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matemática discreta
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CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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CÁLCULO PROPOSICIONAL
1. PROPOSIÇÕES
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas não ambas. As
proposições podem ser divididas em proposições simples e compostas.
1.1. Proposições simples
a) Pedro é aluno do Curso de Informática.
b) A terra gira em torno do sol.
c) O leite é branco.
d) 7 é quadrado perfeito.
1.2. Proposições compostas
e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a América.
f) Bruno cursa Informática e Mariel Estatística.
g) O triângulo ABC é isóscele ou retângulo.
h) Se Pedro é estudioso, então será aprovado.
i) ABC é triângulo equilátero se, e somente se, é que iângulo.
1.3. Princípio da não contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
São verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d).
1.4. Princípio do terceiro excluído.
Toda proposição ou é verdadeira ou falsa. Sempre ocorrem esses casos e nunca um terceiro.
2. OPERAÇÕES LÓGICAS
O cálculo das proposições consiste nas operações fundamentais que partem de proposições
simples para se chegar às proposições compostas. As operações que podem ser efetuadas são:
A negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional.
2.1. Conectivos
O Cálculo das proposições destaca cinco operadores lógicos, a saber:
...não...(denota-se “ ”)
... e... (denota-se “ ”)
...ou...(denota-se “ ”)
...se,... então... (denota-se “ ”)
...se, e somente se ... (denota-se “ ”)
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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O primeiro operador “ ” é dito unário, pelo fato de operar sobre um só operando, os demais são
operadores binários, já que operam sobre dois operandos.
2.2. Negação ( )
É a mais simples operação-verdade. Se a proposição A é verdadeira, então A é falsa, se A é
falsa, então A é verdadeira.
A: 2/3 é um número racional. (verdade)
A: 2/3 não é um número racional. (falso) ou
A: 2/3 é um número irracional. (falso)
Tabela verdade para a negação
2.3. Conjunção ( )
Essa operação verdade corresponde ao termo “e” e seu símbolo é “ ”. Por meio da conjunção é
possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será verdadeira
somente quando A e B forem verdadeiras.
A: Recife é a capital de Pernambuco.
B: Manaus é a capital do Amazonas.
A B: Recife é a capital de Pernambuco e Manaus é a capital do Amazonas.
A B A B A B A B
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V F 0 1 0
F F F 0 0 0
Exemplo 1:
Verifique se a composta é verdadeira ou falsa.
a) José de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V V = V)
b) 5+2=7 e 3> 5. ( V F = F )
c) > 4 e 7 é número primo. ( F V = F )
d) > 4 e 8 é número ímpar. ( F F = F )
A A A A
V F 1 0
F V 0 1
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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2.4. Disjunção ( )
Essa operação verdade corresponde ao termo “ou” e seu símbolo é “ ”. Por meio da disjunção é
possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será falsa somente
quando A e B forem falsas.
A: Recife é a capital de Pernambuco.
B: Manaus é a capital do Amazonas.
A B: Recife é a capital de Pernambuco ou Manaus é a capital do Amazonas.
A B A B A B A B
V V V 1 1 1
V F V 1 0 1
F V V 0 1 1
F F F 0 0 0
Exemplo 2:
Verifique se a composta é verdadeira ou falsa.
a) 2+2=4 ou 5>3 ( V V = V)
b) 4 ou 7 é número primo. ( F V =V)
c) 4 ou 8 é número primo. ( F F =F )
2.5. Condicional ( )
Essa operação verdade corresponde ao termo “...se,... então...”. Por meio da condicional é
possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será falsa somente
quando A for V e B for falsa.
Se chover, então irei ao cinema.
Se estudar, então serei aprovado.
Seja A: estudar
B: serei aprovado
A partir de duas proposições A e B, construímos uma nova proposição.
A B (lê-se, se A, então B) ou A implica B.
A tabela verdade é dada por:
A B A B A B A B
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V V 0 1 1
F F V 0 0 1
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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Observação 01:
Da teoria dos conjuntos sabemos que A B B ou A B A , assim, se x A B ,
então ,x B isto é, sempre é verdade que se x está em A B , então x está em .B Logo, na
tabela A B B é sempre verdadeira.
A B A B A B B
V V V V V V
V F F F V F
F V F F V V
F F F F V F
Observando as três últimas colunas podemos escrever:
V V = V
F F = V
F V = V
Observação 02:
Uma proposição A B é sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F), independente do
valor de B.
