- 0 - 0

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Odjel za fiziku Odjel za kemiju

Sveučilišni preddiplomski studij

kemije, 2 godina

PRAKTIKUM FIZIKE

SKRIPTA IZ

LABORATORIJSKIH VJEŽBI

Pripremili: izv. prof. dr. sc. Branko Vuković

dr. sc. Maja Varga Igor Miklavčić, pred.

Osijek, prosinac 2014.

- 1 - 1

PREDGOVOR

Kemija i fizika dva su različita znanstvena polja prirodnih znanosti koje proučavaju

tvari, ali im se razlikuju pristup i opseg istraživanja. U nekim područjima kemija i fizika

toliko su isprepletene da je teško razdvojiti pojedine uloge (fizička kemija, kemijska fizika,

spektroskopija, kristalografija, nanotehnologija,…). Često se stoga radi u timovima različitih

stručnjaka kako bi jedni nadopunjavali druge. Iako se studenti kemije i fizike razlikuju u svom

načinu provoñenja studija, razmišljanju i proučavanju prirode, nema dobrog kemičara bez

poznavanja fizike kao ni dobrog fizičara bez poznavanja kemije. Često je potrebno razvijati i

dodatne vještine (matematičke, informatičke, …).

Praktikum fizike u potpunosti se izvodi na Odjelu za fiziku Sveučilišta u Osijeku i

namijenjen je studentima druge godine preddiplomskog studija kemije s Odjela za kemiju. Za

razvijanje fizikalnog pogleda na svijet neophodan je i eksperimentalni rad. U praktikumu

fizike studenti sami izvode 10 odabranih laboratorijskih vježbi, uz nadzor predavača. Vježbe

su izabrane tako da pokrivaju sva četiri, uvriježena, područja iz osnova fizike: klasične

mehanike, termodinamike, elektrodinamike te valova i optike, a čiju su teorijsku podlogu

studenti slušali na prvoj i drugoj godini preddiplomskog studija kemije.

Skripta je tijekom godina rada sa studentima više puta dorañivana i autori se

zahvaljuju svima na ispravljanju pojedinih pogrešaka u tekstu. Skripta je prije svega

namijenjena studentima kemije, ali može biti korisna i studentima ostalih srodnih studija.

- 2 - 2

PRAKTIKUM FIZIKE

Popis laboratorijskih vježbi za studente s Odjela za kemiju

Uvodni dio:

SI sustav

Zapis brojeva

Grafički prikaz rezultata mjerenja

Primjeri za vježbu

Način pisanja izvještaja

Vježba 1: 1.1. – 1.5. Osnovna mjerenja u fizici

Vježba 2: 2.1. Proučavanje helikoidalne zavojnice

2.2. Odreñivanje gustoće krutog tijela pomoću uzgona dinamometrom

2.3. Odreñivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom

Vježba 3: 3.1. Matematičko njihalo

3.2. Fizikalno njihalo

Vježba 4: 4.1. Odreñivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena

4.3. Odreñivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom

Vježba 5: 5.1. Širenje vala izmeñu dva nepomična kraja

5.2. Odreñivanje brzine zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi

Vježba 6: 6.1. Ohmov zakon

6.2 Ovisnost električnog otpora o dimenzijama vodiča i materijalu od kojeg su

načinjeni

6.3. Mjerenje otpora električnih žarulja u ovisnosti o jakosti struje

Vježba 7: 7.1. Odreñivanje specifičnog toplinskog kapaciteta petroleja

7.2. Pravilo smjese

7.3. Odreñivanje latentne topline taljenja leda

Vježba 8: 8.1. Provjeravanje jednadžbe stanja idealnog plina

8.2. Toplinsko širenje čvrstih tijela i tekućina

Vježba 9: 9.1. Odreñivanje specifičnog naboja elektrona

9.2. Balmerova serija i odreñivanje Rydbergove konstante

Vježba 10: 10.1. Odreñivanje indeksa loma stakla i vode

10.2. Odreñivanje žarišne daljine leće

10.3. Odreñivanje pomaka zraka svjetlosti na planparalelnoj ploči

10.3. Odreñivanje kuta devijacije na prizmi

- 3 - 3

Uvodni dio

MEðUNARODNI SUSTAV MJERNIH JEDINICA

Osnovne SI jedinice

Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka

Duljina metar m

Masa kilogram kg

Vrijeme sekunda s

Jakost električne struje amper (ampere) A

Termodinamička temperatura kelvin K

Količina tvari mol mol

Svjetlosna jakost kandela (candela) cd

Metar je duljina koja odgovara putu što ga prijeñe svjetlost u vakuumu za vrijeme od

1/299 792 458 s.

