веројатноста потекнува од анализата на одредени игри на можности, и има најдено примена во многу области од науката и инженерството. Ќе се запознаеме со основните концепти на теоријата на веројатност.

2. Множество на вредности – кодомен и настани А. Случајни експерименти:

Во науката за веројатноста, секој процес на набљудување се нарекува екперимент. Резултатите од набљудувањето се наречени исходи на експериментот. Еден експеримент е наречен случаен експеримент ако неговиот исход не може да се предвиди. Типичен пример на експеримент е фрлање на коцка, фрлање на паричка и слично.

Б. Множество на вредности:

Множеството на сите можни исходи на еден случаен експеримент се нарекува множество на вредности (или универзално множество), и се означува со S. Елемент во S се нарекува елементарен настан. Секој исход на случаен експеримент кореспондира со точка од множеството на вредности.

Пример 1. Да се најде множеството на вредности за експериментот фрлање на паричка:

(а) еднаш

(б) двапати.

Решение: (а) Постојат два исходи, глава – H и петка ‐ T. Па така:

, .

(б) Постојат 4 различни исходи. Тоа се парови на глава‐H и петка‐T

, , , .

Пример 2. Да се најде множеството на вредности (кодомен) за експериментот фрлање на паричка со повторување и броење на бројот на „петки“ се додека не се појави првата „глава“.

2

Решение: Јасно е дека сите можни исходи за овој експеримент се броевите од низата 1,2,3,... Па така:

1,2,3, … .

Забележуваме дека постојат бесконечен број на исходи.

Пример 3. Да се најде кодоменот за експериментот на мерење (во часови) на животниот век на транзистор.

Решение: Можните исходи се сите ненегативни реални броеви. Па така:

: 0 ∞

каде што е бројот на часови на животен век на транзисторот.

Секој експеримент може да има повеќе различни кодомени во зависност од интересот. За кодоменот S се вели дека е дискретен ако се состои од конечен број на елементи или преброиво бесконечен број на елементи. Едно множество е наречено преброиво ако неговите елементи може да се постават во кореспонденција со природните броеви.

В. Настани:

Бидејќи го дефиниравме множеството на вредности S како множество на сите можни исходи на случаен експеримент, ќе разгледаме некои нотации за множества:

Ако s е елемент на S, тогаш пишуваме:

Ако s не е елемент на S, тогаш пишуваме:

Множеството А е наречено подмножество на множеството B и се означува:

ако секој елемент од А е елемент на B. Секое подмножество на S се нарекува настан. Елементарен настан е точка од S. Множеството S се нарекува сигурен настан, бидејќи е множество од сите можни исходи.

Пример 4. Ако го разгледаме експериментот од примерот 2. Нека А е настанот, непарен број на „петки“ се додека не се падне „глава“ . Нека В е парен број на „петки“ се додека не се падне „глава“. Нека С е настанот, број на „петки“ потребен за да се падне „глава“ помал од 5. Да се изразат овие настани.

Решение: 2,4,6, … , 1,3,5, … и 1,2,3,4 .

3

3. Алгебра на множества А. Операции со множества:

1. Еднаквост:

Две множества А и В се еднакви, А = В, ако и само ако и .

2.Комплемент:

Нека . Комплемент на множеството А, се обележува со А , е множеството што ги содржи сите елементи од S што не се во А.

3. Унија:

Унија на множествата А и В, , е множеството што ги содржи елементите или од А, или од В, или од двете заедно.

: или

4. Пресек

Пресек на множествата А и В, , е множеството што ги содржи сите елементи од А и В.

: и

5. Празно множество

Множеството што не содржи ниту еден елемент се нарекува празно множество и се обележува со .

6. Дисјунктни множества

Две множества А и В се нарекуваат дисјунктивни или взаемно исклучиви ако не содржат ниту еден заеднички елемент, односно ако .

Дефинициите за унија и пресек на две множества можат да бидат проширени со било кој конечен број на множества:

…

…

Истотака можат да се прошират и на неограничен број на множества:

4

…

…

Во нашата дефиниција за настан, нагласивме дека секое подмножество од S е настан, вклучувајќи го и S и празното множество . Па така:

S = сигурен настан

= невозможен настан

Ако А и В се настани во S , тогаш

е спротивен настан на настанот А

e настан кај што се случил А или В

настан кај што се случиле и А и В

Слично на тоа, ако , , … , се низа на настани во S тогаш

е настан кај што барем еден од настаните се случил

е настан кај што сите настани се случиле истовремено

Б. Венов дијаграм

Претставува графичка репрезентација која што е многу корисна за илустрирање на операциите со множества.