Exemplo 3:
Verifique se a composta é verdadeira ou falsa.
1) Se 2 + 2 =5, então 1 1. (verdade)
2) Se 2 + 2 =5, então 1 = 1. (verdade)
3) Se o Papa joga no Corinthians, então o Palmeiras será campeão. (verdade)
4) Se o Papa joga no Corinthians, então todos os alunos de Matemática Discreta serão
aprovados. (verdade)
Observação 03:
As proposições no Exemplo 03 são trivialmente verdadeiras pois, sendo a hipótese falsa, como
em, A : 2 + 2 = 5 ou A: O Papa joga no Corinthians, então a composta é verdadeira.
2.6. Bicondicional ( )
Para definirmos a tabela verdade da bicondicional escrevemos:
“A se, e somente se, B ”e é definida por (A B) ( B A)
A B A B B A (A B) ( B A)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional.
A B A B A B A B
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V F 0 1 0
F F V 0 0 1
Exercícios de aplicação 9:
Escreva em linguagem corrente.
1) A: Está frio.
B: Está chovendo.
a) A:
b) A B:
c) A B:
d) A B;
e) A B:
f) A B:
g) A B:
2) Analogamente:
A: Pedro é aluno de ADS
B: ADS é Curso da Fatecsp
a) A:
b) A B:
c) A B:
d) A B;
e) A B:
f) A B:
g) A B:
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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3) Escreva em linguagem simbólica as sentenças.
p: Carolina é alta.
q: Carolina é elegante.
a) Carolina é alta e elegante.
b) Carolina é alta, mas não é elegante.
c) É falso, que Carolina é baixa ou elegante.
d) Carolina não é nem baixa nem elegante.
e) Carolina é alta, ou ela é baixa e elegante
4) Dar o valor lógico das proposições.
a) Porto Alegre é a capital do Estado do Paraná ou 10 é par. ( )
b) Se 3 > , então 2 é racional. ( )
c) Se 3 > , então o Corinthians será campeão Paulista de 2011. ( )
d) Se 1 1, então 4 9 5 . ( )
e) 2+3=5 se, e somente se 36 6. ( )
f) 32 6 se, e somente se 2+2+2=6. ( )
2.7. Formas sentenciais
Quando estudamos as expressões numéricas, observamos expressões com as operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão organizadas com parênteses, colchetes e chaves. Da mesma
forma ocorrem as formas sentenciais usando , , , e .
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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2.8. Tabela verdade
Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela verdade.
Exemplo 4:
Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial
[( ) ( )] ( )A B A C B C
A B C A B A A C C B C
V V V V F V F F F
V V F V F F F V V
V F V F F V V F F
V F F F F F V V F
F V V V V V F F F
F V F V V V V V V
F F V V V V F F F
F F F V V V F V F
Exemplo 5:
Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial
[( ) ( ] ( )A B B C A C
A B C A B B C A C
V V V V V V V
V V F V F V F
V F V F V V V
V F F F V V F
F V V V V V V
F V F V F V V
F F V V V V V
F F F V V V V
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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Exemplo 6:
Tabela verdade pode ser feita do modo simplificado como segue.
( ) ( )A B A B
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F V F V V V F
Exercícios de aplicação 10:
Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial (Simplificada ou não).
1) ( ) ( )p q p q
2) [ ( )] ( )A B C A C
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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3) [( ) ( )] ( )A B C D D A
4) [( ) ( )] [( ) ( )]A C B C B A A C
5) [( ) ( )] [( ) ( )]A B C A A B C A
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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6) [( ) ( )] [( ) ( )]A B C A A B C B
2.9. Tautologia – contradição
Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V (verdade) para quaisquer que sejam
os valores atribuídos às variáveis e se assumir o valor F diremos que é uma contradição.
Exemplo 7:
A forma sentencial que segue é uma tautologia.
( ) ( )A B A B
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F V F V V V F
Exemplo 8:
A forma sentencial que segue é uma contradição.
( ) ( )A B A B
V V V F F F F
V V F F F F V
F V V F V F F
F F F F V V V
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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Exemplo 9:
Se a forma sentencial ( ( )) ( )A B C B C é falsa,
quais valores possíveis de verdade que podem assumir A, B e C?