Prototip 1 kg je valjak visine 39 mm i promjera 39 mm, načinjen od legure platine (90 %) i

iridija (10 %), a čuva se u Meñunarodnom uredu za težine i mjere (Bureau International des

Poids et Mesures) u Sèvresu, Francuska.

Jedna sekunda je trajanje 9 192 631 770 perioda zračenja koje odgovara prijelazu izmeñu

dvaju hiperfinih nivoa (F = 4, mF = 0 i F = 3, mF = 0) osnovnog stanja atoma cezija 133

(133Cs). Period definiramo kao vrijeme potrebno da svjetlost prevali put koji odgovara jednoj

valnoj duljini.

Jedan amper je jakost stalne električne struje koja se održava u dvama paralelnim, ravnim,

beskonačno dugačkim vodičima zanemarivo malog kružnog presjeka, koji se nalaze u

vakuumu i meñusobno su razmaknuti za 1 metar, i u tim uvjetima uzrokuju meñu vodičima

silu od 2·10-7 njutna po metru duljine.

- 4 - 4

Jedan kelvin je jedinica termodinamičke temperature koja je jednaka 1/273,16 dijelu

termodinamičke temperature trojne točke vode. Trojna točka vode je ona vrijednost

temperature i tlaka kod koje voda može postojati u sva tri agregatna stanja. Jedinica je dobila

naziv po engleskom znanstveniku sir W. Thompsonu, Lord Kelvin (1824.-1907.).

Mol je količina tvari onog sustava koji sadrži toliko elementarnih jedinki tvari koliko ima

atoma u 0,012 kg izotopa ugljika 12 (12C). Elementarne jedinke uvijek moraju biti

specificirane i mogu biti atomi, molekule, ioni, elektroni, neke druge čestice ili odreñene

grupe čestica. U jednom molu (0,012 kg) izotopa ugljika 12 ima 6,022045×1023 atoma

(Avogadrov broj).

Kandela je svjetlosna jakost, u danom smjeru, koju emitira izvor monokromatskog zračenja

frekvencije 540×1012 Hz i čiji intenzitet zračenja u tom smjeru iznosi 1/683 vati po

steradijanu.

Dopunske SI jedinice

Fizička veličina Naziv Oznaka Definicija

Kut radijan rad m m-1 def?