В. Идентитети

Според погорните дефиниции на множествата, ги изведуваме следните идентитети:

5

Операциите унија и пресек, ги задоволуваат и следните закони:

Комутативен закон:

Асоцијативен закон:

Дистрибутивен закон:

Де Морганови закони:

Овие релации се потврдуваат со покажување дека секој елемент што е содржан во множеството на левата страна на равенката е истотака содржан во множеството на десната страна на равенката, и обратно. Еден начин за да се докаже ова е со Венов дијаграм. Дистрибутивниот закон може да биде проширен на следниот начин:

А

А

Истотака, де Моргановите закони можат да бидат проширени на следниот начин:

6

4. Нотации и аксиоми на веројатноста Доделувањето на реални броеви на настаните дефинирани во множество на вредности S е познато како мерка на веројатност. Да разгледаме случаен експеримент со множество на вредности S и нека A е некој настан дефиниран во S.

А. Класична дефиниција на веројатноста (релативна фреквенција)

Нека претпоставиме дека еден случаен експеримент е повторен n пати. Ако настанот А се случи n(A) пати, тогаш веројатноста на настанот А, означена со Р(А) е:

lim

каде што n(A)/n се нарекува релативна фреквенција на настанот А. Треба да се забележи дека овој лимес може и да не постои, и дека постојат многу ситуации каде што концептот на повторување на настаните може да не е валиден. Јасно е дека за било кој настан А , релативната фреквенција на А ќе ги има следниве особини:

1. 0 1, каде што 0 ако А не се појавува во ниеден од n‐ те обиди и 1 ако А се појавува во сите n обиди.

2. Ако А и В се взаемно исклучиви настани, тогаш

И

Б. Аксиоматска дефиниција

Нека S е конечно множество на вредности и А е настан во S. Тогаш, веројатноста P(A) на настанот А е реален број доделен на А којшто ги задоволува следниве три аксиоми:

Аксиома 1: 0

7

Аксиома 2: 1

Аксиома 3: ако .

Ако просторот на вредности не е конечен, тогаш аксиомата 3 мора да биде модифицирана вака:

Аксиома 3: Ако е , , … бесконечна низа на взаемно исклучиви настани во , тогаш

В. Елементарни особини на веројатноста:

Од горенаведените аксиоми можат да се изведат следните особини:

1. 1 2. 0 3. ако 4. 1 5. 6. Ако , , … , се n случајни настани во S, тогаш

… 1 …

7. Ако , , … , е конечна низа од взаемно исклучиви настани во , ,

тогаш:

Треба да се забележи дека особината 4 може лесно да се изведе од аксиомата 2 и особината 3. Бидејќи ,имаме

1

Така, во комбинација со аксиомата 1, имаме:

0 1

Особината 5 имплицира следно:

бидејќи 0 од аксиомата 1.

8

Низата настани , , … , , … е растечка низа ако , а опаѓачка ако . Ако 1, ≥nAn е растечка низа од настани, дефинираме нов настан со

lim .

Слично, ако 1, ≥nAn е опаѓачка низа од настани, тогаш

lim .

Теорема 4.1 (непрекинатост на веројатноста): Ако 1, ≥nAn е или растечка или опаѓачка низа од

настани, тогаш

lim .

5. Еднаквоверојатни настани

А. Конечно множество на вредности

Да разгледаме конечно множество на вредности S со конечен број на елементи

, , … ,

каде што се елементарни настани. Нека . Тогаш

1. 0 1 1,2, … , 2. ∑ 1 3. Ако , каде што I е индексно множество, тогаш

.

Б. Еднаквоверојатни настани

Кога сите елементарни настани 1,2, … , се еднакво можни, односно кога:

имаме:

9

1 1,2, … ,

и

кадешто е бројот на исходи што припаѓаат на настанот и n е бројот на точки во множеството .

6. Условна веројатност

А. Дефиниција 6.1: Условната веројатност на настанот ако се случил настан , означено како | , е дефинирано како:

| 0

каде што е веројатноста дека се случиле и . Слично:

| 0

е условната веројатност на настан В ако се случил А. Од равенките следува:

| | .

