Universidade Federal de Rio de Janeiro Instituto de Matematica

Calculo 4EXERCICIOS PARA PROVA 2Prof. Marianty Ionel

Material dos livros Boyce& diPrima para Prova 2:

Capitulo 6 (Boyce): Sec. 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6: A transformada de Laplace:definicao, propriedades; solucoes de problemas de valores iniciais, funcao degrau, euqcoesdiferenciais com forcamentos discontinuos, funcao de Dirac; transformada de Laplace in-versa; a convolucao de duas funcoes.

Capitulo 2 (Boyce): Sec. 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8: Seriesde Fourier; formulas de Euler-Fourier para os coeficientes da serie de Fourier; teorema deconvergencia de Fourier, estensao par e impar de uma funcao; series de senos e cosenosde uma funcao; o metodo de separacao de variaveis para resolver a equacao de calor, aequacao da onda e a equacao de Laplace.

Questao 1: Mostre que o problema de autovalores y + y = 0, y(0) = y(L) = 0 temsolucoes nao-zero so para > 0. Nesse caso, determine as solucoes fundamentais daequacao (i.e. as autofuncoes).

Questao 2: Suponha que a trasformada Laplace F (s) = L{f(t)} existe para s > a 0.Mostre que, se c e uma constante positiva, entao

L{f(ct)} = 1cF(sa

), s > ca

Questao 3: Encontre a transformada de Laplace das seguintes funcoes:(a) f(t) = t sin(at)(b) f(t) = teat

(c) f(t) = cosh(4t)(d)

f(x) =

0, pi x < pi

2

1, pi2 x < pi

2

0, pi2 x < pi

Questao 4: Encontre a trasformada de Laplace inversa das funcoes:(a) F (s) = 2e

2ss24

(b) F (s) = 1(s+1)2(s2+4)

1

Questao 5: Use a definicao da transformada Laplce para demostrar que:

L{uc(t)} = ecs

s, s > 0

onde uc(t) denota a funcao degrau unitario.

Questao 6: Define a funcao de Dirac e calcule a sua transformada de Laplace.

Questao 7: Encontre a solucao das seguintes problemas de valor inicial:(a)

y + 2y + 3y = sin t+ (t 3pi), y(0) = 0, y(0) = 0(b)

y + y ={

t2, 0 t < 6

3, t 6 , y(0) = 0, y(0) = 1

Questao 8: Encontre a serie de Fourie da seguinte funcao estendida periodicamente, forado interval original:

f(x) =

{0, 1 x < 0x2, 0 x < 1

Encontre os pontos onde a serie de Fourier de f(x) converge para f(x).

Questao 9:Encontre a serie em senos da extensao impar da funcao f(x) = 2 x2, x (0, 2),estendida por periodicidade, de periodo 4; esboce a extencao de f(x) por imparidade eperiodocidade, no intervalo [6, 6].Questao 10:Encontre a serie em cosenos da extensao par da funcao f(x) = x2 2x, x (0, 4),estendida por periodicidade, de periodo 8; esboce a estencao de f(x) por paridade eperiodocidade, no intervalo [16, 16].Questao 11: Usando o metodo de separacoes das variaveis, resolve o problema deconducao de calor em uma barra de comprimento 1 metro e difusivitate termica = 1,com extremidades isoladas:

uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0

ux(0, t) = 0, ux(1, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = x, 0 < x < 1

Questao 12: Considere uma corda elastica de comprimento L cujas extremidades saomantidas fixas. A corda e colocada em movimento a partir da sua posicao de equilbrio

com velocidade inicial ut(x, 0) =8x(Lx)2

L3. Encontre o deslocamento u(x, t).

2

Questao 13: Vamos encontrar uma solucao u(x, y) da equacao de Laplace u = 0 norectangulo 0 < x < a, 0 < y < b, que satisfaz as condicoes de contorno:

ux(0, y) = 0, ux(a, y) = f(y), 0 < y < b

uy(x, 0) = 0, uy(x, b) = 0, 0 < x < a

onde f e uma funcao com a propriedade que b0f(y)dy = 0. Esse e um exemplo de um

problema de Neumann.(a) Mostre que a equacao de Laplace e as condicoes de contorno homogeneas determinamo conjunto fundamental de solucoes

u0(x, y) = c0, un(x, y) = cn cosh(npix

a

)cosh

(npiyb

), n = 1, 2, 3, . . .

(b) Atraves da superposicao das solucoes fundamentais do item (a), determine, formal-mente, uma funcao u(x, t) que satisfaz tambem a condicao de contorno nao-homogeneaux(a, y) = f(y). Note que o termo c0 permanece arbitrario e portanto a solucao e de-terminada a menos uma constante aditiva c0. Explique porque precisamos a condicao b0f(y)dy = 0.

3