Prostorni kut steradijan sr m2 m-2

- 5 - 5

Izvedene SI jedinice s posebnim imenom

Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Definicija

Frekvencija herc (hertz) Hz s-1

Sila njutn (newton) N m kg s-2

Tlak paskal (pascal) Pa N m-2

Energija džul (joule) J N m

Snaga vat (watt) W J s-1

Količina elektriciteta kulon (coulomb) C s A

Električni napon volt V W A-1

Električni kapacitet farad F C V-1

Električni otpor om (ohm) Ω V A-1

Električna vodljivost simens (siemens) S A V-1

Magnetski tok veber (weber) Wb V s

Magnetska indukcija tesla T Wb m-2

Induktivnost henri (henry) H Wb A-1

Celsiusova temperatura stupanj Celsiusov °C K

Svjetlosni tok lumen lm cd sr

Osvijetljenost luks (lux) lx lm m-2

Aktivnost radionuklida bekerel (bequerel) Bq s-1

Apsorpcijska doza grej (gray) Gy J kg-1

Dozni ekvivalent sievert Sv J kg-1

- 6 - 6

Izvedene SI jedinice

Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka

Površina kvadratni metar m2

Volumen kubični metar m3

Brzina metar u sekundi m s-1

Ubrzanje metar u sekundi na kvadrat m s-2

Gustoća kilogram po kubičnom metru kg m-3

Specifični volumen kubični metar po kilogramu m3 kg-1

Gustoća struje amper po kvadratnom metru A m-2

Jakost magnetskog polja amper po metru A m-1

Koncentracija mol po kubičnom metru mol m-3

Luminancija kandela po kvadratnom metru cd m-2

Dinamička viskoznost paskal sekunda Pa s

Moment sile njutn metar N m

Površinska napetost njutn po metru N m-1

Gustoća toplinskog toka vat po kvadratnom metru W m-2

Toplinski kapacitet džul po kelvinu J K-1

Specifčni toplinski kapacitet džul po kilogramu i kelvinu J kg-1 K-1

Jakost električnog polja volt po metru V m-1

Molarna energija džul po molu J mol-1

Molarni toplinski kapacitet džul po molu i kelvinu J mol-1 K-1

Apsorbirana doza zračenja grej po sekundi Gy s-1

Kutna brzina radijan po sekundi rad s-1

Kutna akceleracija radijan po sekundi na kvadrat rad s-2

- 7 - 7

Dopuštene jedinice izvan SI

Fizička veličina Naziv jedinice Oznaka Definicija

Duljina morska milja - 1852 m

Masa karat - 0,0002 kg

tona t 1000 kg

Volumen litra l, L 1,000028 dm3

Vrijeme sat h 3 600 s

minuta min 60 s

Brzina čvor - milja h-1

Tlak bar bar 100 000 Pa

Energija elektronvolt eV 1,60×10-19 J

Prefiksi SI jedinica

Faktor Prefiks Oznaka Faktor Prefiks Oznaka

1018 eksa E 10-1 deci d

1015 peta P 10-2 centi c

1012 tera T 10-3 mili m

109 giga G 10-6 mikro µ

106 mega M 10-9 nano n

103 kilo k 10-12 piko p

102 hekto h 10-15 femto f

10 deka da 10-18 ato a

- 8 - 8

ZAPIS BROJEVA

Ispis brojeva je obično jednostavan postupak, no u fizici nailazimo na brojeve koji su

toliko mali ili pak toliko veliki da to često postaje nezgodno pisati. Npr. bilo bi potrebno

zbrojiti mase oko 1 000 000 000 000 000 000 000 bakterija da bismo dobili masu čovjeka. U

vrijeme kad je fizičar Thomas Young otkrio da je svjetlost val, nije bilo znanstvene notacije,

tako da je morao pisati da je vrijeme potrebno za jednu vibraciju vala 1/500 milijuntog dijela

od milijuntog dijela sekunde. Znanstveni zapis brojeva je praktičan i uobičajen način

zapisivanja vrlo velikih i vrlo malih brojeva.

Znanstveni zapis podrazumijeva pisanje broja u obliku umnoška broja i neke potencije

broja 10. npr.

1

2

3

32 3,2 10

320 3,2 10

3200 3,2 10 ...

= ⋅= ⋅

= ⋅

Broj 1 zapisuje se kao 010 , 0,1 kao 110− itd. Negativni eksponenti koriste se za male brojeve:

0

1

2

3,2 3,2 10

0,32 3,2 10

0,032 3,2 10 ...

−

−

= ⋅= ⋅

= ⋅

Većina računala i kalkulatora ispisat će brojeve kako slijedi:

31

16

9,11E 31 9,11 10

3,2E16 3,2 10

−− = ⋅= ⋅

Broj ispred E naziva se mantisa, a broj iza E potencija.

Pouzdane znamenke

Teorija pouzdanih (sigurnih, signifikantnih) znamenki bavi se pouzdanošću znamenki

brojeva koje bilježimo. Ako smo mjerenjem ustanovili da je visina neke osobe 175 cm, to

znači da smo sigurni za 1 i 7 te da 5 bolje odgovara nego 4 ili 6; dakle, sve tri su pouzdane

znamenke. Pouzdana znamenka predstavlja broj čiji iznos je potvrñen pouzdanim mjerenjem.

- 9 - 9

Broj pouzdanih znamenki zabilježen mjerenjem ovisi djelomice o mjernom ureñaju, a

djelomice o tome što mjerimo. Ako objekt kojeg mjerimo nema dobro definirane krajeve, tada

mjerenje može samo po sebi biti nepouzdanije od najmanjeg podjeljka mjernog instrumenta.