Оваа равенка доста често се користи за пресметување на взаемната веројатност на настаните.

Б. Баесово правило:

| |.

7. Тотална веројатност

Настаните , , … , претставуваат партиција на множеството ако

10

… и за .

Нека е било кој настан во . Тогаш

|

што е познато како тотална веројатност на настанот . Нека , тогаш

||

∑ | .

Веројатностите од десната страна на равенството се сите условени од настаните , додека веројатноста од левата страна е условена од . Оваа равенка се нарекува Баесова теорема.

8. Независни настани

Два настани и се (статистички) независни ако и само ако

.

Веднаш следува дека ако и се независни, тогаш

|

и

| .

Ако два настани и се независни, тогаш може да се покаже дека и и се независни:

.

Тогаш:

| .

Затоа, ако е независен од , тогаш веројатноста од појавувањето на е непроменето како информација за тоа дали се случил или не. Три настани , , се независни ако и само ако:

11

Можеме да ја прошириме дефиницијата за независност на повеќе од три настани. Настаните , , … , се независни ако и само ако за секое подмножество , , … , , (2 ) од

овие настани,

… … .

Конечно, дефинираме дека: конечно множество на настани може да биде независно ако и само ако секое конечно подмножество на овие настани е независно.

За да направиме дистинкција помеѓу взаемната исклучивост (дисјунктивноста) и независноста на фамилија од настани, сумираме:

1. Ако , 1,2, … , е низа од взаемно исклучиви настани, тогаш

.

2. Ако , 1,2, … , е низа од независни настани, тогаш

.

9. Случајна променлива

Дефиниција 9.1: Нека е дадено множеството од сите можни исходи на еден веројатносен

експеримент Ω и нека на секој елементарен настан Ω∈ω му доделиме точно еден реален број

( )ωX . Пресликувањето R→Ω:X се вика случајна променлива.

Нека Ω е множеството на елементарни настани, X е случајна променлива, а x е фиксен број. Тогаш ги користиме следниве ознаки за настаните:

( ) ( ) ,: xXxX =Ω∈== ωω

( ) ( ) xXxX ≤Ω∈=≤ ωω : ,

( ) ( ) xXxX >ωΩ∈ω=> : ,

12

( ) ( ) 2121 : xXxxXx <ω<Ω∈ω=<<

па веројатноста ќе биде ( ) ( ) xXPxXP =ωΩ∈ω== : за секој од нив соодветно.

9.1 Функција на распределба

Дефиниција 9.1.1: Нека е дадена случајна променлива X . Функцијата дефинирана со

( ) ( ) ( ) xXPxXPxFX <ωΩ∈ω=<= : , R∈x се вика функција на распределба на

веројатностите на случајната променлива Х.

Ако во текстот се спомнува само една случајна променлива, тогаш наместо ознаката

( )xFX се користи ознаката ( )xF .

Особини:

1. ( ) ( ) .0lim =∞−=−∞→

FxFx

2. ( ) ( ) .1lim =∞=∞→

FxFx

3. Функцијата не распределба е монотоно неопаѓачка функција, односно ако ,21 xx <

тогаш ( ) ( ),21 xFxF ≤

4. Функцијата на распределба е непрекината од лево:

( ) ( ).lim0

aFxFax

=−→

5. ( ) ( ) ( )aFbFbXaP −=<≤ , за секои R∈ba, , ba < .

Доказ:

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0limlim1

=∅=−<=−<=−=∞−∞

=∞→∞→PnXPnXPnFF

nnnI

13

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1limlim1

=Ω=<=<==∞∞

=∞→∞→PnXPnXPnFF

nnnU

3. Ако ,21 xx < и ако ( ) 1: xXA <ΩΩ∈ω= , ( ) 2: xXB <ΩΩ∈ω= , очигледно дека

BA⊆ , па имаме

( ) ( ) ( ) ( )21 xFBPAPxF =≤= .

4. ( ) ( ) ( ) =−<=−=∞→∞→−→ naXPnaFxF

nnax1lim1limlim

0

( ) ( ) ( ).11

aFaXPnaXPn

=<=−<=∞

=U

5. ( ) ( ) =<ωΩ∈ω= bXPbF : ( ) ( ) ( ) =<ω≤Ω∈ω+<ωΩ∈ω= bXaaXP ::

( ) ( ).bXaPaF <≤+=

9.2 Дискретни случајни променливи

Случајната променлива Х го пресликува множеството Ω во множеството на реални броеви.