( ( )) ( )A B C B C
____________________0___________ 1ª conclusão
_1_________________________ 0______ 2ª conclusão
_______ 1_____0__________1_____0___ 3ª conclusão
______0_____________________________4ª conclusão
_0___________0_________________________5ª conclusão
Assim, A=0, B=1 e C=0
Exercícios de aplicação 11:
As formas sentencias que seguem são falsas, quais valores possíveis de verdade, que podem assumir
A, B, C , D e E?
1) [ ( )] ( )A B D A B C
2) ( ) [( ) ]A B B C C
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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3) ( ( ) ) (( ) ( )A B C D B E C D
4) A B B C
5) Se a forma sentencial ( ) ( )A B C B C A é falsa, e a sentença
C B é verdadeira. Quais os valores possíveis de verdade que podem assumir A, B e C?
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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6) Se a forma sentencial ( ) { [ ( )]}A B C D B C E é falsa. Quais os
valores possíveis de verdade que podem assumir A, B, C, D e E?
7) [( ( ) ) (( ) ( ))]B C D B E C D A
8) ( ) [(( ) ) ( ( ))]A B C B A B B D
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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2.10. Implicações e equivalências lógicas (~)
Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial Y, se a forma
sentencial X Y for uma tautologia.
Exemplo 10.
Seja X: A B e Y: A B , mostremos que X ~ Y isto é
( )A B ( )A B
A B A B A B
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F F V V V V F
2.11. Equivalências lógicas fundamentais
1E : Lei da dupla negação: ~A A
A A A
V F V
F V F
Exemplo 11. Não entendi nada desta explicação ~ entendi tudo.
A : Entendi essa explicação.
A: Não entendi essa explicação.
A : Não entendi nada essa explicação A : entendi tudo.
2E : Lei da idempotência: ~ ~A A A e A A A
A A A A
V V V V
F F V F
A A A A
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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V V V V
F F V F
3E : Lei da Comutatividade:
a) ~A B B A
A B B A V V V V V V V
V F F V F F V
F F V V V F F
F F F V F F F
b) ~A B B A
A B B A V V V V V V V
V F F V F F V
F F V V V F F
F F F V F F F
4E : Leis da associatividade:
a) ( ) ~ ( )A B C A B C
b) ( ) ~ ( )A B C A B C
5E : Leis de De Morgan
a) ( ) ~ ( )A B A B
b) ( ) ~ ( )A B A B
Demonstração: Usaremos 1 para V e 0 para F
a) ( ) ~ ( )A B A B
A B A B 0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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b) ( ) ~ ( )A B A B
A B A B 0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1
Mostre as equivalências lógicas usando as tabelas verdade.
6E : Leis distributivas ou de fatoração
a) ( ) ~ ( ) ( )A B C A B A C
b) ( ) ~ ( ) ( )A B C A B A C
7E : Leis de absorção
1) ( ) ~A A B A
2) ( ) ~A A B A
3) ( ) ~ ( )A B B A B
4) ( ) ~ ( )A B B A B
5) Se T é tautologia e F uma contradição, então
a) ( ) ~T A A b) ( ) ~T A T
c) ( ) ~F A F d) ( ) ~F A A
Mostremos, a) ( ) ~T A A
T A A
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 1 0
Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas verdade.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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8E : Contra positivo.
( ) ~ ( )A B B A
A B B A 1 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1
9E : Eliminação da condicional
a) ( ) ~ ( )A B A B
A B A B 1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
b) ( ) ~ ( )A B A B
A B A B B 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1
10E : Eliminação da Bicondicional
a) ( ) ~ ( ) ( )A B A B A B
A B A B A B 1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 1 1
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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b) ( ) ~ ( ) ( )A B A B B A
A B A B B A 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 1 1 1 1
Exercícios de aplicação 12:
Nota: Nos exercícios que se seguem use as equivalências lógicas apresentadas, indicando qual
está sendo usada para a solução do exercício.