Primjer za ovo je mjerenje duljine podlaktice. Sličan problem susrećemo npr. kad pomičnom

mjerkom odreñujemo dimenzije predmeta čiji se rubovi pod pritiskom lako deformiraju, ili

kad zadnja znamenka na nekom digitalnom mjernom instrumentu stalno oscilira. Sve su to

slučajevi kad treba pažljivo ocijeniti pouzdanost mjerenja, te u skladu s time odrediti kako

ćemo bilježiti očitanje.

Ako mjerimo s pouzdanošću do na centimetar (metar koji ima najmanje podjeljke u

centimetrima), ne smijemo zabilježiti mjerni rezultat kao 35,12 cm jer bi to značilo da je

mjerenje pouzdano do na stotinku centimetra. Zato moramo rezultat zabilježiti kao 35,1 cm

pri čemu smo 0,1 cm procijenili. Svako mjerenje koje obavljamo mora imati prikladan broj

pouzdanih znamenki. Nema smisla bilježiti mnogo znamenki koje nisu pouzdane.

Upute za računanje:

Nakon izvršenog mjerenja moramo izračunati traženu veličinu. Numerički računamo

ili pomoću logaritamskih tablica ili računalom (kalkulatorom). Pri obradi rezultata mjerenja

uvijek se radi o brojevima ograničene točnosti. Ako je neki broj zadan, npr. na tri decimale,

kažemo da je njegova netočnost 3110

2−⋅ , ako je to broj sa četiri decimale, netočnost je

4110

2−⋅ . U prvom slučaju uzima se kao netočnost 31

102

−⋅ zbog toga što najveća pogreška koja

se pri skraćenom pisanju brojeva može dogoditi iznosi pet jedinica sljedećeg mjesta. To znači

da za broj sa 3 decimale najveća pogreška iznosi 45 10−⋅ , odnosno 3110

2−⋅ .

Uzmimo, na primjer, da treba pomnožiti broj 9,3426 brojem 34,1. Već sam način

pisanja tih brojeva upućuje nas da je u prvom broju procijenjena peta znamenka (ali svih pet

znamenki su pouzdane), a u drugom broju treća. Prema tome, nema nikakvog smisla

izračunavati umnožak na više od tri pouzdane znamenke jer drugi broj ima tri pouzdane

znamenke (u krajnjem rezultatu se uvijek uzima broj pouzdanih znamenaka koje ima broj s

manjim brojem pouzdanih znamenaka). Već u toku računanja zanemarit ćemo četvrtu

znamenku i rezultat izraziti ovako:

3191,343426,9 =⋅

- 10 - 10

Ali ne ovako:

58266,3181,343426,9 =⋅

Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija gore navedeni postupak

traženja pouzdanih znamenaka primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili

preveliku grešku zaokruživanja.

Upamtimo, dakle, da je posljednja znamenka u brojevima koji su dobiveni mjerenjem

uvijek procijenjena. Prema tome, pri izražavanju rezultata mjerenja potrebno je da

pretposljednja znamenka bude očitana, a posljednja znamenka procijenjena. Tako, npr. pri

očitavanju skale nekog instrumenta pretposljednja znamenka dana je crticom skale, a

posljednja vrijednošću koju ocjenjujemo. Uzmimo, na primjer da je skala nekog termometra

razdijeljena na 0,1 ºC, pa očitamo temperaturu 12,65 ºC; to znači da smo na skali očitali 12,6

crtica, a razmak izmeñu 12,6 ºC i 12,7 ºC procijenili na 0,05 ºC. Ako bi se stupac žive u

termometru podudarao sa 12,6 crtica skale, ne bismo ga izrazili kao 12,6 ºC, nego kao

12,60 ºC, jer bi u prvom slučaju značilo da je skala podijeljena na cjelobrojne stupnjeve, a ne

na 0,1 ºC. Analogno, nema smisla rezultat izraziti kao 12,600 ºC, jer bi to značilo da je skala

podijeljena na 0,01 ºC.

Pri računanju s brojevima različitih redova veličina izražavamo te brojeve pomoću

potencija broja 10. Iskustvo, naime, pokazuje da su tada individualne pogreške pri računanju

manje. Prema tome, piše se ovako:

.10752,1

10372,11085,3

2,175

72,1300385,02

13

⋅⋅⋅⋅=⋅ −

Da bismo izbjegli pogreške pri računanju, moramo usvojiti neke metode kontrole. Bitne

su ovdje dvije metode:

1. u svakom računu treba provjeriti, računajući napamet, odgovara li red veličine

rezultatu

2. račun provesti još jednom na drugi način.