Множеството на слики ќе го означиме со XR .

Дефиниција 9.2.1: Случајната променлива Х е дискретна случајна променлива ако XR е конечно

или преброиво множество.

Множеството ( ) nxX =ωΩ∈ω : за пократко ќе го означуваме со ( )nxX = . Очигледно

дека важи

( ) ( )UUn

nn

n xXxX ===ωΩ∈ω=Ω :

и дека

( ) ( ) ∅=== ji xXxX I за секое ji ≠ ,

што значи дека

( ) ( ) .1=Ω==∑ PxXPi

i

14

Ако ,..., 21 xx е множеството вредности на дискретната случајна променлива X , тогаш со

( )ixp , ,...2,1=i ќе ја означиме веројатноста на настанот чии елементи се пресликуваат во ,ix

односно

( ) ( ) ( ).: iii xXPxXPxp ===ωΩ∈ω=

Множеството вредности на дискретната случајна променлива ,..., 21 xx , заедно со соодветните

веројатности ( )ixp , ,...2,1=i , го претставува законот на распределба на случајната променлива

X . Најчесто ќе ги користиме следните начини на запишување на законот на распределба:

- шематски ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛L

L

21

21:xpxp

xxX и

- аналитички ( ) ( )ii xXPxp == , ,...2,1=i

Врската помеѓу законот на распределба и функцијата на распределба е дадена со

( ) ( )∑<

=

xxi

iX

i

xpxF

.

Графикот на функцијата на распределба на дискретната случајна променлива има скалеста

форма.

9.3 Непрекинати случајни променливи, густина на распределба

Дефиниција 9.3.1: Нека X е случајна променлива со функција на распределба

( ) ( )xXPxFX <= . Ако ( )xFX е непрекината функција и ако постои ( )

dxxdFX во секоја точка,

освен во конечен број и е по делови непрекината, тогаш велиме дека X е променлива од

непрекинат тип.

Ако X е непрекината случајна променлива, тогаш XR содржи цел интервал.

Дефиниција 9.3.2: Нека X е непрекината случајна променлива со функција на распределба

( )xFX , тогаш функцијата ( ) ( )dx

xdFx XX =ϕ се вика густина на распределба на веројатностите на

случајната променлива X .

15

Особини:

1. ( ) 0≥xXϕ за секое R∈x .

2. ( ) .1)( =∞<<∞−=∫+∞

∞−

XPdxxXϕ

3. Веројатноста ( ) ( ) ( ) 0limlim00

==+<≤== ∫+

→→

ha

aXhh

dxxhaXaPaXP ϕ , R∈∀a .

4. ( ) ( )∫=<<b

aX dxxbXaP ϕ за секои ∞∞∈ ,-R Uba, .

Врската помеѓу функцијата на распределба и густината на распределба на случајната

променлива X е дадена со:

( ) ( ) ( )∫∞−

=<=x

XX dttxXPxF ϕ за секое R∈x .

10. Бројни карактеристики на случајните променливи

Дефиниција 10.1: Нека X е случајна променлива. Бројот ( )XE дефиниран со:

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∫

∑∞

∞−

променливаслучајнаанепрекинатеако,)(

променливаслучајнадискретнае ако,)(

Xdxxx

Xxpx

XEX

kk

Xk

ϕ

се вика математичко очекување (надеж) на случајната променлива X .

Дефиниција 10.2: Бројот со ознака 2Xσ или Var(X) или D(X) дефиниран со

[ ] 2)()( XEXEXD −= , се вика дисперзија или варијанса на случајната променлива X , а

аналитички е изразен со:

16

( )( )( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

=∫

∑∞

∞−

променливаслучајнаанепрекинатеако,)(

променливаслучајнадискретнаеако,)(

2

2

XdxxXEx

XxpXEx

XDX

kk

Xk

ϕ.

Особини на математичкото очекување и дисперзијата:

1. Ако cX = , каде што c е константа, тогаш ( ) ccE = .

2. ( ) ( ) ( )YEXEYXE +=+ за секои случајни променливи X и Y .

3. ( ) ( ),XcEcXE = каде што c е константа.

4. Ако bXa ≤≤ , тогаш и ( ) bXEa ≤≤ .

5. 0)( ≥XD , 0)( =XD ако и само ако cX = , каде што c е константа.