1) A forma sentencial ( ) ( )A B A B B é logicamente equivalente a
a) A B b) A B c) A B d) A B
2) A forma sentencial [( ) ] ( )B C A C B é logicamente equivalente a
a) ( )C A B b) ( )C A B c) ( )C A B
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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3) A forma sentencial ( ) [ ( )]A A B A B B é logicamente equivalente a
a) ( )A B b) A B c) A B d) ( )B A
4) A forma sentencial ( ) [( ) ]A B C A B C é logicamente equivalente a
a) ( )C A B b) ( )C A B c) ( )A B C
5) A forma sentencial ( ) ( ) {[ ( ) ( ) ( )] ( )}A B B A A B B A C A C C é
logicamente equivalente a
a) ( )A B b) ( )C A B c) ( )A B C d)( )A B C
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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6) A forma sentencial [( ) ( )] ( )A B A B A B é logicamente equivalente a
a) A B b) A B c)Tautologia d)Contradição
7) A forma sentencial ( [( ( )) ( )]A C B B C A B é logicamente equivalente a
A B b) A B c)Tautologia d)Contradição
8) A forma sentencial ( ) ( ) [( ) ]A C B C A B C é logicamente equivalente a
A B b) A B c) A B d) ( )A B C
9) A forma sentencial {[( ) ( )] [ ( )]} {[( ) ] }A C B C B B C A C B A é logicamente
equivalente a
A B b) A B c) A B d) ( )A B C e) )A B C
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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Observação:
Nos exercícios que seguem é importante conhecer a leitura das proposições e sua simbologia.
Assim,
A B : lê-se: Se A , então B
A, somente se B
A é condição suficiente para B .
B é condição necessária para A .
A B : A é condição necessária é suficiente para B .
Exemplo 12:
Indique em quais dos seguintes casos, A é condição necessária (c.n) para B, em quais A é
condição suficiente (c.s) para B e em quais A é condição necessária e suficiente (c.n.s) para B.
a) A: n é divisível por 6 B: n número par (c.s)
b) A: x < 0 e y < 0 B: x .y > 0 (c.s)
c) A: x é ímpar B: 2x é impar (c.n.s)
d) A: x = 2 B: 2x =4 (c.s)
e) A: 2x =4 B: x = 2 (c.n)
Exemplo 13:
Dar a negação em linguagem corrente da proposição.
As rosas são amarelas e os cravos brancos.
Solução:
Definindo:
A: As rosas são amarelas.
B: Os cravos brancos.
Assim, podemos escrever: A B
Negação de A B é ( )A B ~ A B (Leis de De Morgan).Assim em linguagem corrente
escrevemos:
As rosas não são amarelas ou os cravos não são brancos.
Exemplo 14:
Dar a negação em linguagem corrente da proposição.
Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar.
Definindo:
C: estiver cansado
F: com fome
E: consigo estudar
E: não consigo estudar.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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Da proposição podemos escrever: ( )C F E , negando e usando as equivalências
lógicas, segue:
[( ) ] ~ [ ( ) ]C F E C F E ~( )C F E .
Portanto, em linguagem corrente escrevemos:
Mesmo cansado ou com fome eu estudo ou ainda
Estando cansado ou com fome consigo estudar.
Exemplo 15:
Dar a negação em linguagem corrente da proposição.
A temperatura diminuirá somente se chover ou nevar.
Definindo: D: A temperatura diminuirá
C: chover
N: nevar
Assim, podemos escrever: ( )D C N , negando e usando as equivalências lógicas, segue:
[ ( )]D C N ~ [ ( )]D C N ~ ( )D C N ~ )D C N
Em linguagem corrente escrevemos:
A temperatura diminuirá mesmo não chovendo e não nevando.
Não choverá e não nevará e mesmo assim a temperatura diminuirá.
Exercícios de aplicação 13:
Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
1) Fará sol se, e somente se não chover.
2) Bruno é aluno MD ou pesquisador.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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3) Existe menina feia.
4)Todo menino gosta de futebol.
5) Nenhuma menina gosta do Corinthians.
6) Tudo que é bom engorda.
7) Todos os homens são mortais.
8) Thaís é inteligente e estuda.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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9) O Corinthians ganhará o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos ajudarem.
10)Se eu estudar matemática discreta e tiver sorte na prova, então serei aprovado.
11) Se é domingo ou faz chuva, então é feriado e é noite.
12) Ficarei rico, se estudar ou ganhar na loteria.
13) A laranja não cai do pé, a menos que esteja madura ou haja uma forte ventania.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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3. ARGUMENTOS
Sejam 1 2, ,...,
nP P P e Q proposições. Denomina-se argumento a toda afirmação de que uma
dada seqüência finita de proposições 1 2, ,...,
nP P P acarreta uma proposição final Q .
1 2, ,...,
nP P P , denominam-se premissas, e Q conclusão. Lê-se
1 2, ,...,
nP P P , acarreta Q ou Q decorre de
1 2, ,...,
nP P P .
Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão denomina-se silogismo.
Um argumento 1 2, ,...,
nP P P Q é valido se, e somente se a condicional
1 2( ... )
nP P P Q é uma tautologia.
Exemplo 16:
Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia.