U navedenom primjeru takva su dva načina da se jednom pomnože oba faktora brojnika i

produkt podijeli nazivnikom i kvocijent pomnoži drugim faktorom.

- 11 - 11

GRAFIČKO PRIKAZIVANJE

REZULTATA MJERENJA

Grafičko prikazivanje vrlo je važan način prikazivanja rezultata mjerenja. Kako je cilj

mnogih pokusa pronalaženje ovisnosti meñu mjerenim veličinama, iz grafa se to zorno može

vidjeti. No može nam poslužiti i kao provjera uspješnosti mjerenja ako nam je odnos izmeñu

veličina poznat. Pretpostavimo da smo u našem pokusu mijenjali neku fizikalnu veličinu x i

time uzrokovali promjenu druge, o njoj zavisne, fizikalne veličine y, te time dobili niz parova

točaka (xi, yi). Te parove točaka zatim u pogodnom mjerilu ucrtavamo u koordinatni sustav,

ali pri tome treba slijediti slijedeće upute:

1. Nacrtati graf na milimetarskom papiru dovoljne veličine, kako točke ne bi bile suviše

sabijene jedna uz drugu. Naime, iz sabijenog grafa možda neće biti sasvim uočljiv

karakter ovisnosti izmjerenih veličina.

2. Uz graf se treba nalaziti vrlo kratki opis (nekoliko riječi), u kojem će biti naznačeno o

kojim se veličinama radi, te eventualno podaci o ostalim parametrima i uvjetima

vezanim za ucrtanu seriju mjerenja.

3. Nezavisna varijabla (veličina koju vršitelj pokusa može neposredno podešavati po

svojoj volji i koju preciznije mjerimo) ucrtava se duž osi apscise (x – osi), a zavisna

(ona koja se tijekom pokusa mijenja uslijed promjena nezavisne varijable) ucrtava se

duž osi ordinate (y – osi).

4. Uz krajeve svake osi označiti veličinu koja joj je pridružena, te jedinice u kojima je os

baždarena u uglatim zagradama (na primjer t [s] je vrijeme u sekundama). Ako smo os

baždarili u jedinicama koje su decimalni dijelovi ili dekadski višekratnici dotične

veličine, to takoñer treba naznačiti (na primjer B [10-5T] ). Veličine moraju obavezno

biti naznačene u jedinicama meñunarodnog sustava (SI), pri čemu je dovoljno koristiti

prefikse (na primjer cm, hPa, ...).

5. Svaku os baždariti tako da nakon ucrtavanja točaka ne ostane previše praznog prostora

ni u jednom smjeru. Svaku os treba početi od 0 ukoliko je to moguće, to jest ukoliko

najmanja vrijednost na nekoj osi nije puno veća od raspona izmeñu najmanje i najveće

vrijednosti.

6. Ucrtati pravac (ili glatku krivulju) koja najbolje odgovara eksperimentalnim točkama,

naznačivši parametre ovisnosti dobivene računom. Kada crtamo graf neće sve točke

ležati na krivulji, i zbog toga krivulju povlačimo nizom točaka tako da podjednaki broj

točaka bude ispod i iznad krivulje. Čak i kada graf treba biti pravac, sve točke neće

ležati na njemu, zbog neizbježnih pogrešaka u eksperimentalnom mjerenju.

- 12 - 12

7. Dijelovi skale na obje osi ne moraju biti jednaki, ali dijelovi skale na jednoj osi

moraju. Skala mora biti takva da na jediničnoj mjeri mjerene veličine odgovara

višekratnik broja 1, 2, ... milimetara na grafu.

8. Mjerene podatke unosimo tako da točkom označimo položaj u koordinatnom sustavu,

te oko svake nacrtamo kružić. Kada krivulja prolazi kroz točke dobivene mjerenjem,

oznake tih točaka moraju biti jasno vidljive jer se po njima eksperimentalna krivulja

razlikuje od teorijske.

9. Eksperimentalne podatke upisujemo u tablicu.

Prednost grafičkog prikazivanja očituje se i u tome što se interpolacijom ili

ekstrapolacijom mogu dobiti vrijednosti veličine y i za one vrijednosti x koje nisu izmjerene.