6. ( ) ( ),2 XDccXD = ( ) ( ),XDcXD =+ каде што c е константа.

7. [ ]22 )()()( XEXEXD −= .

Бројот )(2 XDXX == σσ се нарекува стандардна девијација или средно квадратно

отстапување.

Медијана на случајната променлива X е бројот mx за кој важи ( )21

=mxF .

Мода: Ако X е дискретна случајна променлива, мода е онаа вредност на случајната

променлива која има најголема веројатност. Ако X е случајна променлива од непрекинат тип,

тогаш мода е вредноста на случајната променлива во која нејзината густина на распределба

достигнува максимум.

Бројот )( nXE дефиниран со :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∫

∑∞

∞−

променливаслучајнаанепрекинатеако,)(

променливаслучајнадискретнаеако,)(

)(

Xdxxx

Xxpx

XEX

n

kk

Xn

k

n

ϕ

17

се вика почетен момент од n‐ти ред на случајната променлива X , N∈n .

Математичкото очекување е почетен момент од прв ред.

Централен момент од n‐ти ред на случајната променлива X , N∈n е

( )( )[ ]nn XEXEs −= .

Дисперзијата е централен момент од втор ред.

11. Некои специјални видови случајни променливи

11.1 Дискретни случајни променливи

1. Бернулиева распределба (Бернулиев закон)

Случајната променлива X има Бернулиева распределба со параметар 10 << p ако:

.1

10: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− pp

X

Функцијата на распределба на случајната променлива X со Бернулиевата респределба е:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<−

≤=

1,110,1

0,0)(

xxp

xxFX

Бернулиевата случајна променлива се однесува на исходот од некој експеримент, дали ќе

биде “успешен” или “неуспешен” и веројатноста на успех е p , а веројатноста за неуспех е p−1 .

x

Fx(x)

x

px(x)

18

За математичкото очекување и дисперзија имаме:

( ) ppqXE =⋅+⋅= 10 , ( ) ( ) ( ) ( ) pqppppqXEXEXD =−=−⋅+⋅=−= 110 22222 .

2. Биномна рапределба ( )pn,B

Случајната променлива X има Биномна распределба ( )pn,B со параметри N∈n ,

10 << p ако нејзиното множество на вредности е nX ,,1,0 K=R , а соодветните веројатности

се:

( ) ( ) knkk pp

kn

kXPkpxp −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==== )1()( , nk ,...,2,1,0= .

Функција на распределба е:

( ) knkn

kX pp

kn

xF −

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ )1(

0

, 1+<≤ nxn .

Најчест модел на биномна распределба се јавува при изведување на серија од n

независни експерименти, каде што секој од нив може да се реализира позитивно (со веројатност

p ) и негативно (со веројатност pq −= 1 ). Множеството Ω содржи ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

елементарни настани во

кои има k позитивни реализации ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

е број на колку начини од n експерименти можеме да

px(x) Fx(x)

x x

19

избереме k експерименти со позитивна реализација). Случајната променлива X претставува

број на “успешни”, позитивни реализации во серија од n повторени независни експерименти.

( ) ( ) ( )∑∑∑=

−

=

−

=

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

n

k

knkn

k

knkn

k

qpknk

nkqpkn

kkkpXE000 !!

!

( )

( ) ( )∑=

−−

−−−

=n

k

knk qpknk

nnp1

1 .!!1

!1

Ако замениме 1−= ki и ја искористиме биномната формула, добиваме

( ) ( )( ) ( ) npqpnpqp

in

npqpini

nnpXE nn

i

inin

i

ini =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−−−

= −−

=

−−−

=

−− ∑∑ 11

0

11

0

1 1!1!

!1.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑=

−

=

−

=

=−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−

n

k

knkn

k

knkn

k

qpknk

nkkqpkn

kkkpkkXXE000 !!

!1111

( ) ( )( ) ( )∑

=

−−

−−−

−=n

k

knk qpknk

npnn2

22 .!!2

!11

Ако замениме 2−= ki и ја искористиме биномната формула, добиваме

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) .11

21

!2!!111

222

2

0

222

0

22

pnnqppnn

qpi

npnnqp

ininpnnXXE

n

n

i

inin

i

ini

−=+−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

−−−

−=−

−

−

=

−−−

=

−− ∑∑

Сега ( ) ( )( ) ( ) ( ) nppnnXEXXEXE +−=+−= 22 11 , па за дисперзијата добиваме

( ) ( ) ( ) ( ) npqpnnppnnXEXEXD =−+−=−= 22222 1 .