1) Sejam as Premissas:
i) Se um homem é feliz, ele não é solteiro.
ii) Se um homem não é feliz, ele morre cedo.
Conclusão:
Homens solteiros morrem cedo.
Chamando
F: Homem é feliz
S: Solteiro
C: morre Cedo
Podemos escrever a forma simbólica argumentação como:
[( ) ( )] ( )F S F C S C
______1________ 1__________1___________hip_1_______ 1ª conclusão
___________1_______________________________________ 2ª conclusão
_________0_________________________________________ 3ª conclusão
_0_____________________0___________________________ 4ª conclusão
_____________________1________1__________________1_ 5ª conclusão
______________________________________1_______1____ final
Portanto, a argumentação é verdadeira.
2) Sejam as Premissas:
i) Se um homem não fuma, então é atleta ou não é alcoólatra.
ii) Se um homem fuma, então tem câncer.
iii) Paulo não é atleta, mas alcoólatra.
Conclusão:
Paulo tem câncer.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
58
Chamando
F: Fuma
C: Câncer
At: Atleta
Al: Alcoólatra
( ( )) ( )t l t l
F A A F C A A C
______ 1____________________1__________ __ 1_________1ª conclusão
______________________________________1__ ___1____ 2ª conclusão
___________0______1_____________________0____________3ª conclusão
________________0____________________________________4ª conclusão
______________0______________________________________5ª conclusão
___0_________________________________________________6ª conclusão
_____1____________________1_____1_________________ 1_ 7ª conclusão
_________________________________________________1__ Verdade__
Portanto, a argumentação é verdadeira.
3) Sejam as Premissas:
i) Se eu não jogar xadrez, jogarei futebol.
ii) Se estiver machucado, não jogarei futebol.
Conclusão:
Se estiver machucado jogarei xadrez.
Chamando
X: jogar Xadrez
F: Futebol
M: Machucado
X F M F M X
______ V_____________ V_____________________ 1ª conclusão
_______________V____________________ V(hip) ___ 2ª conclusão
___________________V_________________________ 3ª conclusão
___________F________________F________________ 4ª conclusão
___F__________________________________________ 5ª conclusão
______V____________________________________V__ 6ª conclusão
_________________________________________V_____7ª conclusão
__________________________________V____________Verdade
Portanto, a argumentação é verdadeira.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
59
Exercícios de aplicação 14:
Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia.
1) Sejam as Premissas:
i) Os bebes não são lógicos.
ii) Quem consegue amestrar um crocodilo não é desprezado.
iii) Pessoas não lógicas são desprezadas.
Conclusão:
Bebes não conseguem amestrar crocodilo.
2) Sejam as Premissas:
i) O professor não erra.
ii) Andréia é distraída.
iii) Quem é distraído erra
Conclusão:
a) Andréia não é professora. b) Nenhum professor é distraído.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
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3) Sejam as Premissas:
i) Ana Carolina é estudiosa.
ii) Todo estudioso é aprovado em Matemática discreta.
Conclusão:
Ana Carolina será reprovada em Matemática discreta.
4) Sejam as Premissas:
i) Se uma mulher é do signo de câncer, então não deve ser dançarina ou deve ser cozinheira e
manequim.
ii) Toda mulher que não é do signo de câncer é carinhosa.
iii) Luíza não é cozinheira, mas é dançarina.
Podemos concluir que:
Luíza é carinhosa.
5) Sejam as Premissas:
i) Se trabalho, não posso estudar.
ii) Trabalho ou serei aprovado em Matemática Discreta.
iii) Trabalhei
Podemos concluir que:
Fui reprovado em M. D.
CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette
61
6)Suponha que:
“Se o representante sindical ou o dirigente industrial forem teimosos, então a greve será decretada se, e
somente se, houver uma injunção governamental sem o envio de tropas policiais junto à fabrica”.
i) Verifique se é possível o fato.
“O representante sindical ser teimoso, o dirigente não, a greve se decretada e haver uma injunção
governamental com envio de tropas”
6i) Não é possível
ii) “Dirigente e representante são ambos teimosos, a greve não é decretada, não há injunção
governamental mas envio de tropas policiais.”
6ii) Esse fato é possível
7) Sejam as premissas:
i) Se um aluno é feliz, ele faz matemática discreta.
ii) Se um aluno não é feliz, ele não é estudioso.
Podemos concluir que:
Alunos que não fazem matemática discreta, não são estudiosos.