No, dok interpolacija (točka izmeñu dviju mjerenih točaka) u pravilu daje ispravne

vrijednosti, kod ekstrapolacije (protezanje grafa izvan područja mjerenih točaka) treba biti

oprezan, jer uvijek postoji mogućnost da promatrana fizikalna pojava počinje odstupati od

uočenoga ponašanja.

Analiza linearnog grafa:

Ako je iz grafa očito da postoji linearna ovisnost y = ax + b, zanimaju nas tada

parametri a (koeficijent smjera pravca) i b (odsječak na osi ordinate). Za odreñivanje tih

parametara moguće je primijeniti grafički postupak ili metodu najmanjih kvadrata.

Grafi čki postupak:

Prozirnim ravnalom povučemo odoka pravac koji najbolje prolazi kroz mjerene točke.

Odredimo nagib tog pravca a i odsječak na ordinati b. Zatim povučemo ispod i iznad još dva

pravca koji su u „razumnu“ slaganju s mjerenim točkama. Na taj način procijenimo pogrešku

parametara a i b. Takav je postupak podložan subjektivnoj procjeni, pa je uvijek poželjno

primijeniti strožu matematičku metodu.

Napomenimo da kod nagiba pravca treba razlikovati geometrijski od fizikalnog.

Geometrijski nagib jednak je tangensu kuta izmeñu tog pravca i osi x, i to je broj. Fizikalni

nagib je omjer ∆y i ∆x, to jest omjer prirasta veličina nanesenih na osima, pri čemu se

koristimo skalom i jedinicama kako su odabrane na osima. Veličina koju odreñujemo iz

nagiba pravca ima jedinicu koja je jednaka omjeru jedinica veličina na osima.

- 13 - 13

Metoda najmanjih kvadrata:

Metoda najmanjih kvadrata je matematička metoda pomoću koje možemo zadanu

funkciju aproksimirati drugom funkcijom odreñenog tipa globalno, tako da u odreñenom

smislu njihova meñusobna udaljenost bude što manja, bez obzira na to što se funkcije možda

neće poklapati niti u jednoj točki.

Pretpostavimo da u mjerenom postupku dobijemo parove izmjerenih veličina (xi, yi)

tako da samo mijenjamo i bilježimo xi čime neizravno mijenjamo i vrijednosti yi. Ako izmeñu

veličina postoji linearna ovisnost y = ax + b, tada bi n parova vrijednosti (xi, yi), koje se

ucrtavaju u koordinatni sustav, približno trebale ležati na pravcu čiju smo jednadžbu naveli.

Pretpostavimo da izmeñu promatranih veličina postoji linearna ovisnost i da su sva

odstupanja od pravca slučajne prirode.

Nepoznate parametre pravca, a i b, možemo izračunati zahtijevajući da donja suma

ima minimum.

( ) ( ) 2

1

,n

i ii

S k l y kx l=

= − + ∑

To se dogaña ako su njezine parcijalne derivacije po oba parametra jednake 0 (nužan uvjet):

( ),0

S k l

k

∂=

∂,

( ),0

S k l

l

∂=

∂

- 14 - 14

Uz te uvjete dobivamo sustav od dviju jednadžbi s dvije nepoznanice:

( )

( )1

1

2

1 1 1

1 1

2 0

2 0

______________________

0

0

n

i i ii

n

i ii

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

y kx l x

y kx l

y x k x l x

y k x nl

=

=

= = =

= =

− − + ⋅ =

− − + =

− − =

− − =

∑

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

,

koje daju izraze za najvjerojatnije vrijednosti koeficijenata a i b:

1 1 12 _

2 22

1 1

2

1 1 1 1 1 12

2

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n n n n n n

i i i i i i ii i i i i i

n n

i ii i

n x y x yxy x y

k

x xn x x

x y x x y y a xl y ax

nn x x

= = =

= =

= = = = = =

= =

−− ⋅= =

−−

− − −= = = −

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

Napomena: Prije računanja pravca treba u grafu provjeriti ima li smisla linearna

regresija i jesu li su podaci podjednako raspršeni. Rezultate sumiranja ne smije se zaokružiti

jer pogreške zaokruživanja bitno utječu na razliku velikih sličnih brojeva.