3. Поасонова распределба ( )λP

Случајната променлива X има Поасонова распределба ( )λP со параметар )0(>λ ако

нејзиното множество на вредности е K,2,1,0=XR , а законот на распределба е:

( ) ,...1,0!

)( ==== − kek

kXPxpk

kλλ

20

Соодветната функција на распределба е:

( ) 1!0

+<≤= ∑=

− nxnk

exFn

k

k

Xλλ

Поасоновата распределба претставува реален модел за многу случајни феномени како

што се: број на сообраќајни незгоди во некој период, број на телефонски повици во единица

време и слично.

Следната теорема ја дава врската помеѓу биномната и поасоновата распределба.

Теорема 5.5.1: Ако во биномната распределба ( )pn,B 0, →∞→ pn , но така што

constnp =→ λ , тогаш

λλ −− →−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛e

kpp

kn k

knk

!)1( , ,...1,0=k .

Доказ: Поаѓаме од законот на распределба на случајната променлива X , со биномна

распределба

( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−+−−

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −−

k

kknkknkk n

npp

kknnnpp

kn

xp 1!

11)1( L

( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅+−−

⋅= −knkk pnp

nknnn

k111

!1 L

( ) ( ) knk pnpn

knnk

−−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1112111

!1

L .

px(x) Fx(x)

x x

21

Бидејќи 11lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→ ni

n за секое 1,...,1 −= ki , и ( ) ep p

p=− −

→

1

01lim , тогаш

( ) ( ) ( ) ,111lim1lim1

00

λ

λλ

−−

−−

→→∞→

−

→→∞→

⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=− eppp

np

pk

nppn

kn

nppn

па следува дека

( ) λ

λ

λ −

→→∞→

= ek

xpk

k

nppn !lim

0

,

што требаше да се докаже.

Математичкото очекување и дисперзијата се:

( ) ( ) ( ) =−+=== ∑∑∑

∞

=

−∞

=

−∞

= 100 !10

! k

k

k

k

k ke

kkekkpXE λλ λλ

( ) λλλλ λλλ ==−

= −∞

=

−− ∑ ee

ke

k

k

1

1

!1.

( )( ) ( ) ( ) ( ) =−=−=− ∑∑∞

=

−∞

= 00 !111

k

k

k kekkkpkkXXE λλ

( )22

2

22

!2λλλλ λλλ ==

−= −

∞

=

−− ∑ ee

ke

k

k

.

Сега, ( ) ( )( ) ( ) λλ +=+−= 22 1 XEXXEXE , па за дисперзијата добиваме:

( ) ( ) ( ) λλλλ =−+=−= 2222 XEXEXD .

5. Геометриска распределба G ( )p

Геометриската распределба е на некој начин поврзана со биномната распределба. Низата

од n независни Бернулиеви експерименти, со веројатност на успех p , може да се моделира на

два различни начина. Распределбата на бројот на успеси k , е биномна. Времето на чекање до

првиот успешен експеримент е геометриски распределено. Множеството вредности на случајната

променлива X со геометриска распределба е K,2,1=XR , а законот на распределба е

22

( ) ,...2,1)( 1 ==== − kpqkXPxp kk ,

Соодветната функција на распределба е:

( ) 11

1 +<≤= ∑=

− nxnqpxFn

k

kX .

Сега да ги пресметаме математичкото очекување и дисперзијата.

( ) ( ) ( )

( ).1

11

1 2

111

1

1

1

1

pqp

qqp

qpqpkqpkpqkkpXEk

k

k

k

k

k

k

k

k

=−

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

′==== ∑∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

−∞

=

−∞

=

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ).1

11

121

1

1

2232

111

1

111

12

1

12

1

22

pq

qq

qqqp

qqp

qqqpqqpqqpkqqp

kqpqkpqkppqkkpkXE

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

+=

−+

=−+−

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

=

′

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

′

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′=

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

′====

∑∑∑

∑∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

−

∞

=

∞

=

∞

=

−∞

=

−∞

=

За дисперзијата добиваме

( ) ( ) ( ) .11222

22

pq

ppqXEXEXD =−

+=−=

10.2 Непрекинати случајни променливи

1. Рамномерна (униформна) распределба ( )ba,U

Случајната променлива X има рамномерна распределба на интервалот ( )ba, ако

нејзината густина на распределба е:

23

( )( )

,,,0

,,1)(

⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈−=

bax

baxabxXϕ

а нејзината функција на распределба е:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤<−−

≤

=

bx

bxaabax

ax

xFX

,1

,

,0

)(

Кај оваа распределба математичкото очекување и дисперзијата се:

( ) ( ) ( ) ( ).21

22

222

ababab

abx

abxdxXE

b

a

b

a

+=−−

=−

=−

= ∫

На сличен начин за ( )2XE добиваме:

( ) ( ) ( ) ( ).31

3322

33322 baba

abab

abx

abdxxXE

b

a

b

a

++=−−

=−

=−

= ∫

Тогаш за дисперзијата добиваме

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1212

41

31 2222222 abbabababaXEXEXD −=++−++=−=

2. Експоненцијална распределба ( )λE

x

φx(x)

a b

1

――

x

Fx(x)

1

a b

24

X е експоненцијална случајна променлива со параметар λ (λ>0), ако густината на

распределба е дадена со:

⎩⎨⎧

≤>

=−

0,00,

)(xxe

xx

X

λλϕ

и функција на распределба дадена со:

⎩⎨⎧

<≥−

=−

0 ,0 0 x,1

)(x

exF

x

X

λ

Нејзиното математичко очекување се пресметува на следниот начин:

( )

.110lim

,

0

00

0

λλλ

λλ

λ

λ

λλ

λ

λλ

=+=−−=

=+−=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

=

==

==

∞−

∞→

∞−∞−

−

−−∞

∫∫∫

x

xx

xx

x

xx

eex

dxexe

ev

dxev

dxduxu

dxexXE

За да ја најдеме дисперзијата прво го пресметуваме ( )2XE .

( )

,22lim

2

2,

22

2

00

2

2

0

22

λλ

λλ

λ

λλ

λ

λλ

=+−=

=+−=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

=

==

==

∞→

∞−∞−

−

−−∞

∫∫∫

xx

xx

x

xx

ex

dxxeex

ev

dxev

xdxduxu

dxexXE

0

λ

φx(x)

x x

1

Fx(x)

25

така што за дисперзијата се добива

( ) ( ) ( ) 22222 112

λλλ=−=−= XEXEXD .

3. Нормална (Гаусова) распределба ( )σ,mN

X е Гаусова случајна променлива ако нејзината густина на распределба е:

2

2

2)(

21)( σ

σπϕ

mx

X ex−

−= ,

а функцијата на распределба

dtedtexF

mxtx mt

X ∫∫−

∞−

−

∞−

−−

==σ

σ

πσπ22

)( 2

2

2

21

21)( ,

при што

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ=⇒=Φ ∫∞−

−

σπmxxFdtez X

z t

)(21)( 2

2

)(1)( zz Φ−=−Φ .

Функцијата )(zΦ се вика функција на грешка и нејзините вредности се читаат од таблица. Таа е

парна функција, па нејзиниот график е осно симетричен во однос на y оската.

Сега да ги

најдеме

математичкот

очекување и

дисперзијата

на Гаусовата

m mx x

1

1/2

φx(x) Fx(x)

1

――

26

случајна променлива.

( ) ( )

( )

( ) .21

221

21

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2)(

2)(

2)(

2)(

dxxmdyye

dxdymxy

dxemdxemx

dxemmxdxxeXE

X

y

mxmx

mxmx

∫∫

∫∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−

∞

∞−

−−∞

∞−

−−

∞

∞−

−−∞

∞−

−−

+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−==+−=

=+−==

ϕσπ

σπσπ

σπσπ

σ

σσ

σσ

Првиот интеграл е 0, бидејќи подинтегралната функција е непарна, а вториот е 1, што следи од

особините на густината на распределба. Така за математичкото очекување добиваме ( ) mXE = .

Понатаму

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) .21 2

2

2)(

222 dxemxmXEXEXEXDmx

∫∞

∞−

−−

−=−=−= σ

σπ

Повторно од особините на густината на распределба се добива

σπσ 22

2

2)(

=∫∞

∞−

−−

dxemx

.

Диференцирајќи го последново равенство по σ , имаме

( ) πσ

σ 22

2

2)(

3

2

=−

∫∞

∞−

−−

dxemx mx

.