Važno je napomenuti da su oznake k i l za koeficijent smjera pravca i odsječak na osi

apscisi proizvoljno odabrane te da se u literaturi mogu naći i drugačije oznake (a i b ili a1 i a0

itd.).

Nelinearni zakoni:

Nakon što se mjerene točke unesu u graf, lako se uočava linearna ovisnost ako ona

postoji. No, ako opazimo da veličina y nema linearnu ovisnost o x, moramo pokušati odrediti

u kojoj je nelinearnoj ovisnosti riječ.

Ako na osnovu poznavanja sličnih fizikalnih zakona očekujemo neku odreñenu

nelinearnu ovisnost, onda uvoñenjem pomoćnih varijabli pokušamo mjerenu fizikalnu

veličinu prikazati u linearnom grafu. U slučaju kada ne želimo nasumce isprobavati razne

supstitucijske varijable, možemo iskoristiti pravilo logaritmiranja:

- 15 - 15

Logaritamsko – logaritamski grafovi

Ako je funkcionalna ovisnost oblika y = kxl, logaritmiranjem dobivamo linearnu

ovisnost izmeñu log x i log y: log y = log k + l log x. Prikazivanje u log – log grafu posebno je

korisno kada nepoznati eksponent b nije cijeli broj, pa ga supstitucijom nije lako pogoditi. U

log – log grafu, l jednostavno odreñujemo kao koeficijent nagiba pravca koristeći se prije

opisanim metodama.

Logaritamsko - linearni grafovi

Uz navedene nelinearne zakone u kojima fizikalnu veličinu potenciramo nekim

brojem, u fizici se javljaju i bitno drugačiji nelinearni zakoni. Ako u log – log grafu ne

dobijemo pravac, možemo provjeriti takoñer čestu nelinearnu ovisnost, u kojoj se veličina x

javlja kao eksponent.

Ako je funkcionalna ovisnost oblika y = kelx, logaritmiranjem dobivamo linearni

odnos varijabli x i log y: log y = log k + xl log e. Ako sada na apscisi nanosimo varijablu x, a

na ordinati varijablu log y, nagib pravca dat će nam vrijednost za l log k, a odsječak na

ordinati daje log k.

Eksperimentalni podaci upisuju se u tablicu:

t [s] s [m] 1,3 0,7 1,6 1,1 2,3 1,2 2,7 1,5 3,2 2,2 4,0 2,9

Pretpostavljena ovisnost puta (s; os y) o vremenu (t; os x) je s=v·t. Linearnom regresijom iz navedenih se podataka dobiva

( ) 1ms 11,062,0 −±=v .

s-t graf

0

1

2

3

0 1 2 3 4 t [s]

s [m]

Slika 1: Prikaz zapisa mjerenih veličina, grafa i zapisa konačnog rezultata

- 16 - 16

PRIMJER ZA VJEŽBU: Za kuglicu koja se giba niz kosinu treba naći akceleraciju iz odnosa izmeñu puta s i

vremena t. Mjerni podaci dani su u tablici. Treba odrediti aritmetičku sredinu i procijeniti

maksimalnu relativnu pogrešku uz pretpostavku da je put mjeren pomoću ravnala s

milimetarskom skalom, a vrijeme je mjereno zapornim satom s točnošću od stotinke sekunde.

Takoñer, treba odrediti akceleraciju pomoću metode najmanjih kvadrata.

Tablica:

s t mjerenje

jedinica cm s

1. 12,00 1,00

2. 55,00 2,00

3. 120,00 3,00

4. 200,00 4,00

5. 240,00 4,50

6. 300,00 5,00

Rješenje:

s t a mjerenje

jedinica cm s cm s-2

1. 12,00 1,00 24,0

2. 55,00 2,00 27,5

3. 120,00 3,00 26,7

4. 200,00 4,00 25,0

5. 240,00 4,50 23,7

6. 300,00 5,00 24,0

Aritmeti čka sredina:

Treći stupac u gornjoj tablici predstavlja izračunatu akceleraciju za svaki izmjereni par

put – vrijeme, a izračunata je po formuli 2

2sa

t= . Aritmetičku sredinu dobijemo tako da

zbrojimo sve dobivene vrijednosti i podijelimo s brojem mjerenja (u našem slučaju, broj

mjerenja je 6).