Ако ги помножиме двете страни со πσ 22 , се добива

( ) 22)(

2 2

2

21 σσπ

σ =−∫∞

∞−

−−

dxemxmx

,

односно за дисперзијата добивме

( ) .2σ=XD

27

4. Закон на Рајли

Законот на Рајли зададен е со густината на распределба:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>=−

0 ,0

0,)(2

2

22

x

xexx

x

X

σ

σϕ

каде што σ е параметар.

Функцијата на распределба е: ∫−

−==x x

Xx edttxF0

2 2

2

1)()( σϕ

Математичкото очекување на случајната променлива X е ( ) σπ2

=XE .

Дисперзијата на случајната променлива X е ( ) 22 429,02

2 σσπ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=XD

5. Гама распределба

Гама‐распределбата е зададена со густината на распределба:

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

>>>Γ=

−−

0,0

0,0,0,)()(

1

x

xxex

x

Xλα

αλλ

ϕ

αλ

каде што ∫ −−=Γα

αα0

1)( dxxe x , е зададена гама функцијата, а α и λ se параметри.

Таа ги има следните особини:

1. ( ),)1( ααα Γ=+Γ 0>α ,

2. 1)1( =Γ ,

28

3. π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

21

4. !)1( nn =+Γ , N∈n .

11. Трансформација на случајна променлива

Во реалните проблеми честопати се јавува проблем за опишување на нова случајна променлива

која е добиена од претходно позната случајна променлива со некоја трансформација.

Нека е дадена функција RR →:g и нека X е случајна променлива која го пресликува

Ω во R . На секој елементарен настан ω случајната променлива X му доделува број ( )ωX , а

( )ωX со функцијата g се пресликува во ( )( )ωXg . Новото пресликување

( ) ( )( ) ,, Ω∈= ωωω XgY ќе го означиме со Y , и пократко ќе го запишуваме како ( )XgY = .

Доколку е позната распределбата на случајната променлива X и функцијата g , може да

се најде распределбата на случајната променлива Y , добиена со трансформацијата ( )XgY = .

Ако X е случајна променлива од дискретен тип со закон на распределба

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛LL

LL

n

n

xpxpxpxxx

X21

21:

тогаш и ( )XgY = ќе биде од дискретен тип. Нека ,...,...,, 21 kyyy е множеството на слики. Со

( )iyp ќе го означиме збирот од веројатностите ( )mxp за коишто важи ( )mi xgy = , односно

( ) ( )( )

∑=

=

mi xgym

mi xpyp

, ,....,...2,1 ki =

Тогаш законот на распределба на случајната променлива Y добиена со трансформацијата g од

случајната променлива X , е

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛LL

LL

k

k

ypypypyyy

Y21

21: .

29

Нека е X случајна променлива од непрекинат тип. Можни се следниве три случаи:

Функцијата g е монотоно растечка, непрекината функција

Во овој случај инверзната функција на функцијата g , е исто така монотоно растечка

функција. Функцијата на распределба на случајната променлива Y ја добиваме на следниот

начин

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )ygFygXPyXgPyYPyF XY11 −− =<=<=<= .

Врз основа на претходно добиеното, за густината на распределба имаме

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )′=′′=

′= −−−−− ygygygygFygFy XXXY

11111 ϕϕ .

Функцијата g е монотоно опаѓачка, непрекината функција

Ако g е монотоно опаѓачка функција, тогаш и 1−g е истотака монотоно опаѓачка функција,

па слично како во претходниот случај

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ),11

1111

11

ygFygXPygXP

ygXPygXPyXgPyYPyF

X

Y−−−

−−

−=<−=−=

=≤−=>=<=<=

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )′−=′′−=

′−= −−−−− ygygygygFygFy XXXY

111111 ϕϕ .

Функцијата g е непрекината функција

Ако g е непрекината, но не е монотона функција тогаш за наоѓање на нејзината густина на

распределба постапуваме на следниот начин: Ги означуваме реалните корени на ( )xgy = со

,...2,1, =kxk , односно

( ) ( ) ( ) LL ==== kxgxgxgy 21

и тогаш ( ) ( )( )∑ ′

=k k

XY xg

xy ϕϕ .

Математичкото очекување на ( )XgY = е дадено со

30

( ) ( )( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==∫

∑∞

∞−

променливаслучајнаанепрекинатеако,)(

променливаслучајнадискретнае ако,)(

Xdxxxg

Xxpxg

XgEYEX

kk

Xk

ϕ.