- 17 - 17

6

-2 -21 24,00 27,50 26,67 25,00 23,70 24,00cm s 25,15cm s

6 6

ii

aa = + + + + += = =∑

Maksimalna relativna pogreška:

Pogrešku ćemo procijeniti na način koji je opisan u knjizi Vježbe iz fizike, str. 21.

Kako smo put mjerili ravnalom s milimetarskom skalom, desetinku milimetra mogli smo

samo procijeniti, što znači da je najveća moguća relativna pogreška za put 0,05 cm. Slično,

najveća moguća pogreška u odreñivanju vremena je tada 0,0005t∆ = s.

Maksimalnu relativnu pogrešku akceleracije sada računamo:

2

2

( )2( )

s tr

s t

∆ ∆= +

Kako je 2( ) 2t t t∆ = ∆ , vrijedi

22( )

s tr

s t

∆ ∆= +

Kako naša mjerenja nisu provedena svaki puta u istim uvjetima (tj. putovi koje je tijelo

prelazilo promatrani su za različita vremena), ne možemo računati ukupnu pogrešku

akceleracije, nego samo pogrešku akceleracije za svaki pojedini par podataka.

Tako će za par podataka (s = 12,00 cm, t = 1,00 s) relativna maksimalna pogreška biti

0,005cm 2 0,0005s2( ) 0,00283

12cm 1sr

⋅= + = .

Za sljedeći par podataka (s = 55,00 cm, t = 2,00 s) vrijedit će

0,005cm 2 0,0005s2( ) 0,00182

55cm 2sr

⋅= + =

i tako dalje.

- 18 - 18

Metoda najmanjih kvadrata:

Metodu najmanjih kvadrata primjenjujemo ukoliko je veza izmeñu zavisne i nezavisne

varijable linearna. U našem slučaju vrijedi 21

2s at= . Ukoliko 2t shvatimo kao nezavisnu, a s

kao zavisnu varijablu, njihova će veza biti linearna, a koeficijent smjera pravce (k) bit će dan s

1

2k a= .

Koeficijent smjera pravca računamo po formuli:

22

xy x yk

x x

− ⋅=−

U našem slučaju, varijablu x predstavlja kvadrat vremena (2t ), a varijablu y put (s), pa vrijedi:

2 2

22 2 2( ) ( )

t s t sk

t t

⋅ − ⋅=−

Tablica:

s t 2t 2s t⋅ 2 2( )t mjerenje jedinica cm s s2 cm s2 s4

1. 12,00 1,00 1,00 12,00 1,00

2. 55,00 2,00 4,00 220,00 16,00

3. 120,00 3,00 9,00 1080,00 81,00

4. 200,00 4,00 16,00 3200,00 256,00

5. 240,00 4,50 20,25 4860,00 410,06

6. 300,00 5,00 25,00 7500,00 625,00

- 19 - 19

2 2 212,00 220,00 1080,00 3200,00 4860,00 7500,00cm s 2812,00cm s

6t s

+ + + + +⋅ = =

2 2 21,00 4,00 9,00 16,00 20,25 25,00s 12,54s

6t

+ + + + += =

12,00 55,00 120,00 200,00 240,00 300,00cm 154,50cm

6s

+ + + + += =

2 2 4 41,00 16,00 81,00 256,00 410,06 625,00( ) s 231,51s

6t

+ + + + += =

22 4 4( ) 12,54 12,54s 157,29st = ⋅ =

-2 -22812,00 (12,54 154,40)cm s 11,78cm s

231,51 157,29k

− ⋅= =−

Kako je 1

2k a= , vrijedi da je -2 -22 2 11,78cm s 23,56cm sa k= = ⋅ = .

Možemo za vježbu izračunati i l (odsječak na osi apscisi): l y k x= − tj., u našem slučaju:

2 154,50cm 11,78 12,54cm 6,78cml s k t= − ⋅ = − ⋅ =

Dakle, jednadžba pravca glasi:

-211,78cm s 6,78cmy x= +

- 20 - 20

Pisanje izvještaja:

Izvještaji laboratorijskih vježbi se pišu u radnu bilježnicu, a predaju se na ocjenjivanje prije

izvoñenja naredne vježbe u dogovoreno vrijeme s odgovarajućom naslovnom stranicom.